Điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ
HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

PHẠM THẾ ANH

ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ
HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:
62 46 01 06

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả nêu
trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong
bất cứ một công trình nào khác.

NCS. Phạm Thế Anh


Mục lục
Lời cam đoan
Mục lục

1

Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt

3

Mở đầu

4

1. Kiến thức chuẩn bị và tổng quan

9

1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 13

1.3

Điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . 18

2. Điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên

21

2.1

Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2

Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . . . . 27

2.3

Điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên . . 47

3. Ứng dụng vào phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 60
3.1

Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau . . . . . . . . . 60

3.2

Ứng dụng của các định lý điểm bất động . . . . . . . . . . 66
1


Kết luận và kiến nghị

73

Các kết quả chính của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận
án

74

Tài liệu tham khảo

75

2


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

N

Tập hợp các số tự nhiên

R

Tập hợp các số thực

R+

Tập hợp các số thực dương

C[a; b]

Không gian các hàm số liên tục trên [a; b]

L(X)

Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

LX
0 (Ω)

Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị

LX
p (Ω)

Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích cấp p

A, F

σ-đại số

B(X)

σ-đại số Borel của X

A×F

σ-đại số tích của các σ-đại số A và F

2X

Họ các tập hợp con khác rỗng của X

C(X)

Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X

H(A, B)

Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B

Graph(T) Đồ thị của toán tử ngẫu nhiên T
P

Độ đo xác suất

p-lim

Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất

h.c.c.

Hầu chắc chắn

[x]

Phần nguyên của số thực x

.

Chuẩn

3


MỞ ĐẦU
Trong toán học, điểm bất động (đôi khi còn được gọi là điểm cố định,
hay điểm bất biến) của một ánh xạ, là điểm mà ánh xạ biến điểm đó
thành chính nó. Từ những năm đầu thể kỉ 20, các nguyên lý điểm bất
động lần lượt ra đời trong đó đáng nói đến nhất là: nguyên lý điểm bất
động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach [7] (1922) và định lý
điểm bất động Schauder [51] (1930). Các kết quả này đã được mở rộng
đối với các lớp ánh xạ khác nhau, trong các không gian khác nhau và đã
được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học. Ta có thể thấy ứng
dụng của các nguyên lý điểm bất động trong việc giải quyết vấn đề tồn
tại lời giải của phương trình (toán tử, vi phân, tích phân, ...), trong các
bài toán xấp xỉ nghiệm, ...

Tiếp theo các kết quả trong trường hợp không ngẫu nhiên, rất nhiều
kết quả về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu. Vào
giữa thập niên 1950, O. Hans và A. Spacek ở trường Đại học Tổng hợp
Prague đã khởi xướng những nghiên cứu đầu tiên về điểm bất động của
toán tử ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan (xem [28, 53]). Các tác giả đã
đưa ra các điều kiện đủ ban đầu để toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động
ngẫu nhiên. Sau các công trình của O. Hans và A. Spacek, một số dạng
tương tự của các định lý điểm bất động tất định nổi tiếng khác cho trường
hợp ngẫu nhiên cũng đã được chứng minh. Cùng với việc nghiên cứu các
vấn đề về điểm bất động ngẫu nhiên, các vấn đề về phương trình toán
tử ngẫu nhiên cũng đã được quan tâm đến. Các nghiên cứu về phương
trình toán tử ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương
trình toán tử tất định. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý

4


thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa về bài
toán điểm bất động ngẫu nhiên để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm
ngẫu nhiên.
Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu
nhiên thực sự được quan tâm nghiên cứu sau sự ra đời cuốn sách Random
integral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems in
probabilistic analysis (1976) của A. T. Bharucha-Reid (xem [15, 16]).
Trong bài báo của mình, A. T. Bharucha-Reid đã chứng minh định lý
điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là dạng ngẫu nhiên
của nguyên lý ánh xạ co Banach và định lý điểm bất động Schauder
dạng ngẫu nhiên. Từ đó, nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộng
các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh dạng
ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định (xem

[11, 21, 32, 37, 60]). Vào những năm 1990, một số tác giả như H. K. Xu,
K. K. Tan, X. Z. Yuan,... đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu
nhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nhất
định, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định
thì toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (xem [14, 54, 60]).
Gần đây, một số tác giả như N. Shahzad, D. O’Regan, R. P. Agarwal
đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng
các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó dạng ngẫu nhiên của
nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh
(xem [47, 50]). Đặc biệt, trong bài báo [57] các tác giả D. H. Thang và T.
N. Anh đã chứng minh các kết quả tổng quát về sự tương đương tồn tại
nghiệm của phương trình tất định với phương trình ngẫu nhiên, sự tồn
tại điểm bất động của toán tử tất định và toán tử ngẫu nhiên.

