Ứng dụng của cơ sở grobner để giải hệ phương trình đa thức

Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luận "Ứng dụng của cơ sở Gr¨obner để giải hệ
phương trình đa thức", ngoài sự nổ lực của bản thân, tôi còn nhận được
sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Khoa học tự
nhiên, Trường Đại học Quảng Bình trong suốt thời gian thực hiện khóa
luận này. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
- Th.S Trần Mạnh Hùng, giảng viên Khoa Khoa học tự nhiên, Trường
Đại học Quảng Bình. Thầy đã giành nhiều thời gian quý báu tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy giáo,
cô giáo trong Khoa Khoa học tự nhiên, tới gia đình, bạn bè đã luôn sát
cánh bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá
trình học tập cũng như trong khi tôi thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận
này.
Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện
cả về nội dung lẫn hình thức nhưng vẫn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Nên tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô
giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên

Trần Thị Viễn

1


Mục lục

Lời cảm ơn

1

MỤC LỤC

2

MỞ ĐẦU

4

1 Kiến thức cơ sở

8

1.1

Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Cơ sở Gr¨obner

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1

Thứ tự từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2

Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨obner . . . . . . . . . 22

1.4.3

Thuật toán chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4.4

Tiêu chuẩn Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.5

Thuật toán Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . 31

2


2 Ứng dụng của cơ sở Gr¨
obner để giải hệ phương trình đa
thức

32

2.1

Đa thức bất khả quy và phân tích duy nhất . . . . . . . 32

2.2

Căn của iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3

Căn của iđêan chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4

Căn của ideal chiều 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.5

Định lí Hilbert về không điểm . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6

Nghiệm của hệ phương trình đa thức . . . . . . . . . . . 45

2.7

Cách giải hệ phương trình đa thức

. . . . . . . . . . . . 48

KẾT LUẬN

58

TÀI LIỆU THAM KHẢO

59

3


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tính toán hình thức (symbolic computation), hay còn gọi là Đại số
máy tính (Computer Algebra), xuất hiện khoảng ba chục năm nay và
gần đây trở thành một chuyên ngành độc lập. Nhờ sự ra đời của Đại số
máy tính người ta có thể giải phương trình với hệ số bằng chữ, tính tích
phân bất định,... điều mà trước đó máy tính chỉ thực hiện được với hệ
số hằng số, tính tích phân xác định. Đây là một chuyên ngành kết hợp
chặt chẽ toán học với khoa học máy tính. Sự phát triển này đòi hỏi phải
xây dựng các lí thuyết toán học làm cơ sở cho việc thiết lập thuật toán
và các phần mềm toán học. Khi khả năng tính toán mỗi ngày một tăng
của máy tính sẽ giúp triển khai tính toán thực sự nhiều thuật toán. Sự
phát triển của Đại số máy tính có tác dụng tích cực trong nghiên cứu
toán học lí thuyết.
Lý thuyết cơ cở Gr¨obner được nghiên cứu lần đầu tiên vào khoảng
thập niên 60 của thế kỉ XX, nó nhanh chóng trở thành hạt nhân của
ngành hạt nhân của ngành Đại số máy tính và là một công cụ hữu hiệu

trong rất nhiều bài toán cơ bản của Đại số giao hoán và Hình học đại số.
Dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Wolfgang Gr¨obner, năm 1965, Bruno
Buchberger đã đưa ra thuật toán Buchberger trong luận án tiến sĩ của
mình. Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết Buchberger
chính là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường
hợp các đa thức nhiều biến. Cơ sở Gr¨obner về phương diện lý thuyết
còn được khẳng định bằng việc cung cấp chứng minh cho ba định lý
4


về Hilbert: Định lý Hilbert về cơ sở, định lý Hilbert về xoắn, định lý
Hilbert về không điểm.
Trong các ứng dụng gần gũi nhất của lý thuyết cơ sở Gr¨obner tôi
quan tâm tới việc giải hệ phương trình đa thức. Thực chất việc tìm cơ
sở Gr¨obner của một hệ phương trình đa thức là đưa hệ phương trình
ban đầu về hệ phương trình mới có dạng tam giác. Từ đó ta tìm được
nghiệm của hệ.
Với mong muốn giúp những người yêu toán tìm được nhiều hơn các
công cụ toán học hiện đại, một công cụ giải hệ phương trình đa thức,
góp phần soi sáng nội dung liên quan trong chương trình toán học phổ
thông.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, logic các kiến thức
về vành, iđêan, trường, vành đa thức, iđêan đơn thức; quan hệ thứ tự,
thứ tự từ, khái niệm cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức nhiều biến,
tiêu chuẩn Buchberger, thuật toán Buchberger để tìm cơ sở Gr¨obner.
Cung cấp cho giáo viên phổ thông, các em học sinh và những người
yêu toán một hướng tiếp cận mới, một công cụ giải hệ phương trình đa
thức, một phương pháp chung cho hầu hết các bài toán này.
3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu chính của khóa luận là ứng dụng của cơ sở
Gr¨obner trong hệ phương trình đa thức. Bên cạnh đó còn nghiên cứu
về vành, iđêan, trường, vành đa thức, cơ sở Gr¨obner, các kiến thức này
xem như là sự chuẩn bị cho các kiến thức chính của khóa luận.
5


