Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 5

CHƯƠNG V

Không gian apphin Mên thông
Ln và không gian Riemann vn
Nhiều hiện tượng cơ học và nhất là vật lý phải được khảo sát trong
gian có tính chất tổng quát hơn không gian Euclide. Người ta đi đến
gian liên thông apphin và không gian Riemann.
Trong chương này trình bày một cách ngắn gọn những khái niệm
không gian này7 không đi sàu vào lý thuyết, tiếp đó nêu các phép tính
trong đó.

5.1

không
không
về hai
tenxơ

Đ a t ạ p cơ bản. K h ôn g gian a p p h in tiếp t u y ế n

Đề đi đến khái niệm không gian liên thỏng apphin và khóng gian Riemann ta
phải đưa vào khái niệm đa tạp cơ bản.

5.1.1

Đ a t a p cơ b ả n

Giả sử ta có một đa tạp n chiều nào đấy, các phần tử M của nó có thể ánh
xạ lên miền liên thông íì xác định của các biến

Af «+(x1f*2,..-.,xw)€íỉ.

(5.1)

Anh xạ này được cho chính xác đến một phép biến đổi bất kỳ của các biến
X1, X2, . . . , xn về biến mới x 1, . . . 1i n
M

2, ... , £ n) € Q'
193


194

Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÔNG VÀ KG RI EM AN N

với điều kiện duy nhất là phép biến đổi này thuận nghịch, liên tục, vi phân
được với số lần cần thiết, tức là
x i = ĩ i( x \ x \ . . . , x n)
và ngược, lại
x' = g '(x'l , x 2 , . . . , x ' n)

(5.2)

là nhửng hàm khả vi liên tục, đơn trị một - một.
Đa tạp như vậy gọi là da tap cơ bản. Ta sẽ gọi các phần tử M của da
tạp là điểm , ánh xạ đà cho (5.1) là hê toa đô trong đa tạp và các giá trị
, x 2, . . . , £n tương ứng với M trong (5.1) là tọa độ của nó trong hệ tọa độ
tương ứng.
Cho đa tạp như thế so với không gian apphin (hơn thế nửa khỏng gian
Euclide), ta thấy có nhiều điểm chưa xác định, hình học cùa đa tạp mới chỉ

suy được từ cách cho trong nó tập hợp hệ tọa độ (5.1) liên hệ với nhau bằng
phép biến đổi đơn trị một một liên tục vi phân được.
Tuy nhiên khái niệm vè t.enxơ tại một điềm cho truớc của đa tạp có thể
nhắc lại hoàn toàn như đả làm trong hệ tọa độ cong của không gian apphin.
T hí du 5.1. Tại điểm M cho tenxa hạng ba a*ịk, nếu như tại mỏi hệ tọa độ
X 1, x 2, ... , x n ta cho hệ thống các số alj k( M ) y khi chuyển sang hệ tọa độ khác
x l ì x 2ì . . . yX n qhúng thay đổi theo quy luật

trong đó các đạo hàm riêng đều lấy tại điểm M. •
Ta nói cho trường tenxơ, nếu như tại mỗi điểm M của đa tạp cho một
tenxơ cùng cấu trúc, chằng hạn

Điểm khác so với không gian apphin là trong không gian apphin ta có thể
xem alj k (M) là thành phần của tenxơ tính đối với rêpe apphin địa phương
tại điểm M, còn ờ đây không quan niệm thế được, vì trong đa tạp không có
vectơ, nên cùng không có rêpe apphin.
Mọi phép tính đại số của tenxơ với các tính chất của chúng như đã trình
bày trong chương III hoàn toàn đưa được vào đây đối với các tenxơ cho tại
cùng một điềm của đa tạp; do đó không cần phải nhắc lại. Ngược lại khong
tồn tại phép tính vi phân tuyệt đối trường tenxơ trong đa tạp.


5.1. ĐA TAP CO BÁN KHÔNG GIAN APPHIN YU')1T! YẾN

5.1.2

195

K h ô n g gian a p p h in tiếp tuyến

Ta cổ gắng hình học hóa khái niệm đa tạp, dựa trên điều đả biết có thể xác
định tenxơ với các tính chất thông thường tại mỗi điểm của đa tạp.
Trong không gian apphin tonxcr phản hiến hạng nhất al xác định một vectơ
a theo một nghĩa nào đẩy Muốn vậy tại mỏi điểm Xí của đa tạp ta xây dựng
một không gian apphin A u có một điểm chung M với đa tạp, trong đó mỏi
tenxơ á 1 tại điểm M biểu dien bằng vectơ a trong A n , sao cho nhân tenxơ al
với một số và cộng hai tenxơ a*, 6* sẽ cùng là các phép tính như vậy đối với
các vectơ tương ứng, tức là
nếu b = aa

thì b = aa,

nếu é = 0 T4- b'

thì c = a -f b.

VcVi ánh xạ này ta nhận được mọi vectơ a của không gian A n. Không gian A n
như vậy gọi là không gian apphin tiếp tuyến còn các vectơ a của nó là vectơ
tiếp tuyến tại điểm M cho trước của đa tạp (gọi đơn giàn là vectơ tại điểm
AI).

Xét một đường trong đa tạp
* W (Í),
vi phân dxi = d x l(t) của tọa độ sẽ tạo thành tại mồi điểm M một tenxơ. Quả
vậy
X* = x ' i x ^ x 2,

. , x n),

nên

d x ' i t ) = g -(M )d x > (í).

(5.3)

Trong không gian apphin tiếp tuyến, tenxơ dx' tương ứng với một vectơ dx
vó cùng nhỏ, có ý nghĩa là vi phàn của vectơ bán kính X . Như vậy là không
gian apphin tuyến tính dã “hòa vào” đa tạp trong lân cận vô cùng nhỏ của
điồm M.
dx*
Bây giờ xét đao hàm
tai điểm A/, nó củng tao thành tenxơ, quả vây
at

Do đó tenxa

dx '

Qx* d x ì

dt

dxì dt

sẽ tưang ứng với môt vectơ ^ trong không gian tiếp tuyến.
dt
dt
Ta gọi vectơ này là vectơ tiếp tuyến với đường tại điểm M . Vậy, tiếp tuyến


196

Chương V. KHÒNG GIAN APPHIN MÈN THÔNG VÀ KG R1EMANN

với đường cong cho trong đa tạp sẽ không nằm trong đa tạp mà nằm trong
không gian tiếp tuyến tại điểm tương ứng.
Cuối cùng, rêpe apphin địa phương củng nằm trong không gian tiếp tuyến.
Cụ thể là, xét tại điểm A/ nào đấy các tenxơ aị .j có thành phần trong hệ tọa
độ X 1 đà cho như sau

các tenxơ này tương ứng với các vectơ g ỉ , . . . , g n trong không gian apphin
tiếp tuyến A n, ta gọi rêpe ( A/ , gi , . . . ,gn) trong A n là rêpe địa phương tại M
trong hệ tọa độ X1 đả cho. Khi đó mọi tenxơ cil tại điểm M sẽ tương ứng với
vectơ a trong A n có các thành phần đối với rêpe địa phương trùng với a \ tức
là
a = G ] g i + • • • + a n g „ = a ‘g , .

