CHUYÊN đề GIẢI TÍCH 12 chuyên đề số phức

Chun đề Sớ phức LTĐH

CHUN ĐỀ
ĐỀ
CHUN

GIẢI TÍCH
TÍCH 12
12
GIẢI
*CHƯƠNG IV:
IV: SỚ
SỚ PHỨC
PHỨC **
*CHƯƠNG

§1. Sớ phức
A-Tóm tắt
tắt lý
lý thuyết:
thuyết:
A-Tóm
1, Khái niệm sớ phức:
*Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đó a, b là các

số thực và số i thoả mãn i 2 = −1 . Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số
phức z = a + bi .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ .
*Chú ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo b = 0 .
+ Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

+ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
*Định nghĩa 2: Hai số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) và z ' = a '+ b ' i ( a ', b ' ∈ ¡ ) được
gọi là bằng nhau nếu : a = a ' và b = b ' . Khi đó, ta viết: z = z ' .

2, Biểu diễn hình học sớ phức:
Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi một điểm M (a; b) trên mặt
phẳng toạ độ Oxy. Ngược lại mỗi điểm M (a; b) biểu diễn một số phức z = a + bi
Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức. Trục Ox gọi
là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

3, Phép cộng và phép trừ số phức:
*Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ )
là số phức z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i .
*Tính chất của phép cộng số phức:
i, ( z1 + z2 ) + z3 = z1 + ( z2 + z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ £
ii, z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1 , z2 ∈ £
iii, z + 0 = 0 + z = z với mọi z ∈ £
iv, Với mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ), nếu kí hiệu số phức − a − bi là − z thì ta
có: z + (− z ) = − z + z = 0 . Số − z được gọi là số đối của số phức z .
*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ )
là tổng của hai số phức z1 và − z2 , tức là: z1 + (− z2 ) = z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i .
*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:
Mỗi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) được biểu diễn bởi M (a; b) cũng có nghĩa là
ur uu
r
uuuur
véc tơ OM . Khi đó nếu u1 , u2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 thì:
Trang 1

Chuyên đề Số phức LTĐH

ur uu
r
+ u1 + u2 biểu diễn số phức z1 + z2
ur uu
r
+ u1 − u2 biểu diễn số phức z1 − z2

4, Phép nhân số phức:
*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2i ( a1 , b1 , a2 , b2 ∈ ¡ )
z1.z2 = a1a2 − b1b2 + (a1b2 + a2b1 )i
là số phức:
*Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ), ta có:
kz = k (a + bi ) = ka + kbi

+ 0.z = z.0 = 0 với mọi z ∈ £ .
*Tính chất của phép nhân số phức:
i, z1 z2 = z2 z1 với mọi z1 , z2 ∈ £
ii, z.1 = 1.z = z với mọi z ∈ £
iii, ( z1 z2 ).z3 = z1.( z2 z3 ) với mọi z1 , z2 , z3 ∈ £
iv, z1.( z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với mọi z1 , z2 , z3 ∈ £

5, Số phức liên hợp và mô đun của số phức:
*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) là a − bi và
được kí hiệu là z . Như vậy, ta có: z = a + bi = a − bi
*Nhận xét: + Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z = z . Do đó ta cịn nói
z và z là hai số phức liên hợp với nhau.
+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng
đối xứng nhau qua trục Ox.

*Tính chất: i, Với mọi z1 , z2 ∈ £ ta có: z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2
ii, ∀z ∈ £ , z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ), số z.z luôn là một số thực và z.z = a 2 + b 2
*Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) là số thực không âm
a 2 + b 2 và được kí hiệu z :

z = z. z = a 2 + b 2 .

*Nhận xét: + z = 0 khi và chỉ khi z = 0 .
+ Nếu z là số thực thì mơ đun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó.

6, Phép chia cho số phức khác 0:
−1
*Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là z =

z
z

2

. Thương

z'
z

của phép chia số phức z ' cho số phức z khác 0 là tích của z ' với số phức
z ' z '.z
z'
−1
nghịch đảo của z , tức là = z '.z . Như vậy, nếu z ≠ 0 thì = 2
z

z
z
*Chú ý: Có thể viết

z ' z '.z z '.z
z'
= 2 =
nên để tính
ta chỉ cần nhân cả tử và
z
z. z
z
z
Trang 2


Chuyên đề Số phức LTĐH
2

mẫu số với z . Để ý rằng z.z = z .
*Nhận xét: + Với z ≠ 0 , ta có:

1
= 1.z −1 = z −1 .
z

z'
là số phức w sao cho z.w = z ' . Do đó, có thể nói phép chia cho
z
số phức khác 0 là phép toán ngược của phép nhân.

z' z'
 z' z'
=
z1 z2 = z1 . z2 ;
z1 + z2 ≤ z1 + z2
+  ÷= ;
;
z
z
z
  z

+ Thương

B-Phương pháp
pháp giải
giải tốn:
tốn:
B-Phương
Dạng 1: Tính tốn và Chứng minh
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
1, z = (3 − 5i ) − (7 − 3i )
2, z = (4 − 3i)(4 + 5i)
3, z = 5 + 2i + 7(2 − i) − 3i
4, z = (1 − i )14

5, z = (3 + 2i )(3 − 2i ) + 5(1 + 2i ) + 2i 5

7, z = (1 + i)8

8, z = (3 + i)3

6, z = (3 − i )16 (1 + 2i)16
9, z = (1 + i )3 − (1 − i) 2

2i
(1 + 2i )(2i) 2
(2 − 3i )(3 + i ) 2
10, z =
11, z =
12, z =
1+ i
1 + 3i
6 + 17i
Bài 2: Xác định phần thực và phần ảo và tính mơ đun của mỗi số phức sau:

1, z = (i − 3) 2 + 3(2i − 3)(i + 1)
3, z =

1 7 1
i − 7 ÷
2i 
i 

5, z =

2i − 1
+ 4i 3 + 3i + 2
i+2

2, z = (2 + i )3 − (3 − i)3
3−i
2+i
−
1+ i
i
(3i − 1)(2 − i ) 3
+ i (1 + 4i)
6, z =
1+ i

4, z =

(−1 + 9i )18 (4 − 5i)18
7, z =
(1 − i ) 20

8, z = −

(1 + 3i )15
1

+ 3  i9 − 9 ÷
9, z =
12
i 
( 3 + i)


1

 1+ i 
10
10, z = 
÷ + (1 − i ) + (2 + 3i)(2 − 3i ) +
i
 1− i 

16

3 + 2i 3 − 3 + 2i 3
+
2 + 3i
2 − 3i
33

8

 1+ i   1− i 
11, z = 
÷ +
÷
 1− i   1+ i 

12, z = 1 + (1 + i ) + (1 + i) 2 + ... + (1 + i )99

Bài 3: Tìm z và tính z biết rằng:
1, z = −2 + i 3

2, z = 2 − 2i

3, z = −2013

4, z = 2014i

5, z = 2 − 3 + (2 + 3)i

6, z = (1 + i )(3 − 2i) +

( )

