Đại số lớp 11 chương 2

Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

CHƯƠNG II . TỔ HỢP XÁC SUẤT.
A. TỔ HỢP
I. Qui tắc đếm

1. Qui tắc cộng:
Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A
hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực
hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó
có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân:
Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn
A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công
đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
Bài 1: Một trường THPT , có 26 học sinh giỏi khối 12, 43 học sinh giỏi khối 11,

59 học sinh giỏi khối 10. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn 1 học sinh
giỏi để đi dự trại hè. ( Đáp số : 128 cách )
Bài 2: Bạn B đi học từ nhà trường đến trường ; biết rằng từ nhà đến phà có 3
tuyến đường ;Từ bến phà đến trạm xe bt có 6 tuyến đường ; từ trạm xe bt
có 4 tuyến đường đến trường. Vậy Bạn B có bao nhiêu cách chọn tuyến đường
đi học.
Bài 3: Một lớp học có 19 học sinh nam, 11 học sinh nữ ( tất cả đều hát như ca
sĩ ). Vậy lớp học đó có bao nhiêu cách chọn 1 đơi song ca ( 1 nam, 1 nữ ) để đi
thi văn nghệ trường.
Bài 4: Một trường THPT có 26 học sinh giỏi khối 12, có 43 học sinh giỏi khối
11, 59 học sinh giỏi khối 10. Vậy nhà trường có bao nhiêu cách chọn 3 học

sinh giỏi đủ 3 khối để đi dự trại hè.
Bài 5: Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm có 10 câu, mỗi câu có 4 phương
án trả lời. hỏi bài thi có bao nhiêu phương án trả lời
Bài 6: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến
thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con
đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con
đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường
đi từ thành phố A đến thành phố D?
ĐS:
có 12 cách.
8
Bài 7: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.10 , chia hết cho 3, có thể
được viết bởi các chữ số 0, 1, 2?
ĐS: Có 2.37 – 1 = 4374 – 1 = 4373 (số)
Bài 8: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
Trang 1


Đại số 11

Gv : Đồn Văn Nghiêm

b) gồm 6 chữ số khác nhau.
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
ĐS:
a) 66
b) 6!
c) 3.5! = 360
Bài 9: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận

(đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
ĐS:
có 25.24 = 600 trận
Bài 10:
Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà
nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trò của nó không thay
đổi).
ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba ⇒ có 9.10.10 = 900 (số)
Bài 11:
a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7
bông hồng vàng. Hỏi có mấy cách chọn lấy 1 bông hoa?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những
chữ số khác nhau?
ĐS: a/ 18.
b/ 15.
Bài 12:
a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 5 chữ số?
b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
chẵn có 3 chữ số?
c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ
số đứng giữa thì giống nhau?
e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
ĐS: a/ 3125. b/ 168.
c/ 20
d/ 900.
e/ 180000.
Bài 13:
Một đội văn nghệ chuẩn bò được 2 vở kòch, 3 điệu múa và 6 bài hát.

Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kòch, 1 điệu múa và 1 bài hát.
Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết
rằng chất lượng các vở kòch, điệu múa, các bài hát là như nhau?
ĐS: 36.
Bài 14:
Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong
đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà
vạt nếu:
a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
ĐS: a/ 35.
b/ 29.
Bài 15: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết
rằng:
a/ x ∈ A, y ∈ A b/ {x, y} ⊂ A
c/ x ∈ A, y ∈ A và x + y = 6 .
ĐS:
a/ 25.
b/ 20.
c/ 5 cặp.
Trang 2


Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

Bài 16: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1.
Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng: x ∈ A, y ∈ A, x > y .

ĐS:

n(n − 1)
.
2

Bài 17: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số:

a/ Gồm 2 chữ số?
b/ Gồm 2 chữ số khác nhau?
c/ Số lẻ
gồm 2 chữ số?
d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
e/ Gồm 5 chữ số viết không
lặp lại?
f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
ĐS: a/ 25.
b/ 20.
c/ 15
d/ 8.
e/ 120.
f/ 24.
Bài 18: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a/ Khác nhau?
b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36

d/ 52.
e/ 48.
Bài 19: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ
số khác nhau nhỏ hơn 400?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác
nhau nằm trong khoảng (300 , 500).
ĐS: a/ 35.
b/ 24.
Bài 20: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên
toán. Thành lập một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên
toán và một học sinh chuyên tin. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như
trên?
Bài 21: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên
một chiếc ghế dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau.
Bài 22: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một
dãy sao cho hai viên bi cùng màu không được ở gần nhau.
II. Hoán vò

1. Giai thừa:
n! = 1.2.3…n
n! = (n–1)!n

Qui ước: 0! = 1

n!
= (p+1).(p+2)…n (với n>p)
p!
Trang 3

Đại số 11
n!
= (n–p+1).(n–p+2)…n
(n − p)!