4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu các tài liệu,
giáo trình về các vấn đề cần nghiên cứu như: vành, iđêan, vành đa thức,
iđêan đơn thức, quan hệ thứ tự, thứ tự từ, khái niệm cơ sở Gr¨obner,
thuật toán chia đa thức nhiều biến, thuật toán Buchberger để tìm cơ
sở Gr¨obner, một số thuật toán ứng dụng của cơ sở Gr¨obner trong hệ
phương trình đa thức.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến của các giảng viên
hướng dẫn khoa học và các giảng viên khác trong Bộ môn Toán, Khoa
Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình.
5. Tầm quan trọng đối với khoa học và thực tiễn
Khóa luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên
ngành Toán của Trường Đại học Quảng Bình có mong muốn tiếp tục
tìm hiểu về Đại số máy tính. Với bản thân, nghiên cứu về lí thuyết cơ
sở Gr¨obner giúp tôi hiểu rõ hơn về lí thuyết này và nắm được ứng dụng
của nó trong hệ phương trình đa thức. Qua đó tôi cũng thấy được sự
phát triển của khoa học máy tính ngày nay có tác dụng tích cực trong
nghiên cứu toán học lí thuyết.
6. Bố cục khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung
khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức cơ sở
Chương này là hệ thống gồm một số kiến thức về vành, iđêan, vành

đa thức, đặc biệt các kiến thức về cơ sở Gr¨obner. Trình bày những khái
6


niệm cơ sở của lí thuyết cơ sở Gr¨obner: Khái niệm thứ tự từ, đơn thức
đầu, từ khởi đầu, iđêan khởi đầu, định nghĩa và một số tính chất cơ
bản của cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức, tiêu chuẩn Buchberger,
thuật toán Buchberger.
Chương 2: Ứng dụng của cơ sở Gr¨
obner để giải hệ phương
trình đa thức
Chương này trình bày một cách hệ thống về điều kiện có nghiệm,
số nghiệm của hệ phương trình đa thức và cách giải tổng quát của hệ
phương trình đa thức.

7


Chương 1

Kiến thức cơ sở
Chương này nhắc lại một số khái niệm cơ bản trong Đại số giao hoán
và trình bày những khái niệm cơ sở của lí thuyết cơ sở Gr¨obner: Khái
niệm Iđêan, thứ tự từ, từ khởi đầu, định nghĩa và một số tính chất cơ
bản của cơ sở Gr¨obner, thuật toán chia đa thức, tiêu chuẩn Buchberger,
thuật toán Buchberger.

1.1

Vành

Định nghĩa 1.1.1. Vành là một tập hợp R = ∅ được trang bị phép
toán cộng "+":(a, b) → a + b và phép toán nhân "." : (a, b) → a.b
thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Đối với phép cộng, R là một nhóm giao hoán.
(ii) Phép nhân có tính kết hợp, tức là với mọi a, b, c ∈ R :
a.(b.c) = (a.b).c.
(iii) Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, tức là với mọi
a, b, c ∈ R : a.(b + c) = a.b + a.c và (b + c).a = b.a + c.a.
8


