tích hợp các phép biện hình trong phát triển năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi

A-phần mở đầu
Chơng 1

Cơ sở lý luận

Đ1. một số vấn đề về phát triển năng lực giải toán bồi dỡng học sinh giỏi.
1. Năng lực, năng lực giải toán học.
1.1. Năng lực.
Năng lực là các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu
cầu của một hoạt động nhất định đảm bảo cho hoạt động đó có hiệu quả. Năng
lực có thể chia thành 2 loại: Năng lực chung và năng lực riêng biệt.
- Năng lực chung là những năng lực cần thiết cho lĩnh vực hoạt hoạt động
khác nhau, chẳng hạn những thuộc tính về thể lùc vỊ trÝ t (quan s¸t, trÝ nhí, t
duy, tëng tợng, ngôn ngữ) là những điều kiện cần thiết để giúp cho nhiều lĩnh
vực hoạt động có hiệu quả.
- Năng lực riêng biệt (năng lực chuyên biệt, chuyên môn) là sự thể hiện
độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn nhằm đáp ứng nhu cầu
của một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao. Chẳng hạn năng lực
toán học, năng lực âm nhạc, năng lực thể dục thể thao.
Hai loại năng lực trên luôn bổ sung và hỗ trợ cho nhau.
1.2. Năng lực toán học.
Trong tâm lý học năng lực toán học đợc hiểu theo 2 nghĩa với hai mức độ:
Một là theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình toán ở phổ thông, nắm một cách nhanh
nhất và có hiệu quả các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng .
Hai là theo năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu khoa học tức là
năng lực đối với hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách
quan cống hiến cho loài ngời những công trình toán học có giá trị đối với sự

1

phát triển của khoa học nói riêng và đối với hoạt động thực tiễn xà hội nói
chung.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến năng lực học tập toán học không phải là không đề cập tới năng lực
sáng tạo. Có nhiều học sinh có năng lực đà nắm giáo trình toán một cách độc
đáo và sáng tạo, đà tự đặt ra và giải bài toán không phức tạp lắm, đà tự tìm ra
các con đờng, các phơng pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy
ra đợc các công thức, tự tìm ra các phơng pháp giải độc đáo cho các bài toán
không mẫu mực.
Xét về bản chất năng lực toán học không phải là tính chất bẩm sinh mà đợc tạo thành trong cuộc sống, trong hoạt động sự sáng tạo này dựa trên cơ sở
một số mầm mống xác định.
Việc rèn luyện và phát triển năng lực toán học ở học sinh là việc rất quan
trọng của ngời thầy giáo.
Bởi vì: - Thứ nhất, toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của
các nghành khoa học, kỹ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có đội ngũ
những ngời có năng lực toán học.
- Thứ hai, nhà trờng là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu
tiên của toán học , không ai khác chính thầy giáo là những ngời hoặc chăm vun
xới cho mầm mống năng khiếu toán học ở học sinh hoặc thui chột chúng.
1.3. Năng lực giải bài tập toán.
Đó là một trong những năng lực học tập toán .
Nói đến năng lực giải toán là nói đến khả năng vận dụng kiến thức vào bài toán.
- Tìm và liên hệ giữa các dữ kiện đầu vào và dữ kiện đầu ra. Qúa trình
biến đổi các dữ kiện vào cho ra kết quả phù hợp yêu cầu bài toán.

2


- Khả năng vận dụng các phơng pháp toán học khác nhau để giải toán.

Nhìn nhận bài toán dới nhiều nội dung khác nhau (khía cạnh khác nhau). Từ đó
vận dụng những kiến thức đó để giải quyết bài toán.
- Khả năng chuyển từ bài toán khó thành nhiều bài toán đơn giản hơn
phải huy động các kiến thức có liên quan đến khái niệm, những khái niệm cơ
bản từ ®ã lùa chän trong sè kiÕn thøc ®ã kiÕn thøc gần gũi với dữ kiện để giải
quyết bài toán.
2. Vấn đề giải bài toán bồi dỡng học sinh giỏi.
2.1. Vai trò của giải bài tập toán.
- Hình thành và khắc sâu tri thức kỹ năng, kỹ xảo toán học của những giai
đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
-Bồi dỡng thÕ giíi quan duy vËt biƯn chøng høng thó häc tập, niềm tin và phẩm
chất đạo đức ngời lao động mới.
- Bài tập nhằm phát triển năng lực t duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện
những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của t duy khoa học.
- Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán
và trình độ phát triển của học sinh.
Khi nói đến vai trò, vị trí của việc giải bài tập nhà s phạm, nhà giáo dục học
G.Polya có viết: "Việc dạy giải toán phải là một bộ phận của nhiều giáo trình,
của mọi quá trình toán học có ích trong phổ thông". Nắm vững môn toán, đó là
"Biết giải toán không chỉ các bài toán thông thờng mà cả những bài toán đòi hỏi
t duy độc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo. Bởi vậy
nhiệm vụ hàng đầu và chủ yếu nhất của giáo trình toán học trờng trung học phải
nhấn mạnh mặt phơng pháp của quá trình giải toán.
A.A.Xtotiar trong "Giáo dục môn học Toán " cho rằng "Dạy học qua bài
tập toán là vấn đề đà biết từ lâu và đợc thảo luận rộng rÃi trong các tài liệu giáo
dục toán học. Tuy nhiên cho đến nay vẫn cha có cách giải quyết thoả ®¸ng. C¸ch