Gv : Đồn Văn Nghiêm
(với n>p)

2. Hoán vò :
Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một
thứ tự nào đó được gọi là một hoán vò của n phần tử.
Số các hoán vò của n phần tử là: Pn = n!
Bài 1: Có hai dãy ghế . mỗi dãy 5 ghế. Xếp 5 nam , 5 nữ vào 2 dãy ghế trên, có
bao nhiêu cách nếu :
a) Nam và nữ được xếp tùy ý .
b) Nam 1 dãy ghế, nữ 1 dãy ghế
Bài 2: Có 1 bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh trong đó có 5 học sinh nữ. hỏi có
bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh sao cho :
a) Nam, nữ ngồi xen kẽ
b) Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau
Bài 3: a) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh 1 chiếc
bàn tròn , sao chon am và nữ ngồi xen kẽ nhau ?.
b) Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh 1 chiếc
bàn tròn sao cho mỗi bà vợ đều ngồi cạnh ơng chồng của mình ?
Bài 4: Một trường THPT có 4 học sinh giỏi khối 12, có 5 học sinh giỏi khối 11, có
6 học sinh giỏi khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên thành 1
hàng ngang để đón đồn đại biểu nếu :
a) Các học sinh được xếp bất kì
b) Các học sinh trong cùng 1 khối thì đứng kề nhau.
Bài 5: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau, biết rằng tổng của 3 chữ

số này bằng 18 ?
Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5?
b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23?
d) Không bắt đầu bằng 345?
ĐS:
a) 4!
b) 5! – 4! c) 3!
d) 5! – 2!
Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7,
9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c/ Bắt đầu bởi 19?
d/ Không bắt đầu bởi 135?
ĐS:
a/ 24.
b/ 96.
c/ 6
d/ 118.
Bài 8: Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng
(khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các
viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
ĐS: 298598400.

Trang 4

Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

Bài 9: Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác

nhau để có:
a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS: a/ 2.29!.
b/ 28.29!.
Bài 10: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số,
trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ
số còn lại có mặt đúng một lần?
ĐS: 3360.
Bài 11: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số,
trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
ĐS: 5880.

III. Chỉnh hợp
1. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n)
theo một thứ tự nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của
tập A.
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
Ank = n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =

n!
(n − k )!

• Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
• Khi k = n thì Ann = Pn = n!
Bài 1: ) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đơi một khác nhau?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó là số chẵn?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đơi 1 khác nhau và số đó là số lẻ
Bài 2: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.
Bài 3: a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau và bé hơn số
475 ?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số và bé hơn số 475 ?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đơi 1 khác nhau bé hơn số 475 và
là số lẻ ?
Bài 4: Xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ thành một hàng dọc . Hỏi có bao nhiêu cách
săp xếp :
a) Nam , nữ đứng xen kẽ .
b) Nữ ln đứng cạnh nhau
Trang 5


Đại số 11

Gv : Đồn Văn Nghiêm

c) Khơng có hai nam nào đứng cạnh nhau
Bài 5: Có thể lập ra được bao nhiêu số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu
bằng 0908, các chữ số còn lại khác nhau từng đơi một, khác với 4 chữ số đầu
và phải có mặt chữ số 6.
Bài 6: Có 6 học sinh lớp 11 và 3 học sinh lớp 12 sẽ ngồi trên 1 hàng nang có 9
ghế . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 9 học sinh đó sao cho mỗi

học sinh lớp 12 ngồi giữa hai học sinh lớp 11
Bài 7: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và

