Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 4

CHƯƠNG IV

Tenxơ trong không gian Euclide
Các tính chất tổng quát của không gian apphin vẫn có ý nghĩa, khi ta chọn
một độ đo tùy ý, tức là ta cố định một độ đo chung cho mọi vectơ cơ sờ. Ở
đây chúng ta xây dựng không gian Euclide bằng cách đưa vào không gian
apphin đô đo dưới dang tích vô huóng của các vectơ. Trong mục 1.5 chương I
đả trình bày một cách tóm tắt cách xảy dựng không gian Euclide. ở đảy xét
kỳ hơn các tính chất của nó và thiết lập đại số và giải tích các lenxơ trong
đo.

4.1
4.1.1

Đ in h n g h ĩa tích vô hư ớng, t e n x ơ m êtric.
v e c tơ cơ sờ t r ự c chuẩn

Hê

T íc h vô h ư ớ n g

Trong không gian apphin n chiều cho hàm vô hướng song tuyến tính nào đấy
ự?(x.y) của hai đối s ố vectơ X và y thỏa inản tính chất đối xứnq

¥>(x,y) =
và tính chất không suy biến; tưc là với mỗi vectcr X Ỷ 0 có thể tìm được vectơ
y sao cho

Ngoài ra hàm không được thay đổi nữa. Một hàm như vậy

vô h ư ớ n g của chúng và ta ký hiệu một cách
vò hưởng như vậy thỏa mân các tiên đề (1.1)
129

một khi đả chọn rồi, thì sau đó
của các vectơ X , y gọi là tích
đơn giàn là X • y. Rõ ràng tích
mục 1.5 chương I


C h u ơ n g IV. TEN x o TRONG KHÔNG GIAN ẼUCLIDE

130

Đinh nghĩa. Ta gọi không gian apphin 71 chiều, trong đó cho hàm vô hướng
song tuyến tỉnh xác định của hai đối số vectơ X và y thỏa mãn điều kiện đối
xứng và không suy biến, là không gian Euclide 71 chiều.
Như ta đả biết, khi xâv ciựng không gian tuyến tính phải xác định nó trên
trường số thực hay phức; do đó ta có không gian apphin thực và không gian
apphin phức. Trong không gian apphin thực, mọi số đều là thực, khi đó tích
vô hướng X • y của hai vectơ X, y cũng chỉ lấy những giá trị thực, nên không
gian Euclide tương úng là thục. Không gian Euclide phức được xây dựng từ
không gian apphin phức:. Không gian Euclide thực lại chia làm hai lớp: không
gian Euclide thục sự, trong đó với mọi vectơ x / 0
X2 = X • X >

0

và không gian giả Euclide, trong đó X2 có thể lấy giá trị dương củng như âm.
Về mặt hình học không gian Euclide thực sự tương tự như không gian

thông thường, chì khác về số chiều; với 71 — 1,2,3 ta nhận được các không
gian thông thường.
Trong không gian già Euclide X 2 c ó thể dương, âm hoặc bằng không, nên
độ dài vectơ X
|x | =

có thể thực, thuần túy ảo hoặc bằng không. Không gian giả Euclide đóng vai
trò quan trọng.trong lý thuyết tương đối.
Trong không gian Euclide phức, hàm X • y lấy giá trị phức» nên độ dài
vectơ cũng là một số phức.

4.1.2

T e n x ơ m ê tric

Trong trường hợp tổng quát, việc chọn hàm song tuyến tính ự(x, y) tương
đương với việc cho teiixơ hai lần hiệp biến ( P i j các hệ số của nó
¥>(x,y) = (p(xie í,yi ej ) = xV < p(ei,ej),
hay là
X y = x ie ĩ • y^ej = ỉ V e i • ej*

Đặt
< p ( 0 { ,© j )

Gị • G j

Ọ ijt


4 .1 .

ĐỊNH NGHĨA TÍCH VỎ HƯỚNG, TE N XO METRIC

131

khi đó
vj(x: y ) = X

y = gljx 'x j .

Tenxơ Q i j gọi là tenxơ metric của không gian Euclide.
Nếu hai vecta X, y trưc g i a o với nhau, tích vô hướng cùa chúng bằng
không
X • y = QijX X

=

0.

Dặc biệt, nếu y = X ta có bình p h ư ơ n g vô h ư ớ n g của vectơ X biểu thị bời
(lạng toàn phương
X2 = X ■X = gijx'xj.

Ve mặt hình học có thề xem đây là bình phương khoảng cách từ điểm
M ( x ì ì x 2) . . . ,£ n) đốn điểm 0 ( 0 ,0 ,... ,0). Hoàn toàn tương tư ta có thể
tính khoảng cách vô cùng nhỏ từ điềm M ( x l íx 21. .. ,x n) đến điếm M '( x l +
dxỵ, . . . , xn 4- d x n):
ds 2 = ( M M ') 2 = Qijdx'dxi,
. . . , và AÍ2 (xỊ2y . . . , X(2)):

hoặc khoảng cách giữa hai điểm

M \AÍ 2 — 9ij{x (2) ““ x (i))(x ị 2 ) ”
Bây giờ ta chi ra một số tính chất của tenxơ metric:
a) Tenxc/ metric có tính chất đối xứng
9ij = 9ji>
diều này suy từ tính chất đối xứng của tích vỏ hướng.
b) Điều kiện không suy biến đần đến
Det|pt;| ^ 0 .
Quả vậy, nếu điều kiện này không thỏa man, tức là tồn tại vectơ X / 0 sao
cho X • y = 0 với mọi vectơ y. Đằng thức này viết dưới dạng tọa độ
Ổ ijxV = 0
với mọi y 1, . . . , y n. Từ đây suy ra


132

C h ư ơ n g I V . TE N XO TR ONG KHÒNG GIAN EUCLIDE

hệ n phương trình thuần nhất đối với x \ vì X
0 nên x‘ không đồng thài
bằng không, do dó định thức các hệ số bằng không

DetỊsýl = 0.
Điều kiện cần và đủ để độ đo suy biến là Det|<7¿j| bằng không. Điều đó ngược
lại với điều kiện khòng suy biến, tức là với điều kiện
D e t| 9 ij| Ỷ 0-

Tóm lại, đưa vào không gian apphin n chiều tích vô hướng của hai vectơ
tương đương với việc đưa vào tenxơ metric g i j thỏa mãn điều kiện đổi xứng

và không suy biến.
Nếu chuyển từ hệ cơ sờ này sang hệ cơ sờ khác theo quy luật (3.7), thì
tenxơ metric thay đổi theo quy luật
9ij = A i t y p q -

Nếu xem đây là các thành phần của ma trận, thì ma trận (g¡j) là tích cùa ba
ma trận (Apt ) (Ọpq) {Ả**), nên định thức của nó cũng bằng tích các định thức
tương ứng
D e tl^ l = Det|¿?| • Det|ổp<7| • D et|^9|
= J 2 Det|pjj|.
V*

Vậy Det|nó khác không, thì ờ hệ tọa độ khác nó củng sẽ khác không.