5


Tiếp theo bài toán điểm bất động ngẫu nhiên, bài toán điểm bất động
ngẫu nhiên chung của nhiều toán tử ngẫu nhiên cũng đã được nghiên cứu
một cách kỹ lưỡng. Tuy nhiên, điều kiện để nhiều toán tử có điểm bất động
chung thường là phức tạp, do đó bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đã
được quan tâm nghiên cứu. Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên được
nghiên cứu nhiều đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị và
toán tử đa trị (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]).
Một cách tổng quát, có thể xem toán tử ngẫu nhiên như một ánh xạ
biến mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên. Bên
cạnh đó, ta coi mỗi phần tử của không gian metric như là một biến ngẫu
nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1. Với cách quan
niệm như vậy, ta có thể đồng nhất không gian metric X như tập con
(gồm các biến ngẫu nhiên suy biến) của không gian LX

0 (Ω) các biến ngẫu
nhiên X-giá trị. Từ đó, với mỗi toán tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào
Y
Y ta xây dựng được một ánh xạ Φ từ LX
0 (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế của

Φ trên X trùng với f . Ngoài ra mối liên hệ giữa sự tồn tại điểm bất động
ngẫu nhiên của f và Φ cũng được thiết lập. Với mục đích mở rộng miền
xác định của toán tử ngẫu nhiên, trong [1, 5, 58] các tác giả đã đưa ra
khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ biến mỗi biến
ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên
nhận giá trị trong không gian metric. Sử dụng các tính toán thuần túy
xác suất, các tác giả đã chứng minh được một số kết quả ban đầu tương
tự như của O. Hadzic và E. Pap về điểm bất động của toán tử hoàn toàn
ngẫu nhiên.
Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu
nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, là cơ sở để xét đến các bài

6


toán về điểm bất động, điểm trùng nhau và bài toán về phương trình toán
tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Ngoài ra luận án đề cập đến các kết quả nghiên
cứu về điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên, từ đó áp dụng các định lý điểm bất động và định lý điểm trùng
nhau để tìm nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Luận án gồm 3 chương.
Chương 1 trình bày tổng quan về các khái niệm và kết quả đã biết
của các tác giả khác liên quan đến định lý điểm bất động và điểm trùng
nhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên. Các kết quả của chương

này được trích dẫn và bỏ qua chứng minh chi tiết.
Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định
lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên,
tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo,
chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một
số dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cuối cùng, một số kết quả về
điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến.
Nội dung chính của chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động
và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểm
bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các
ứng dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử
hoàn toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên
để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên. Nội dung chính của
chương này là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn
toàn ngẫu nhiên.
Các kết quả của luận án đã được trình bày tại Seminar của Bộ môn

7


Xác suất - Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học KHTN
- ĐHQGHN, tại Hội thảo Xác suất Thống kê mừng thọ GS. Nguyễn Duy
Tiến 70 tuổi (Hà Nội, 18/08/2012), tại Đại hội Toán học Việt Nam lần
thứ 8 (Nha Trang, 10-14/08/2013), và được công bố trong các bài báo
[1, 2, 3] trang 77 của luận án.
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Đặng
Hùng Thắng. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc và
chân thành tới GS. TSKH. Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng
dẫn và chỉ bảo tác giả trong suốt những năm cuối đại học, quá trình học

cao học và trong quá trình nghiên cứu sinh.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tác giả nhiều tài
liệu bổ ích.
Tác giả xin cảm ơn các thành viên tham dự Seminar Toán tử ngẫu
nhiên của bộ môn Xác suất - Thống kê đã tạo điều kiện cho tác giả được
trình bày và giúp đỡ tác giả kiểm tra các kết quả nghiên cứu.
Tác giả xin cảm ơn các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp trong cơ quan
Học viện Kỹ thuật Quân sự và Đoàn 871 Bộ Quốc Phòng đã tạo điều
kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, chia sẻ giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành được quá trình
học tập của mình.
Hà Nội, ngày 10 tháng 03 năm 2015
Nghiên cứu sinh
Phạm Thế Anh

8


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các khái niệm cơ bản và trình
bày một cách tổng quan các kết quả về điểm bất động, điểm trùng nhau
của các toán tử ngẫu nhiên mà chúng tôi sẽ sử dụng làm tiền đề để xây
dựng các kết quả trong các phần sau của luận án. Các kết quả được trích
dẫn và không được chứng minh chi tiết.

