PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài tập cảm ỨNG điện từ sử DỤNG TÍCH PHÂN và PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ SỬ DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
- Cơ sở khoa học của đề tài:
+ Cơ sở lí luận: Đề tài được thực hiện trên cơ sở lý luận và phương pháp luận
của chủ nghĩa Mác-Lênin, tư tưởng Hồ Chí Minh về giáo dục, các văn kiện Đại hội
Đảng.Vai trò và nhiệm vụ của giáo dục và đào tạo đã được thể hiện trong các văn
kiện của Đại hội Đảng: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu” phát triển giáo
dục là nhằm “nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân lực, đào tạo nhân tài”.
+ Cơ sở thực tiễn: Trong chương trình Vật lí chun phần điện từ học thường
được dạy vào đầu lớp 11, trước đó là từ trường, dịng điện khơng đổi, tĩnh điện, và
phần cơ học. Ở phần này, các bài toán thường xuất hiện trong các kì thi học sinh
giỏi vịng 2, chọn đội tuyển quốc gia, các kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia và
thường có sử dụng đến tích phân, phương trình vi phân – một cơng cụ tốn học rất
mạnh giúp giải các bài tập vật lí một cách ngắn gọn.
Nhưng trong thực tế, giáo viên khi dạy cho các em học sinh cịn gặp rất nhiều
khó khăn, phần vì kiến thức tốn học của học sinh lớp 11 về tích phân và phương
trình vi phân cịn hạn chế, phần vì nguồn tài liệu viết một cách căn bản cho vấn đề
nêu trên không nhiều.
Trước thực tế đó tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phương pháp giải
bài tập cảm ứng điện từ sử dụng tích phân và phương trình vi phân”
Với phương pháp dùng tích phân, phương trình vi phân, kết hợp với các định
luật điện từ và các kiến thức nền tảng của cơ học, sẽ giúp các em học sinh, nắm bắt
được các dạng bài tập khó trong phần cảm ứng điện từ và quan trọng hơn là nắm
bắt tốt và hiểu sâu sắc hơn về tích phân và phương trình vi phân, từ đó có thể vận
dụng sang các phần khác của Vật lí, và hy vọng rằng sẽ có ích đối với các đồng
nghiệp trong q trình dạy và ơn luyện đội tuyển học sinh giỏi.
- Mục đích của đề tài: Nhằm đề xuất một số phương pháp hướng dẫn học
sinh giải bài tập về cảm ứng điện từ, có sử dụng các phép tính tích phân và giải
phương trình vi phân, đồng thời trang bị cho bản thân tác giả những kiến thức cơ
bản trong công tác ôn luyện và bồi dưỡng học sinh giỏi

1


Nghiên cứu các vấn đề lí luận liên quan đến việc vận dụng toán cao cấp để
giải các bài tập vật lí nói chung và giải các bài tập về cảm ứng điện từ nói riêng,
giải thích được ngun nhân của thực trạng và đề xuất một số phương pháp dạy ôn
luyện học sinh giỏi.
-

Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Các bài tập vật lí đại cương, các tài
liệu ơn thi học sinh giỏi, phần cảm ứng điện từ, các phép tốn cao cấp
được áp dụng vào vật lí, thực hiện ở lớp chuyên lí 11.

2


PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng việc áp dụng tích phân và phương trình vi phân trong giải
bài tập Vật lí nói chung và giải các bài tập điện từ nói riêng của học sinh lớp
10 trường THPT Chuyên Thái Nguyên
1.1 Thuận lợi
Để học tốt chương trình Vật lí chun thì việc học sinh phải biết các phép
tốn đạo hàm, tích phân và giải phương trình vi phân là một việc bắt buộc. Chính
vì thế, các em khi mới bước vào lớp 10 thì đã bắt đầu được trang bị những kiến
thức toán học đầu tiên ( thời lượng khoảng 10 tiết ), đây là điều cực kì quan trọng
và cần thiết để các em có thể áp dụng các kiến thức toán vào giải các bài tập Vật lí
sau này.
Một số phần kiến thức tốn học khó các em học sinh cịn được các thầy cơ
dạy mơn chun tốn hướng dẫn trong suốt q trình 3 năm học chuyên lí. Đây
quả thực là một thuận lợi lớn đối với học sinh chun lí.

Với các kiến thức tốn học về đạo hàm, vi, tích phân thì học sinh ln gặp
phải nhiều bài tốn như chuyển động của vật chịu tác dụng của lực biến thiên,
chuyển động của vật có khối lượng thay đổi, giải các bài tốn chu trình biến đổi
của khí lí tưởng, giải bài tốn về phân bố mật độ phân tử khí, sự truyền của ánh
sáng trong mơi trường có chiết suất biến thiên… khi đó, trước khi dạy mỗi chun
đề các thầy cơ lại nhắc lại các kiến thức tốn học có liên quan.
1.2. Khó khăn
Thực chất việc trang bị kiến thức tốn học cho các em học sinh ngay từ lớp 10
là điều hết sức cần thiết và quan trọng, tuy nhiên chỉ có số ít các em có thể nắm bắt
được các kiến thức đó một các có hệ thống và bài bản. Phần lớn các em vẫn chưa
biết được sau này các kiến thức đó sẽ được vận dụng vào đâu và vận dụng như thế
nào. Vì thế việc nhắc lại kiến thức toán liên quan trước khi dạy một chuyên đề mới
là cần thiết.
Phần toán học về đạo hàm, vi phân, tích phân nằm trong chương trình giải
tích cuối lớp 11 và lớp 12, nhưng ý nghĩa của các phép vi tích phân lại nằm trong
các hiện tượng Vật lí, vì vậy việc kết hợp tốn học và Vật lí để dạy cho học sinh
hiểu được phần này cũng có nhiều hạn chế.
3


