10 5 hệ THỐNG điều KHIỂN tối ưu

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

10-5. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU.
Trong phần này chúng ta sẽ xem xét thiết kế HT ĐK ổn đònh dựa trên chỉ số thực
hiện toàn phương. HT ĐK mà chúng ta xem xét ở đây là:
x& = Ax + Bu

(10-122)

Trong việc thiết kế HT điều khiển, chúng ta thường quan tâm việc chọn vector ĐK
u(t) để cho một chỉ số thực hiện toàn phương cho trước là tối thiểu. Điều này có thể
chứng minh với một chỉ số thực hiện toàn phương:
J = ∫ 0∞ L( x, u ) dt

với L(x, u) là một hàm toàn phương hay hàm Hermitian của x và u sẽ tạo ra một quy
luật ĐK tuyến tính. Tức là:
u (t ) = − K x(t )

với K là ma-trận r × n hay

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

71


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

 u1 
u 

 2
.
 =−
.
.
 
u r 

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

 k11
k
 21
 .

 .
 .

 k r1

k12
k 22
.
.
.
kr2

. . . k1n   x1 
. . . k 2 n   x2 
 

.  . 

.  . 
 
.  . 
 
. . . k r n   xn 

Do đó, thiết kế HT ĐK tối ưu và HT điều chỉnh tối ưu dựa trên chỉ số thực hiện toàn
phương là xác đònh các phần tử của ma-trận K.
Xét vấn đề xác đònh vector ĐK tối ưu u(t) cho HT được mô tả bởi phương trình (10 –
122) và chỉ số thực hiện cho bởi:
J = ∫ 0∞ ( x ∗Qx + u ∗ Ru ) dt

(10-123)

với Q là ma-trận đối xứng thực hoặc là ma-trận Hermitian xác đònh dương (hoặc bán
xác đònh dương), R là ma-trận đối xứng thực hoặc ma-trận Hermitian xác đònh
dương, u không bò ràng buộc. HT ĐK tối ưu này là cực tiểu hóa chỉ số thực hiện. HT
như vậy là ổn đònh. Chúng ta sẽ đưa ra kỹ thuật dựa trên phương pháp 2 Liapunov.
Chú ý rằng trong nghiên cứu vấn đề ĐK tối ưu toàn phương sau chúng ta sử dụng chỉ
số thực hiện toàn phương phức (chỉ số thực hiện Hermitian) hơn là sử dụng chỉ số
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

72


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

thực hiện toàn phương thực và ma-trận thực vì dạng trước bao hàm cả dạng sau.Với
HT vector thực và ma-trận thực thì ∫ 0∞ ( x ∗Qx + u ∗ Ru ) dt chính là ∫ 0∞ ( x T Qx + u T Ru ) dt
Tối ưu hóa HT ĐK theo phương pháp 2 Liapunov.
Theo phương pháp cổ điển thì HT ĐK trước hết được thiết kế và sau đó kiểm đònh
lại tính ổn đònh của nó. Trong lúc đó, ở đây điều kiện ổn đònh được công thức hóa
trước và sau đó HT được thiết kế trong những giới hạn này.
Nếu phương pháp 2 của Liapunov được sử dụng để tạo ra dạng cơ bản thiết kế bộ
ĐK tối ưu thì chúng ta được đảm bảo rằng HT sẽ làm việc, tức là tín hiệu ra của HT
sẽ liên tục được ĐK đưa về giá trò mong muốn của nó. Vì vậy HT được thiết kế có
đặc tính ổn đònh. Với phần lớn HT điều khiển, mối quan hệ trực tiếp có thể được chỉ
ra giữa các hàm Liapunov và các chỉ số thực hiện toàn phương được sử dụng trong
tổng hợp HT ĐK tối ưu. Chúng ta bắt đầu kỹ thuật Liapunov trong giải quyết vấn
đề tối ưu hóa bằng việc xét một trường hợp đơn giản được biết như là vấn đề tối ưu
hóa thông số.
Vấn đề tối ưu hóa thông số được giải quyết dựa trên phương pháp 2 của
Liapunov.
N/cứu về một mối quan hệ trực tiếp giữa các hàm Liapunov và chỉ số thực hiện toàn
phương và giải quyết vấn đề tối ưu hóa thông số sử dụng mối quan hệ này. Xét HT:
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