4.1.3

T e n x ơ m e tric p h ả n biến

Ta thiết lập t.ại mỏi hệ tọa độ ma trận có các thành phần gìJ là ma trận nghịch
đảo cùa ma trận Qi j . Do điều kiện không suy biến, nên tồn tại ma trận nghịch
dáo và do điều kiện đối xứng nên ma trận g'i (lối xứng. Các thành phần của
9 ij bằng
G ij
9 J = — > 0 = D et|# j|,

trong đó GtJ là phần phụ đại số của thành phần Qij. Bây giờ chửng minh ql)
là tenxơ hai lần phản biến, tức là thay đổi theo quy luật

4.1.

ĐỊNH NGHĨA TÍCH VÔ HƯỚNG, TEN x o MẺTRIC

133

Để đạt mục đích đó, ta chì ra rằng: ma trận gx) nghịch đảo của ma trận ỢtJ
trong một hệ tọa độ, khi chuyển sang tọa độ mới nó thay đổi theo quy luật
trên, thì kết quả nhận được là ma trận g lJ phải là ma trận nghịch đảo của
ma trận g[y
Vì g iJ là ma trận nghịch đảo của g i j y nên tích hai ma trận này cho ma trận
dơn vị

9ij9jk = ỏ i
Khi chuyển sang hệ tọa độ mới, theo giàthiết gtJthay đổitheo quy luậttrên,
còn Q]k là tenxơ hiệp biến, nên

g't]g’k

=

B ị B ị A jrA ịg » 9 r. = B ịA ịr qg"gr. =

=

B ịA ịs T g r ,

=

B ịA ịS Ị =

= B ị A l = 61

Vậy g i; là ma trận nghịch đào cùa gfị-, đó là điều cầnchứng minh. Tenxơ gtJ
gọi là tenxơ mêtric phản biến.

4.1.4

H ệ v e c t a cơ sờ t r ự c chuầii

Trong không gian Euclide, mọi rêpe apphin không còn tương đương nhau về
mặt hình học như trong không gian apphin. Trong số các rêpe này, có thể
tách ra rêpe có tính chất hình học đơn giàn hơn, đó là rêpc trực chuẩn, mà
trong không gian thông thường chính là hệ tọa độ Descartes vuông góc. Đó
là hệ nhửng vecta đơn vị trực giao với nhau.
Ta phát biểu một bổ dề đơn giản: trong không gian Euclide mọi vectơ
khôrtq thề cùng đẳng hướng, tức là không thề có
X2 = 0

với mọi

X

1.
Trường hợp không gian Euclỉde phức TI chiều R n. Theo bổ đề trên, luôn
luôn tìm được vectơ không đẳng hướng X , sao cho X 2 ^ 0. Ta chuẩn hóa
vectơ X , tức là chia nó cho độ dài y/ĩ& của nó, điều này luôn luôn làm được
vì ta tiến hành trong không gian phức. Ký hiệu
ei==Ẫ

‘

X2

Rò ràng eỊ = — = 1 , vectơ e\ là vectơ đơn vị. Đem ei đặt tại điểm O, qua
0 xây dựng siêu mặt /?n-i trực giao với ei- Siêu mặt này cùng là không gian


C h ư ơ n g I V . T E N x o TR ONG KHÔNG GIAN BƯCLIDE

134

Euclide phức n — 1 chiều, nên ta củng làm như trên, chọn một vecta khỏng
đẳng hướng y nào đấy và chuẩn hóa nó, ta dược vectơ đơn vị e 2. Sau đó xây
dựng siêu mặt /?n~2 đi qua o và trực giao với e*2. Siêu mặt Rn - 2 trong /ỉn_ 1
cũng là một không gian Euclide n - 2 chiều, nên ta lại tiến hành như trên và
Iihận được vectơ đơn vị 63 . Quá trình này cứ tiếp tục cho đến mặt phang
một chiều /?1 , trẽn đó lấy vectơ không đẳng hướng rồi chuẩn hóa nó ta được
vectơ đơn vị e n. Kết quà nhận được dảy siêu mặt bao nhau
Rn D R n-l D - - 'D Rl
và dảy vectơ đơn vị
ỉ

•••ĩ

từng đỏi trực giao với nhau

hay là

Các vectơ này độc lập tuyến tỉnh suy ra từ cách xây dựng chúng hoặc chứng

minh trực tiếp. Chẳng hạn, già sử chúng phụ thuộc tuyến tính
o^ei -)-------h a ne n = 0 ,
nhân vô hướng hai vế với e i, từ đẳng thức trên suy ra
Ql = 0 ,
làm tương tự như vậy ta được mọi Ql = 0 , vậy giả thiết như trên không tồn
tại.
Vậy hệ vectơ e i ,e 2, ... ,e n lập thành hệ vectơ cơ sà trực chuẩn, hệ tọa
độ tương ứng gọi là hệ tọa độ trực chuẩn. Trong hệ này tenxơ mêtric có dạng
rất đơn giàn
với i ỊẾ j,
với i — j,


4 .1 .

135

ĐỊNH NGHĨA TÍCH VỎ HƯỞNG, TEN x ơ MẺTR1C

tương tự

9 l j = ổ ij =

0

với i / j,

1

với i = j,

do đó không có sụ khác biệt qiủa hiệp biến và phản biến.
Tích vô hướng có dạng
= *V +

X •y =

+ ••■+■ zn!/n>

còn bình phương vô hướng
X2 = (x 1)2 H-----+ (x n )2
và khoảng cách giữa hai điểm

M '2

M i,

M \h Í 2 — y j (^(2)

(x (l ))2 + • • • + (^(2)

(\))

2. Trường hợp không gian Euclide thực n chiều E n.
Theo bổ đề, luôn chọn được vectơ không dằng hướng

X

(x 2 Ạ 0), nhưng

không thể chuẩn hóa ngay bằng cách “7 = , nià phải phân ra:
v x 2

> 0, thì ta chuẩn hóa như trên ei = ~7= ; è ị = 1;
vx2
- nếu X 2 < 0 , mẫu só là số ảo thuần túy, do đó không có nghĩa trong không
gian thực, nên ta chuẩn hóa như sau
- nếu

