Sử dụng phương pháp tọa độ giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (447.44 KB, 10 trang )
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
I.
PHẦN MỞ ĐẦU
Ứng dụng phương pháp tọa đô để giải bài toán khoảng cách trong hình học
không gian lớp 11 và các đề thi đại học.
Trong chương trình toán phổ thông, môn hình học không gian trong chương trình lớp
11, đa số học sinh còn yếu về cách xác định khoảng cách giữa điểm với đường thẳng,
giữa hai mặt phẳng song song hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau .... Lên lớp 12
học sinh, được học hình học giải tích trong học kỳ 2 của lớp 12. Nhằm giúp các em
học sinh lớp 12 vận dụng mối quan hệ giữa hình học giải tích và hình học không gian,
để giải quyết một số bài toán. Đặc biệt là các bài toán tính khoảng cách trong sách
giáo khoa lớp 11 hiện hành, trong các đề thi đại học, cao đẳng cũng thường xuyên xuất
hiện các bài toán tính khoảng cách đó.
Chẳng hạn như bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, đây là
bài toán khó, khi học sinh gặp phải thì lúng túng trong việc xác định đoạn vuông góc
chung giữa hai đường thẳng đó để tính.
Do đó việc ứng dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách, giúp cho các em
không cần xác định đoạn vuông góc chung mà vẫn tính được thông qua áp dụng công
thức để có kết quả.
II.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1) Trong không gian (Oxyz ) cho M ( x; y; z ) và đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
r
và nhận véc tơ u = (a; b; c) làm véc tơ chỉ phương.
Khi đó khoảng cách từ điểm M ( x; y; z ) đến đường thẳng ∆ được tính bởi công thức:
uuuuuu
r r
M 0 M , u
d ( M ; ∆) =
r
u
(trích bài toán 1 trang 100 sgk nâng cao)
2) Trong không gian (Oxyz ) cho điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng
(α ) : Ax + By + Cz + D = 0 .
Khi đó khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) được tính bởi công thức:
d ( M 0 ;(α )) =
Ax0 + By0 + Cz0 + D
A2 + B 2 + C 2
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 1
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
3) Trong không gian (Oxyz ) cho hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau, biết d1 đi qua điểm M 1
ur
uu
r
và có vectơ chỉ phương u1 ; d 2 đi qua điểm M 2 và có vectơ chỉ phương u2
Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 được tính bởi công thức:
d ( d1 ; d 2 )
ur uu
r uuuuuur
u1 , u2 .M 1M 2
=
ur uu
r
u1 , u2
(trích bài toán 2 trang 101 sgk nâng cao)
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
Để giải được các bài toán hình học không gian hay bài toán khoảng cách bằng phương
pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
Lập tọa độ các đỉnh, các điểm liên quan dựa vào độ dài các cạnh và hệ trục tọa độ đã chọn.
Ta tiến hành các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ (Oxyz ) thích hợp.
Bước 2: Xác định tọa độ các điểm liên quan.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán.
IV. CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG
1. CÁC BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA
Bài 1:(BT5 SGKCB LỚP11/121)
Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b . Tam giác ADC vuông tại D có CD = a . Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC .
z
Bài giải:
Ta có ( ABC ) ⊥ ( ADC ) và ( ABC ) ∩ ( ADC ) = AC
mà BA ⊥ AC nên BA ⊥ ( ADC )
Mặt khác AB = DC = a, AC = b ⇒ AD = b 2 − a 2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
( b − a ;0;0 ) ,
B ( 0;0; a ) ; C ( b − a ; a;0 )
uuur
uuur
Ta có AD = ( b − a ;0;0 ) , BC = ( b − a ; a; − a )
uuur
và AC = ( b − a ; a;0 )
uuuu
ruuur
⇒ AD, BC = ( 0; a b − a ; a b − a )
Khi đó A(0;0;0), D
2
2
2
2
2
2
2
2
B
a
A
D
2
2
2
2
2
b
x
2
y
a
C
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC là:
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 2
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
uuuu
ruuur uuuu
r
AD, BC . AC
0 + a 2 b2 − a 2 + 0
a
a 2
d ( AD; BC ) =
=
=
=
uuuu
ruuur
2
2
AD, BC
2a 2 b 2 − a 2
(
)
Bài 2:(BT4 SGKCB LỚP 11/121)
·
Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc BAD
= 600 . Gọi O là
giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng
( ABCD) và SO =
3a
. Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng ( SBC ) .