73


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

x& = Ax

Với tất cả các giá trò riêng của A có phần thực âm hoặc gốc tọa độ x = 0 là ổn đònh
tiệm cận. (gọi ma-trận A là ma-trận ổn đònh). Chúng ta giả thiết rằng ma-trận A liên
quan đến các thông số điều chỉnh. Điều mong muốn là tối thiểu hóa chỉ số thực hiện
sau:
J = ∫ 0∞ x ∗Qx dt

với Q là ma-trận đối xứng thực hay ma-trận Hermitian xác đònh dương (hoặc bán
xác đònh dương). Vì thế vấn đề này trở thành việc xác đònh các giá trò của các thông
số điều chỉnh để tối thiểu hóa chỉ số thực hiện.
Chứng minh rằng hàm Liapunov có thể được sử dụng để giải quyết vấn đề này. Giả
sử :
x ∗Qx = −

d ∗
( x Px)
dt

với P là ma-trận đối xứng thực hay ma-trận Hermitian xác đònh dương. Khi đó ta có
x ∗Qx = − x& ∗ Px − x ∗ Px& = − x ∗ A∗ Px − x ∗ PAx = − x ∗ ( A∗ P + PA) x

Bằng cách sử dụng phương pháp 2 Liapunov, chúng ta biết rằng với Q cho trước, tồn
tại P nếu A là ổn đònh để cho:
A∗ P + PA = −Q
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

(10-124)
74


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

Vì thế chúng ta có thể xác đònh các phần tử của P từ phương trình này.
Chỉ số thực hiện J có thể được ước lượng.
∞

J = ∫ ∞0 x ∗Qxdt = − x ∗ Px = − x ∗ (∞) Px(∞) + x ∗ (0) Px(0)
0

Vì tất cả các giá trò riêng của A có phần thực âm, chúng ta sẽ có x(∞) → 0 . Vì vậy:
J = x ∗ (0) Px(0)

(10-125)

Vì chỉ số thực hiện J có thể có được cho dưới dạng điều kiện ban đầu x(0) và P, liên
hệ với A và Q bởi phương trình (10-124). Chẳng hạn, nếu một thông số HT được
chỉnh để tối thiểu hóa chỉ số thực hiện J, khi đó nó có thể được hoàn thành bởi việc
tối thiểu hóa x ∗ (0) Px(0) theo thông số. Vì x(0) là điều kiện đầu cho trước và Q cũng
cho trước. P là hàm của các phần tử của A. Vì vậy quá trình tối thiểu hóa này sẽ tạo
kết quả tối ưu của các thông số điều chỉnh.
Điều quan trọng cần lưu ý là giá trò tối ưu của thông số này nói chung phụ thuộc vào
điều kiện đầu x(0). Tuy nhiên, nếu x(0) chỉ bao gồm một phần tử khác 0, chẳng hạn
x1 (0) ≠ 0 , và các điều kiện đầu khác bằng 0, thì giá trò tối ưu của thông số là không
phụ thuộc vào giá trò số của x1(0).
Ví dụ 10-9.