Riêng với các bài toán về cảm ứng điện từ, các quá trình xảy ra như sự xuất
hiện suất điện động, chiều của dòng điện cảm ứng, sự đổi chiều của lực từ khi
dòng điện đổi chiều, sự biến thiên tuần hồn của các đại lượng… khơng thể quan
sát thấy được bằng mắt thường mà học sinh phải hình dung trong đầu thơng qua
các kết quả tốn học. Phần này gần giống như tư duy của một nhà vật lí lí thuyết,
nên các em vẫn cịn lúng túng và gặp nhiều khó khăn.
2. Cơ sở lí thuyết
2.1. Kiến thức tốn
Bảng tính đạo hàm của một số hàm số thường gặp
Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến

( C ) ′ = 0 , C là hằng số

x

( x) ′ = 1

(k.u)’ = k.u’ (k là hằng số)

( x ) ′ = α .x
α

( u ) ′ = α .u

α −1

α

1
 1 ′
 ÷ = − 2 với x ≠ 0
x
 x

( x )′ = 2 1x

với x > 0

C
 C ′

 ÷ = − 2 .u '
u
u

( u ) ′ = 2 1u .u ' ; ( C u ) ′ = 2Cu .u '

( cos x ) ′ = − sin x
1
= 1 + tan 2 x
2
cos x

( sin u ) ′ = cos u.u '
( cos u ) ′ = − sin u.u '

π
x ≠ + kπ
2

( cot x ) ′ = −

( tan u ) ′ =

1
= −(1 + cot 2 x) ;
2
sin x

( cot u ) ′ = −

x ≠ kπ

( e )′ = e
x

u'
= ( 1 + tan 2 u ) .u '
2
cos u
u'
= − ( 1 + cot 2 u ) .u '
2
sin u

( e ) ′ = e .u '

x

u

( a ) ′ = a .ln a
x

.u '

1
 1 ′
=
−
.u ' ;

 ÷
2
u
u
 

( sin x ) ′ = cos x

( tan x ) ′ =

α −1

u

( a ) ′ = a .ln a.u '

x

u

4

u


( ln x ) ′ = 1x

( ln u ) ′ = uu'

( log x ) ′ = x.ln1 a

( log u ) ′ = u.ln1 a .u '

a

a

Bảng tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• ∫ 0dx = C

ax
+ C (0 < a ≠ 1)
• ∫ a dx =
ln a
x

• ∫ dx = x + C
• ∫ xα dx =
•

• ∫ cos xdx = sin x + C

α +1

x
+ C , (α ≠ −1)
α +1

• ∫ sin xdx = − cos x + C

1

∫ xdx = ln x + C

•

x
x
• ∫ e dx = e + C

1

∫ cos

2

x

dx = tan x + C

1

∫ sin

dx = − cot x + C
x
Một số phương trình vi phân thường gặp
•

2

Khái niệm chung về phương trình vi phân
- Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm đến cấp n, thì phương trình vi phân là
một phương trình trong đó có thể chứa biến x, hàm số y và bắt buộc chứa đạo hàm
của hàm số theo biến x.

(

(
Dạng tổng quát F x, y, y ', y'',...., y

n)

) =0

- Giải phương trình vi phân là tìm dạng tường minh của hàm số y = f ( x )
- Trong Vật lí các phương trình vi phân thường gặp là các hàm số của tọa độ
phụ thuộc thời gian ví dụ như phương trình dao động điều hịa..., các hàm số của
dịng điện, hiệu điện thế, điện tích phụ thuộc thời gian ...
Một số dạng phương trình vi phân thường gặp
- Phương trình vi phân cấp 1 với biến số phân li
+ Dạng tổng quát: f1 ( x ) dx = f 2 ( y ) dy
Chú ý rằng ở vế trái chỉ chứa biến x và vi phân của nó, ở vế phải chỉ chứa
biến y và vi phân của nó
+ Phương pháp giải: Lấy tích phân hai vế theo hai biến độc lập x và y
- Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, khuyết y’
+ Dạng tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
5

y ''+ p ( x ) y '+ q ( x ) y = f ( x )
+ Trong Vật lí ta thường gặp những phương trình vi phân tuyến tính cấp 2
thuần nhất khuyết y’ ( f ( x ) = 0, y ' = 0 )
y ''+ q ( x ) y = 0
+ Cách giải: Việc giải PT dạng này khá phức tạp nên học sinh chỉ cần nhớ
dạng nghiệm tổng quát, tùy từng bài toán sẽ xác định được dạng nghiệm tường
minh
Nghiệm tổng quát: y = A cos ( ω x + ϕ )
2.2 Kiến thức vật lí
* Từ thơng
- Một khung dây dẫn phẳng diện tích S được đặt trong từ trường đều có cảm
ứng từ B, khung gồm N vịng dây thì từ thơng gửi qua khung được định nghĩa như
sau
rr
Φ = NBS cos α ; α = B, n

(

)

