Ứng dụng thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRƯƠNG THỊ TUYẾT HẠNH

ỨNG DỤNG THẶNG DƯ LOGARIT
ĐỂ TÌM SỐ KHÔNG ĐIỂM
CỦA HÀM GIẢI TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Quốc Tuấn - Người thầy đã tận tình hướng dẫn
và giúp đỡ tôi để tôi hoàn thành bài khóa luận của mình. Thầy không chỉ dạy
cho tôi kiến thức mà còn rèn cho tôi tính cẩn thận, tỉ mỉ và chính xác. Hơn
nữa, tôi đã học được rất nhiều ứng dụng công nghệ thông tin vào Toán học từ
thầy. Thầy đã dạy cho tôi biết rằng khi làm bất cứ việc gì đều phải dành hết
tâm huyết thì mới hoàn thành tốt được công việc. Với những lời dạy quý giá
đó, tôi sẽ luôn ghi nhớ và cố gắng thực hiện.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô trong
tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành tốt bài
khóa luận này.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Trương Thị Tuyết Hạnh


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn
tận tình của ThS. Nguyễn Quốc Tuấn.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này tôi đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm
số không điểm của hàm giải tích” không có sự trùng lặp với kết quả của các
đề tài khác.

Hà Nội, Ngày 14 tháng 5 năm 2015
Sinh viên
Trương Thị Tuyết Hạnh


Mục lục
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Định nghĩa hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Tính liên tục và liên tục đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

7
7
7

1.2. Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Tích phân hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Khái niệm hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Định lý Cauchy cho miền đơn liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Sự tồn tại của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Định lý Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Định lý duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Định lý Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Điểm bất thường của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6. Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư . . . . . . .
1.6.1. Định nghĩa và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Các định lý cơ bản về thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
12
13

14
14

15

15
15
16

18
18
21

Chương 2. Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số không điểm của hàm
giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1. Thặng dư logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Không điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Cực điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Thặng dư logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2. Mối liên hệ của cực điểm, không điểm của hàm giải tích . . . . . .
2.3. Số không điểm của tổng hai hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Nguyên lý bảo toàn miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên tập compact
2.6. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

22
22
23

25

25
26
27
28


MỞ ĐẦU
Giải tích phức, hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của
toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là
số phức (các ánh xạ giữa Cn và Cm ). Giải tích phức là một trong những ngành
cổ điển của toán học, bắt nguồn từ khoảng thể kỷ 19 và thậm chí có thể là
trước đó. Một số nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh vực này như Euler,
Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở đầu thế
kỷ 20.
Khi đó, hàm phức được nghiên cứu là một hàm trong đó đối số và hàm số
nhận giá trị phức. Chính xác hơn, hàm phức là hàm mà tập xác định Ω là tập
con của mặt phẳng phức và tập giá trị cũng là tập con của mặt phẳng phức.
Với một hàm phức tùy ý, cả đối số và hàm số có thể tách thành phần thực và
phần ảo:
z = x + iy và w = f (z) = u(z) + iv(z),
trong đó x, y ∈ R và u(z), v(z) là các hàm thực. Nói cách khác, các thành phần
của hàm f (z):
u = u(x, y) và v = v(x, y)
có thể hiểu như các hàm thực của hai biến thực x và y.
Các khái niệm cơ bản của giải tích phức thường được nghiên cứu dựa trên
mở rộng các hàm thực sơ cấp (ví dụ như: hàm mũ, hàm logarit và các hàm
lượng giác) lên miền phức.
Năm 1890, bài báo "Oeuvres Complètes" của Cauchy được công bố, trong
đó nghiên cứu tích phân hàm biến phức mà ta hay gọi là tích phân Cauchy.
Công thức tích phân Cauchy cho hàm biến phức f mà có đạo hàm tại điểm z0

thì nó có đạo hàm mọi cấp tại điểm đó. Công thức tích phân Cauchy và các hệ
quả của nó là những kết quả rất quan trọng và nhiều ứng dụng trong Lý thuyết
hàm biến phức. Từ kết quả đó, người ta thấy rằng hàm f có thể khai triển
được thành chuỗi lũy thừa có tâm tại điểm z0 . Trái lại, nếu hàm f không giải
tích tại điểm z0 thì hàm f vẫn có thể khai triển được thành một chuỗi khác mà
4