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

75

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

Xét HT được vẽ trên hình 10-22. Xác đònh giá trò của hệ số tắt dần ζ > 0 để cho khi
HT được kích thích bởi tín hiệu vào step r(t) = 1(t) thì chỉ số thực hiện sau là tối
thiểu:
J = ∫ 0∞+ (e 2 + µ e& 2 )dt

( µ > 0)

với e là tín hiệu sai số và được cho bởi e = r – c. HT này được giả sử xuất phát từ
trạng thái nghỉ.
r

e

+
-

c

1
s(s + 2ζ )

Hình 10-22. HT điều khiển
Từ hình 10-22, ta có:
C ( s)

1
= 2
R( s ) s + 2ζ s + 1

hay

c&& + 2ζ c& + c = r

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

76


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

hay

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

e&& + 2ζ e& + e = &r& + 2ζ r&

Vì tín hiệu vào r(t) là bước đơn vò, chúng ta có r&(0+) = 0, &r&(0+) = 0 . Vì vậy với t ≥ 0 + ,
chúng ta có:
e&& + 2ζ e& + e = 0,

e(0+ ) = 1,

e&(0+ ) = 0

Xác đònh các biến trạng thái như sau:

x1 = e
x2 = e&

Khi đó phương trình trạng thái sẽ là:
x& = Ax

với
1 
 0
A=

 − 1 − 2ζ 

Chỉ số thực hiện J có thể được viết như sau:
J = ∫ 0∞+ (e 2 + µ e& 2 )dt = ∫ 0∞+ ( x12 + µ x 22 )dt
= ∫ 0∞+ [x1

1 0   x1 
x2 ]
dt



0 µ   x 2 

= ∫ 0∞+ x T Qxdt
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

77

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

với
 x1  e
x= = ,
 x2  e&

1 0 
Q=

0 µ 

Vì A là một ma-trận ổn đònh (xem phương trình 10-125), giá trò của J có thể được
cho:
J = x T (0+) Px(0+)

với P được xác đònh từ:
(10-126)

AT P + PA = −Q

Từ (10-126), chúng ta viết lại:
0 − 1   p11
1 − 2ζ   p

  12

p12   p11
+
p 22   p12

p12   0
1  −1 0 
=
p 22   − 1 − 2ζ   0 − µ 

Khai triển phương trình này ta được phương trình sau:
− 2 p12 = −1
p11 − 2ζ p12 − p 22 = 0
2 p12 − 4ζ p 22 = − µ

Giải ba phương trình này với pi j , ta có:

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

78


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

p
p =  11
 p12

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

1+ µ


ζ
+
p12  
4ζ
=

1
p 22  
2


1 
2 
1 + µ 
4ζ 

Thay thế điều kiện đầu x1(0+) = 1, x2(0) = 0 vào phương trình sau cùng, chúng ta có:
J = x T (0+) Px(0+)
1+ µ  2
1+ µ 2

= ζ +
x 2 (0+ )
 x1 (0+ ) + x1 (0+ ) x2 (0+) +
4ζ 
4ζ


Để tối thiểu hóa J theoξ , đặt ∂J / ∂ζ = 0

1+ µ
∂J
= 1−
=0
2
∂ζ
4ζ

Hay

ζ =

1+ µ
2

Vì vậy giá trò tối ưu của ζ là 1 + µ / 2 . Chẳng hạn nếu µ = 1 thì giá trò tối ưu của ζ
là 2 / 2 = 0.707 .
Vấn đề ĐK tối ưu toàn phương.
Bây giờ chúng ta sẽ xét vấn đề ĐK tối ưu của hệ thống.
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

79


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

x& = Ax + Bu

(10-127)

Xác đònh ma-trận K của vector ĐK tối ưu
u (t ) = − Kx(t )

(10-128)

để tối thiểu hóa chỉ số thực hiện
J = ∫ 0∞ ( x ∗Qx + u ∗ Ru ) dt

(10-129)

với Q là ma-trận đối xứng thực hay ma-trận Hermitian xác đònh dương (hoặc bán
xác đònh dương) và r là ma-trận đối xứng thực hay ma-trận Hermitian xác đònh
dương. Chú ý rằng thành phần thứ hai trên vế phải của phương trình (10-129) giải
thích cho tiêu tốn năng lượng của tín hiệu điều khiển. Ma-trận Q và R xác đònh mức
độ quan trọng tương đối của sai lệch và tổn hao của năng lượng. Giả thiết u(t) là
không bò giới hạn.
Như sẽ thấy sau này, quy luật ĐK tuyến tính (10-128) là quy luật ĐK tối ưu. Vì vậy,
nếu các phần tử chưa biết của ma-trận K được xác đònh để tối thiểu hóa chỉ số thực
hiện, thì u(t) = - Kx(t) là tối ưu cho trạng thái xuất phát x(0) bất kỳ.
Sơ đồ khối vẽ cấu trúc tối ưu trên hình 10-23.

