Phương pháp tọa độ trong việc giải các bài toán đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====

NG

TH TH

I N

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
C

Đ

HÀ NỘI - 2015


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====

NG

TH TH

I N

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
C

Đ
N ườ
TS NGU

HÀ NỘI - 2015

ướng dẫn khoa học
N TH

I U NGA



ỜI CẢ

ƠN

Sau
– TS N

T

N
N

N

–

,

,

05 ăm 2015
Sinh viên

Ng T

T

T


ỜI CA

ĐOAN
,

cô

,
,

Tôi

05 ăm 2015
Sinh viên

N

T

T


C

C

........................................................................................................... 1
........................................................................................... 1
..................................................................................... 1
.................................................................................... 1
............................................................................... 1
......................................................... 2
1.1. M t phẳng t
1.1.1. Tr c t

........................................................................................ 2
.............................................................................................. 2

1.1.2. H tr c t

......................................................................................... 2

1.1.3. T

c

i v i h tr c t

.................................................. 2

1.1.4. T

c

i v i h tr c t

.................................................. 2

ẳ

.......................................................... 3

................................................................ 3
..................................................................... 3
......................................................................................... 3
......................................................................................... 3
1.2.3. Nhân v

.................................................................... 3
...................................................................... 4

1.4. Các b

ẳng th c hình h c ........................................................................ 4

1.4.1. B

ẳng th

1.4.2. B

ẳng th c tam giác ............................................................................ 5

................................................................................. 5

............................................................................ 5
ẳ

................................................ 5

........................................................................ 5
................................................................................. 5
ẳ

.......................................................... 6


............................................................................. 6
.............................................................................................. 6
ẳ
ẳ

TO

.................................... 6
....................................... 6

................................................................................................. 7
ẳ

..................................... 7

........................................................................................ 7
ẳ

................................. 7
,

............................................................................................... 19
,

......................................... 19
,

........................................................................................ 22
,
........................................................................... 35
.................. 42
..................... 45
..................................................................................................... 51
............................................................................... 52

Ở ĐẦU
ọ

1.

,

,

ta

:

2.
,

,

3. Nh

.
4. P ư
,

,

,

1


IẾN THỨC CHUẨN B

CHƯƠNG 1.
ặ

1.1.

ẳ

ọ

ọ

ộ

1.1.1. Tr

ộ

a. Khái ni m tr c t
Tr c t

(còn g i là tr c, hay tr c s ) là m

nh m

m O và m

i g

ng thẳ

dài b ng 1.

i
c a tr c t

m O g i là g c t

,

.

Kí hi u:  O; i 
b. T

c

m trên tr c

u n m trên tr c  O; i  .



g i là t

u

c

u  ai . S a

a

i v i tr c  O; i  .

m M n m trên tr c  O; i 



OM = m. i . S

1.1.2. H

r

g i là t
ọ

i v i tr c  O; i 

c

ộ

 O; i  và O; j  vuông góc v
Ký hi u: Oxy hay  O; i, j  .



Hai tr c t



Khi m t phẳ

(

t phẳng t
1.1.3. Tọ

ộ ủ

i nhau g i là h tr c t

n) 1 h tr c t

.

ta s g i m t phẳng

.
e

ớ

O; i, j  , n u

i v i h tr c t

r

ọ

ộ

a  xi  y j thì  x, y 

c g i là t

c a a . Kí hi u: a   x, y  hay a   x; y  .
1.1.4. Tọ

ộ ủ

Trong m t phẳng t

ể

ớ
Oxy, t

r

ọ
c

2

ộ
OM

c g i là t

c a


m M.
1.1.5. Tọ

ộ r

ể

ủ

Trong m t phẳng t

ẳ

B  xB ; yB  . Khi

A  xA ; y A 

A, B

Oxy c

M  xM ; yM 

AB

x A  xB

x

 M
2

 y  y A  yB
 M
2
1.1.6. Tọ

ộ rọ

ủ

A  xA ; y A  ,

ABC

Trong m t phẳng t

B  xB ; yB  , C  xC ; yC 

G  xG ; yG 

ABC

x A  xB  xC

x

 G
3

 y  y A  yB  yC
 G
3
r

1.2. C
1.2.1. T

e

e
u

AC

i
u

1.2.2. H

,

A

v
u

v.

v

uv

AB  u

AC  v

AC  u  v .

e
u

Ch

v

u

v

 

u  v .

u  v.

