Phép tính tenxơ và vài ứng dụng trong cơ học, vật lý 8

CHƯƠNG VIII

Điện
học
a
■
Trong chương này trình bày ứng dụng phép tính tenxơ vào lý thuyết điện
học, giới hạn ờ nhừng hệ thức cơ bản nhất. Công cụ chủ yếu ờ đây là giải
tích vectơ, nên các hệ thức được viết dưới dạng vecta. Để sử dụng cho hệ tọa
độ cong bất kỳ, bên cạnh các hệ thức đó ta viết cách biểu diễn tenxơ (hạng
nhất).
Các đại lượng điện từ xem như được biểu thị trong hệ đơn vị hợp pháp
(SI). Đó là hộ đo lường hợp pháp (V nước ta - hệ M K SA hạp lý hóa gồm 4
đơn vị cơ bàn là kg, mét, giảy và đơn vị đo cường độ diện là ampe.

8.1
8 .1.1

T rư ờ n g tĩn h điện
V e c t ơ c ư ờ n g đ ô đ iên tr ư ờ n g

Chúng ta xét đặc trưng tương tác giữa các hạt tĩnh điện đứng yên tương đối
trong một hộ quy chiếu quán tính 1 .
Theo thuyết tác dụng gần, không gian xung quanh mỗi điện tích xuất hiện
một dạng đặc biệt của vật chát gọi lồ điện trường. Thông qua điện trường
các lực tĩnh điện truyền từ điện tích này sang điện tích khác. Một tính chất
cơ bản của điện trường là mọi điện tích dặt trong điện trường đều bị điện
trường tác dụng lực. Kực tác dụng tuân theo định luật Coulomb quen thuộc

eọ€
4neor 2

£
r

trong đó e là điện tích gây ra diện trường, eo là điện tích chịu trường tác
dụng, r là khoảng cách giữa hai diện tích, còn £o là hằng sổ điện môi của chán
1
H ệ q u y c h iế u q u á n t í n h là h ệ, tro n g đ ó c h u y ề n đ ộ n g t ự d o c ủ a h ạ t (k h ô n g ch ịu t á c d ụ n g
lự c ) x ả y r a đ a n g iả n n h ấ t d ư ớ i d ạ n g th ẳ n g đ ề u .

371


37 2

Chương VIII. i)IỆN HỌC

không. Nếu điện tích nằm trong môi trường vật chất thì lực Coulomb nhỏ đi
£ lần. Hằng số £ gọi là hằng số điện môi cùa môi trường
F =

1 eoe r
4 tt£q£ r 2 r

F
er
Vectơ E = — = — ——r không phụ thuộc diện tích eo ưià chỉ phụ thuộc vào
eo
4neoerổ
vị trí của điểm đặt điện tích eo, gọi là vectơ cường độ điện truờng.

Theo nguyên lý chồng chất điện trường, vectơ cường độ điện trường cùa
một hệ điện tích bằng
N

E=

T

~ ~3r°'

Nếu điện tích phân bố liên tục (vật tích điện) với mật độ điện tích
cường độ điện trường bằng

Pc

E - l111
ị l ĩ ỉĩ ắ ^ , dv-

thì vectơ

(81>

V

Đirờng sức là đường tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với vectơ cường
độ điện trường. T a có phương trình đường sức (hình 8.1)
£ = ae
dt
hay là

dĩ}

J = \E* = XgijEjt
dí
J
3

8 . 1 .2

P h ư ơ n g t r ìn h M a x w e ll tr o n g t ĩn h đ iệ n

Đ in h lý . Thông lượng điện trường (dòng vcctơ cường độ điện tl'uàng) qua
m ặt kín bất kỳ bằng tổng các điện tích nằm trong mặt dó chia cho £q£

Ị Ị E • dS = I I E y d S = — J J Ị Pedv ,
5

V

5

trong đó dS = ư d S , y i là thành phần của vectơ pháp tuyến mặt s . Dùng
phép biến đổi tích phân ta được

í

í
V

í

^

-

i

t

^

^

Ị
V

ị

l

^

-

ỉ

t

y

-

0'


8.1.

373

T R Ư Ờ N G TỈNH ĐIỆN

(trong trường hợp tổng quát có thề lấy hệ tọa (1ộ cong bất kỳ x %). Kết quả
trên đúng với mọi mặt 5 , từ đày suy ra tai mỗi điểm của không gian
div E = —

£ q£

hay là

g,jV>Ẽj =

= — ,
S qS

(8.2)

trong đó V , ký hiệu đạo hàm hiệp biến theo biến X1.