- Trong trường hợp khung được đặt trong từ trường không đều ( B biến thiên )
hoặc quay trong từ trường ( góc α biến thiên ) thì từ thơng cũng biến thiên theo
thời gian.
* Hiện tượng cảm ứng điện từ - Định luật Len-xơ về chiều dòng điện cảm
ứng - Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ
- Hiện tượng cảm ứng điện từ: Là hiện tượng xuất hiện một dòng điện cảm
ứng trong một mạch điện kín khi có sự biến thiên từ thơng qua mạch.
Chú ý rằng nếu mạch điện khơng kín thì trong mạch có xuất hiện một suất
điện động nhưng khơng có dịng điện
- Định luật Len-xơ về chiều dịng điện cảm ứng: Dịng điện cảm ứng có

chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại sự biến thiên từ thông
qua mạch ( hoặc chống lại nguyên nhân sinh ra nó )
- Định luật Fa-ra-đây về cảm ứng điện từ: Suất điện động cảm ứng xuất
hiện trong một mạch điện kín tỉ lệ với tốc độ biến thiên từ thông qua mạch
ec = −
6

dΦ
dt


* Lực từ tác dụng lên một đoạn dây dẫn mang dòng điện đặt trong từ
trường đều
- Phương : Lực từ tác dụng lên đoạn dịng điện có phương vng góc với
mặt phẳng chứa đoạn dịng điện và cảm ứng tại điểm khảo sát .
- Chiều lực từ : Tuân the quy tắc bàn tay trái
Quy tắc bàn tay trái : Đặt bàn tay trái duỗi thẳng để các đường cảm ứng từ
xuyên vào lòng bàn tay và chiều từ cổ tay đến ngón tay trùng với chiều dịng điện.
Khi đó ngón tay cái chỗi ra 90o sẽ chỉ chiều của lực từ tác dụng lên đoạn dây dẫn.
- Độ lớn (Định luật Am-pe). Lực từ tác dụng lên đoạn dịng điện cường độ I,
ur
có chiều dài l hợp với từ trường đều B một góc α
F = BIl sin α
B là độ lớn của cảm ứng từ . Trong hệ SI, đơn vị của cảm ứng từ là Tesla,
kí hiệu là T.
* Suất điện động cảm ứng trong một đoạn dây dẫn chuyển động
ec = Blv sin θ
* Hiện tượng tự cảm – Năng lượng từ trường của ống dây
Độ tự cảm: Φ = Li ( L là hệ số tự cảm của mạch – đơn vị là Henri (H) )
Suất điện động tự cảm: etc = − L

di
dt

Năng lượng từ trường của ống dây: W =

1 2
Li
2

3. Hệ thống bài tập
Phần này tác giả phân loại các bài tập thường gặp thành ba dạng bài toán,
trong mỗi dạng bài tốn đều có phần lời giải chi tiết và phân tích tỉ mỉ cách làm
nhằm giúp các em có thể hình dung một cách tổng quát cách làm của mỗi dạng bài
toán và áp dụng được thành thạo các phép tính vi tích phân và phương trình vi
phân
Phần cuối cùng là một số bài tập để học sinh vận dụng phương pháp đã học
được vào tự giải
Bài toán 1: Khung dây siêu dẫn chuyển động trong từ trường
Bài toán 2: Khung dây có điện trở chuyển động trong từ trường
7


Bài tốn 3: Suất điện động trong mạch kín trong trường hợp một phần
của mạch điện chuyển động trong từ trường
BÀI TOÁN 1: KHUNG DÂY SIÊU DẪN CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ
TRƯỜNG
BÀI 1
Một khung dây dẫn hình vng siêu dẫn, có khối lượng m và cạnh a nằm
trong mặt phẳng ngang trong một từ trường khơng đều, có giá trị cảm ứng từ biến

thiên theo quy luật:
 Bx = −α.x

 By = 0

 Bz = α.z + B0
( Xem hình vẽ 1 )

Hình 1
Cho độ tự cảm của khung dây là L. Tại thời điểm t = 0 thì tâm của khung dây
trùng với gốc tọa độ, và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ Ox, Oy,
dịng điện trong khung bằng khơng và nó được thả ra không vận tốc đầu.
Hỏi khung sẽ chuyển động như thế nào và ở đâu sau thời gian t kể từ lúc thả.
LỜI GIẢI
Sử dụng tính chất bảo tồn từ thơng đối với mạch điện siêu dẫn
* Ta đi chứng minh rằng đối với mạch điện siêu dẫn thì từ thơng tổng cộng đi
qua diện tích của mạch được bảo tồn:
Xét một vịng dây siêu dẫn đặt trong từ trường ngồi biến thiên  trong vịng
dây có một dịng điện cảm ứng, dòng điện này lại sinh ra một từ trường riêng. Vậy
từ thơng qua diện tích vịng dây là do hai từ trường tạo ra: từ trường ngoài và từ
trường của dòng điện cảm ứng.
Suất điện động cảm ứng trong vòng dây là: ec = −

8

dΦ
(1)
dt

Mặt khác áp dụng ĐL Ơm cho tồn mạch ta có: ec = i.R = 0 (2) ( Vì vịng dây
siêu dẫn nên R = 0 ).
dΦ
= 0 ⇔ Φ = const
dt

Từ (1) và (2) 

Kết luận: Từ thông qua diện tích vịng dây siêu dẫn được bảo tồn
* Xét trường hợp của bài toán: Tại một thời điểm t, từ thơng qua diện tích
khung dây được cho bởi từ thơng của từ trường ngồi và từ thơng do chính dòng
điện cảm ứng sinh ra:
Φ = a 2 Bz + Li = const (Các thành phần Bx và By luôn song song với mặt
phẳng của khung dây nên từ thông ứng với các thành phần này bằng không ). Xét
2
tại thời điêm ban đầu z = 0 và i = 0. Do vậy ta có Φ ( t = 0 ) = Bo a

Vậy theo tính chất bảo tồn từ thơng ta có: a 2 B0 + a 2α.z + Li = a 2 B0 hay:
−a 2α.z
(3)
a α.z + Li = 0 ⇔ i =
L
2