1.2.3. N
k 0

e

ớ

ộ
u0

u
3

k

,


ku ,

k  0,

u

u

u k 0

k .u.
1.3. T

ướ

ủ

e



u

v

0

u.v

u, v

 

u.v  u . v .cos u, v .


T

u, v, w

k

i. u.v  v.u





ii. u. v  w  u.v  u.w

 

   

iii. ku v  k u.v  u. kv
2

2

iv. u  0 , u  0  u  0 .

ẳ

u.v = u1v1  u2v2 .

u.v
1.4. C

bấ

u  u1; u2  , v  v1 ; v2 

(O; i , j ),

ẳ

ì



ọ

ẳ

" A  B ", " A  B ",
" A  B ", " A  B "

ẳ



ẳ
i.

ab

ii.

ab

iii.

b  c suy ra a  c

c0

ac bc
ab

ac  bc
4


c0

iv.
1.4.1. Bấ

a  b khi

ẳ

e

a

a)

ac  bc

a.

a

u  v  uv  u  v

b)  u . v  u.v  u . v
u1 , u2 ,..., un

c)

u1  u2  ...  un  u1  u2  .... un .
1.4.2. Bấ


V

ẳ

c tam giác

m A, B, C b t kì ta luôn có

a) AB + BC  AC
ẳng th c x y ra khi và ch khi B n

nt ẳ

AC.

ẳ

AC.

b) | AC  AB |  BC
ẳng th c x y ra khi và ch khi C n


n

A1 , A2 ,......., An

A1 An  A1 A2  A2 A3  .....  An1 An .
1.5. P ư

rì

1.5.1. P ư

ườ

rì

ủ

ườ

ẳ

ẳ

1.5.2. P ư

rì

ườ

ax  by  c  0  a 2  b2  0  .

r
tâm I  a; b  ,

 x  a   y  b
2

1.6. P ư

rì

ặ

5

2

 R2

R:

1.6.1. P ư

rì

ặ

ẳ

ax  by  cz  d  0  a 2  b2  c2  0  .
1.6.2. P ư

rì

ặ

I  a; b; c  ,

 x  a   y  b   z  c 
2

2

2

R:

 R2

1.7.

ộ

1.7.1.
ẳ

a

2

ộ

ườ

ẳ

ax  by  c  0



ẳ

Oxy

 b2  0 

ẳ

ể

M 0  x0 ; y0 

M0

d  M0 ,  ,



d  M0 ,  

ộ

1.7.2.

Trong không gian Oxyz

ax0  by0  c
2

a

ộ

ặ

a b
2

ể

2

 b2  0 
ẳ

M 0  x0 ; y0 ; Z0 

Ax  By  Cz  D  0  A2  B 2  C 2  0 

M0

ẳ

 P

d  M 0 ,  P  

d  M 0 ,  P  ,

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

6

A

2

 B2  C 2  0

ẳ

 P


CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG VIỆC GIẢI
CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
,
P ư

ọ

ộ r

b

bấ

ẳ

ẳ

,

ẳ

ẳ
ẳ

2.1.1. C

ở

u  0

v  0

u  kv  k  0 

u  v  uv ,

u  kv  k  0  .

u.v  u . v ,
2.1.2. P ư
B

ọ

ộ r

b

bấ

a2  a  1  a2  a  1  2

1:

2
1  3


a  a  1   a    

2   2 


2

2

2
1  3

a  a  1   a    

2   2 


2

2

7

ẳ

a

.


1 3
u  a  ;
,
2 2 


1
3
v   a;
.
2 
2





u  v 1; 3 .

u  v  uv .
Suy ra

a 2  a  1  a 2  a  1  2.

1
2  1  a  0.
1
a

2

a

B

a 2  6a  4b2  9  a2  4b2  2a  12b  10  5 .

2:
ẳ

 a  3   2b 
2

2



1  a    3  2b 
2

2

 5.

u  a  3; 2b  , v 1  a;3  2b  .

 a  3   2b 

uv=

2

2



1  a    3  2b 
2

2

.

u  v  uv .
Suy ra

 a  3   2b 
2

2



1  a    3  2b 
2

2

 5.

a3
2b

1  a 3  2b
hay 3a  8b  9  0
.
B

3:
a 2  ab  b2  b2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3  a  b  c  .

8


2
b  3 

a  ab  b   a    
b
2   2 

2

2

2

2
c  3 


2
2
b  bc  c   b    
c
2   2 

2
a  3 

c  ca  a   c    
a
2   2 

2

2

2

2


b 3 
u  a  ;
b  ,
2
2




c 3 


v  b  ;
c  , w  c  a ; 3 a  .