Ta thấy rằng vectơ gA; là vectơ tiếp tuyến với đường tọa độ xk} tham sổ
của đường này t = x k; do đó vectơ tiếp tuyến
dxi _ d x i _
dt
dxk

ị
k

Qua phép biến đổi tọa độ g, thay đổi theo quy luật

g' =

( 5 .4 )

giống như rêpe địa phương trong hệ tọa độcong của không gian apphin. Điều
này thấyđược vì các thành phần a* củavectơ a đối với rêpe địaphưrrng trùng
v(Vi thành phần tenxơ a* tha}^ đổi theo quy luật

»’* -

™

do đó các vectơ g, của rêpe thay đổi theo quy luật ngược lại, tức là quy luật
đà nêu trên.
Khi đả đưa vào rêpe địa phương, thì thành phần của một tenxơ, chẳng
hạn alj k , cho tại điểm M của đa tạp có thể xem như thành phần của tenxơ
lấy đối với rêpe địa phương tại điểm M của không gian apphin tiếp tuyến.


5.1. f)A TẠP

5.1.3

CO BẢN KHÔ N G G IA N A PPH IN TIÚ

ru YẾN

197

M ă t t r o n g đa tạ p

Mặt m chiều trong đa tạp Tì chiều là tập hợp những điểm cho bơi phương
trình tham số

Xx = x i (uì , u 2, ... , u m )

(i = 1,2,... ,n)

(5.6)

trong đó u l yu 2y. . . , um là các biến độc lập (tham số); các hàm x i liên tục vi
phản được và thỏa màn điều kiện hạng của ma trận
( dxl
ôu1

dx2

dxn \

du1

ôu1

Ớx1

dx2

dxn

\d u m

dum

dvm '

bằng ra, tức là các hàng của ma trận này độc lập tuyến tính. Số chiều m của
mặt có thể lấy giá trị 1, 2, . . . vn - ỉ' với m = 1 ta được một đường.
Một mặt m chiều luôn luôn có thể xem là đa tạp cơ bản m chiều. Quà
vậy khỏng thay đổi mặt, có thể biến đổi các tham số 11 Q nhờ phép biến đổi vi
phân được đơn trị nhất nhất:
ú a = f a ( u \ u 2, . . . , um);

ua = ga( ú l , ú \ . . . , ú m )

phương trình mặt có thể viết dưới dạng
X

= X (u

yu , . . . , 11

)

các hàm này cùng thỏa mãn điều kiện (5.7). Các tham số ua là tọa độ mặt
cho chính xác đến phép biến đổi như vậy, nên ta có thể xem mặt m chiều là
đa tạp m chiều nhir định nghĩa trước đây.
Do đó trên mặt ta cũng có thể xét các tenxơ tại từng điểm M hoặc trường
tenxơ. Chẳng hạn, các thành phần tenxơ
sẽ thay đổi theo quy luật

= f£(Aí>|£Đường ờ trên mặt sẽ cho bởi phương trình
ul =

= um(í)


198

Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LlbN THÔNG VÀ KG R1EMANN

đặt vào (5.6), ta được x i là hàm của t, đúng là xác định một đirờng trong đa
tạp dang xét. Vcctơ tiếp tuyến có dạng
d x i _ d x i du°
dt
d u a dt

(¿ = 1 , 2 , . . . , « )
(a — 1, 2, . . . , m)

Các vectơ

^0)

dx'
d/);/!
u 1'’ *' ' ’^(m)
' [m)

dxi
dum

độc lập tuyến tính theo (5.7) và là vecta tiếp tuyến với các đường tọa độ
u1, . . . , um trên mặt. Chúng là rêpe địa phương tại điểm M của mặt (đa tạp)

m chiều, tức là nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến A m tại điểm M . Mặt phẳng
tiếp tuyến A m tại điểm M là không gian apphin tiếp tuyến tại M của đa tạp
ra chiều và là không gian con của không gian tiếp tuyến A n cùa đa tạp n
chiều.

5.2

K h ô n g gian a p p h in liên th ô n g L n. K h ô n g gian
Hên th ô n g k h ô n g x o ắ n ữ n

5.2.1

Đ ịn h n g h ĩa k h ô n g g ian a p p h in liên th ô n g

Xuất phát điểm để xây dựng không gian liên thông L n là không gian apphin
A n trong hệ tọa độ cong, trong đó hệ sổ liên thông r*j hoàn toàn xác định
hình học của không gian apphin. Cách xây dựng như sau:
Tại mỏi điểm M của đa tạp đối với mỗi hệ tọa độ x' ta cho hệ thống số


■5.2.