Nhận xét. Phần tử không của vành được kí hiệu là 0. Vành có một
phần tử 0 kí hiệu là 0. Vành R được gọi là vành có đơn vị nếu nó chứa
phần tử 1 thỏa mãn a1 = 1a = a với mọi a ∈ R. Vành R được gọi là
vành giao hoán nếu với mọi a, b ∈ R, ab = ba.
Trong toàn bộ khóa luận này chỉ xét đến vành giao hoán, có đơn
vị.
Ví dụ.
1. Tập các số nguyên Z, số thực R, số phức C cùng với các phép cộng
và phép nhân thông thường lập thành một vành. Tập N không phải
là vành.
2. Cho R = 0 là một vành (giao hoán, có đơn vị) và n ≥ 2 là một số
tự nhiên. Tập các ma trận vuông cấp n với các phần tử thuộc R
với phép cộng và phép nhân ma trận lập thành một vành có đơn vị
nhưng không giao hoán.
Định nghĩa 1.1.2. Cho R là một vành và a ∈ R. Phần tử a được gọi
là
(i) ước của không nếu a = 0 và tồn tại 0 = b ∈ R sao cho ab = 0,
(ii) khả nghịch (hoặc đơn vị) nếu tồn tại c ∈ R sao cho ac = 1.

Vành R không chứa ước của 0 được gọi là miền nguyên.
Ví dụ. Vành Z là miền nguyên với hai phần tử đơn vị là 1 và −1.
Vành Z×Z không phải là miền nguyên vì chẳng hạn ta có: (a, 0).(0, b) =
(0, 0) với (a, b ∈ Z).
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử R là một vành, A là một bộ phận ổn định
9


của R đối với hai phép toán trong R, có nghĩa là x + y ∈ A và xy ∈ A,
với mọi x, y ∈ A. A là một vành con của R nếu A cùng với hai phép
toán cảm sinh trên A là một vành.
Định lí 1.1.4. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R. Các
điều kiện sau là tương đương:
(i) A là vành con của R.
(ii)Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A.
(iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A.
Định nghĩa 1.1.5. Trường là một vành mà mọi phần tử khác 0 đều
khả nghịch.
Bổ đề 1.1.6. Cho R là một vành và a, b ∈ R. Khi đó
(i) a.0 = 0. Nói riêng 0 không khả nghịch.
(ii) Nếu ab = 0 thì ab là ước của không khi và chỉ khi a hoặc b là ước
của không.
(iii) ab là phần tử đơn vị khi và chỉ khi a và b là phần tử đơn vị.
(iv) Ước của không không bao giờ là đơn vị.
(v) Tập tất cả các đơn vị của vành lập thành một nhóm giao hoán đối
với phép nhân.
Bổ đề 1.1.7. (i) Nếu R là miền nguyên thì R có luật giản ước với phép
nhân, tức là ac = bc và c = 0 kéo theo a = b.
(ii) Mọi trường là miền nguyên.
(iii) Mọi miền nguyên hữu hạn là trường.

Định nghĩa 1.1.8. Một tập con S ⊆ R đóng đối với phép cộng và
phép nhân của R được gọi là vành con nếu nó chứa phần tử 1 của R và
10


bản thân nó cùng với các phép toán cảm sinh lập thành một vành.
Ví dụ.
1. Một vành bao giờ cũng có ít nhất hai vành con là vành con tầm
thường 0 và chính nó. Vành Z chỉ có hai vành con đó.
2. Z cũng là vành con thực sự không tầm thường của Q.
3. Tập các đa thức một biến và tập các hàm hằng số là những vành
con thực sự không tầm thường của vành C[a, b].
Bổ đề 1.1.9. Cho R là vành và S ⊆ R. Khi đó S là vành con nếu và
chỉ nếu có các điều kiện sau:
(i) 1 ∈ S.
(ii) Nếu a, b ∈ S thì a − b ∈ S.
(iii) Nếu a, b ∈ S thì ab ∈ S.

1.2

Iđêan

Định nghĩa 1.2.1. Cho R là một vành. Tập con I = ∅ của R được gọi
là iđêan nếu thỏa mãn hai điều kiện:
(i) Với mọi a, b ∈ I, a + b ∈ I.
(ii) Với mọi a ∈ I và r ∈ R, ra ∈ I.
Nhận xét.
• Iđêan của R mà khác R được gọi là iđêan thực sự của R. Một iđêan
của R là iđêan thực sự khi và chỉ khi nó không chứa bất kỳ phần
tử khả nghịch nào của R.