1
3+ i

2
1
1
3
6 2013
Bài 4: Cho số phức z = +
i . Tính: z ; z ; ; z 3 ; z ; z 2 − z + 1 ; ( 1 − z )
z
2 2

Trang 3


Chuyên đề Số phức LTĐH

Bài 5: Cho số phức z = (1 − 2i )(2 + i ) 2 . Tính: z ;
Bài 6: Tìm các số thực x, y thoả mãn:

1, 3x + y + 5 xi = 2 y − 1 + ( x − y)i

z;

z+z;

z. z

2, x(3 + 5i ) + y (1 − 2i )3 = 9 + 14i
4, 2 x + y − 1 = ( x + 2 y − 5)i

3, 3x + yi = 2 y + 1 + (2 − x)i
3
5, ( x − 2 yi)(2 x + yi) = 2 + i
6, x 2 + (1 + i) y 2 − (4 + 3i ) xy = 1 + 4i
2
Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:
1, x(2 − 3i) 2 + (2 y + 1)(1 + i )3 = −5(7 + 10i )
2, (2 x + i )(3 + i ) 2 − ( x − 2 y )(i − 2)3 = 18 + 76i
3, (2 x + 1)(2 − i) 3 − y (−3 + 2i)(2 − 3i) = 6 − 85i
7

 1− i 
2
4, (3x − y ) 
÷ + ( y + 2)( x − i) = −19 − 23i
 1+ i 
Bài 8: Chứng minh rằng các số phức sau là số thực:

1, z =

(1 + 3i )3 (4 − 3i ) 2
(2 + i) 2 (3 + 80i + i 3 )

2, z =

(3 + 2i) 2 ( 2 − i) 19
−
3i
(1 + 2i) 2
2013

2013

 19 + 7i 
 20 + 5i 
3, z = (2 + i 5) + (2 − i 5)
4, z = 
÷ +
÷
 9−i 
 7 + 6i 
Bài 9: Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo:
7

7

1, z = (1 + 3i )9 − i 5 (512i + 3)

2, z = (5i − 1)2 (1 − 3i ) − (8i − 10) 2

5 + 2i
5 − 2i
52 + 2013i 52 − 2013i
−
+
4, z =
(3 + 1)(79 + 7i ) 10(23 − 10i)
2 3 − 10i 2 3 + 10i
Bài 10: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:
3 + 2i
(1 + i )(2 + i ) (1 − i )(2 − i )
−
1, z =
2, z =
(1 + i)(2 − 3i)
2−i
2+i
1 − 5i
7−i
2
4
+ (2 − i)3
3, z =
4, z = (2 − i) + (1 + i ) −
1+ i
2+i
Bài 11: Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo:

3, z =

2
2
i 2013 − i 2
z3 − z
1, α =
2, β =
−z + z
+ z +z
z −1
z −1
Bài 12: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

( )

3

 1 i 3
1, A =  − +
÷÷
2
2



1 i 3
 −
÷÷
2
2




(2 + i )3 + (2 − i )3
3, C =
(2 + i )3 − (2 − i )3

( )

(1 + 2i ) 2 − (1 − i ) 2
2, B =
(3 + 2i) 2 − (2 + i) 2
2013

 1+ i 
4, D = 
÷
 1− i 
Trang 4

+ (1 − i )10 + (2 + 3i )(2 − 3i) +

1
i


Chun đề Sớ phức LTĐH

Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn:
1, iz + z − i = 0

2, (3 − 2i ) z = 1 − i + 4 z
z+i
2 − 3i
+ 1+ i = 3 + i
+ 1 − 3i = 2 z − 1
4,
5,
1− i
1+ i

3, (1 − 5i ) z + 10 + 2i = 1 − 5i
2+i
−1 + 3i
z=
6,
1− i
2+i
z + 2i
8, ( z + 1)(1 + i ) − 2 − 2i =
1− i

7, ( 2 − i 3) z = 3 + i 2

Bài 14: Tìm số phức z thoả mãn:
1, (4 − 3i) z = (2 + i)(3 − 5i)
2, 2 z − 3iz = 4 − 11i
4,

2 + i − z 2z + 1
=

(3 − i ) 2 10 + 5i

5,

7+i
3+i
=
3
(2i − 1) 2 z + 1

8, z + 2 z = 2 − 4i

7, z = z 2

(

)

10, 4 z + z (2 − i) + 7 z = 3i − 7

3, ( z + 2)i = (3i − z )(−1 + 3i )
6, 2 z − 3i +

(

1− i z + 2 − i
=
1+ i
1− i

)

9, z.z + 3 z − z = 13 + 18i

11, (1 + i ) z − 5 − 5i =

2iz + 2i
1− i

Bài 15: Tìm số phức z thoả mãn:
2, z + 2 z = 3 và z = − z

1, z = 5 và z = z

( )

z −1
=1
z −3

2

4, z 2 + z = 0 và

2

3, 2 z.z − z = 5 và z = z

5, z + 2 − i = z − 1 + 2i và

1
10
=
10
z

6, z = 5 và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó.
Bài 16: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z 2 = z + z
4, z =

2

( 2 − i)3
1 + 2i

2, z −

5+i 3
−1 = 0
z

5, ( z + 1)(1 + i ) +

(

)

7, z − 1 = 5 và 17 z + z − 5 z.z = 0

z −1
2
= z
1− i

3,

)

8, z + 1 − 2i = 5 và z.z = 34

Bài 17: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z − 2 − 4i = z − 2i và z + 1 − 2i nhỏ nhất.
2, z + 1 − i = iz − 2 và (2 z + 3 − 2i )( z + i) là số thuần ảo.

)

3, z nhỏ nhất và ( z − 1) z + 2i là số thực.
4, z nhỏ nhất và iz − 3 = z − 2 − i

(

(

2
6, z.z + z − z − 2 z = 10 + 3i

10, z − 3i = 1 − iz và z −

9, z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25

(

1 − i (2 − 3i ) z
=
+2−i
2
z
z

)

5, z lớn nhất và 2 − z (1 + z ) là số thuần ảo.
Trang 5

9
là số thuần ảo
z


Chun đề Sớ phức LTĐH

Bài 18: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z − 2 − i = 52 và z − 4 + 2i nhỏ nhất.
z − 2i
là số thuần ảo.
z+i
3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:

2, z + 1 − 2i = z + 3 + 4i và

( )

z = 1 và z 2 − z

2

= 3

Bài 19: Tìm số phức z thoả mãn:
1, z + 1 − 2i = z + 3 − 4i và z − z + 1 − i = 10

2,

z −1
z − 3i
= 1 và
=1
z −i
z+i

3,

z+2
5
z −5
=
=1
và
z −1

z − 3i 3 2

4,

z −1
z − 2i
= 1 và
=2
z −3
z+i

5,

z+i
= 1 và ( z + 3)( z − 3i) = 9
z −1

6,

z + 3i
= 1 và ( z − 2)(iz + 5 − 2i) = 6
z−i

8,

z+2
= 1 và ( z + 1) z − i = 5
z + 2i

( )

7, z 2 + z

2

= 0 và

z −1
=1
z −3

(

)

Bài 20: 1, Tìm số phức z sao cho w = z (2 − 3i )(2 + i)(3 − 2i) là 1 số thực.
2, Cho số phức z thoả mãn: z + 2 z = 3 + i . Tính z12 .
z + 2i
z−7
3, Cho số phức z thoả mãn: z + 1 =
. Tính
.
z−2
z−i
4, Cho số phức z thoả mãn: z − 1 =

z + 4i
z − 18
. Tính
.

z−2
z − 2i
2

3

5, Cho số phức z thoả mãn: z − 2 z = 3(−1 + 2i ) . Tính w = z + z + z .
4
= i . Tính A = 1 + (1 + i ) z .
z +1
z − 2i
7, Cho số phức z thoả mãn:
là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
z−2
thức: T = z − 1 + z − i .