ta gọi là chuỗi Laurent. Năm 1843, chuỗi Laurent lần đầu tiên được xuất bản
bởi Pierre Alphonse Laurent và sau này chuỗi đó được đặt tên theo tên của
ông. Cũng có thông tin Karl Weierstrass mới là người phát hiện ra chuỗi đó
đầu tiên. Tuy nhiên, bài báo của ông được viết vào năm 1841 đã không được
công bố cho đến khi ông qua đời. Khái niệm chuỗi Laurent sẽ dẫn đến khái
niệm thặng dư. Ngược lại, với lý thuyết thặng dư chúng ta có thể thực hiện
các tính toán trong các bài toán ứng dụng.
Khái niệm về thặng dư logarit đã được nhiều người đưa ra vào nửa cuối
thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển việc thực hiện tính toán các bài toán ứng dụng.
Khi nghiên cứu về ứng dụng trong giải tích toán học, thặng dư logarit cho ta
một công cụ để tìm số cực điểm và không điểm của một hàm trên một miền
nào đó. Vào thời gian này, các nhà khoa học đã tìm ra mối liên hệ của cực
điểm và không điểm của hàm giải tích, đó chính là nguyên lý Argument (xem
[5]). Đồng thời, các nhà khoa học cũng nghiên cứu được cách tìm số không
điểm của tổng hai hàm giải tích (Định lý Rouché) (xem [6]). Năm 1962, định
lý Rouché được chứng minh một cách rõ ràng bởi Estermann (xem [6]). Đến
năm 1982, Challener và Rubel cũng đã chứng minh được định lý ngược của
định lý Rouché (xem [4]). Định Hurwitz được đặt tên theo tên nhà toán học
Adolf Hurwitz đã đưa ra tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên
tập compact. Như vậy, thặng dư logarit là một ứng dụng không những đóng
vai trò quan trọng trong giải tích mà còn ngày càng phát triển rộng rãi trong
Toán học. Với khóa luận này tôi nghiên cứu đề tài “Ứng dụng Thặng dư

logarit để tìm số không điểm của hàm giải tích”. Nội dung nghiên cứu của
tôi tuy không phải là những kết quả mới được tìm thấy, nhưng với tinh thần
hoc hỏi, tìm tòi kiến thức mới, hi vọng đề tài này sẽ đem lại nhiều kiến thức
bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả.
Vì vậy, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo ThS.Nguyễn Quốc Tuấn và sau
một thời gian nghiên cứu, tôi trình bày khóa luận với nội dung gồm hai
chương:
Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết hàm giải tích
một biến phức, đó là khái niệm và các tính chất của hàm giải tích, lý thuyết
tích phân Cauchy, lý thuyết chuỗi và thặng dư.
Chương 2 trình bày lý thuyết thặng dư logarit; mối liên hệ của cực điểm,
không điểm của hàm giải tích; tìm số không điểm của hàm số trong một miền;
nguyên lý bảo toàn miền và tính chất của dãy các hàm giải tích hội tụ đều trên
tập compact. Đồng thời, từ lý thuyết Thặng dư logarit đã trình bày, áp dụng
5


tìm số không điểm của hàm giải tích.
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản
thân nên khóa luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan
tâm, góp ý của thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu Ω là tập con của tập số
phức C, ∂ Ω là biên của miền Ω, γ là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong Ω.

1.1. Hàm biến phức
1.1.1. Định nghĩa hàm biến phức
Định nghĩa 1.1.1 (xem [3]). Giả sử Ω là một tập tùy ý cho trước, một ánh xạ
f từ Ω vào C được gọi là một hàm biến phức. Kí hiệu
f :Ω→C
z → ω = f (z),
trong đó Ω gọi là tập xác định, f (z) được gọi là tập giá trị.
1.1.2. Tính liên tục và liên tục đều
Cho ω = f (z) xác định trên tập tùy ý Ω, z ∈ Ω, z0 là điểm tụ của Ω. Ta nói
hàm f (z) khi z dần đến z0 có giới hạn
lim f (z) = a, a ∈ C,

z→z0

nếu
∀ε > 0, ∃δ = δ (ε, z0 ) sao cho ∀z ∈ Ω và 0 < |z − z0 | < δ
thì
| f (z) − a| < ε.
Nếu lim f (z) = f (z0 ) thì ta nói f liên tục tại z0 . Nghĩa là,
z→z0

∀ε > 0, ∃δ = δ (z0 , z) > 0 sao cho
7


∀z ∈ Ω, |z − z0 | < δ thì | f (z) − f (z0 )| < ε.
Nếu z0 là điểm cô lập cuả Ω thì quy ước f liên tục tại z0 . Nếu hàm số f liên
tục trên tập Ω thì ta nói f liên tục tại mọi điểm thuộc Ω. Ta nói hàm f liên
tục đều trên tập Ω, nếu

∀ε > 0, ∃δ = δ (ε) > 0 sao cho
∀z1 , z2 ∈ Ω mà |z1 − z2 | < δ thì | f (z2 ) − f (z1 )| < ε.
Nhận xét 1.1.1. Nếu f liên tục đều trên Ω thì liên tục trên Ω.
Định lý 1.1.1 (xem [3]). Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f liên tục
đều trên K.
Định lý 1.1.2 (xem [3]). Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì hàm
z → | f (z)| đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trên K, tức là tồn tại a, b ∈ K
để
| f (a)| = sup f (z) và | f (b)| = inf | f (z)| .
z∈K

z∈K

Định lý 1.1.3 (xem [3]). Nếu f liên tục trên tập compact K ⊂ C thì f (K) ⊂ C
là compact.