* Sau khi thiết lập được biểu thức của i, ta đi khảo sát chuyển động của khung
dây theo phương pháp động lực học, hoặc theo phương pháp năng lượng:
a) Xét theo phương pháp động lực học
* Các lực tác dụng lên các cạnh của khung: Hãy chú ý đến các thành phần của
 Bx = −α.x


từ trường  By = 0

 Bz = α.z + B0
Dễ thấy rằng thành phần Bz gây ra lực từ tác dụng lên các cạnh của khung dây
sẽ cân bằng nhau. Chỉ có thành phần Bx gây ra các lực từ tác dụng lên các cạnh
song song với trục Oy và lực từ này có phương thẳng đứng, lực tác dụng lên hai
cạnh này luôn cùng chiều.
2
Lực từ tổng hợp tác dụng lên khung dây có độ lớn F = 2a. αx .i = a α .i ( Vì

2 x = a và i > 0 )
PT chuyển động của vòng là: mz '' = −mg + a 2αi (4)
9


a 4α 2 
mgL 
Thế (3) vào (4) ta được: z ''+
 z + 4 2 ÷= 0
mL 
aα 
Phương trình này chứng tỏ chuyển động của khung là một dao động điều hịa
a 2α
với tần số góc ω =
mL
Nghiệm của pt này có dạng:
z+

mgL
= A cos ( ωt + ϕ )

a 4α 2

Tại t = 0 thì z = 0 và i = 0 từ đó ta thu được: ϕ = 0 và A =
Vậy pt dao động của khung là: z =

mgL
a 4α 2

mgL
a 2α

cos
ω
t
−
1

ω
=
( )  với
a 4α 2 
mL

b) Xét theo phương pháp năng lượng
Xét thanh dịch chuyển xuống dưới một đoạn dz ( dz < 0 ). Chú ý rằng lực từ
a 4α 2 z
tác dụng lên khung là F = 2a. αx .i = a α .i = −
> 0 hướng lên trên. Ta có độ
L
2

biến thiên cơ năng của khung bằng cơng của lực từ tác dụng
 F .dz = mgdz + mvdv , chia hai vế của phương trình trên cho dt ta được:
F = mg + mz ''
⇔−

a 4α 2 z
= mg + mz '' từ đó ta cũng đi tới phương trình vi phân:
L
a 4α 2 
mgL 
z ''+
 z + 4 2 ÷= 0
mL 
aα 

BÀI 2
Một khung dây hình chữ nhật siêu dẫn, có các cạnh là a và b, khối lượng m và
hệ số tự cảm L, chuyển động với vận tốc ban đầu v0 trong mặt phẳng của nó
hướng dọc theo chiều dài khung từ vùng khơng có từ trường vào một vùng có từ
trường đều B0 vng góc với mặt phẳng khung dây. Hãy mơ tả chuyển động của
khung như là hàm số của thời gian

10


LỜI GIẢI
Chọn gốc tọa độ tại điểm tiếp xúc giữa vùng có từ trường và vùng khơng có
từ trường, chiều dương hướng theo chiều chuyển động của khung. Chọn gốc thời
gian là lúc khung bắt đầu chuyển động vào vùng có từ trường.

Giả sử b > a  Khung hình chữ nhật sẽ chuyển động dọc theo cạnh b và
phương trình chuyển động của khung là:
m

dv
= − B0 aI (1)
dt

( Chú ý rằng ta bỏ qua tác dụng của trọng lực )
Trong đó I là dịng điện trong khung dây. Dịng điện I được cho bởi cơng thức
tính suất điện động trong khung:
L

dI
= B0 av (2)
dt

Chú ý rằng pt ( 2 ) cũng có thể được rút ra từ tính chất bảo tồn từ thơng với
khung dây siêu dẫn. Thật vậy: Từ thông ban đầu qua khung dây bằng không, do
vậy tại một thời điểm t, độ tăng từ thông do từ trường ngoài gây ra phải bằng độ
tăng từ thơng do dịng điện cảm ứng trong khung gây ra. Nghĩa là:
B0 a.( vdt ) = LdI ⇔ L

dI
= B0av
dt

Từ (1) ta rút ra: I =

−m dv

.
. Đạo hàm hai vế theo thời gian ta được:
B0 a dt

dI −m d 2v
=
.
. Thế biểu thức này vào pt (2) ta thu được pt vi phân với hàm
dt B0 a dt 2
vận tốc phụ thuộc thời gian:
d 2v ( B0 a )
+
v=0
dt 2
mL
2

Phương trình này chứng tỏ chuyên động của khung là một dao động điều hịa
với tần số góc ω =

B0 a
.
mL

Phương trình vận tốc là: v = A cos ( ωt + ϕ )
11


v = v0


Giải điều kiện ban đầu: 
ta thu được: A = v0 và ϕ = 0
dv
I
=
0
⇒
=
0

dt
 v = v0 cos

B0 a
t
mL

 Ba 
Ta có: dx = vdt = v0 cos  0 t ÷dt
 mL 
Lấy tích phân hai vế ta được phương trình chuyển động:
x

t

∫ dx = ∫ v

 B at 
cos  0 ÷dt
 mL 

⇔ x = v0

mL
 Ba 
sin  0 t ÷
B0 a
 mL 

0

0

0

BÀI 3
Một vịng nhẫn mỏng, siêu dẫn được
giữ ở phía trên một thanh nam châm đặt
thẳng đứng như hình vẽ 2. Trục của vòng
dây trùng với trục của thanh nam châm.
Từ trường xung quanh chiếc vịng có tính
đối xứng trụ và được mơ tả bởi hệ thức:

Hình 2

 Bz = B0 ( 1 − αz )