6, Cho số phức z thoả mãn: z −

Bài 21: 1, Cho hàm số: f ( z ) = z 3 − 2 z 2 − 7 z − 3 . Chứng minh rằng:
w = f (1 + i ) + f (1 − i) là một số thực.
2, Cho số phức z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) thoả mãn: z 3 = 18 + 26i .
Tính giá trị của biểu thức: A = ( z − 2) 2013 + (4 − z ) 2013 .
3, Cho số phức w =

z +1
. a, Xác định phần thực của w biết rằng z = 1 và z ≠ 1 .
z −1

b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì z = 1 .
Trang 6

Chuyên đề Số phức LTĐH

Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua các năm:
1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25
2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: z = 2 và z 2 là số thuần ảo.
3,(A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng: z = ( 2 + i )2 (1 − 2i )
(1 − 3i )3
. Tính z + iz .
1− i
z+3
= 5 và z − 4i = z + 10i .
4,(B-2010) Tìm số phức z thoả mãn:
z + 3i

Cho số phức z thoả mãn: z =

2

5,(A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết: z 2 = z + z

(

)

Tính z , biết rằng: (2 z − 1)(1 + i ) + z + 1 (1 − i ) = 2 − 2i
6,(B-2011) Tìm số phức z, biết rằng: z −

5+i 3

−1 = 0 .
z
3

 1+ i 3 
Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = 
÷÷
 1+ i 

7,(A-2012) Cho số phức z thoả mãn:

(

5 z −i
z +1

) = 2 − i . Tính

8,(D-2012) Cho số phức z thoả mãn: (2 + i ) z +

w biết w = 1 + z + z 2 .

2(1 + 2i)
= 7 + 8i .
1+ i

Tính mơ đun của số phức w = z + 1 + i .
9,(D-2013) Cho số phức z thoả mãn: (1 + i )( z − i) + 2 z = 2i .
Tính mơđun của số phức w, biết w =

z − 2z + 1
.
z2

(

)

Bài 23: 1, Tìm số phức z thoả mãn: z − z + 1 − i = 5 và (2 − z ) i + z là số ảo.
2

(

2, Tìm số phức z thoả mãn: ( z + i ) 2 + z − 2 = 2 z − 3i

)

2

3, Tìm các số phức z, w thoả mãn: z + w = 4 − i và z 3 + w 3 = 7 + 28i

(

)

4, Tìm số phức z thoả mãn: z − z + 2i = 2 z − i và (2 − z ) i + z là số thực.
5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
n

n− 2

 3 −i 
 5−i 
z1 = 
là số thuần ảo.
÷
÷ là số thực và z2 =  2 − 3i ÷

 1− i 3 

6, Trong tất cả các số phức z thoả mãn z + 1 =
môđun nhỏ nhất.
Trang 7

z+z
+ 3 , hãy tìm số phức có
2


Chuyên đề Số phức LTĐH

7, Cho số phức z thoả mãn z 2 − 6 z + 13 = 0 . Tính z +

6
.
z+i
7

 1+ 3 − z 
8, Cho số phức z thoả mãn z 2 − 2 z + 4 = 0 . Tìm số phức w = 
÷

÷.
2
+
z



9, Cho z là số phức thoả mãn (1 − z )(i + z ) là số thuần ảo. Tính giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = z − i .
(1 + i ) z
+ 2 = 3 , hãy tìm số phức có
1− i
mơđun nhỏ nhất và số phức có mơđun lớn nhất.
1
2013
Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn 2 z + 3iz = 4 − z . Tính w = z + 2014 .
z
2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện: z 3 = 4 z .

10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn

3, Tính môđun của số phức z, biết z 3 + 12i = z và z có phần thực dương.
2

4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng: z − 12 = 2i (3 − z )

(

)

2

5, Tìm số phức z biết: 2 z + 1 + z − 1 = (1 − i) z .
2

2

6, Tìm số phức z biết: z + 2 z.z + z = 8 và z + z = 2 .
2

7, Tìm mơđun của số phức z biết: z − 1 − 2i + iz + z = 11 + 2i .
8, Tìm số phức z thoả mãn: (1 − 3i) z là số thực và z − 2 + 5i = 1 .
9, *Tìm số phức z sao cho z 5 và
10, Cho số phức z =

1
là hai số phức liên hợp của nhau.
z2

−1 + 3i
. Tính giá trị của biểu thức:
2
2

3

4

5

1 
1 
1 
1

P =  z + ÷ +  z2 + 2 ÷ +  z3 + 3 ÷ +  z4 + 4 ÷
z 
z  
z  
z 

11

 1− i 
Bài 25: 1, Cho số phức z = 
÷ . Tính mơđun của số phức:
 1+ i 
w = z 2013 + z 2014 + z 2016 + z 2021
3

 1 + 3i 
2
2, Tính mơđun của số phức z biết: z = 
÷÷ .(1 + 2i )
 1+ i 
z
3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn 2 là số thực và z + w = 2 3 .
w
Tính mơđun của số phức z.
Trang 8

Chun đề Sớ phức LTĐH

4, Tìm số phức z thoả mãn:

iz − (1 + 3i ) z
2
= z .
1+ i

z2 + 2z + 3
5, Tìm mơđun của số phức z, biết: z =
.
z +1

6, Cho số phức z thoả mãn: z −

z
6 + 7i
. Tìm phần thực của số phức z 2013 .
=
1 + 3i
5
3

 1− i 3 
A = z + 2i.z .
7, Cho số phức z thoả mãn: 2 z + i.z = 
÷

÷ . Tính
1
+
i



(

)

8, Tìm số phức z, biết: ( z + 1)(2 − 3i) + z + 1 (2 + 3i) = 14 và z = 2 .
9, Tìm số phức z có mơđun bằng 1, đồng thời số phức w = z 2 + 2 z − 1 có mơđun
lớn nhất.
10, *Cho số phức z ≠ 0 thoả mãn z ≥ 2 .
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

z+i
.
z

Bài 26: Cho hai số phức z1 và z2 . Chứng minh rằng:
1, z1 + z2 = z1 + z2

3, z1.z2 = z1 . z2

2, z1.z2 = z1.z2

z1
z

z  z
5,  1 ÷ = 1 ( z2 ≠ 0 )
6, 1 =
z2
z2
 z2  z2
Bài 27: Cho hai số phức z1 và z2 . Chứng minh rằng:

4, z1 + z2 = z1 + z2

2

(

2

2

1, z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2
2, 1 − z1 z2 − z1 − z2 = ( 1 + z1 z2
2

2

2

2

2

2

)

) −( z
2

+ z2

1

)

2

( ) (1+ z )
= (1+ z ) ( 1+ z )

3, 1 + z1 z2 + z1 − z2 = 1 + z1
4, 1 + z1 z2 + z1 − z2

2

( z2 ≠ 0 )

2

2

2

2

2

1

2

Bài 28: Cho hai số phức z1 và z2 . Chứng minh rằng:
1, z1 + z2 ≤ z1 + z2

2

2

2, z1.z2 = z1 . z2

2
2
4, ( z1 + z2 ) ( z1 − z2 ) = z1 − z2

3, ( z1 ± z2 ) = z12 ± 2 z1 z2 + z22

2

2

5, ( z1 ± z2 ) = z13 ± 3z12 z2 + 3z1 z22 ± z23
3

Bài 29: Cho số phức z thoả mãn z = 1 . Chứng minh rằng:
1, 1 ≤

3 z + 2i
≤5
z

3
2
2, 1 ≤ 1 + z + 1 + z + z ≤ 5

Bài 30: Cho các số phức x, y, z. Chứng minh rằng:
Trang 9


Chuyên đề Số phức LTĐH

x + y + z ≤ x + y − z + x − y + z + −x + y + z

Bài 31: Cho hai số phức z1 và z2 đều có mơđun bằng 1.
Chứng minh rằng số phức

z1 + z2
là số thực, với z1 z2 ≠ −1 .
1 + z1 z2

Bài 32: Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 − z2 = z1 = z2 > 0 .
4

4

z  z 
Tính giá trị của biểu thức: A =  1 ÷ +  2 ÷ .
 z2   z1 
1
2, Cho z1 , z2 là 2 số phức thoả mãn phương trình 6 z − i = 2 + 3iz và z1 − z2 = .
3
Tính A = z1 + z2 .

3, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 = z2 = 1 và z1 + z2 = 3 . Tính z1 − z2 .
4, Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 và z1 + z2 + z3 = 1 .
Chứng minh rằng: z1 z2 z3 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 .
2
2
5, Cho hai số phức: z1 = (a + a + 1) + (2a + 3a − 4)i ( a ∈ ¡ ) và z2 = 3 − 2i .

Tìm giá trị của tham số a để z1 = z2 .
6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt z1 , z2 thoả mãn điều kiện z1 = z2
z1 + z2
khi và chỉ khi
là số thuần ảo.
z1 − z2
Bài 33: Giải các bài toán sau:
1, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 = 3 , z2 = 4 và z1 − z2 = 37 .
Tìm số phức z =

z1
.

z2

2, Cho hai số phức z1 , z2 . Chứng minh rằng: w = z1 z2 + z1 z2 là 1 số thực.
2
2
3, Cho hai số phức z1 , z2 thoả mãn: z1 + z2 = z1 z2 . Tính

z1 − z2
.
z1 + z2

4, Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thoả mãn z1 = z2 = z3 = 1 .
Chứng minh rằng: z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = z1 + z2 + z3
3
5, Cho số phức z ≠ 0 thoả mãn điều kiện: z +

Trang 10

1
1
≤ 2 . Chứng minh: z + ≤ 2 .
3
z
z


Chuyên đề Số phức LTĐH

Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm

r
● Véc tơ u ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi .

uuuur
● Điểm M ( x; y ) biểu diễn số phức z = x + yi , tức là OM biểu diễn số phức đó.
● Tập hợp điểm M ( x; y ) thoả mãn:

+ Ax + By + C = 0 , A2 + B 2 > 0 : là một đường thẳng
+ MA = MB : là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
+ y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 : là một Parabol
+ ( x − a )2 + ( y − b) 2 = R 2 : là đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.
+ ( x − a )2 + ( y − b) 2 ≤ R 2 : là hình trịn tâm I (a; b) , bán kính R.
+ MF1 + MF2 = 2a , F1 F2 = 2c < 2a : là một Elip
+ MF1 − MF2 = 2a , F1F2 = 2c > 2a : là một Hypebol …
Bài 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức:
1, z = 3
2, z = −2i
3, z = 3 − 2i
4, z = −2 + i
Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, z = 1
2, z ≤ 2
3, z − 1 + 2i = 4
4, z + i − 2 ≤ 3

5, 2 + z = 1 − i

6, 2 + z > z − 2

7, z − 4i + z + 4i = 10

8, 1 < z ≤ 2

9, 1 ≤ z + 1 − i ≤ 2

Bài 3: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
2
1, ( z + 2 z + 5 ) ∈ ¡

2, z 2 là số thuần ảo

4, z − (3 − 4i ) = 2 (B-2010)
6, z + 3 − 2i = 2 z + 1 − 2i

3, z = z − 3 + 4i

5, z − i = (1 + i ) z (D-2009)

7, z + z + 1 − i = 2

8, 2 z − i = z − z + 2i

Bài 4: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:

( )

2

1, z + z > 4

2, z − i = 3

2
3, z − z

4, 2 ≤ z − 1 + 2i < 3

5, (2 + 3i) z + 2i − m = 0

6, (1 + i ) z + (1 − i ) z = 2 z + 1

7,

z−i
=1
z+i

8,

z + 2i
=1
z−3

9,

=4

z − 3i
=2
z

Bài 5: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, (2 − z )( z + i) là số thuần ảo
z + 2 + 3i
là số thuần ảo
z −1
z + 2i
8,
là số thuần ảo
iz − 1

3,

2, z 2 − 2 z + 4i là số thực
7,

iz + 1 + i
là số thực
z −1+ i

9,

z+i
là số thực
iz − 1

Trang 11


Chuyên đề Số phức LTĐH

Bài 6: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:
1, z 2 là số thực âm
2, ( z − i ) 2 là số thuần ảo

( )

3, ( z − i ) 2 là số thực âm

4, ( z − i ) 2 = z

2

1
z+i
là số thuần ảo
6,
là số thực dương
z+i
z−i
Bài 7: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:

5,

1, z + 1 + 2i ≤ 0
2

3, log z + i ≤ 1

2, (1 − i ) z = (1 + i ) z

2

4, z − 2 + z + 2 = 26
7, z + 1 + z − 1 = 4

5, z =

1
= 1− z
z

6, log 1
3

8, z + 2i + z − 2i = 6

z−2 +2
>1
4 z − 2 −1

9, z − 5 − z + 5 = 8

Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:
1, M biểu diễn các số phức z + 1 − i , trong đó z − 1 + 2i = 3 .
2, M biểu diễn các số phức z − 2 + i , với 2 ≤ z − 1 − i < 3 .
Bài 9: Giải các bài tốn sau:

(

)

1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 1 + i 3 z + 2 , biết z − 1 ≤ 2 .
2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = 2 z + 3 − i , biết:
2

2

a, 3z + i ≤ z.z + 9

b, 2 z + i ≤ 3 z.z + 1

1 + 3i )
3, Cho số phức z = (
16(1 + i )

c, z − 2 + 3i = 5

3

5

. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng:
w − iz + z = 2 .