1.2. Chuỗi hàm
Định nghĩa 1.2.1 (xem [3]). Giả sử { fn }, z ∈ Ω là một dãy hàm phức xác
định trên Ω. Tổng vô hạn f1 (z) + f2 (z) + · · · , kí hiệu là
∞

∑ fn(z),

(1.2.1)

n=1

được gọi là chuỗi hàm trên Ω.
Nếu đặt đối với mỗi n ≥ 1
n

Sn (z) =

∑ fk (z), z ∈ Ω,
k=1

ta nhận được dãy hàm {Sn } trên Ω. Dãy hàm này được gọi là dãy các tổng
riêng của chuỗi hàm (1.2.1). Hơn nữa, Sn (z) được gọi là tổng riêng thứ n.
8


Chuỗi hàm (1.2.1) được gọi là hội tụ hay khả tổng nếu dãy {Sn } hội tụ.
Nếu dãy {Sn } hội tụ đều thì chuỗi (1.2.1) được gọi là hội tụ đều. Hàm
f (z) = lim Sn (z), z ∈ Ω
n→∞

được gọi là tổng của (1.2.1) và viết
∞

f=

∞

∑ fn hay f (z) = ∑ fn(z), z ∈ Ω.

n=1

n=1

Giả sử chuỗi (1.2.1) hội tụ và f là tổng của nó. Với mọi n ≥ 1, đặt

∞

Rn (z) = f (z) − Sn (z) =

∑

fk (z), z ∈ Ω.

k=n+1

Khi đó, {Rn } là một dãy hàm trên Ω và được gọi là dãy các phần dư của chuỗi
(1.2.1), hơn nữa Rn được gọi là phần dư thứ n. Rõ ràng chuỗi (1.2.1) hội tụ
nếu và chỉ nếu dãy {Rn } hội tụ tới không, chuỗi (1.2.1) hội tụ đều nếu và chỉ
nếu dãy {Rn } hội tụ đều tới không. Vì vậy:
i. Chuỗi (1.2.1) hội tụ nếu và chỉ nếu
∀z ∈ Ω, ∀ε > 0, ∃N = N(ε, z), ∀n > N : |Rn (z)| < ε.
ii. Chuỗi (1.2.1) hội tụ đều nếu
∀ε > 0, ∃N = N (ε) , ∀n > N, ∀z ∈ Ω : |Rn (z)| < ε.
Cũng như đối với hàm biến thực ta có các tiêu chuẩn sau về sự hội tụ đều
của chuỗi hàm.
Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [3]). Để chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên
Ω điều kiện cần và đủ là
∀ε > 0, ∃N(ε), ∀n > N, ∀p ≥ 1, ∀z ∈ Ω,
| fn+1 (z) + · · · + fn+p (z)| < ε.
n

Định lý 1.2.2 (Tiêu chuẩn Weierstrass, xem [3]). Nếu chuỗi số dương ∑ an
n=1

hội tụ và tồn tại N sao cho

| fn (z)| ≤ an , ∀z ∈ Ω, ∀n > N
thì chuỗi (1.2.1) hội tụ đều.
9


Định lý 1.2.3 (xem [3]). Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều và ϕ (z) là hàm bị chặn
trên Ω thì chuỗi
∞

∑ ϕ (z) fn (z)

n=1

hội tụ đều.
Định lý 1.2.4 (xem [3]). Nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều và các hàm fn liên tục
trên Ω thì tổng f của nó cũng liên tục trên Ω.
Định lý 1.2.5 (xem [3]). Giả sử chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên Ω và z0 ∈ ∂ Ω.
Giả sử tồn tại các giới hạn hữu hạn
lim f (z) = Ck , k = 1, 2, . . .

z→z0
z∈Ω

∞

Khi đó, chuỗi ∑ Ck hội tụ và nếu f là tổng của chuỗi (1.2.1) thì
k=1
∞

∞

lim f (z) =

z→z0

lim
∑ Cn = ∑ z→z
n=1

n=1

z∈Ω

f (z) .

0

z∈Ω

Nhận xét 1.2.1. Từ định lý 1.2.5 suy ra nếu chuỗi (1.2.1) hội tụ đều trên Ω
và các hàm fn liên tục trên Ω thì chuỗi cũng hội tụ đều trên Ω và tổng của nó
cũng là hàm liên tục trên Ω.
+∞

Ví dụ 1.1. Xét chuỗi ∑ zn trong hình tròn đơn vị D (0, 1). Với z = 0 tổng
n=0

riêng thứ n của chuỗi số là
n−1

1 − zn
Sn = ∑ z =
1−z
k=0
k

+∞
1
, chuỗi ∑ zn hội tụ. Ta chứng minh
n→∞
1−q
n=0
sự hội tụ này là không đều trên D (0, 1).