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

80


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

u

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

x& = Ax + Bu

x

-K

Hình 10-23. HT ĐK tốâi ưu.
Bây giờ chúng ta giải quyết vấn đề tối ưu hóa. Thay (10-128) vào (10-127), ta có:
x& = Ax − BKx = ( A − BK ) x

Giả sử rằng ma-trận A - BK là ổn đònh hoặc giá trò riêng của A – BK có phần thực
âm. Giả sử thay (10-128) vào (10-129):
J = ∫ 0∞ ( x ∗Qx + x ∗ K ∗ RKx)dt
= ∫ 0∞ x ∗ (Q + K ∗ RK ) xdt

Đặt

x ∗ (Q + K ∗ RK ) x = −

d ∗
( x Px)
dt

Khi đó ta có
x ∗ (Q + K ∗ RK ) x = − x& ∗ Px − x ∗ Px& = − x ∗ [( A − BK ) ∗ P + P( A − BK )]x

So sánh hai vế của p/trình này và chú ý rằng phương trình phải đúng với mọi x.
( A − BK ) ∗ P + P( A − BK ) = −(Q + K ∗ RK )

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

(10-130)

81


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

Bằng phương pháp 2 Liapunov, nếu A – BK là một ma-trận ổn đònh, tồn tại một matrận xác đònh dương P thỏa phương trình (10-130). Sử dụng kỹ thuật tương tự để rút
ra phương trình (10-125) và để ý rằng x(∞) = 0 , chỉ số thực hiện có thể được viết.
J = x ∗ (0) Px(0)

(10-131)

Để có nghiệm của vấn đề ĐK tối ưu toàn phương, ta tiến hành như sau:
Vì R được giả thiết là ma-trận đối xứng thực hay ma-trận Hermitian xác đònh dương,
chúng ta có thể viết:
R = T ∗T

với T là ma-trận nonsingular, khi đó phương trình (10-130) có thể viết.
( A∗ − K ∗ B ∗ ) P + P( A − BK ) + Q + K ∗T ∗TK = 0

và có thể viết lại
A∗ P + PA + [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P] − PBR −1 B ∗ P + Q = 0

Việc tối thiểu hóa J theo K yêu cầu phải tối thiểu hóa:
x ∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]∗ [TK − (T ∗ ) −1 B ∗ P]x

theo K. (xem bài tập A – 10 –17). Vì biểu thức cuối cùng này là không âm nên cực
tiểu xảy ra khi nó bằng 0, hay
TK = (T ∗ ) −1 B ∗ P
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

82


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

vì vậy

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

K = T −1 (T ∗ ) −1 B ∗ P = R −1 B ∗ P

(10-132)

(10-132) cho ma-trận tối ưu K. Vì vậy, ĐK tối ưu toàn phương với chỉ số thực hiện
được cho ở phương trình (10-129) là tuyến tính và được đưa ra bởi
u (t ) = − Kx(t ) = − R −1 B ∗ Px(t )

Ma-trận P trong (10-132) phải thỏa phương trình (10-130) hay phương trình tối giản
sau:
A∗ P + PA − PBR −1 B ∗ P + Q = 0

(10-133)

Phương trình (10-133) được gọi là phương trình ma-trận tối giản Riccati.
Các bước thiết kế như sau:
1. Giải phương trình (10-133), phương trình ma-trận tối giản Riccati, cho ma-trận P.
2. Thay ma-trận P này vào phương trình (10-132), kết quả ma-trận K là ma-trận tối
ưu.
Nếu ma-trận A – BK là ổn đònh, thì phương pháp này luôn cho kết quả đúng. Nó có
thể được chứng minh rằng yêu cầu A – BK là ma-trận ổn đònh là tương đương với
hạng của

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

83


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

 Q1 / 2 
 1/ 2 
 Q A 


.