4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = iz + 3 , biết: z 2 z z + 1 = z ( 2 + 6iz ) .
Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt
biểu diễn các số phức 1 + 3i , −2 + 2i , −4 − 2i , 1 − 7i , −3 + 4i , 1 − 3i , −3 + 2i .
1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.
2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Điểm Q biểu diễn số phức nào?

3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường trịn. Tìm tâm và
tính bán kính đường trịn đó.
r r
Bài 11: Các véc tơ u, v trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức
rr 1
r r
z , z ' . Chứng minh: 1, u.v = zz '+ z z '
u
2, ⊥ v ⇔ z + z ' = z − z '
2
r r
r r
z'
3, Nếu u ≠ 0 thì u, v vng góc khi và chỉ khi
là số thuần ảo.
z

(

)

Trang 12


Chun đề Sớ phức LTĐH

§2.Căn bậc hai của sớ phức
Phương trình bậc hai
A-Tóm tắt
tắt lý

lý thuyết:
thuyết:
A-Tóm

1, Căn bậc hai của số phức:
*Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho w2 = z .
*Phương pháp xác định căn bậc hai của số phức:
Xét số phức z = a + bi . Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức z.
+ Nếu a = 0, b = 0 thì z = 0 có đúng một căn bậc hai là w = 0 .
+ Nếu a > 0, b = 0 thì căn bậc hai của z là w = ± a .
+ Nếu a < 0, b = 0 thì z = a = − ai 2 nên w = ± − ai .
 x2 − y2 = a
(*)
+ Nếu b ≠ 0 thì ta có w = x − y + 2 xyi nên w = z ⇔ 
2
xy
=
b

Giải hệ (*) để xác định các giá trị của x, y.
2

2

2

2

2, Phương trình bậc hai:
Xét phương trình bậc hai: az 2 + bz + c = 0 (1) , với a, b, c ∈ ¡ và a ≠ 0 .

Ta có biệt thức ∆ = b 2 − 4ac .
b
.
2a
+ Nếu ∆ ≠ 0 , gọi δ là căn bậc hai của ∆ thì phương trình (1) có hai nghiệm
−b + δ
−b − δ
z1 =
z2 =
phân biệt:
;
2a
2a
*Nhận xét: Hệ thức Viét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức:
b
c
z1 + z2 = − ;
z1 z2 =
a
a

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm trùng nhau: z1 = z2 = −

B-Phương pháp
pháp giải
giải toán:
toán:
B-Phương

Dạng 1: Căn bậc hai và phương trình bậc hai

Bài 1: Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:
1, z = 2i
2, z = −2i

3, z = −3 + 4i

4, z = −2 − 2 3i

6, z = 4 + 6 5i

5, z = −1 + 4 3i

7, z = −1 − 2 6i
8, z = 7 − 5i
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, z 2 − 6 z + 11 = 0
2, z 2 + 3z + 10 = 0
4, z 2 − 2 3 z + 7 = 0
5, z 2 + (i − 5) z + 8 − i = 0
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
Trang 13

9, z = 46 − 14 3i
3, 3z 2 − 4 z + 6 = 0
6, z 2 − (4 + 5i ) z − 11 + 13i = 0


Chuyên đề Số phức LTĐH

1, z 2 + 3(1 + i ) z + 5i = 0 (D-2012)

2, z 2 − 2(2 + i ) z + 7 + 4i = 0

3, z 2 + (1 − 3i ) z − 2(1 + i ) = 0

4, z 2 − (3 + 4i) z − 1 + 5i = 0

5, 2 z 2 − 2(5 − 2i) z + 28 − 4i = 0

6, z 2 − (5 − 14i ) z − 2(5i + 12) = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, iz 2 − 2(1 − i ) z − 4 = 0
2, z 2 − 2(2 − i ) z + 6 − 8i = 0
3, z 2 − (1 + i) z + 6 + 3i = 0

4, z 2 + (1 + i) z − 10 + 11i = 0

2
5, z − 7 + 3i z + 16 − 3i = 0

6, 2(1 + i ) z 2 − 4(2 − i) z − 5 − 3i = 0

(

)

Bài 5: Gọi z1 , z2 là các nghiệm của phương trình: 3z 2 − 5 z + 3 = 0 . Tính giá trị
của các biểu thức:
2

2
3
3
5
5
1, A = z1 + z2
2, B = z1 + z2
3, C = z1 + z2
z13 z23
4, D = +
z2 z1

5, E =

z1
z
+ 2
2 z2 + 1 2 z1 + 1

z12 + z2 z22 + z1
+
6, F =
z1 − 2 z2 − 2

Bài 6: Chứng minh rằng:
1, Hai số phức liên hợp z và z là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với
hệ số thực.
2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm phức là z thì z cũng
là nghiệm của nó.
Bài 7: Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm:

1, z1 = 5 + 2i và z2 = 5 − 2i
2, z1 = − 2 + 5i và z2 = − 2 − 5i
3, z = −2 + i

4, z = 4 − i

5, z = 2 + 3i

Bài 8: Tìm hai số phức biết:
1, Tổng của chúng bằng 4 − i và tích của chúng bằng 5(1 − i ) .
2, Hiệu của chúng bằng 6i và tích của chúng bằng 2(7 + 6i ) .
Bài 9: Giải các bài toán sau:
1, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị
2

của các biểu thức: A = z1 + z2

2

2, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 z + 5 = 0 . Tính giá trị
2
2
của các biểu thức: B = z1 + z2
3, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 4 z + 5 = 0 . Tính giá trị
của các biểu thức: P = ( z1 − 1)

2013

+ ( z2 − 1)

2013

4, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 2 z + 8 = 0 . Tính giá trị
2013
2013
của các biểu thức: P = z1 + z2
5, Gọi z1 , z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: 2(1 + i ) z 2 − 4(2 − i) z − 5 − 3i = 0 .
Trang 14


Chun đề Sớ phức LTĐH
2

Tính giá trị của các biểu thức: A = z1 + z2

2

6, Gọi z1 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: z 2 − 2 z + 5 = 0 . Tìm
2 z − z1 + 1
=1
tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn:
z + z z2 + 2
7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 của phương
1+ i
z1 . Tính diện tích của
trình: z 2 − 2 z + 5 = 0 và điểm B biểu diễn số phức z2 =
2
tam giác OAB, với O là gốc toạ độ.