11


• Iđêan của R chỉ có một phần tử được gọi là iđêan không và ký hiệu
là 0.
• Iđêan nhỏ nhất của một vành R còn chứa tập con T của R được
gọi là iđêan sinh bởi tập con T, ký hiệu T .
Ví dụ.
1. Mọi vành R đều chứa iđêan tầm thường I = 0 và I = R.
2. Tập nZ là các iđêan trong vành Z.
Định lí 1.2.2. Giao của một họ bất kì những iđêan của một vành R
là một iđêan của R.
Định nghĩa 1.2.3. Cho I là iđêan của vành R. Nếu A là tập hợp sao
cho I = (A) thì A được gọi là tập sinh (hay hệ sinh, cơ sở) của I và ta
nói I là iđêan sinh bởi A.
A được gọi là tập sinh tối tiểu (hay là hệ sinh tối tiểu, cơ sở tối tiểu)
của I nếu A là tập sinh của I và không chứa tập sinh khác của I.
Ta nói iđêan là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.
Định lí 1.2.4. Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và a1 , a2 , ..., an ∈
R. Bộ phận A của R gồm các phần tử có dạng x1 a1 +x2 a2 +...+xn an ∈ R
là iđêan của R sinh ra bởi a1 , a2 , ..., an .
Định nghĩa 1.2.5. Cho I là iđêan của vành R. Vành R/I được gọi là
vành thương của vành R theo iđêan I.
Bổ đề 1.2.6. Cho R là một vành và ∅ = A ⊆ R . Khi đó tập hợp
12


(A) = {r1 a1 + ... + rn an |n ∈ N; r1 , ..., rn ∈ R; a1 , ...an ∈ A}
là iđêan bé nhất chứa A.

1.3

Vành đa thức

Đơn thức
Cho R là một vành và x1 , ..., xn (n ≥ 1) là các biến.
Một biểu thức có dạng: xa11 ...xann gọi là đơn thức, trong đó (a1 , ..., an ) ∈
Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức.
Khi a1 = ... = an = 0 thì đơn thức được kí hiệu là 1.
Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa:
(xa11 ...xann )(xb11 ...xbnn ) = xa11 +b1 ...xann +bn .
Tức là phép nhân đơn thức ứng với phép cộng bộ số mũ trong nửa
nhóm cộng Nn .
Từ
Từ là biểu thức có dạng : αxa11 ...xann .
Trong đó α ∈ R được gọi là hệ số của từ.
Hai từ khác không αxa11 ...xann và βxa11 ...xann được gọi là đồng dạng với
nhau.
Đa thức
Ta kí hiệu: x = (x1 , ..., xn ), a = (a1 , ..., an ) ∈ Nn và xa = xa11 ...xann .
αa xa

Khi đó: Tổng hình thức của các từ f (x) =
a∈Nn

được gọi là đa thức n biến x1 , ..., xn trên vành R trong đó chỉ có một số
13


hữu hạn hệ số αa = 0.

Từ αa xa (αa = 0) được gọi là từ của đa thức f (x), xa là đơn thức
của f (x).
αa xa và g(x) =

Hai đa thức : f (x) =

βa xa được xem là bằng

a∈Nn

a∈Nn
n

nhau nếu αa = βb với mọi a ∈ N .
Phép cộng đa thức được định nghĩa:
αa x a +

(
a∈Nn

βa xa ) =
a∈Nn

(αa + βa )xa .
a∈Nn

Vì αa + βa = 0 nếu một trong hai hệ số αa hoặc βa bằng 0, nên trong
biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 và nó đúng là
một đa thức.
Ta sẽ đồng nhất đa thức αxa với đa thức

βb xb ,
b∈Nn

trong đó βa = α và βb = 0 với mọi b = a.
Nếu α1 xa1 , ..., αp xap là tất cả các từ của f (x) thì có thể xem f (x) là
tổng đa thức của các từ này qua phép đồng nhất vừa nêu:
f (x) = α1 xa1 + ... + αp xap , (∗)
trong đó a1 , ..., ap ∈ Nn là bộ số mũ khác nhau. Biểu diễn này là duy
nhất và gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức f (x).
Phép nhân đa thức được định nghĩa: (
a∈Nn

với γa =

αa xa )(
a∈Nn

βa xa ) =

γa xa
a∈Nn

αb βc .
b,c∈Nn ,b+c=a

Nhận xét rằng γa = 0 chỉ khi tồn tại b và c với αb = 0 và βc = 0 để
a = b + c. Do vậy chỉ có một số hữu hạn hệ số γa = 0 và phép nhân đa
14

thức trên hoàn toàn xác định.
Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức có thể kiểm tra tập
tất cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là đơn
thức 1. Tập này được kí hiệu là R[x1 , ..., xn ] hay R[x].
Định nghĩa 1.3.1. Vành R[x1 , ..., xn ] xây dựng như trên được gọi là
vành đa thức n biến trên vành R.
Chú ý.
• Khi n = 1 ta có vành đa thức một biến thông thường. Tuy nhiên
đa thức một biến x thường được viết dưới dạng f (x) = an xn + ... +
a1 x + a0 (n ∈ N, a0 , ..., an ∈ R).
• Cho 0 ≤ m ≤ n. Bằng cách xem mỗi từ αxa11 ...xann trên R như là từ
a