X2

1

’

khi đó

Vectơ có bình phương vô hướng bằng ( - 1 ) gọi là vectơ đơn vị ảo. Không
nên hiểu bản thản các vectơ này là ảo, Ĩ1Ó là vectơ thực của không gian giả
Eucliđe thực, nhưng có độ dài ào >/—ĩ = i.
Sau khi xảy dựng được vectơ đơn vị ei thực hoặc ào, ta vạch siêu mặt
En- 1 qua o trực giao với ei: bản thân En- 1 là không gian Euclide thực n - 1
chiều, nên ta lại có thể tìm được vectơ đơn vị e 2 thực hoặc ảo. Cách làm
hoàn toàn tương tự như trong trường hợp phức, chỉ khác là sẽ chuần hóa


C h ư ơ n g I V . T E N X Ơ T R ON G KHÔNG GIAN EUCLJDE

136

theo một trong hai cách trên tùy thuộc vào giá trị X2. Kết quà cho hệ vector
đơn vị trự c chuẩn e i , e 2, . . . ,e„, trong đó
e* • ej = 0

{i Ỷ j ) ,

e? = ±1.
Giả sừ trong đó C.Ó k vectơ đơn vị ảo
e Ị = eg = ••• = e ị = - 1 ,

còn lại các vectơ đơn vị thực
eỉ+\ = ' ■■= e n = 1 Khi đó tenxơ metric có dạng

gn = 922 - • ■• = 9kk - - 1 ,
9k+i,k+i = • • • - 9nn - 1; 9ij = 0
còn tích vô hướng và
X • y = 9 ij x i x j

bình phương

với i ^ j ,

vô hướng có dạng

= - z 1^ 1 --------x k y k + x k + ì y k+ì + • • • + x n y n ,

X2 = - ( x 1 )2 ---------(x fe)2 + (x fc+1)2 + • ■• + ( i n)2.
Dạngtoàn phương bất biến gijx'xi gọi ỉà dạng toàn phương cơ sà. Trong hệ
trực chuẩn nó được đưa về dạng chuẩn tắc.
Ta chỉ ra rằng với cách chọn hệ vectơ cơ sờ trực chuẩn bất kỳ trong một

không giancho trước, thì số k các vectơ đơn vị ảo sẽ không đổi. Quả vậy,
giả sử ta xây dựng được hai rêpe trực chuẩn (o,e i , . .. ,efc,efc+i,. . . ,e„) và
(o',e 'l,. . . , e'f,e'í+ 1 , . . . , e'n ), trong đó số vectơ đơn vị ào ỏr rêpe thứ nhất là k,
ờ rêpe thứ hai là l, chằng hạn £ > k, ta chứng minh diều này dẫn đến mâu
thuẫn, tức là £ phải bằng k.
Xét tập hợp các vectơ đơn vị ejfc+i,. . . , e n ờ rêpe thứ nhất và e 'j , e'2, . . . , c'(
ờ rêpe thứ
haigồm
n —k + i > n
vectơ,

vậy

(do i > k)

chúng phải phụ thuộc tuyến tính. Do

đó có thể viết

Q^ej + • • • + ale'( = /?k+1efc+ i + • • • + ị3nen.


4.2.

137

KHÔNG GIAN EƯCLIDE THỰC s ự

Bình phương cả hai vế, chú
cũng như e, • ej = 0 (i í j )

V đến e' • e' = 0 (i -ệ j ) và e'j2 = • • ■= e'f2= — 1
và e £+1 = • • • = éị = 1 ta đirợc

- ( a 1 )2 ---------(c/ ) 2 = (/?fc+1)2 + • • • + (/T )2.
Điều này chi xảy ra khi Q1 = Q2 = • • • = a* = /jk'4'1 = • • • = p n = 0 tức là
71 - /c + Ị, > n vectơ trên độc lặp tuyến tính, đó là diều vô lý.
Tóm lại ta thấy cách đưa về hệ trực chuẩn của không gian có liên quan
mật thiết với tenxơ metric. Cho nên có thể xây dựng hệ trực chuẩn, bằng
cách đưa ma trận các thành phần tenxơ metric (hay cũng như đối với dạng
toàn phương ca sờ) về dạng chuẩn tắc. Số k các vectơ ca sỏr ảo không đổi
chính là kết quả của luật quán tính của dạng toàn phương như ta đã biết
trong chương I.
Không gian Euclide thực sự là không gian Euclide thực, trong đó rêpe
trực chuẩn chỉ gồm các vectơ đơn vị thực, tức là số k = 0 .
Không gian giả Euclide chỉ số k là không gian Euclide thực, trong dó rêpe
trực chuẩn có chứa k vectơ đơn vị ảo.

4.2

K h ô n g g ia n Euclide th ự c sư. K h ô n g g ian già
E uclide. K h ô n g gian đối n g ẫ u c ủ a k h ô n g gian
E uclide

4.2.1

K h ô n g g ia n E u c lid e th ự c sư

Không gian Euclide thực sự là không gian Eucliđe thực, trong đó với mọi
vectơ X ^ 0, ta có X.’2 > 0. Cách xây dựng répe trực chuẩn đơn giản hơn

nhiều, vì trong không gian này mọi vectơ khác không đều không đẳng hướng.
Mọi vectơ đơn vị e i , e 2 , . . . , e„ đều là thực, không có vectơ đơn vị ảo (k = 0 )
e ĩ = eị = -.. = e ỉ = 1,

do đó tenxơ mêtric có dạng
9 ij — ôịj — <

1

với (i = j),

0 với (* Ỷ j) ,

còn tích vô hướng
X y = z V + x 2 y 2 ---- + x nyn .


C hư ơ ng I V . TE N X Ơ TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE

138

Bình phương vô hướng hay dạng toàn phương cơ sờ Q i j x i x 3 là dạng toàn
phương xác định duơnq (xem định nghĩa trong 1.8 chương I), ờ hệ trực chuẩn,
nó có dạng
X2 = (x 1 )2 + (x 2)2 + • • ■+ (l" )2,
khoảng cách giừa hai điểm A/ 1 , AÍ2 luôn luôn là số thực
W J Ã 2 = Ạ x \2) - X^ ) 2 4- • • • + (x^2) - lỊ*,))2.
Đặc biệt trong không gian Euclide thực sự ba chiều 71 = 3, các công thức
trên có dạng như ta quen biết trong khỏng gian thông thường. Do dó ta thấy
sự trùng hợp giửa không gian Euclide thực sự ba chiều với không gian thông

thường, nói đúng hơn chúng là các không gian đẳng cấu. Mồi điểm của khônK
gian thứ nhất trong hệ tọa độ trực chuẩn tương ứng với các điểm củng có tọa
độ như vậy trong hệ tọa độ Descartes cùa không gian thử hai (thôngthường).
Tóm lại, đối với không gian Euclide thực sự chỉ số k = 0, vàngược lại
không gian Euclide chỉ sổ k = 0 là không gian Euclide thực sự.

