Ứng dụng phương pháp newton và phương pháp dây cung giải gần đúng phương trình phi tuyến (

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN


VŨ THỊ HUỆ

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ
PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI – 2015


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN


VŨ THỊ HUỆ

ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP NEWTON VÀ
PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG GIẢI GẦN
ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI – 2015


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian học tập, nghiên cứu tại khoa Toán Trƣờng Đại Học Sƣ
Phạm Hà Nội 2, đƣợc sự dạy dỗ và chỉ bảo tận tình của các thầy cô, em đã
tiếp thu đƣợc nhiều kiến thức khoa học, kinh nghiệm và phƣơng pháp học tập
mới, bƣớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc toàn thể các thầy các cô trong
khoa Toán trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2 – những ngƣời đã luôn chăm
lo, dìu dắt chúng em trƣởng thành nhƣ ngày hôm nay.
Đặc biệt em xin cảm ơn thầy giáo PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH,
ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong
thời gian em thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2015
Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của thầy
giáo PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH cùng với sự cố gắng của bản thân em.
Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả nghiên
cứu của bản thân, không trùng với khóa luận của tác giả nào.
Hà Nội, tháng 5 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Vũ Thị Huệ


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................. 1
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN .............................................. 3
1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối ....................................... 3
1.1.1 Số gần đúng ...................................................................................... 3
1.1.2 Sai số tuyệt đối ................................................................................. 3
1.1.3 Sai số tƣơng đối................................................................................ 3
1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số ............................................ 4
1.2.1 Làm tròn số ...................................................................................... 4
1.2.2 Sai số của phép làm tròn số.............................................................. 5
1.3 Cách viết số xấp xỉ .................................................................................. 5
1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc ........................................................... 5
1.3.2 Chữ số đáng tin ................................................................................ 5
1.3.3 Cách viết số xấp xỉ ........................................................................... 6
1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phƣơng trình. ........ 6
1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phƣơng trình......................................... 6
1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm) ................................ 7
1.5 Đạo hàm và vi phân của toán tử ............................................................. 8
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP NEWTON ..................................................... 9
2.1 Mô tả phƣơng pháp ................................................................................ 9
2.2 Mô tả phƣơng pháp bằng hình học ...................................................... 11

2.3 Bậc hội tụ .............................................................................................. 12
2.4 Tốc độ hội tụ của phƣơng pháp Newton ............................................. 12
2.5 Sai số của phƣơng pháp Newton ........................................................... 14


2.6 Một số ví dụ ........................................................................................ 14
CHƢƠNG 3. PHƢƠNG PHÁP DÂY CUNG ................................................ 32
3.1 Mô tả phƣơng pháp ............................................................................... 32
3.2 Mô tả phƣơng pháp bằng hình học ....................................................... 34
3.3 Tốc độ hội tụ của phƣơng pháp dây cung ............................................ 34
3.4 Sai số của phƣơng pháp dây cung ....................................................... 36
3.5 Một số ví dụ ......................................................................................... 37
KẾT LUẬN………………………………………………………………….57
TÀI LIỆU THAM KHẢO


LỜI NÓI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc từ
thực tiễn. Cùng với thời gian, Toán học ngày càng phát triển chia làm hai lĩnh
vực: Toán học lý thuyết và Toán ứng dụng. Nói đến Toán học ứng dụng
không thể không nói đến Giải tích số, đó là một môn khoa học nghiên cứu
cách giải gần đúng các phƣơng trình, các bài toán xấp xỉ, bài toán tối ƣu.
Việc giải các phƣơng trình phi tuyến f(x) = 0, trong nhiều trƣờng hợp
không có công thức giải chính xác nên hầu hết các phƣơng trình cần giải gần
đúng. Do vậy, một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của
phƣơng trình đó.
Phƣơng pháp Newton và Phƣơng pháp dây cung là công cụ hữu hiệu để
giải gần đúng phƣơng trình f(x) = 0. Vì nhờ hai phƣơng pháp này phƣơng
trình phi tuyến f(x) = 0 đƣợc thay thế bởi phƣơng trình tuyến tính xấp xỉ và