m+1
(αxa11 ...xamm )xm+1
...xann trên vành R[x1 , ..., xm ], có thể xem R[x1 , ..., xn ]

như vành đa thức n − m biến xm+1 , ..., xn trên vành R[x1 , ..., xm ],
tức là
R[x1 , ..., xn ] = R[x1 , ..., xm ][xm+1 , ..., xn ].
• Khi tập các biến đã được xác định, ta chỉ kí hiệu đa thức đơn giản
là f, g, ... thay cho f (x), g(x), ....
αa xa là số

Định nghĩa 1.3.2. Bậc tổng thể của đa thức f (x) =
a∈Nn

degf (x) =max{a1 + ... + an | αa = 0}.
Chú ý.
• Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0, bậc tổng thể của đa thức 0

được quy ước là một số tùy ý.
15


• Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với một tập con các
biến, chẳng hạn {x1 , ..., xk }, được định nghĩa như sau:
degx1 ,...,xk f (x) = max{a1 + ... + ak } | αa = 0},
trong đó k < n cố định. Nói cách khác, đó là bậc tổng thể của f (x)
xét như đa thức của vành K[xk+1 , ..., xn ][x1 , ..., xk ]
Mệnh đề 1.3.3. Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f (x), g(x) ∈
R[x] đều có
deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x)
và
deg(f (x) + g(x)) ≤ max{degf (x), degg(x)}.
Hơn nữa, ta có bất đẳng thức chặt khi
degf (x) = degg(x) và fdegf (x) = −gdegg(x) .
Định lí 1.3.4. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị là 1. Các điều kiện
sau là tương đương:
(i) Mọi tập khác rỗng các iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với
quan hệ bao hàm).
(ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong R
I1 ⊆ I2 ⊆ ... ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ ...,
là dừng, tức là tồn tại k để Ik = Ik+1 = ...
(iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh; tức là với mọi iđêan I ⊆ R tồn
tại f1 , f2 , ..., fs ∈ I sao cho I = (f1 , f2 , ..., fs ).
Một vành thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là vành
Noether.
16

Một trong những kết quả đẹp nhất và cơ bản nhất về vành đa thức
nói rằng mọi iđêan của vành đa thức trên trường là hữu hạn sinh. Đó
là nội dung định lí nổi tiếng của Hilbert về cơ sở. Dưới đây là một dạng
tổng quát của nó.
Định lí 1.3.5. (Định lí Hilbert về cơ sở). Cho R là vành Noether và x
là tập n biến. Khi đó vành R[x] là vành Noether.
Hệ quả 1.3.6. Mọi iđêan của vành đa thức K[x] trên trường K là hữu
hạn sinh.
Định lí 1.3.7. (Định lí chia đa thức một biến). Cho K là một trường
và g(x) là đa thức khác 0 của K[x]. Khi đó mọi đa thức f ∈ K[x] có
thể viết dưới dạng f (x) = q(x)g(x) + r(x), trong đó q(x), r(x) ∈ K[x]
và hoặc r(x) = 0 hoặc degr(x) xác định duy nhất.
Hệ quả 1.3.8. Vành K[x] đa thức trên một trường tùy ý là vành các
iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức.
Định nghĩa 1.3.9. Ước chung lớn nhất của các đa thức f1 , ..., fn ∈
K[x] là đa thức h sao cho
(i) h chia hết f1 , ..., fn , nghĩa là f1 = q1 h, ..., fn = qn h; q1 , ..., qn ∈ K[x].
(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1 , ..., fn thì p chia hết h.
Trong trường hợp đó ta viết h =UCLN(f1 , ..., fn ).
Định nghĩa 1.3.10. Các đa thức f1 , ..., fn ∈ K[x] được gọi là nguyên
tố cùng nhau nếu UCLN(f1 , ..., fn ) = 1.
Mệnh đề 1.3.11. Cho f1 , ..., fn ∈ K[x], n ≥ 2. Khi đó:
(i) UCLN(f1 , ..., fn ) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác
17


0 của K.
(ii) (f1 , ..., fn ) =(UCLN(f1 , ..., fn )).
(iii) Nếu n ≥ 3 thì UCLN(f1 , ..., fn ) =UCLN(UCLN(f1 , ..., fn−1 ), fn ).