3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
3
. A63 cách
ĐS:
Có A10
Bài 8: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các
vectơ khác vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
ĐS: A42 = 12 vectơ
Bài 9: Một lớp học chỉ có các bàn đôi (2 chỗ ngồi). Hỏi lớp này có bao nhiêu
học sinh, biết rằng chỉ có thể sắp xếp chỗ ngồi cho học sinh của lớp này
theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)
An2 = 132 ⇔ n = 12
ĐS:
Bài 10: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?
ĐS:
a) 9.A94
b) Có 95 số
Bài 11: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?
ĐS:
a) 6. A64
b) 6. A53 + 3.5 A53

c) Số gồm 5 chữ số có dạng: abcde
• Nếu a = 5 thì có A64 số
• Nếu a ≠ 5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vò trí b, c,
d, e ⇒ có 4 cách chọn vò trí cho số 5. 3 vò trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số
còn lại ⇒ có A53 cách chọn.

⇒ Có A64 + 4.5. A53 = 1560 số
Bài 12: Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9 có thể lập bao nhiêu biển số xe gồm 3 chữ số
(trừ số 000)?
3
A10
− 1 = 999
ĐS:
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số với:
Trang 6


Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

a) Chữ số đầu và chữ số cuối giống nhau?
b) Chữ số đầu và cuối khác nhau?
c) Hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau?
ĐS:

4
a) 9. A10
= 9.104 số

6
5
− A10
b) Có tất cả: A10
= 9.105 số gồm 6 chữ số ⇒ Có 9.105 – 9.104 số

c) Có 9.10.10.10 = 9000 số
Bài 14: Có bao nhiêu số điện thoại có 6 chữ số? Trong đó có bao nhiêu số điện
thoại có 6 chữ số khác nhau?
ĐS:

6
a) A10
= 106

6
b) A10
= 15120

Bài 15: Một biển số xe gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ

cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, C, …, Z. Các chữ số được lấy từ 10 chữ số 0,
1, 2, …, 9. Hỏi:
a) Có bao nhiêu biển số xe trong đó có ít nhất một chữ cái khác chữ cái O
và các chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu biển số xe có hai chữ cái khác nhau và có đúng 2 chữ số lẻ
giống nhau?
ĐS:
a) Số cách chọn 2 chữ cái: 26 × 26 – 1 = 675 cách

4
A10
Số cách chọn 4 chữ số:
= 5040 cách
⇒ Số biển số xe:
675 × 5040 = 3.402.000 số
b) • Chữ cái thứ nhất: có 26 cách chọn
Chữ cái thứ hai: có 25 cách chọn
• Các cặp số lẻ giống nhau có thể là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9)
⇒ Có 5 cách chọn 1 cặp số lẻ.
Xếp một cặp số lẻ vào 4 vò trí ⇒ có C42 cách

⇒ Có 5. C42 cách sắp xếp cặp số lẻ.
• Còn lại 2 vò trí là các chữ số chẵn:
Chữ số chẵn thứ nhất: có 5 cách chọn
Chữ số chẵn thứ hai: có 5 cách chọn
⇒ Có 26 × 25 × 5 × C42 × 5 × 5 = 487500 cách
Bài 16: a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà tổng các chữ
số đó bằng 18?
b) Hỏi có bao nhiêu số lẻ thoả mãn điều kiện đó?
ĐS:
Chú ý:
18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 8
18 = 0 + 1 + 2 + 3 + 5 + 7
18 = 0 + 1 + 2 + 4 + 5 + 6
a) 3 × 5 × 5!
b) 192 + 384 + 192 = 768 số
Bài 17: Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp
phó và 1 thư ký. Hỏi có mấy cách chọn?
Trang 7

Đại số 11

Gv : Đồn Văn Nghiêm

ĐS: 6840.
Bài 18: Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu
11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
b/ Có 3 cầu thủ bò chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số
1 và cầu thủ B đá quả số 4.
ĐS: a/ 55440.
b/ 120.
Bài 19: Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên
một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
ĐS: a/ 6!.
b/ 360.
c/ 20160.
Bài 20: Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số
khác nhau và thoả:
a/ Số chẵn.
b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345.
d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS: a/ 312. b/ 24.
c/ 6.
d/ 120 ; 480.

Bài 21: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n
gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
a/ n là số chẵn?
b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)
ĐS: a/ 3000.
b/ 2280.
Bài 22: a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số
khác nhau và chia hết cho 3.
b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác
nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số
khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
ĐS: a/ 18.
b/ 42000.
c/ 13320.

Trang 8


Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

IV. Tổ hợp
1. Tổ hợp
Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Số các tổ hợp chập k của n phần tử:

Cnk =

n!
k !(n − k )!

