Cơ sở schauder trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:
CƠ SỞ SCHAUDER TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI KIÊN CƯỜNG
Sinh viên thực hiện: NGUYỄN THỊ HẢI
Tổ: Giải tích,

Khoa: Toán

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc nhất
tới TS. Bùi Kiên Cường - người thầy đã luôn quan tâm, tận tình hướng
dẫn, chỉ bảo và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình tôi
học tập và thực hiện khóa luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô giáo
trong khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy
cô trong tổ bộ môn Giải tích đã trang bị cho tôi những kiến thức quý báu
trong suốt quãng thời gian 4 năm tôi học đại học.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến bố mẹ, các em và những
người thân trong đại gia đình của tôi, những người đã luôn bên cạnh, động
viên và tiếp thêm sức mạnh cho tôi để tôi có thể học tập và hoàn thành
khóa luận một cách tốt nhất.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Hải


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn tận tình của TS. Bùi Kiên Cường.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong khóa luận đã được nêu
rõ trong phần Tài liệu tham khảo. Các kết quả trình bày trong khóa luận
là hoàn toàn trung thực, nếu sai tôi xin chịu mọi kỷ luật của khoa và nhà
trường đề ra.
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả
nào của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Hải


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian Banach và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3. Một số khái niệm và định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1. Không gian tiền Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4. Một số tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Cơ sở Schauder trong không gian Banach . . . . . . . . . .

12

2.1. Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Cơ sở Schauder và đối ngẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Các cơ sở vô điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.4. Các ví dụ của không gian không có cơ sở vô điều kiện . . . . . .

45

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3


MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết hàm và giải tích hàm có tầm quan trọng đặc biệt đối với toán
học cơ bản và toán học ứng dụng. Nội dung của nó rất phong phú, đa dạng.
Do kiến thức trên lớp với lượng thời gian eo hẹp nên khó có thể đi sâu
nghiên cứu một vấn đề nào đó của giải tích hàm. Với mong muốn được tìm
hiểu sâu hơn về bộ môn này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và
trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp cùng với sự giúp đỡ của thầy
giáo - TS. Bùi Kiên Cường, tôi xin mạnh dạn trình bày những hiểu biết
của mình về đề tài: "Cơ sở Schauder trong không gian Banach".
2. Mục đích nghiên cứu
Quá trình thực hiện đề tài đã giúp tôi bước đầu làm quen với việc nghiên
cứu khoa học và tìm hiểu sâu hơn về giải tích hàm, đặc biệt là tìm hiểu sâu
hơn về cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gian Banach tổng
quát.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật những
tính chất đặc trưng của cơ sở Schauder, cơ sở vô điều kiện trong không gian
Banach.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp: nghiên
cứu lý thuyết, phương pháp giải tích hàm.
5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

bao gồm 2 chương


• Kiến thức chuẩn bị.
• Cơ sở Schauder trong không gian Banach.
Trong suốt quá trình nghiên cứu, được thầy giáo - TS. Bùi Kiên Cường
chỉ bảo, giúp đỡ tận tình, tôi đã hoàn thành khóa luận này. Một lần nữa cho
tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy.
Do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khóa luận không tránh khỏi những sai sót. Tôi rất mong các thầy giáo, cô
giáo cùng các bạn sinh viên trong khoa đóng góp ý kiến để đề tài này được
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5năm 2015
Sinh viên

Nguyễn Thị Hải

2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian véc tơ trên trường số K (K là
trường số thực R hoặc trường số phức C). Một ánh xạ · : X → R được
gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn 4 tiên đề:
1. x

0 với mọi x ∈ X.

2. x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
3. λ x = |λ | x với mọi vô hướng λ , với mọi x ∈ X.
4. x + y

x + y với mọi x, y ∈ X.

Không gian véc tơ X cùng với chuẩn · trong nó, được gọi là không
gian tuyến tính định chuẩn hay không gian định chuẩn. Kí hiệu (X, · ) hay
đơn giản là X.
Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian định chuẩn.
a) Một dãy các véc tơ {xn } trong X hội tụ tới x ∈ X nếu lim xn − x = 0,
n→∞

3


nghĩa là, nếu:
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀n

N, xn − x < ε.

Trong trường hợp này, ta viết xn → x hoặc lim xn = x.
n→∞

b) Một dãy các véc tơ {xn } trong X là dãy Cauchy nếu lim

m,n→∞

xn − xm = 0,

nghĩa là, nếu:
∀ε > 0, ∃N > 0, ∀m, n

N, xn − xm < ε.

Dễ thấy mọi dãy hội tụ trong không gian định chuẩn đều là dãy Cauchy.
Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng. Ta nói không gian định
chuẩn X là không gian Banach nếu nó thỏa mãn mọi dãy Cauchy trong X
đều hội tụ.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy {xn } trong không gian Banach X được gọi là:
a) Bị chặn dưới nếu inf xn > 0.
b) Bị chặn trên nếu sup xn < ∞.
c) Chuẩn hóa nếu xn = 1, ∀n.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian véc tơ X và · 1 , ·
X. Hai chuẩn ·

1

và ·

2

2

là hai chuẩn trên

gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương α,

β sao cho
α x

1

x

β x 1 , ∀x ∈ X.