4.2.2

K h ô n g gian già E uclide

Không gian Euclide chi số 1 có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết phương
trình vi phân (phương trình sóng với n đối số) và đặc biệt trong khỏng gian
giả Euclide 4 chiều, chi số 1 có ý nghĩa trong lý thuyết tương đối. Sau đây ta
chỉ dừng lại xét trường hợp này. Khi đó rêpe trực chuẩn có các vectơ ca sờ

eo,ei,e2,e 3:
eỏ = - l ,

e f = e | = eẵ = l,

bình phương vô hướng của vectơ có dạng
X2 = ~ (x a )2 + (x 1 )2 + (x 2)2 + (x3)2,
tương ứng với tenxơ mêtric
ỡoo = - l ,

511

• e j

có giá trị

= 022 = 533 = 1 ;

Tích vô hướng của hai vectơ
X •y =

e,

Q ij =

X

-x °y° + £ V

và

y

9 ij = 0

cho ta

+ x 2y 2

4-

x3y3 =

Dạng toàn phương của không gian giả Euclide không phải là xác định dương.

Ẵ.2.

139

KHÒNG GIAN EƯCLIDE THỰC s ự

Siêu mặt ba chiều £ 3 xây dựng trên các vectơ đơn vị e i , e 2 ,e .3 và đi qua
gốc o có phương trình
x° —0 .
Vị trí của điểm nằm trên siêu mặt £ 3 , xác định bời ba tọa độ x l ,x 2 ,x 3, trong
dó công thức của bình phương vô hướng có dạng
X2 =

(x 1 )2 + (x 2)2 + (x3)2.

Rò ràng £3 có dạng hình học thông thường (Euclide thực sự ba chiều). Đổi
với mọi mặt ba chiều đi qua đinh của siêu mặt nón đẳng hướng và nằm ngoài
mặt nón củng có tính chất nàv (mặt nón đẳng hướng là mặt trên đó chứa các
điểm đầu mút của mọi vectơ dẳng hướng xuất phát từ điểm O: từ X 2 = 0 suy
ra phương trình mặt này
- ( x 0)2 + (x 1 )2 + (x 2)2 + (x 3)2 = 0 .
Bây giờ nghiên cửu phép biến đổi từ rêpe trực chuẩn này sang rêpe trực chuẩn
khác. Điểm gốc o giừ nguyên, vectơ cơ sớ của rêpe mới là e ^ e ^ e ^ e ^ ; mặt
z?3 dối với rêpe mới ký hiệu là £ 3 . Nói chung phép biến đổi này trong không
gian bốn chiều khá cồng kềnh, nhưng ta có thề đưa nó về trường hợp hai
chiều bằng phương pháp sau đáy.
Ta gọi phép quay tầm thư ờ n g là phép biến đổi trong đó mặt £?3 giữ
nguyên không đổi, do đó vectơ cơ sờ eo trực giao với J?3 hoặc không thay đổi
hoặc thay đổi theo chiều ngược lại, còn các e j ,e 2 ,e 3 quay trong siêu mặt £ 3 .

Phép quay này xày ra trong không gian ba chiều thông thường, ta đã quen
biết trong hình giải tích.
Vậy, nếu chuyền từ rêpe cũ sang rẻpe mới nhờ phép quay tầm thường, thì
việc chuyển từ rêpe này sang rêpe khác sẽ rất đơn giản.
Xét mặt hai chiều Ẽ 2 là giao của các mặt ba chiều £ 3 , £3 không trùng
nhau, vì nếu trùng thì chuyển từ rêpe cũ sang rêpe mới bằng phép quay tầm
thường. Bây giờ trong ¿£3 thực hiện phép quay e i , e 2 ,e 3 sao cho e 2 ,e 3 nằm
trên Ẽ 2 - Sau đó trong E 3 thực hiện phép quay
sao cho e'2 ,e '3 cũng
nằm trên Ẽ 2 , hơn nửa trùng với e 2 ,e 3 . Các phép quay đều thực hiện dược vì
chúng đều xảy ra trong không gian thông thường ba chiều £ 3 , £ 3 .
Do đó với các phép quay tầm thường, rêpe mới và củ có thề đạt được:
e 2 = e 2i

e 3 = e 3-

(41)

Mặt phầng (e 2 ,e 3 ) và (e 2,e'3) trùng nhau, do đó mặt phằng (eo,ei) và (eó,ei)
trực giao với chúng củng trùng nhau. Phép biến đổi đưa về biến đổi rêpe eo,
ei trong mặt phang giả Euclide.


140

C h ư ơ n g IV . TE N XO TRONG KHÔNG GIAN EƯCLIDE

Bây giờ ta xét phép biến đổi rêpe trong inặt phẳng giả Euclide
eố = ^oeo + A ịe i,
e \ = Aỵeo + A \ e \ .

Rõ ràng A q / 0, ;4| / 0, nếu không sẽ không xảy ra mâu thuẫn, chẳng hạn
A q = 0 thì vectơ đơn vị ảo chì khác vectơ đơn vị thực một thừa số nhân, nếu
lấy bình phương vỏ hướng từng vế sẽ dẫn đến vô lý. Vì eó, e\ trực giao, suy
ra
Ã) : ^0 = ^ 1 •

=

ký hiệu A q = a, A\ = b, ta có: A q = a/3, yli = 6/3, vậy
e ố = a ( e 0 + / ? e i) ,

eì = b(0 eQ+ ei).
Vì e'Q là vectơ đơn vị ảo, nên
eó2 = —(Aq )2 + ( A ị )2 = —ữ2 4- a 2/?2 = —1 ,
suy ra
a

1

Tương tự ei là vectơ đơn vị, nên
e'i2 = - M ?)2 + M Ỉ )2 = - b 20 2 + b2 = 1 ,
do đó
b=
Tóm lại ta được
,

e 0 -f/?ei

el = ĩ ^ f '

,

/?e0 4-ei

e' = í / r Ặ -

( 4

' 2

)

Rỏ ràng ta phải có - 1 < /? < 1 , ngược lại sẽ không có nghĩa, ở đây điểm 0
chung cho cả rêpe mới và cũ; nếu không quy định như vậy thì trước dó cần
thêm phép chuyển dịch song song.
Mọi phép biến đổi rêpe trực chuẩn (0 ,e o ,e i,e 2 ,e 3), chính xác đến phép
quay tầm thường và dịch chuyển song song có thể đưa về phép biến đổi (4 . 1 ),
(4.2).


4 .2 .

141

KHÔNG GIAN E ƯCLIDE T H Ự C s ự

4.2.3

K h ô n g g ian đối n g ẫ u c ù a k h ô n g gian E u c lid e t h ư c s ư

Già sử ta có không gian Euclide thực sự En với rêpe trực chuần là e i , e 2 , . . . , e„.
Mọi vectơ X đều có thể biểu diẻn một cách duy nhất qua rêpe đó
X =

x l e\ 4 - £ 2 e 2

H------ 4-

x ne n

=

x ie t .