1.1

Các khái niệm cơ bản

Cho Ω là tập khác ∅, được gọi là không gian mẫu. Họ F các tập con của
Ω được gọi là một σ-đại số nếu thỏa mãn các tính chất ∅ ∈ F, Ω \ A ∈ F
∞

với mọi A ∈ F và

An ∈ F với mọi An ∈ F, n = 1, 2, ... Mỗi phần
n=1

tử của σ-đại số F được gọi là một tập đo được. Cặp (Ω, F) gọi là một
không gian đo được. Ánh xạ P : F → [0; 1] được gọi là độ đo xác suất
∞

∞

An

nếu thỏa mãn P (∅) = 0, P (Ω) = 1 và P
n=1

=

P (An ) với mọi
n=1

An ∈ F sao cho Am ∩ An = ∅, m = n. Với mỗi A ∈ F, P (A) gọi là độ đo
xác suất của tập A. σ-đại số F gọi là đầy đủ với độ đo xác suất P nếu
mọi tập con của tập có xác suất 0 là tập đo được. Bộ ba (Ω, F, P ) gọi
là không gian xác suất. Một không gian xác suất gọi là đầy đủ nếu F là

σ-đại số đầy đủ. Không gian metric khả ly và đầy đủ được gọi là không
gian Polish (xem [29]).
Cho X là một không gian metric, σ-đại số Borel B(X) của X là σ-đại
số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X. Trong toàn bộ luận án, khi
nói đến σ-đại số các tập con của không gian metric ta hiểu đó là σ-đại số
Borel.
9


Cho (X, A) và (Y, B) là các không gian đo được. Khi đó σ-đại số trên
X × Y ký hiệu bởi A × B được xác định là σ-đại số nhỏ nhất chứa các
tập A × B, trong đó A ∈ A, B ∈ B. Với hai không gian tôpô X, Y bất kỳ
ta có B(X × Y ) chứa B(X) × B(Y ). Tuy nhiên nếu X và Y là các không
gian Polish thì B(X × Y ) = B(X) × B(Y ) (xem [54]).
Cho (Ω, F) là không gian đo được và X là không gian metric. Ánh xạ
ξ : Ω → X gọi là F-đo được nếu
ξ −1 (B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ F

(1.1)

với mọi B ∈ B(X). Nếu (Ω, F, P ) là không gian xác suất, ξ : Ω → X
là ánh xạ F-đo được thì ξ được gọi là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị
trong X hay biến ngẫu nhiên X-giá trị. Tập hợp tất cả các lớp tương
đương của các biến ngẫu nhiên X-giá trị được ký hiệu là LX
0 (Ω) và được
trang bị tô pô hội tụ theo xác suất.
Định nghĩa 1.1.1. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫu
nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω → f (ω, x) là một
biến ngẫu nhiên Y -giá trị. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X được gọi là
toán tử ngẫu nhiên trên X. Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R được gọi là

phiếm hàm ngẫu nhiên.
Với mỗi x cố định, f (ω, x) là một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong
Y . Do đó ta có thể coi toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y như một quy tắc
cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X một biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong
Y . Nói cách khác, toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y chính là ánh xạ từ X
vào LY0 (Ω).
Nhận xét 1.1.2. Các ví dụ về toán tử ngẫu nhiên có thể được tìm thấy
trong các tài liệu [1, 55, 56] và nhiều tài liệu khác.
10


Định nghĩa 1.1.3. Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên.
Toán tử ngẫu nhiên f gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu
với mọi x ∈ X
f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c..

(1.2)

Ta thấy tập các ω mà f (ω, x) = g(ω, x) nói chung phụ thuộc vào x.
Theo quan điểm xác suất, nếu hai biến ngẫu nhiên bằng nhau h.c.c. thì
có thể coi là trùng nhau. Vì cả toán tử ngẫu nhiên và bản sao của nó xác
định cùng một ánh xạ từ X vào LY0 (Ω) nên trong nhiều trường hợp có
thể đồng nhất toán tử ngẫu nhiên với bản sao của nó.
Định nghĩa 1.1.4. 1. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là
đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là F × B(X)-đo được.
2. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi
ω quỹ đạo f (ω, .) của f là ánh xạ liên tục từ X vào Y .
3. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz (ngẫu
nhiên) nếu tồn tại biến ngẫu nhiên không âm k(ω) sao cho với mọi
x, y ∈ X

d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y).