Khi đó, với mọi |z| < 1 thì lim Sn =
+∞

Thật vậy, giả sử chuỗi ∑ zn hội tụ đều trên D(0, 1). Vì mọi hàm zn liên
n=0
+∞

tục trên C nên theo nhận xét 1.2.1 chuỗi ∑ zn hội tụ trên hình tròn đóng
n=0

10


+∞

D(0, 1). Với z = 1 ∈ D(0, 1) thì lim Sn = lim 1n = ∞, chuỗi ∑ 1n phân kỳ

n→∞

n→∞

n=0

(mâu thuẫn).
+∞

Vậy chuỗi ∑ zn không hội tụ đều trong hình tròn đơn vị.
n=0

1.3. Tích phân hàm giải tích
1.3.1. Khái niệm hàm giải tích
Định nghĩa 1.3.1 (xem [3]). Cho hàm ω = f (z) xác định trên miền Ω, z0 ∈ Ω.
Nếu tồn tại giới hạn
f (z0 + ∆z) − f (z0 )
lim
∆z
∆z→0
thì ta nói hàm ω = f (z) khả vi (hay có đạo hàm) tại z0 . Giới hạn đó được gọi
là đạo hàm tại z0 , kí hiệu f (z0 ) hoặc ω (z0 ).
Định nghĩa 1.3.2 (xem [1]). Cho hàm ω = f (z) xác định trên miền Ω, z0 ∈ Ω.
Nếu hàm số ω = f (z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận của
điểm z0 thì f (z) giải tích tại z0 và z0 là một điểm thường của f (z).
Định nghĩa 1.3.3 (xem [1]). Giả sử f (z) giải tích tại mỗi điểm thuộc miền Ω.
Khi đó, hàm ω = f (z) được gọi là giải tích trên miền Ω.
1.3.2. Định lý Cauchy cho miền đơn liên
Định lý 1.3.1 (Cauchy, xem [3]). Nếu hàm Ω = f (z) giải tích trong miền đơn
liên Ω thì với mọi γ, ta có

f dz = 0.
γ

Định lý 1.3.2 (xem [3]). Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn, với biên ∂ Ω là
một chu tuyến trơn từng khúc. Khi đó, nếu f là hàm liên tục trên Ω = Ω ∪ ∂ Ω
và giải tích trên Ω thì
f dz = 0.
∂Ω

11


Hình 1.1: Miền Ω, biên ∂ Ω, chu tuyến γ

1.3.3. Định lý Cauchy cho miền đa liên
Bổ đề 1.3.1 (xem [3]). Ta gọi Ω là miền n - liên (hay đa liên bậc n) nếu biên
của Ω gồm có chu tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ1 , . . . , γn−1 đôi một không
giao nhau nằm trong Ωγ . Như vậy
n−1

Ω = Ωγ

Ωγk
k=1

và
∂ Ω = γ ∪ γ1 ∪ . . . ∪ γn−1 .
Chiều dương của ∂ Ω như đã quy ước (xem Hình 1.2).

Hình 1.2: Miền đa liên

Chứng minh. Bổ sung vào biên của Ω các đường l1 , . . . , ln−1 (hình 1.2), ta
được miền Ω. Khi đó, Ω trở thành miền đơn liên với biên là
L = ∂ Ω ∪ l1 ∪ . . . ∪ ln−1 .
12


f dz = −

Bởi vì
lk+

f dz nên theo định lý 1.3.2
lk−

f dz =

f dz = 0.
L

∂Ω

Định lý 1.3.3 (xem [3]). Nếu Ω là một miền n - liên (hay đa liên bậc n), f là
hàm liên tục trên Ω, giải tích trên Ω thì
f dz = 0.
∂Ω

1.3.4. Sự tồn tại của nguyên hàm
Giả sử hàm f là hàm giải tích trên miền đơn liên Ω và z0 , z là các điểm
trong Ω. Khi đó, tích phân

z

φ (z0 , z) =

f (η)dη
z0

không phụ thuộc vào đường cong nối z0 và z trong Ω. Thật vậy, giả sử γ1 và γ2
là hai đường cong tùy ý nối z0 với z. Có thể coi γ1 ∩ γ2 = {z0 , z} bởi vì γ1 ∪ γ2
là chu tuyến trong Ω. Theo định lý 1.3.1, ta có
0=

f dη =
γ1 ∪γ2−

f dη +

f dη.