 Br = B0βr

Trong đó B0, α, β là những hằng số; z và r là tọa độ theo phương thăng đứng

và phương bán kính. Ở thời điểm ban đầu khơng có dịng điện trong chiếc vịng.
Khi được thả ra nó bắt đầu di chuyển xuống dưới và trục vẫn thẳng đứng. Từ các
dữ kiện bên dưới, hãy xác định xem sau đó vịng nhẫn chuyển động thế nào. Tính
cường độ dịng điện trong chiếc vòng
Dữ kiện:
- Đặc điêm của vòng: Khối lượng m = 50mg ; bán kính: r0 = 0,5cm ; độ tự cảm
L = 1,3.10−8 H
12


- Tọa độ ban đầu của tâm vòng nhẫn ( z = 0; r = 0 )
B0 = 0,01( T )

−1
- Các thông số của từ trường: α = 2 ( m )

β = 32 ( m −1 )

LỜI GIẢI
Từ thơng tổng cộng qua vịng nhẫn được gây bởi từ trường ngồi và từ trường
của dịng điện cảm ứng
Φ = Bz πr02 + LI = B0 ( 1 − αz ) πr02 + LI
Theo tính chất bảo tồn từ thơng đối với vịng dây siêu dẫn ta có: Φ = const
Tại thời điểm ban đầu: z = 0 và I = 0  Φ = B0 πr02
B0 πr02α
Từ đó ta rút ra biểu thức của dòng điện: I =
z
L
Ta đi phân tích lực tác dụng và viết phương trình động lực học cho chuyển
động của vòng nhẫn:

Lực tác dụng lên vòng nhẫn bao gồm lực từ và trọng lực, thành phần Bz gây
ra lực từ theo phương nằm ngang nhưng tổng lực từ do thành phần này gây ra luôn
bằng khơng ở mọi vị trí của vịng, thành phần Br gây ra lực từ tác dụng theo
phương thẳng đứng.
Nếu chọn trục Oz hướng lên thì biểu thức đại số của lực từ là
F = − Br I ( 2πr0 ) (Chú ý rằng I < 0 theo cách ta chọn trục Oz 0. Thay các biểu
thức của I và Br vào ta nhận được:
−2 B02 r04 π2αβ
F=
.z = − kz
L
Phương trình động lực học cho chuyển động của vịng:
−mg − kz = mz ''
Biến đổi pt này về dạng: z ''+

k
mg 
z +
÷= 0
m
k 

mg  k 
mg 

Thực hiện phép đổi biến số:  z +
÷''+  z +
÷= 0
k  m
k 


13


Phương trình vi phân này chứng tỏ chuyển động của vịng là một dao động
điều hịa với tần số góc ω =

k
m

Phương trình dao động có dạng: z = A cos ( ωt + ϕ ) −

mg
k

Từ các điều kiện ban đầu ta xác định được: ϕ = 0 và A =
Vậy phương trình dao động của vịng là: z =

mg
k

mg
[ cos ω t − 1]
k

Nhận xét: Tọa độ z luôn không dương, và lực từ luôn hướng lên, tại điểm cao
nhất của quỹ đạo z = 0 thì lực từ bằng khơng, và dịng điện I chỉ chạy theo một
chiều trong vòng nhẫn
Từ những dữ kiện đề cho ta xác định được: ω = 31,2 rad/s và A = 1 cm
Dịng điện trong mạch có biểu thức

B0 πr02 α mg
I=
( cos ωt − 1)
L
k
Dòng điện cực đại khi vòng ở vị trí thấp nhất và Imax = 39A
BÀI TỐN 2: KHUNG DÂY CÓ ĐIỆN TRỞ CHUYỂN ĐỘNG TRONG
TỪ TRƯỜNG
BÀI 4
Một lực F không đổi tác dụng vào một thanh kim loại khối lượng m, có thể
trượt trên hai thanh ray, đầu của các thanh ray được nối với điện trở R. Toàn bộ hệ
thống đặt nằm ngang, trong một vùng có từ trường đều, các đường sức hướng
thẳng đứng. Thanh được kéo từ trạng thái nghỉ. Giả thiết rằng thanh trượt không
ma sát và bỏ qua hệ số tự cảm của khung, điện trở của thanh và các thanh ray.
a) Xác định vận tốc của thanh là hàm số của thời gian.
b) Xác định dòng điện chạy qua điện trở R là hàm số của thời gian
LỜI GIẢI
a) Kết quả thanh chuyển động trong vùng có từ trường đều là có một suất điện
động cảm ứng xuất hiện trong thanh ec = Blv trong đó l là chiều dài của thanh và

14


v là vận tốc của nó. Do vậy một dịng điên chạy trong thanh có độ lớn I =

Blv
. Vì
R

vậy lực từ tác dụng lên thanh có độ lớn F = BIl lực này ngược hướng với hướng

chuyển động của thanh
Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh là
dv
B 2l 2
m =F−
v
dt
R
Giải pt vi phân bằng phương pháp phân li biến số. Biến đổi thành
−mR d  F B 2l 2   F B 2l 2 
v ÷=  −
v÷
 −
B 2l 2 dt  m mR   m mR 
 F B 2l 2 v 
d −
2 2
m mR ÷