2

1.1.2. Không gian Banach và một số ví dụ
Ví dụ 1.1.1. Cho f là hàm giá trị phức xác định trên tập E ⊂ R. Khi đó
với 1

p < ∞, đặt

L p (E) =







f : E −→ C :



E

4

| f (x)| p dx < ∞ .



1/p

Đây là không gian Banach với chuẩn f

Lp

p

| f (x)| dx

=

.

E

Ví dụ 1.1.2. Đặt C(E) là tập gồm các phiếm hàm đi từ tập E vào tập số
phức C. Nếu E là tập compact trong R thì mọi phiếm hàm liên tục trên E
đều bị chặn. Trong trường hợp này, C(E) là không gian Banach với chuẩn
sup:
f

L∞

= sup | f (x)|
x∈E

p < ∞, đặt l p = c = (cn ) : ∑ |cn | p < ∞ . Đây là

Ví dụ 1.1.3. Với 1

n∈Z

một không gian Banach với chuẩn
1/p

c

lp

= cn

lp

∑ |cn| p

=

.

n∈Z

Ví dụ 1.1.4. Cho không gian véc tơ l 2 . Đối với vectơ bất kì x = (xn ) ∈ l 2

ta đặt
∞

∑ |xn|2.

x =

n=1

Khi đó l 2 là một không gian Banach.
1.1.3. Một số khái niệm và định lý cơ bản
Định lý 1.1.1. (Bất đẳng thức H¨older)
1
Với 1 p < ∞ và xác định p thỏa mãn hệ thức 1p + p1 = 1. Đặt = ∞ và
0
1
= 0.
∞
Nếu f ∈ L p (E) và g ∈ L p (E) thì f g ∈ L1 (E) và
fg

L1

f

Lp

g

Lp

.

Với 1 < p < ∞, bất đẳng thức này tương đương với

1/p 
| f (x) g (x)| dx
E



| f (x)| p 

E


E

5

1/p
|g (x)| p 

.


Định nghĩa 1.1.5. Không gian tuyến tính định chuẩn X gọi là không gian
tách được nếu tồn tại một tập đếm được trù mật trong X.
Ví dụ 1.1.5. Với 1

p < ∞ thì các không gian l p , L p (E) là tách được.

Định nghĩa 1.1.6. Cho {xn } là một dãy tùy ý trong không gian định chuẩn
X.
a) Bao tuyến tính hữu hạn của dãy {xn } là tập hợp tất cả các tổ hợp
tuyến tính hữu hạn các phần tử của dãy {xn }. Kí hiệu
N

span {xn } =

∑ anxn, ∀N > 0, ∀a1, a2, ..., an ∈ K

.

n=1

b) Bao đóng tuyến tính của {xn } là bao đóng của bao tuyến tính hữu hạn
và được kí hiệu là span {xn }.
c) {xn } là đầy trong X nếu span {xn } = X hay span {xn } trù mật trong X.
Định nghĩa 1.1.7. (Toán tử tuyến tính)
Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên trường K. Một ánh
xạ A : X → Y được gọi là toán tử. Nếu Y = K thì toán tử A : X → K là một
phiếm hàm trên X.
A là tuyến tính nếu A (ax + by) = aAx + bAy, ∀a, b ∈ K, ∀x, y ∈ X
A là đơn ánh hoặc 1-1 nếu Ax = Ay ⇔ x = y.
Ảnh hay miền giá trị của A là Rang (A) = A (X) = {Ax : x ∈ X}.
A là toàn ánh hoặc lên nếu Rang (A) = Y .
Ánh xạ tuyến tính A được gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số M > 0 sao
cho Ax ≤ M x
Chuẩn của toán tử tuyến tính bị chặn (chuẩn của toán tử) A là:

A = sup T x .
x =1

A được gọi là bảo toàn chuẩn hoặc đẳng cự nếu Ax
6

Y

= x

X , ∀x ∈ X.


Định nghĩa 1.1.8. (Không gian liên hợp)
Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn trên trường K. Ta gọi không
gian X ∗ các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp
(hay không gian đối ngẫu) của không gian X.
Định lý 1.1.2. Không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là
không gian Banach với chuẩn x∗

X∗

= sup | x, x∗ |.
x

X =1

Định lý 1.1.3. Nếu không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X
là tách được, thì không gian X là tách được.
Định nghĩa 1.1.9. Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không

gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X, kí hiệu X ∗∗ .
Định lý sau đây nêu lên mối liên hệ giữa không gian định chuẩn X và
không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X.
Định lý 1.1.4. Tồn tại một ánh xạ đẳng cự tuyến tính từ không gian định
chuẩn X vào không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của không gian X.
Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ
nếu X = X ∗∗ .
Nhận xét: Không gian phản xạ là không gian Banach. Sự hội tụ theo
chuẩn trong không gian định chuẩn X còn được gọi là hội tụ mạnh. Ngoài
ra, còn một số khái niệm về hội tụ, chẳng hạn:
Định nghĩa 1.1.11. Giả sử X là không gian Banach.
1. Dãy {xn } các phần tử của X hội tụ yếu tới điểm x ∈ X nếu :
∀x∗ ∈ X ∗ , lim xn , x∗ = x, x∗ .
n→∞