(1.3)

4. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co (ngẫu nhiên) nếu
f là toán tử Lipschitz với k(ω) ∈ [0; 1), ∀ω ∈ Ω.
Định lý 1.1.5 ([29, Định lý 6.1]). Cho X, Y là các không gian Polish và
f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó f là toán tử ngẫu
nhiên đo được. Hơn nữa nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì ánh xạ
ω → f (ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị.

11


Nhận xét 1.1.6. Từ Định lý 1.1.5 ta thấy với toán tử ngẫu nhiên, tính
Lipschitz suy ra tính liên tục, tính liên tục suy ra tính đo được.
Định nghĩa 1.1.7 (Điểm bất động ngẫu nhiên). Biến ngẫu nhiên ξ :
Ω → X gọi là điểm bất động (ngẫu nhiên) của toán tử ngẫu nhiên f :
Ω × X → X nếu
f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c.

(1.4)

Nếu ξ : Ω → X là ánh xạ nào đó (không đo được) thỏa mãn (1.4),
thì ξ còn được gọi là điểm bất động tất định của f . Ta nhận thấy nếu
f : Ω × X → X có điểm bất động ngẫu nhiên thì f có điểm bất động
tất định. Ngược lại không đúng. Để đơn giản, trong các phần sau ta hiểu
điểm bất động là điểm bất động ngẫu nhiên, trừ trong các kết quả có nói
rõ về điểm bất động ngẫu nhiên và tất định.
Định nghĩa 1.1.8. Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phương

trình có dạng
f (ω, x) = g(ω, x)

(1.5)

với f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y .
Định nghĩa 1.1.9. 1. Phương trình (1.5) được gọi là có nghiệm tất
định với hầu hết Ω nếu tồn tại tập D có xác suất 1 sao cho với mỗi
ω ∈ D tồn tại phần tử u(ω) ∈ X sao cho
f (ω, u(ω)) = g(ω, u(ω)).

(1.6)

Khi đó u(ω) gọi là nghiệm tất định của phương trình (1.5).
2. Phương trình (1.5) được gọi là có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại biến
ngẫu nhiên ξ : Ω → X sao cho
f (ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω))
12

h.c.c.

(1.7)


Khi đó ξ gọi là nghiệm ngẫu nhiên của phương trình (1.5).

1.2

Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên

Lịch sử phát triển của bài toán điểm bất động bắt đầu từ các định lý
điểm bất động của L. E. J. Brouwer, S. Banach và J. Shauder. Đầu tiên,
ta xem xét bài toán điểm bất động của toán tử liên tục tổng quát và của
toán tử thỏa mãn các điều kiện co. Vào đầu thế kỉ 20, L. E. J. Browder
đã ghi dấu ấn đầu tiên bằng việc đưa ra định lý điểm bất động cho hàm
liên tục từ hình cầu đóng vào chính nó. Sau đó là nguyên lý ánh xạ co
của S. Banach được chứng minh năm 1922 ([7]) và định lý điểm bất động
J. Shauder năm 1930 ([51]).
Đối với điểm bất động ngẫu nhiên, năm 1957 trong bài báo của mình
O. Hans ([28]) đã bước đầu đưa ra các điều kiện đảm bảo một ánh xạ
ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên dưới dạng xấp xỉ đến nghiệm
của phương trình ngẫu nhiên.
Cùng với sự phát triển của các định lý điểm bất động trong trường
hợp tất định, các định lý điểm bất động ngẫu nhiên cũng đã bắt đầu được
nghiên cứu nhiều sau bài báo của O. Hans. Năm 1976 trong bài báo tổng
quan của mình, tác giả A. T. Bharucha-Reid ([16]) đã chứng minh định
lý điểm bất động cho toán tử co ngẫu nhiên.
Định lý 1.2.1 ([16, Định lý 7]). Cho T : Ω × X → X là toán tử co ngẫu
nhiên, X là không gian Banach khả ly. Khi đó T có điểm bất động duy
nhất.
Cũng trong bài báo [16], tác giả A. T. Bharucha-Reid đã xét đến
phương trình giá trị riêng ngẫu nhiên dạng (T (ω) − λI)x = y(ω) (tác
13