Định nghĩa 1.3.12. Iđêan I ⊆ R[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu nó
sinh bởi các đơn thức.
Một iđêan có dạng I = (xa ; a ∈ A), trong đó A ⊆ Nn .
Chú ý. Trong định nghĩa này không yêu cầu tập A hữu hạn.
Bổ đề 1.3.13. Cho I = (xa ; a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb ∈ I
khi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó.
Bổ đề 1.3.14. Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x]. Các điều kiện sau
là tương đương:
(i) f ∈ I.
(ii) Mọi từ của f thuộc I.
(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I.
Hệ quả 1.3.15. Hai iđêan đơn thức trong một vành đơn thức bằng
nhau nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức.
Bổ đề 1.3.16. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I,
các từ của f đều thuộc I.
Bổ đề 1.3.17. (Bổ đề Dickson)
Mọi Iđêan đơn thức I = (xa ; a ∈ A) bao giờ cũng viết được dưới dạng
I = (xa(1) , ..., xa(s) ), trong đó a(1), ..., a(s) ∈ A. Nói riêng I là hữu hạn
sinh.

18


1.4

Cơ sở Gr¨
obner

1.4.1

Thứ tự từ

Cho X là một tập khác rỗng. Quan hệ hai ngôi trên tập X là một tập
con R của tích Đề các X × X. Ta viết xRy thay cho (x, y) ∈ R.
Định nghĩa 1.4.1. Quan hệ R trên tập X được gọi là một quan hệ thứ
tự (bộ phận), nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây với mọi x, y, z ∈ X:
(i) xRx (tính chất phản xạ).
(ii) Nếu xRy và yRz thì xRz (tính chất bắc cầu).
(iii) Nếu xRy và yRx thì x = y (tính chất phản đối xứng).
Thông thường quan hệ thứ tự bộ phận được kí hiệu bởi ≤, ≥. Khi đó
x ≤ y cũng được nói là "x nhỏ hơn hoặc bằng y".
Nếu R là một quan hệ thứ tự bộ phận thì quan hệ ngược
R−1 = {(x, y)|(y, x) ∈ R}
cũng là quan hệ thứ tự bộ phận và gọi là quan hệ thứ tự bộ phận ngược
của R.
Ta cũng sẽ kí hiệu x < y để chỉ quan hệ x ≤ y và x = y. Kí hiệu
x > y là thứ tự ngược của thứ tự đó.
Khi trên tập X có một quan hệ thứ tự bộ phận ≤, ta nói tập X là
tập được sắp (bộ phận). Nếu x, y ∈ X mà x ≤ y hoặc y ≤ x thì ta nói
x, y so sánh được với nhau (trong trường hợp ngược lại thì x, y không
so sánh được với nhau).

19


Quan hệ thứ tự ≤ ở trên X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần
(hoặc thứ tự tuyến tính) nếu mọi cặp phần tử của X đều so sánh được
với nhau. Khi đó ta nói tập X là tập được sắp hoàn toàn.
Quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc cầu trong định nghĩa
trên được gọi là quan hệ giả thứ tự (bộ phận, toàn phần).

Ví dụ.
• Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R là một thứ tự
toàn phần nhưng là quan hệ thứ tự bộ phận trên C.
• Kí hiệu M là tập tất cả các đơn thức trong vành K[x]. Quan hệ
theo bậc tổng thể là một thứ tự bộ phận trên M (tức là m1 ≤ m2
nếu m1 = m2 hoặc deg(m1 ) < deg(m2 )). Nó là thứ tự toàn phần
nếu và chỉ nếu số biến là 1.
Định nghĩa 1.4.2. Cho X là một tập được sắp bởi thứ tự ≤ và A ⊆ X.
Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử tối tiểu (tương ứng tối đại) nếu với
mọi b ∈ A mà b ≤ a (t.ư a ≤ b) thì a = b, tức là không có phần tử nhỏ
hơn (t.ư lớn hơn) a ở trong A.
Phần tử a ∈ A là phần tử nhỏ nhất (t.ư lớn nhất) nếu với mọi b ∈ A
ta có a ≤ b (t.ư b ≤ a).
Phần tử b ∈ X là chặn trên (t.ư chặn dưới) của A nếu với mọi a ∈ A
ta có a ≤ b (t.ư b ≤ a).
Tập X được gọi là tập được sắp tốt nếu nó được sắp hoàn toàn và
mọi tập con khác rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất. Khi đó ta nói quan
hệ thứ tự tương ứng là quan hệ thứ tự tốt.
20