2 2 
2 2 



3

3
u  v  w   a  b  c  ,
 a  b  c   .
2
2

u  v  w  u  v  w suy ra

a 2  ab  b2  b2  bc  c 2  c 2  ca  a 2  3  a  b  c 

B

a, b

4:

4cos2 a cos2 b  sin 2  a  b   4sin 2 a sin 2 b  sin 2  a  b   2

ẳ

 2cos a cos b 

2

 sin 2  a  b  

 2sin a sin b 

2

 sin 2  a  b   2 .

u  2cos a cos b;sin  a  b   , v  2sin a sin b;sin  a  b   .

Khi
uv

2
2
 2cos a cos b   sin 2  a  b    2sin a sin b   sin 2  a  b  u  v  2 .

u  v  uv

9

Suy ra
2
2
 2cos a cos b  sin 2  a  b    2sin a sin b   sin 2  a  b   2

cos a cos b sin  x  y 

sin a sin b sin  x  y 

Hay cot x.cot y  1 .

B 5: Cho a1 , a2 ,...., an

b1 , b2 ,...., bn

2n

a12  b12  a22  b22  ...  an 2  bn 2   a1  a2  ...  an 2   b1  b2  ...  bn 2
t M1  a1; b1  , M 2  a1  a2 ; b1  b2  , M n  a1  a2  ...  an ;b1  b2  ... bn  .
OM1  a1; b1 
M1M 2  a2 ; b2 

………
M n1M n  an ; bn 

OM 1 + M1M 2 + … + M n1M n = OM n

Suy ra OM n  a1  a2  ...  an ; b1  b2  ...  bn  .

OM n  OM1  M1M 2  ...  M n1M n  OM1  M1M 2  ...  M n1M n


 a1  a2  ...  an   b1  b2  ...  bn 
2

2

 a12  b12  a2 2  b2 2  ...  an 2  bn 2

hi: OM1 , M1M 2 ,..., M n1M n
Hay

a
a1 a2
  ...  n
b1 b2
bn

10


i ch ng minh.
B

6: Cho a, b, c  0

ab  bc  ca  abc.

g

b 2  2a 2
c 2  2b2
a 2  2c 2


 3.
ab
bc
ca

ẳ
1 2
1 2
1 2
 2  2  2  2  2 3
2
a b
b c
c a

1 2
u  ;
 ,
a b 

1 2 
1 2 
v  ;


 , w  ;
c a 
b c 

1 1 1
 1 1 1 
u  v  w     ; 2       1; 2 (
 a b c 
a b c



u  v  w  u  v  w suy ra
1 2
1 2
1 2
 2  2  2  2  2 3
2
a b
b c
c a

B

ac

7: Cho a, b, c  0,

b  c.

c  a  c   c  b  c   ab .

:
u



 

a  c; c , v



c; b  c .

u.v  c  a  c   c  b  c 
u.v  u . v
Suy ra

c  a  c   c  b  c   ab .

11



1 1 1
   1)
a b c

ac
c

(do c  0, a  c  0, b  c  0)
c
bc


B

 a  c  b  c   c2

 ab  c  a  b  

1 1 1
  .
a b c

a 2  ab  b 2  3
 2
2
b  bc  c  16

8:

ab  bc  ca  8.


a 3   3
c

u  b  ;
a  , v 
c
;
b

 .
 2
2
2
2

 

2

a 3 2

 u   b    b  a 2  ab  b 2  3
2 4



2

3 2 
c
c   b    b 2  bc  c 2  4
v 
4

2



u.v 

T

3
 ab  bc  ca 
2

u.v 4 3

u.v  u . v

Suy ra ab  bc  ca  8
B

a, b, c

9:

abc  a  b  c   a 4  b4  c 4

ẳ

(*)

a2bc  ab2c  abc2

(*)

u  ab; bc; ca  , v  ca; ab; bc 

12


u  a 2b 2  b 2 c 2  c 2 a 2
v  c 2 a 2  a 2b 2  b 2 c 2

u.v  a 2bc  ab2c  abc 2
u.v  u . v

 abc  a  b  c   a 2b2  b2c 2  c 2 a 2

(1)

x  a 2 ; b2 ; c 2  ; y  b2 ; c 2 ; a 2 

x  a 4  b4  c 4
y  b4  c 4  a 4

x. y  x . y  a2b2  b2c2  c2 a2  a4  b4  c4

( )

(2)

abc  a  b  c   a 4  b4  c4

( )

a 2  kb 2
 2
2
b  kc  a  b  c.
c 2  ka 2

.
B

10:

Cho

abc  2;

ax  by  cz  6.