γ2−

γ1

Vì thế
f dη =
γ2

f dη.
γ1

Định lý 1.3.4 (xem [3]). Giả sử f là hàm liên tục trên miền đơn liên Ω sao
cho với mọi γ, ta có f (z)dz = 0. Khi đó, với mọi z0 ∈ Ω cố định và z ∈ Ω,
γ

hàm

z

φ (z) =

f (η)dη
z0

là nguyên hàm của f (z) trên miền Ω. Hơn nữa, hàm φ (z) giải tích trên Ω và
φ (z) = f (z) với mọi z ∈ Ω.
13


Định lý 1.3.5 (xem [3]). Giả sử Ω là miền đơn liên, f là hàm giải tích trên Ω
và f (z) = 0, z ∈ Ω. Khi đó, tồn tại hàm g giải tích trên Ω sao cho
eg (x) = f (z), z ∈ Ω.
Định lý 1.3.6 (Công thức tích phân Cauchy, xem [3]). Giả sử f là hàm giải
tích trên miền Ω và z0 ∈ Ω. Khi đó, với mọi γ, z0 ∈ Ωγ ⊂ Ω, ta có công thức
tích phân Cauchy
1
2πi

f (z0 ) =

γ

f (η)
dη.
η − z0

Nếu f liên tục trên Ω và ∂ Ω là một chu tuyến thì với mọi z ∈ Ω, ta có
f (z) =

f (η)
dη.
η − z0

1
2πi

(1.3.2)

∂Ω

1.4. Chuỗi Taylor
Định nghĩa 1.4.1 (xem [3]). Chuỗi hàm có dạng
∞

∑ Cn(z − z0)n

n=0

được gọi là chuỗi Taylor tại z0 hay chuỗi lũy thừa của z − z0 .
1.4.1. Định lý Taylor
Định lý 1.4.1 (xem [3]). Nếu f (z) là hàm giải tích trên hình tròn |z − z0 | < R

thì trong hình tròn này, f (z) là tổng của chuỗi Taylor của nó tại z0 . Cụ thể là
∞

f (z) =

∑ Cn(z − z0)n, |z − z0| < R,

n=0

ở đây các hệ số Cn được xác định một cách duy nhất theo công thức
f (n) (z0 )
1
Cn =
=
n!
2πi

f (η)
dη.
(η − z0 )n+1
|η − z0 | = r
014


1.4.2. Định lý duy nhất
Giả sử hàm f (z) giải tích trên miền bị chặn Ω và liên tục trên Ω = Ω ∪ ∂ Ω.
Khi đó, theo công thức (1.3.2), ta có
f (η)
dη, z ∈ Ω.

(η − z)

1
2πi

f (z) =

∂Ω

Tương tự
g(z) =

1
2πi

g(η)
dη, z ∈ Ω,
(η − z)

∂Ω

nếu g giải tích trên Ω. Khi đó
f (z) − g(z) =

f (η) − g(η)
dη, z ∈ Ω.
(η − z)

1
2πi

(1.4.3)

∂Ω

Từ (1.4.3) suy ra, nếu f (η) = g(η), ∀η ∈ ∂ Ω thì f (z) = g(z), ∀z ∈ Ω, hay ta
có định lý 1.4.2.
Định lý 1.4.2 (Định lý duy nhất, xem [3]). Giả sử f và g là các hàm giải tích
trên miền Ω, (zn ) là một dãy những điểm khác nhau {zn } ⊂ Ω mà nó hội tụ
tới một điểm z ∈ Ω. Khi đó, f (zn ) = g(zn ), với mọi n thì f (z) = g(z), với mọi
z ∈ Ω.

1.5. Chuỗi Laurent
Định nghĩa 1.5.1 (xem [3]). Chuỗi hàm có dạng
+∞

∑

Ck (z − z0 )k

k=−∞

được gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của (z − z0 ) hay chuỗi Laurent tại z0 .
1.5.1. Định lý Laurent
Định lý 1.5.1 (xem [3]). Giả sử hàm f giải tích trong vành khăn
0 < r < |z − z0 | < R < +∞.
15


Khi đó, hàm f (z) biểu diễn được duy nhất dưới dạng tổng của chuỗi Laurent

+∞

f (z) =

Cn (z − z0 )n .

∑

n=−∞

Các hệ số của chuỗi này được xác định bởi công thức
Cn =

1
2πi
γρ

f (η)
dη, n = 0, ±1, . . . ,
(η − z0 )n+1

trong đó γρ là đường tròn bất kỳ |z − z0 | = ρ, r < ρ < R.
1.5.2. Điểm bất thường của hàm giải tích
Định nghĩa 1.5.2 (xem [3]). Giả sử f là hàm xác định trên miền Ω, z0 ∈ C.
Nếu tồn tại r > 0 sao cho vành khăn 0 < |z − z0 | < r bao hàm trong Ω thì z0
được gọi là điểm bất thường của f .
Hàm f giải tích trên vành khăn 0 < |z − z0 | < r không thể mở rộng giải tích
tới z0 , tức là không tồn tại hàm giải tích g trên hình tròn |z − z0 | < r sao cho
g(z) = f (z) với 0 < |z − z0 | < r.
Giả sử f giải tích trên vành khăn 0 < |z − z0 | < r. Chỉ có thể xảy ra một trong

