Chuyên đề bất đẳng thức THCS Đề tài tốt nghiệp

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
a. đặt vấn đề
1. lý do chọn đề tài
Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm
nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa. Càng ngày
xã hội loài ngời càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang đang
ở trình độ cao nhất từ mà loài ngời cha từng có. Do đó toán học củng
không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại.
Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Trong
đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó , để giải đợc các bài
toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất
cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứng minh bất
đẳng thức.
Có nhiều phơng pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào
đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Mỗi bài
toán chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải
khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí
mới giải đợc.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức đợc vận dụng nhiều vào các
dạng bài toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình
đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức ...và đề thi học sinh
giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thờng có bài toán bất đẳng
thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày...Vì vậy học sinh
cần thiết phải nắm đợc những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức .
Trong thực tế ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải
các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất
đẳng thức thờng không có cách giải mẫu, không theo một phơng pháp nhất
định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán . Mặt khác vì
nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha
tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức
vào giải các dạng bài tập khác .

Trong nội dung của đề tài này xin đợc tập trung giới thiệu các tính
chất cơ bản, một số phơng pháp hay đợc sử dụng khi chứng minh bất đẳng
1

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
thức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng các bất đẳng thức đã
biết , phơng pháp phản chứng, tam tức bậc hai ., một số bài tập vận dụng
và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi
gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức , giúp học sinh
có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh, giải các bài toán liên
quan và hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán
nói chung .
Qua đề tài (một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng
của bất đẳng thức ) tôi muốn giúp học học sinh có thêm một số phơng
pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi nghiên
cứu không tránh khỏi những sai sot mác phải rất mong đợc sự góp ý của
các thày cô giáo, các bạn để đề tài đợc hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành
cảm ơn!
2. Nhiệm vụ nghiên cứu.

- kỹ năng giải các bài toán chứng mih bất đẳng thức
- kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: Tìm giá trị lớn
nhất-nhỏ nhất, giải hệ phơng trình, phơng trình nghiệm nguyên, phơng
trình vô tỉ.
3. đối tợng nghiên cứu.

- Học sinh trung học cơ sở
- Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó.
4- Phơng pháp nghiên cứu :

Qua quá trình học tập từ trớc đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài
liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lợng học
sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học,
thể hiện trên nhiều đối tợng học sinh khác nhau : Học sinh giỏi, khá và học
sinh trung bình về môn Toán
5. phạm vi nghiên cứu.

Giới hạn ở phần chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất
đẳng thức ở chơng trình toán trung học cơ sở
b. GIảI QUYếT VấN Đề.

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

2


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Phần I.

Cơ sở lý luận.

Để giải đợc bài toán đòi hỏi mổi ngời phải đọc kỹ bài toán xem bài
toán yêu cầu cái gì, phải sử dụng những phơng pháp nào để giải, đã gặp bài
toán nào đã giải có dạng tơng tự nh bài toán đó hay không để từ đó có thể
tìm ra cách giải. Đối với học sinh trung học cơ sở việc vận dụng khiến thức

lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải cha đợc rèn luyện nhiều
đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài.
Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn
luyện và phát huy khả năng t duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng
thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải đợc nó đòi hỏi phải thật
sự có một kiến thức toán học rất lớn.
Phơng pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi
ngoài chơng trình của các em học sinh trung học cơ sở. Nhng việc các em
vận dụng nó nh thế nào đó là vấn đề cốt lỏi. Muốn làm đợc điều đó đòi hỏi
học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ
các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng đợc bài toán. Đặc biệt các học
sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải đợc bài toán mà còn
phải khái quát đợc dạng của nó để đua ra phơng pháp chung cho các bài
toán khác tuơng tự.
Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em
nắm chắc phần lý thuyết, đa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận
dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không
nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành
đợc lôgic của toán học.
Thời lợng chơng trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn
chế. Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói
với các em có học lực trung bình, khá.
PHầN 2.

nội dung của đề tài.

i> các kiến thức cần lu ý.

1) Định nghĩa bất đẳng thức
+ a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b

+ a lớn hơn b , kí hiệu a > b ,
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,
+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,
2) môt số tính chất của bất đẳng thức:
a) Nếu a > b và b > c thì a > c
(tính chất bắc cầu)
b) Nếu a > b và c bất kì thì a + c > b + c
Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất
kì thì bất đẳng thức không đổi chiều.
c) Nếu a > b + c thì a b > c

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

3


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này
sang vế kia và phải đổi dấu số hạng đó.
d) Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta đợc
một bất đẳng thức cùng chiều.
Chú ý: Không đợc cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngợc chiều
e) Nếu a > b và c < d thì a c > b d
Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngợc chiều ta đợc
một bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ.
Chú ý: Không đợc trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.
f) Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc

Tức là:
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dơng thf
bất đẳng thức không đổi chiều
Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất
đẳng thức đổi chiều.
g) Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd
Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các
vế đều dơng thì ta đợc một bất đẳng thức cung chiều.
Chú ý: Không đợc nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngợc
chiều.
h) Nếu a > b > 0 thì

1 1
> >0
b a

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dơng thì phép lấy
nghịch đảo dổi chiều của bất đẳng thức.
k) Nếu a > b > 0 và n nguyên dong thì a n > b n
Nếu a > b và n nguyên dong thì a n + > b n +1
3. Một số bất đẳng thức thông dụng
2
+ A 0( A = 0 A = 0); A = A 2
+ A B B A B (B 0)

A B

+ A B
A B

+ A + B A + B . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A, B Cùng dấu
+ A B A B . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A B 0 hoặc

AB0

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

4


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
+ A > B A 2 > B2
+ a 2 0 (a 2 = 0 a = 0)
+ a 2 + b 2 2ab . (Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b )
+

a b
+ 2 (Với a, b cùng dấu)
b a

Chú ý: Để chứng minh một bất đẳng thức có nhiều cách, tuỳ thuộc vào
từng dạng của bài toán. Sau đây là một số cách thờng dùng.
II> các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức.

1. Pơng pháp sử dụng định nghĩa
Để chứng minh A B (hoặc A > B ) ta chứng minh A B 0
(hoặc A B > 0 )
- Lu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 .
- Ví dụ :

Bài toán 1.1.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn
gọi là bất đẳng thức Ơclit )

a + b ab a,b R*
2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Thật vậy,

a + b ab a + b 2 ab 0 ( a b)2 0
2

Với mọi a,b 0. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b .
Bài toán 1.2.

2
2
2


Chứng minh a + b + c a + b + c ữ với mọi số thực a, b, c
3
3

2

Phân tích:
Đây là một đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét
hiệu vế trái và vế phải.

Lời giải:
Xét hiệu

a 2 + b 2 + c2
3

a + b + c 3a 2 + 3b2 + 3c2 (a + b + c)2
=

3 ữ
9

(a b)2 + (b c)2 + (c a)2
2

=

9

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

0
5


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
a 2 + b 2 + c2 a + b + c
Vậy

3
3 ữ

Dấu = xảy ra a = b = c
2
2
2
2
a +b+c
a
+
b
+
c
Do đó

3
3 ữ


2

Khai thác bài toán:

- Bằng phơng pháp xét dấu của hiệu A B ta xét đợc sự đúng đắn
của bất đẳng thức A B . Để ý rằng với 2 số thực bất kì u, v ta
củng có:

u 2 + v2 u + v 2
2 ữ

2



- tơng tự nh chứng minh trên ta có thể chứng minh bài toán sau
Bài toán 1.3 .
Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z)
Lời giải:
Ta xét hiệu : H = x2 + y2 + z2 +3 - 2( x + y + z)
= x2 + y2 + z2 +3 - 2x - 2y - 2z
= (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1) + (z2 - 2z + 1)
= (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2
Do (x - 1)2 0 với mọi x
(y - 1)2 0 với mọi y
(z - 1)2 0 với mọi z
=> H 0 với mọi x, y, z
Hay x2 + y2 + z2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z .
Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1.
Khai thác bài toán:
Tơng tự ta có thể chứng minh bài toán sau:
Cho a, b, c, d, e là các số thực :
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e)
Bài toán 1.4.
Chứng minh rằng:

a + b 2 với mọi a, b cùng dấu
b a

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

6


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Lời giải:
2

2

a + b 2ab (a b)
Ta có: a + b 2 =
=
b a

2

ab

a, b cùng dấu



ab
2
(a

b)
0
ab > 0

ab

Vậy a + b 2 dấu = xảy ra khi và chỉ khi a b = 0 hay a = b
b a
Khai thác bài toán:
1.4.1 Chứng minh tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc bài
Toán sau
Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1 x 5, ta có :
5 - x + x 1 2.

Hớng dẩn:
5- x + x 1 2

(

)

5 - x + x 1 2 4 4 + 2 ( 5 x )( x 1) 4
2


x = 5

2 ( 5 x )( x 1) 0 Đ úng dấu bằng khi

x
=
1

1.4.2
Chứng minh bất đẳng thức:

ab + bc + ca
< c với a ,b là cạnh
2
2

góc vuông của tam giác ABC, còn c là cạnh huyền.
Hớng dẩn:
Ta có :
ab + bc + ca < 2.c2
hay ab + bc + ca < a2 + b2 + c2
Xét: a2 + b2 + c2 ab bc ca =

1
2a 2 + 2b 2 + 2c 2 2ab 2bc 2ca ) =
(
2
1
2
( a b ) + (b c) 2 + (c a)2 > 0
2

(

)

Bài toán 1.5.