4
Bài giải:
·
Ta có ∆BAD là tam giác cân , có góc BAD
= 600
z
S
a 3
⇒ ∆BAD đều cạnh a nên BD = a; AO = OC =
2
a
3a
; OB = OD = và SO = .
2
4
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
a
a 3
3a
D
;0 ÷
Khi đó O(0;0;0), B ;0;0 ÷, C 0;
÷; S 0;0; 4 ÷
2
2
và A 0; −
a 3
;0 ÷
÷
2
C
O
60°
uur a
r a 3 3a
3a uuu
SB
=
;0;
−
,
SC
= 0;
;− ÷
Ta có
÷
4
2
4 ÷
2
y
A
B
x
uuuruuu
r 3a 2 3 3a 2 a 2 3 a 2 3
⇒ SB,SC =
;
;
÷
÷ = 8 3; 3; 2
8
8
4
r
uuuruuu
r
8
3a
Mặt phẳng ( SBC ) đi qua S 0;0; ÷ và nhận véc tơ n = 2 SB,SC = 3; 3; 2 làm véc tơ
4
a 3
(
)
(
)
pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng ( SBC ) : 3( x − 0) + 3( y − 0) + 2 z −
hay ( SBC ) : 3 x + 3 y + 2 z −
3a
÷= 0
4
3a
=0
2
Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) là d (O;( SBC )) =
Và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) là d ( A;( SBC )) =
3a
3a
2
=
8
9+3+ 4
0+0+0−
0−
3a
3a
+0−
3a
2
2
=
4
9+3+ 4
Bài 3: (BT30 SGKNC LỚP 11/ 117)
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 3
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
Cho Hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a .Góc tạo bởi cạnh bên và mặt
phẳng đáy bằng 300 . Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng ( A ' B ' C ') thuộc đường thẳng
B ' C '.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C ' .
z
Bài giải:
A
C
B
30
30°
A'
y
C'
H
B'
x
Ta có H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') và H ∈ B ' C '
Suy ra góc giữa cạnh bên AA ' và ( A ' B ' C ' ) là ·AA ' H = 300
Trong tam ∆AHA ' vuông ở H . Ta có A ' H = AA 'cos 300 =
trung điểm B ' C ' ; AH = A ' H tan 300 =
a 3
mà ∆A ' B ' C ' đều ⇒ H là
2
a 3 1
a
.
=
2
3 2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
a
a 3
a
a
;0;0 ÷
; C ' 0; ;0 ÷
Khi đó H (0;0;0), A 0;0; ÷, A ' −
÷, B ' 0; − 2 ;0 ÷
2
2
2
a
2
uuuur a 3
u
u
u
u
u
r
u
u
u
u
u
r
a 3 a
a
;0; ÷
; B ' C ' = ( 0; a;0 ) và A ' B ' =
; − ;0 ÷
b) Ta có A ' A =
÷
2
2 ÷
2
2
uuuuu
ruuuuu
r a2
a2 3
⇒ A ' A, B ' C ' = − ;0;
÷
2 ÷
2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AA ' và B ' C ' là:
a) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A ' B ' C ') là AH =
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 4
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
a3 3
uuuuu
r uuuuu
r uuuuur
−
+0+0
A ' A, B ' C ' . A ' B '
4
a 3
d ( AA '; B ' C ') =
=
=
uuuuu
r uuuuu
r
4
A ' A, B ' C '
a4
3a 4
+0+
4
4
Bài 4: (BT32 SGKNC LỚP 11/ 117)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB = AA ' = a, AC ' = 2a .
a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ACD ') .
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và CD ' .