3

giải quyết thích hợp đòi hỏi phải soạn thảo hệ thống bài tập tơng ứng với chơng
trình và thích hợp với hoạt động toán học v.v"
P.M.Ecdunhiep "...Việc nắm vững toán học đợc thực hiện trong quá trình
giải các bài tập, và vì thế sự phát triển của các phơng pháp dạy học toán sẽ đi
theo con đờng vận dụng các hình thức và các dạng mới của các bài tập to¸n
nh»m kÝch thÝch tÝnh tÝch cùc t duy cđa häc sinh".
ở nớc ta các tác giả Nguyễn Bá Kim - Vũ Dơng Thụy trong "Phơng pháp
dạy học môn toán" đà nhấn mạnh: "ở trờng phổ thông, dạy toán là hoạt động
toán học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán là hoạt động chủ yếu của
hoạt động toán học. Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất có hiệu
quả và không thể thay thế đựơc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát
triển t duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt
động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở
trờng phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có
vai trò quyết định đối với chất lợng dạy học toán"...
Dạy học giải bài tập toán có vai trò to lớn góp phần bồi dỡng học sinh giỏi,
đó là một trong các phơng pháp để bồi dỡng học sinh giỏi.
2.2. Bồi dỡng học sinh giỏi.
Đây là một trong các hình thức dạy học phân hoá, việc bồi dỡng học sinh
giỏi cần đợc tiến hành, thực hiện ngay cả trong tiết học bằng những biện pháp
phân hoá nội tại thích hợp. Hai hình thức thờng dùng trong bồi dỡng học sinh
giỏi là: nhóm học sinh giỏi toán và lớp học sinh chuyên toán.
Mục đích là phát hiện bồi dỡng những em có năng lực toán học tốt, bồi dỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cở sở giáo dục toàn diện, góp phần đào
tạo đội ngũ cán bé khoa häc kü thuËt giái, trong ®ã cã mét số có thể thành nhân
tài của đất nớc.

4


Biện pháp để bồi dỡng học sinh giỏi trong đó có biện pháp là mở rộng, đào

sâu hệ thống kiến thức trong sách giáo khoa, phân hoá bài tập tại lớp cũng nh
bài tập ở nhà. Thông qua việc giải bài tập toán để mở rộng đào sâu kiến thức
góp phần bồi dỡng học sinh giỏi.
Đ2. TíCH CáC PHéP BIếN HìNH
1.Phép biến hình trong mặt phẳng.
Ta ký hiệu tập hợp tất cả các điểm của một mặt phẳng là P khi đó mỗi hình
H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P và đợc ký hiệu HP.
1.1.Định nghĩa.
Một song ánh : P P từ tập điểm của P lên chính nó đợc gọi là một phép
biến hình của mặt phẳng.
Nh vậy cho một phép biến hình : P P là cho một quy tắc ®Ĩ víi mét
®iĨm M bÊt kú cđa cđa P, ta tìm đợc một điểm M' = (M) hoàn toàn xác định
thoả mÃn 2 điều kiện sau đây.
- Nếu M, N là hai điểm bất kỳ của P thì (M), (N) là 2 điểm phân biệt của P.
- Với 1 điểm M' thc P bao giê cịng cã 1 ®iĨm M thuộc P sao cho (M) = M'.
Điểm (M) đợc gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình . Ngợc lại điểm
M gọi tạo ảnh của điểm (M) qua phép biến hình nói trên. Ngời ta còn nói
phép biến hình biến điểm M thành điểm (M) và ta có (M) = M'.
Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp
(H) ={(M) MH}
khi đó (H) gọi là ảnh của hình H qua phép biến và hình H đợc gọi là tạo ảnh
của hình (H) qua phép biến hình đó.
1.2.Sự xác định phép biến hình.

5


Muốn xác định một phép biến hình : P P ta cần nêu rõ quy tắc đó
bằng các cách sau đây:
- Quy tắc đợc xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt phẳng

nh: Tìm giao điểm của 2 đờng thẳng đà đợc xác định nào đó, dựng đờng thẳng đi
qua 1 điểm và vuông góc với một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng tròn với tâm
và bán kính đà cho v.v...
- Quy tắc còn đợc xác định bởi biểu thức liên hệ giữa toạ độ (x,y) của
điểm M với toạ độ (x',y') của ®iĨm M' = ƒ(M) ®èi víi hƯ to¹ ®é Oxy cho trớc
nào đó.
x' = x + 1
y' = y − 3

VÝ dơ: PhÐp biÕn h×nh cho bëi hƯ thức:

Phép biến hình này gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ


v (1, -3).

1.3. Các ví dụ về phép biến hình.
Ví dụ 1. Cho đờng thẳng thuộc P: Phép đặt tơng
ứng mỗi điểm M với điểm M' đối xứng với M qua
đợc gọi là phép đối xứng trục. là trục đối xứng.
Thờng kí hiệu phép đối xứng trục là Đ .
Ta có Đ(M) = M' ( hình bên).
Ví dụ 2. Cho điểm O cố định trong mặt phẳng P. Phép đặt tơng ứng với mỗi
điểm M víi ®iĨm M' ®èi xøng víi M qua O đợc gọi
là phép đối xứng tâm O. Điểm O đợc gọi là tâm của
phép đối xứng đó. Kí hiệu:
Phép đối xứng tâm O là ĐO. Ta có ĐO(M) = M'.

6

v

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng P cho véc tơ


v

cố định. Phép đặt với mỗi điểm M



một điểm M' sao cho MM ' = v gọi là phép tịnh tiến
theo vec tơ
Véc tơ


v.


v gọi là véc tơ tịnh tiến.

Kí hiệu: Phép tịnh tiến theo véc tơ
Ta có Tv (M) = M'.


v là Tv .