Chứng minh rằng nếu a.b 1 thì:
Phân tích:

1 + 1 2 .
1+ a 2 1+ b2 1+ ab

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

7


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Củng có thể xét hiệu 2 vế thì mới sử dụng đợc giả thiết a.b 1
( ab 1 0 )
Lời giải:
Xét hiệu:

1 + 1 2 = 1 1 + 1 1
1+ a 2 1+ b2 1+ ab 1+ a 2 1+ ab 1+ b2 1+ ab
2
1) 0
= (b a) (ab
2
(1+ ab)(1+ a )(1+ b2 )

Khai thác bài toán:

- Với 3 số dơng a, b, c mà abc 1 , bất đẳng thức sau đúng hay
sai?

Chúng ta có thể phát triển bài toán tổng quát hay không? Nếu
đợc, hãy phát biểu bài toán tổng quát.

1 + 1 + 1 3
1+ a 2 1+ b2 1+ c2 1+ abc
- Với 2 số x, y mà x + y 0 ta có:
1 + 1
2
y
x
1 + 4 1 + 4 1 + 2x + y
2. Phơng pháp biến đổi tơng đơng
- Để chứng minh A B ta biến đổi tơng đơng
A B C D
trong đó bất đẳng thức cuối cùng C D là một bất đẳng thức hiển
nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức
A B . Sau khi khẳng định đợc tính đúng đắn của bấtđẳng thức
C D ta kết luận bất đẳng thức A B đúng
- Một số hằng đẳng thức thờng dùng :
(A+B)2=A2+2AB+B2
(A-B)2=A2-2AB+B2
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3
Bài toán 2.1.
Chứng minh rằng a, b, c, d R thì

a 2 + b2 + c2 + d 2 + e2 a(b +c +d +e)

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán

Tin K48

8


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Lời giải.

Bất đẳng thức đang xét tơng đơng với bấ đẳng thức sau:
(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

(a 2 4ab + 4b2 ) + (a 2 4ac + 4c2 ) + (a 2 4ad + 4d 2 )
+(a 2 4ae + 4e2 ) 0

(a 2b)2 + (a 2c)2 + (a 2d)2 + (a 2e)2 0 là hằng đúng .

Bài toán 2.2.
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:
Lời giải:

a 2 + b2 +1 ab + a + b
Bất đẳng thức

a 2 + b2 +1 ab + a + b
(a 2 + b 2 +1) 2(ab + a + b) 0
(a 2 2ab + b2 ) + (a 2 2a +1) + (b 2 2b +1) 0
(a b)2 + (a 1)2 + (b 1)2 0 đúng

Điều cần chứng minh
Khai thác bài toán:

Tơng tự nh bài toán trên hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:

a + b + c 2 1 + 1 + 1
bc ca ab a b c ữ

Bài toán 2.3.
x, y chứng minh rằng
Lời giải:
Ta có:

x 4 + y4 xy3 + x 3 y

Vậy
Bài toán 2.4.

x 4 + y4 xy3 yx 3 = x 3 (x y) y3 (x y)
2


= (x y)2 (x + y )2 + 3y 0
2
4

x 4 + y4 xy3 + x 3 y

3
3
3

Chứng minh rằng a + b + c 3abc 0 (1)

Lời giải.

a +b+c

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

9


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Ta có: (1)

( a + b + c) ( a


2

+ b2 + c2 ab ac bc )
0
a +b+c

1
(a b)2 + (b c)2 + (c a)2 0
2

(2)

(2) đúng (1) đúng
Bài toán 2.5.
Chứng minh rằng

a 2 (1+ b2 ) + b2 (1+ c2 ) + c2 (1 + a 2 ) 6abc (1)

Lời giải:
(1)
(a bc)2 + (b ac)2 + (c ab)2 0
(2) đúng (1) đúng
Khai hác bài toán:
Tơng tự nh trên ta có thể chứng minh bài toán sau
2.5.1

(2)

Cho a > 0; b > 0 và a 3 + b 3 = a b. Chứng minh rằng:
Hớng dẩn:

a 2 + b 2 + ab < 1.

a 3 + b 3 = a - b ( a 3 - b 3 ) ( a 2 + b 2 + ab ) = ( a - b ) ( a 2 + b 2 + ab )

a3 - b3
( a - b ) ( a + b + ab ) = a - b a + b + ab = 3
a + b3
a3 - b3
2
2
Vậy a + b + ab < 1 3

< 1 a 3 - b 3 < a 3 + b 3 0 < b 3
3
a +b
3

3

2

2

3

3

2

2

2.5.2
Chứng minh với mọi số dong a, b, c ta luôn có :

(

a 2 + b 2 b 2 + c2 c2 + a 2 3 a 2 + b 2 + c2
+
+

a+b
b+c

c+a
a+b+c
Hớng dẩn:

)

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

10


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
a 2 + b 2 b 2 + c2 c2 + a 2
3 a 2 + b 2 + c 2
BĐ T ( a + b + c )
+
+
b+c
c+a
a+b
c a 2 + b 2 a b 2 + c2 b c2 + a 2

+
+
a 2 + b 2 + c2
a+b
b+c
c+a
2

2
2
ac( c a )
bc( c b )
ab( b a )

+
+
0( Đ úng )
( a + b )( b + c ) ( a + b )( a + c ) ( c + a )( b + c)
3. Phơng pháp quy nạp toán học
- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1
bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :
+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)
+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)
+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)
Chú ý: Khi chứng minh bất đẳng thức có n số (n N)
Thì ta nên chú ý sử dụng phơng pháp quy nạp toán học
- Ví dụ :
Bài toán 3.1.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi trong trờng hợp tổng quát.
Với a1 , a 2 ... a n R n , n 2 thì

(

(

) (

) (

)

)

a1 + a 2... + a n n a .a ...a
1
2
n
n

Lời giải:
Ta dùng phơng pháp quy nạp theo n :
Với n =2 bất đẳng thức đả đợc chứng minh ở 1. (bất đẳng thức
Ơclit)
Để chứng minh bất đẳng thức tổng quát, trứơc hết ta hãy xét
vài bất đẳng thức phụ. Nếu x1, x 2 R + thì

x1 < x 2 x1n 1 < x 2n 1 .
Vậy x1, x 2 R + thì ta luôn có (chuyển một bộ phận sang vế
phải, ta đợc)

(x1n 1 x 2n 1)(x1 x 2 ) 0
x1n + x 2n x1x 2n 1 + x 2 x1n 1.
Lấy n số thực không âm x1,x 2...x n R + , viết các bất đẳng
Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

11

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
thức tơng ứng rồi cộng lại ta đợc:

(x1n + x 2 n ) + (x1n + x 3 n ) + ... + (x1n + x n n ) +
+(x 2 n + x 3n ) + ... + (x 2 n + x n n ) + ... + (x n 1n + x n n )
(x1 x 2 n 1 + x 2 x 1n 1 ) +
+(x1 x 3n 1 + x 3 x1n 1 ) + ... + (x1x n n 1 + x n x 1n 1 ) + ...
n 1
n 1
x
+
x
x
) (*)
1 nn
n n n1
n
(n n1)(x
+
x
+
...
+
x
)

1
2

n
n 1
n 1
n 1
x1 (x 2 + x 3 + ... + x n ) +
(**)
+ x 2 (x1n 1 + x3n 1 + ... + x n n 1 ) +

Từ đó:+(x

+ x n (x1n 2 + x 2n 1 + ... + x n 1n 1 )

Bây giờ theo giả thiết quy nạp, ta thừa nhận rằng đối với n 1 số
thực không âm bất kì , trung bình cộng không nhỏ hơn trung
bình nhân của chúng. Thế thì nói riêng ta có:

x 2n 1 + x3n 1 + ... + x n n 1 (n 1)x 2x 3...x n
x1n 1 + x3n 1 + ... + x n n 1 (n 1)x1x 3...x n


x1n 1 + x 2n 1 + ... + x n 1n 1 (n 1)x 2 x 2...x n 1

Sử dụng các bất đẳng thức này, ta có thể tăng cờng các bất đẳng
Thức ( ** )

(n 1)(x1n + x 2 n + ... + x n n ) n(n 1)x1x 2...x n )
Trong hệ thức này đặt x1n = a1,x 2 n = a 2 ,...x n n = a n ta đợc
a1 + a 2... + a n n a .a ...a ( đpcm )
1 2
n

n

Trong tất cả quá trình lý luận trên, dấu = xảy ra khi và chỉ khi
x1 = x 2 = ... = x n tức là khi và chỉ khi a1 = a 2 = ... = a n
Trong lý thuyết đả có một số bất đẳng thức đợc chúng minh bằng
phơng pháp quy nạp (bất đẳng thức Côsi, Becnuli, . . .)
Sau đây ta xét một số bài toán khác.
Bài toán 3.2.

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

12


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
2
2
2
Tổng quát của bất đẳng thức u + v u + v ữ
2
2




Cho a, b là hai số dơng, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2
Ta có:

u n + vn u + v n

2 ữ
2



Phân tích:
Việc xét hiệu trực tiếp không đạt đợc kết quả vì vậy chúng ta có thể
nghĩ đến cách sử dụng phơng pháp quy nạp.
Lời giải:
Với n = 2 ta có:

a +b a+b

ữ
2

2

2

2

(bằng cách xét hiệu).