Ví dụ.
• Xét R với mối quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường và S =
[0, 1]. Khi đó 0 và 1 tương ứng là phần tử nhỏ nhất và lớn nhất của
A.
Tập A = (0, 1) không có phần tử tối tiểu và cũng không có phần
tử tối đại nhưng bị chặn trên và chặn dưới trong R.
• Nếu X là một tập được sắp hoàn toàn thì mọi tập con hữu hạn của
nó đều có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
Định nghĩa 1.4.3. Thứ tự từ ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M

tất cả các đơn thức của K[x] thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Với mọi m ∈ M, 1 ≤ m.
(ii) Nếu m1 , m2 , m ∈ M mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2 .
Định nghĩa 1.4.4. Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau:
xα1 1 ...xαnn ≤lex xβ1 1 ...xβnn nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên
trái của véctơ (α1 − β1 , ..., αn − βn ) là một số âm. Hay, nếu tồn tại
0 ≤ i < n sao cho α1 = β1 , ..., αi = βi , nhưng αi+1 < βi+1 .
Định nghĩa 1.4.5. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định
như sau:
xα1 1 ...xαnn ≤glex xβ1 1 ...xβnn nếu deg(xα1 1 ...xαnn ) < deg(xβ1 1 ...xβnn ) hoặc
deg (xα1 1 ...xαnn ) = deg (xβ1 1 ...xβnn ) và thành phần đầu tiên khác không
kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , ..., αn − βn ) là một số âm. Hay
xα1 1 ...xαnn ≤glex xβ1 1 ...xβnn nếu α1 +...+αn < β1 +...+βn hoặc α1 +...+αn =
β1 + ... + βn và xα1 1 ...xαnn ≤lex xβ1 1 ...xβnn .
21


Định nghĩa 1.4.6. Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định như
sau:
xα1 1 ...xαnn deg (xα1 1 ...xαnn ) = deg (xβ1 1 ...xβnn ) và thành phần đầu tiên khác không
kể từ bên phải của véctơ (α1 − β1 , ..., αn − βn ) là một số dương. Hay
xα1 1 ...xαnn β1 + ... + βn và tồn tại 0 ≤ i < n sao cho α1 = β1 , ..., αi = βi , nhưng
αi > βi .
Ví dụ.
10
2
• x1 >lex x22 >lex x10
3 nhưng x1

• x21 x3 >lex x1 x22 >lex x2 nhưng x2 • x1 x2 x4 >glex x1 x23 nhưng x1 x2 x3
Ta thấy ba thứ tự trên thực sự khác nhau.

1.4.2

Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨
obner

Kí hiệu R = K[x] = K[x1 , ..., xn ] và M là tập đơn thức của nó.
Định nghĩa 1.4.7. Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ R = K[x1 , ..., xn ].
Từ khởi đầu của f, kí hiệu là in≤ (f ), là từ lớn nhất của đa thức f đối
với thứ tự từ ≤.
Nếu in≤ (f ) = axα , 0 = α ∈ K, thì lc≤ (f ) = α được gọi là hệ số đầu
và lm≤ (f ) = xα là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤.

22


Nếu thứ tự từ ≤ đã được hiểu ngầm, ta sẽ viết in(f ) (t.ư lc(f ), lm(f ))
thay cho in≤ (f ) (t.ư lc≤ (f ), lm≤ (f )).
Chú ý.
• Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể
nhận giá trị tùy ý).
• Từ khởi đầu còn gọi là từ đầu hay là từ đầu tiên và từ khởi đầu
của đa thức f phụ thuộc vào thứ tự từ đã chọn.
Ví dụ. Cho f = 5x3 y 2 z 2 + xyz − 5x4 + 7yz 3 − 2y 6 z + z 4 . Viết theo thứ
tự các từ giảm dần ta có:

• Đối với thứ tự từ điển mà x > y > z.
f = −5x4 + 5x3 y 2 z 2 + xyz − 2y 6 z + 7yz 3 + z 4 và in≤lex (f ) = −5x4 .
• Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z.
f = 5x3 y 2 z 2 − 2y 6 z − 5x4 + 7yz 3 + z 4 + xyz và in≤glex (f ) = 5x3 y 2 z 2 .
• Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z.
f = −2y 6 z + 5x3 y 2 z 2 − 5x4 + 7yz 3 + z 4 + xyz và in≤rlex (f ) = −2y 6 z.
Bổ đề 1.4.8. Cho f, g ∈ R và m ∈ M . Khi đó:
(i) in(f g) = in(f )in(g).
(ii) in(mf )= m in(f ).
(iii) lm(f + g) ≤ max{lm(f ), lm(g)}. Dấu < xảy ra khi và chỉ khi
in(f ) = −in(g).
Chú ý. Bất đẳng thức ở khẳng định (iii) ở trên cũng thường được viết
dưới dạng:
in(f + g) ≤ max{in(f ), in(g)},
23


trong đó khi lm(f ) = lm(g) thì max{in(f ), in(g) } được biểu diễn như
α lm(f ) với 0 = α ∈ K nào đó.
Định nghĩa 1.4.9. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ. Iđêan
khởi đầu của I, kí hiệu là in≤ (I), là iđêan của R sinh bởi các từ đầu
của các phần tử của I, nghĩa là in≤ (I) = (in≤ (f ) | f ∈ I).
Ta có thể thay in(I) thay cho in≤ (f ) nếu ≤ đã rõ.
Ta cũng có in(I) =(lm(f ) | f ∈ I), nên in(I) là một iđêan đơn thức.
Bổ đề 1.4.10. Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Khi
đó:
(i) Tập tất cả các đơn thức trong in(I) là tập {lm(f ) | f ∈ I}.
(ii) Nếu I là iđêan đơn thức thì in(I) = I.
(iii) Nếu I ⊆ J thì in(I) ⊆ in(J). Hơn nữa nếu I ⊆ J và in(I) =in(J)
thì I = J.

(iv) in(I)in(J)⊆ in(IJ).
(v) in(I) + in (J)⊆ in(I + J).
Định nghĩa 1.4.11. Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của I.
Tập hữu hạn các đa thức khác không g1 , ..., gs ∈ I được gọi là một cơ sở
Gr¨
obner của I đối với thứ tự từ ≤, nếu in≤ (I) = (in≤ (g1 ), ...,in≤ (gs )).
Tập g1 , ..., gs ∈ I được gọi là một cơ sở Gr¨obner, nếu nó là cơ sở Gr¨obner
của iđêan sinh bởi chính các phần tử này.
Bổ đề 1.4.12. Cho G là một cơ sở Gr¨obner của iđêan I đối với một
thứ thự từ nào đó. Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g ∈ G
sao cho in(g )|in(g), thì G\{g} cũng là một cơ sở Gr¨obner của I.
24


Bổ đề 1.4.13. Cho I là một iđêan tùy ý của R. Nếu g1 , ..., gn là cơ sở
Gr¨obner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1 , ..., gn là cơ sở của
I.
Nhận xét. Việc xác định iđêan khởi đầu tương đương với việc tìm một
cơ sở Gr¨obner của I (đối với một thứ tự nào đó).
Với một cơ sở đã cho của I có thể là cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từ
này nhưng không phải cơ sở Gr¨obner đối với thứ tự từ khác.
Ví dụ.
• Cho I là iđêan của vành K[x]. Ta biết rằng trên vành này chỉ có
một thứ tự từ (theo bậc), theo Hệ quả 1.3.8 ta có I = (f ), với
f ∈ K[x]. Từ Bổ đề 1.4.8 (i), suy ra in(I) =(in(f )).
• Cho I = (xy 3 , y 5 ) ⊆ K[x, y] và f1 = xy 3 , f2 = xy 3 − y 5 . Cho x > y.
Khi đó in≤lex (f1 ) = in≤lex (f2 ) = xy 3 , nên {f1 , f2 } không là cơ sở
Gr¨obner của I đối với ≤lex , vì in≤lex (I) = I.
Ta thấy in≤glex (f1 ) = in≤rlex (f1 ) = xy 3 , in≤glex (f2 ) =in≤rlex (f2 ) =
y5

và in≤glex (I) = in≤rlex (I) = I nên f1 , f2 là cơ sở Gr¨obner của I đối
với thứ tự từ điển phân bậc và thứ tự từ điển ngược.
• Cho I = (f1 , f2 ) ⊆ K[x, y], trong đó f1 = x4 − 2x2 y và f2 =
x3 y − 2y 2 x + x2 .
Xét theo thứ tự từ điển phân bậc hoặc từ điển ngược.
Khi đó in(f1 ) = x4 , in(f2 ) = x3 y. Tuy nhiên x3 = xf2 − yf1 ∈ I và
in(x3 ) = x3 ∈
/ (x4 , x3 y) nên (f1 , f2 ) không là cơ sở Gr¨obner của I
25