Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối không chuyên năm học 2003 2004 (vòng 1) tỉnh quảng bình (2)

kỳ thi chọn học sinh giỏi

sở giáo dục và đào tạo

tỉnh
Môn : TOáN - lớp 11 thpt (vòng

quảng bình

1)

Năm học : 2003 - 2004

đề chính thức
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao
đề)

Bài 1 (2,0 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Chứng minh rằng :
tg2A + tg2B + tg2C 9
Bài 2 (2,0 điểm):
Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số
f(x) = 4x x 2 + x m luôn luôn nhỏ hơn 5 ?
Bài 3 (2,0 điểm): Tìm tất cả các nghiệm nguyên dơng (x; y) của phơng trình :
2(x + y) + xy = x2 + y2
Bài 4 (2,0 điểm): Cho dãy số (un) thoả mãn các điều kiện :

0 < u n < 1


1
u

(1

u
)
>
n
+
1
n

4

; n = 1, 2 ,

un ?
Tìm nlim

Bài 5 (2,0 điểm): Không sử dụng bảng số và máy tính, chứng minh rằng :

15 cos89 0
4sin 63 +
< 8
4sin 2 630
2

0

Họ và tên : ................................................................................
Số BD : .........................................................................................

sở gd-đt quảng bình

kỳ thi chọn học sinh giỏi

tỉnh
Môn : toán - lớp 11 THPT
Năm học : 2003 - 2004

(vòng 1)
Đề chính thức

đáp án, hớng dẫn chấm
yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Thí sinh giải cách khác đáp án nhng đúng vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo biểu điểm của từng bài. Trong bài làm của thí
sinh, yêu cầu phải trình bày đầy đủ, lập luận chặt chẽ, lô gíc.
* Nếu thí sinh giải sai bớc trớc thì cho điểm 0 đối với các bớc giải sau có liên quan
trong lời giải của từng bài.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm, những điểm
thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25
điểm.
* Điểm tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài là kết quả của thí sinh.
nội dung lời giải
điểm

Bài 1 ( 2,0 điểm) : Trớc hết ta chứng minh :
tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 3 3
Thật vậy, do A + B + C = nên : tg(A + B) = - tgC
0,25
tgAtgB

= tgC
1 tgAtgB

tgA + tgB + tgC =

tgAtgBtgC (1)

0,25
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng tgA, tgB, tgC :
tgA + tgB + tgC 33 tgAtgBtgC (2)
0,25
Từ (1) và (2) suy ra : tgAtgBtgC 3 3 tgAtgBtgC

0,25
0,25

( tgAtgBtgC) 2

27



tgAtgBtgC 3 3

Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : tgA = tgB = tgC A = B = C
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dơng tg 2 A, tg 2 B, tg 2 C :


tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C

33 tg 2 Atg 2 Btg 2 C

( )

33 3 3

0,5

2

= 9

Dấu đẳng thức xãy ra khi và khi : A = B = C , tức là khi tam giác ABC là
tam giác đều.
0,25
Bài 2 ( 2,0 điểm) : Ta có : maxf(x) < 5 f(x) < 5 , x
0,25
Tức là : 4x - x2 + x m < 5 , x x m < x2 - 4x + 5 , x (1)
0,25
Nhận xét : x2 - 4x + 5 = (x - 2)2 +1 > 0 , x . Do đó :

(1)
0,5

x 2 5x + 5 + m > 0 , x
2
x 3x + 5 - m > 0 , x

1 = 25 4(5 + m) < 0

2 = 9 4(5 m) < 0



5

m
>

4

m < 11

4

0,5

0,5



=

Phơng trình (1) trở thành :
0,25

5
11
< m <
4
4

Bài 3 ( 2,0 điểm) : Phơng trình đã cho trở thành :
(x - y)2 - 2(x + y) + xy = 0
0,25
u+v

x
=

x + y = u
2

(2)
Đặt :
u

v
x y = v
y =

2
0,25
Đồng thời : xy

(1)

u 2 v2
4
v

2

u 2 v2
2u +
= 0
4


3v 2 8u + u 2 = 0

u = 4 16 3v 2

(3)

0,25
Điều kiện :

16 - 3v 2 0

v

4 3

3

( 4)

0,25
Mặt khác, ta cần giá trị của u = x + y nguyên nên 16 - 3v2 phải là số chính
phơng. Từ điều kiện (4), suy ra : Số 16 - 3v2 là số chính phơng khi :
v = - 2 hoặc v = 0 hoặc v = 2 .
(5)
0,25
Lần lợt thay các giá trị của v từ (5) vào (3) , ta có các cặp giá trị (u; v) là :
(0; 0) , (8; 0) , (6; 2) , (2; 2) , (6; - 2) và (2; - 2)
(6)
0,25
Thay các cặp giá trị (u; v) vào (2), ta có tất cả các nghiệm nguyên của phơng
trình đã cho là : (0; 0) , (4; 4) , (4; 2) , (2; 0) , (2; 4) và (0; 2).
Do đó : Tất cả các nghiệm nguyên dơng của phơng trình đã cho là :
(4; 4) , (4; 2) và (2; 4)
0,25
Bài 4 ( 2,0 điểm) :
áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng (1 - un) và un+1 , ta có :

1 u n + u n +1 2 (1 u n )u n +1 > 2 ì

1
=1
2

0,5
Do đó : un+1 > un , n N .

0,25
Suy ra dãy số (un) đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 1. Vì vậy, tồn tại giới hạn
lim u n = a , với 0 < a < 1 .
n

0,25

a(1 a)

Từ giả thiết, qua giới hạn ta có :
0,25
2

0,25

1

a 0
2

2

0,25

1
1

a = 0 a =
2
2

Do đó : limu n =
n

0,25

1
2

1
4




Bài 5 ( 2,0 điểm) : Nhận xét : cos890 > 0 nên :
15 cos89 0
15
2
0
2
0
4sin 63 +
<
4sin
63
+
4sin 2 630
4sin 2 63 0
0,25

Ta sẽ chứng minh :
15
4sin 2 630 +
< 8
(1)
4sin 2 630
0,25
Đặt : 4sin 2 630 = t > 0 . Khi đó (1) trở thành :
t2 - 8t + 15 < 0 3 < t < 5 . Hay : 3 < 4sin 2 630 < 5 ( 2)
0,25
3
Nhận thấy : sin630 > sin600 > 0 . Do đó : sin 2 630 > sin 2 60 0 =
4
2
0
4sin 63 > 3
(3)
0,5
Mặt khác : sin630 < sin900 . Do đó : 4sin 2 630 < 4sin 2 90 0 = 4
( 4)
0,5
Từ (3) và (4) chứng tỏ bất đẳng thức (2) đúng ! Suy ra bất đẳng thức (1) cũng
đúng (đ. p. c. m).
0,25