B ảy giờ ta xét định lý về lưu số của vectơ cường độ điện trường , nó
phản ánh tính chất xuyên tâm tủâ điện trường. Xét diện trường của một

diện tích e:

L

Đ in h lý . L uu s ố của vectơ cuờng độ điện trường tinh điện theo một đuờng
kín bằng không.
Từ đây suy ra điện tnrờng tĩnh là trư ờ n g th ế. Đ iên t h ế tại một điểm


374

C h ư ơ n g VIII. ĐIÊN HỌC

A nào đấy xác định bời
30

Va = VA - Voc = / E ■da
-

I

trường hợp điện trường của một điện tích e, điện thế
oo
e
ỉí de
e l
VA =
47T£()£ J
J 72
r

47T£:o£ r
Điện thế tại một điểm trong diện trường cùa hệ diện tích phản bổ rời rạc có
dạng
N
^

0=1

47Te0era

còn trường hợp điện tích phân bố liên tục
(8.3)

Va = [ [ [ T ^ — dV.
JJJ
V

47ĩ eos r

T ừ biểu thức cùa Va , ta thấy E • ds là một vi phân toàn phần, suy ra
E = -g ra d V

hay là

Ei =

ơxl

= -V < K

Lấy rot hai vế hộ thức trôn, ta được
rot E = - r o t grad V = 0

hay là

l— eiik V i E j = -ị=e*jfcV » V jV = 0

trong đó
với hoán vị chẵn của ij k ,

1
eljk = ^ —1
0

với hoán vị lè của i j k i
với hai chỉ số trùng nhau.

Phương trình (8.2) và (8.4) là phương trình Maxwell trong tỉnh điện.
Thế biểu thức E i

dV

_

= - 7T7 = -ViV' vào phương trình (8.2), ta được
dxx

g ^ V iV jV

=

AV

= -

Pe

Soe

nghiệm của phương trình Poisson này chính là (8.3).

(8.4)


8.1.

8 .1.3

375

TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

V e c t ơ c ả m ứ n g d iê n

Ngoài vector E người ta còn đưa vào vectơ cảm ứng điện D có các thành phần
Dị. Vectơ Iiày liên hộ tuyến tính qua vơcto cường độ điện trường E
D = Eoe E

hay là

Dt =

EJ.

(8.5)

Nốu môi trường bất đẳng hướng không thuần nhất, thì
Di

= e 0eJi E j ,

ở đây cị là hàm của tọa độ và gọi là te n x ơ đ iên m ôi.
Đưa đại lượng D không phụ thuộc vào tính chất mỏi trường là để khắc
phục hiện tượng phổ các đường sức điện trường bị gián đoạn, vì ta biết rằng
cường độ điện trường tl lệ nghịch với hằng sổ diện mỏi của môi trường, khi
đi qua mặt phán cách giữa hai môi trường, E và do đó E biến thiên đột ngột.
Vectơ này có tính chất là thông lượng của nó (cảm ứng điện) qua mặt kin
bất kỳ bằng tổng điện tích tụ do bên trong mặt đó

Làm phép biến đổi tương tự như trên, ta được
d iv D = g tjV lDj = V j D j = pt

( 8 .6 )

tại các điểm khỏng có điện tích, thì Pe = 0 .
Ta đưa vào khái niệm d iên m ỏi th u ần n h ất, tức là nếu tại hai điểm
khác nhau có cường độ điộn trường như nhau, thì tại các điểm này vectơ cảm
ứng điện cũng phải bằng nhau. Nói cách khác vectơ cường độ điện trường
là trường vectơ song song khóng dổi, thì trường vectơ cảm ứng điện củng
có tính chất như vậy. Theo tính chất dịch chuyển song song (xem mục 4.7

chương IV) ta có
v ,£ j = 0,
thì

củng phải bằng không.

Vì
= S7l ( e lj E k )
mỏi thuần nhất là

= (Vị£*)Efc + e ^ V iE ic = 0, suy ra điều kiện để điện
V i£J = 0.


376

8.1.4

C h ư ơ n g VIII. ĐI ỆN HOC

V e c tơ p h â n cư c điên

Nếu môi trường là chất điện môi bị phân cực, để đặc trưng cho mức độ phân
cực của điện môi ngmVi ta ciùng vectơ phân cục điện p xác định bời đang
thức
D = p + £-0E

hay là

Dị = Pi + eoEị.

Thay các giá trị của D, và Ei, ta được

Pi = eoeịE i - e0Ei = e0( 4 - ỏ Ì)E j.

(8.7)

Tenxơ x j = (eị - ỗ ị ) gọi là tenxơ độ cảm úng điện môi hay hệ số phân cuc
của một đơn vị thề tích điện môi. Hiện tượng phân cực điện môi là hiện
tượng trên điện môi xuất hiện nhửng điện tích khi đặt nó trong điện tnrờng.
Vecta phân cực p, bằng tổng vectơ mômen điện của các phần tử trong một
đơn vị thể tích điện môi, các mômen điện này tỉ lệ với vectơ cường độ điện
trường nên ta được công thức trên (kề cả trưừng hạp điện môi cổ phản tử tự
phản cực, cũng nhir điện môi có phản tử không phân cực, tất nhiên hệ số tỷ
lệ khác nhau).

