Bài tập 2 - Trang 89 - SGK Hình học 12

2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu
vuông góc của đường thẳng d trên các trục.
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường

thẳng d:
lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) (Oxy) ;
b) (Oyz).
Hướng dẫn giải:
a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P) ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của
d lên mặt phẳng (Oxy).

Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ; vectơ
(Oxy), khi đó

và

(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của

( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).

= (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0
hay 2x - y - 7 = 0.
Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:

Điểm M0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương
với

, vậy có thể lấy

của ∆ vuông góc với
= (1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:

và vuông góc


.
Chú ý :
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:
Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai
điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.
Chẳng hạn lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của
M1 trên (Oxy) là N1 (2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oxy) là N2(0 ; -7 ; 0).
Đườn thẳng ∆ qua N1, N2 chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oxy).

Ta có :

(-2 ; -4 ; 0) //

(1 ; 2 ; 0).

Phương trình tham số của ∆ có dạng:

.
b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.
lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của
M1 trên (Oxy) là M'1 (0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oyz) là chính nó.

Đườn thẳng ∆ qua M'1, M2 chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).

Ta có:

(0 ; -4 ; -6) //

(0 ; 2 ; 3).

Phương trình M'1M2 có dạng:

.

>>>>> Luyện thi ĐH-THPT Quốc Gia 2016 bám sát cấu trúc Bộ GD&ĐT bởi các Thầy Cô uy tín,
nổi tiếng đến từ các trung tâm Luyện thi ĐH hàng đầu Hà Nội, các Trường THPT Chuyên và Trường Đại
học.