K hông gian đối ngẫu £* của không Jgian Euclide là tập hợp các phiếm hàm
tuyến tính xác: định trên En\ tức là với mổi vectơ X của En đặt tương ứng
vói vectơ xác định x' cùa En

x' = /(*)>
trong đó
/ ( x + y) = /( x ) + /( y ) ,

(4.3)

với mọi X và y thuộc E n và

/ N

= <*/(x).

Sự tương ứng một một giữa E n và E„, thể hiện ờ chỗ, nếu
/ (x) ^ / ( y) và vectơ không cũng tương ứng vectơ không

(4.4)
X

Ỷ y thì

/(0) = 0 / ( x ) = Ox = O'.
Ta có:
x' = /( x ) = f( x 'e i) = *V («í).
vectơ x ' được hoàn toàn xác định, nếu biết dược
/ ( e i ) , / ( e 2) , . . . , / ( e „ ) .
Ký hiệue' = /( e i) , ta chứng minh rằng chúng lập thành hệcơ sỏ của
không gianđổi ngẫu £ £ , nói một cách khác, hệ cácvectơ e' độc lập tuyến
tính. Quả vậy, xét tổ hợp tuyến tính Qì e[ + Q2e '2 H------ h c*ne^ và cho nó bằng
khỏng, ta đirợc
0' = a le\ + a 2e f2 H-------f- ctn^n
= « V ( e ì ) + •■• + a n / ( e „ )

= / ( » ‘ei + • • • + a ne„) = /(0),


142

Chương IV. TEN x ơ TRONG KHÔNG GIAN EUCLIDE

từ đây suy ra
+ • • • + a nen = 0 . nhưng hệ vectơ e, dộc lập tuyến tính,

nên mọi a ’ bằng không.
Vậy không gian En và không gian đối ngẫu E* có cùng số chiều. Hai
không gian E n và E * bất kỳ với các tính chất (4.3), (4.4) gọi là hai không
gian đẳng cấu. Vậy khỏng gian Euclide và không gian đối ngẫu của nỏ đẳng
cấu vói nhau. Hai không gian Euclide bất kỳ có tính chất (4.3), (4.4), ngoài
ra còn bảo toàn tích vô hướng, tức là X • y = x' • y', thì hai không gian đó
dẳng cấu Euclide.

4.3

Đai số te n x ơ tr o n g k h ô n g gian E u clide

Các định nghĩa và phép tính đối với tenxơ trong không gian apphin cùng hoàn
toàn đúng trong không gian Euclide, nên (V đây không nhắc lại. lYong mục
này chi nêu các phép tính mới, dó là “phép năng” và “phcp hặ' chỉ sổ của
tenxơ, nghĩa là sự tách biệt cơ bản giữa hiệp biến và phản biến không tồn tại
nữa, mà xuất hiện khả năng chuyển từ hiệp biến sang phàn biến.
4 .3 .1

T h à n h p h ầ n h iệp b iế n củ a v e c t ơ

Già s ử ta có một vectơ bất biến
cách duy nhất

X,

nó biểu diễn qua hệ các vectơ cơ sờ một

x' gọi là thành phần phản biến của vectơ X, chúng là thành phần của một
tenxơ phản biến hạng nhất. Trong không gian Euclide ta có thề chuyển chỉ

số từ phản biến sang hiệp biến và ngược lại. Các phép tính này dược thực
hiộn nhờ tenxơ mêtric ỹ i j và g t J .
Muốn chuyển từ tenxơ phản biến x i về tenxơ hiệp biến Xi ta dùng phcp
hạ chi số bằng cách cho cuộn tenxơ x %với tenxơ mêtric g i j
Xi = 9 ijX J

(4.5)

Vì ỹ i j xác định đối với mỗi không gian Euclide, nôn phép tính này cùng xác
định một cách đơn trị.
Ngược lại, muốn chuyển từ tenxơ hiệp biến Xi về tenxơ phàn biến X* ta
dùng phép nàng chi số hằng cách cho cuộn tenxơ Xị với tenxơ mẽtric gịJ
( 4 .6 )


4.3.

t) AI s ó TEN x ơ TRONG KHÔNG CIAN Kl.VI.im

143

Vì các ina trận Ọịj và gÌJ là nghịch (lảo của nhau, nên phép nâng và phép hạ
c hi sổ khử lẫn nhau. Chẳng hạn. đầu tiên “hạ” sau đó “nâng” chi số của X*,
ta lại được tenxa ban dầu X1.
Bảy giờ xét quan hệ giữa tenxơ Xi và vcctơ X. ta có
Xx = QiịX3 = (e, • ej ) xj = e t • e j x j

vậy
xt =

X

•e,.

Hạ chỉ sổ trong các thành phần phản biến X1 của vectơ X dần đến tích vô
huớng của vectơ này với các vectơ cơ sỏ. Ta gọi các tích vô hướng này là
thành phần hiệp biến X i của vectơ X.
Do đó, có thể mô tả hình học các thành phần của vectơ X như sau: thành
phần phản biến X1 là tọa độ cùa vectơ X trong hệ cơ S(V e,, còn thành phần
hiệp biến Xi là hình chiếu cùa vectơ X lẻn các vector cơ sờ e t.
Trên hình 4.1 minh họa thành phần hiệp biến và phản biến của vectơ X
trong trường hợp 71 = 2 chiều.

Trường hợp riêng trong hộ tọa độ trực chuẩn
9 ii = i 1 >

ỊỊij = 0

(j ^ ì)

hệ thức (4.5) dần đến: X i =
Trong không gian Euclide thực sự (nói riêng, không gian Descartes thông
thường) x i = X ị y không có sự khác biệt giữa phản biến và hiệp biến. Tọa độ
của vecta và hình chiếu của vectơ lên vectơ cơ sờ trùng nhau.

4.3.2

Vector cơ sỏr p h à n biến

Cũng bằng phép nâng chỉ số, ta có thể xảy dựng các vectơ cơ sỏ phản biến.

Gọi e* (i = 1 ,2 ,... ,n) là các vectơ cơ sờ phán biến của không gian Euclide,


144

Chương IV. TEN xo TRONG KHÔNG GIAN EƯCLIDE

ta có
e' = g V tị

(4.7)

và ngược lại
e. =

9 ije3.