KHỞNG GIAN APPHIN UẼN THÕNG

199

r* , khi thay dổi hệ tọa độ hệ thống này thay dổi theo quy luật
,Ị
iJ

dx'k
d x ^ d x i dxm

dz!_dx?dx^
dx * dx'i dxm *py

t hì ta nói rằng tại điềm M cho hệ sổ liên thông (các đạo hàm riêng đều tính
tại M).
Không gian apphin liên thông Ln là đa tạp, trong đó ta cho trường hệ số
liên thông

rJ.(Af) = r f c ( x V , . . . , x " ) ,
tức là cho hệ số liên thông tại từng điềm M, trong đó r ịj là hàm liên tục, vi
phân đuợc.
Điều khác với hệ số liên thông trong không gian apphin A n là
Tk
Ạ *r jii
1 ij Tvà cho
là những hàm tùy ý trong hệ tọa độ X1 nào đấy, chỉ cần thỏa mân
quy luật thay đổi (5.9).
Từ bất đẳng thức trên ta đặt:

sẳ = r&-rjỉ-

(5.10)

Các đại lượng s '¡J lập thành tenxơ, quả vậy
c 'k = r ’k _ r ’k
d2xm dx'kdx* dxP dx'k
ij

ij
ji d x ''d x ']d T m
d x 1' d x 'i d x m
/ d 2xm dx'k
dxp dx* dx'k m\ _

P

\ d x ) d x ' d x m ^ ờx* dx* d x m p /
dx* dxv d x k m
5
d x ' dx'ì d x m
'•t

Tenxơ Sịj(M ) gọi là tenxơ xoắn của không gian liên thông apphin. Nếu tenxơ
này bằng không, tức là
r£
i
1 ij’ = r1 ji>

ta có không gian apphin liên thông không xoắn L
Việc cho tenxơ trong
không gian này tại điểm M nào đấy có thể xem như tenxơ trong không gian
apphin tiếp tuyến A n đối với rêpe địa phương tại điểm đó. Mọi phép tính dại
số tenxơ đều thực hiện được tại riêng từng điểm.


20 0

5. 2. 2

Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÒNG VÀ KG RIEMANN

D ịc h c h u y ển so n g so n g

Như đã biết, dịch chuyển song song một vectơ a theo đường x'(t) nào đấy
trong không gian apphin sẽ cho bời công thức (4.27)

dak = -r&oVỄT*.
Tương tự như vậy, ta định nghĩa chuyển dịch song song trong không gian
liên thông apphin L„.
Giả sử dọc theo đường cong nào đấy
X

cho trường tenxơ hạng nhất phàn biến a*(f), nó sẽ tương ứng với trường
vectơ trong không gian apphin tiếp tuyến A n tại từng điểm đang xét. Ta
nói rằng vectơ a‘(£) dịch chuyển song song dọc theo đường cong, nếu với mỏi
chuyển dịch vô cùng nhỏ theo đường đó, các thành phần của vectơ a*(£) thay
đổi theo quy luật
dak = - T ị ị d d x i

(5.11)

Chú ý rằng, ờ đây không nói đến gia số, mà nói đến vi phân.
Có thể chỉ ra được chuyển dịch song song vectơ xác định theo công thức
(5.11) là bất biến dối với phép biến đổi hệ tọa độ X1.
Trên đây chỉ là cho định nghĩa, nhưng cần biết có thực hiện được và đơn
trị không. Chia hai vế (5.11) cho dt
........(5.12)
Vì r£. là hàm đă biết của tọa độ X1*, mà dọc theo đường cong thì biết x i là

hàm của t ì nên trong hệ thức trên mọi đại lượng đều là hàm đả biết của ty
ngoài ak (t) phải tìm. Trong lý thuyết phương trình vi phân, phương trình
này có nghiệm ak(t) duy nhất với mọi điều kiện ban đầu
ữk = ữ0

(fc = 1 , 2 , . . . , n) với t = ¿0-

(5.13)

Vậy: vectơ a§ cho tại điểm M q(íq) nào đấy của đường cong có thể chuyển
dịch song song một cách duy nhấtfdọc theo đường cong đó; đến điểm M(i)
vectơ aố có dạng ak{t)\ trong dó ak(t) là nghiệm của hệ (5.12) với điều kiện
ban dầu (5.13). Khác với không gian apphin, ờ đây dịch chuyền song song
phụ thuộc vào đuờng d ị nên có thể sau khi dịch chuyển song song theo đường
kín, vectơ ŨQ lúc trỏr lại điểm xuất phát M , sẽ cho vectơ khác vectơ al0.


5 .3 .

201

KHÔNG GIAN RIEMANN TENXO MÊTRIC

Bảy giờ tại điểm ban dầu Mo(to) cho một tập hợp các vectơ của không
gian tiếp tuyến tại điểm A/o- Trong quá trình cùng dịch chuyển song song
theo đường cong cho trước hệ thức tuyến tính giữa chúng sẽ không bị phá
vở, tức là
bị = aaị) với t = ÍQ, thì b*(£) = ơa^t) với t = t\
Cq = alQ + 6q với t = to, thì c*(£) = a*(0 4- bl(t) với f = í.

5.3

K h ô n g gian R iem an n Vn. T e n x ơ m ê tric, hê số
liên t h ô n g tr o n g không gian R ie m a n n

5.3.1

Đ ịn h n g h ĩa

Để đưa đa tạp về khỏng gian Riemann, ta phải đưa vào độ đo; đó là tenxơ
mêtric tưang tự như tenxơ mêtric của không gian Euclide trong tọa độ cong.
Ta gọi đa tạp là khônq gian Riemann, nếu như trong đó ta cho trường
tenxơ
9ij{M) = 0 i j ( x \ z 2 , . . . , x n)
hai lần hiệp biển, đối xứng và không suy biến, tức là
g = D e % j| Ỷ 0,

9ij = 9ji-

Tenxơ Ọij gọi là tenxơ mêtric của không gian Riemann, nó có thể chọn tùy
ý chỉ cần thòa màn các điều kiện trên. Điều này khác với tenxơ mẽtric của
không gian Euclide, vì nhir đã biết tenxơ mêtric Euclide phải thỏa mân hệ
phưcmg trình vi phản cấp hai (4.45) mục 4.8 chương IV. Do đó với cùng một
đa tạp có thể đưa vào nhiều độ do Riemann.
Xét không gian apphin tiếp tuyến An với đa tạp đang xét tại mỏi điểm
M . Vectơ a của không gian này là biểu diễn hình học của tenxơ a* tại điểm
M dang xét. Nhờ trường tenxơ 9 ij{M)y chủng ta biến đổi không gian apphin
tiếp tuyến A n về không gian Euclide Eny bằng cách đưa vào tích vô hướng
của hai vectơ bất kỳ
a • b = Qij(M)aiV .

(5.14)

Ta có thể nói không gian Riemann Vn là đa tạp, mà mỗi không gian apphin
tiếp tuyến A n của nó đều chuyển thành không gian Euclide bằng cách đưa vào
tenxơ mêtric Ọij liên tục vi phân được. Tích vó hướng a • b là bất biến và đối
xứng vì gtj dối xứng, nó cho ta độ đo Euclide không suy biến vì Det|3 tj| ^ 0.


