Điểm bất động của các phép cơ yếu trong không gian Mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN HỮU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP CO YẾU
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN VĂN HỮU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP CO YẾU
TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH
MÃ SỐ: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN

NGHỆ AN - 2014

▼ô❝ ▲ô❝

❚r❛♥❣
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

❈❤➢➡♥❣ ■✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ❝②❝❧✐❝ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

♠➟tr✐❝

✹

✶✳✶✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✷✳ ➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ✈í✐ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝♦ ❝②❝❧✐❝ s✉② ré♥❣
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

❈❤➢➡♥❣ ■■✳ ➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❝♦ ②Õ✉ ❝②❝❧✐❝ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ❝♦♠♣➽❝

✶✾

✷✳✶✳ ➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ②Õ✉ ❝②❝❧✐❝ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✾

✷✳✷✳ ➜✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ ❝♦ ②Õ✉ ❝②❝❧✐❝ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
❝♦♠♣➽❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✻

❑Õt ❧✉❐♥

✸✸

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✸✹

✶


ờ ó
ý tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q trọ

ủ tí ó ó ề ứ ụ tr ý tết tố ý tết trò
tứ ề ứ tr t í ột số ết q
ề sự tồ t ể t ộ ổ tế t ệ từ tế ỷ tr ó
ể ế í ể t ộ rr í

ứ ột ị í ể t ộ
tỏ ề ệ ó ò ỏ tí tụ ủ
ớ ở rộ ờ t tì ở rộ í
ớ ề
ỉ ề ệ t ổ ề ệ tự
rr r tự ế é

(, ) ế é (, ) ế é (, ) ế s rộ
é (, ) ế trị tr tr
r tr ứ ột ị í ể t ộ
ột t tử
ố ớ

T

tr tr ủ

X X

ó ột ể ễ

T ó ột số t tì ở rộ tì

ết q ớ ề ể t ộ ế tr
tr ủ tr

r sở t ệ t ớ sự ớ ủ P r
ú t tế ớ ứ tì ể ề ể
t ộ ủ é ế tr tr tự ệ ề t

ể t ộ ủ é ế tr tr
ụ í ủ ề t trì ột ệ tố ết q tí t
ủ tr tr ủ ệ
Pr ở é

(, ) ế

ột số ị í ở rộ ủ ị ý ể t ộ tr tr
tr ủ tr ớ
t tử ớ ề ệ ố ụ ồ
ớ ề ể t ộ ủ tr
tr r ụ ệ ớ tệ ột số ế




tứ sở ệ trì ị í ề ể t ộ ủ
ệ ề é

(, ) ế é (, ) ế é

(, ) ế s rộ ột số í ụ ụ ệ ớ
tệ ứ tết ột số ị í ể t ộ ủ ớ
ề ệ s rộ
ớ ề ể t ộ ủ é ế tr
tr ủ tr r ụ

ú t trì tết ứ ột số ị í ể t ộ
ố ớ é

(, ) ế é (, ) ế s rộ é

(, ) ế trị tr tr ủ

ụ ệ

trì ứ ị í ề ể t ộ ủ é ế
tr tr r í ụ ọ
ợ t t trờ ọ ớ sự ớ t
tì tú ủ t P r
tỏ ò ết s s ế t ỉ t ữ ế tứ
ệ tr ọ t ứ ọ ị t
ử ờ t tớ ủ ệ ò t
ọ qí tr tổ tí trờ ọ
ú ỡ tr sốt q trì ọ t t ố ù t
ì q ồ ệ ọ ọ
ó tí t trờ ọ t ề ệ t ợ
ú ỡ t t ệ ụ tr sốt q trì ọ t
ù ó ề ố ỗ ự ọ t ứ s
tr ỏ ữ tế sót rt ợ ữ ý
ế ủ qí ồ ệ ọ ể ợ tệ


t

ễ ữ

ể t ộ ủ
tr tr
ệ



t ợ

ị ĩ



ột tr tr

X

X = d : X ì X R ợ ọ

ế tỏ ề ệ



d(x, y) 0 ớ ọ x, y X

d(x, y) = d(y, x) ớ ọ x, y X



d(x, y) d(x, z) + d(z, y) ớ ọ x, y, z X

X



d(x, y) = 0 ế ỉ ế x = y

d tr ó ợ ọ ột tr
í ệ (X, d) X ố d (x, y) ọ từ ể x
ế ể y


ù ớ ột tr

X = R d : R ì R R ở d (x, y) = |x y| ớ
ọ x, y R ó d ột tr tr R
n
n
ét X = R ớ t ỳ x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) R t



í ụ

ét

n
t

d1 (x, y) =

tr tr



ệ ề

1

|xi yi |2

n

2

i=1
Rn

sử

|xi yi | ó d1 , d2

d2 (x, y) =

i=1

(X, d) ột tr xi X, i =

1, 2, . . . , n ó t ó
d(x1 , xn ) d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + ã ã ã + d(xn1 , xn ).