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng P phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc P thành

chính điểm M đợc gọi là phép đồng nhất.

Kí hiệu: Phép ®ång nhÊt lµ e. Ta cã e(M) = M: ∀ MP.
2. Tích các phép biến hình.

2.1. Định nghĩa. Trong hình học ta thờng phải thực hiện nhiều phép biến hình

liên tiÕp nhau. NÕu ta dïng phÐp biÕn h×nh ƒ: P → P ®Ĩ biÕn mét ®iĨm M bÊt kú
cđa P thành một điểm M' rồi lại dùng phép biến hình thứ hai g : P P để biến
M' thành M" ta cã:

ƒ: M  M'; g : M'  M'' hay M' = ƒ (M) vµ M" = g(M').

Khi đó phép biến hình h biến M thành M" gọi là tích của 2 phép biến hình
và g và kÝ hiÖu h = ƒ°g.

Ta cã : h(M) = ƒ°g(M) = M'' = g(M') = g[ƒ(M)]
2.2. VÝ dô.

i/ XÐt 2 phép biến hình là 2 phép tịnh tiến véc tơ Tv và Tu . Giả sử M là
điểm bất kỳ cđa P.

Gäi M' = Tu (M) vµ M" = Tv (M')

7


Theo định nghĩa ta có.

MM ' =

u,

M 'M " =


v . V×

MM ' ' = MM ' + M 'M " =

 
u +v .

 
u + v : Tv . Tu = Tv+u

Nh vËy, tÝch Tv . Tu lµ phép tịnh tiến theo véc tơ

ii/ Xét tích của 2 phép đối xứng tâm ĐO và ĐO' ( O O').
Giả sử M là điểm bất kỳ của P.
Gọi M' = ĐO(M), M" = ĐO(M'). Theo định nghĩa
ta có: OM ' = - OM vµ O'M " = - O'M ' .
V× MM ' ' = MM ' + M 'M "
= MO + OM ' + M 'O ' + O' M "
= 2( OM ' + M 'O' ) = 2 OO '
Nh vậy, tích ĐOĐO' là phép tịnh tiến theo véc tơ


v = 2 OO' .

ĐOĐO' = T2OO
2.3. Phép biến hình đảo ngợc.
Trong mặt phẳng cho phép biến hình biến điểm M thành điểm M' ta có
(M) = M'. Khi đó phép biến hình biến điểm M' thành điểm M gọi là phép biến
hình đảo ngợc của phép biến hình đà cho.
Kí hiệu: Phép biến hình đảo ngựơc của là -1 và ta có -1(M) = M'. Rõ
ràng mỗi phép biến hình có duy nhất 1 phép biến hình đảo ngợc -1 và ta cã
ƒ°ƒ-1 = ƒ-1°ƒ = e (phÐp ®ång nhÊt).

8


Ví dụ. Phép tịnh tiến véc tơ Tv theo véc tơ


v có phép biến hình đảo ngợc là

1
1
phép tịnh tiến véc tơ Tv và ta có: Tv = Tv .

2.4. Phép biến hình có tính chất đối hợp.
Cho phép biến hình biến điểm M thành M', sau đó nếu ta thực hiện tiếp
phép biến hình đó đối với ®iĨm M'.
Gi¶ sư M" = ƒ(M'). NÕu M" = M thì ta nói rằng phép biến hình có tính
đối hỵp. Ta cã ƒ°ƒ (M) = M hay ƒ 2 = e .
Ví dụ. Đ, ĐO là những phép biến hình có tính đối hợp.
3. Một số vấn đề về nhóm các phép biến hình.
Giả sử G gồm tất cả các phép biến hình trong mặt phẳng P. Ngời ta chứng

minh đợc tập hợp các phép biến hình đó lập thành một nhóm các phép biến hình
thỏa mÃn điều kiện sau đây:
i/ Tích của 2 phép biến hình là 1 phép biến hình.
ii/ Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp nghĩa là: với , g, h là các
phép biến hình bất kỳ ta có (g) h = (gh).
iii/ Có phép biến hình đồng nhất e sao cho bất cứ phép biến hình nào của
G ta cũng cã ƒ°e = ƒ (ƒ°e = e°ƒ = ƒ). PhÐp biến hình e đó gọi là phép biến hình
đơn vị. Nh vậy phép đồng nhất là phép biến hình đơn vị .
iv/ Với mọi phép biến hình của G bao giê cịng cã 1 phÐp biÕn h×nh g cđa
G sao cho ƒ°g = e. PhÐp biÕn h×nh g nh vậy gọi là phép biến hình đảo ngợc của
và ta kÝ hiÖu: g = ƒ -1.
Nãi chung phÐp biÕn hình lập thành 1 nhóm nhng không phải là nhóm giao
ho¸n.