 = − B l dt
Tương đương:
F B 2l 2 v
mR
−
m mR
 − B 2l 2t  
FR 
Lấy tích phân hai vế ta được: v = 2 2 1 − exp 
÷
Bl 

 mR  
b) Dòng điện chạy trong thanh dẫn là I =

Blv
R

 − B 2l 2 t  
F 
v = 1 − exp 
÷
Bl 
 mR  
BÀI 5
Một khung dây thép hình chữ nhật
có kích thước là l và w được thả ra từ
trạng thái nghỉ từ thời điểm t = 0 ở ngay
phía trên có từ trường B0 được cho như
hình vẽ 3.
Vịng dây có điện trở R, hệ số tự
cảm L và khối lượng m. Xét khung dây
trong suốt khoảng thời gian mà cạnh
trên của khung ở trong vùng khơng có
Hình 3

từ trường.
15


a) Giả sử rằng độ tự cảm của vịng có thể bỏ qua nhưng điện trở của vịng thì
khơng. Tìm biểu thức của dòng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian

b) Giả sử rằng điện trở của vịng có thể bỏ qua nhưng độ tự cảm thì khơng.
Tìm biểu thức của dịng điện và vận tốc của vòng như hàm số của thời gian
LỜI GIẢI
Nếu khung dây có điện trở R và độ tự cảm L thì trong khung có hai suất điện
động. Suất điện động sinh ra do cạnh dưới của khung chuyển động cắt các đường
sức từ, và suất điện động tự cảm trong khung do dòng điện biến thiên
Trong trường hợp này ta viết ĐL Ơm cho tồn mạch như sau:
Blv − L

dI
= IR (1)
dt

Phương trình động lực học: mg − BIl = m

dv
(2)
dt

a) Xét trường hợp bỏ qua độ từ cảm của vịng dây cịn điện trở của vịng
thì khơng thể bỏ qua
Ta viết lại pt (1): Blv = IR ⇒ I=

Blv
B 2l 2
dv
thế vào (2) ta được: mg −
v=m
R
R

dt

− Rm d 
B 2l 2 
B 2l 2
g
−
v
=
g
−
v
Biến đổi PT trên về dạng: 2 2 
÷
B l dt 
Rm 
Rm
Giải PT vi phân trên bằng phương pháp phân li biến số ta được:

B 2l 2 
dg −
v÷
2 2
Rm

 = − B l dt
B 2l 2
Rm
g−
v

Rm
 − B 2 l 2t  
mgR 
Lấy tích phân hai vế ta được kết quả: v = 2 2 1 − exp 
÷
Bl 
 Rm  
 − B 2l 2t  
Blv mg 
=
Cường độ dòng điện trong khung cho bởi: I=
1 − exp 
÷
R
Bl 
 Rm  
b) Xét trường hợp bỏ qua điện trở của vòng dây còn độ tự cảm của vịng
thì khơng thể bỏ qua

16


Nếu khung khơng có điện trở thì vế phải của pt (1) bằng không. Do vậy ta thu
được: Blv = L

dI
dt

dI
d 2v

Đạo hàm hai vế pt (2) ta được: − Bl = m 2
dt
dt
d 2 v B 2l 2
v=0
Kết hợp hai phương trình trên ta có: 2 +
dt
mL
PT này cho thấy vận tốc khung biến thiên điều hòa theo thời gian với tần số
B 2l 2
góc ω =
mL
Biểu thức của vận tốc có dạng v = A cos ( ωt + ϕ )
Ta giải điều kiện ban đầu. Tại t = 0 thì I = 0 và v = 0. Vì I = 0 nên từ (2) suy
ra

dv
g
π
= g  A = ;ϕ = −
dt
ω
2
Vậy biểu thức của vận tốc và dòng điện trong khung dây là:
v=
I=

g
π


cos  ωt − ÷
ω
2


Bl g  
π   mg  
π 
sin  ωt − ÷+ 1 =
sin
ω
t
−

÷+ 1
2 
L ω  
2   Bl  
2  

BÀI 6
Một vành trịn kim loại bán kính r và tiết diện ngang S ( S << r 2 ) có khối
lượng riêng D và điện trở suất ρ . Ban đầu vành nằm ngang rơi vào một từ trường
có tính đối xứng trục như hình vẽ 4 ( Trục của vành trùng với trục đối xứng của từ
trường ). Tại một thời điểm náo đó vận tốc của vành là v

17


Hình 4

a) Hãy tìm biểu thức của dịng điện cảm ứng trong vành
b) Tìm biểu thức của gia tốc a và vận tốc v của vành. Nêu nhận xét về độ lớn
của v, giả thiết độ cao của miền từ trường là đủ lớn
LỜI GIẢI
a) Kí hiệu B là độ lớn của cảm ứng từ của của từ trường tại điểm cách trục đối
xứng của tư trường một khoảng r. Tại mỗi điểm của vành kim loại, cảm ứng từ đề
có trị số bằng B. Xét một phầ tử chiều dài ∆l của vành. Tại thời điểm t mà vận tốc
của vành là v thì suất điện động xuất hiện ở ∆l có độ lớn bằng: ∆E = Bv∆l
Suy ra suất điện động xuất hiện trong toàn bộ vành là: E = Σ∆E = Bv.2π r
Dòng điện cảm ứng xuất hiện trong vành là:
I=

l
2π r
E Bv.2π r
=
với R = ρ = ρ
S
S
R
R
Từ đó ta tìm được I =

BSv
ρ

b) Do có dòng điện cảm ứng xuất hiện trong thanh nên phân tử ∆l của thanh
sẽ chịu tác dụng của lực từ ∆F = BI ∆l lực này hướng vng góc với mặt phẳng
của thanh lên trên ( Theo ĐL Len-xơ thì lực từ phải hướng lên trên để chống lại
chuyển động rơi của vòng )

Lực điện tổng hợp tác dụng lên thanh có độ lớn:
2π rB 2 Sv
F = Σ∆F = BI ( 2π r ) =
ρ
Phương trình động lực học cho chuyển động của thanh:
2π rB 2 Sv
dv
mg −
=m
; với m = D.2πrS
ρ
dt
18


dv
B2
=g−
v
Biến đổi pt trên về dạng:
dt
Dρ
Giải pt bằng cách phân li biến số rồi lấy tích phân hai vế và chú ý rằng khi t =
0 thì v = 0 ta thu được
 − B 2t  
Dρ g 
v = 2 1 − exp 
÷
B 
 Dρ 