nghiệm gần đúng của phƣơng trình tuyến tính thay thế sẽ hội tụ đến nghiệm
của phƣơng trình phi tuyến nói trên.
Dƣới góc độ của một sinh viên sƣ phạm chuyên ngành Toán và trong
phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết
của mình về vấn đề:
“Ứng dụng phƣơng pháp Newton và phƣơng pháp dây cung giải
gần đúng phƣơng trình phi tuyến”
2. Mục đích nghiên cứu
Hiểu và lắm vững hai phƣơng pháp giải gần đúng phƣơng trình phi
tuyến, tìm nghiệm của phƣơng trình với độ chính xác cần thiết hoặc sai số cho
phép.
Áp dụng phần mềm Toán học nhƣ: Maple và Pascal vào để giải quyết
một số bài toán.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu Phƣơng pháp Newton và phƣơng pháp dây cung giải
phƣơng trình f(x) = 0, trong f là hàm số một biến số thực; ứng dụng các
phƣơng pháp đó giải một số phƣơng trình phi tuyến cụ thể.
4. Đối tƣợng nghiên cứu.
Phƣơng trình phi tuyến tính.
Các cách giải và bài tập áp dụng.
Giải toán trên Maple và trên Pascal.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Tra cứu và tham khảo tài liệu.
Viết thuật toán chạy chƣơng trình.
Đƣa ra và giải các ví dụ minh họa cho từng phƣơng pháp.

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN
Trong chƣơng này chúng ta trình bày một số kiến thức cơ bản về số
gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối, làm tròn số và sai số của phép làm
tròn số, cách viết số xấp xỉ, sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của
phƣơng trình, đạo hàm và vi phân của toán tử.
1.1 Số gần đúng, sai số tuyệt đối, sai số tƣơng đối
1.1.1 Số gần đúng
Ta nói rằng q là số gần đúng của q* nếu q không sai khác q* nhiều,
hiệu số  = q* - q gọi là sai số thực sự của q.
Nếu  > 0 thì q là giá trị gần đúng thiếu của q*
Nếu  < 0 thì q là giá trị gần đúng thừa của q*
1.1.2 Sai số tuyệt đối
Trong tính toán, thƣờng ta không biết số đúng q* mà chỉ biết số gần
đúng của nó là q. Khi đó ta nói “q xấp xỉ q* ” và viết là “q xấp xỉ q* ”. Độ
lệch h = q* - q đƣợc gọi là sai số thực của q*.
Do không biết q* nên ta cũng không biết h. Tuy nhiên, ta có thể tìm
đƣợc số dƣơng q ≥ 𝑕 sao cho:
q - q  q*  q +q
Số q bé nhất mà ta xác định đƣợc gọi là sai số tuyệt đối của q
Nếu số xấp xỉ của q* có sai số tuyệt đối là q ta viết:
q* = q ± q

(1.1.1)

với nghĩa: q - q  q*  q +q
1.1.3 Sai số tương đối

Tỷ số

𝛿 q = qq

(1.1.2)

gọi là sai số tƣơng đối của q.

3


Ta suy ra q = q. 𝛿 q

(1.1.3)

Do đó (1.1.1) có thể viết thành:
q* = q(1 ± 𝛿 q)
Công thức (1.1.2) và (1.1.3) cho ta hệ thức liên hệ giữa sai số tuyệt đối
và sai số tƣơng đối.
Nhận xét:
Độ chính xác của một phép đo thƣờng đƣợc phản ánh qua sai số tƣơng
đối.
1.2 Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
1.2.1 Làm tròn số
Xét số thập phân dạng tổng quát:
q = ± (qp.10p +…+ qi.10i +…+ qp-s.10p-s)

(1.2.1)

Với qj  ℕ, j , qp  0, 0  qj  9

Nếu p - s  0 thì q là số nguyên
Nếu p - s = -k (k > 0) thì q có phần lẻ gồm k chữ số
Nếu p – s  thì q là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số q là bỏ đi một số các chữ số bên phải của q để đƣợc 𝑞 gọn
hơn và gần đúng với số q
Quy tắc làm tròn số nhƣ sau: Xét số q ở dạng (1.2.1) và ta sẽ giữ lại đến
bậc thứ i, phần bỏ đi là  thì :
𝑞 = ±(qp.10p +… + qi+1.10i+1 +…+ 𝑞i.10i)
Trong đó:
1

𝑞i =

𝑞𝑖 , 0   < . 10𝑖
2
1

𝑞𝑖 + 1,  > . 10𝑖
2

Nếu  =

1
2

. 10𝑖 thì 𝑞i =

𝑞𝑖 𝑛ế𝑢 𝑞𝑖 = 2𝑙 (𝑙 ℕ)
𝑞𝑖 + 1 𝑛ế𝑢 𝑞𝑖 = 2𝑙 + 1 (𝑙 ℕ)