9


VÝ dơ. Ta cã §O'° §O = T2.OO ; §O° §O' = T2.O 'O mµ T2.OO ≠ T2.O 'O .
Suy ra §O ° §O ≠ §O° §O' .
4. Mét sè vấn đề tích biến hình đợc trình bày trong sách giáo khoa hình
học phổ thông.
4.1. Phép biến hình ẩn tàng trong nội dung SGK THCS .
Trong chơng trình toán học trung học cơ sở, học sinh đợc làm quen với các
phép dời hình: Phép đối xứng tâm, phép đối xứng trơc , phÐp tÞnh tiÕn (ë líp 8),
phÐp quay (líp 9) và phép biến hình khác là phép đồng dạng (ở lớp 8). Các phép
dời hình ở trung học cơ sở không đợc trình bày theo t tởng biến hình mà chỉ
dừng ở việc nghiên cứu dới dạng khác. Phép đối xứng tâm , đối xứng trục dừng
ở việc nghiên cứu 2 hình đối xứng nhau qua một điểm, đờng thẳng. Phép tịnh
tiến tiến đợc trình bày trong một bài đọc thêm.Còn phép quay đợc trình bày với
yêu cầu học sinh nắm đợc khái niệm biết dựng ảnh của một điểm, một hình qua

phép quay và ứng dụng của phép quay để giải toán .
Đối với phép đồng dạng: chỉ nêu định nghĩa và một số tính chất cơ bản ứng
dụng của nó trong việc giải toán hình học. Đa ra khái niệm tam giác đồng dạng,
cách dựng một tam giác đồng dạng với tam giác đà cho, nêu các trờng hợp đồng
dạng của một tam giác ( Đ3.Tr 66. HH 8 các trờng hợp đồng dạng của 2 tam
giác).
Định lý 1: Nếu 2 góc của 2 tam giác này lần lợt bằng 2 góc của tam giác
kia thì 2 tam giác này đồng dạng .

= A ' , Bˆ = Bˆ ' ta chøng minh.
Chøng minh : GØa sử A'B'C' và ABC có A
A'B'C' ABC .
Đặt trên tia AB đoạn thẳng AM = A'B'. Qua M vẽ đờng thẳng MN BC (N trên

10


ˆ = Aˆ ' (gt).
tia AC) . Khi ®ã ∆AMN ∼ ∆ABC . XÐt ∆AMN vµ ∆A'B'C' cã A
AM = A'B' (C¸ch dùng).

AMˆ N =

A' Bˆ C ' (cïng

b»ng gãc ABˆ C ).
Do ®ã

∆AMN =

∆A'B'C' (c . g. c) .

VËy

∆A'B'C' ABC
Định lý 2: Nếu hai của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác và hai
góc tạo bởi các cạnh đó bằng nhau thì 2 tam giác này đồng dạng.
Chứng minh : Gỉa sử A'B'C' và ∆ABC cã

A' B'
AB

=

A' C '
ˆ=
(1). vµ A
AC

Aˆ ' . Ta chứng minh : A'B'C' ABC
Đặt trên tia AB đoạn
thẳng AM = A'B' . Qua M vẽ
đờng thẳng MN BC
(N nằm trên AC).
Ta có AMN ABC
do đó

AM AN
=
AB

AC

(1).

Nhng AM = A'B' nên suy ra

A' B'
AN
=
(2).
AB
AC

So sánh (1) và (2) ⇒ AN = A'C' . Nh vËy ∆AMN vµ ∆A'B'C' cã.

Aˆ = Aˆ ' (gt).
11


AM = A'B' ( c¸ch dùng) ⇒ ∆AMN = ∆A'B'C' (c . g. c)
Suy ra: ∆A'B'C' ∼ ∆ABC. (®pcm) .

AN = A'C'

*Qua cách chứng minh 2 định lý trên dựng ∆AMN = ∆A'B'C', hai tam gi¸c
b»ng nhau nÕu ta hiĨu theo ngôn ngữ phép biến hình thực chất là tồn tại phép dời
biến A'B'C' AMN.
Còn AMN ABC (theo cách dựng một tam giác đồng dạng với tam
giác đà cho). Có thể hiểu rằng tồn tại phép vị tự biÕn ∆AMN 

V

AB
AM
A

: ∆AMN  ∆ABC.

Nh vËy phÐp dêi: ∆A'B'C'
Phép vị tự

ABC. ở đây

V

AB
AM
A

AMN.

: AMN

ABC.

Hai tam giác ∆A'B'C' ∼ ∆ABC (TÝch cđa mét phÐp dêi vµ 1 phép vị
tự).
4.2. Tích phép biến hình trong sách giáo khoa thpt:
( hình học lớp 10 sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000).
Phép biến hình (phép dời hình và phép đồng dạng) đợc trình bày ở chơng

riêng( chơng III ) . Còn về tích các phép biến hình :
Phép quay đợc định nghĩa.
Cho2 đờng thẳng a và b cắt nhau tại 0
với mỗi điểm M ta xác định điểm M' nh sau:
Tríc hÕt lÊy M1 ®èi xøng víi M qua a sau đó
lấy M' đối xứng M1 qua b. Phép đặt điểm M' tơng
ứng điểm M nh vậy gọi là phép quay quanh ®iĨm O.
12


Nh vậy phép quay đợc định nghĩa thông qua việc thực hiện liên tiếp 2 phép
đối xứng trục Đa và Đb . Phép quay là tích của 2 phép đối xứng trục.
Phép đối xứng trợt: đợc định nghĩa.
Cho 1 đòng thẳng d và một véc tơ


v song

song với d. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M'
theo quy tắc sau đây.
Trứớc hết lấy điểm M1 đối xứng với M qua d sau ®ã lÊy ®iĨm M' sao cho:



M 1 M ' = v . Quy tắc trên ta gọi là phép đối xứng trợt.
Nh vậy, phép đối xứng trợt cũng đợc trình bày dới dạng thực hiện liên tiếp
2 phép dời hình hay đợc trình bày dới dạng tích của phép đối xứng trục (Đd) và
phép tịnh tiến véc tơ Tv . Dạng chính tắc của phép đồng dạng.
Định lý (Tr 90 HH10). Mỗi phép đồng dạng tỷ số k đều có thể xem là kết
quả của việc thực hiện liên tiếp một phép vị tự tỷ số k và một phép dời hình.