• Qui ước: Cn0 = 1
Tính chất:
Cn0 = Cnn = 1
Cnk = Cnn −k

Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1
n − k + 1 k −1
Cnk =
Cn
k

3. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
• Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: Ank = k !Cnk
• Chỉnh hợp: có thứ tự.
Tổ hợp: không có thứ tự.
⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vò trí các phần tử –> chỉnh hợp
Ngược lại, là tổ hợp.
Bài tập

Bài 1. Từ 5 bơng hồng vàng, 3 bơng hồng trắng , 4 bơng hồng đỏ ( các bơng hồng
được coi là từng đơi 1 khác nhau). Người ta muốn chọn ra 1 bó hoa hồng gồm
7 bơng. Có bao nhiêu cách chọn .
a) 1 bó hoa trong đó có đúng 1 bơng hồng đỏ.

b) 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bơng hồng vàng và ít nhất có 3 bơng hồng đỏ
Bài 2. Có 9 viên bi xanh , 5 viên bi đỏ , 4 bi vàng có kích thước đơi 1 khác nhau.
a) Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi , trong đó có đúng hai viên bi đỏ
b) có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi , trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
Bài 3. Có một hộp đựng 5 bi xanh , 6 bi đỏ , 4 bi vàng.
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi , trong đó có 2 viên bi xanh và có nhiều nhất
2 viên bi vàng và phải có đủ 3 màu.
b) có bao nhiêu cách lấy ra 9 viên bi có đủ 3 màu.
Trang 9


Ñaïi soá 11

Gv : Đoàn Văn Nghiêm

Bài 4. Một đội CSGT gồm 15 người trong đó có 12 nam . Hỏi có bao nhiêu cách
phân đội CSGT đó về 3 chốt giao thông sao cho mỗi chốt có 4 nam và 1 nữ
Bài 5. Một lớp có 20 học sinh trong đó có 14 nam , 6 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách
lập 1 đội gồm 4 học sinh trong đó có.
a) Số nam và số nữ bằng nhau. b) ít nhất 1 nữ
Bài 6. Một đội văn nghệ gồm có 20 người , trong đó có 10 nam , 10 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ra 5 người. sao cho :
a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó
b) Có ít nhất 2 nam , ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
PHẦN I : DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN LẬP SỐ
Bài 1 : a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đều là số chẵn
c) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó các chữ số cách đều số
đứng giữa thì giống nhau

Bài 2 : a ) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó
chữ số đầu tiên là số lẻ
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có
đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ( chữ số đầu phải khác 0)
Bài 3 : Có bao nhiêu số tự nhiên :
a) Có 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ
b) Có 6 chữ số , là số lẻ và chia hết cho 9
c) Có 6 chữ số sao cho chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước
d) Có 6 chữ số sao cho chữ số đứng sau nhỏ hơn chữ số đứng trước
e) Có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10
f) Có 6 chữ số trong đó 3 chữ số liền nhau phải khác nhau
Bài 4 : Cho tập hợp E ={1,2,5,7,8} . Có bao nhiêu cách lập ra một số có 3 chữ số
khác nhau lấy từ E sao cho :
a) Số tạo thành là số chẵn
b) Số tạo thành là một số không có chữ số 5
c) Số tạo thành là 1 số nhỏ hơn 278
Bài 5 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt sao cho 1, 2,3 luôn đứng
cạnh nhau.
Bài 6 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một , trong đó nhất
thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 3
Bài 7 : Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho
trong mỗi số đều có mặt hai chữ số 8 và 9.
Bài 8 : Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ
số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó phải có mặt chữ số 0 và 1.
Bài 9 : a) có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau đôi 1 trong đó có mặt
chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1
b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần ,
chữ số 3 có mặt đún 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá 1 lần.
Trang 10

Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Ñaïi soá 11

Đáp số : a) 33600 b) 11340
Bài 10 : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số, sao cho không có chữ số nào lặp
lại đúng 3 lần.
Bài 11 : Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là
2,3,4,5. Hỏi có bao nhiêu số như thế , nếu :
a) 5 chữ số được xếp kề nhau
b) các chữ số được xếp tùy ý
Bài 12 : Trong các chữ số 0, 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số
trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần.
Bài 13: Từ các chữ số 2,3,4 có thể tạo ra bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số,
trong đó có đủ mặt 3 chữ số nói trên
Bài 14 : Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách
dung 7 chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho hai chữ số chẵn không đứng liền nhau.
Bài 15. Từ các chữ số 0, 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 8 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 3 lần , chữ số 4 có mặt 2 lần , các chữ số
còn lại có mặt đúng một lần
b) Có 9 chữ số sao cho chữ số 0 có mặt 2 lần, chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có
mặt 2 lần và các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần .
Bài 16. Từ các chữ số 1 ; 2; 3; 4 ; 5 ; 6;7;8. Có thể lập được bao nhiêu số có 12 chữ
số trong đó chữ số 5 có mặt đúng 2 lần . Chữ số 6 có mặt đúng 4 lần, các chữ
số còn lại có mặt đúng 1 lần.
Bài 17. Từ các chữ số 0; 1;2;3;4;5 có thể lập được bao nhiêu số có 8 chữ số trong
đó chữ số 5 có mặt 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần
Bài 18. Từ các chữ số 1;2;3;4;5; 6 có thể lập được bao nhiêu có thể lập được bao

nhiêu số có 7 chữ số trong đó số 4 có mặt đúng 2 lần, các chữ số còn lại có mặt
đúng 1 lần và các số này không bắt đầu bằng 12.
Bài 19. Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 8 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 3 lần, Chữ số 4 có mặt 2 lần, các chữ số
còn lại nếu có mặt thì có mặt không quá 1 lần
b) Có 10 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 1 lần. chữ số 2 có mặt 3 lần, chữ số 3 có
mặt 2 lần, các chữ số còn lại nếu có thì có mặt không quá 1 lần.
Bài 20 . Từ các chữ số 0;1;2;3;4;5 có bao nhiêu số gồm 6 chữ số phân biệt mà :
a) Các số chẵn đứng cạnh nhau
b) Các chữ số chẵn đứng cạnh nhau và các chữ số lẻ đứng cạnh nhau.
II. DẠNG TOÁN LẬP SỐ CHIA HẾT
Bài 1: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau và chia hết cho 15.
Bài 2. Cho A ={0,1,2,3,4,5}, từ các chữ số thuộc tập A lập được bao nhiêu số tự
nhiên có 5 chữ số và số đó chia hết cho 3.
Bài 3. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số và chia hết cho 9
Bài 4. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể thành lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác
nhau và số đó chia hết cho 6?
Akhông chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau đôi một
III. DẠNG TOÁN SẮP XẾP NGƯỜI HOẶC ĐỒ VẬT
Trang 11


Ñaïi soá 11

Gv : Đoàn Văn Nghiêm

Bài 1. Xếp 6 học sinh A,B,C,D,E,F vào 1 ghế dài, có bao nhiêu cách sắp xếp nếu :
a) 6 học sinh ngồi bất kì.
b) A và F luôn luôn ngồi ở hai đầu ghế

c) A và F luôn luôn ngồi cạnh nhau
d) A,B,C luôn luôn ngồi cạnh nhau
e) A,B,C,D luôn luôn ngồi cạnh nhau
f) A và F luôn luôn ngồi cạnh nhau.
Bài 2. Có 1 tổ có 5 nam và 3 nữ, trong đó có 2 bạn A và B. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp tổ trên thành 1 hàng ngang sao cho :
a) A và B đứng cách nhau 2 người
b) Giữa 2 người nữ có đúng 1 người nam
c) Không có 2 người nữ nào được đứng gần nhau
Bài 3. Có 5 ông già , 4 bà lão, 3 em bé. Có bao nhiêu cách sắp xếp vào 1 ghế dài
nếu :
a) Ông già, bà lão, em bé ngồi bất kì
b) Có 5 ông già ngồi cạnh nhau, 4 bà lão ngồi cạnh nhau, 3 em bé ngồi cạnh nhau.
c) 4 bà lão ngồi cạnh nhau , 3 em bé ngồi cạnh nhau.
Bài 4. Có 4 người đàn ông , 2 người phụ nữ và 1 đứa trẻ được xếp ngồi vào 7
chiếc ghế đặt quanh 1 bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho :
a) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà
b) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông
Bài 5. Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế mà
không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu :
a) Ghế xếp thành hành ngang
b) Ghế xếp quanh 1 bàn tròn
Bài 6. Một nhóm học sinh có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 em
này trên 1 hàng ngang trong mỗi yêu cầu sau đây :
a) Giữa hai bạn nữ bất kì đều không có 1 em nam nào
b) Hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có 2 em nữ nào ngồi cạnh
nhau.
Bài 7. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xung quanh một
chiếc bàn tròn, sao cho không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
Bài 8. Nhóm có 10 học sinh trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp

xếp 10 học sinh trên thành 1 hàng dọc, sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền
nhau.
Bài 9. Xếp 3 nam , 2 nữ vào 8 ghế. Có bao nhiêu cách , nếu :
a) Nam và nữ được xếp ngồi tùy ý
b) Xếp 5 người ngồi kề nhau
c) Xếp 3 nam ngồi kề, 2 nữ ngồi kề và giữa 2 nhóm có ít nhất 1 ghế trống.
Bài 10. Có 4 người đàn ông, 2 người phụ nữ và 1 đứa trẻ. Có bao nhiêu cách xếp
thành hàng ngang :
a) Sao cho 2 người phụ nữ và hai đứa trẻ đứng cạnh nhau
b) Sao cho hai đứa trẻ đứng giữa hai người đàn bà
c) Sao cho hai đứa trẻ đứng giữa hai người đàn ông
d) Đứa trẻ không đứng giữa hai người phụ nữ.
e) Hai người phụ nữ và đứa trẻ không đứng gần nhau.
Trang 12


Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

V. Nhò thức Newton

1. Công thức khai triển nhò thức Newton: Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b
ta có:
( a + b )n =

n

∑ Cnk an−k bk

k =0

2. Tính chất:
1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk an−k bk ( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng
nhau:
Cnk = Cnn −k

5) Cn0 = Cnn = 1 , Cnk −1 + Cnk = Cnk+1
* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhò thức Newton, ta gán cho a và b những
giá trò đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
Cn0 + Cn1 + ... + Cnn = 2 n
(1+x)n = Cn0 x n + Cn1 x n−1 + ... + Cnn
⇒
(x–1)n = Cn0 x n − Cn1 x n−1 + ... + (−1)n Cnn

⇒

Cn0 − Cn1 + ... + (−1)n Cnn = 0

Dạng 1: Xác đònh các hệ số trong khai triển nhò thức Newton
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhò thức:
10

12



1 
a)  x + 4 ÷
x 



1 
b)  x 2 + 4 ÷
x 


ĐS: a) 45
b) 495
Bài 2 : Khai triển các nhị thức sau :
a) ( x + 2 y )

5

b) ( 2x − 3y )

6

5


1 
c)  x 3 − 2 ÷
x 


c) –10
5

6


1

1
c)  2x − ÷ d)  + 2y ÷
y 

x

Trang 13

6

d)  x 2 − 1 ÷



d) 15


x


Ñaïi soá 11

Gv : Đoàn Văn Nghiêm

Bài 3 : Tìm số hạng thứ k trong các khai triển nhị thức sau :
1 ) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển ( x + 2 y )
2) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển ( x − 3 y )

13

11
15


2
3) Tìm số hạng thứ 8 trong khai triển  2x − ÷
y 


4) Tìm hệ số của x 101y 99 trong khai triển ( 2x − 3y )

(
trong khai triển ( 1 + x

5) Tìm hệ số của x 4 trong khai triển 1 + 2x + 3x 2
6) Tìm hệ số của x 8

2

−x3

)

)

200

10

8

Bài 4 : Tìm số hạng không chưa x trong các khai triển sau :
15


1
a)  x 2 + ÷
x


12


1 
b)  x 2 + 4 ÷
x 


12


2

c)  2x − ÷
x


n


2
Bài 5 : Trong khai triển nhị thức  x 2 − ÷ cho biết tổng hệ số của 3 số hạng đầu
x


tiên trong khai triển bằng 97. Tìm hệ số của số hạng có chứa x 4
Bài 6 : Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của biểu thức sau thành đa thức
4

5

6

f (x ) = ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1)

7

n


1
Bài 7 : Trong khai triển  x + ÷ , hệ số của số hạng thứ 3 lớn hơn hệ số của số
x



hạng thứ hai à 35. Tìm số hạng không chứa x.
Bài 8 : Khai triển và rút gọn đa thức
P (x ) = (1 + x )6 + (1 + x )7 + (1 + x )8 + (1 + x )9 + (1 + x )10