202

Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÔNG VÀ KG RIEMANN

Ta gọi không gian Rieman là không gian Riemann thục sự hay giả Riemann
tùy thuộc vào các không gian tiếp tuyến của nỏ là Euclide thực sự hay già
Euclide (chl xét không gian thực). Mọi điều đúng trong không gian Euclide
như đã xét ờ chương IV đều đúng đổi với các không gian tiếp tuyến E n tại
mỏi điểm M của không gian Riemann vn. Chẳng hạn độ dài vectơ bcằng
|a| = Vai 2 = y j g ^ a xa^ .

Không gian Riemann thực sự đặc trưng bời dạng toàn phương g i j a l a J xác
định duơng.
Ta đưa vào một định nghĩa khác của không gian Rieman, thay việc cho
trường tenxơ mêtric gij(xl } . . . , x n) bằng cho dạng toàn phương mêtric (hay
là phần từ đường của khỏng gian Riemann).
Xét đường cong trong không gian Riemann

gia số vô cùng nhỏ theo đường này tương ứng với vecta vô cùng nhỏ dxl (t)
trong không gian tiếp tuyến. Khi đó ta có thể đo được độ dài vectơ

Tirơng tự với không gian Euclide, ta có độ dài vectơ d x là vi phân cung
ds dọc theo đường
ds2 = |d x |2 = glj d x idxJ.

(5 . 15)

Bình phương vi phân cung biểu thị bằng dạng toàn phương của vi phân tọa
độ X*, ta gọi là d a n g to à n p h ư ơ n g c ơ sờ, nó là một.bất biến. Vậy:
Không gian Riemann vn là đa tạp, trong đó cho trước dạng toàn phương
vi phản bất biến

với Ọij liên tục vi phản được và Det \gij\ Ỷ 0.
Không gian Riemann thực sự đặc trưng bời dạng toàn phương cơ sờ xác
định dương và ds luôn luôn thực, còn trong không gian giả Riemann ds có
thể thực, thuần túy ảo hoặc bằng không.
Tất nhiên hai định nghĩa không gian Riemann là tương đương nhau, từ
định nghĩa nọ có thể suy về đinh nghĩa kia.


5.3.

203

KHỐNG GIAN RI KM ANN. TEN x ơ METRIC

5 .3 .2

T e n x ơ tr o n g k h ôn g gian R iem a n n

Giả sử tại điểm M nào đấy cùa không gian Riemann cho tenxơ, chẳng hạn

aijk. Như dà biết trong đa tạp, có thể xem nó là tenxơ đổi với rêpe địa phương
tại điểm M cùa không gia.il apphin tiếp tuyến A n. Các phép tính đại số đối
với các tenxơ đều thực hiện được tương ứng tại từng điểm của không gian.
Ngoài ra việc đưa vào tenxơ metric g%j(M)y ta có thêm phép nâng và hạ chỉ
số tương tự như trong không gian Euclide, sự khác biệt giừa chỉ số trên và
chi số dưới không thật đáng kể nửa, vì chỉ số nọ có thể chuyển thành chì số
kia.
Từ tenxơ metric hiệp) biến
ta xây đựng tenxơ metric phản biến
ọiJ( M ) } các thành phần của nó lập thành ma trân nghịch đào với ma trận
(W );

9im9mj = Sj\
1
Gij
nên Det |ợ'J| = — và gl] = — trong đó GlJ là phần phụ đại số của
9

Ọij.

9

Nhờ hai tenxơ này ta thực hiện phép nâng và hạ chỉ số tương tự như
trong mục 4.3 chương IV.
T hí dụ 5.2. Nâng chỉ số j trong ten x ơ a'jk
« i- = 9 j p ¿ .p k ,

hoặc hạ chỉ số i trong alj k
ai'jk = 9iqa%.

•

Phép nâng hạ cũng thực hiện đối với tenxơ tại từng điểm của không gian

5.3.3

M ặ t 771 ch iề u tro n g không gian R ie m a n n Vn

Giả sử cho mặt m chiều
X* = x i {ul , u 2, . . . , um)

(i = 1, 2, . . . , n),

ta tính vi phân cung khi dịch chuyển vô cùng nhỏ theo đường cong bất kỳ
trên mặt m chiều này. Ta có


204

Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THÕNG VÀ KG RIEMANN

t h a y v à o (5.15), n h ậ n đ ư ợ c

Ký hiệu
^
_
d x i dx j
Gaữ - g'j d ^ d ữ i
là tích vô hướng của vectơ

(5.16)

d x' d x l
tiếp tuyến với dường tọa độ ua , vP,
d u Q’ dvP

đưa ta đến

ds2 = ơ a p íu 1 ,!*2, . . . ,um)duadvf*.

(5.17)

Vậy trên mặt m chiều dạng toàn phương vi phán của biến u 1, u2, . . . , um biền
thị bình phvơng vi phán cung và do đó nó bất biến (phần tủ đuờng của mặt
m chiều).
Điều kiện Gap = Gßa suy từ công thức (5.16) và diều kiện Qij = gji, nếu
thêm điều kiện
Det. \Gaß\ Ỷ 0

(5.18)

thì theo định nghĩa thứ hai ta có thể nói mặt rn chiều là không gian Riemann
771 chiều với tenxơ mêtric Gaß. Nếu điều kiện (5.18) thỏa rnản, mặt m chiều
là không đằng hướng, nó chính là không gian Riemann ro chiều vm. Trường
hạp không gian Riemann thực sự mọi mặt đều không đẳng hướng, vì điều
kiện (5.18) suy từ dạng toàn phương ds2 = Gaßduadu0 xác định dương.
Bảy giờ xét mặt phẳng tiếp tuyến A m của mặt m chiều, mặt phẳng này
nằm trong không gian tiếp tuyến An lúc này là không gian Euclide, các vectơ
0* của mặt phẳng có dạng tương tự như (5.8)

trong đó an là các vectơ có thể của mặt m chiều tại điểm M . Tích vô hướng
cùa hai vectơ a , b bắt kỳ của Am cho ta

=

G aß( M ) a a bP

( 5 .1 9 )


5 .3 .