2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k , tức là
k
a k + bk a + b

ữ

2
2


Ta phải chứng minh bất đẳng thức củng đúng với n = k +1, tức là

Thật vậy,

k +1
a k +1 + bk +1 a + b

ữ
2
2

k
k +1
a k + b k a + b a + b . a k + bk a + b

ữ

ữ
2
2
2
2
2

Ta chứng minh:

a k +1 + bk +1 a + b . a k + bk
2
2
2
a k +1 + bk +1 abk + a k b
a k +1 a k b + bk +1 abk 0
(a k bk )(a b) 0

(a b)2 (a k + a k 2b + ... + ab2k + bk 1) 0 (đúng)

Khai thác bài toán:
a) Bài toán vẩn đúng trong trờng hợp a 0; b 0

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

13


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
n
n
b) Với a + b = 2 ta có a + b 1

Bài toán 3.3.

2

n N , n >1, chứng minh rẳng:
1 + 1 + ... + 1 > 13
n +1 n + 2
2n 24

Lời giải:

Với n = 2 tacó VT = 1 + 1 = 7 = 14 > 13 = VP
3 4 12 24 24
Giả sử bất đẳng thức đúng với n , nghĩa là ta có:

1 + 1 + ... + 1 > 13
n +1 n + 2
2n 24
Ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với n +1 , nghĩa là phải chứng
minh:

Ta có

1 + 1 + ... + 1 > 13
n +1 n + 2
2(n +1) 24
VT = 1 + ... + 1 + ( 1 + 1 1 )
n +1
2n 2n +1 2n + 2 n +1

1

= 1 + ... + 1 +
> 13 = VP
n +1
2n (2n +1)(2n + 2) 24
Bất đẳng thức đúng với n + 1
Kết luận : bất đẳng thức đúng với n N , n >1.
Tơng tự nh trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau
1) Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh
huyền .
Chứng minh rằng:
a 2n + b2n c2n n N
2) n N , Chứng minh rằng:
22n + 2 > 2n + 5
3) n N , n >1, chứng minh rẳng:

1 + 1 + ... + 1 < 2 1
n
12 22
n2
Bài toán 3.4. Chứng minh rằng với a,b,c,d,e ( 0;1) thì
( 1 a ) ( 1 b) ( 1 c) ( 1 d) ( 1 e) > 1 a b c d e
Và hãy chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài
toán trên.

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

14

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
lời giải:
Ta sẻ chứng minh kết quả tổng quát sau đây
Với

a1 ,a 2 ,...,a n ( 0;1) ( n 2 )

( 1 a1 ) ( 1 a 2 ) ...( 1 a n ) > 1 a 1 a 2 ... a n
Chứng minh bằng quy nạp toán học theo n
- Với n = 2 ( 1 a 1 ) ( 1 a 2 ) = 1 a 1 + a 1a 2 > 1 a 1 a 2
- Giả sử kẳng định đún với n = k , ta sẻ chứng minh khẳng định củng
đúng với n = k + 1
Do khẳng định đúng với

n = k ( 1 a1 ) ( 1 a 2 ) ...( 1 a k ) > 1 a1 a 2 ... a k

Với

0 < 1 1 a k 1 > 0

( 1 a ) ( 1 a ) ...( 1 a ) ( 1 a ) > ( 1 a
1

Mà vế phải bằng

2

k +1

k

1

a 2 ... a k ) ( 1 a k +1 )

1 a1 a 2 ... a k a k +1 + ( a1 + a 2 + ... + a k ) a k +1
1 4 42 4 43
>0

> 1 a1 a 2 ... a k a k +1
( 1 a1 ) ( 1 a 2 ) ... ( 1 a k +1 ) > 1 a1 a 2 ... a k +1
Vậy khẳng định đúng với n > 2

4. Phơng pháp tam thức bậc hai
a) Các tính chất của tam thức bậc hai thơng dùng trong bất
đẳng thức
*. F(x) = ax 2 + bx + c
x R (a 0)
a > 0
F(x) 0
0


*. a x b (x a)(x b) 0
*. F(x) = ax 2 + bx + c

4ac-b 2
4a

x R (a > 0)

b) Phơng pháp.
*> Phơng pháp 1:
Để chứng minh bất đẳng thức M > N ta biến đổi

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

15


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
M > N B2 4AC 0
(A > 0)
Xét tam thức F(x) = Ax 2 + Bx + C
ta chỉ cần chứng
minh F(x) 0 x R

*> Phơng pháp 2:
Để chứng minh bất đẳng thức M > N ta biến đổi
M > N B2 4AC 0 . Xét tam thức

F(x) = Ax 2 + Bx + C

Ta chỉ cần chứng minh: x 0 / aF(x 0 ) 0
*> Phơng pháp 3:
Để chứng minh bất đẳng thức M > N ta biến đổi
M > N Ax 2 Bx + C 0 x và chỉ cần chứng minh:
B2 4AC 0