(Đó là tích của 1 phép vị tự và 1 phép dời hình).
Nh vậy trong SGK HH10 cụm từ "Tích các phép biến hình cha đợc sử
dụng nhng ta ngầm hiểu đó là tích của các phép biến hình. Việc ứng dụng tích
biến hình giải toán còn nhiều hạn chế. Tóm lại, SGK HH10 vấn đề tích biến
hình trình bày còn cha kỹ lỡng .
Trong tài liệu giáo khoa thí điểm Ban khoa học tự nhiên (HH11).
Sau khi định nghĩa phép biến hình ở dạng tổng quát và lấy các ví dụ về các
phép biến hình, ®iĨm bÊt ®éng cđa phÐp biÕn h×nh th× ë mơc4. Đ1(Tr 5) đà trình
bày : "Tích của các phép biến h×nh” nh sau.

13


Cho 2 phép biến hình : P P và g : P P. Gọi M là điểm bất kú cđa P.
NÕu ƒ biÕn M thµnh M' vµ g biến M' thành M'' thì phép biến hình M thành M''
gọi là tích của phép biến hình f và g vµ ký hiƯu: ƒ° g . Nh vËy
(g°ƒ)(M) = M'= g(M') = g[(M)].
Ví dụ: a/ Đối với phép biến hình f : P P
và phép biến hình đồng nhất ta lu«n cã:
e°ƒ= ƒ° e =ƒ.
b/ XÐt tÝch 2 phÐp tịnh tiến véc tơ Tu và Tv (hình vẽ).
Giả sử M là điểm bất kỳ của P: M' = Tu (M) , M'' = Tv (M')
Theo định nghĩa của phép tÞnh tiÕn ta cã: MM ' ' = MM ' + M 'M ' '
Nh vËy, tÝch Tu . Tv chính là phép tịnh tiến theo véc tơ

=


u +v

u +v .

Dựa vào tích các phép biến hình định nghĩa phép biến hình đảo ngợc (5.Đ1
Tr6): Cho phép biến hình : P P ta xác định đợc -1: P → P sao cho:
ƒ: M  M' th× ƒ-1: M' 

M . PhÐp biÕn h×nh ƒ-1 nh thÕ gäi là phép biến

hình đảo ngợc của phép biến hình . Rõ ràng mỗi phép biến hình có duy nhất 1
phép biến hình đảo ngợc -1 và -1 = -1 = e.
Ví dụ: Phép đảo ngợc của Tv là Tv−1 = T−v
(g °ƒ)-1=ƒ-1 °g-1
Tõ Tr7 → Tr13 SGK tr×nh bày phép dời hình tính chất áp dụng để giải toán
Đ3 (Tr13). Sự xác định của phép dời hình. Hình b»ng nhau.

14


1. Định lý: Cho hai bằng nhau ABC và A'B'C'cãAB =A'B' , BC = B'C',
CA = C'A' bao giê cũng có một và chỉ một phép dời hình : P → P biÕn A
thµnh A', B thµnh B', C thành C'.
Đây là một định lý quan trọng về sự xác định phép dời hình. Chứng minh
định lý đợc trình bày dựa trên tích của các phép đối xứng trục. Từ định lý suy ra
hệ quả quan trọng đó là:
Hệ quả: "Mỗi phép dời hình đều có thể xem là tÝch cđa nhiỊu nhÊt 3 phÐp
®èi xøng trơc".
SGK ®· ®Ị cập tới tích của các phép đối xứng trục và phép quay đợc trình
bày trên quan điểm tích của 2 phép đối xứng trục có trục cắt nhau (định lý).
Đ4 . (Tr 17). TÝch 2 phÐp ®èi xøng trơc. PhÐp quay.

1. Đinh lý: Tích của 2 phép đối xứng trục với 2 trục song song là một phép
tịnh tiến.
i/ Đ' Đ = Tv . Trong đó


v bằng 2 lần véc tơ dời .

ii/ Nếu trùng ' thì Đ Đ = e.
2. Đinh lý. Mỗi phép tịnh tiến có thể xem (bằng nhiều cách khác nhau) là
tích của phép đối xứng trục với hai trục song song.
Hai định lý trên đợc sách giáo khoa chứng minh rất rõ ràng.
Phép quay đợc định nghĩa ở dạng góc định hớng nhng trong nội dung định
lý (tr 20) đà trình bày: "Tích 2 phép đối xứng trục với trục cắt nhau là một phép
quay". Định lý có chứng minh rõ ràng .
Định lý: Mọi phép quay Q0 với 0 đều có thể xem (bằng nhiều cách
khác nhau) là tích của 2 phép đối xứng trục với 2 trục cắt nhau.

Đ4. (Tr 23).Phép vị tự.

15


Trong nội dung lý thuyết SGK không trình về tích phép vị tự . Nhng trong
bài tập lại đề cập ®Õn tÝch cđa mét phÐp dêi víi mét phÐp vÞ tự hoặc là tích của 2
phép vị tự .
Bài tập 39: Cho phép vị tự V0k (k 1) và phép tịnh tiến Tv . Chứng minh
k
k
rằng Tv V0 và V0 Tv là những phép vị tự xác định tâm và tỷ số những phép vị