205

KHÔNG GIAN RIEMANN TENXƠ MẺTHIC

nếu điều kiện (5.18) thỏa màn, khi dó mặt phẳng A m không đẳng hướng và
có độ đo Euclide. Mặt phằng A m là khóng gian tiếp tuyến tại mỗi điểm của
không gian Rieman vm (mặt m chiều). Công thức (5.19) cùa Vm lập lại cỏng
thức (5.14) của Vn.
T hí du 5.3. Trong khỏng gian Riemann ba chiều V3 (trường hợp riêng là
khỏng gian Euclide thông thường) có thể xét mặt một chiều Vi (dường cong)
và mặt hai chiều V2 . •
Mặt m chiều là không gian Riemann m chiều, nên trong đó ta cũng có thể
xây dựng khái niệm tenxa.
T h í du 5.4. Hệ thống a^7 lập thành tenxơ, nếu chúng thay dổi theo quy luật

Các phép tính đối với tenxơ củng thực hiện tại từng điểm trên mặt m
chiều, kể cà phép nâng và hạ chi số nhờ tenxơ mêtric Gap.

5.3.4

H ê số liê n th ô n g tro n g không gian R ie m a n n

ở các phần trên ta mới xét riêng hình học apphin liên thông sinh ra bời hệ
số liên thông T ịj(M ) và hình học Riemann suy bời tenxơ mêtric
Bảy
giờ trong không gian Riemann ta luôn có thể xảy dụng hệ số liên thông r i j ( M )
một cách duy nhất, có các tính chất sau đảy
a) độ xoắn bằng không Tịj — Tjịf
b) cùng chuyển dịch song song hai vectơ a ưả b dọc theo đường nào đấy
thì tích vô huớng của nó không đổi.
Hệ số liên thông trong không gian Euclide thỏa mãn tính chất độ xoắn
bằng không, nên đưa hệ số liên thông vào không gian Riemann theo tính chất
a), là muốn giữ tính chất đó. Tính chất b) cho ta thấy các tính chất apphin
và mêtric của các vectcr phải không dổi, nói riêng độ dài của chúng và góc
giữa chúng phải không đổi khi dịch chuyển song song theo đường, nó gần với
tính chất của không gian Euclide.
Bây giờ xác định hệ số liên thông
thỏa màn hai tính chất a) và b). Ta
có
a b=

do đòi hỏi tích vô hướng
nào đấy, nên

a •b

d( a

ỹi3a

ỳ

không đổi khi dịch chuyển song song theo đường

•b ) =

(¡(gijd'bi)

— 0,


206

Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LIẾN THÔNG VÀ KG RIEMANN

hay là
dgijVì a, b chuyển dịch song song, nên
dak = - r pkia'dxp;

dbk = - T kpjV d x p,

thay vào hệ thức trên cho ta
(

t

l

9

,

w

= 0.

Do a \ b3, dxp có thể chọn hoàn toàn tùy ý, từ đây suy ra

Skj^pi

dxP

9ik^pj — 0.

(5.20)

Dùng ký hiệu
r «j/ = 9(kĩ'ij
và ký hiệu ngược lại
*■ij

_ kt p
9 * ijfì

ta viết phirơng trình (5.20) dưới dạng
r

• 4- r •• =

lpii + l pji - dxP

■

(5.21)

Do tính chất độ xoắn bằng không, hệ số r j j và r « i đối xứng với hai chi sổ
t, j . Đến đây về hình thức hoàn toàn trùng với kết quả trong mục 4.7 chương
IV. Vì vậy, tương tự (4.36), ta có

r

= 1( d9ư ^
tJỈ

2 \dxi

_ d9ij \
dx'

dxf /

và

^

\ n

ề

+e- B - ầ \

^

Công thức (5.22) cho ta nghiệm duy nhất của bài toán dặt ra. Hệ sổ liên thòng
vừa nhận được trong không gian Riemann gọi là hệ sổ liên thông Ricrnann.


5 .3

207

KHÔNG GIAN RIEMANN I ỉ NXO MF'nUC

T hí du 5.5. Cho không ‘M a l i R i e m a n n v(sÌ7ir[)2. ff 12 — <721 —0. hộ số liên thông R i c m a n n ró dạng
— S1I 1

X cosx ,

= s i m co s x ,
và

1 221 = “ sin X cos X 1
21 r í?22r 122 -- c o tg x 1,
các

5.3.5

còn lại đều bằng1 không. •

T ín h th ể tích tr o n g k h ô n g gian R ie m a n Vn

Trong không gian Ricmann ta xét hình hộp tọa độ vò cùng nhỏ tại điểm đang
xót A í ( x i)y cạnh của hình hộp đó là những đoạn vô cùng nhò của đường tọa
độ giửa điểm M ( x l , . . . , x n) và M i ( x x, . .. ì x i + dxiĩ . .. , £ n). Trong không gian
Euđiđe tiếp tuyến gia số vô cùng nhỏ M M i tương ứng với vectơ vô cùng nhỏ
cổ thành phần đối với rêpe địa phương

Ta thay hình hộp bằng hình hộp tương ứng trong không gian Euclide tiếp
tuyến có các cạnh là các vectơ nêu trên. Theo công thức (4.15), tính thể tích
hình hộp trong không gian Eudide
w = a /ỉỡ ỉ ịD c tịa ị
trong đó g = Det|
d o đó:

d W = y/\g\dxl • • *dxn .
Nếu xem thề tích của miền D trong không gian Riemann là lập bthể tích của các hình hộp tọa độ chia miền D, ta có thề thay chúng bằng các


208

Chương V. KHÔNG GIAN APPH1N LIÊN THÔNG VÀ KG RI EM AN N

hình hộp trong không gian Euclide tiếp tuyến. Tổng các thể tích này cho ta
thể tích miền D

(5.23)

W d == JI Vĩ:ĩãị-dx
x/ịgị ■d x 1' ■■■d x n ,
D

nó bất biến đối với phép biến đổi tọa độ X 1 .
Nếu trong không gian Riemann cho mặt m chiều vm, mặt này củng là
không gian Riemann m chiều. Trên rnặt đó ta có thể tính thề tích miền m
chiều theo công thức tương tự (5.23)
WD =
= II \/\G\
y Ĩ G ị ddu
n ' • • • dum,
D

trong đó
G = Det|Ga/}|,

Ôx ị Ỡx^

Gaữ = 9 * 1 0 ^ ¿faß ■

Như ta đã biết Gaß là tích vô hướng từng đôi một của m vectơ

Qxl

tiếp

tuyến với đường tọa độ ua trên mặt Kn, vì vậy

V \ G \ = y J \D e t \G a0\\
là thể tích cùa hình hộp 771 chiều xây dựng bời m vectơ

(ữ =

trong không gian Euclide tiếp tuyến.
T h í du 5.6. Trường hợp riêng, với mặt hai chiểu V2 , ta có thề tích hai chiều,
tức là diện tích trên mặt
WD =

Ị
D

s/\G \d u xdu2 = J \J \G u G 22 - G212\d u l d u \
D

C a 0 ờ đây chính là hệ số của dạng toàn phương thứ nhất của mặt. •

5.4

K h ô n g gian E uclide là t r ư ờ n g h ợ p riêng củ a
k h ô n g gian R ỉe m a n n

Ta thấy không gian Euclide hoàn toàn được xác định khi cho tenxơ mẻtric
gij(M), tương tự như không gian Riemann. Vì vậy có thể nói không gian


5. 4.