4


1.2.2 Sai số của phép làm tròn số
Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn số là q, nhƣ vậy q  0 là số thỏa
mãn điều kiện:
q - 𝑞 q
Vì

q = qp.10p +…+ qi.10i +

Còn 𝑞 = qp.10p +…+ qi+1.10i+1 +…+ 𝑞i.10i
1

nên q - 𝑞=(𝑞𝑖 - 𝑞i).10𝑖 + < . 10𝑖
2

sau khi thu gọn sai số tuyệt đối tăng lên:
q* - q q* - q +q - 𝑞  q + q
tức là sau khi làm tròn số thì sai số tuyệt đối tăng thêm q
1.3 Cách viết số xấp xỉ
1.3.1 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
+ Xét số q có dạng (1.2.1) nghĩa là đƣợc viết dƣới dạng số thập phân.
Khi đó, chữ số có nghĩa là một số khác 0 và những số không bị kẹp giữa hai
chữ số khác 0 hoặc nó là những số 0 hoặc nó là những số 0 ở hàng đƣợc giữ
lại.
+ Xét số q ở dạng (1.2.1).
q = ± (qp.10p +…+ qi.10i +…+ qp-s.10p-s) ,
chữ số qi ở (1.2.1) của chữ số q là chữ số chắc nếu: q  .10i ( là
tham số cho trƣớc).

Tham số  sẽ đƣợc chọn sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
làm tròn vẫn là chữ số chắc.
1.3.2 Chữ số đáng tin
Mọi số thập phân q đều có thể viết dƣới dạng:
q=±

𝑞𝑠 . 10𝑠

(1.3.1)

Trong đó: qs là những số nguyên 0 9

5


Ví dụ: 34.214 = 3.101 + 4.100 + 2.10-1 + 1.10-2 + 4.10-3
Tức là q có dạng (1.3.1) với 1 = 3, 0= 4, -1= 2, -2= 1, -3= 4 là các
chữ số qs ở (1.3.1).
Giả sử q là xấp xỉ của q* với sai số tuyệt đối giới hạn là q. Ta chú ý là
chữ số đứng ở hàng thứ s của q.
Nếu q  0.5.10s thì nói qs là chữ số đáng tin, ngƣợc lại thì nói qs là chữ
số đáng nghi.
Nhƣ vậy ta đã gắn khái niệm sai số tuyệt đối với khái niệm chữ số đáng
tin.
Ví dụ:
Cho q = 6.8274 với q = 0.0043 thì các chữ số 6, 5, 8, 2 là đáng tin,
còncác chữ số 7, 4 là đáng nghi. Nếu cho q = 0.0067 thì các chữ số 6, 5, 8 là
đáng tin, còn các chữ số 2, 7, 4 là đáng nghi.
1.3.3 Cách viết số xấp xỉ
Cho các số q là xấp xỉ của q* với giá trị tuyệt đối q. Có hai cách viết

số xấp xỉ q
Cách 1: Viết kèm sai số theo công thức (1.1.1)
Cách 2: Viết theo quy ƣớc mọi chữ số có nghĩa đáng tin
Một số viết theo cách viết thứ 2 có nghĩa là nó có sai số tuyệt đối không
lớn hơn một nửa đơn vị hàng cuối cùng.
1.4 Sự tồn tại nghiệm thực và khoảng tách nghiệm của phƣơng trình.
1.4.1 Sự tồn tại nghiệm thực của phương trình
Xét phƣơng trình: f(x) = 0

(1.4.1)

Định lí (1.4.1)
Nếu có hai số thực a và b (a < b) sao cho f(a).f(b) < 0, đồng thời f(x)
liên tục trên 𝑎, 𝑏 thì tồn tại ít nhất một nghiệm thực của phương trình (1.4.1)
ở trong khoảng 𝑎, 𝑏 .

6


1.4.2 Khoảng tách nghiệm (khoảng phân li nghiệm)
Định nghĩa:
Khảng 𝑎, 𝑏 nào đó đƣợc gọi là khoảng phân li nghiệm của phƣơng
trình (1.4.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phƣơng trình đó.
Để tìm khoảng phân li nghiệm (khoảng tách nghiệm) ta có các định lí sau:

Định lí (1.4.2).
Hàm f(x) liên tục, đơn điệu trên 𝑎, 𝑏 và f(a).f(b) < 0 thì 𝑎, 𝑏 là
khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1)

Định lí (1.4.3).