giả ký hiệu T (ω, x) bởi T (ω)x) và đưa ra điều kiện để phương trình có
nghiệm.
Định lý 1.2.2 ([16, Định lý 8]). Cho T (ω) là toán tử co từ không gian
Banach khả ly X vào chính nó, k(ω) là biến ngẫu nhiên không âm nhận
giá trị thực bị chặn h.c.c. Khi đó với mỗi số thực λ = 0 sao cho k(ω) < |λ|

h.c.c đều tồn tại toán tử ngẫu nhiên S(ω) là nghịch đảo của T (ω) − λI,
với I là toán tử đồng nhất trên X.
Ngoài ra trong bài báo [16], tác giả A. T. Bharucha-Reid chứng minh
dạng ngẫu nhiên của định lý điểm bất động Schauder, tức là đưa ra điều
kiện để một toán tử ngẫu nhiên liên tục có điểm bất động.
Định lý 1.2.3 ([16, Định lý 10]). Cho E là tập compact, lồi trong không
gian Banach khả ly X và T (ω, x) là toán tử ngẫu nhiên liên tục trên E.
Khi đó tồn tại biến ngẫu nhiên E-giá trị ξ(ω) là điểm bất động của T .
Năm 1979 trong bài báo [31], tác giả S. Itoh đã chứng minh hệ quả
về điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên compact.
Hệ quả 1.2.4 ([31, Hệ quả 2.2]). Cho E là tập compact (hoặc khả ly và
đóng) trong không gian Banach X, T : Ω × E → E là toán tử ngẫu nhiên
compact theo nghĩa T (ω, .) là compact với mọi ω ∈ Ω. Khi đó T có điểm
bất động.
Đến năm 1993 trong bài báo [54], các tác giả K. K.Tan và X. Z. Yuan
đã có những chứng minh đầu tiên về mối liên hệ giữa điểm bất động tất
định và điểm bất động ngẫu nhiên. Không gian Suslin là không gian tôpô
Hausdorff và là ảnh liên tục của không gian Polish. Tập con Suslin của
không gian tôpô là không gian con của không gian tôpô và cũng là không
14


gian Suslin. Ký hiệu I và J lần lượt là tập các dãy con vô hạn và hữu hạn
của tập số nguyên dương. Gọi G là họ các tập hợp nào đó và F : J → G là
một ánh xạ. Với mỗi σ = (σi )∞
i=1 ∈ I và n ∈ N, ta ký hiệu (σ1 , ..., σn ) bởi
∞

F (σ/n) được gọi là nhận được từ G bằng toán tử Suslin.

σ/n, thì
σ∈I n=1

Từ đó, nếu mọi tập con nhận được từ G theo cách như trên cũng thuộc
G, thì G gọi là họ Suslin. Sử dụng phương pháp hàm chọn, các tác giả đã
thu được các kết quả sau.
Định lý 1.2.5 ([54, Định lý 2.3]). Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là
họ Suslin, X là không gian tôpô và X0 là tập con Suslin của X. Giả sử
T : Ω × X0 → 2X có đồ thị Graph(T ) ∈ Σ × B(X0 × X). Khi đó T có
điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức
là T (ω, .) có điểm bất động trong X0 với mỗi ω ∈ Ω.
Định lý 1.2.6 ([54, Định lý 2.5]). Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là họ
Suslin và X0 là tập con Suslin của không gian metric khả ly X. Giả sử
T : Ω × X0 → C(X) là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó T có điểm bất
động ngẫu nhiên khi và chỉ khi T có điểm bất động tất định, tức là với
mỗi ω ∈ Ω, T (ω, .) có điểm bất động trong X0 .
Năm 1995, tác giả B. S. Choudhury trong [18] đã sử dụng dãy lặp
Ishikawa để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên nếu
dãy lặp hội tụ trong không gian Hilbert.
Định lý 1.2.7 ([18, Định lý 1]). Cho X là không gian Hilbert khả ly,
T : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục sao cho tồn tại ánh xạ u :
Ω → X (không yêu cầu đo được) thỏa mãn ||T (ω, x)−u(ω)||

||x−u(ω)||

với mọi ω ∈ Ω và x ∈ X. Khi đó với mọi biến ngẫu nhiên ξ0 : Ω → X và

15

dãy biến ngẫu nhiên (ξn (ω)) xác định bởi dãy lặp Ishikawa
ξn+1 (ω) = αn T (ω, ηn (ω)) + (1 − αn ) ξn (ω) ,
ηn (ω) = βn T (ω, ξn (ω)) + (1 − βn ) ξn (ω)
nếu hội tụ thì hội tụ tới điểm bất động của T , trong đó các dãy số thực
(αn ), (βn ) thỏa mãn
∞