(

)
8, Tìm tất cả các số thực b, c sao cho số phức
( 1 − 3i )
1 + 3i

12

6

(2 − i )

(1 + i )6

là nghiệm của

phương trình: z 2 + 8bz + 64c = 0 .
9, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: 2 z 2 − 4 z + 11 = 0 . Tính giá trị
2

của các biểu thức: P =

z1 + z2

2

( z1 + z2 )

2

10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn a = b = c > 0 và z là nghiệm

của phương trình: az 2 + bz + c = 0 . Chứng minh rằng:

−1 + 5
1+ 5
≤ z≤
2
2

11, Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2 z + 4 = 0 . Tính giá trị
2

của các biểu thức: A =

z1 + 2 z2 + z1 z2
2

z1 + z2

2

Dạng 2: Phương trình quy về bậc hai
Bài 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, z 3 − 1 = 0
2, z 3 = i
3, z 6 + i = 0
4, z 4 − 1 = 0
5, z 4 + 4 = 0
6, 8 z 4 + 8 z 3 = z + 1
Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, 3z 3 − 8 z 2 + 10 z − 4 = 0

2, z 3 + z 2 − 2 z − 2 2 = 0
3, z 3 − 2(1 + i ) z 2 + 3iz + 1 − i = 0

4, 2 z 3 − 5 z 2 + (3 + 2i) z + 3 + i = 0

5, z 3 − (2i − 1) z 2 + (3 − 2i ) z + 3 = 0

6, z 3 − 2(1 + i ) z 2 − (4 + 9i ) z − 1 − 7i = 0

7, 5 z 3 − (4 − 5i) z 2 + 4(2 − i) z + 8i = 0

8, iz 3 + z 2 − (1 + 4i) z − 2 = 0

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1, z 4 + 3z 2 + 4 = 0

2, z 4 + 6 z 2 + 25 = 0
Trang 15

3, z 4 − (2 − i) z 2 − 2i = 0


Chuyên đề Số phức LTĐH

4, z 4 − z 3 + 27iz − 27i = 0

6, ( z 2 + 1) + ( z + 3) 2 = 0
2

5, z 4 + 6(1 + i ) z 2 + 5 + 6i = 0

8, ( z 2 − z ) + 4 ( z 2 − z ) − 12 = 0
2

7, z 4 + (1 − 3i ) z 2 − 2i − 2 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
2
3
1, ( z + i ) ( z + 4 ) ( z − i ) = 0

2
2, ( z − z ) ( z + 3)( z + 2) = 10

2
2
3, ( z + i ) ( z − 2iz − 1) = 0

4, ( zi + 1) − 8( zi + 1) + 15 = 0

5, ( z + 2 − 3i) 2 − 6( z + 2 − 3i) + 13 = 0

6, ( z 2 + 3z + 6 ) + 2 z ( z 2 + 3 z + 6 ) − 3z 2 = 0

2

2

2

2

z −1
iz − 3
 z −1
 iz − 3 
7, 
8, 
+2=0
+2=0
÷ −3
÷ −2
z+i
z + 2i
 z+i
 z + 2i 
Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: (Phương trình hồi quy)
1, 2 z 4 − 7 z 3 + 9 z 2 − 7 z + 2 = 0

2, z 4 − (1 + 2i ) z 3 + 2(1 + i) z 2 − (1 + 2i ) z + 1 = 0
3, 2 z 4 − (3i − 4) z 3 + 2(2 − 3i) z 2 − (3i − 4) z + 2 = 0
4, z 4 + (1 + 2i ) z 3 + 2(1 + i ) z 2 + (1 + 2i ) z + 1 = 0
5, 2 z 4 − (7 + i) z 3 + 2(5 + i) z 2 − (7 + i) z + 2 = 0
6, z 4 − (3 + i ) z 3 + (4 + 3i ) z 2 − 2(3 + i ) z + 4 = 0
7, 4 z 4 − (6 + 10i) z 3 + (15i − 8) z 2 + (6 + 10i) z + 4 = 0
Bài 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
z2
1, z − z + + z + 1 = 0
2
3, z 4 + 2 z 3 + z 2 + 4 z + 4 = 0

4

3

5, ( z 2 + 3 z ) − 5 ( z 2 + 3z ) − 36 = 0
2

7, ( z − i ) 4 + ( z + 3i) 4 = 256
9, z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0
11, z 4 + 2 z 3 + z 2 + 4 z + 4 = 0

4
2
2, ( z − 2) + ( z − 2) ( 5 z − 14 z + 13) + 1 = 0

4, z 5 + 2 z 4 + 4 z 3 + 8 z 2 + 16 z + 32 = 0
2
2
6, ( z + 3z + 2 ) ( z + 11z + 30 ) = 60
2
2
8, ( z + 1) ( z + 8iz − 15 ) = 105

10, ( z − 1)( z + 2)( z + 4)( z + 7) = 34
12, z 4 − 4 z 3 + 7 z 2 − 16 z + 12 = 0

Bài 7: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
z 4 + 2 z 3 + 3z 2 + 2 z + 2 = ( z 2 + 1)( z 2 + az + b )
2, Giải phương trình: z 4 + 2 z 3 + 3z 2 + 2 z + 2 = 0
Bài 8: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:

z 3 + 3z 2 + 3 z − 63 = ( z − 3)( z 2 + az + b)
2, Giải phương trình: z 3 + 3z 2 + 3z − 63 = 0
Bài 9: Cho phương trình: z 3 + (2 − 2i ) z 2 + (5 − 4i ) z − 10i = 0 (1)
Trang 16


Chun đề Sớ phức LTĐH

Chứng minh rằng (1) có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình (1) .
Bài 10: Cho phương trình: z 3 − 2(1 + i ) z 2 + 3iz + 1 − i = 0 (1)
1, Chứng minh rằng z = 1 là 1 nghiệm của phương trình (1) .
2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
z 3 − 2(1 + i ) z 2 + 3iz + 1 − i = ( z − 1)( z 2 + az + b)
3, Giải phương trình đã cho.
Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm z = i :
z 3 − (3 + i) z 2 + (3 + 4i ) z + 1 − mi = 0
Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho.
Bài 12: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
2 z 3 − 9 z 2 + 14 z − 5 = (2 z − 1)( z 2 + az + b)
2, Giải phương trình: 2 z 3 − 9 z 2 + 14 z − 5 = 0
Bài 13: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:
z 4 + 2 z 3 + 3z 2 + 2 z + 2 = ( z 2 + 1)( z 2 + az + b )
2, Giải phương trình: z 4 + 2 z 3 + 3z 2 + 2 z + 2 = 0
Bài 14: Gọi z1 , z2 , z3 là các nghiệm phức của phương trình: 27 z 3 + 8 = 0 .
( z1 + z2 + z3 + 1) 2
Tính giá trị của biểu thức: T = 2
.
z1 + z22 + z32

Bài 15: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là các nghiệm phức của phương trình:

z4 − z3 − 2z 2 + 6z − 4 = 0
1 1 1 1
Tính giá trị của biểu thức: T = 2 + 2 + 2 + 2 .
z1 z2 z3 z4

Bài 16: Cho phương trình: 3z 4 − 5 z 3 + 3z 2 + 4 z − 2 = 0 (1)
1, Chứng tỏ rằng z = 1 + i là 1 nghiệm của phương trình (1) .
2, Tìm các cịn lại của phương trình (1) .