Bài giải:
a) Ta có AB = AA ' = a, AC ' = 2a nên AC = A ' C ' = a 3
z
⇒ BC = B ' C ' = A ' D ' = AD = a 2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó A ' ( 0;0;0 ) , B ' ( a;0;0 ) ; C ' a; a 2;0 ; D ' 0; a 2;0
(
(
) (
)
(
Và A ( 0;0; a ) ; C a; a 2; a ; D 0; a 2; a
)
) (
(
)
(
)
C
B
uuur
uuuur
AC
=
a
;
a
2;0
,
AD ' = 0; a 2; − a
Ta có
uuuu
ruuuur
⇒ AC , AD ' = − a 2 2; a 2 ; a 2 2 = −a 2 2; −1; − 2
Mặt phẳng ( ACD ') đi qua A ( 0;0; a ) có
r
r uuuur
1 uuuu
vec tơ pháp tuyến là n = − 2 AC , AD ' = 2; −1; − 2
a
(
D
A
)
)
(
D'
A'
)
B'
C'
x
Phương trình mặt phẳng ( ACD ') : 2 x − y − 2 z + a 2 = 0
Vậy khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( ACD ') là
d ( D;( ACD ') =
0−a 2 +a 2 +a 2
=
a 2 a 10
=
5
5
2 +1+ 2
uuur
uuuu
r
uuuur
b) Ta có AC ' = a; a 2; −a , CD ' = ( −a;0; −a ) và AD ' = 0; a 2; −a
uuuuruuuu
r
⇒ AC ',CD ' = −a 2 2; 2a 2 ; a 2 2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và CD ' là:
uuuuruuuu
r uuuur
AC ',CD ' . AD ' 0 + 2a 3 2 − a 3 2
a3 2
a
d ( AA '; B ' C ') =
=
= 2
=
uuuuruuuu
r
2a 2 2
AC ',CD '
2a 4 + 4a 4 + 2a 4
(
(
)
)
(
)
2.CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Bài 5: (ĐỀ THI ĐHKA 2012)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 5
y
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
z
Bài giải:
S
Gọi D là trung điểm AB ta có
a a a
a
a 3
− = , DC =
, HB = ,
2 3 6
3
2
3a 2 a 2 a 7
HC = DC 2 + DH 2 =
+
=
4 36
3
a 7
a 21
và SH = CH tan 600 =
. 3=
3
3
HD = DB − HB =
60°
A
C
y
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
a
a a 3
2a
;0 ÷
Khi đó H (0;0;0), B ;0;0 ÷, C − ;
÷, A − 3 ;0;0 ÷
3
6 2
D
a 21
và S 0;0;
÷
3 ÷
uur 2a
uuur
a 21 uuur a a 3
SA
=
−
;0;
−
,
BC
=
−
;
;0
AB = (a;0;0)
Ta có
và
÷
÷
2 2
÷
3 ÷
3
uuuruuur a 2 7 a 2 21 a 2 3
⇒ SA, BC =
;
;−
÷
2
6
3 ÷
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là:
uuuruuur uuur
SA, BC . AB
d ( SA; BC ) =
=
uuuruuur
SA, BC
a3 7
+0+0
2
4
7 a 4 21a 3a 4
+
+
4
36
9
=
H
B
x
a 42
8
Bài 6: (ĐỀ THI ĐHKA 2011)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a; hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB;
mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC)
và (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Bài giải
Ta có ( SAB) và ( SAC ) cùng vuông góc với ( ABC ) nên SA ⊥ ( ABC ) .
Mặt khác AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC suy ra góc giữa hai mặt phẳng
·
( SAB ) và ( SAC ) là SBA
= 600 ⇒ SA = AB tan 600 = 2a 3
Mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC tại N
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 6
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
⇒ MN / / BC và N trung điểm AC và MN =
BC
AB
= a, BM =
=a
2
2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó A(0;0;0), B(2a;0;0), S 0;0; 2a 3 , N ( a; a;0)
(
S
)
uuur
uuu
r
uuur
Ta có AB = (2a;0;0), SN = a; a; 2a 3 và AN = (a; a;0)
uuuruuu
r
⇒ AB, SN = 0; −4a 2 3; 2a 2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN là:
uuuruuu
r uuuu
r
AB,SN . AN
0 − 4a 3 3 + 0 2a 39
d ( AB; SN ) =
=
=
uuuruuu
r
4
4
13
AB,SN
48
a
+
4
a
(
(
)
)
z
A
y
60°
N
M
C
B
Bài 7: (ĐỀ THI ĐHKA 2010)
x
Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a .Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB và AD , H là giao điểm của CN với DM . Biết SH vuông góc với
mặt phẳng ( ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .
Bài giải
·
Ta có ∆ADM = ∆DCN (c-g-c) suy ra ·ADM = DCN
⇒ DM ⊥ CN tại H .