tự đó.
Bài tập 40 (Tr129): Chøng minh r»ng tÝch cđa 2 phÐp vÞ tù là một phép vị
hoặc một phép tịnh tiến.
Đ4. Phép đồng dạng.
Sau khi định nghĩa phép đồng dạng SGK khẳng định: Phép đảo ngợc của
phép đồng dạng tỷ số k là phép đồng dạng tỷ số 1/k. Tích của 2 phép ®ång d¹ng
tû sè k1víi phÐp ®ång d¹ng tû sè k2 là phép đồng dạng tỷ số k1.k2.
Có định lý rất quan trọng đợc nêu ra có ứng dụng lớn trong giải bài tập
và sách giáo khoa đà chứng minh rõ ràng và cụ thể định lý này.
Định lý: "Mỗi phép đồng dạng có thể xem là tích của 1 phép vị tự và một
phép dời hình, hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự ".
Toàn bộ chơng I đà định nghĩa rõ tích các phép biến hình ở dạng tổng quát
trong đó tích của các phép dời hình và phép vị tự đợc trình bày khá đầy đủ chi
tiết. Trong phần bài tập có khai thác nhiều về vấn đề tích các phép biến hình, bổ
sung phần lý thuyết cha đợc trình bày và ứng dụng tích các phép biến hình để
giải mốt số bài toán.
Tóm lại, vấn đề tích biến hình đà đợc quan tâm đa vào nội dung giảng dạy
ở trờng phổ thông.
4.3. Một số tài liệu viết về tích biến hình.

16


Tích biến hình cũng đà đợc nhiều nhà viết sách quan tâm sử dụng tính biến
hình để giải toán.
. Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXBGD 1997.
. Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo, Chuyên đề phép biến hình đại số véc tơ
hình 11, NXB Trẻ 95.
. Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải..., Toán bồi dỡng hình học 10, Nhà xuất
bản Hà Nội, 1995.

. V.V.Praxolov, Các bài toán về hình học trong mặt phẳng (T1), Nhà xuất
bản Hải Phòng.
. Trần Văn Ký, Phơng pháp giải toán hình học phẳng: phép biến hình,
Nhà xuất bản Tp Hồ Chí Minh, 1996.
Và các tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi ở các trờng chuyên, tài liệu giảng dạy
ở trờng Đại học Vinh.v.v
4.4. Vấn đề nghiên cứu của tích biến hình:
Một bài toán đợc đa ra có thể có rất nhiều cách giải khác nhau, có cách giải
ngắn, cách giải dài khác nhau. Nhng không phải lúc nào cách giải gọn nhất là
tốt nhất . Đứng vào vị trí của ngời giáo viên cũng cần nhận thấy điểm này. Có
những phơng pháp tuy dài nhng đó lại là một phơng pháp tốt để phát triển các
chức năng dạy học giải bài tập . Góp phần vào việc giáo dục học sinh đặc biệt là
giáo dục con ngời lao động trong thời đại mới . Việc bổ sung phơng pháp giải
toán nhằm rèn luyện năng lực giải toán và góp phần bồi dỡng học sinh giỏi ở HS
THPT.
Biến hình là một vấn đề đợc quan tâm trong nội dung cải cách chơng trình
sách giáo khoa hiện nay. Thông qua biến hình, tích các phép biến hình không
những có thể giải quyết nhanh chóng các bài toán mà đặc biệt nó còn góp phần
bồi dỡng học sinh giỏi (phát triển các chức năng giải bài tập toán, phát triển t
duy hàm ở học sinh v.v...). Đặc biệt là phát triển t duy hàm, xÐt sù vËt trong sù

17


biến thiên và phụ thuộc. Đây là một loại hình t duy rất đợc quan tâm và u tiên
phát triển ở HS.
Tuy tích biến hình cha đợc trang bị đầy đủ trong nội dung sách giáo khoa
phổ thông nhng nó là một trong những chơng trình nhằm bồi dỡng học sinh giỏi
ở trờng THPT. Chính vì vậy cần quan tâm xây dựng hệ thống lý thuyết và bài tập
giải bằng phơng pháp sử dụng tích các phép biến hình.

Chơng 2

xây dựng hệ thống lý thuyết về tích các

phép biến hình -ứng dụng của nó vào giải toán hình
học -hệ thống bài tập áp dụng
I - Một số vấn đề chung
Bên cạnh những phơng pháp truyền thống nh: Phơng pháp véc tơ, phơng
pháp toạ độ thì thông qua việc dạy học phép biến hình chúng ta còn cung cấp
cho học sinh một số công cụ giải toán mớivà rất hiệu quả đó là công cụ giải toán
bằng phơng pháp biến hình (tích biến hình).
ở trờng phổ thông phép biến hình đợc xem là công mới giúp học sinh giải
đợc hàng loạt bài toán hình học nh: Chứng minh tính chất hình học, tìm tập hợp
điểm ( trong mp), dạng toán dựng hình, cực trị hình học...

18


Để giải bài toán bằng phơng pháp sử dụng tích các phép biến hình, trớc hết
phải xây dựng hệ thống kiến thức về tích các phép biến hình. Đó là cơ sở lý
thuyết đầu tiên vận dụng vào việc giải toán bằng tích biến hình. Sau khi truyền
thụ những kiến thức đó để có năng lực giải toán bằng tích biến hình đòi hỏi học
sinh phải có năng lực chuyển giả thiết , kết luận bài toán về ngôn ngữ biến hình
(ngôn ngữ tích các phép biến hình). Mỗi bài toán ngời ta cho không phải lúc
nào cũng diễn giải bằng ngôn ngữ biến hình. Các bài toán hầu hết ở dạng tổng
hợp, biểu diễn bằng ngôn ngữ hình học. Vì vậy cần rèn luyện năng lực chuyển
đổi ngôn ngữ từ quan hệ hình học sang ngôn ngữ biến hình (tích biến hình).
Khi giải bài toán bằng tích biến hình ta thờng đi theo 3 bớc:
Bớc 1: Chuyển đổi ngôn từ ngôn ngữ hình học thuần tuý sang ngôn ngữ biến