8.2

D ò n g điên k h ô n g đổi

Trong môi trường vật chát, các hạt điện tự do luôn luôn chuyển động nhiệt
hỏn loạn. Dưới tác dụng của điện trường chúng sẽ chuyền động có hướng:
các hạt diện dưang chuyển động theo chiều vectơ cường độ diện trirnrng E,
các hạt điện âm chuyển động theo chiều ngược lại. Dòng các hạt tích diện
chuyền động có huớnq nhxt vậy gọi là dòng điện. Bản chất dòng diện trong
các môi trường khác nhau thì củng khác nhau. Chiều dòng điện theo quy
ước là chiều chuyển động của các hạt. điện dương; quỷ đạo của hạt điện gọi là
dircrng d òng.
8 .2 .1

C ư ờ n g đ ô d ò n g d iê n

Để dặc trưng cho độ mạnh và phương chiều cùa dòng điện, người ta đưa ra
hai đại lưạng vật lý là cường độ dòng điện và mật độ dòng điện.
Cường độ dòng điện chạy qua diện tích s là đại lượng về trị số bằng điện
lượng chuyển qua diện tích s trong một đan vị thời gian


8.2.

DÒNG ĐIỆN KHÒNG Đổi

377

Vcctơ mật độ dòng điện j tại điểm M là một vectơ đặt tại M có phương
chiều là phương chiều chuyển động của hạt điện dương qua đó và có độ
lớn bằng cường độ cỉòng diện trên một đơn vị diện tích nằm vuông góc với
phương ấy

di
dSn

V
V 1

dSri là diện tích nhỏ đặt tại M vuông góc với vận tốc định hướng trung bình
V cùa các hạt tĩnh điện.

Hình 8.2
Thay

dSn = d S v • —
V

vào đây suy ra

(II — y (ÍS
do đó
[ Ị

s

Ị

s

T ừ hệ thức

dq = pev d tS n

(8.8)


378

C h ư ơ n g VIII. ĐIỆN HỌC

và theo định nghĩa vectơ mật độ dòng điện j , ta nhận được
j = pe\

hay

= pev T.

f

(8.9)

Trường hợp hệ chứa các hạt tích điện tự do với mật đọ no, điện tích mồi hạt
là e th ì Pc = n o e , n h ư v ậ y
j = n 0e v .

Các hạt tích điện tự do chuyển động định hướng dưới tác dụng của điện
trường, thực nghiệm chỉ ra rằng vận tốc trung bình của các hạt này ti lệ vói
vectơ cường độ điện trường V = x E , X tùy thuộc bản chất và trạng thái vật
lý của dây dẫn. Thay vào biểu thức của j , ta được định luật ơhm
j = XpeE = 7 E

hay

j r = 7 gr3 E s = ' ) E r .

(8.10)

7 đặc trưng cho khả năng dẫn điện của vật dẫn gọi là điện dần suất hay hệ
sổ dẫn điện. Trong trường hợp môi trường bất đẳng hướng nó là tenxơ hạng
hai 7 ™, ta gọi nó là tenxơ điện dẩn suất : khi đó có thể viết
f = Y sE s.

(8 .11)

Nếu môi trường thuần chất, thì tương tự với cách làm đối với tenxơ diện mỏi,
ta có

v*7r5 = 0.
Để phân biệt sau này, ta gọi dòng điện xuất hiện khi các hạt tích điện chuyển
động định hướng trong vật dẫn đứng yên là dòng điện (lẫn.
8 .2 .2

Đ ịn
• h lu ậ«t b ả o t o à n đ iệ»n t íc h

Điện tích toàn phần của một hệ bất kỳ sẽ giữ nguyên không đổi, nếu như
không đưa thêm vào nó điện tích khác.
Nói cách khác, dòng toàn phần di khỏi m ặt kín bất kỳ bằng độ giảm điện
tích trong mặt đó trên một đơn vị thời gian

5
hay là

Ị Ị r ^ — ỊỊỊ
s

V


8.3.

379

TỪ TRƯỜNG

trong đó

6-/ // M K
V

Dùng công thức Gauss - Ostrogradsky biến đổi tích phản mặt, ta đi đến

/ / / ( ^ ^ “/ / / ( t + V <
V

K = ° -

V

Vì mặt s tùy ý, từ đây suy ra định luật bảo toàn điện tích dưới dạng vi phân
^ + d iv j = 0

dt

hay

ậ - f V rj r = 0.