Khi đó ta viết xn → x yếu.
7


2. Dãy {xn∗ } các phiếm hàm của X ∗ hội tụ yếu* tới điểm x∗ ∈ X ∗ nếu
∀x ∈ X, lim xn∗ , x = x∗ , x .
n→∞

Trong trường hợp này ta viết xn∗ → x∗ yếu* .
Chú ý rằng nếu X là không gian phản xạ thì X = X ∗∗ , do đó xn∗ → x∗ yếu
trong X ∗ khi và chỉ khi xn∗ → x∗ yếu* trong X ∗ .

1.2. Không gian Hilbert
1.2.1. Không gian tiền Hilbert
Định nghĩa 1.2.1. Cho H là không gian tuyến tính trên trường K (K là

trường số thực R hoặc trường số phức C). Ta gọi là tích vô hướng trên
không gian H mọi ánh xạ từ tích Descartes H × H vào trường K, kí hiệu
·, · , thỏa mãn các tiên đề:
1. ∀x, y ∈ H, y, x = x, y .
2. ∀x, y, z ∈ H, x + y, z = x, z + y, z .
3. ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ P, αx, y = α x, y .
4. ∀x ∈ H, x, x > 0 nếu x = θ (kí hiệu θ là phần tử không), x, x = 0
nếu x = θ .
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y. Cặp (H, ·, · )
được gọi là không gian tiền Hilbert.
Từ định nghĩa ta thấy rằng nếu K là thực thì tích vô hướng ·, · chính là
một dạng song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là
không gian tiền Hilbert thực.
Định lý 1.2.1. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó x =
định một chuẩn trên H.
8

x, x xác


Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với
chuẩn trên.
1.2.2. Không gian Hilbert
Một không gian tiền Hilbert, xem như không gian định chuẩn, có thể
đầy đủ hoặc không đầy đủ.
Định nghĩa 1.2.2. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với
chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert.
Cũng tương tự như trường hợp không gian tiền Hilbert, với trường R thì
ta có không gian Hilbert thực.
1.2.3. Các ví dụ

Ví dụ 1.2.1. Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng:
n

x, y = ∑ xi yi trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn .
i=1

Ví dụ 1.2.2. Kí hiệu l 2 là không gian vectơ các dãy số phức x = (xn ) sao
∞

cho chuỗi số ∑ |xn |2 hội tụ. ∀x = (xn ) ∈ l 2 , ∀y = (yn ) ∈ l 2 , đặt :
n=1
∞

x, y =

∑ xn yn

n=1

thì không gian vectơ l 2 cùng với tích vô hướng trên là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.2.3. L p (E) là không gian Hilbert khi p = 2 và tích vô hướng được
xác định bởi :
f (x)g (x)dx.

f,g =
E

Khi p = 2 thì L p (E) không là không gian Hilbert.
9

1.2.4. Một số tính chất cơ bản
Định lý 1.2.2. Cho H là một không gian Hilbert và x, y ∈ H. Ta có các bất
đẳng thức sau:
1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ) | x, y |

x

y .

2. x = sup | x, y |.
y =1

3. (Đẳng thức hình bình hành)
x+y

2

+ x−y

2

=2

x

2

+ y

2

.

Mệnh đề 1.2.1. Hai phần tử x, y trong không gian tiền Hilbert H được gọi
là trực giao nếu x, y = 0, kí hiệu x⊥y.
Mệnh đề 1.2.2. Một tập hợp S = {xi }i∈T trong không gian tiền Hilbert H
được gọi là hệ trực giao nếu các phần tử thuộc S trực giao với nhau từng
đôi một. Nếu mọi phần tử của hệ trực giao S có chuẩn bằng 1 thì S được
gọi là hệ trực chuẩn.
Định lý 1.2.3. (Đẳng thức Pythagore) Nếu {x1 , x2 , ..., xn } là một hệ trực
giao trong H thì
n

∑ xi

i=1

2

n

= ∑ xi

2

i=1

Định lý 1.2.4. Giả sử {xn }n∈T là một hệ trực giao trong không gian Hilbert

∞

∞

H. Khi đó, chuỗi ∑ xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi ∑ xn
∞

và

∑ xn
n=1

2

n=1
∞

n=1

= ∑ xn 2 .
n=1

Chú ý: Nếu {en }∞
n=1 là hệ trực chuẩn ta có
∞

∑ αnen

2

∞

=

n=1

∑

n=1

10

αn 2 .