0 < αn , βn < 1, lim sup βn = M < 1,
n

αn βn = +∞.
n=1

Trong bài báo [12] năm 2006, các tác giả I. Beg và M. Abbas sử dụng
phương pháp lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động của toán tử
ngẫu nhiên co yếu.
Định lý 1.2.8 ([12, Định lý 5.2]). Cho F là tập con lồi, đóng của không
gian Banach khả ly X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếu
theo nghĩa với bất kỳ x, y ∈ F
T (ω, x) − T (ω, y)

x − y − f ( x − y ) ∀ω ∈ Ω

(1.8)

trong đó f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, không giảm, f (t) = 0
khi và chỉ khi t = 0, limt→+∞ f (t) = +∞. Khi đó T có điểm bất động.
Cũng trong bài báo [12], các tác giả I. Beg và M. Abbas đã chứng
minh định lý về quá trình lặp đến điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên
co yếu.

Định lý 1.2.9 ([12, Định lý 5.3]). Cho F là tập con lồi, đóng của không
gian Banach khả ly X, và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên co yếu.
Giả sử dãy biến ngẫu nhiên (ξn (ω)) từ Ω vào F , được gọi là dãy lặp Mann
(xem [38]), xác định bởi công thức
ξn+1 (ω) = (1 − αn ) ξn (ω) + αn T (ω, ξn (ω)) với mỗi ω ∈ Ω,
16

(1.9)


∞

n = 0, 1, 2, ..., trong đó 0

αn

αn = +∞, ξ0 (ω) : Ω → F là biến

1,
n=1

ngẫu nhiên bất kỳ. Khi đó dãy lặp (ξn (ω)) hội tụ về điểm bất động của T .
Năm 2010 trong bài báo [57], các tác giả D. H. Thang và T. N. Anh
bằng phương pháp hàm chọn đã chứng minh kết quả sau đối với phương
trình toán tử ngẫu nhiên.
Định lý 1.2.10 ([57, Định lý 2.3]). Cho X, Y là các không gian Polish
và f, g : Ω × X → Y là các toán tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó phương
trình ngẫu nhiên f (ω, x) = g(ω, x) có nghiệm ngẫu nhiên khi và chỉ khi
phương trình có nghiệm tất định với hầu hết ω ∈ Ω.
Hơn nữa nếu với hầu hết ω ∈ Ω phương trình f (ω, .) = g(ω, .) có

duy nhất nghiệm tất định, thì phương trình f (ω, x) = g(ω, x) có duy nhất
nghiệm ngẫu nhiên.
Từ định lý này, các tác giả đã thu được kết quả sau chỉ ra mối liên hệ
giữa sự tồn tại điểm bất động tất định và điểm bất động ngẫu nhiên.
Định lý 1.2.11 ([57, Định lý 3.1]). Cho X là các không gian Polish,
f : Ω × C → X là toán tử ngẫu nhiên đo được. Khi đó f có điểm bất động
ngẫu nhiên khi và chỉ khi với hầu hết ω ∈ Ω, ánh xạ f (ω, .) có điểm bất
động tất định.
Định lý 1.2.11 cho thấy đối với trường hợp toán tử ngẫu nhiên đo
được, vấn đề tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên tương đương với sự tồn
tại điểm bất động tất định cho hầu hết ω. Mặt khác vấn đề điểm bất
động tất định đã được nghiên cứu gần như đầy đủ, với số lượng rất lớn
các công trình. Như vậy trước khi có bài báo [57], việc chứng minh sự
tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên đo được mà
17


sử dụng kết quả trong trường hợp tất định kết hợp với định lý hàm chọn
đến đây không còn nhận được nhiều sự quan tâm nữa. Vì thế, để đưa
ra các kết quả về điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên đo được, các
tác giả thường chứng minh trực tiếp thông qua phương pháp dãy lặp mà
không sử dụng cách chứng minh dựa trên định lý hàm chọn như trước.
Đến bây giờ nhiều dạng dãy lặp đã được sử dụng, điển hình là các dãy
lặp Picard, dãy lặp Mann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp ba bước, dãy lặp ẩn,
... Sử dụng phương pháp lặp, số các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên
được chứng minh phong phú hơn rất nhiều so với sử dụng phương pháp
hàm chọn.