ơt

(8.12)

Phương trình (8.12) gọi là phirom g trìn h liên tụ c. Nó là phương trình quan

trọng biểu diễn toán học của định luật bảo toàn điện tích đối với vật dẫn có
dòng điện không đổi.
Trong trường hợp dòng không đổi, phân bố điện tích trong vật dẫn ờ trạng
thái dừng (nghĩa là không thay đổi theo thời gian), thì

= 0 , phương trình

(8 . 12 ) có dạng
div j = 0 .
Thay (8 .11) vào dây, ta được
d iv j = d iv 7 E = 7 d iv E = 0 .
Hộ thức này chứng tỏ điện trường trong dây dẫn có dòng không đổi chạy
qua cũng tuân theo phương trình Laplace (d iv E = - d iv grad V = —A V = 0)
như điện trường tĩnh điện trong chân không. Điều đó dẻ hiểu, vì trong trường
hạp dòng không (tổi, phản bổ điện tích ở trạng thái dừng (tức là trạng thái
không thay đổi theo thời gian), nên điện trường cùa dòng khỏng đổi giống
như điện trường tĩnh điện. Như vậy, điện trường của dòng không đổi cũng là
một trường thế
E — —grad V.

8*3

T ừ tr ư ờ n g

Ngoài tác dụng điện còn có tác dụng từ, cho nên người ta củng muốn làm
tương tự như dổi với điộn tích. Nhưng trong thiên nhiên không có từ tích,


380

Chương VIII. Đ I Ệ N H Ọ C

mọi tác dụng từ đều đưa về tác dụng của các (ỉòng điện (tức là điện tích
chuyển động). Hạt điện chuyển động sinh ra một loạt trường khác gọi là từ
trường.
Thực nghiệm đà chứng tỏ dòng điện cùng có từ tính nhir nam châm. Định
luật Ampcre cho ta tương tác giửa hai dòng điện, tương tự như định luật
Coulomb của tính điện, đây là định luật cơ bản của tương tác từ.
Đ in h lư ât A m p è r e . Tủ lực do phần tủ dònq điện Id s tác dụng lẽn phần từ
dòng điện Iodso đặt trong chân không là

tĩVTig đó ịẤQ là hằnq số tủ (hay độ tủ thẩm) của chán không, cỏn nếu đặt trong
môi trường dẳng hướng nào đó thì
_

MMo

Iodso

4ff

X

(Ids
rỏ

X

r)

trong đó ụ, là độ từ thẩm ti dối của môi trườnq.
T ừ lực được truyền từ dòng điện này đến dòng điện kia hằng vận tốc
truyền của ánh sáng trong chân không. Dòng điện nào củng đều gây ra xung
quanh nó một từ trường, thông qua từ trường mà từ lực truyền đi được, từ
trường cũng là một dạng của vật chắt.
Sau đây ta định nghĩa nhửng đại lượng đặc trưng chotừ trường.
8 .3 .1

V e c t ơ c ả m ứ n g t ừ v à v e c t ơ c ư ờ n g đ ộ t ừ tr ư ờ n g

TVong công thức trên, ta xét vectơ
(8.13)

nó chỉ phụ thuộc vào phần tử dòng điện Ids sinh ra từ trường và vị trí của
điểm đang xét, mà không phụ thuộc vào phần từ dòng điện chịu tác dụng
IodsQ của từ trường. Hẹ thức trên là định luật Biot - Savart - Laplace xác
định veciơ cÁm ứnq tủ do phần tử dòng ăiện Id s sinh ra tại điềm đanq xét.
Theo nguyên lý chồng chất từ trường, thì vect.ơ cảm ứng từ B do một
dòng điện bất kỳ gây ra bằng tổng các vectơ cảm ứng từ r/B do các phần tử
nhỏ cùa dòng điộn gây ra tại diểrn ấy


8.3.

T ư TRƯỜNG

381

Do vectơ cảm ứng từ phụ thuộc vào độ từ thầm tỉ đối, nên nếu ta đi từ
mòi tri rừng này sang môi trường khác, vectơ cảm ứng từ sẽ biến đổi đột ngột.

Vì vậy ngoài vector cảm ứng từ, ta còn đưa vào vectơ cường độ từ trường
H bằng hệ thức sau đây
B = /¿0//H

hay

Bị = ỊiQịiỖịHj.

(3.14)

IVường hợp môi trường bất đẳng hướng Bị = ỊiQịi\Hj, trong đó ụị (tenxa
hạng hai) gọi là tenxơ độ tử thẩm phụ thuộc vào tọa độ điểm.
Vectơ cảm ứng từ thay đổi từ điểm này đến điểm khác, còn đường cảm
ứng từ là đường trong không gian của từ trường, tại mỗi điểm của nó tiếp
tuyến với đường có cùng phương với vectơ cảm ứng từ. T ập hợp các đường
cảm ứng từ lập thành từ phổ.

Hình 8.3
Nghiên cứu từ phổ ta nhận t hấy các đường cảm ứng từ là những dường
cong kín. Một trường có đường sức khép kín gọi là trư ờ n g x o á y , từ trường
có tính chất xoáy. Nó khác với trường tĩnh điện, tại đó đường sức đều xuất
phát từ hạt điện dương và đi ra vô cực, hoặc tận cùng trên các hạt điện âm;
trường tĩnh điện khỏng phẳi là trường xoáy. Do đó ta khẳng định trong thiên
nhiên không có hạt “ từ tích” như đà nêu ờ trên.
Đ ịn h lý G a u s s - O s tro g r a d s k y . Từ thông toàn phần qua mặt kín thì bằng
không

II
s

BịV d S = 0 .