Được P (x ) = a10 x 10 + a9 x 9 + ... + a0
Dạng 2 : Tính tổng hoặc chứng minh đẳng thức .
Bài 9 : Tính các giá trị của các biểu thức sau :
a) S 1 = C n0 + C n1 +C n2 + ... + C nn
b) S 2 = C n0 + 2C n1 + 22C n2 + ... + 2n C nn
c) S 3 = 2n C n0 + 2n −1C n1 + 2n −2C n2 + ... + C nn
Bài 10 : Chứng minh các đẳng thức sau :
a) C 20n + C 21n + C 22n + ... + C 22nn −1 + C 22nn = 22 n
b) C 20n − C 21n + C 22n − C 23n + .... − C 22nn −1 + C 22nn = 0
c) C 20n + C 22n + ... + C 22nn = C 21n + C 23n + ... + C 22nn −1 = 22 n −1

B. XÁC SUẤT
Trang 14


Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

I. Biến cố và xác suất
1. Biến cố
• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A ⊂ Ω.

• Biến cố không: ∅
• Biến cố chắc chắn: Ω
• Biến cố đối của A: A = Ω \ A
• Hợp hai biến cố: A ∪ B
• Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B)
• Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅
• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc
xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
n( A)

• Xác suất của biến cố: P(A) = n(Ω )
• 0 ≤ P(A) ≤ 1;
P(Ω) = 1; P(∅) = 0
• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
• P( A ) = 1 – P(A)
• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)

Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến

cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.
b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.
c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.
ĐS: a) n(Ω) = 36. n(A) = 5 ⇒ P(A) =

5
1
b)

36
4

c)

3
4

Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16 em

học khá môn Văn.
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn.
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá
môn Văn.
ĐS: a) n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B) = 15 +15 – 25 = 17 ⇒ P(A∩B)
b)

C83
25

Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
Trang 15

C72
25


Đại số 11

Gv : Đồn Văn Nghiêm

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
ĐS: a)

1
6

b)

1
6

Bài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy

ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố
lần thứ hai được một viên bi xanh.
ĐS:

5
8

Bài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy

ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
ĐS:

1
2

Bài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn
3
1
trúng của người thứ nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con
5
2

thú bò bắn trúng.
ĐS:

4
5

Bài 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất

của các biến cố sau:
a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm.
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm.
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm.
d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm.
ĐS: a)

1
6

b)

1
6

c)

11
36

d)

25
36

Bài 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:

a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.
ĐS: a)

1
16

b)

1
4

c)

11
16

Bài 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3

bóng.Tính xác suất để lấy được:
a) ít nhất 2 bóng tốt
b) ít nhất 1 bóng tốt.
Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học
sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác
suất để 2 em đó là học sinh giỏi.
Bài 11: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8
quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có
Trang 16


Trung tâm Khoa Nguyễn 503 Trưng Nữ vương

Đại số 11 chương 2
Đại số 11

ít nhất một quả màu đen.
Bài 12: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi
văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đó khác phái.
Bài 13: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung
bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để :
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi
b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi
c) Không có học sinh trung bình.
Bài 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác
nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:
a) Số đó là số lẻ.
b) Số đó chia hết cho 5

c) Số đó chia hết cho 9.

II. Biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc
• X = {x1, x2, …,xn}
• P(X=xk) = pk
p1 + p2 + … + pn = 1
2. Kì vọng (giá trò trung bình)
n

• µ = E(X) = ∑ xi pi
i =1

3. Phương sai và độ lệch chuẩn
n

2
• V(X) = ∑ ( xi − µ ) pi =
i =1

n

∑ xi2 pi − µ 2

• σ(X) = V ( X )

i =1

Bài 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm

bàn của người thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết
rằng xác suất để cả hai người cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bò thủng
lưới ít nhất một lần là 0,94.
Bài 2: Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng
phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.
Bài 3: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi.
Gọi X là số lần lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Bài 4: Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X:
X
P

1
0,3

2
0,5
Trang 17

3
0,2


Đại số 11

Gv : Đồn Văn Nghiêm

Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Bài 5: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi
X là số bi đỏ lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X.
Bài 6: Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác

suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn
trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của
X.

Trang 18