ba khả năng sau:
i. Tồn tại lim f (z) = a ∈ C. Khi đó, z0 được gọi là điểm thường (điểm bất
z→z0

thường bỏ được) của f .
ii. Tồn tại lim f (z) = ∞. Khi đó, z0 được gọi là cực điểm của hàm giải tích
z→z0

f.
iii. Không tồn tại lim f (z) (trong C). Khi đó, z0 được gọi là điểm bất
z→z0

thường cốt yếu của f .
Để khảo sát các xem một điểm z0 là điểm bất thường loại nào của f (z)
thì ta phải khai triển hàm f (z) thành chuỗi Laurent trong hình vành khăn
0 < |z − z0 | < r. Ta có
+∞

f (z) =

∑

Cn (z − z0 )n ,

n=−∞

16

(1.5.4)

trong đó
Cn =

1
2πi
γρ

f (η)
dη, n = 0, ±1, . . .
(η − z0 )n+1

(1.5.5)

với ρ tùy ý, 0 < ρ < r.
Nhận xét 1.5.1 (xem [3]). i. Như đối với đa thức điểm z0 được gọi là không
điểm bậc m của hàm giải tích f nếu
f (z0 ) = . . . = f (m−1) |z0 = 0
nhưng
f (m) (z0 ) = 0.
Như vậy, z0 là không điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu khai triển (1.5.4)
có dạng
∞

f (z) =

k

∑ Ck (z − z0)

m

= (z − z0 )

k=m

∞

∑ Cm+k (z − z0)k .
k=0

ii. Trong khai triển (1.5.4), đặt
m = in f {k : Ck = 0}.
Khi đó
a. z0 là cực điểm nếu và chỉ nếu −∞ < m < 0. Trong trường hợp này −m
là bậc của cực điểm z0 .
b. z0 là bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu m = −∞.
iii. z0 là cực điểm bậc m của f (z) nếu và chỉ nếu nó là không điểm cấp m
1
.
của hàm
f (z)
iv. Điểm ∞ gọi là điểm bất thường của hàm giải tích f (z) trên |z| > R nếu
1
0 là điểm bất thường của hàm g(z) = f
. Như vậy, tồn tại R > 0 sao cho
z
f giải tích trên vành khăn |z| > R và không giải tích tại ∞. Khai triển Laurent
1
1

của hàm f
trong vành khăn 0 < |z| < đưa tới khai triển mà ta cũng
z
R
gọi là khai triển Laurent của hàm f (z) tại ∞, trong vành khăn |z| > R
∞

f (z) =

∑

n=−∞

17

Cn zn .

(1.5.6)


∞

Nhưng trong (1.5.6), chuỗi ∑ Cn zn là phần chính còn chuỗi
n=1

0

∑ Cn zn là

n=−∞

phần đều. Tuy nhiên, (1.5.6) cũng chính là khai triển Laurent của f tại 0
trong vành khăn R < |z| < +∞.
Phân loại tính bất thường của ∞ được suy tương ứng từ phân loại tính bất
1
thường của điểm 0 đối với hàm f
. Như vậy, nếu tồn tại
z
lim f (z) ∈ C

z→∞

thì z = ∞ là điểm thường của hàm f , tức là f có thể mở rộng giải tích tới
∞. Nếu tồn tại lim f (z) = ∞ thì tồn tại m > 0 để Cn = 0 với mọi n > m và
z→∞

Cm = 0. Khi đó, z = ∞ được gọi là cực điểm cấp m của f (z). Nếu không tồn
tại lim f (z) (trong C) thì có vô số m > 0 để Cm = 0. Khi đó, ∞ sẽ được gọi là
z→∞

điểm bất thường cốt yếu của f (z).
Như vậy, z = ∞ là cực điểm của mọi đa thức = const. Bậc của nó chính là
bậc của đa thức.

1.6. Khái niệm thặng dư và các định lý cơ bản của thặng dư
1.6.1. Định nghĩa và cách tính
Định nghĩa 1.6.1 (xem [3]). Giả sử f (z) là hàm giải tích trên vành khăn
0 < |z − z0 | < r, γ là chu tuyến bất kỳ (đặc biệt là đường tròn) vây quanh z0
nằm trong vành khăn đó. Khi đó, tích phân
1

2πi

f (η)dη,

(1.6.7)

γ

được gọi là thặng dư của f tại z0 .
Kí hiệu
res[ f , z0 ] =

1
2πi

f (η)dη.
γ

Tích phân (1.6.7) không phụ thuộc vào việc chọn chu tuyến γ. Vì vậy, (1.6.7)
chỉ phụ thuộc vào hàm f và điểm z0 (xem [3]). Nếu f (z) giải tích trên vành
18


khăn R < |z| < ∞ thì thặng dư của f tại ∞ là số
res[ f , ∞] =

1
2πi

f (η)dη = −

γ−

1
2πi

f (η)dη.
γ

Trong đó, γ là chu tuyến bao quanh điểm z = 0 nhưng nằm trong hình vành
khăn R < |z| < ∞.
Nếu biết khai triển Laurent của hàm f trong vành khăn 0 < |z − z0 | < r hoặc
trong R < |z| < ∞ (tại z0 = 0) thì theo định lý Laurent, ta có
res[ f , z0 ] =