2

hội tụ


Mệnh đề 1.2.3. Hệ trực chuẩn {en }∞
n=1 trong không gian Hilbert được gọi
là một cơ sở trực chuẩn nếu không gian con sinh bởi hệ này là trù mật
trong H.
Ví dụ 1.2.4. Các ví dụ:
1. Tập hợp {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)} là một cơ sở trực chuẩn trong
R3 .
2. Dãy { fn : n ∈ Z} với fn (x) = exp (2πsinx) tạo thành hệ cơ sở trực
giao cho không gian các hàm phức L2 ([0, 1]) .
Mệnh đề 1.2.4. Cho H là một không gian Hilbert. Dãy điểm {xn } trong
H được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x trong H nếu với mọi y ∈ H ta có

lim xn , y = x, y .

n→∞

ω

Kí hiệu: xn −
→ x.
Định lý 1.2.5. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm {xn } ⊂ H hội tụ yếu
khi và chỉ khi dãy đó thỏa mãn các điều kiện:
1. Dãy điểm {xn } bị chặn theo chuẩn trong không gian H.
2. Dãy số xn , y (n = 1, 2, ...) hội tụ với mỗi y thuộc tập trù mật khắp
nơi trong không gian H.

11


Chương 2
Cơ sở Schauder trong không gian
Banach
2.1. Sự tồn tại của cơ sở và ví dụ
Định nghĩa 2.1.1. Một dãy {xn }∞
n=1 trong không gian Banach X được gọi
là cơ sở Schauder của X nếu với mọi x ∈ X có duy nhất một dãy các
∞

∞
vô hướng {an }∞
n=1 sao cho x = ∑ an xn . Dãy {xn }n=1 mà là một cơ sở
n=1

Schauder của bao tuyến tính đóng của nó thì được gọi là một dãy cơ sở.
Trong đây chúng ta sẽ không quan tâm tới bất kỳ kiểu cơ sở nào trong
không gian Banach vô hạn chiều bên cạnh cơ sở Schauder. Vì vậy chúng
ta sẽ thường xuyên bỏ qua từ Schauder. Bên cạnh cơ sở Schauder ta sẽ chỉ
bắt gặp cơ sở đại số trong không gian hữu hạn chiều. Điều này không gây
nên bất kỳ sự nhầm lẫn nào, bởi các khái niệm số liên quan trực tiếp tới
cơ sở Schauder (giống như hằng số cơ sở được định nghĩa ở dưới) đều có
ý nghĩa và cũng sẽ được sử dụng trong phạm vi của cơ sở đại số trong
các không gian hữu hạn chiều. Rõ ràng, một không gian X với một cơ sở
Schauder {xn }∞
n=1 có thể được xem như một không gian dãy bởi đồng nhất
∞

mỗi x = ∑ an xn với duy nhất dãy các hệ số (a1 , a2 , a3 , ...). Điều quan trọng
n=1

12


là phải chú ý rằng để mô tả một cơ sở Schauder ta phải xác định các véctơ
cơ sở không chỉ như một tập mà còn là một dãy được sắp.
Cho (X, · ) là không gian Banach với một cơ sở {xn }∞
n=1 . Với mỗi
n

∞

x = ∑ an xn trong X, biểu thức |||x||| = sup ∑ ai xi là hữu hạn. Rõ ràng,
n

n=1

|||·||| là một chuẩn trên X và x

i=1

|x| , ∀x ∈ X. Ta cũng thấy rằng X

cũng là đủ đối với chuẩn |||·||| và như vậy, bằng nguyên lý định lý ánh xạ
mở, chuẩn · và |||·||| là tương đương. Những chú ý này chứng minh cho
mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.1.1. Cho (X, · ) là không gian Banach với một cơ sở Schauder
∗
{xn }∞
n=1 . Khi đó với mọi n ∈ N , các phép chiếu Pn : X −→ X xác định bởi
n

∞

Pn

∑ ai xi = ∑ ai xi là các toán tử tuyến tính bị chặn và sup Pn <∞.
i=1

n

i=1

Các phép chiếu {Pn }∞

n=1 được gọi là các phép chiếu tự nhiên liên kết với
{xn }∞
n=1 .
Số sup Pn được gọi là hằng số cơ sở của {xn }∞
n=1 .
n

Một cơ sở mà có hằng số cơ sở bằng 1 được gọi là cơ sở đơn điệu. Nói cách
khác, một cơ sở là đơn điệu nếu với mọi cách chọn các vô hướng {an }∞
n=1 ,
∞

n

dãy số

là không giảm. Mọi cơ sở Schauder {xn }∞
n=1 là đơn

∑ ai xi
i=1

n=1

điệu đối với chuẩn |||x||| = sup Pn x đã được sử dụng ở trên. Thật vậy,
n

| Pn x | = sup Pm Pn x = sup
m

Pm x

|||x||| .