hình
Ví dụ: M là trung điểm của AB thì dịch sang ngôn ngữ biến hình là : B là
ảnh A qua phép đối xứng tâm ĐM.
Bớc 2: Sử dụng các tính chất , các bất biến của phép biến hình để tìm tòi lời
giải cho bài toán.
Bớc 3: Chuyển các kết quả thu đợc sang tính chất hình học tơng ứng và kết luận
bài toán.
Tuy nhiên, đối với những bài toán đà thể hiện bằng ngôn ngữ biến hình ta
bỏ qua bớc 1. Đối với bài toán cha thể hiện ngôn bằng ngữ biến hình, nếu sự
dịch chuyển ngôn ngữ không gặp khó khăn thì việc sử dụng biến hình (tích biến
hình) để giải toán là cơ sở, có khả năng thu đợc kết quả tốt. Việc chuyển sang
ngôn ngữ biến hình là xuất phát điểm trong việc sử dụng công cụ biến hình để
giải toán.
Trong các bớc trên cần chú trọng bớc 2 tức tìm đợc phép biến hình (tích
biến hình) thích hợp để vận dụng vào giải bài toán.
1 . Các phép biến hình :
19


1.1. Phép đối xứng trục.
Kí hiệu: Đ. Ta có

Đ : M  M' ⇔

∆ ⊥MM' t¹i H, HM = - HM '

1.2. Phép đối xứng tâm:
Ký hiệu ĐO: Ta có

ĐO: M  M' ⇔ OM ' = - OM .

1.3. PhÐp tÞnh tiÕn:



KÝ hiƯu: Tv (PhÐp tÞnh tiÕn theo vec t¬ v ).

Tv : M





M' ⇔ MM ' = v .

1.4. PhÐp vÞ tù:
k
KÝ hiƯu: Vo (PhÐp vÞ tù tû sè k).

Vok : M



M' ⇔ OM ' = k OM

1.5.PhÐp đồng dạng:
: là phép đồng dạng ( thờng ký hiệu S (O,k,α ).
ƒ: A  A' ⇔ AB = kAB.
B  B'
1.6. PhÐp quay:

α
KÝ hiƯu: Qo hc Q(0,α) phÐp quay t©m O gãc quay α.

Qoα : M



M' ⇔

OM' = OM

(OM, OM') =


Hoặc Qo đợc trình bày: Qo = ĐbĐa.Tích cđa 2 phÐp ®èi xøng trơc α =2(a ,b).

2. Mét số định nghĩa.
20


2.1. Điểm bất động trong phép biến hình.
a/ Định nghĩa: Điểm M đợc gọi là điểm bất động trong phép biÕn h×nh ƒ
⇔ ƒ(M) = M
b/ VÝ dơ: - PhÐp ®èi xøng trơc ∆: Mäi ®iĨm ∈∆ ®Ịu lµ ®iĨm bất động.
- Phép đối xứng tâm O: Chỉ có điểm O bất động.

- Phép tịnh tiến Tv ( v o ): Không có điểm bất động.
k
- Phép vị tự Vo (k1): O là điểm bất động duy nhất .



- Phép quay Qo : O là điểm bất động.
Chú ý: Điểm bất động thờng còn đợc gọi cách khác là: §iĨm bÊt biÕn, ®iĨm
kÐp.
c/ NÕu trong phÐp biÕn ®ỉi ®iĨm : Mọi điểm đều bất động thì đợc gọi là
phép biến đổi đồng nhất. Kí hiệu: e (hoặc id).
e: là phÐp ®ång nhÊt ⇔ ∀M: e(M) = M
2.2. TÝch cđa 2 phÐp biÕn h×nh:
a/ Cho 2 phÐp biÕn h×nh ƒ: P → P

g:P→P

M  ƒ(M) = M'  M'' = g(M) =g[ƒ(M)].
Suy ra:

g° ƒ: P → P .

Mµ g° ƒ: P → P
M  M'' = g° ƒ(M).

M  M'' = g[(M)].
Vậy tích của 2 phép biến hình là 1 phép biến hình.
b/ e: P P và : P → P

Ta cã ∀ M ∈ P: e°ƒ(M) = e[ƒ(M)] = ƒ(M), ƒ°e(M) = ƒ[e(M)] = ƒ(M) .

c/ Cho ƒ: P → P

cßn

ƒ-1 : P → P
21


M  M'

M'  M

Khi ®ã ƒ-1°ƒ(M) = M =e(M) ∀M ∈ P, ƒ°ƒ-1(M') = M' = e(M') ∀M' ∈ P.


-1= e, -1 = e.

-1 đợc gọi là phép biến hình đảo ngợc của .
Ví dụ. Phép đối xứng trục Đ: có phép đảo ngợc là chính nó.
Phép tịnh tiến Tv có phép đảo ngợc là Tv .
1

k
Phép vị tự tự Vo có phép đảo ngợc là Vo k .

d/ Tõ a, b, c, suy ra: PhÐp biÕn h×nh víi tích các phép biến hình lập thành một
nhóm. Đó là nhóm các phép biến hình.
ã Phần tử đơn vị là e.
ã Phần tử nghịch đảo của là phép đảo ngợc -1 .
Nói chung nhóm các phép biến hình không giao hoán

II - Tích các phép biến hình
Khi xét các phép dời hình cần chú ý: Phép đối xứng trục có thể coi là cơ sở,
từ đó ta có thể xây dựng tất cả các phép dời khác. Tích của hai phép đối xứng
trục là phép tịnh tiến (nếu các trơc song song), lµ phÐp quay ( nÕu hai trơc cắt
nhau). Ngời ta có thể chứng minh đợc rằng mọi phép dời hình đều là tích của
không quá không quá ba phép đối xứng trục.
Khi xét tới tích các phép dời hình có các định lý:
i/ Tích 2 phép đối xứng tâm là một phép tịnh tiến và phep tịnh tiến lại
phân tích đợc thành nhiều cách khác nhau thành tích 2 phép đối xứng tâm.