KG EUCLIDE - TRƯỜNG HỢP RIÊNG CỦA KG R1EMANN

209

Euclide là trường hợp riêng của không gian Rie-mann, điều này thể hiện ờ chỏ
trong không gian Euclide luôn luôn có thề chuyền về hệ tọa độ đặc biệt (cụ thề
là hệ tọa độ apphin thang xiên), trong đó các thành phần của tenxơ mêtric là
nhùng hằng sổ:
= const.
lYong khi đó đối với không gian Riemann nói chung ta không làm được như
vậy. Vì dù hệ tọa độ mới được chọn như thế nào, ta củng không thể có được
trong hệ tọa độ đó các thành phần của tenxơ mêtric là hằng số. Điều đó có
nghĩa là trong không gian Riemann không tồn tại hệ tọa độ thẳng tương tự
như tọa độ apphin. Sau này ta thấy điều phân biệt cơ bản là trong không
gian Riemann tồn tại độ cong khác không, còn trong không gian Euclide độ
cong bằng không.
Nếu trong không gian Riemann vn nói chung ta không tìm được hệ tọa độ
£*, dể cho gij(M) trong đó không đổi, nhưng có thể làm dược diều đó tại riêng
lân cận từng điểm của nó, thì ta gọi không gian vn là Euclide địa phương.
Trong không gian Euclide ta không phải xây dựng tại mỏi điểm M không
gian tiếp tuyến như trong không gian Riemann. Quà vậy, mỗi tenxơ phản
biến a' trong không gian Euclide cho tại điểm nào đấy của tọa độ cong hoàn
toàn xác định một vectơ cũng trong không gian đó
a = a*gt.

Vì vậy không gian Euclide là không gian tiếp tuyển của chính nó tại điểm bất

kỳ.
Như đả nói ờ trén, mặt Vrn {m chiều) trong không gian Riemann v n cũng
là không gian Riemann. Điều này cho ta phương pháp thuận tiện để nhận
được các không gian Riem&nn, nếu như trong trường hợp riêng ta lấy khỏng

gian Euclide làm không gian chứa vn .
T h í du 5.7. Ta xét lý thuyết mặt trong không gian Euclide thông thường
f?3 . Trên mặt, xác định bời hai tham số u \ u 2 ta có dạng toàn phương thứ
nhất là bình phương vi phân cung
ds2 = E ( u l , u 2 )(du ì )2 + 2F ( u l , u2 )duldu 2 4- G (u l , u 2 )(du2)2.

(5.24)

Do đó có thể xem mặt là không gian Riemann hai chiều có dạng toàn phương
inêtric (5.24) và tenxơ mêtric tương ứng
G \ \ = 2?,

Cĩ 12 — Ơ21 = F,

G 22 = G.


210

Chương V. KHÔNG GIAN APPHIN LIÊN THỎNG VÀ KG K1EMANN

Hình học Riemann hình thành trên mặt do dạng toàn phương (5.24) gọi là
hỉnh học nội tại của mặt. •
Tương tự như vậy, trong không gian Euclide nhiều chiều En (cả giả
Euclide), ta cỏ thể viết các mặt vm (m chiều) bất kỳ là nhửng không gian
Riemann. Cách khảo sát này có ưu điểm là, có thể viết phương trình mặt. Vm

trong tọa độ apphin x \ đo đó có thể viết phương trình tham số của mặt dưới
dạng vectơ. Gọi X là bán kính vectơ của điểm trên mặt
, u m )ei

X =

hay là
X =

ỉí2 , . . . , txm ),

khi đó vectơ tiếp tuyến với dường bất kỳ trẽn mặt

UQ = u°(t)

(q =

sẽ là
dx
dt

ôx dua
du a (ỉt

dua
Qua M vẽ mọi dường cong trên mặt, ta có —y— là mọi tenxơ trong vm, còn
— là moi vectơ tiếp tuyến với vm tai diểin đó. Moi vectơ tiếp tuyến — lấp
dt
„
đt
ỡx
đày mặt phẳng Arn xây dựng trôn các vcctơ —— , các vectcr này tiếp tuyến
với các: đường tọa độ. Một đặc điểm cần chú ý là mọi vectơ đang xét và mặt

phẳng Am đều thuộc không gian Euclidc chứa mặt đang xét, không như trong
không gian Riemann chúng thuộc không gian tiếp tuyến Aj, xảy dựng riêng
tại mỏi điểm M.
Phần tử đường trên mặt vm có thể xác định bằng công thức
ds = d x ,
hay là
ds 2 = dx • d x =

dua

• ^ ã d u ữdu1* 1
ơvP


5.5.

GIẢI TÍCH T E N X ơ TIU N<; KHÔNG GIAN UKN I HỎNG

211

suy ra

ữữ = ã ?

ôĩĩ^ ’

Vấn đề đặt ra là cho trước không gian Riemann Vm, có thể xem nó là mặt m
chiều của không gian E jì được khỏng. Người ta chứng minh được rằng không
gian chứa E n phải có số chiều
m(m + 1)

71 ~~
2
Thí dụ 5.8. Trong không gian J?3 ta có thế xét các mặt một chiều, hai chiều,
trong không gian E(ỳ có thể xét các mật một chiều, hai chiều và ba chiều. •

5.5

Giải tíc h te n x ơ tro n g không gian liên th ô n g Ln
v à k h ô n g gian R ie m a n n Vn

ờ đây đưa vào khái niệm vi phân tuyệt đối và đạo hàm hiệp biến cùa tenxơ.
Trong mục 4.8 chương IV ta đà xét kỷ các phép tính này trong không gian
apphin và không gian Eudide; đối với không gian apphin liên thông và không
gian Riemann cách thiết lập hoàn toàn tương tự. Điều đó giải thích ờ chỗ,
cho một tenxa ơ điểm M của không gian liên thông apphin, các thành phần
của nó đối với hệ tọa độ Xx rủng có thể xem là thành phàn của nó đối với rêpe
địa phương (A/, g i , . . . , g;») trong không gian apphin tiếp tuyến An tại M. Vì
vậy ờ dây chi nêu lại Iihĩrng kết quả chính, mà khỏng nhắc lại các lập luận
chặt chẽ.