1 m n

Như vậy, cho bất kì cơ sở Schauder {xn }∞
n=1 nào của X, ta có thể chuyển
sang chuẩn tương đương trong X để cơ sở đã cho là đơn điệu. Có một tiêu
chuẩn đơn giản và hữu dụng để kiểm tra khi nào một dãy cho trước là một
cơ sở Schauder.
∞
Mệnh đề 2.1.2. Cho {xn }∞
n=1 là một dãy các véctơ trong X. Khi đó {xn }n=1

là một cơ sở Schauder của X khi và chỉ khi ba điều kiện sau được thỏa mãn:
13


(i) xn = 0 với mọi n.
(ii) Tồn tại hằng số K sao cho với mọi cách chọn dãy vô hướng {ai }∞
i=1
và các số nguyên n < m, ta có
m

n

∑ ai xi

K

∑ ai xi

.

i=1

i=1

(iii) Bao đóng tuyến tính của {xn }∞
n=1 là X.
Chứng minh. Điều kiện cần của (i) và (iii) là rõ ràng từ định nghĩa cơ sở
Schauder, trong khi (ii) được suy ra từ Mệnh đề 2.1.1. Ngược lại, nếu (i)
∞

và (ii) thỏa mãn thì ∑ an xn suy ra an = 0 với mọi n. Điều này chứng tỏ
n=1

tính duy nhất của sự khai triển trong các số hạng của {xn }∞
n=1 .
Để chứng minh với mọi x ∈ X có một khai triển như vậy, thì nhờ (iii) chỉ
∞

cần chỉ ra rằng không gian tất cả các phần tử có dạng ∑ an xn là không
n=1

gian tuyến tính đóng. Mà điều này có thể chứng minh dễ dàng nhờ sử dụng
(ii).
Rõ ràng, (i) và (ii) của Mệnh đề 2.1.2, tự nó tạo thành điều kiện cần và
đủ để dãy {xn }∞

n=1 là dãy cơ sở.
Một cơ sở {xn }∞
n=1 được gọi là chuẩn hóa nếu xn = 1 với mọi n. Rõ ràng,
khi {xn }∞
n=1 là một cơ sở Schauder của X, thì dãy xn

xn

∞
n=1

là cơ sở

chuẩn hóa trong X.
n

Các véctơ đơn vị có dạng en = (0, 0, ..., 1, 0, ...), n = 1, 2, ... tạo thành một
cơ sở đơn điệu và chuẩn hóa trong không gian c0 và l p , 1

p < ∞ . Đối

với không gian c, dãy vô hướng hội tụ, một cơ sở Schauder cho bởi:
x1 = (1, 1, 1, ...)

và với n > 1: xn = en−1

Khai triển của x = (a1 , a2 , ...) ∈ c đối với cơ sở này là
x = (lim an )x1 + (a1 − lim an )x2 + (a2 − lim an )x3 + · · ·
n

n

n

14


Ví dụ quan trọng của cơ sở Schauder là hệ Haar trong L p (0, 1), với 1
p < ∞.
Định nghĩa 2.1.2. Dãy các hàm {χn (t)}∞
n=1 xác định bởi χ1 (t) ≡ 1 và với
k = 0, 1, 2, ..., l = 1, 2, ..., 2k ,



1, nếu t ∈ (2l − 2) 2−k−1 , (2l − 1)·2−k−1 .



χ2k +l (t) = −1, nếu t ∈ (2l − 1) 2−k−1 , 2l·2−k−1 .




 0, nếu trái lại.
được gọi là hệ Haar.
Hệ Haar (theo thứ tự đã cho) là một cơ sở đơn điệu (nhưng rõ ràng không
chuẩn hóa) của L p (0, 1) với mọi 1

p < ∞. Thật vậy, vì bao tuyến tính

của hệ Haar gồm tất cả các hàm đặc trưng của các khoảng nhị nguyên (tức
là, các khoảng có dạng l·2−k , (l + 1)·2−k ), dễ thấy (iii) được thỏa mãn.
Ta chỉ cần kiểm tra (ii) thỏa mãn với K bằng 1. Cho {ai }∞
i=1 là dãy các
n

vô hướng bất kì, cho n là số nguyên và cho f (t) = ∑ a.χi (t) và g(t) =
i=1
n+1

∑ a.χi (t). Sự khác biệt duy nhất giữa f và g là trên một vài khoảng nhị
i=1

nguyên I, khi f có giá trị hằng b, thì g có giá trị b + an+1 trên nửa thứ nhất
của I và b − an+1 trên nửa thứ hai. Khi đó, với mọi p
|b − an+1 | p

2|b| p , ta nhận được f

1, |b + an+1 | p +

g .