A > 0

Bài toán 4.1.
Cho a, b là các số thoả mản điều kiện

a 2 a + 2b + 4b2 4ab 0
Chứng minh rằng 0 a 2b 1

(1)

Phân tích
Để ý rằng bất phơng trình bậc hai

at 2 + bt + c 0 (a > 0) t1 < t < t 2 trong đó t1 , t 2 là các nghiệm của
tam thức at 2 + bt + c ta có lời giải sau.
Lời giải:
(1) a 2 4ab + 4b2 (a 2b) 0

(a 2b)2 (a 2b) 0
Đặt t = a 2b t 2 t 0 0 t 1 0 a 2b 1
Khai thác bài toán:
Ta đã dùng định lý về dấu tam thức bậc hai để giải bài toán này.
nên ta có thể giải các bài toán sau bằng một phơng pháp khác
đơn giản:
Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của các biểu thức:

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

16

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
2 + 2x + 2003
x
y=
x2
y = x 2 + 3x 2

Căn cứ vào đặc điểm Parabol y = a.x 2 + bx + c với a > 0 ( a < 0 ) quay
b

, ữ là điểm có tung độ
2a 4a

bề lõm lên trên (xuống dới), do đó đỉnh S



bé nhất (lớn nhất), ta có thể thêm một cách tìm giá trị lớn nhất (bé nhất)
của các bểu thức có dạng
y = a.x 2 + bx + c ( a 0 )
Bài toán 4.2.
x, y R , chứng minh bất đẳng thức sau:
x 2 y4 + 2(x 2 + 2)y2 + 4xy + x 2 4xy3 (1)
Lời giải:
(1)
(y2 +1)2 x 2 + 4y(1 y2 )x + 4y2 0

F(x) = (y2 +1)2 x 2 + 4y(1 y2 )x + 4y2

' = 4y2 (1 y2 )2 4y2 (y2 +1)2
' = 16y2
'
f (x) 0
0


y R
x, y R



Bài toán 4.3.
Với a,b,c,d R , chứng minh bất đẳng thức sau:
(1)
(a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) .
Lời giải:
(1)
Xét tam thức

a 2 + 2(b 3c + d)a + (b + c + d)2 8bd > 0

a R;b < c < d

F(a) = a 2 + 2(b 3c + d)a + (b + c + d)2 8bd

' = (b 3c + d)2 (b + c + d)2 = 8bd
' = 8(c b)(c d)
' < 0 F(a) > 0

a R

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

17


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Vậy (1) đúng
Bài toán 4.4.
Chứng minh bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski.
Cho n cặp số thực bất kì a i , bi , i =1,...,n. thế thì

(a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn ) (a12 + a 22 + ... + a n 2 )(b12 + b22 + ... + bn 2 )
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số k R sao cho
b1 = ka1 , b2 = ka 2 , , bn = ka n

Lời giải:

Với x R ta có:

(a1x b1)2 0
.

Từ đó suy ra:

(a n x bn )2 0
a12 x 2 2a1b1x + b12 0

..

a n 2 x 2 2a n bn x + bn 2 0

Cộng vế với vế ta đợc

(a12 + a 22 + ... + a n n )x 2 2(a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn )x
+(b12 + b22 + ... + bn n ) 0

Vế trái là một tam thức bậc hai f ( x ) = Ax 2 2B'x + C với A 0 Và
f (x) 0 x R nên nếu A > 0 thì
2
' = B' AC = (a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn ) +

(a12 + a 22 + ... + a n 2 )(b12 + b22 + ... + bn 2 ) 0

Và thu đựơc bất đẳng thức cần chứng minh.
Còn nếu A = 0 thì a1 = a 2 = ... = a n khi đó bất đẳng thức cần chứng minh
là hiển nhiên.
Cuối cùng ta thấy dấu = trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

' = 0 a1x = b1 = ... = a n x = bn
b1 = ka1,...,bn = ka n

Với k R .

Khai thác bài toán:
Tơng tự nh bài toán trên ta có thể chứng minh các bất đẳng thức sau:
1) 5x 2 + 3y2 + 4xy 2x + 8y + 9 0 x, y R
2) 3y2 + x 2 + 2xy + 2x + 6y + 4 1

x, y R

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

18


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
3) (x + y)2 xy +1 (x + y) 3
Bài toán 4.5.
Cho a.b 0 Chứng minh rằng:

a 2 b2
a b
+

3
+ ữ+ 4 0
b2 a 2
b a

Lời giải:

a b
Đặt x =
+
b a

Bất đẳng thức trở thành:

ta có :

a 2 b2
x = 2 + 2 +2
b a
2
2
a
b

+ 2 = x2 2
2
b a
2

x 2 2 3x + 4 0
x 2 3x + 2 0
( x 1) ( x 2 ) 0
Nếu ab < 0 Thì ta có

a 2 + 2ab + b 2 0
a 2 + b 2 2ab Chia cả hai vế cho ab ta đợc
a 2 + b2
Vậy x 2
2
ab
Trong cả hai trờng hợp thì ( x 1) ( x 2 ) 0
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b

5. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy
#>Với hai số a, b 0 ta luôn có:

a + b ab
2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b

Chứng minh:
Cách1: (Phơng pháp biến đổi tơng đơng)
2

a+b
a+b
a.b
ab (a b) 2 0 Bđt hiển nhiên
ữ
2
2
đúng.