B dS=
s


382

C h ư ơ n g VIII. ĐIỆN HỌC

Biến đổi tích phân m ặt, đản đến

///™

= / / / S«ViBj=0,
V

V'

nó đúng với mọi thể tích V , nên suy ra
d iv B = gijV i B j = 0.

Hình

(8.15)

8 .4

Tính chất xoáy cùa từ trường còn thể hiện trong định luật sau dây
Đ in h lu ả t v ề d ò n g d iên to à n p h ần . Lưu số của vectơ cường độ tủ trường

theo một đường conq kín bất kỳ bằng tổng các cường độ dòng điện xuyên qua
diện tích giới hạn bài đĩĩờng cong đó

r

ế H • ds = ^
L

*

/Q = Itp

(N là số dòng diện).

(8.16)

0=1

Điểm này khác với trường tĩnh điện, tại đó Etình là hàm có thế, nên lưu so

^ Etĩnh ’ dồ = 0 ,

ờ đây từ trường không phải trường thế mà là trường xoáy, nên lưu số khác
không.


8 .3 .

383

T Ừ TRƯỜNG

8 .3 .2

T á c d u n g c ủ a t ừ t r ư ừ n g lê n d ò n g đ iê n v à lê n h a t đ iộ n
chu yển động

Theo định luật Ampère một phần tử dòng điện Iodso đặt tại một điểm M
trong từ trường có cảm ứng từ (ĨB. thì chịu một từ lực là
r/F = Iodso X <7B,

từ đây suy ra nếu đặt một phần tử dòng điện Id s tại điểm M trong từ trường,
ớ dó vecta từ cảm là B thì phần tử đó sẽ chịu một từ lực
dF — Ids X B

gọi là lư c A m p è r e .
B ây giờ giả sử hạt điện mang điện tích e chuyển động với vặn tốc V trong
một từ trường B ; hạt diện chuyển động tương đương với một phần tử dòng
điện, nên từ lực tác dụng lên hạt điện chuyền động là

F l = e(v X B )

hay là

F k = - ^ z ( e ijkViDj),
VỔ

(8.17)

lực này gọi là lư c L o ren tz.

8.3.3

Vectơ từ hóa

Môi trường dưới tác dụng của từ trường có thể xuất hiện từ hóa. Khi bị từ
hóa, môi trường trỏr nên có từ tính, nghĩa là khi nằm trong từ trường ngoài,
bản thân chúng sinh ra một từ trường phụ, còn gọi là từ trường riêng của
môi trường từ hóa.
Vect.ơ từ hóa M liên hệ với vectơ cảm ứng từ bằng hệ thức
B = /XoH 4- M

h ay là

Bị

=

ịiQHi

4- M ị.

Theo quan điểm vĩ mô, vcctơ M đặc trưng sự sắp đặt có thứ tự trong môi
trường các mômen lường cực từ.

8.3.4

Hiên tương cảm ứng điện từ

Bat kỳ dòng điện nào cũng gây ra xung quanh nó một từ trường. Ngược lại

từ trường có thể sinh ra dòng điệng không? Faraday đà chứng tò bằng thực
nghiệm: từ trường biến đổi có thể sinh ra dòng điện. Dòng diện đó gọi là dòng
điện cảm ứng , hiện tượng này gọi là hiện tượng cảm ứng điện tủ.


384

C h ư ơ n g VIII. ĐIỆN HỌC

Lance đả tìm ra định luật tổng quát về chiều của dòng điện cảm ứng, nó
phải có chiều sao cho từ trường do nó sinh ra có tác dụng chống lại nguvên
nhân sinh ra nó.
Sự xuất hiện dòng điện cảm ứng chứng tỏ trong mạch có một thế điện
động. Thế điện động ấy gọi là thế điện động cảm ứng.
Định luật cơ bản về hiện tượng càm ứng điện từ phát biểu nhir sau.
Đ in h lu â t F a ra d a y . Thế điện động cÀm ứng luôn luôn bằng vè trị sổ, nhung
trái dấu với tốc độ biến thiên của từ thông qua diện tích của mạch điện

£c = - ^

(8.18)

,

trong đó
íc—

8.4

J

E - ds,

còn

$m =

J J B • dS.

T rư ờ n g điên t ừ

Dòng điện sinh ra từ trường, ngược lại từ trường biến đổi lại sinh ra dòng
điện. Maxwell đả phát hiện giữa điện trường và từ trường có mỗi quan hệ
khăng khít và xây dụng nên lý thuyết về trường điện từ, một trường gồm cá
diện trường và từ trường.