'
Hàm f(x) xác định trên 𝑎, 𝑏 có f ( x) không đổi dấu trên 𝑎, 𝑏 và

f(a).f(b) < 0 thì (a, b) là khoảng tách nghiệm của phương trình (1.4.1).
Ví dụ
Cho phƣơng trình: x3 - x – 2 = 0, chứng tỏ phƣơng trình có nghiệm thực
và tìm khoảng tách nghiệm của phƣơng trình.
Giải
Đặt f(x) = x3 – x - 2
'
Ta có f(x) xác định và liên tục với mọi x, đồng thời f ( x) = 3x2 – 1 = 0

tại x= 

1
3

Trong đó:
1

M = f(- )
3

7


Vậy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Mặt khác f(1) < 0, f(2) > 0 nên phƣơng trình đã cho có một nghiệm
thực và phân li trong 1,2 .
1.5 Đạo hàm và vi phân của toán tử

Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn F: X  Y, xác định trên
tập con mở B nào đó của không gian X, ta nói ánh xạ đó khả vi tại x  B nếu
tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn L(x)  L (X, Y) sao cho
F(x + h) – F(x) = L(x)h + (x, h) , hY

(1.5.1)

Trong đó
(𝑥,𝑕)
𝑕

𝑕  0

 0 khi

Cũng có thể viết tắt là:
F(x + h) – F(x) = L(x)h + 0( 𝑕 )
Từ (1.5.1) suy ra một ánh xạ khả vi tại x sẽ liên tục tại điểm đó. Biểu
thức L(x)h (rõ ràng là phần tử của không gian Y với mọi h thuộc X đƣợc gọi là
vi phân mạnh hay vi phân Frechet) của ánh xạ F tại điểm x. Toán tử L(x) đƣợc
gọi là đạo hàm chính xác hơn là đạo hàm mạnh của ánh xạ F tại x kí hiệu:
F ' ( x) . Nếu F khả vi tại điểm x thì đạo hàm tƣơng ứng đƣợc xác định duy nhất.

Thật vậy, đẳng thức:
𝐿1 𝑕 − 𝐿2 𝑕 = 0(h)
đối với toán tử Li  L(X, Y); i = 1, 2 chỉ xảy ra khi L1 = L2
Một số tính chất:
 Nếu F(x) = y0 = const thì F ' ( x) = 0 ( F ' ( x) là toán tử không)
 Đạo hàm của ánh xạ tuyến tính liên tục L chính là ánh xạ đó
L' ( x) = L. Thật vậy, theo định nghĩa ta có L (x+h) – L(x) = L(h).

8


CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP NEWTON
Trong chƣơng này, em trình bày phƣơng pháp Newton giải gần đúng
phƣơng trình phi tuyến. Đồng thời em cũng giải mẫu một số ví dụ bằng
phƣơng pháp Newton, lập trình trên Maple, trên Pascal và đƣa ra các bài tập
áp dụng.
2.1 Mô tả phƣơng pháp
Xét phƣơng trình:
f(x) = 0

(2.1.1)

với giả thiết f  C2 𝑎, 𝑏 và thỏa mãn:
i) f(a).f(b) < 0
'
''
ii) Các đạo hàm f ( x) , f ( x) không đổi dấu trên 𝑎, 𝑏

Định nghĩa:
''
Điểm x0 đƣợc gọi là điểm Fourier của f(x) nếu f(x0) f ( x) > 0

Ý chủ đạo của phƣơng pháp Newton là tìm cách thay phƣơng trình
(2.1.1), phi tuyến đối với x, bằng một phƣơng trình gần đúng, tuyến tính đối
với x.
Ta có công thức Taylor.
Cho hàm P(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n + 1 tại x0 và lân cận x0.

Khi đó công thức sau đây gọi là khai triển Taylor bậc n của P(x) tại x0:
P( x)  P( x0 )  ( x  x0 ).P ' ( x0) ) 
.P ( n ) ( x0 ) 

( x  x0 ) 2 "
( x  x0 ) n
.P ( x0 )  ... 
2!
n!