Mặt khác
CD 2 = HC.CN ⇒ HC =
CD 2
=
CN
a2
a2 +
a2
4
=
2a 2a 5
=
5
5
z
S
a2 a 5
4a 2 a 5
và HD = CD 2 − HC 2 = a 2 −
=
=
4
2
5
5
a 5 a 5 3a 5
MH = MD − HD =
−
=
2
5
10
MD = a 2 +
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
2a 5
a 5
;0;0 ÷
÷, D 0; 5 ;0 ÷
÷
5
Khi đó H (0;0;0), C
A
M
3a 5
M 0; −
;0 ÷
÷, S 0;0; a 3
10
B
uuuu
r a 5 uuu
r 2a 5
uuur −2a 5 a 5
;0 ÷
Ta có MD = 0;
÷, SC = 5 ;0; − a 3 ÷
÷, CD = 5 ; 5 ;0 ÷
÷
2
2
uuuuu
ruuu
r a 15
⇒ DM , SC = −
;0; −a 2 ÷
÷
2
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC là:
(
y
N
D
H
)
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
C
x
trang 7
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
uuuuu
r uuu
r uuur
DM , SC .CD
a 3 3 + 0 + 0 2a 3 2a 57
d ( DM ; SC ) =
=
=
=
uuuuu
r uuu
r
4
19
19
DM ,SC
15
a
4
+a
4
Bài 8: (ĐỀ THI ĐHKB 2011)
Cho hình lăng trụ ABCD. A1 B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . Hình
chiếu vuông góc của A1 trên mặt phẳng ( ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD . Góc
giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và ( ABCD) bằng 600 . Tính khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng
( A1 BD) theo a .
B1
C1
Bài giải :
z
D1
A1
B
C
O
y
60°
A
E
D
x
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Suy ra A1O ⊥ ( ABCD)
Goi E là trung điểm AD ⇒ OE ⊥ AD và A1 E ⊥ AD nên góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và
( ABCD) là ·A1 EO = 600 .
Mặt khác A1O = OE tan ·A1 EO =
AB
a 3
tan 600 =
2
2
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó O(0;0;0), A1 0;0;
a 3
÷
2 ÷
a a 3
a a 3
a 3
B − ; −
;0 ÷
;0 ÷
, B1 −a;0;
, D ;
÷
÷
÷
2
2 ÷
2
2 2
uuur a a 3 a 3
uuuu
r a a 3 a 3
;−
,
A
D
= ;
;−
Nên ta có A1 B = − ; −
÷
÷
1
2
2 ÷
2 ÷
2
2 2
uuuuruuuu
r 3a 2 a 2 3 a 2 3
⇒ A1 B, A1 D =
;−
;0 ÷
3; −1;0
÷= 2
2
2
(
)
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 8
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
Mặt phẳng ( A1 BD) đi qua A1 0;0;
r
n=
2
a
2
3
uuuuruuuu
r
A1 B, A1 D =
(
3; −1;0
)
a 3
÷ có vec tơ pháp tuyến là
2 ÷
Phương trình mặt phẳng ( A1 BD) : 3 x − y = 0
Vậy khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng ( A1 BD) là d ( B1;( A1BD)) =
−a 3 + 0
3 +1
=
a 3
2
V. KẾT LUẬN
Vậy để tọa độ hóa các bài toán hình học không gian lớp 11, nếu các bài toán đó ta xác
định được hình chiếu của một điểm hoặc của một đỉnh lên mặt phẳng đối diện của điểm hoặc
đỉnh đó.
Trên đây là một số bài toán ứng dụng phương pháp tọa độ , nhằm giúp cho các học
sinh khối 12 làm tài liệu tham khảo, để ôn thi vào các trường đại học cao đẳng.
Rất mong sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô trong tổ toán, để chuyên đề lần sau được viết
tốt hơn.
Chân thành cám ơn !
Vinh Xuân, tháng 3 năm 2013
Người thực hiện
Đỗ Văn Sơn
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 9
Ứng dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 11...
MỤC LỤC
I.
PHẦN MỞ ĐẦU...............................................................trang 1
II.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT........................................................trang 1
III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI......................................................trang 2
IV. CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG................................................trang 2
1. CÁC BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA................................trang 2
2.CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC ......................................................trang 5
V. KẾT LUẬN ............................................................................ trang 9
Giáo viên Đỗ Văn Sơn, tổ toán trường THPT Vinh Xuân
trang 10