Bằng cách lấy tích phân hệ Haar hay chính xác hơn bằng cách đặt:
t

ϕ1 (t) ≡ 1;

ϕn (t) = χn−1 (u)du,

n>1

0

chúng ta thu được cơ sở nổi tiếng và quan trọng khác. Dãy {ϕn }∞
n=1 được
gọi là hệ Schauder. Hệ Schauder là một cơ sở đơn điệu của C(0, 1). Thật
vậy, bao tuyến tính của {ϕn }∞
n=1 gồm chính xác các hàm tuyến tính liên tục
từng khúc trên [0,1] mà các điểm nút là các điểm nhị nguyên. Điều này cho
thấy (iii) của Mệnh đề 2.1.2 được thỏa mãn. Từ đó, với mỗi số nguyên n,
15


khoảng mà trên đó hàm ϕn+1 (t) khác 0 cũng như tất cả các hàm {ϕi (t)}ni=1
là tuyến tính, suy ra (ii) của Mệnh đề 2.1.2 với K = 1.
Cơ sở Schauder được xây dựng trong nhiều không gian Banach quan trọng
khác xuất hiện trong giải tích. Điều quan tâm đặc biệt theo hướng này
là kết quả của Z.Ciesielski và J.Domsta và S.Schonefeld người đã chứng
minh được sự tồn tại của cơ sở trong Ck (I n ) (không gian của tất cả các hàm
thực f (t1 ,t2 , ...,tn ),ti ∈ [0, 1] có đạo hàm cấp k khả vi liên tục, với chuẩn
tự nhiên) và kết quả của S.V.Botschkariev người đã chứng minh được sự
tồn tại của cơ sở trong đại số đĩa A (không gian bao hàm tất cả các hàm
f (z) giải tích trên |z| < 1, với chuẩn sup). Trong những bài báo này, vai
trò quan trọng là hệ Franklin. Hệ Franklin gồm các dãy hàm { fn (t)}∞
n=1
trên [0,1], thu được từ hệ Schauder {ϕn }∞
n=1 bằng phương pháp trực giao
hóa Gram-Schmidt (với quan hệ độ đo Lesbegue trên [0,1]). Hệ Franklin

(theo định nghĩa) là dãy trực chuẩn mà được sinh ra từ cơ sở Schauder của
C(0, 1).
Câu hỏi liệu mọi không gian Banach vô hạn chiều có chứa một dãy cơ
sở đã có một câu trả lời tích cực. Thực tế đơn giản này đã được biết đến với
Banach.
Định lý 2.1.1. Mọi không gian Banach vô hạn chiều đều chứa một dãy cơ
sở.
Chứng minh dựa trên bổ đề sau.
Bổ đề 2.1.1. Cho X là một không gian Banach vô hạn chiều. Cho B ⊂ X là
không gian con hữu hạn chiều và số ε > 0. Khi đó tồn tại x ∈ X với x = 1
sao cho y

(1 + ε) y + λ x với mọi y ∈ B và với mọi vô hướng λ .

Chứng minh. Giả sử ε < 1. Lấy {yi }m
i=1 là các phần tử có chuẩn 1 trong
B sao cho ∀y ∈ B mà y = 1, tồn tại i để y − yi < ε/2. Lấy {y∗i }m
i=1 là
16


các phần tử có chuẩn 1 trong X ∗ sao cho y∗i (yi ) = 1, ∀i. Lấy x ∈ X sao cho
x = 1 và y∗i (x) = 0, ∀i. Véc tơ x này có tính chất đòi hỏi.
Thật vậy, lấy y ∈ Y, y = 1 và lấy i sao cho y − yi

ε/2 và một vô hướng

λ . Thì
yi + λ x − ε 2

y+λx

y∗i (yi + λ x) − ε 2 = 1 − ε 2

y /(1 + ε)

Chứng minh định lý 2.1.1. Lấy ε là số dương tùy ý và {εn }∞
n=1 là các số
∞

dương sao cho ∏ (1 + εn )

1 + ε.

n=1

Lấy x1 là phần tử bất kì trong X có chuẩn 1. Từ Bổ đề 2.1.1 ta có thể
quy nạp một dãy các véc tơ đơn vị {xn }∞
n=2 sao cho với mọi n
y

1

(1 + εn ) y + λ xn+1 , ∀y ∈ span {x1 , ..., xn }, với mọi vô hướng λ .

Dãy {xn }∞
n=1 là một dãy cơ sở trong X mà hằng số cơ sở

1+ε

∞

(nhận xét rằng Pn

∏ (1 + εi ), n = 1, 2, ...).
i=n

Định lý được chứng minh.
Chú ý: Lưu ý rằng chứng minh của Bổ đề 2.1.1 là đủ để lấy một véc tơ x có
x = 1 và |y∗i (x)| < ε 4 với i = 1, ..., m.
Thật vậy, nếu y = 1 và |λ |

2 thì y + λ x

y , trong khi nếu

|λ | < 2 thì tính toán trong chứng minh của Bổ đề 2.1.1 cho ra y + λ x >
(1 − ε) y . Nhận xét này và chứng minh của Định lý 2.1.1 cho thấy nếu
ω

{xn }∞
→0
n=1 là một dãy các véc tơ trong X sao cho lim inf xn > 0 và xn −
n

thì

{xn }∞
n=1

có một dãy con

{xnk }∞
k=1

là dãy cơ sở.