5.5.1

Vi p h â n tu y ệ t đối và đạo hàm h iệp b iế n tro n g L u

Vi phân tuyệt (lối của tenxơ phàn biến hạng nhất ak
Dak ^ d a k + Tịi aid x ỉ ì
còn dối với tenxơ hiệp biến hạng nhất a*, thì
Dak = daic - r lkjatd x \
trong đó hộ sổ liên thông r£ là các hàm cho trước đối với từng không gian
apphin liên thòng cụ tho.

212

Chương V. KHÒNG GIAN APPH1N LIÊN THÒNG VÀ KG RIEMANN

Ta CÓ thể mờ rộng đối với tenxơ có hạng và loại bất kỳ, chẳng hạn dối với
tenxơ alj k
Da)k = da)k + r mfafkdx( - r^

mkdxl - r%a)md x ‘.

Nếu tenxa alj k xác định trên đường £* = x*(í) thì đạo hàm tuyệt đối theo t sè
bằng
Da'
do?■r
— 2* = -JÌL +
dt
dt
Từ các công thức trên:

(ÌT^
HHt ^
aỴ Ĩ Ĩ i _ r 'Jịaịnk~ - - r%a)m^ r •
ư jk dt
mk dt
j dt

D (...) = V j{...)d x]
ta viết công thức đạo hàm hiệp biến cấp một:

Y7 Ắc
, pfc i
Vjữ ~ ẽ j + r ^a ’
Oa*
i
jữfc - ỡxí'
_

___

V /o jfc = - g r +

5.5.2

- r > ‘mfc - i r , a ‘ m.

V i p h â n t u y ệ t dối và đạo h à m h iê p b iế n tro n g Vn

Mọi công thức vừa nêu trên tất nhiên cũng đúng đối với hệ số liên thông cùa
không gian Riemann (công thức (5.22)). Nhưng do có tenxơ inêtric gij các
phép tính này có một số tính chất mới.
B ổ đề R icci. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ mêtric đồng nhất bằng không.
Quả vậy:
^p9ij — q J p

ĩ-%9kj

^pj9ik

theo công thức (5.20) thì vế phải bằng không, đó là điều cần chứng minh.

Vậy vi phân tuyệt đối của tenxơ mêtric cũng bằng không
Dỹiị

=

0.

Tương tự như vậy đối với tenxơ đơn vị ỏỳ.

V

í

= ẩ

+ ^

= r i, - r tj = 0

=


5.5.

GIẢI TÍCH TEN X ơ TRONO KHÔNG GIAN LIÊN THÒNG

213

(riêng đối với tenxơ này tất nhiên cũng đúng trong không gian liên thông
apphin L n)\ còn từ đạo hàm hiệp biến hệ thức gĩmgmj =

ta chứng minh
được
(Dg'j = 0).

V P9i j = 0

Tương tự như không gian Euclide, nhờ bổ đồ này ta thấy phép nâng hạ và
cuộn chỉ số có thể hoán vị với phép tính đạo hàm hiệp biến.
T h í dụ 5.9.
a . j k = 9 j p a ..k>

= Ụ t ( 9 jp à Pk) = a' pkụ (9ip + 9 jp V (a ipk
= 9 jp V ta 'Pk>
a ịj =

V= *TV/*inj-

•

Nhờ vi phân tuyệt đối ta thừ lại được tính chất là hai vectơ a* và 6* cùng
(lịch chuyển song song theo một đường cho trước thì tích vô hướng của chúng
không thay đổi. Quả vậy
Đ iữv-aV ) = (D giịỳb* + Oi^Da^V 4- ga^D ìP = 0

vì D(jij luôn luôn bằng không, còn Da', Dbi bằng không do dịch chuyển song
song các vectơ này.
Chú ý rằng trong không gian Riemann củng đưa vào dề dàng những khái
niệm cơ bản của giải tích vect.ơ tương tự như không gian thường.
T h í dụ 5.10. Mổi trường vô hướng (p = fp(xl ì x 2ì . . . f x n) tương ứng với

trường vectơ - građiên:
-K 7

-

Vi = V i* = g

.

hoặc cho bằng các thành phần phản biến

=
'
V í dụ 5.11. Mỗi trường vectơ a‘ = a'(xl , x 2, ... , x n) tương ứng với trường
divecgiăng là trường vô hướng bất biến


Chương V. KHÔNG GIAN APPH1N I.IÉN THÔNG VÀ KG ÍUEMANN

214

Div grad của trường vô hướng ip cho ta toán tiV Laplace đối với tp

= Vi(giJệ j ) =

= ọlJv ljip. .

T hí du 5.12. Rot của trường vectơ Qi trong không gian n chiều xác định
như vectơ - kép
_ da1

" V i° i - v ’° ' = d ĩ

dciị
- dằ '

trong đó (lị là thànhphần hiệp biến của vectơ al (tức: là at =gimam) Xcm
vectơ kép này nhưmộtvectơ ò1 chỉ trong trường hợp ba chiều.
Khi đó
b' = _ L e o * v
V9

a fci

tức là
I1

bl

5.5.3

1
a 23 ,
s/ĩi

= —

12
h

= —

a 3i ,

*■

b

I*ĩ
ựỹ

= —

ựõ

1

a. 12.

•

Đ ao h à m hiệp b iến t r ê n m ă t

Như đã biết, mặt m chiều trong không gian Rieman vn cũng là không gian
Riemann m chiều, nên mọi cáchlàm đối với không gian n chicu có the áp
dụng vào đây. Gọi u1, u2, . . . , u mlà tọa độ trênv my ta có
X1 = x i (uì ĩ u 2ì . .. ,ũm)

(ỉ = 1 , 2 , , n).