1
2πi

f (η)dη = C−1 ,
γ

res[ f , ∞] =

1
2πi

f (η)dη = −C−1 .
γ−

Từ điều kiện và định nghĩa về điểm bất thường, nếu z0 là điểm bất thường bỏ
được của f (z) thì res[ f , z0 ] = 0.

Định lý 1.6.1 (xem [3]). i. Nếu z0 là cực điểm cấp 1 của hàm f thì
res[ f , z0 ] = lim (z − z0 ) f (z).
z→z0

ii. Nếu f (z) =

(1.6.8)

ϕ(z)
với ϕ(z0 ) = 0, ψ(z0 ) = 0 và ψ (z0 ) = 0 thì
ψ(z)
res[ f , z0 ] =

ϕ(z0 )
.
ψ (z0 )

(1.6.9)

iii. Nếu z0 là cực điểm bậc m > 1 của f thì
res[ f , z0 ] =

1
lim [(z − z0 )m f (z)](m−1) .
z→z
(m − 1)!
0

Ví dụ 1.2. Xét hàm f (z) =

sinz
.
z6

a) Tính res[ f , 0]. Vì
1
z3
f (z) = 6 z − + . . .
3!
z

=
19

1
1
1
−
+
−...
z5 3!z3 5!z

(1.6.10)


nên
res[ f , 0] =
b) Tìm res

1

.
5!

1
, i . Bởi vì
(1 + z2 )m
(z − i)m

1
1
=
(1 + z2 )m (z + i)m

nên nếu tính đạo hàm vế trái m − 1 lần, ta được
1
(z − i)
(1 + z2 )m

(m−1)

m

(−1)m−1 (m + 1) . . . (2m − 2)
=
.
(z + i)2m−1

Theo công thức (1.6.10), ta có
res

1
(−1)m (2m − 2)!
;
i
=
(1 + z2 )m
(m − 1)!(m − 1)!22m−1 i2m−1
(2m − 2)!
.
= −i 2m−1
2
[(m − 1)!]2

Định lý 1.6.2 (xem [3]). Nếu f giải tích tại ∞ thì
res[ f ; ∞] = lim z[ f (∞) − f (z)].
z→∞

Hệ quả 1.6.1 (xem [3]). Nếu ∞ là không điểm bậc m > 1 của hàm f (z), tức
1
là 0 là không điểm bậc m của hàm f
thì
z
C0 = C−1 = . . . = C−m+1 = 0,
và do đó
res[ f , ∞] = C−1 = 0.
Nếu m = 1, tức là
C0 = lim f (z) = 0
z→∞

thì

res[ f , ∞] = − lim f (z).
z→∞

20


1.6.2. Các định lý cơ bản về thặng dư
Định lý 1.6.3 (Định lý cơ bản về thặng dư, xem [3]). Giả sử hàm f (z) giải
tích trong miền Ω trừ ra chỉ một số hữu hạn điểm z1 , . . . , zN nằm trong miền
này. Khi đó, với mọi chu tuyến γ nằm trong Ω sao cho {z1 , . . . , zN } ⊂ Ωγ ⊂ Ω
N

f (η)dη = 2πi ∑ res[ f ; zk ].
k=1

γ

Chứng minh. Vậy các điểm z1 , . . . , zN bởi các chu tuyến γ1 , . . . , γN sao cho
miền Ωγk đôi một không giao nhau và Ωγk ⊂ Ωγ .
N

Theo định lý Cauchy đối với miền (N + 1) - liên Ωγ \

Ωγk , ta có
k=1

N

f (η)dη = 0.

f (η)dη + ∑
k=1 γ

γ

k

Vì vậy
N

f (η)dη =

N

f (η)dη = 2πi ∑ res[ f ; zk ].

∑
k=1 γ

γ

k=1

k

Định lý 1.6.4 (Định lý về thặng dư toàn phần, xem [3]). Cho f giải tích trên
toàn bộ mặt phẳng trừ ra một số hữu hạn điểm z1 , . . . , zN = ∞. Khi đó,
N

∑ res[ f ; zk ] = 0.

k=1

Chứng minh. Xét chu tuyến γ sao cho Ωγ , chứa tất cả z1 , . . . , zN−1 . Khi đó,
theo định lý 1.6.3, ta nhận được
N−1

f (η)dη = 2πi

∑ res[ f ; zk ].
k=1

γ

Mặt khác, theo định nghĩa
−

f (η)dη = 2πires[ f ; ∞].
γ

Cộng hai đẳng thức này ta có điều phải chứng minh.