8.4.1

Luận điểm thứ nhất của Maxwell

Nguyên nhân gây ra dòng cảm ứng là sự biến dổi từ thông qua mạch điện,
tức là biến đổi từ trường tại nơi dặt mạch. Vì vậy điện trường gây nên dòng
cảm ứng chi có thể do từ trường biến dổi theo thời gian sinh ra. Điện trường
này không thể là trường tĩnh diện. Trong trường tĩnh diện đường sức của
nó Ỉ1Ờ, thế điện động (công của điộn trường trong dịch chuyển hạt điện thoo
đường cong kín) bằng không

£ Etình ■ds = 0 *
L

Điện trường sinh ra ờ đây phải có đường sức là đường cong kín, khi dó thế
điện động khác không. Ta gọi đó là điện truờng xoáy.
Luận điểm thứ nhất của Maxwell, phát biểu như sau:
Tủ trường bất kỳ biến đổi theo thời gian sinh ra điện trường xoáy.


8 .4.

385

T R ƯỜ N G ĐIỆN T Ù

Theo định luật cơ hán về hiện tư ợ n g cám ứng diện từ (8.18), ta có
C

_

dt

’

hay là

~ ẳ /s/

Ị E - d s = - ^ 7 / / B - r fS ,
L

vế trái biến đổi theo công thức Stokes, vế phải có thể hoán vị vi phân theo
thời gian vái tích phân theo mặt, suy ra:

//(rotE+a ï ) ' ' s = 05

Chu tuyến L hoàn toàn tùy ý, từ đây ta được
rot. E = —Ớ B ,
dt
huy là

1
ự / ’k ụ -B> = - W -

<8 1 9 >

Ta gọi phương trình này là phương trình Maxwell - Faraday.

8.4.2

Luân điểm thứ hai của Maxwell

Điện trường bất kỳ biến ăni theo thời gian củnq sinh ra một từ trường.
Luận điểm này được biểu diền định lưạng bới phương trình Maxwell Ampère hay còn gọi là phương trình về dòng điện toàn phần suy rộng.
Như đả biết, dòng điộn dần sinh ra từ trường, theo luận điểm Maxwell
thì điện trường biến đổi theo thời gian củng sinh ra từ trường. Vậy xét về
plnrang diện sinh ra từ trường thì điện trường biến đổi theo thời gian có tác
dụng giống như một dòng điện. Dòng diện này Maxwell gọi là dòng điện dịch .
Đổ xác định mật độ cùa dòng diện này, ta xuất phát từ định luật bào toàn
điên tích (8 . 12); thay đao hàm

ơt

í,

theo công thức (8 .6 ) vào (8 . 12) dẫn đến

ỠD\

( + dt ) =


386

C h ư ơ n g VUI. ĐIỆN H Ọ C

ỠD

Từ đây chứng tò rằng vectơ j +

C?D

có thông lương bảo toàn. Đai lirơng -Tr­

ơi
'
ỡt
có thể xem như mật độ cùa dòng nào đấy khép kín dòng dẫn trong trường
hợp dòng thay dổi. Ta gọi
ÔD

( 8 . 20 )

là mật độ dòng điện dịch.
Theo định luật về dòng điện toàn phần (8.16), ta cỏ

L

trong đó Itp là cường độ của dòng điện toàn phần chạy qua điện tích
hạn bời đường cong L

s

s

giới

s

Thay vào hệ thức trên, ta được

L

s

(8 .21 )

Tóm lại, giả sử ta có môi trường đứng yên có thể gồm điện mỏi hoặc vật
dẫn, trong đó có các hạt tích diện chuyển động. Do tương tác giữa các hạt
mang điện sinh ra trường điện từ, trường này đặc trưng bới các vector sau
đây:
a) Vectơ cường độ điện trường E i\
b) Vectơ cảm ứng điện Dịy vectơ phân cực điện liên hệ với hai vectơ trên

Pị = Dị — eoEi (nếu là chất điện môi);
c) Vectơ cảm ứng từ Di ;


ÿ.4.

387

TRƯ Ờ N G Đ IỆ N T Ừ

d) Vectơ cường độ từ trường H i ; vectơ từ hóa liên hệ với hai vectơ Bị,
lỉị như sau
(nếu xuất hiện từ hóa);

Mị = Bi - Ho Hi

e) Vcctơ mật độ dòng điện toàn phần, gồm hai vectơ mật độ dòng:
- vectơ mật độ dòng dẫn liên hệ với Ei theo định luật Ohm (8.10)
f

= l rsEs

Y $ là tenxơ điện dẫn suất,
- v ectơ mật độ d ò n g điện dịch liên hệ v ớ i D ị theo c ô n g thức ( 8 .2 0 )
.r

_ dD r
dt

J d ịc h -

Các vectơ trên liên hệ với nhau bằng hệ các phương trình Maxwell trong
trường hợp môi trường có cả diện phân cực và từ hóa như sau:
ỠB
ởt

hay

d iv B = 0

hay

E = -

dBk
dt ’

Vã

ỠD
ỉ = j + dt

hay

điv D = Pc

hay

g V V iB ị = 0 ,
=

\/T

dD k
+ di

(8 .22)

gijV ,D j = pe.