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

19


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Đẳng thức xảy ra a = b .
Cách 2: (Phơng pháp hình học)
+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì BĐT hiển nhiên đúng.

+ Nếu a > 0 và b > 0 thì ta đặt: HA = a , HB = b ( Hình vẽ )

a+b
= OI HC = HA.HB = a.b
2
Đẳng thức xảy ra HC = OI H O a = b


H

A

O

#> Dạng tổng quát của bất dẳng thức Cauchy
Cho a1,a 2 ,...,a n 0

I

C

a1 + a 2 + ... + a n n a a ...a
1 2
n
n
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a1 = a 2 = ... = a n
Ta có:

Chứng minh bằng phơng pháp quy nạp
Bài toán 5.1.

1

1 +19.
ữ
a b c

Cho a,b,c > 0.Chứng minh ( a + b +c ) +

Phân tích:
Vế trái chứa a,b,c > 0 và các nghịch đảo của chúng.vì vậy ta nghĩ
đến việc dùng bất dẵng thức côsi.
Lời giải:
Cách 1

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các bộ 3 số a,b,c và 1 , 1 , 1

a b c

ta có:

a + b + c 3 3 abc (1).
1 + 1 + 1 33 1 (2)
a b c
abc
1

1 1
b

Nhân từng vế của (1) và(2)ta đựơc: ( a + b + c ) + + ữ 9 (đpcm)
a
c


Cách 2:

( a + b + c ) 1a + 1b + 1c ữ = 3 + ba + ac ữ+ ac + ac ữ + bc + bc ữ 3 + 2 + 2 + 2 = 9




Dấu =xảy ra a = b = c

Khai thác bài toán:

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

20

B


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc bất đẳng thức sau
Cho a, b,c > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng

a+b+c + b+c+d + b+d+a + c+d+a 2 3

Bài toán 5.2.
Cho a, b, c > 0 và a + b + c 1.
Chứng minh rằng
Lời giải:

1
1
1
+
+
9
a 2 + 2bc b 2 + 2ca c 2 + 2ab

1
1
1
+
+
a 2 + 2bc b 2 + 2ca c 2 + 2ab
1
1
1
2

( a + b + c) 2
+ 2
+ 2
ữ
a + 2bc b + 2ca c + 2ab
= ( a 2 + 2bc ) + ( b 2 + 2ca ) + ( c 2 + 2ab ) .
1
1
1


+
+
2
ữ 9
2
2
a + 2bc b + 2ca c + 2ab

Khai thác bài toán.
Chứng minh tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc các bài
toán sau
5.2.1. Chứng minh rằng với mọi a,b > 0 thoả mãn a + b = 1 ta có

5.2.2

1
1
+ 2
6
ab a + b 2

Chứng minh rằng với mọi a, b > 0 thoả mãn :
a.b = 1, ta có:
1 1
2
+ +
3
a b a+b

Hớng dẩn:

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

21

Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
1 1
2
2
a+b a+b
2
+ +
= ( a + b) +
=
+
+
a b a+b
a+b
2
2
a+b
a+b a+b
2
=
+
+
ữ ab + 2 = 3
2
a+b
2

Bài toán 5.3.

1+1 4
x y x+y

Cho x,y >0, chứng minh

(1)

Phân tích :
Do x,y >0 nên bất đẳng thức (1)có thể suy từ bất đẳng thức Côsi
hoặc trực tiếp xét hiệu.
Lời giải :
Cách 1:
Sử dụng bất đẳng thức Côsicho hai số dơng:

x + y 2 xy
x + y 2 4xy

(

Cách hai :

)

x+y 4 .
xy x + y

Xét hiệu của hai vế.

Khai thác bài toán:
Bất đẳng thức trên có liên quan đến viêc cộng mẫu nên có thể
sử dụng để chứng minh bất đẳng thc sau:
Bài toán 5.3.1

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng:

1 + 1 + 1 2 1 + 1 + 1 . Trong đó p= a + b + c
.
p a p b p c a b c ữ
2

Bài toán 5.3.2.
Cho a > 0;b > 0 , chứng minh rằng 2 a + 3 b 5 5 ab
Hớng dẩn
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a , a , 3 b ,


Bài toán 5.4.