Từ đây suy ra
e' • e k = g,Je} ■e k = gijgjk = <%,
vậy
e ' e k = g V e r e k = g'J6 l; = g'k.
Vectơ e i tiy c giao với mọi vecẦơ efc (k Ỷ i)t cờn C(íc thành phần tenxơ mêtric
phản biến là các tích vô hướng của các vectơ cơ sà phản biến.
Nhờ đưa vào vectơ ca sờ phản biến ta thấy rõ ý nghĩa của các thành phần
hiệp biốn cùa vectơ bất biến X. Quà vậy
X = x e i = X giịè* = x JeJy
có nghĩa IcLXj là thành phần hay tọa độ của vectơ X trong hệ cơ sờ (e l , e 2, . . . , en).
Đặc. biệt, trường hợp không gian Euclide ba chiều từ đầng thức
e, . e’ = sị

ta có thể viết liên hệ giữa các vectơ cơ sờ phản biến và hiệp biến dưới dạng
1
e2 X e3
2
e3 x e !
3
ei X e 2
G =
• G = ---------- • e = ---------ựg '
V9 '
ựg '
trong đó
y/g = (e 1 , e 2 ,e 3) = (Det|ỡ0 |) 1/2.

(4.8)

lYong hình 4.2 minh họa các vectơ cơ sờ phản biến và hiệp biến trong mặt
phẳng của không gian ba chiều.

Hỉnh ị . 2


1.4.

DẠNG CHÍNH TẮC c ủ a t e n x ơ đ ổ i XỬNCi HANG HAI

4.3.3

145

N â n g v à h a chi số củ a te n x ơ h a n g b ấ t kỳ

Theo quy luật (4.5), (4.6) ta có thể hạ hoặc nâng chỉ số của một tenxơ có
hạng bất kỳ. CỈ1Ì có một dieu cần chú ý khi nảng hạ chỉ số là thay đổi vị trí
của chi số (phản biến ờ trên, hiệp biến ờ dưới), nên sau khi nâng hoặc hạ thì
đặt I1Ó ờ đâu, trước hav sau. Đổ giải quyết điều đó, ta sắp đặt tất cả các chi
số hiệp biến và phản biến theo một thứ tự chung, mỏi chỏ chi tương ứng với
một chỉ số trên hoặc dirới. Nếu trên có chỉ số rồi, thì dưới bỏ trống hoặc thay
bằng dấu chấm và ngược lại.
T hí dụ 4.1. Tenxơ a 'jf là tenxơ có chỉ số thứ nhất và thứ tư phản biếà, chỉ
số thứ hai, thứ ba hiệp biến. Nếu nàng một chỉ số nào đó, thỉ đưa nó lên chồ
trống ờ trên cùa nó và ngược lại. Chẳng hạn nâng chỉ số thử hai
¿ ! ỉ = 9"ýp£.

hạ chi số thứ tir
a 'jtk = g k p à jl

•

T hí du 4.2. Toán tử tuyến tính A cho bời tenxơ alỳ Từ y = Ax, ta có
yi = a 'j x \
hạ chl số i ta được
yt =

a xj

x\

trong đó atj = ỹxpCỈy

Vậy toán tử tuyến tính A có thể cho dưái dạng tenxơ hạng hai hiệp biến Oịj.
Nói riêng, toán tử tuyến tính A dổi xứng hoặc phản đối xứng khi tenxơ dij đối
xứng hay phản dối xứng. Điều này chỉ làm dược trong không gian Euclide,
CÒIÌ trong không gian apphin không cỏ ý nghĩa vì tại dó không có phép hạ chỉ
số. •

4.4

D a n g c h ín h tắc của te n x ơ đối x ứ n g h an g hai

Giả sừ có tenxơ hạng hai bất kỳ (Iij dối xứng và luôn có thể xem dây là các
thành phần của toán tử tuyến tính A tác dụng trong không gian Euclide sau
khi hạ chỉ số trên, tức là
~ 9ipữPj >


C h ư ơ n g I V . TEN xo TR ONG KHÔNG CtlAN EUCLIDE

146

trong đó alj là các thành phần của toán từ tuyến tính A trong hệ thức y = Áx.
(x và y là các vectơ trong khỏng gian Euclide).
Do đó việc tìm dạng chính tắc cùa tenxcy đối xứng hạng hai tương dương
với việc tìm giá trị riêng đối với toán từ tuyến tính A như đà trình bày tổng
quát trong 1.6 chương I.
Nếu X ^ 0 là vectơ riêng, thì khi áp toán tử tuyến tính A vào nó sê cho
ta một vectơ đồng phương với X, tức là
Ax = fcx,
số k gọi là giá trị riêng. Đặt
phần

X

= £*eịt ta viết hệ thức này dưới dạng thành
a jX* = k x ;

hạ chỉ số i ta (lược
gtpapj xj - kgtpx p,
hay là
atJx j - kgljx J = (ojj - kgij)xj = 0 .

(4.9)

Ta sẽ xuất phát từ hệ phương trình này để lập luận tiếp về sau. Đây là hệ
n phương trình đại số tuyến tính thuần nhất đối với các ẩn x*\ vì X Ỷ 0 nén
mọi X J không đồng thời bằng không và do đó định thức các hệ số bằng không
<*12 - fcpi2

^12 - kg\ 2
<*22 - **<722

^ ln — kyin

^2 n

an - kgn

Det|(Ztj

^9ij I *■“

0-2 n

kyin
kg 2 n

=0

a n n - kg n n

kg2n

(đả chú ý đến Q. ịj và Ọ i j đối xứng). Ta gọi phương trình này là phương trình
đặc trirng của (Iịj để xác định các giá trị riêng k. N ó là phương trình đại số
bậc n đối với k } nên bao giờ cùng tồn tại n nghiệm kr (r = l , 2 , . . . , n ) , tức
là tồn tại 71giá trịriêng kr . Lần lượt đặt
vào hệphươngtrình
(4.9), xác định đượcn vectơ riêng xỊrỳnhư đả biết trong 1.6 chương I. ờ dây
trong không gian Euclidc thục sụ với giả thiết Qij dối xứ ng, ta chứng minh
n giá trị riêng kr đều là thục và n vectơ riêng trục giao với nhau. Quả vậy,
giả sử giá trị riêng Ả: = Qr + i(ì tương ứng với vectơ riêng X*7 = À«7 -f iụ? (trong
đó i 2 = —1); dặt vào hệ (4.9), suy ra
(Oiị -

agij)X J+ p g ijfij =

{aij - agij)ịịj

0,

+ ¡3gij\j

=

0.


1.5.

T H Ể T ÍCH T RONG KHÔNG GIAN

EUCLĨDE TỈH/C

147

Nhân phương trình thứ nhất với Ằl và phương trình sau với ụ} (tổng theo
i, theo j từ 1 đến 71) roi trừ hai phương trình vừa nhận được cho nhau và
chú ý đến aij đổi xứng, ta được
P(gljXiXJ +

= 0.