( x  x0 ) n 1 ( n 1)
.P
(c )
n 1

c = x0 + (x – x0), 0 <  < 1 ( c là số trung gian giữa x và x0)
Xét phƣơng trình (2.1.1), giả thiết nó có nghiệm thực  duy nhất ở
'
trong 𝑎, 𝑏 . Giả sử hàm f có đạo hàm f ( x)  0 tại x  𝑎, 𝑏 và đạo hàm cấp

9


''
hai f ( x) tại x 𝑎, 𝑏 . Ta chọn x0 ∈ 𝑎, 𝑏 rồi viết khai triển Taylor bậc nhất

của f(x) tại x0:
f(x) = 𝑓 𝑥0 +

𝑓 ′ 𝑥0

1!

(x – x0) +

𝑓 ′′ 𝑐
2!

(x – x0)2

x  (a, b), c = x0 + (x – x0)  (a, b)
Nhƣ vậy phƣơng trình (2.1.1) viết lại đƣợc:
0 = 𝑓 𝑥0 +

𝑓 ′ 𝑥0
1!

(x – x0) +

𝑓 ′′ 𝑥 0
2!

(x – x0)2,

với x đủ gần x0 thì x – x0 là một đại lƣợng nhỏ nên (x – x0)2 rất nhỏ, bỏ
qua số hạng cuối cùng ta đƣợc phƣơng trình:
'
f(x0) + (x – x0) f ( x0 ) = 0

(2.1.2)

Nhƣ vậy, ta đã thay phƣơng trình (2.1.1) bằng phƣơng trình (2.1.2) đơn
giản hơn nhiều và (2.1.2) tuyến tính đối với x.
'
Gọi x1 là nghiệm của (2.1.2) do đó ta có: f(x0) + (x1 – x0). f ( x0 ) 0

𝑓 𝑥0
𝑥0

 x1 = 𝑥0 − 𝑓 ′

Từ x1 ta tính đƣợc bằng cách tƣơng tự ra x2,… và một cách tổng quát
khi đã biết xn ta tính xn+1 theo công thức:
xn+1 = xn -

𝑓 𝑥𝑛
𝑓 ′ 𝑥𝑛

; n = 0, 1, 2,..

x0 chọn trƣớc thuộc 𝑎, 𝑏

(2.1.3)

(2.1.4) và xem xn là một giá trị gần đúng

của nghiệm .
Phƣơng pháp tính xn theo (2.1.3) và (2.1.4) gọi là phƣơng pháp
Newton.
Chú ý:
Phƣơng trình (2.1.2) dùng để thay cho phƣơng trình (2.1.1) là tuyến

tính đối với x và là phƣơng trình tiếp tuyến với đƣờng cong y = f(x) tại điểm
(x0,f(x0)) nên phƣơng pháp Newton cũng là phƣơng pháp tuyến tính hóa và là
phƣơng pháp tiếp tuyến.
Nhìn vào (2.1.3), (2.1.4) ta thấy phƣơng pháp Newton thuộc loại
phƣơng pháp lặp với hàm lặp là:

10


𝑓 𝑥

(x) = x - 𝑓 ′

𝑥

2.2 Mô tả phƣơng pháp bằng hình học
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên 𝑎, 𝑏 có đồ thị là cung AB
'
''
+ Nếu f ( x) . f ( x) > 0 thì qua điểm B(b,f(b)) dựng tiếp tuyến với đồ thị

y = f(x), tiếp tuyến cắt Ox tại x1.
Từ x1 dựng đƣờng thẳng song song với Oy, đƣờng thẳng này cắt đồ thị
y = f(x) tại K1(x1,f(x1)). Qua K1 dựng tiếp tuyến với đồ thị và nó cắt Ox tại x2.
Tiếp tục quá trình này ta đƣợc dãy 𝑥𝑛 .
'
''
+ Nếu f ( x) . f ( x) < 0 thì qua điểm A(a,f(a)) dựng tiếp tuyến với đồ thị

y = f(x) và làm hoàn toàn tƣơng tự nhƣ trên.