 − B 2t 
Gia tốc của vòng là: a = g exp 
÷
 Dρ 
Từ các biểu thức của vận tốc và gia tốc ta có nhận xét: vận tốc tăng dần theo
thời gian, trong khi đó gia tốc giảm dần.
Sau một khoảng thời gian đủ dài thì a = 0 nên vịng rơi đều, vận tốc của vịng
khi đó là: v =

Dρ g
B2

BÀI 7
1) Chứng tỏ rằng khơng thể có từ trường tăng theo trục z, nếu từ trường này
chỉ có thành phần theo z. Xét một ống trụ có chứa các đường cảm ứng từ. Hãy
chứng tỏ rằng: Br =

r dB
2 dz

2) Một vòng dây tròn điện trở R bán kính r và khối lượng m rơi vào một vùng
có từ trường khơng đều có các đường sức đối xứng xung quanh trục của hình trụ
tâm của vịng trịn nằm trên trục hình trụ cịn mặt phẳng vịng trịn vng góc với
 dB
các đường sức từ, cảm ứng từ biến thiên dọc theo trục z  z
 dz


÷≠ 0 .


Viết phương trình biểu thị chuyển động rơi của vịng trong từ trường. Vẽ đồ
thị biểu thị sự biến thiên của vận tốc theo thời gian. Tìm vận tốc cuối của vòng dây
LỜI GIẢI
1)

19


Hình 5
Nếu cảm ứng từ tăng theo trục z thì mật độ đường sức càng mau hơn khi từ
trường mạnh. Khi đó ngồi thành phần cảm ứng từ theo trục z còn thành phần cảm
ứng từ xuyên tâm Br ( như hình vẽ 5 )
Ta đi chứng minh Br =

r dB
2 dz

Xét mặt trụ có bán kính tiết diện là r, chiều
cao ∆z ( Xem hình 6 )
Từ thơng qua hai đáy bằng
Φ1 = π r 2  B ( z + ∆z ) − B ( z )  = π r 2 dBz
Hình 6

Từ thơng qua mặt bên là: Φ2 = −2π r.∆z.Br
Theo định lí Gau-xơ từ thơng qua mặt kín bất
kì bằng khơng do vậy ta có:

Φ1 + Φ2 = 0 hay π r 2 .dBz = 2π r.∆z.Br Vậy Br =

r dBz
2 dz

2) Xét vòng dây tại một thời điểm t, khi đó nó đang có vận tốc là v. Chọn
chiều dương hướng lên
Suất điện động gây ra bởi vòng dây là: ec = −
Chú ý rằng: v =

dΦ
dB
dB dz
= − S z = −π r 2 z .
dt
dt
dz dt

dz
< 0 , khi đi theo chiều âm trục z thì cảm ứng từ giảm. Do
dt

vậy ec > 0
2
Ta viết lại biểu thức của suất điện động: ec = −π r v

20

dBz
dz

ec −π r 2v dBz
>0
Cường độ dòng điện trong vòng dây là: I = =
R
R dt
Phương trình động lực học cho chuyển động của khung
mg − Br I .2π r = m

dv
thay biểu thức của I từ trên xuống ta thu được:
dt
2

dv
π 2 r 4  dBz 
=g+

÷v
dt
mR  dt 
Các pt trên cho thấy ban đầu tốc độ của vòng dây (độ lớn vận tốc) sẽ tăng dần.
Cho đến khi lực từ tác dụng cân bằng với trọng lực thì tốc độ của vật sẽ đạt giá trị

lớn nhất. Ta tìm được

vmax =

mgR
2

 dB 
π r  z÷
 dt 
2 4

Đồ thị v(t) được biểu diễn như hình vẽ 7:

Hình 7
BÀI TỐN 3: SUẤT ĐIỆN ĐỘNG TRONG MẠCH ĐIỆN KÍN TRONG
TRƯỜNG HỢP MỘT PHẦN CỦA MẠCH ĐIỆN CHUYỂN ĐỘNG TRONG
TỪ TRƯỜNG
BÀI 8
Một từ trường đều có cảm ứng từ B, vng góc với hai thanh ray, với khoảng
cách giữa hai thanh ray là l được đặt nghiêng một góc α so với phương nằm
ngang. Một thanh dẫn có khối lượng m, được đặt nằm trên hai thanh ray, và có thể
trượt khơng ma sát trên hai thanh như hình vẽ.

21


Hình 8
Thanh sẽ chuyển động như thế nào sau khi được thả ra từ trạng thái nghỉ nếu
mạch điện tạo bởi thanh và các thanh ray được khép kín bởi.
a) Một điện trở R
b) Một tụ điện có điện dung C
c) Một cuộn dây có độ tự cảm L
LỜI GIẢI
Xét thanh đang trượt xuống với vận tốc v và gia tốc a dọc theo mặt phẳng
nghiêng, trong khi đó dịng điện chạy trong mạch là I. Phương trình chuyển động
của thanh là:

ma = mg sin α − BlI
Phương trình này là giống nhau cho cả ba trường hợp. Kết quả khác nhau là
do mối quan hệ giữa suất điện động và dòng điện trong mạch khác nhau ở mỗi
trường hợp.
a) Mạch điện được khép kín bởi một điện trở thuần R. Dòng điện I và suất
điện động cảm ứng ec = Blv tn theo ĐL Ơm cho tồn mạch:
I=