21


Chương 2
Ứng dụng Thặng dư logarit để tìm số
không điểm của hàm giải tích
Trong chương này, chúng tôi sử dụng các kí hiệu Ω là tập con của tập số
phức C, γ là chu tuyến trơn từng khúc nằm trong Ω.

2.1. Thặng dư logarit
2.1.1. Không điểm của hàm giải tích
Định nghĩa 2.1.1 (xem [1]). Giả sử f (z) giải tích trong miền Ω tùy ý. Điểm
z0 ∈ Ω được gọi là không điểm (0 - điểm) của f nếu f (z0 ) = 0.
Giả sử z = z0 là 0 - điểm của f (z). Nếu khai triển Taylor của hàm f (z) ở
lân cận z0 có dạng
∞

f (z) =

∑ an(z − z0)n, am = 0

n=m

thì z0 được gọi là 0 - điểm cấp m của f (z). Trường hợp m = 1 được gọi là 0 điểm đơn.
2.1.2. Cực điểm của hàm giải tích
Định nghĩa 2.1.2 (xem [3]). Giả sử hàm biến phức f giải tích trên vành khăn
0 < |z − z0 | < r, tồn tại lim f (z) = ∞. Khi đó, z0 được gọi là cực điểm của f .
z→z0

Định lý 2.1.1 (xem [3]). i. Điểm z0 là cực điểm của hàm giải tích f (z) trên
0 < |z − z0 | < r nếu và chỉ nếu trong khai triển (1.5.4), tồn tại m > 0 để
22


C−m = 0 và Ck = 0, với k < −m. Số nguyên m > 0 gọi là bậc của cực điểm
z0 .
ii. Điểm z0 là điểm bất thường cốt yếu nếu và chỉ nếu tồn tại vô số k > 0
để C−k = 0.
2.1.3. Thặng dư logarit

Với mỗi hàm giải tích f (z), xét hàm số
ϕ(z) =

f (z)
.
f (z)

Bởi vì, về hình thức
ϕ(z) = [Ln f (z)]
nên hàm ϕ được gọi là đạo hàm logarit của hàm f .
Định nghĩa 2.1.3 (xem [3]). Giả sử f là hàm giải tích trên miền Ω trừ ra một
số hữu hạn các điểm, γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của
f sao cho Ωγ ⊂ Ω. Khi đó, tích phân
f (z)
dz
f (z)

1
2πi

(2.1.1)

γ

được gọi là thặng dư logarit của f đối với chu tuyến γ.
Định lý 2.1.2 (xem [3]). Giả sử f giải tích trên miền Ω trừ ra một số hữu hạn
các điểm, γ không chứa các cực điểm bất thường và 0 - điểm của f sao cho
Ωγ ⊂ Ω. Khi đó
1
f (z)

Nγ ( f ) =
dz + Pγ ( f ).
2πi
f (z)
γ

Trong đó, Nγ ( f ) là số 0 - điểm và Pγ ( f ) là số cực điểm của hàm trong Ωγ
(0 - điểm bậc m được tính m lần).
Chứng minh. Giả sử a1 , . . . , as là cực điểm bậc p1 , . . . , ps của hàm f còn
b1 , . . . , bl là 0 - điểm bậc α1 , . . . , αl của hàm f trong Ωγ . Ta chú ý rằng

23


f (z)
trong Ωγ . Theo
f (z)

a1 , . . . , as , b1 , . . . , bl là tất cả các điểm bất thường của
định lý 1.6.3, ta có
1
2πi
γ

s
1
f (z)
f
f
dz = ∑ res

; ak + ∑ res
;bj .
f (z)
f
f
j=1
k=1

(2.1.2)

Với mỗi k = 1, . . . , s viết
f (z) =

fk (z)
,
(z − ak ) pk

trong đó fk (z) với z đủ gần ak .
Bởi vì
−pk

−1

fk (z)(z − ak ) pk (z − ak ) pk
f (z)
=
f (z)
(z − ak )2pk
f (z)
−pk

=
+ k
z − ak fk (z)

fk (z)

:

fk (z)
(z − ak ) pk

ta có

f
; ak = −pk , k = 1, . . . , s.
f
Tương tự, với mỗi j = 1, . . . , 1 viết
res

(2.1.3)

f (z) = (z − b j )α j g j (z),
trong đó g j (z) = 0 với z đủ gần b j . Bởi vì
αj
f (z)
g (z)
=
+
f (z)
z − b j g(z)

nên

f
; b j = α j , j = 1, . . . , 1.
f
Thay (2.1.3) và (2.1.4) vào (2.1.2), ta được
res

1
2πi
γ

1
s
f (z)
dz = − ∑ Pk + ∑ α j
f (z)
j=1
k=1

= Nγ ( f ) − Pγ ( f ).
24

(2.1.4)