Vì g%jXiX^ và
xác định dương, nên suy ra 0 = 0. Do đó mọi nghiệm
kỵ đều là thực và mọi
cũng thực.
Bây giờ chứng minh các vectơ riêng trực giao. Già sừ hai nghiệm fc(r) và
fc(5) khác nhau, ta xác định tương ứng xỊ Ị và xị J theo (4.9)
(ữjj — k ^ g i j ) x ị r^ — 0 ,

(ãịj — h(s)gij)xịsj = 0.

Nhân phương trình thứ nhất với
và phương trình thứ hai với xịry rồi
trừ đi nhau, chú ý đến alJ đối xứng ta được
( f yr) “ ^ { s ) ) 9 i j x (r)x ịs) ~

vì fc(r) -ệ-

nên:
3vX(r)X(,) = 0.

Vậy hai vectơ có thành phần phàn biến xỊrj và xK trực giao với nhau.

4.5

T h ể tích t r o n g không gian Euclide th ự c . Các
già t e n x ơ q u a n tro n g của không gian Euclide

4.5.1

C á c già vô h ư ớ n g

Trong mục 4.1.2 ta đả có
D e t ị ^ l = J 2Det.| 9 ,j|,

trong đó
J = D c t|^ |.
Đặt g — Det|^jj| và g' = D e tị^ l, ta có thể viết
g' = J*9

(4.10)


148

C h ư ơ n g IV . TE N x ơ T R ON G KHỐNG GIAN EliCLIDE

\/iỡ ĩ - J \A g \

(đối với rêpe cùng hướng)

(4 .11)

Điều này chứng tò g và y/\g\ đều là các giả vô hướng có trọng số 2 và 1
tương ứng.
Ta có thể chửng minh một cách hoàn toàn tương tự đối với g = Det|gÍJ I =
nhân đươo

9

f- =- Lf 29
và

đó là nhửng già vô hướng mới có trọng số ngược lại so với già vô hướng trước.

4.5.2

T h ể tích y ế u tố tr o n g k h ô n g g ian E u c lid e th ư c

Trong 3.5 chương III ta đả xây dựng yếu tố thổ tích trong không gian apphin
(thể tích apphin)

dV = dxldx2 ... d x n
tính trong một hệ tọa độ apphin nào đấy. Nó không có giá trị bằng số xác
định mà là giả vô hướng trọng số (—1 ), tức là
dV' = - d V \

J = Det|Aj|.

(4.12)

Trong không gian Euclide ta cho định nghĩa khác VC yếu tó thề tích, đó là
yếu tố thề tích tính trong hộ tọa độ trục chuẩn bất kỳ.
Theo ý nghĩa Euclide này, thì thể tích là một vô hu óng thực sụ (bất biến),
vì khi chuyển từ hệ trực chuẩn này sang hệ trực chuẩn khác luôn luôn ta có
J = Det|i4^| = ±1,
do đó d V f = dV có một giá trị xác định.
Bây giờ ta muốn nhận được vô hướng thực sự, biểu thị yếu tố thể tích
Euclide trong hệ tọa độ apphin bất kỳ. Nhằm mục đích đó nhân các vế của
(4.11) và (4.12) với nhau ta được

V W \d V ' = ự\J\dV,

(4.13)


4.6.

149

CÁC HỆ TỌ A Đ Ộ CONG

tức là tích \f\g \d V là bất biến của phép biến đổi tọa độ apphin. Ký hiệu tích
này qua dW:
dW = y/\g\dV = y /\g d x [dx 2 • - • dxn.

(4.14)

Bất biến d W đúng là biểu thị yếu tố thể t ích Euclide trong hộ tọa độ apphin bất
kỳ: nó là thể tích của hình hộp có các cạnh lập bời các vectơ e id x l, . . . , e ndxn.
Quả vậy, ta chi cần tính d \v trong hẹ tọa độ trực chuẩn; khi đó gtj = 0 (i Ỷ j)ì
gu = 1 , q = ± 1 , \/\(ỉ] = 1 hệ thức trên cho ta
dW = dxì dx 2 • • Đặc biệt, ta dùng công thức trên đề tính thể tích Euclide của hình hộp n
chiều lập hời các vector a j ?... ,a ri. Trong mục 3.4 chương III ta đâ xác định
thể tích apphin tương ứng là

V = iDetịaiỊI,
trong đó (lị là các thành phần phàn biến của vectơ a^. Do đó theo (4.14),
ta có công thức xác định thể tích Euclide của hình hộp này trong hệ tọa độ
apphin bất kỳ:
w

= y /ữ

IDetKII.

(4.15)

Quả vậy, cho afc = Okdxky tức là

0

ai

dx'

k)
(i = k)%

từ công thức vừa nhận được ta trờ lại công thức (4.14).
Trường hợp riêng, trong hệ tọa độ trực chuẩn g = ±1 thể tích này có dạng
w = |Det|aỹ|.
với n = 3, ta có công thức quen thuộc trong hình giải tích.

4.6

C ác hê tọ a đô cong tro n g k h ô n g gian a p p h in
v à k h ô n g gian Eucliđe. Đ inh n g h ĩa t e n x ơ tr o n g
các hệ t ọ a độ đó. Tenxơ m ê tric tr o n g hê to a độ
cong c ù a không gian Euclide

Cho đến nay, ta chỉ xét không gian apphin và khỏng gian Euclide n chiều
trong hệ tọa độ apphin (thằng xicn). Bây giờ vẫn xét các không gian này


C h ư ơ n g I V . T E N X Ơ TR O N G KHÔNG GIAN EƯCLIDE

150

nhưng trong h ệ t ọ a đ ộ c o n g bất kỳ. Nó không những đóng vai trò quan trọng

đối với hình học của bản thân các không gian này (để nghiên cứu các dạng
cong trong đó), mà còn dùng để chuyển sang nghiên cứu không gian apphin
liên thông và không gian Riemann.
4 .6 .1

H ệ tọ a đô c o n g

Vectơ bán kính X
diễn dưới dạng

i
của điểm M bất kỳ trong rêpe apphin (0, e i, e 2 , . . . , e n) biểu

OA/ =

X

= x 1 e\ + '••■+* x ne n = x*ej.

Các dại lượng x i gọi là tọa độ điểm M trong hệ tọa độ apphin (thẳng xiên).
Các vectơ cơ sờ e, là k h ô n g đ ổ i . Bảy giờ ta xét cũng vectơ X trong h ệ t ọ a độ
cong bất kỳ
. . . , £ n ỉ tức là X = x ( x 1, X 2 , . . .
trong dó c á c b i ế n X 1
l i ê n h ệ v ớ i t ọ a đ ộ a p p h i n X 1 t r o n g m i ề n Í2 đ a n g x é t b ằ n g p h é p b i ế n đ o i t h u ậ n
n g h ịc h liê n tụ c v i p h â n đ ư ợ c đ ơ n

tr ị h a i c h iè u .