1.3

Điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu
nhiên

Tiếp theo sự xuất hiện bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên,
bài toán điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên cũng đã được quan
tâm đến. Lần lượt các công trình [11] năm 1994, [17] năm 1995, [45] năm
2000, [46] năm 2000, [40] năm 2003, [47] năm 2004, [33] năm 2004 , [41]
năm 2005, [48] năm 2005, [49] năm 2006, [34] năm 2006, [22] năm 2006,
[35] 2007, [36] năm 2008, [42] năm 2010, [20] năm 2010, [57] năm 2010,
[25] năm 2011 ... đã đưa ra nhiều kết quả quan trọng về điểm trùng nhau
của các toán tử ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.3.1. Cho T1 , T2 , ..., Tn : Ω × X → X là các toán tử ngẫu
nhiên. Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi là điểm trùng nhau (ngẫu nhiên)
của các toán tử ngẫu nhiên T1 , T2 , ..., Tn nếu
T1 (ω, ξ(ω)) = T2 (ω, ξ(ω)) = ... = Tn (ω, ξ(ω)) h.c.c.
18

(1.10)


Định nghĩa 1.3.2. Ánh xạ đo được ξ : Ω → X được gọi là điểm trùng
nhau (ngẫu nhiên) của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X và toán
tử ngẫu nhiên đa trị T : Ω × X → CB(X) nếu với mọi ω ∈ Ω ta có
f (ω, ξ(ω)) ∈ T (ω, ξ(ω)).
Cho ánh xạ ξ0 : Ω → X. Nếu tồn tại dãy (ξn (ω)) sao cho f (ω, ξ2n+1 (ω)) ∈
S(ω, ξ2n (ω)), f (ω, ξ2n+2 (ω)) ∈ T (ω, ξ2n+1 (ω)), n = 0, 1, 2, ..., thì Of (ξ0 (ω)) =
{f (ω, ξn (ω)) : n = 1, 2, 3, ... với mỗi ω ∈ Ω} gọi là quỹ đạo của (S, T, f )
tại ξ0 (ω). Nếu Of (ξ0 (ω)) hội tụ trong X thì X gọi là (S, T, f, ξ0 (ω))-quỹ
đạo đủ (xem [40]).
Định lý 1.3.3 ([40, Định lý 3.1]). Cho X là không gian Banach khả ly,

S, T : Ω × X → CB(X) là hai toán tử ngẫu nhiên đa trị liên tục, f :
Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên sao cho S(ω, X) ∪ T (ω, X) ⊆ f (ω, X),
T (ω, x), f (ω, X) = {f (ω, x) : x ∈ X}. Giả sử với

với T (ω, X) =
x∈X

mỗi ánh xạ đo được ξ0 : Ω → X, f (ω, X) là (S, T, f, ξ0 (ω))-quỹ đạo đủ
với mọi ω và
H (S (ω, x) , T (ω, x))

α (ω) max {d (f (ω, x) , f (ω, y)) ,
d (f (ω, x) , S (ω, x)) , d (f (ω, y) , S (ω, y)) ,
[d (f (ω, x) , T (ω, y)) + d (f (ω, y) , T (ω, x))] /2}
(1.11)

với mọi x, y ∈ X, mọi ω ∈ Ω và α : Ω → (0; 1) là ánh xạ đo được. Khi đó
tồn tại duy nhất điểm trùng nhau của S, T và f .
Dựa trên phương pháp lặp, năm 1994 các tác giả I. Beg, N. Shahzad
đã chứng minh định lý về điểm trùng nhau của một toán tử ngẫu nhiên
và một toán tử ngẫu nhiên đa trị.
Cho (X, d) là không gian Polish. Ánh xạ T : X → CB(X) và f :
X → X gọi là tương thích nếu với bất kỳ dãy (xn ) thuộc X thỏa mãn
19


limn f xn ∈ limn T xn (nếu các giới hạn tồn tại) thì limn H(f T xn , T f xn ) =
0. Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X và T : Ω × X → CB(X) gọi là
tương thích nếu f (ω, .) và T (ω, .) là tương thích với mọi ω ∈ Ω (xem [8],
[9]).

