Download đề thi và đáp án thi học sinh giỏi lớp 11 môn toán khối không chuyên năm học 2005 2006 tỉnh quảng bình

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11

sở gd-đt quảng bình

Năm học : 2005 - 2006
Môn : Toán (không chuyên)

đề chính thức

Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Giải phơng trình

2006

x 2004 + 2006 2005 x = 1

x
+ x
4
( x 0)
2 n x
tg
+1
4

xtg 2 n

Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Tìm nlim
+

Câu 3 ( 2,5 điểm ) : Cho dãy số (un) xác định nh sau:
u1 = 0 ; u 2 = 1 ; u3 = 3

u n = 7u n1 11u n 2 + 5u n3 ;
Tìm số hạng tổng quát un ?

n N , n 4

Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Trong không gian cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB không cùng
thuộc một mặt phẳng nào. Tìm điểm M trên d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.


sở gd-đt quảng bình

đáp án môn toán (không chuyên)

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 11
Năm học : 2005 - 2006
đề chính thức

Câu 1(2,5 điểm):
Đặt: u = 2006 x 2004 0 , v = 2006 2005 x 0. Ta có:
u + v = 1
2006
+ v 2006 = 1
u

2005

2005

Suy ra: u(1- u ) + v(1 - v ) = 0 (1)
Do u 0, v 0 và u + v = 1 nên: 0 u, v 1
Suy ra: 0 u2005, v2005 1.
u (1 u 2005 ) = 0

(1)

v (1 v 2005 ) = 0
u = 0 u = 1

v = 0 v = 1

0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25

(2)
u = 0 v = 1

Do u + v = 1 nên (2)
u = 1 v = 0
x = 2004 x = 2005.

0,25
0,25
0,25

------------

Câu 2(2,5 điểm):

x
+ x
4
( x 0)
2 n x
tg
+1
4

xtg 2 n
Đặt f(x) = lim

n +

x
x

x

+ k <

< + k
4
4
4
i) 0 tg 4 < 1

- 1 < tg 4 < 1
,k Z
- 1 + 4k < x < 1 + 4k, k Z.
Nhng x 0 nên: - 1 + 4k < x < 1 + 4k, k N*
x
Khi đó: lim tg 2 n = 0. Suy ra : f(x) = x
4
x = 1 + 4k , k Z
x
x
x
ii) tg 2 = 1 tg
= 1 tg
=-1
4
4
4
x = 1 + 4l , l Z
*
Nhng x 0 nên : x = -1 + 4l, l N hoặc x = 1 + 4k, k N*
1
Khi đó hiển nhiên f(x) = ( x + x )
2
x
x
x

iii) tg2 4 > 1
tg 4 < - 1 hoặc tg 4 > 1

2

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25
0,25


πx
π
 π
−
+
k
π
<
<
−
+ kπ , k ∈ Z .
 2
4
4
⇔
 π + lπ < πx < π + lπ , l ∈ Z
 4

4
2
 − 2 + 4 k < x < −1 + 4 k , k ∈ Z
⇔
1 + 4l < x < 2 + 4l , l ∈ Z

x
1
 1
−
+
k
<
<
−
+ k, k ∈ Z.
 2
4
4
⇔
 1 + l < x < 1 + l, l ∈ Z
 4
4 2

0,25

 − 2 + 4 k < x < −1 + 4 k , k ∈ N *
⇔
≥
Nhng x 0 nªn


1 + 4l < x < 2 + 4l , l ∈ N
πx
Khi ®ã: lim tg 2 n
= + ∞ nªn: f(x) = x
4

0,25
0,25
------------

C©u 3(2,5 ®iÓm):

Ta cã : un - un - 1 = 6(un - 1 - un - 2 ) - 5(un - 2 - un - 3 ) , n ≥ 4 .
§Æt xn = un - un - 1 , n ≥ 2.
Suy ra: xn = 6xn - 1 - 5xn - 2 , n ≥ 3
⇔ xn - xn - 1 = 5(xn - 1 - xn - 2) =
= 52(xn - 2 - xn - 3) = 53(xn - 3 - xn - 4) =...= 5n - 3(x3 - x 2) =
= 5n - 3[(u3 - u 2) - (u2 - u 1)] =5n - 3
⇒
x3 - x2 = 1
x4 - x 3 = 5
x 5 - x 4 = 52
..................
x n - x n - 1 = 5n - 3
⇒ xn - x2 = 1 + 5 + 52 +....+ 5n - 3 =

5 n−2 − 1
,n ≥ 3
4

0,25
0,5
0,5

0,5

x2 = 1
⇒ xn = 1 +

5 n−2 − 1 5 n−2 3
=
+
4
4
4

0,25

Suy ra: u2 - u1 = x2 = 1
5
3
+
4
4
2
3
5
u4 - u3 = x4 =
+

4
4

u3 - u2 = x3 =

................................
un - un - 1 = xn =

5 n−2 3
+
4
4

1
3
( 5 + 52 + ...+ 5n - 2) + (n - 2) =
4
4
n−2
n−2
3
1 5(5 − 1)
1 5(5 − 1) 3n − 2
= .
+ 1 + (n - 2) = .
+
( n ≥ 4)
4
4
4

4
4
4

Do ®ã: un = 1 +

C©u 4(2,5 ®iÓm):

Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng ®i qua A vµ vu«ng gãc víi (d). Gäi giao ®iÓm cña ( d) vµ
(P) lµ O. XÐt ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OA, ký hiÖu (O, OA). Gäi B' lµ h×nh

0,25
0,25


chiếu vuông góc của B trên (P). Đờng thẳng qua O và B' cắt (O, OA) tại A' và
A" sao cho A" và B' cùng phía đối với O.
Khi đó M d thì MA = MA' = MA".
MA + MB bé nhất khi chỉ khi MA' + MB bé nhất (1)
A', B và (d) cùng thuộc một mặt phẳng. A' và B khác phía đối với (d).
Từ một bài toán quen thuộc suy ra M là giao điểm của (d) và đờng thẳng A'B

0,5
0,5
0,5
0,5

Hình vẽ

0,5

(d)
B


O

M
A'

A'' B'

A
***Chú ý: Học sinh có thể giải theo các cách khác, nếu đúng cho điểm tối
đa.