Điều dó có nghĩa là

X* = f i ( x \ x 2, . . . , x n)
và ngược lại
X*

= i p \ x \ x 2, . .

(4.16)

..ĩ" ),

trong dó / \ Y?* là những hàm liên tục, vi phản được với số lần cần thiết. Khi
đó Jacôbiên của cả hai phép biến đổi thuận và nghịch đều khác không
Dct

d x 1

dxi

Ỷ 0;

Det

d x'

ữxJ

¿ 0.

Ta có:

d x i _ d x i d x k __ ị
dxi
d x k d xi
( Ỡxl \
( Ỡxk \
nghĩa là hai ma trận ^
J và \ Q / ) ^ nshịch đảo của nhau và không đặc
biệt.
Khi đó ta có thể viết
X =

x iei = (pi( x l ì x 2ì . . .

jX n)ei

= x ( x \ x 2, . . . , ? ) .


4 .6 .

151

CẤC HỆ T Ọ A Đ Ộ CONG

Ký hiệu gj =

Ỡx
(i = 1
ờx>

,

2

tai mồi điểm chúng là các vector đôc lập

tuyến tính. Quả vậy

ờx
dxi
s ’ = m ¡ = Ì ? Ci
ma trận hệ số

(417)

/ Ỡx1 \
j không đặc biệt, nên g; độc lập tuyến tính. Vì vậy tại

mồi điềm M có thề láxj các vectơ gj làm rêpe apphin. Ta gọi đó là rêpe địa
phương tại điềm M . Rõ ràng g, =
thay đổi từ điểm này
sang điểm kia, khác với rêpe cố định et . Như vậy là cho tọa độ cong trong miền
Q dần dến xuất hiện tại mỏi diem một rêpe địa phương (A/, g i , g 2 , . . . ,gn).

Hình ị . 3
Đường tọa độ là đường dọc theo nó chỉ có một tọa độ X 1 thay đổi, còn các
tọa độ khác không đổi. Chẳng hạn đường tọa độ X1, khi đó X chi còn là hàm
ỡx
của X 1 so xác đinh đường cong với tham số x l \ đao hàm riêng — r = gi là
ơ x1

vectơ tiếp tuyến với đường tọa độ X1. Tương tự như vậy có n đường tọa độ
đi qua điểm M .
Nếu xét tọa độ cong trong lân cận vô cùng nhỏ cùa điểm Aí,thì chuyển
dịch vô cùng nhò từ điểm A /(ÿ ) đến điểm M'(x* -f d x 1) cho ta viphản vỏ
cùng nhỏ cùa vectơ b á n kính X của điểm M:
M M ' « dx = g id x l H-------h g nđxn — g id x *.

4.6.2

(4.18)

Đ ịnh n g h ĩa t e n x ơ tr o n g h ê to a độ c o n g

Để tiện viết các biểu thức, từ mục này ta bò dấu gạch ngang trên các biến để
chỉ tọa độ cong, mà xem X 1 là tọa độ cong.


152

C h ư ơ n g IV . TE N XƠ T R ON G KHÔNG GIAN EUCLIDE

Già sử tọa độ cong thực hiện phép biến đổi đơn trị thuận nghịch và liên
tục vi phân được
X * = X i { x ì ì x 2y. . . j X n )

và ngược lại
_* = X_.t[/ X '1 , £ '2

X

~'n\)

thì các rêpe địa phương sẽ thay đổi theo quy luật sau đây:
cbc
ôx'*

ôx d x 3
dxi d x {

hay là
(4.19)
và ngược lại:
6 = f£ « í-

<4 2°)

So sánh quy luật này với quy luật thay đổi của hệ vectơ cơ sờ của rêpe
apphin (3.7), ta thấy (3.7) là môt trường hơp riêng (
đóng vai trò A]y
\ơ x l
\

còn gi, g ' dóng vai trò eu e' j. Quả vậy, khi đó X* = A ị x 1, nên

= Aị.

Nhờ quy luật (4.19) ta định nghĩa trường tenxơ trong trường hợp hệ tọa độ
cong bất kỳ. Giả sử cho trường tenxơ trong miền f 2, như vậy có nghĩa là tại
mỗi điểm M thuộc miền Í2 xác định một tenxơ, nói một cách khác: tenxơ là

hàm của điểm M .
Tương tự như định nghĩa tenxơ trong hệ tọa độ apphin thẳng xiẽn, ờ đáy
ta mờ rộng cho định nghĩa tenxơ trong hệ tọa độ cong bất kỳ; bằng cách thay
dxl
õx *
A\ bời -T-7T và thay B) bời
r,
J
dxi
3
dxi
còn cách iập luận hoàn toàn tirơng tự.
Đối với tenxơ hạng không hay vô hướng các thành phần của nó ớ hộ cù
và hệ mới thỏa mãn quy luật
a ' ( x \ x 2 , . . . , x n) = a { x \ x 2 , . . . , x n),


4.6.

153

CÁC HỆ TỌ A t ì ộ CONG

đối với tenxơ phản biến hạng nhất.
a'‘( x ' \x ' 2, . . . ,j'" ) = ^ - a j ( x \ x 2 , . . . , x n),
và dối với tenxơ hiệp biến hạng nhất
a '( x '\x ' 2 , . . . , x ' n) = ~ i aj { x \ x 2 , . . . , x n).
Tương tự như vậy đối với tenxơ hạng bất kỳ, chẳng hạn các thành phần cùa
tenxơ hạng ba ờ hệ tọa độ cũ và mới liên hệ với nhau theo quy luật
áĩ ( x 1 X 2

ajk (x , x

d ĩ * dxq dxr
) - Qj,p ỊỊỵ'j Qx

p /

'n \

1

’

2

’ ■■■’

n\

h

các dạo hàm riêng tham gia trong các hệ thức trên phải hiểu rằng lấy tại điểm
M đang xét.
Xét một vài tenxơ quen biết
T hí dụ 4.3. Phần tử dx có các thành phần dxi là một tenxơ phàn biến hạng
nhất
d x { = ệ ^-d xj.
dxi

•

V à< p
T hí dụ 4.4. Gradiên của một hàm vô hướng ip có các thành phan -—-T là
một tenxcr hiệp biến hạng nhất
dự/ _ d

dx'*
d xi d x '
T hí dụ 4.5. Ký hiệu Kronecker là một tenxơ hỗn hạp một lần phản biến
một lần hiệp biến
ri _

j

d x < d x Q SP

dxP dx'j q'

T hí du 4.6. Trường vận tốc là vectơ phàn biến