Định lý 1.3.4 ([11, Định lý 5.1]). Cho T : Ω × X → CB(X) là toán tử
ngẫu nhiên đa trị và f : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên liên tục sao
cho T (Ω, X) ⊆ f (ω, X) với mọi ω ∈ Ω. Nếu f , T là tương thích và với
mọi x, y ∈ X, ω ∈ Ω,
H (T (ω, x) , T (ω, y))

λ (ω) d (f (ω, x) , f (ω, y))

(1.12)

với λ : Ω → (0; 1) là ánh xạ đo được thì tồn tại duy nhất điểm trùng nhau
của f và T .
Kết luận: Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một cách tóm
lược các khái niệm liên quan đến bài toán điểm bất động và điểm trùng
nhau của các toán tử ngẫu nhiên. Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trình bày
một cách tổng quan các kết quả đã nhận được trong quá trình hình thành
và phát triển của bài toán điểm bất động và điểm trùng nhau của các
toán tử ngẫu nhiên.

20


Chương 2
ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU
CỦA CÁC TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN
Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y có thể coi là một tác động biến
phần tử x trong X thành đầu ra ngẫu nhiên f (ω, x) nhận giá trị trong
Y . Trong một số trường hợp, ngay cả đầu vào cũng bị ảnh hưởng bởi môi
trường ngẫu nhiên, một tác động biến các phần tử ngẫu nhiên nhận giá
trị trong X thành đầu ra ngẫu nhiên nhận giá trị trong Y được gọi là

toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên từ X vào Y .
Chương này trình bày kết quả về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên
thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo đó, các kết quả về điểm
bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được
xét đến. Chú ý rằng định lý điểm bất động và điểm trùng nhau của các
toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên không được suy ra một cách trực tiếp từ
các định lý tương ứng trong trường hợp tất định, hay trong trường hợp
ngẫu nhiên.
Nội dung chương này bao gồm các mục: 2.1 Toán tử hoàn toàn ngẫu
nhiên, 2.2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, 2.2 Điểm
trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các kết quả trong
chương này được công bố trong các bài báo [1, 2, 3] trang 76 của luận án.

2.1

Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Trong các chương tiếp theo, chúng tôi xét X là không gian Banach khả ly
và (Ω, F, P ) là không gian xác suất đầy đủ. Giả sử f : Ω×X → X là toán
tử ngẫu nhiên liên tục. Theo Định lý 1.1.5, nếu f là toán tử ngẫu nhiên
21


liên tục thì với mọi biến ngẫu nhiên u : Ω → X, ánh xạ ω → f (ω, u(ω))
đo được và cũng là biến ngẫu nhiên. Do đó ta có thể xét
X
Φ : LX
0 (Ω) → L0 (Ω)

(2.13)

xác định bởi Φu(ω) = f (ω, u(ω)) với mọi u ∈ LX
0 (Ω).
Khi đó có thể coi X là tập con các biến ngẫu nhiên suy biến (biến
ngẫu nhiên nhận một giá trị cụ thể cố định với xác suất 1) của tập các
biến ngẫu nhiên LX
0 (Ω). Hơn nữa, hạn chế của Φ trên X trùng với toán
tử ngẫu nhiên f . Từ đó, ta nhận được Φ là sự mở rộng của f lên toàn bộ
X
X
LX
0 (Ω) và ta gọi Φ : L0 (Ω) → L0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Không gian LX
0 (Ω) các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong X với tô pô
hội tụ theo xác suất là không gian đầy đủ theo nghĩa mỗi dãy (un ) trong
X
LX
0 (Ω) hội tụ đến phần tử u ∈ L0 (Ω) khi và chỉ khi dãy đó là cơ bản

theo xác suất. Không gian LX
0 (Ω) cũng là không gian metric hóa được
với nhiều metric khác nhau (sự hội tụ theo các metric đó tương đương
với sự hội tụ theo xác suất). Khi đó ta có thể coi Φ như là một ánh xạ
giữa hai không gian metric. Tuy nhiên ở đây chúng tôi xét đến góc độ
xác suất của toán tử Φ, với các giả thiết dựa trên các biểu thức xác suất
chứ không dựa trên các metric của LX
0 (Ω).
Sau đây là định nghĩa toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.
Định nghĩa 2.1.1 ([1, Định nghĩa 3.3.1]). Cho X, Y là các không gian

Banach khả ly.
Y
1. Ánh xạ Φ : LX
0 (Ω) → L0 (Ω) được gọi là toán tử hoàn toàn ngẫu

nhiên.
2. Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ được gọi là liên tục nếu với mỗi dãy
22