Dạng 3: Hệ phương trình phức
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
 z1 z2 = −5 − 5i
 z1 + z2 + z1 z2 = 3
1,  2 2
2,  2 2
 z1 + z2 = − 5 + 2i
 z1 + z2 + z1 z2 = −1

 z + w = 3(1 + i )
3,  3
3
 z + w = 9(−1 + i )

3iz − w = −3
3z + (1 + i ) w = −2 + 14i
5, 
6, 
 z − 3w = −7i
 iz − (2i − 1) w = −4 + 9i
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

 (2 − i ) z − (3 − 2i) w = −10 − 8i
 2z + w = 3
1, 
2,  2
2
 (3 + 2i ) z − (−1 + i) w = 3 + 6i
3z + w + 3zw − z + 4 = 0
 z + 3w = 2 + 3i
4, 
 2 z − w = 5 + 2i

Trang 17


Chuyên đề Số phức LTĐH

 z − w = −2
3,  2
2
2
 z w + w − z − 2w + 1 = 0
 z − (2 − i ) w = 2
5,  2
2
 z − 3iw = 5 + 15i

 z + (4 − i ) w = 7
4,  2
2
3z + (1 + 3i ) w = 291 + 53i

 (3 − i ) z + 2(2 + i ) w = 2(1 + 3i)
6, 
 2(2 + i ) z − (2 + 3i ) w = 5 + 4i

Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
z + w = 5 + i
 z + w + zw = 3
1,  2
2,
 2
2
2
 z + w = 8(1 + i )
 z + w = −4(1 + i)

 z + w = −1 + 2i
3,  3
3
2
2
 z + w + z w + zw = 45 + 60i

 z 2 + w = −5(2 + z )
4,  2
 w + z = −5(2 + w)

 z 2 − 10iz + 42i = 6w + 11
6,  2
 w − 10iw + 42i = 6 z + 11

 2 z 2 + 5 = 3w + z
5,  2
 2w + 5 = 3z + w

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
 x + y + z = 4 + 2i

1,  2 x + y − z + 2 + 5i
 x + 2 y + 3z = 9 + 2i


 z1 = z2 = z3 = 1
 x + iy − 2 z − 10 = 0


2,  x − y + 2iz − 20 = 0
3,  z1 + z2 + z3 = 1
 i ( x + 3 y ) − (1 + i ) z = 30
z z z =1

 1 2 3
Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau:
 (1 − 2i ) z + (1 + 2i ) z = 6
 2
 z + 2i z − z + 3 = 0

(

)

Trang 18


Chun đề Sớ phức LTĐH

§3. Dạng lượng giác của sớ phức
A-Tóm tắt
tắt lý
lý thuyết:
thuyết:
A-Tóm

1, Sớ phức dưới dạng lượng giác:
Dạng z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) với r > 0 , được gọi là dạng lượng giác của số phức
z ≠0.
+ ϕ được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc
lượng giác với tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số
phức z trong mặt phẳng phức). Argument của số phức z được đo bằng rađian,
mọi argument của z có dạng ϕ + k 2π ( k ∈ ¢ ).
+ r là môđun của số phức z, tức là r = z .

2, Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:
Xét hai số phức z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ; z2 = r2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) . Khi đó ta có:
+ z1 z2 = r1r2 [ cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 ) ] , với r1 ≥ 0, r2 ≥ 0 .
+

z1 r1
= [ cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 ) ] , với r1 ≥ 0, r2 > 0 .
z2 r2

3, Công thức Moivre:
Xét số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) , với mọi số nguyên dương n ta có:
z n = [ r (cos ϕ + i sin ϕ ) ] = r n ( cos nϕ + i sin nϕ )
n

n
*Chú ý: i, Với r = 1 ta có (cos ϕ + i sin ϕ ) = ( cos nϕ + i sin nϕ )

ii, Căn bậc hai của số phức z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) ( r > 0 ) là hai số phức
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
 ϕ



ϕ

r  cos + i sin ÷ và − r  cos + i sin ÷ = r  cos  + π ÷+ i sin  + π ÷
2
2
2
2



2

 2

iii, Từ cơng thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức
z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng
n

  ϕ k 2π
r  cos  +
n
 n


 ϕ k 2π
÷+ i sin  +
n

n


÷ ; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến n − 1


B-Phương pháp
pháp giải
giải tốn:
tốn:
B-Phương
Dạng 1: Biểu diễn sớ phức dưới dạng lượng giác
● Chuyển số phức từ dạng đại số z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ; a 2 + b 2 > 0 ) sang dạng
lượng giác như sau:
+ Tính r = z = a 2 + b 2
a

b
+ Tìm ϕ thoả mãn đồng thời cos ϕ = và sin ϕ =
r
r
Trang 19


Chun đề Sớ phức LTĐH

Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) .
● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu ϕ là 1 argument thì mọi argument
đều có dạng ϕ + k 2π ( k ∈ ¢ ) và z n có một argument là nϕ .
● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy ra nếu z1 , z2 lần lượt có một
z1
argument là ϕ1 , ϕ 2 thì z1 z2 và
có argument lần lượt là ϕ1 + ϕ 2 , ϕ1 − ϕ 2 .
z2
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1, z = i
2, z = 1 + i

3, z = −1 + i

4, z = 1 + 3i

5, z = 3 − i

6, z = − 3 − i

7, z = −1 + 3i

8, z = 9 − 9 3i

1
3
9, z = − +
i
4 4

Bài 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

(

)

(

1, z = 1 − 3i (1 + i )
3+i
−1 + i

4, z =

)

3, z = 2i

2, z = 1 + 3i (1 − i )
5, z =

1
2 + 2i

(

3−i

)

6, z = (1 + i )(−2 − 2i )i

1
3 
i ÷÷(−3 + 3i ) 2 3 + 2i
9, z =  −
2 2 
Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

7, z = 3(1 − i)(−5 + 5i )

1, z = (3 − i )(1 − 3i )
4, z =

)

7, z = 1 + 3i ( −1 − i)
Bài 4: 1, Tính cos

(
(

5, z =

(

1 − 3i
1+ i

)
3 + 2i ) ( −5

(

2, z = 2 + 3i (1 + 3 3i)

(i − 3)(1 + 12i )
5 + 2i

(

8, z =

8, z =

(

3, z = −2i −4 + 4 3i (3 + 3i)

3 + 17i

)

2 3+i

)

2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức: z = 1 +

6, z =

(2

11 + 3 3i

)

3 + 5i (−1 + i )

1 + 3i ) (
9, z = (
7

3 − i (1 + 7i )(1 − 2i )

π
π
và sin .
8
8

)

(

2

3+i

)

( −1 + i ) 9

)

2 −1 i .