16a 2  a 2 x2  16b2  b2 y 2  16c 2  c 2 z 2  10

Tro

ẳ

Oxy

A  4a; ax  , B  4b; by  , C  4c; cz 

OA  OB  OC   4a  4b  4c; ax  by  cz   8;6 
 OA  OB  OC  10.

13


OA  OB  OC  OA  OB  OC
 10  16a  a x  16b  b y  16c  c z
2

2

2

2

2

2

2

2 2

OA, OB, OC
i. Trong 3 vec

OA, OB, OC

0

 4a  0
OA  0  
ax  0

OC  OB  OB  OC  OC  kOB  k  0 

4c  4kb
c  kb
c  kb
 
 
4cz  4kby
cz  kby
z  y

 

abc  2  bc  2
b0

c0
k

c  kb
k  0  b, c

b  c  2

b, c  0

2
 1.
b

y  z
by  cz  6. Do 
 y  z 3
b  c  2
a  0

b  c  2
y  z  3


ii.

0

OA, OB, OC

a  b  0
c  2

OA  OB  0  

ax  by  cz  6  z  3

14

a  b  0

c  2
z  3

OA, OB, OC

iii.


OA  kOB


OB  mOC

B

0.

a  kb
x  y  z  3
a  kby


 m, k  0  b  mc  a  b  c  2

a, b, c  0

by  mcz

11: Cho a, b, c

a 2  ab  c 2  a 2  ac  c 2  b2  bc  c 2



b 3 
3
3 
b c 
c
b  , C   ;0  .
A  a  ;
b  , B  0;
2 
2 2 
2 2 
 2



b
3 
BA  a  ; 
c 
2
2



 c
3 
AC    a; 
b 
2
2


b c
3
3 
BC   ; 
c
b 
2
2
2
2



BA  AC  BA  AC  BC
2

2

2

b 3
2


c
 3
b c 3
  a    b2    a   c 2       c  b 
2 4

2
 4
2 2 4

 a 2  ab  b2  a 2  ac  c 2  b2  bc  c 2
15


BA , AC

Hay BA 

 b
 c

a  2  k   2  a 



 3
3
c
k AC  k  0    b  k

2
2

k  0



b  kc

 2a  b b  c




a


  ab  bc  cz  0.

2 2

 2
k  0

B

a, b, c

12: Cho b
a b

1  a 2 . 1  b2

ẳ

bc



1  b2 . 1  c 2

a c



(I)

1  a2 . 1  c2

()

a  b . 1  c 2  b  c . 1  a 2  a  c . 1  b2

1  c   b  c  1  a    a  c   ab  bc 



 a  b



 a  b   ac  bc 

2

2

2

2

2



2

2

 b  c  ba  ca 
2

2



2

 a  c   ab  bc 
2

A  a; bc  , B  b; ac  , C  c; ab  .

AB  BC  AC.
AC  AB  BC
AB  b  a; ac  bc  , BC  c  b; ab  ac 

AB , BC

16

2


b  a  k  c  b 
ac  bc  k  ab  ac 

Hay AB = k BC  k  0   

 ck  b  c   ka  b  c 

c  a
 k  c  a  b  c   0  
(
b  c

).
u

B

ma  nb  c

a, b, c, m, n

13:

 m  2    n  1
2

a 2  b2  0

T

2

a 2  b2



ẳ

Oxy

 2a  b  c 


2

ma  nb  c

I  2; 1 .

ax  by  c  0 ( a 2  b2  0 )
M  m; n 

ẳ

ma  nb  c (



I  2; 1



ẳ

d  I ,  =

2a  b  1  c 
a 2  b2

I


H

IM  d  I ,   nên  m  2    n  1
2

2

 2a  b  c 


M H.

17

a 2  b2

2

)


B

2
2
a  b  a
 2
2
c  d  0

14: Cho a, b, c, d

 a  c   b  d 
2

2

1
 2

2 2.

(II)

M  a; b  , N  c; d 
2

2

1 
1
1

a    b   
2 
2
2


1

1 1
I ; 
2 2

M
2

 1 1
K  ; 
 2 2

N

M*

IK

 a  c   b  d 
2

2

1 
1 1

c   d   
2 
2
2


 2



2
2

R

2

R

N * suy ra MN  M * N *

2 2

y
M*

1
-1

1

O

N*

x

-1

M  M*
18

N  N*

2
2