.





.
 1 / 2 n−1 
Q A 

(10-134)

bằng n. Điều kiện này được áp dụng để kiểm tra ma-trận A – BK là ổn đònh hay
không.
Một kỹ thuật khác để xác đònh ma-trận hệ số phản hồi tối ưu K như sau:
1. Xác đònh ma-trận P thỏa phương trình (10-130) như là một hàm của K.
2. Thay thế ma-trận P vào phương trình (160-131). Chỉ số thực hiện sẽ là hàm của K.
3. Xác đònh các phần tử của K để đo chỉ số thực hiện J là tối thiểu. Việc tối thiểu
hoá J theo các phần tử k i j của K có thể hoàn thành bằng việc đặt ∂ J ∂ k i j = 0 và
giải cho các giá trò tối ưu của k i j .
Để hiểu thêm chi tiết của kỹ thuật thiết kế này, xem BT A – 10 – 18 và A – 10 –
19. Khi số các phần tử k i j là không nhỏ, thì phương pháp này là không thuận tiện.

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

84


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

Chú ý nếu chỉ số thực hiện được cho ở dạng vector ra thay cho vector trạng thái, tức

là:
J = ∫ 0∞ ( y ∗Qy + u ∗ Ru )dt

thì chỉ số này có thể sửa đổi bằng cách sử dụng phương trình ra
y = Cx

thành

J = ∫ 0∞ ( x ∗C ∗QCx + u ∗ Ru )dt

và các bước thiết kế được đưa ra ở trên có thể áp dụng để xác đònh ma-trận tối ưu K.
VÍ DỤ 10-10.
Xét HT được vẽ trên hình 10-24. Giả thiết tín hiệu ĐK là:
u (t ) = − Kx(t )

Xác đònh ma-trận hệ số phản hồi K để cho chỉ số thực hiện sau là cực tiểu.
J = ∫ 0∞ ( x T Qx + u 2 )dt

Với

1 0 
Q=

0 µ 

( µ ≥ 0)

Từ hình 10-24, phương trình trạng thái của đối tượng là:
x& = Ax + Bu

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

85


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

Với

0 1 
A=
,
0
0



10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

0 
B= 
1 

Chú ý rằng
1
Q=
0

0  1
µ  0

0 
µ 

Chúng ta tìm hạng của ma-trận ở phương trình (10-134), hay
1
 Q 1 / 2  0
 1/ 2  = 
Q A 0

0

0 
µ

1 

0 

là 2.

Vì vậy A – BK là ma-trận ổn đònh và phương pháp Liapunov trình bày trong mục
này cho ta kết quả đúng.
Đối tượng

u

∫

x2

∫

x1

-K

Hình 10-24. HT ĐK
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

86


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

Chúng ta sẽ minh họa việc sử dụng phương trình ma-trận giản ước Riccati trong thiết
kế HT tối ưu. Bây giờ chúng ta giải phương trình (10-133)
A∗ P + PA − PBR −1 B ∗ P + Q = 0

Chú ý rằng ma-trận A là ma-trận thực và ma-trận Q là ma-trận đối xứng thực, matrận P là đối xứng thực, vì vậy phương trình trên có thể viết
0 0  p11
1 0   p

  12

p12   p11
+
p 22   p12

p
−  11
 p12

p12  0 1
p 22  0 0
p12  0
 p11
[
1
][
0
1
]
p
p 22  1
 12

p12  1 0  0 0
+
=
p 22  0 µ  0 0

hay
 0
p
 11

0  0
+

p12  0

2
p11   p12
−
p12   p12 p 22

p12 p 22  1 0  0 0
+
 = 0 0 
2
0
µ
p 22
 

 