Ngoài ra

D

D = eo^E

hay D ị - £oe { E j ,

B = momH

hay B t = ụ.Qịiị H j ,

= e 0E + P hay Pi = e0(e{ - S ị) E jt

B = /¿0H + M

hay Mi = fio(ụị -

(8.23)

S ị)H j,

trong đó £ị là ten xa điện môi, còn ụ.\ là tenxơ độ từ thẩm. Định luật bảo toàn
điện tích là hệ quả của các phirơng trình Maxwell, quà vậy lấy div phương
trình thứ ba của (8.22) rồi sừ dụng phương trình thứ tư, suy ra điều cần tìm.
Các phương trình M axwell của trường điện từ trong chân không có dạng


Chương VIII. ĐIÊN HOC

388

trong đó pe( x 1yx2, x 3yt) là mật độ điện tích, v ( x 1 >x 2í x 3,<) là vecta vận tốc
của nó tại điểm và thời điểm đang xét; còn B = /ioH, D = £oH.
Nếu hạt. mang điện tích e chuyển động với vận tốc V trong trường điện từ
thì theo định luật Lorentz, trường điện từ tác dụng lên nó một lực- sau đày
F = e E + (ev X B ) .

(8.25)

quy luật này tồn tại trong mọi hệ tọa độ quán tính. Nếu môi trường là vật
dần điện, thì phần tử nhỏ của môi trường d V có điện tích de, theo định luật
Coulomb chịu tác dụng của lực

F dV = j ệ E d V = peEdV.

Nếu ngoài điện tích de trong dV còn có dòng j = pcv , thì trên một đơn vị thể
tích mỏi trường sẽ chịu tác dụng của lực Lorentz sau
F = PcE -f [pev X B ] .

Công thức này xây (lựng trên cơ sỏr thực nghiệm, xem như một trong những
định đề cơ sờ của điện động lực học, hoặc như một trong nhừng ca sở để xác
định các đặc trưng điện từ của trường và đòng.
Trờ lại các phương trình Maxwell (8.24), có thể xem đáy là cách biểu dièn
toán học nhửng quan trắc thực nghiệm thay cho định luật Coulomb và các
định luật điện dộng lực học có liên quan trực tiếp với thực nghiêm
Các phương trình Maxwell viết đối với một hệ quy chiếu quán tính nào
dấy. Khi chuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác theo quan điểm cổ điển,
các phương trình này không bất biến, nói cách khác trường diện từ có tính
tương dổi. Sau này theo quan điểm lý thuyết tương đối, la thấy các phương
trình Maxwell biểu thị các quy luật của điện động lực học có tính bất biến,
tức là nó đúng trong hệ quán tính này, thì củng đúng trong hệ quán tính khác
(sẽ đề cập ờ chương sau). Phản tích bản chất của trường điện tù và các tính
chất của hệ phương trình Maxwell là điểm xuất phát của lý thuyết tương đối
và là cơ sờ để xét lại các khái niệm cũ về hệ quán tính, về không gian và thời
gian. Nó đặt cơ sờ cho sự phát triển toàn bộ vật lý học hiện đại.

Trong các phương trinh (8.24), xem Pe và j = p€\ là đã biết, thì ần phải
tìm là E và H. Trong 8 phương trình thành phần chỉ có sáu độc lập, vì div
rot. = 0 nên có sự phụ thuộc giữa các phương trình đó.


H . ‘i.

389

T R Ư Ờ N G Đ IỆ N T Ừ

8.4.3

C á c t h ế điên t ừ

TVước hết chọn các thế điện từ sao cho thòa màn cặp thứ nhất của phương
t rình Maxwell. Ta đặt
B = rot A

hay

B k = Ặ e ijkV i A j ,
VỠ

(8.26)

A gọi là t h ế vector, khi đó d iv B sẽ đồng nhất bằng không. Còn E tìm dưới
dạng
E

~

£

-g ra d V ,

hay

V gọi là t h ế v ô h ư ớ n g. Plnrơng trình thứ nhất của (8.22) thỏa màn đồng
nhất.
T a thấy, nếu cho
A* = A + grad / , hay A'i = Ai + | 4 >

v' = v + % '

(8-28)

trong đó / là hàm tùy ý, thì điện trường và từ trường vần không đổi. Cho
nên chọn hàm / sao cho cặp thứ hai của phương trình Maxwell dưa về dạng
dơn giản han.
T hay (8.28), (8.27) vào phương trình đầu của cặp thứ hai sau một vài
biến đổi cho ta
A A

ỠV \

K

A A - W o tto -Q g r = grad^div A + Polie oe— J - ịi[Loj.
Ta thấy ngay rằng phương trình này sẽ đơn giản, nếu ta lợi dụng tính không
đon trị của các thế điện từ. V ậv ta có thề chọn hàm / sao cho thỏa màn điều
kiện Lorentz
dV

div A + ụ,0£0 H £ - ^ = 0,

(8.29)

khi đó thế vectơ thỏa mản phương trình

AA -

A

= ~mủ-

(8.30)