22


ii/ Tích hai phép đối xứng trục cắt nhau là một phép quay và mọi phép
quay cũng đơc phân tích thành nhiều cách khác thành tích của hai phép đối
xứng trục có trục cắt nhau đi qua tâm.
iii/ Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến và mọi phép tịnh
tiến đều đợc phân tích thành nhiều cách khác nhau thành tích hai phép tịnh
tiến thích hợp.
Đó là các định lý cơ sở, từ đó có thể xây dùng tÝch cđa hai hay nhiỊu phÐp
dêi h×nh víi nhau. Bây giờ chúng ta khẳng định lại điều đó và xét các ứng dụng
của các phép biến hình vào giải toán.
Đ1. Tích các phép đối xứng tâm, tịnh tiến
1.1. Tích hai phép đối xứng tâm.
Định lý 1. Tích của hai phép đối xứng tâm
là một phép tịnh tiến.
Chứng minh: Cho §O : M  M' vµ

§O’:

M  M'. Ta sÏ chứng minh : ĐO'. ĐO = Tv
Theo định nghĩa ta cã:
§O: M  M' ⇔ OM ' = - OM .
§O' : M  M' ⇔ O' M ' ' = - OM ' .
Ta tÝnh MM ' ' theo OO' . Do MM ' ' = MO + OO' + O' M ' '
Suy ra MM ' ' = OM ' + OO' - O ' M ' = OM ' + M 'O ' + OO' = 2 OO' .
HÖ thøc : MM ' ' = 2 OO ' chøng tá T2oo ' : M  M'. VËy §O'. §O = T2oo '



Do ®ã §O'°§O = Tv ( v = 2 OO' ) (®pcm).

23


Hệ quả: ĐO'ĐO = e ( e: phép đồng nhất ).
Định lý 2. Mọi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thanh nhiều cách khác
nhau thành tích của hai phép đối xứng tâm .
Chứng minh: Giả sử có phép tịnh tiến Tv . Lấy O1 là điểm bất kì. Giả sử O2 là
ảnh của O1 qua phép tịnh tiến

T1 ta có
v
2

Đ O1 Đ O 2 =

Tv (theo định lý1). Rõ ràng

có nhiều cách khác nhau chọn điểm O1 (đpcm).
Định lý 3. Tích của một phép tịnh tiến với một phép đỗi xứng trục qua tâm
hoặc một phép đối xứng qua tâm với một phép tịch tiến là một phép đối xứng
qua tâm.
Chứng minh: Giả sử có phép tịnh tiến Tv và phép đối xứng tâm ĐO1. .Xét

T
tích Tv .ĐO1 , ĐO1. Tv . Giả sử O2 là ¶nh cđa O1 qua phÐp tÞnh tiÕn 1 v .
2

Theo định lý1: Tv = ĐO2.ĐO1

(1)

Nhân vào hai vế của (1) về phía bên phải với Đ O1.Ta có: Tv o §O1= §O2°§O1.
§O1 = §O2.(do §O1°§O1= e).
Chøng minh t¬ng tù :
Gäi O'2 là ảnh của O1 qua
khi đó Tv = ĐO1ĐO2'

T1
2

v

(2)

Nhân 2 vế của (2) với ĐO1 vào bên trái.
Ta cã: §O1° Tv = §O1°§O1°§O2' = §O2'

24


ĐO1 Tv = ĐO2' (đpcm)
Định lý 4. Tích của hai phép tịnh tiến là phép tịnh tiến có véc tơ tịnh tiến
bằng véc tơ tổng.
Định lý này đà đợc chứng minh trong (2.2.ii Chơng 1)
Hệ quả: ã Tích của n phép tịnh tiến là phép tịnh tiến véc tơ tổng.



ã Tích của hai phép tịnh tiến (có vec tơ tịnh tiến khác 0 ) có tính
giao hoán .
Thật vậy Tu ° Tv = Tu+ v , Tv ° Tu = Tv+u = Tu+ v , ⇒ Tv+u = Tu+ v .
Từ định lý 4, ta có thể suy ra đợc tích của n phép đối xứng tâm. Đó là nội
dung định lý 5.
Định lý 5. Tích của chẵn phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến.
Tích của lẽ phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.
Chứng minh: Giả sử có n = 2k phép đối xứng tâm ĐO1, §O2,..., §O2k
Ta cã: §O2k°§O2k-1...§O2 °§O1 = (§O2k°§O2k-1) °(…)°(§O2 °§O1)
dly1

=

dly 4

=

T2O

2 k −1O2 k

°

…° T2O1O2 .

T2( O O ) .
1 2k

VËy §O2k°§O2k-1...§O2° §O1 = T2 ( O1O2 k ) .
Víi n=2k+1 Phép đối xứng tâm. Tacó:
ĐO2k+1ĐO2k.ĐO2k-1...ĐO2ĐO1 = ĐO2k+1 T2 ( O1O2 k ) .
CMT

Theo định lý 3: ĐO2k+1 T2 ( O1O2 k ) = ĐO.(trong đó O là ảnh của O2k+1 qua T−( O1O2 k ) )
⇒ (®pcm).
25