Ta rút ra được ba phương trình sau:
2
1 − p12
=0

p11 − p12 p 22 = 0
2
µ + 2 p12 − p 22
=0

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

87


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

Giải các phương trình này ta có (lưu ý P xác đònh dương)
p
P =  11
 p12

p12   µ + 2
=
p 22   1



µ + 2

1

Xem phương trình (10-132), ma-trận hệ số phản hồi tối ưu K là:
K = R −1B∗ P
p
= [1][0 1]  11
 p12

p12 
= [ p12

p22 

[

p22 ] = 1

µ + 2]

Vì thế tín hiệu ĐK tối ưu là: u = − Kx = − x1 − µ + 2x2

(10-135)

Chú ý rằng quy luật ĐK được đưa ra bởi (10-135) tạo ra một kết quả tối ưu với trạng
thái đầu bất kỳ dưới chỉ số thực hiện cho trước. Hình 10-25 là sơ đồ khối cho HT
này.
u

∫

x2

x1

∫

µ +2

Hình 10-25. ĐK tối ưu đối tượng vẽ trên hình 10-24

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

88


Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

Kết luận
1. Với trạng thái đầu x(t0) bất kỳ, vấn đề ĐK tối ưu là tìm một vector cho phép u(t)
chuyển trạng thái này tới miền mong muốn của không gian trạng thái và với nó
chỉ số thực hiện là cực tiểu. Với sự tồn tại của vector ĐK tối ưu u(t), HT phải ĐK
được trạng thái đầy đủ.
2. HT cực tiểu (hoặc cực đại) chỉ số thực hiện được chọn theo đònh nghóa tối ưu. Mặc
dù bộ ĐK có thể không làm việc để tối ưu trong nhiều trường hợp thực tế, điểm
quan trọng là việc thiết kế dựa trên chỉ số thực hiện toàn phương tạo ra một HT
ổn đònh.
3. Đặc tính của quy luật ĐK tối ưu dựa trên chỉ số thực hiện toàn phương là hàm
tuyến tính của các biến trạng thái, điều này ngụ ý là chúng ta cần phản hồi lại tất
cả các biến trạng thái. Điều này yêu cầu tất cả các biến như vậy là có thể phản
hồi. Nếu không phải tất cả các biết đều phản hồi được thì khi đó chúng ta cần sử
dụng một bộ quan sát trạng thái để ước lượng nghiệm biến trạng thái không đo
được và sử dụng những giá trò ước lượng này để tạo tín hiệu ĐK tối ưu.
4. Khi HT ĐK tối ưu được thiết kế theo thời gian (time – domain), thì cần phải
nghiên cứu đặc tính đáp ứng tần số để bù ảnh hưởng của nhiễu. Đặc tính đáp ứng
tần số của HT phải suy giảm cao ở dải tần số có nhiễu và thành phần cộng hưởng.
Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

89

Chương 10. Thiết kế hệ thống điều khiển bằng phương pháp . . .

10-5. Hệ thống điều khiển tối ưu . . .

(Để bù ảnh hưởng của nhiễu, trong hầu hết trạng thái chúng ta phải sửa đổi cấu
trúc tối ưu và chấp nhận thực hiện phụ – tối ưu hoặc sửa đối chỉ số thực hiện).
5. Nếu giới hạn trên của tích phân trong chỉ số thực hiện J cho ở phương trình (10129) là giới hạn, khi đó nó có thể chỉ ra rằng vector ĐK tối ưu vẫn là hàm tuyến
tính của các biến trạng thái, nhưng với các hệ số không dừng. (Vì vậy, việc xác
đònh vector ĐK tối ưu liên quan đến các ma-trận không dừng tối ưu).

Giáo trình lý thuyết điều khiển tự động - Trần Hoài An.

90