Bài 5: Tuỳ theo góc ϕ , viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
1, z = 1 + cos ϕ + i sin ϕ
2, z = 1 + cos ϕ − i sin ϕ
3, z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
4, z = 1 − cos ϕ − i sin ϕ

5, z = 1 + sin ϕ + i cos ϕ

7, z = cos ϕ + i (1 + sin ϕ )

8, z = cos ϕ + i (1 − sin ϕ )

10, z =

1 − sin ϕ + i cos ϕ

1 + cos ϕ + i sin ϕ

6, z = 1 − sin ϕ + i cos ϕ
1 − cos ϕ − i sin ϕ
9, z =
1 + cos ϕ + i sin ϕ

11, z = ( 1 − cos ϕ − i sin ϕ ) ( 1 + cos ϕ + i sin ϕ )
Trang 20

)

8


Chuyên đề Số phức LTĐH

Bài 6: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:
π
π
π
π
π
π

1, z = −2  cos + i sin ÷ 2, z = cos − i sin
3, z = sin + i cos
6
6
17

17
17
17


π
π
π
π
π
π


4, z = −  cos + i sin ÷
5, z = 9  − cos + i sin ÷ 6, z = 1 − cos − i sin
7
7
6
6
6
6


Bài 7: Tìm một argument và tính mơđun của mỗi số phức sau:
1, z = 2 − 6i

2, z = − 5 + 15i

3, z = 2 + 3 − i

4, z = 2 − 3 − i

5, z = 2 − 3 + i

6, z = (4 + 7i)( −3 − 11i)

5 + 11 3i
−1 − 7 3i
3 2 + 5i
3 − 2i
−4
8, z =
9, z =
7 − 4 3i
2 3 + 5i
1 + 2i
2 +i
Bài 8: Tìm một argument và tính mơđun của mỗi số phức sau:
π
π
π
π
1, z = 1 − cos − i sin
2, z = 1 + sin − i cos
12
12
5
5

7, z =

(
3, z =
(

2 3 + 2i

)

8

(1 − i )6

5, z = 1 + 3i

)

2013

+

(2
(

(1 + i )6
3 − 2i

+ 1 − 3i

Bài 9: 1, Tính cos

)

)

8

2013

4, z =

(

(1 − i ) 4
3−i

−
6, z = (

+

) (
10

3−i

(1 + i )

6

)

1
2 3 + 2i

)

4

5

.

−33 + 19 3i
6 + 13 3i

π
π
và sin .
12
12

π
π
+ i sin )
6
6
2, Xác định môđun và argument của số phức: z =
.
6+ 2+ 6− 2 i

4(cos

(

)

Bài 10: Cho số phức z có mơđun bằng 1. Biết một argument của z là ϕ , tìm một
argument của số phức:
1
1, w = 2 z 2
2, w = −
3, w = z + z
4, w = z 2 + z
2z
Bài 11: Viết dạng lượng giác căn bậc hai của số phức z, biết:
7π
1, z = 5 và một argument của iz là
.
9
2, z = 4 và một argument của i.z là π .
1
−3π
z
và một argument của
là
.
3
4
1+ i
Bài 12: Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng:

5π
1, z = 2 và một argument của (1 + i ) z là
.
12

3, z =

Trang 21


Chuyên đề Số phức LTĐH

(

)

2, zz = 9 và một argument của 1 − 3i z là

π
.
4

3, z − 1 = z − 3 và một argument của z − 3 bằng một argument của z + 3 cộng
π
với .
2
z
1
2π
4, z = và một argument của

là
.
3+i
4
3
5, z =

(

)

z (1 − i ) 4 + 3 3i
3
π
và một argument của
là
.
16
12
−13 + 3i

z+3
π
là .
z −3
4
π
7, z − 1 = z − 3i và một argument của i.z là .
6

6, 1 − 2 z = i − 2 z và một argument của

2π
1 − 3i
8, 2 z − i = 2 + z − z và một argument của
là −
.
3
z

Bài 13: Cho hai số phức z1 = 2 + i 2 và z2 = 1 + i 3 .
1, Tính mơđun và argument của hai số phức nói trên.
z13
2, Tính mơđun và argument của các số phức z , z và 2 .
z2
3
1

2
2

π
π
và sin .
12
12
π
π
π
π



Bài 14: Cho hai số phức z1 = 3  cos + i sin ÷ và z2 = 2  cos + i sin ÷ .
3
3
4
4


Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
z1
1
1
1, z1 z2
2,
3,
4,
z2
z1
z2
3, Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos

Bài 15: Cho các số phức z1 = 6 − i 2 , z2 = −2 − 2i và z3 =

z1
.
z2

1, Viết z1 , z2 , z3 dưới dạng lượng giác.
2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos

7π
7π
và sin
.
12
12

3, Tính w = z1 z2 .

(

2 −i 6

)

2013

2014
Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác số phức: z =  π
5π 
 sin − i sin ÷
3
6 


Trang 22


Chuyên đề Số phức LTĐH

Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải tốn
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
1, z = i9
4, z = (

(

3−i

1 + 3i

)

)

(

6

2, z = 1 − 3i

21

)

16

π
π 5


3, z =  cos − i sin ÷i 1 + 3i
3
3


(

(1 + i )10

( 1− i)

18

 5 + 7i 
5, z = 
÷
 6+i 

(1 − i)9

6, z =

)

7

10

( 3 + i )9

Bài 2: Tìm số phức z sao cho:
1
1
1, z 5 và 2 là hai số phức liên hợp
2, z 4 và 3 là hai số phức liên hợp
z
z
3
32
10 + 22i
3
3, z và 2 là hai số phức liên hợp
4, z =
8 + 3i
z
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

( )

1, A =

(1 − i )10

(

3+i

( −1 − i 3 )

10

)

5

21

 5 + 3 3i 
3, C = 
÷
÷
 1 − 2 3i 

2013

 i 
2, B = 
÷
 1+ i 

4, D =

(

(1 + i )10
3+i

)

Bài 4: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực, số ảo?
n

 5 + 3 3i 
2, z = 
÷÷
 1 − 2 3i 

n

 3 + 11i 
1, z = 
÷
 4 − 7i 

n

 13 3 + 9i 
4, z = 
÷
÷
 12 − 3i 

5, z =

(7 + 17i )
(2 + 3i ) 2 n

n

n

 3 − 3i 
3, z = 
÷÷
 3 − 3i 

6, z =

(

−59 − 11 3i

(3

3 − 2i

)

)

n

2n

Bài 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:
n

n− 2
 3−i 

 5−i 
z1 = 
là số thuần ảo.
÷
÷ là số thực và z2 =  2 − 3i ÷
1
−
3
i



Bài 6: Giải các bài tốn sau:

(

)

(

6

1, Tính giá trị của biểu thức: A = 1 + i 3 (1 − i )5 + (1 + i )5 1 − i 3
2013
2, Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = z +

1
z 2013

, biết z +

)

6

1
=1.
z

1
3
3, Cho số phức z = − + i
. Tính w = z 2011 + z 2012 + z 2013 .
2
2

1
3
4, Cho số phức z = − i
. Tính C = 1 − z + z 2 − z 3 + z 4 − ... − z 9 + z10 .
2
2

5,(A-2013) Cho số phức z = 1 + 3i . Viết dưới dạng lượng giác của số phức z.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức w = (1 + i) z 5 .
Trang 23

9