Vì vậy tenxơ mêtric của v m theo (5.16) cỏ dang

G a (i

=

Õxx Ỡx^
9 ij

q

-ị ;

(i , j

-

1 , 2 , . . . ,n) (a ,/? = 1,2,.

tương tự (5.22), ta tính hộ số liên thông của mặt
p

1 /ỠGcty

ỠG ậ-y

2 \lh F

lh F ~

ỞOap \

ỡuW ’

? l 0 = ^ r a/Jỉ.
Công thức dịch chuyển song song của vectơ aa theo đường
ua = ua (t)

(a = 1, 2 , . . . , m)


5 .5 .

215

GIẢI TÍCH T E N X ơ T R ON G KHÔNG GIAN LIÊN THÔNG

có dạng tương tự như (5.11)
daa = - r %yaßd u \
Nếu aQ là tcnxơ hạng nhất phản biến trên mặt xác định dọc theo đircrng ua (t),
thì các thành phcin của nó là hàm của t, khi đó
Daa _ d a a
dt
dt

ß dv?
dt

là đạo hàm tuyệt đối theo t. của aa trên mặt, còn
=

Ỡa° + r"

np

Vĩ Q “ ỡ ^ + r ^ a

là đạo hàm hiệp biến của tenxơ aQ.
Tirơng tự ta có đạo hàm tuyệt đối theo t của aa
Daứ
(laa
y
dur
~
j
T
~
*
ô
^
h
j
dt
dt
ữữ 7 tdtT
và đạo hàm hiệp biến của aa
V7

V/Jûtt _-

ô a <>

p7
r¿aar

Mờ rộng cho tenxơ bất kỳ, chằng hạn tenxơ CÌ07
ỉa dt
ỉl +
+ lVa
a°—
(Ia. —
aao —
° rah
dt - Va
l ßraoy
dt - rz.
Í tiH
dt
da»
V
7
_ __E
2 O-' *Va
nơ —*r ßr^a'y
ơ nừ — *VaT'yapơ'
nữ
Vrtip-y
Q^r
araßy
dt

=

,

Chú ý. Các chỉ số Ililạp chạy từ 1 đến m tùy thuộc vào số chiều của mặt.
T hí dụ 5.13. Tính dạo hàm hiệp biến V 7 ÒQ trên mặt cầu bán kính R. Tenxơ
metric có dạng Gil = 1, ơ 22 = (/Î sin lí1)2, G 12 = Ơ 21 = 0> các hệ số liên thông
được tính tương tự như trong thí dụ 5.5. Khi đó


216

C h ư ơ n g V. KHÔNG GIAN AJTH IN LIKN T H Ô N G VÀ KG KIKMANN

5.6

Đ ư ờ n g tr o n g không gian R i e m a n n . Đ ư ờ n g tr ắ c
đia tr o n g k h ô n g gian L n và Vn

5.6.1

Đ ư ờ n g tro n g k hông gian R ie m a n n

ơ đây giới hạn khảo sát hình học nội tại của đirừng t rong không gian Riemann
vn, trường hợp rièng là không gian Euclide En, rút ra công thức Fronet suy
rộng có nhiều áp dụng sau này.
Cho đường cong dưới dạng tham sổ
xi =
trong đỏ giả thiết X 1 liên tục, n lần vi phản được theo t Tại mỗi điồm A/
của đường có thể thực hiện lấy đạo hàm tuyệt đôi theo t của hàm x \ ta được
vecta tiếp tuyến a'

ị dx'
a — —dt
Đạo hàm tiếp
Da*
~ d t +

da' kdxJ
dt

ì

và cứ tiếp tục như vậy ta dược dãy các vectơ
,

Da‘

D‘a'
D "-'a'
dfi ........ J F T -

15 251

nói chung các vectơ này độc lập tuyến tính, đường như vậy gọi là đường co
bản. “Mặt phẳng” trong không gian Euclide tiếp tuyến E n đi qua M và chứa
p vectơ dầu tiên của (5.25) gọi là mặt tiếp xúc Ep%ta có

E\ c E2 c ••• c Ep c Ep+ 1 c ••• c £n-i
(dấu c là nằm trong hay là thuộc).
Bảy giờ tại mồi điểm của đường có thể gắn một cách tự nhiên rêpe trực
chuẩn nhờ các vectơ đon vị

^¿t

•• • 1

li

trong đó:
(ỉxl
1/ị hướng theo tiếp tuyến E\. nó trùng với vectơ tiếp tuyến - ị - đã dươc
chuẩn hóa.


/5. tí.

217

f>l.rÒNG TRONG KHỎNC <; ĩ AN KIKMANN ĐƯỜNG TKẮC ĐI A

ư\ nằm trong E ‘i trực giao với E\,
uv nằm trong Ef)+1 trực giao với Ep
v'n- 1 trực giao với E n- 1 .
Vì v vx trực giao vái Ep nên nó trực giao với mọi
, ề/*ịi tức là các vectơ
đan vị trên trực giao từng đỏi một. Ta gọi rêpe này là rêpe tự nhiên hay rêpe
gắn theo đường, từ
đốn v xn_ l gọi là pháp tuyến của đirờng.
Ta tính độ dài cung cùa dường

s =

ds = y j g ~ d ^ d & .

*0

(ỉx*

Chuẩn hóa vector - 7- cho ta vectơ ưn
dt
0
ị - ịĩL
0

ds

. Disi
lìm công thức Frenet tức là tìm khai trien - 7-*- theo các vector đơn vi

as

D u1
Ta thấy —j y bao giờ cùng nằm trong Ep+2 < tức là có thể khai

ị/Ị)%...

triển qua v ị , . . . 1- Quả vậy v xv nằm trong Ep+h tức là có thể khai triển
được qua a \

. . . , ' khi vi phân sẽ xuất hiộn đạo hàm cao hơn một

Da 1

Dp+1al
cấp, nên DiA sẽ khai trien qua a*, —7—, . . . , ——7 P của Ep+2 - Do đó nó sẽ
H

dt

trực giao với ^p+2 »• • • >

d

v 1

Dui
tirc tè tích vỏ hướng cua vectơ —— với mọi

vectơ vxq (q > p + 1 ) phải bằng không:
Đv'
9ijvq-¿ - °>

với </ > p + 1.

Vì í/p, Z/* trực giao, nèn
= 0.
lấy vi phản tuyệt đối hệ thức này cho ta
9 i j { D v § v ị + 9ijv \D uị = 0;

(5.26)