Một khi biết rằng mọi không gian Banach đều có cơ sở Schauder, nó là tự
nhiên để nâng cao câu hỏi về tính duy nhất của cơ sở. Để nghiên cứu vấn
đề này tôi giới thiệu trước hết khái niệm tính tương đương của các cơ sở.
∞
Định nghĩa 2.1.3. Hai cơ sở {xn }∞
n=1 của X và {yn }n=1 của Y được gọi là

17


∞

∞

tương đương nếu chuỗi ∑ an xn hội tụ khi và chỉ khi chuỗi ∑ an yn hội tụ.
n=1

n=1

Như vậy các cơ sở là tương đương nếu không gian dãy liên kết với X
∞
bởi {xn }∞
n=1 là đồng nhất với không gian dãy liên kết với Y bởi {yn }n=1 . Từ

∞
nguyên lý đồ thị đóng, suy ra {xn }∞
n=1 tương đương với {yn }n=1 khi và chỉ

khi có một phép đẳng cấu T từ X lên Y mà T xn = yn , ∀n.
Định lý 2.1.2. Cho X là không gian Banach vô hạn chiều với một cơ sở
Schauder. Khi đó có không đếm được các cơ sở chuẩn hóa không tương
đương với nhau trong X.
Các cơ sở Schauder có các tính chất ổn định nào đó. Nếu chúng ta xáo
trộn mỗi phần tử của một cơ sở bởi một véctơ đủ nhỏ ta vẫn có được một cơ
sở. Cơ sở bị xáo trộn là tương đương với cơ sở ban đầu. Kết quả đơn giản
trong hướng này là mệnh đề hữu dụng sau.
Mệnh đề 2.1.3. (i) Cho {xn }∞
n=1 là một cơ sở chuẩn hóa của không gian
Banach X với hằng số cơ sở K. Cho {yn }∞
n=1 là một dãy các véctơ trong
∞

X với ∑ xn − yn < 1 2K. Khi đó, {yn }∞
n=1 là một cơ sở của X tương
n=1

∞
∞
đương với {xn }∞
n=1 (nếu {xn }n=1 là một dãy cơ sở thì {yn }n=1 cũng sẽ là

một dãy cơ sở mà tương đương với {xn }∞
n=1 ).
(ii) Cho {xn }∞

n=1 là một dãy cơ sở chuẩn hóa trong một không gian
Banach X với hằng số cơ sở K. Giả sử có một phép chiếu P từ X lên
∞

∞
[xn ]∞
n=1 . Cho {yn }n=1 là một dãy các véc tơ trong X sao cho ∑ xn − yn
n=1

1 8K P . Khi đó Y = [yn ]∞
n=1 là có phần bù trong X.
∞

∞

n=1

n=1

Chứng minh. Với x = ∑ an xn ∈ X, định nghĩa T x = ∑ an yn . Chuỗi này

18


hội tụ và
∞

(∗)

||x − T x||

∞

∑ |an|||xn − yn||

max |an | ∑ ||xn − yn ||
n

n=1

n=1

∞

2K||x|| ∑ ||xn − yn ||.
n=1

Để chứng minh (i) ta có nhận xét chính xác rằng với các giả thiết của nó
I − T < 1 và do đó T là tự đẳng cấu của X.
Để chứng minh (ii) ta có nhận xét rằng nếu ta đặt y = T x, thì y − x <
4 và đặc biệt x < 2 y và T < 2. Như vậy

x

∞

∞

T Py − y = T P

∑ an (yn − xn)

< 8K P

y

∑

xn − yn = δ y

n=1

n=1

với δ < 1. Như vậy S = T P|Y là toán tử khả nghịch trên Y và S−1 T P là một
phép chiếu từ X lên Y .
Một phương pháp rất hữu dụng để thu được dãy cơ sở mới, bắt đầu từ
một cơ sở đã cho hoặc dãy cơ sở, là xem xét các cơ sở khối.
Định nghĩa 2.1.4. Cho {xn }∞
n=1 là một dãy cơ sở trong không gian Banach X. Một dãy các véctơ khác không u j
p j+1

∑
n=p j +1

∞
j=1

trong X có dạng u j =

an xn với {an }∞
n=1 là dãy các vô hướng và p1 < p2 < · · · là dãy tăng

của các số nguyên, được gọi là một dãy cơ sở khối, hoặc ngắn gọn là cơ sở
khối của {xn }∞
n=1 .
Rõ ràng, cơ sở khối u j