Blv
R

Và điều này chỉ ra rằng lực cản tăng dần tỉ lệ thuận với vận tốc. Vậy thanh sẽ
chuyển động với gia tốc giảm dần xuống bằng khơng, và sau cùng nó chuyển động
thẳng đều.
Ta dễ tính được: vmax =

22

mgR sin α
B 2l 2


b) Nếu mạch được khép kín bởi một tụ điện có điện dung C thì quan hệ giữa
suất điện động và dịng điện trong mạch sẽ khác đi.
Điện tích của tụ điện được xác định bởi: Q = CBlv
Chú ý rằng dòng điện chạy trong thanh bằng đạo hàm của điện tích Q
I=

dQ
= CBla

dt

Thế PT này vào phương trình chuyển động của thanh ta thu được kết quả
thanh chuyển động với gia tốc không đổi:
a=

mg sin α
m + B 2 l 2C

c) Nếu mạch được khép kín bởi một cuộn dây có độ tự cảm L thì quan hệ giữa
suất điện động và dòng điện là:
L

dI
dI
dx
= Blv ⇔ L = Bl
dt
dt
dt

(Chọn gốc tọa độ là vị trí ban đầu của thanh và chiều dương hướng xuống
dưới)
Tại thời điểm ban đầu thì x = 0 và I = 0
Giản ước dt ở hai vế của pt trên và thực hiện lấy tích phân 2 vế ta được:
LI = Blx
B 2l 2
Thế vào pt chuyển động của thanh ta được: ma = mg sin α −
x
L

Phương trình này chứng tỏ thanh dao động điều hịa quanh vị trí cân bằng có
tọa độ: x0 =

Bl
mgL sin α
và tần số góc ω =
2 2
mL
Bl

Phương trình chuyển động của thanh là
x=

mgL sin α
( 1 − cos ωt )
B 2l 2

BÀI 9

23


Một

đầu

của

thanh ray nằm ngang
với khoảng cách giữa

hai thanh là l và các
thanh khơn có điện trở
được nối với một tụ
điện có điện dung C
được tích điện nhờ

Hình 9

một nguồn điện có
suất điện động là E .
Độ tự cảm của tồn bộ hệ thống có thể bỏ qua. Hệ thống được đặt trong một
từ trường đều hướng thẳng đứng, có cảm ứng từ B như hình vẽ. Một thanh dẫn
trơn, nhẵn có khối lượng m và điện trở R được đặt vng góc với các thanh ray.
Các bản cực của tụ điện được bố trí sao cho thanh bị đẩy ra xa từ phía tụ điện khi
đóng mạch. Tính vận tốc cực đại của thanh
LỜI GIẢI
Ở thời điểm ban đầu khi tụ được nối vào mạch thì có một dịng điện chạy
trong thanh I 0 =
F = BIl =

E
chạy trong thanh, thanh chịu tác dụng của một lực
R

BlE
BlE
, và một gia tốc ban đầu: a =
mR
R

Theo ĐL Len-xơ suất điện động cảm ứng xuất hiện trong thanh dẫn chuyển
động là nguyên nhân làm dịng điện trong mạch giảm. Điện tích của tụ điện giảm
và do đó hiệu điện thế giữa hai bản tụ cũng giảm, trong khi đó suất điện động cảm
ứng trong thanh tăng lên, cho đến khi hai suất điện động triệt tiêu nhau. Thanh tiếp
tục chuyển động với vận tốc lớn nhất.
Khi đó ta có: Blvmax =

Qmin
(1)
C

Phương trình chuyển động của thanh là:
m

dv
dv
dQ
= BIl ⇔ m = − Bl
(Vì điện tích của tụ điện giảm )
dt
dt
dt
24


Giản ước dt hai vế, ta viết lại pt trên như sau: mdv = − BldQ
Tốc độ của thanh tăng từ 0 đến giá trị v max trong khi đó điện tích của tụ điện
giảm từ Qmax = C.E đến Qmin . Lấy tích phân hai vế PT trên ta được:
m ( vmax − 0 ) = − Bl ( Qmin − Qmax ) (2)
Giải hệ (1) và (2) ta thu được vmax

BlCE
B 2l 2C 2E
=
và Qmin =
m + B 2l 2C
m + B 2l 2C

BÀI 10
Một vòng bằng kim loại bán kính 10 cm có thể lăn khơng trượt bên trong một
vịng trịn bằng kim loại đồng chất có bán kính 20 cm. Ngay chính giữa quỹ đạo có
một trục nhỏ, giữa trục quay và điểm P của quỹ đạo có mắc điện trở R0 = 314Ω .
Quỹ đạo nằm trong một từ trường đều vng góc với mặt phẳng quỹ đạo có
cảm ứng từ B = 4.10−3 T . Giả sử trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10
vòng bên trong vòng kim loại lớn, cả hai vịng đều có điện trở tính theo đơn vị dài
là ρ = 0,4Ω / m ngoài ra các điện trở khác đều khơng đáng kể.
a) Trong mỗi giây vịng kim loại
quay quanh trục của nó bao nhiêu vịng
?
b) Dịng điện qua điện trở R 0 có
chiều như thế nào?
c) Khi vịng tiếp xúc với điểm nào
trên quỹ đạo thì dịng điện qua R 0 có
giá trị cực đại, giá trị đó bằng bao
nhiêu?
d) Khi vịng tiếp xúc với điểm nào

Hình 10

trên quỹ đạo thì dịng điện qua R 0 có

giá trị cực tiểu, giá trị đó bằng bao
nhiêu?
LỜI GIẢI

a) Theo giả thiết trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ lăn được 10 vòng xung
quanh vòng kim loại lớn  Trong mỗi giây vòng kim loại nhỏ cũng lăn được 10
25