Chương Vỉ lì. ĐIỆN HỌC

3 90

Trường hợp môi trường điện mói, thì 7 = 0, j = 7 E = 0, vế phải phương
trình (8.30) bằng không. B ây giờ dẻ dàng tỉm phương trình xác định thế vô
hướng, từ phương trình thứ hai cùa cặp thứ hai
Ỡ

d iv D = div(££oE) = —6€()(^— d ì v A + A V ) = pe
thay div A từ điều kiện Lorentz (8.29) vào đây, dẫn đến
fj2 Tĩ
A V - iLữụ.eữe ^ ~ =
ơ tz

Eq£

•

(8.31)

Hai phương trình (8.30), (8.31) là hai phương trình truyền sóng thuộc loại
hypecbôlic. V ậy tương tác điện từ lan truyền trong môi trường vật chất với
vận tổc

c-

1
y /e o n o e ụ .

Bằng biểu thức tcnxơ, hai phương trình (8.30), (8 .31) có dạng

-ụ.Qfijk

trong vật dẫn,

0

trong điện môi.

ỡij V
- -£ ± .
V i V
V j V
V ___ —
ọ d v
J
—
c d t2
eos

y

Trong chăn không trường điện từ lan truyền dưới dạng sóng điện từ với vận

tốc

c — —= = = 3 • 108 ra /s ,
y/ẽõĩĩõ
vì đổi với chân không
= 1. Đó cũng chính là vận tốc truyền ánh sáng.
Phương trình (8.30), (8.31) khi đó có dạng

AA

1 0 2a
c2 Q ị 2 —
c2 B(‘

.
(8.32)

eo

Trường hợp tĩnh điện và tĩnh từ, các thế điện từ thỏa mân phương trình
sau đây
AA =
AV = - - ^ ,
Sq£

(8.33)


8.4.

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

391

ta lại tx
V

V

trong đó j và pe là mật độ dòng điện và mật độ diện tích của phản tố thể tích
d V y V là khoảng cách từ phân tố đó tới đsểm tính trường. Các nghiệm này
bieu diên trường sinh ra bởi các điện tích và dòng điện không đổi theo thời
gian hoặc các điện tích và dòng điện biến đổi chậm sao cho, trong thời gian
lan truyền cùa trường các nguồn đó thay đổi khỏng đáng kề.

8.4.4

B ào to à n n ă n g lư ơ n g c ủ a t r ư ờ n g diện t ừ

Từ phương trình Maxwell ta thiết lập phương trình biểu diền sự thay đổi
năng lượng của trường điện từ - phương trình Umov - Poĩntin. Nhân vô
hướng phương trình thứ nhất của (8.22) với H rồi trừ phương trình thứ ba
sau khi nhân vô hướng với E , ta được
H • rot E - E • rot H = - ( h - Ạ + E
\
dt

dt /

-E

j,

hay là 2

K ý hiệu:

u

= E X H là vectơ Ưmov - Poĩntin, hệ thức trên có dạng

phương trình này gọi là phương trình Ưrnov - Pòintin.

2Chửng
Chi'rng minh
div(E X H) = V v (4 = e r*JE rtf.) = - ^ ể ^ V ị E r ỉ I , + -l=er , í E r V } H .

'y/n

'ự ã

Vã

= 4 = e* >r//;V r E , + 4 = e J’r£ ,V rW.
V ã

V ã

= ~ z e r’ J (H J V r E , - E , V r H s) = H rot E - E rot H

V9


392

C h ư ơ n g Vỉìl. Đ IỆ N H Ọ C

L ấ y tíc h p h â n th e o th ể tíc h V n à o đ ấy , c h o t a

p ev • E = 0,
V

V

V

biến đổi các tích phản trên dẫn đến

J l U d S + ^ J J j ( ^ - //2. t £ £ g g 2 ) d v + j j j p ' V

s

V

EdV =

0.

(8.34)

V

Đại lượng

V

V

là năng lượng trường điện từ trong thể tích V , trong đó V e m = *

^

là mật độ của năng lượng trường diện từ trẽn một đơn vị thể tích. Đại lượng

/ / / * V' E
i/

V

là công suất điộn trường tác dụng lên những hạt, hay là công suất tiêu tán
Joule; CÒĨ1 đại lượng / / ” • í/s là dòng vectơ Ưmov - PoYntin qua mặt 5 giới

s
hạn thể tích V . Vậy

ị t (£ + 'Pj0) = - J j ( E x H ) d S = - J l U - d S ,
s

(8.35)

s

Sự thay đổi năng Ixcợng toàn phần của trường điện từ trong thề tích V là do
dòng vectơ Umov - Poỉntin qua mặt bao thề tích đó.