Từ đó có các trƣờng hợp đƣợc mô tả nhƣ sau:

A

11


2.3 Bậc hội tụ
Định nghĩa
Số   ,  > 0 gọi là bậc hội tụ của dãy xn đến giới hạn x* nếu tồn tại
hằng số c  0 sao cho:

lim
n 

xn 1  x*
xn  x

*

c

2.4 Tốc độ hội tụ của phƣơng pháp Newton
Cho r là nghiệm của phƣơng trình f(x) = 0 và xn là giá trị xấp xỉ thứ n
của r, ta xác định một số n nhƣ sau: n = r - xn.
Nếu với n đủ lớn thì chúng ta có mối quan hệ xấp xỉ nhƣ sau:

 n1  k  n

p

,

với k là hằng số dƣơng thì ta nói tốc độ hội tụ của phƣơng pháp bằng p, p
càng lớn thì dãy xn hội tụ càng nhanh đến r.
Theo phƣơng pháp Newton ta có:

xn1  xn 

f ( xn )
f '( x )
n

Lấy r trừ cả hai vế của phƣơng trình ta có:

12


r  xn1  r  xn 

f ( xn )
f '( x )
n

hay

 n1   n 

f ( xn )
f '( x )

(2.4.1)

n

Ta sử dụng khai triển Taylor trong lân cận của nghiệm r, f(r) = 0.
Ta có:

1
f ( xn )  f (r )   xn  r  f ' (r )  ( xn  r )2 f '' (r )  ...,
2
1
  n f ' (r )   n 2 f '' (r )  ...;
2
1
f ' ( xn )  f ' (r )  ( xn  r ) f '' (r )  ( xn  r )2 f ''' (r )  ...,
2
1
 f ' (r )   n f '' (r )   n 2 f ''' (r )  ...,
2
Ta sử dụng công thức khai triển Maclaurin của hàm
1
 1     2  ...,
1 

(2.4.2)

1
, ta đƣợc:
1 

(2.4.3)

Với khoảng hội tụ là   1 . Từ (2.4.1), (2.4.2) và sử dụng (2.4.3) ta
đƣợc:

 n1

n 

f ( xn )
f '( x )
n

n

1
 n f ' (r )   n 2 f '' (r )  ...
2

1
f ' (r )   n f '' (r )   n 2 f ''' (r )  ...
2

1
f '' (r )
 n   n 2
 ...
'
2

f (r )
n 
f '' (r )
1  n
 ...
f ' (r )

13




1
f '' (r )
f '' (r )
  n    n   n2
 ... (1   n
 ...)
'
'


2
f (r )
f (r )






''

f '' (r ) 
2  1 f (r )

  n   n   n

 ...
'
 2 f ' (r )



f (r ) 




1 f '' (r )

 n 2  ...
2 f ' (r )
Do đó:  n1  k

n

2

''
'

Khi n   thì k  1 f (r ) , điều kiện f (r ) > 0
2 f ' (r )

Vậy bậc hội tụ của phƣơng pháp Newton là p = 2.
2.5 Sai số của phƣơng pháp Newton
Ta có:

 − 𝑥𝑛 ≤

𝑓 𝑥𝑛
𝑚

0 < 𝑚 ≥ 𝑓′ 𝑥 , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏
Ngoài ra ta có công thức đánh giá sai số khác là:
𝑀

 − 𝑥𝑛 ≤ 2𝑚 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 +1

2

, với 𝑓 ′′ 𝑥

≤𝑀

Vì đạo hàm 𝑓 ′ , 𝑓 ′′ không đổi dấu trên 𝑎, 𝑏 nên ta có:
𝑚 = 𝑚𝑖𝑛 𝑓 ′ 𝑎 . 𝑓 ′ 𝑏
2.6 Một số ví dụ
a) Ví dụ
Ví dụ 2.6.1: Giải phƣơng trình bằng phƣơng pháp Newton:
𝑥2 − 𝑒 𝑥 − 1 = 0

Giải
Đặt 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 𝑒 𝑥 − 1 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥 − 𝑒 𝑥

14

(2.6.1)


1

Có 𝑓 −1 = − < 0, 𝑓 −2 = 3 − 𝑒 −2 > 0𝑓 −1 . 𝑓 −2 < 0.
𝑒

Do đó phƣơng trình (2.6.1) có nghiệm 𝑥 ∗ ∈ −2, −1
Theo phƣơng pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ
sau:
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 −