∞
j=1

của {xn }∞
n=1 là một dãy cơ sở mà hằng số

cơ sở không vượt quá hằng số cơ sở của {xn }∞
n=1 . Tính hữu dụng của khái
niệm cơ sở khối dựa rất nhiều vào nhận xét đơn giản sau đây.
Mệnh đề 2.1.4. Cho X là một không gian Banach với cơ sở Schauder
{xn }∞
n=1 . Cho Y là không gian con đóng vô hạn chiều của X. Khi đó tồn
19


tại không gian con Z của Y có một cơ sở tương đương với cơ sở khối của
{xn }∞
n=1 .
Chứng minh. Vì Y là không gian vô hạn chiều nên với mọi số nguyên p,
∞

phần tử y ∈ Y với y = 1 có dạng y =

∑ an xn . Ta xây dựng cơ sở khối
n=p+1

của

{xn }∞
n=1

bằng quy nạp.
∞

Chọn bất kì y1 = ∑ an,1 xn ∈ Y với ||y|| = 1.
n=1

p1

Lấy p1 là số nguyên sao cho ||y1 − u1 || < 1/4K, ở đó u1 = ∑ an,1 xn và K
n=1

là hằng số cơ sở của {xn }∞
n=1 .
∞
Tiếp theo, lấy y2 = ∑ an,2 xn
n=p1 +1
||y2 − u2

|| < 1/42 K,

∈ Y với y2 = 1 và số nguyên p2 sao cho

p2

ở đó u2 =

Cứ tiếp tục như thế. Dãy
∞

khối của {xn }∞
n=1 . Vì ∑

∑

an,2 xn .

n=p1 +1
∞
u j j=1 thu

được theo cách này là một cơ sở

y j − u j < 1/3K, từ Mệnh đề 2.1.3 suy ra ngay

j=1

yj

∞
j=1

là một dãy cơ sở tương đương với u j

Không gian Z = y j

∞
j=1

∞
.
j=1

có tính chất đòi hỏi.

Trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.4, ta đã sử dụng các véc tơ y j ∈ Y
mà khai triển với phần bù của cơ sở {xn }∞
n=1 bắt đầu xa tùy ý. Trong một
vài trường hợp cụ thể, điều này là quan trọng để có thể chọn một dãy cơ sở
sinh bởi tập con Y của X mà không phải là một không gian con. Nhận xét
thú vị mà chúng ta cần trong chứng minh của Mệnh đề 2.1.4 là điều sau
∞

đây: Với mọi ε > 0 và với mọi số nguyên p, tồn tại y = ∑ an xn trong Y
n=1
p

với ||y||

1 và

∑ an xn

ε.

n=1

Mệnh đề 2.1.5. Cho {xn }∞
n=1 là một cơ sở Schauder của không gian Ba∞

nach X. Cho yk = ∑ an,k xn , k = 1, 2, ..., là một dãy các vectơ sao cho
n=1

20


lim sup yk > 0 và lim an,k = 0 với mọi n (đây là trường hợp đặc biệt nếu
k

k
ω

yn −
→ 0 nhưng ||yk ||

∞
j=1

0). Khi đó tồn tại một dãy con yk j

của {yk }∞
k=1

tương đương với cơ sở khối của {xn }∞
n=1 .
Mệnh đề 2.1.4 cho phép chúng ta cung cấp một sự thay thế chứng minh
của Định lý 2.1.1. Nó rõ ràng là đủ để chứng minh Định lý 2.1.1 đối với
không gian Banach tách được X. Mỗi không gian như vậy là đẳng cự với
một không gian con của C (0, 1). Vì thế, từ Mệnh đề 2.1.4, X có một không
gian con với một cơ sở tương đương với cơ sở khối của Hệ Schauder trong
C (0, 1).

2.2. Cơ sở Schauder và đối ngẫu
Cho X là một không gian Banach với một cơ sở Schauder {xn }∞
n=1 . Với
mọi số nguyên n, phiếm hàm tuyến tính xn∗ trên X, xác định bởi
xn∗

∞

∑ ai xi = an , theo Mệnh đề 2.1.1, là phiếm hàm tuyến tính bị chặn.
i=1

Thật vậy, xn∗

2K

xn ở đó K là hằng số cơ sở của {xn }∞
n=1 . Các

m
∗
phiếm hàm {xn∗ }∞

n=1 này mà đặc trưng bởi quan hệ xn (xm ) = δn , được gọi
∞
là các phiếm hàm song trực giao liên kết với cơ sở {xn }∞
n=1 . Giả sử {Pn }n=1
∞

n

là các phép chiếu tự nhiên liên kết với cơ sở, tức là Pn ( ∑ ai xi ) = ∑ ai xi .
i=1

i=1

Với mọi cách chọn các vô hướng {ai }∞
i=1 và với tất cả các số nguyên n < m,
m

n

i=1

i=1

ta có Pn∗ ( ∑ ai xi∗ ) = ∑ ai xi∗ .
Như vậy từ Mệnh đề 2.1.2, dãy {xn∗ }∞
n=1 là một dãy cơ sở trong không
gian X ∗ mà hằng số cơ sở trùng với hằng số cơ sở của dãy {xn }∞
n=1 . Vì
lim Pn x − x = 0 ∀x ∈ X, ta nhận được theo nghĩa của sự hội tụ trong topo
n

∞

yếu* x∗ = ∑ x∗ (xn )xn∗ với mọi x∗ ∈ X ∗ . Một cách tổng quát, sự khai triển
n=1

này là không hội tụ theo chuẩn. Ta có sự hội tụ theo chuẩn với mọi x∗ ∈ X ∗
21