3

b,

3

b

a + a + 3 b + 3 b + 3 b 5 5 ab
2 a + 3 b 5 5 ab
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng:

a + b + c 3.
b+ca a +cb b+a c

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

22


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Lời giải:
Cách 1:
Nhận xét: Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có

a + b c > 0; a + c b > 0; b + c a > 0.

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các cặp số dơng:

(a + b c)(a + c b) a + b c + a + c b = a
2
(a +c-b)(b +c-a) c
(b +c-a)(b +a -c) b

(1)
(2)
(3)

Để ý rằng cả 2 vế của các bất đẳng thức (1) (2) (3) là các số dơng và
ba bất đẳng thức này cùng chiều, nhân từng vế của chúng ta đợc

(a + b c)(a + c b)(b + c a) abc.

Trở lại bài toán:

a + b + c 33
abc
b+ca a +cb b+a c
(b + c a)(a + c b)(a + b c)
3 3 abc
abc

Cách2:
Đặt x = b + c a;y = a + c b;z = a + b c , khi đó x, y,z > 0 và

a = y + z ,b = x + z ,c = x + y .
2
2
2

Vế trái:

a + b + c = 1 ( y+z + x +z + x + y)
b+ca a +cb b+a c 2 x
y
z

1 x y x z y z 1
= ( + + + + + ) (2 + 2 + 2) = 3
2 y x z x z y 2
x y
y+ x =2

x z
Dấu = xảy ra + = 2 x = y = z a = b = c.
z x
y z
+ =2

z y

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

23


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Khai thác bài toán:
Trong bài toán trên chúng ta đã sử dụng ẩn phụ hoặc dùng bất đẳng
thức Côsi để giải. Sử dụng cách thức trên, hảy giải bài toán sau:
1) Cho a,b,c > 0 và a + b + c + d = 1
Chứng minh rằng

a +b+c + b+c+d + b+d+a + c+d+a 2 3
2) Cho a,b,c,d > 0 , Chứng minh rằng:
a) (1+ a)(1+ b)(1+ c) (1+ 3 abc )
b)

(a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) +

+ (a + d)(b + c) 6 4 abcd

Bài toán 5.5. Cho x1,x 2 ,...,x n 0;1 , chứng minh rằng:
(1+ x1 + ... + x n )2 4(x12 + x 22 + ... + x n 2 )

Lời giải:
Theo Côsi ta có: (1+ x1 + ... + x n )2 4(x1 + x 2 + ... + x n )

4(x12 + x 22 + ... + x n 2 )
xi xi2

Do

6. Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Bunhacôpski
#> Với a, b, c, d R tacó:

ac + bd (a 2 + b2 )(c2 + d 2 )
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = c
b d

#> Trờng hợp tổng quát
Cho n cặp số
Ta có:

a1,a 2 ,...,a n
b1,b2 ,...,bn
(a1b1 + a 2b2 + ... + a n bn )n

(a12 + a 22... + a n 2 )(b12 + b22 + ... + bn 2 )
a a
a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 = 2 = ... = n

b1 b2
bn

Bài toán 6.1.

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

24


Đề tài: Chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng
Với các số a, b, c > 0 thoả mãn điều kiện abc = 1.
Chứng minh rằng :
a
b
c
1
+
+

.
2
2
2
a
+
b
+
c

( ab + a + 1) ( bc + b + 1) ( ca + c + 1)

Lời giải:

VT =
=
=
=

a

( ab + a + 1)
a

( ab + a + abc )
1
a ( bc + b + 1)

2

2

+

+

2

+

b

( bc + b + 1)
b

( bc + b + 1)
b

( bc + b + 1)

2

2

2

+

+

+

c

( ca + c + 1)

2

cb 2

( abc + bc + b )

2

b 2c

( bc + b + 1)

2

1
2
.
+
b
+
b
cữ

2

( bc + b + 1) a
1

á p dụng bất đẳng thức Bunhia - copxki cho hai bộ số :
1
; b;b c ta có :
a
1 2
2

2
b + c .
+
a ữ



a; b; c và



( ) ( ) ( )
a

2

+

2
2
+ b c ( 1 + b + bc ) hay


( ) (
b

2

)

( a + b + c )

1
2

+ b + b 2 c ữ ( bc + b + 1)
a




1
1
2
.
+
b
+
b
c

ữ
2
( a + b + c)
( bc + b + 1) a
1

Bài toán 6.2.
Cho n số thực a1,a 2 ,...,a n và n số dơng
( n 1 ).

Chứng minh rằng

(ĐPCM)

b1,b2 ,...,bn

Sinh viên: Nguyễn Xuân L ơng Lớp CĐSP Toán
Tin K48

25