𝑓 𝑥𝑛
; 𝑛 = 0, 1, 2, …
𝑓 ′ 𝑥𝑛

Chọn xấp xỉ ban đầu là: 𝑥0 = −1,1 .
Khi đó ta có bảng sau:
n

xn

f(xn)

f ’(xn)

f(xn).f ‘(xn)-1

0

-1.1

-0.122871084

-2.532871084

0.048510595

1

-1.148510595

1,96786636.10-3

-0.99803467

-1.97174148.10-3

2

-1.146538884

-3.18317218.10-3

-2.610812353

1.219226721.10-3

3

-1.147758067

1.13548.10-6

-2.612863578

-5.18511572.10-7

4

-1.147757548

-2.18574.10-7

-2.612862705

8.365307507.10-8

5

-1.1477575632

Vậy nghiệm gần đúng của (2.6.1) là x5  -1.147757632.
Giải ví dụ 2.6.1 trên Maple:

[> fsolve(x^2-exp(x)-1,{x});
{x = -1.147757632}
Đồ thị của phƣơng trình là:

15


Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.1 với nghiệm:
x* -1.147757632:

n

0

1

2

n

-1.1

-1.148510595

-1.146538884

0.047757632

0.000752963

0.001218748

n

3

4

5

xn

-1.147758067

-1.147757548

-1.1477575632

5.04.10-7

1.5.10-8

0.000000000

n = |xn - x*|

n = |xn - x*|

Giải ví dụ 2.6.1 bằng chương trình Pascal:

16


Progam Giaividu2.6.1;
Uses crt;
Var x0, x1, w, e : real; i: byte;
x: array 1..10 of real;
functionf (x: real): real;
begin
f: = sqt(x)–exp(x) - 1;
end;
funtion Dhf(x: real): real;
begin
Dhf: = 2*x –exp(x);
end;
Begin
write(' nhap sai so w = '); readln(w);
write(' chon xap xi ban dau x0 = '); readln(x0);
writeln(' cac xap xi tiep theo la: ');
i: = 1; e: = 0;
repeat
begin
x1:= x0 - f(x0)/Dhf(x0);
writeln (' x', i ,' = ', x1: 2: 9);
e: = abs(x1 - x0);
x0: = x1;
i: = i + 1;
end;
until (e < w);
writeln(' vay nghiem xap xi cua phuong trinh la: ', x i : 2: 9);

17


readln;
End.
Kết quả:
Nhap sai so w = 0.00001.
Chon cac xap xi ban dau x0 = -1.1
Cac xap xi tiep theo la:
x[1] = -1.148510595
x[2] = -1.146538884
x[3] = -1.147758067
x[4] = -1.147757548
x[5] = -1.1477575632
Vay nghiem xap xi cua (2.6.1) la : -1.147757632
Ví dụ 2.6.2: Giải phƣơng trình sau bằng phƣơng pháp Newton, với độ
chính xác là 10-4:
x5 – x – 1=0

(2.6.2)

Giải
Đặt f(x) = x5 – x – 1  f „(x) = 5x4 – 1
Ta có:

f(1) = -1 < 0, f(3/2) = 5.09375 > 0

 f(1).f(3/2) < 0.
Do đó phƣơng trình f(x) = 0 có nghiệm x* (1;3/2)

Theo phƣơng pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp đƣợc xây dựng nhƣ
sau:
𝑥𝑛 +1 = 𝑥𝑛 −

𝑓 𝑥𝑛
; 𝑛 = 0, 1, 2, …
𝑓 ′ 𝑥𝑛

Chọn xấp xỉ ban đầu là x0 = 1.2
𝑥1 = 𝑥0 −

𝑓(𝑥0 )
𝑓(1.2)
=
1.2
−
≈ 1.169222886
𝑓 ′ (𝑥0 )
𝑓 ′ (1.2)

18


𝑥2 = 𝑥1 −
𝑥3 = 𝑥2 −

𝑓(𝑥1 )
≈ 1.16731102
𝑓 ′ (𝑥1 )

𝑓(𝑥2 )
≈ 1.167303979
𝑓 ′ (𝑥2 )

Ta có f(x3)  3.7.10-9 0
Vậy nghiệm gần đúng của (2.6.2) là x3 1.167303979 với độ chính
xác 10-4.
Giải ví dụ 2.6.2 trên Maple:
[>fsolve(x^5-x-1,{x});
{x = 1.167303978}
Đồ thị của (2.6.2) là:

Bảng đánh giá sai số của ví dụ 2.6.2 với nghiệm:
x* 1.167303978:

n

0

1

2

4

xn

1.2

1.169222886

1.16731102

1.167303979

0.032696022

1.918908.10-3

7.042.10-6

0.00000001

n = |xn - x*|

19