X

ệ ề

tr

(X, d) ó ớ ọ x, y, u, v

t ó

|d (x, y) d (u, v)| d (x, u) + d (y, v) .




(X, d)✱ A ⊂ X ✱ x ∈ X ✱ ❦Ý
❤✐Ö✉ d(x, A) = inf d (x, y) ✈➭ ❣ä✐ d(x, A) ❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ tõ ➤✐Ó♠ x ➤Õ♥ t❐♣
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✶✳✶✳✺

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

y∈A

❤î♣

A✳

✶✳✶✳✻

▼Ö♥❤ ➤Ò✳

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)✱ A ⊂ X ✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ t❛ ❝ã
|d (x, A) − d (y, A)| ≤ d (x, y) .
(X, d)✳ ❉➲② {xn } ⊂ X ➤➢î❝
∗
❣ä✐ ❧➭ ❤é✐ tô ✈Ò ➤✐Ó♠ x ∈ X ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐ ε > 0 tå♥ t➵✐ n0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐
♠ä✐ n ≥ n0 t❛ ❝ã d (xn , x) < ε✳ ▲ó❝ ➤ã t❛ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ lim xn = x ❤❛② xn → x
n→∞
❦❤✐ n → ∞✳

✶✳✶✳✼

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)✱ M ⊂ X ✳ ❑ý ❤✐Ö✉
dX : M × M → R ❧➭ ❤➭♠ ❝❤♦ ❜ë✐ dM (x, y) = d(x, y) ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ M ✳ ❑❤✐
➤ã dM ❧➭ ♠ét ♠➟tr✐❝ tr➟♥ M ✳ ❚❛ ❣ä✐ dM ❧➭ ♠➟tr✐❝ ❝➯♠ s✐♥❤ ❜ë✐ ♠➟tr✐❝ d tr➟♥
M ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ (M, dM ) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝
(X, d)✳

✶✳✶✳✽

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✭❬✶❪✮

❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✶✳✶✳✾

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d)✳ ❉➲② {xn } ⊂ X ➤➢î❝
∗
t➵✐ n0 ∈ N s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

ε > 0✱ tå♥
n, m ≥ n0 t❛ ❝ã d(xn , xm ) < ε✱ ❤❛② {xn } ❧➭

lim d(xn , xm ) = 0✳
❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② ♥Õ✉ ✈í✐ ♠ä✐

❞➲② ❈❛✉❝❤② ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø ♥Õ✉

n,m→+∞

{xn } ❤é✐ tô t❤× ♥ã ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳
✷✮ ◆Õ✉ ❞➲② {xn } ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ X ✈➭ ❝ã ❞➲② ❝♦♥
{xnk } ❤é✐ tô ✈Ò ➤✐Ó♠ x ∈ X t❤× ❞➲② {xn } ❝ò♥❣ ❤é✐ tô ✈Ò x✳
✶✮ ◆Õ✉ ❞➲②

✶✳✶✳✶✵

◆❤❐♥ ①Ðt✳

✶✳✶✳✶✶

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✭❬✶❪✮ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

➤➬② ➤ñ ♥Õ✉

♠ä✐ ❞➲② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ ♥ã ➤Ò✉ ❤é✐ tô✳
❚❐♣ ❝♦♥
❣✐❛♥ ❝♦♥

M

M

❝ñ❛ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

(X, d) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

✈í✐ ♠➟tr✐❝ ❝➯♠ s✐♥❤ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤➬② ➤ñ✳

✺

➤➬② ➤ñ ♥Õ✉ ❦❤➠♥❣


✶✳✶✳✶✷

❱Ý ❞ô✳

✶✮ ❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ sè t❤ù❝

R ✈í✐ ♠➟tr✐❝ d (x, y) = |x −y| ❧➭ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✳
✷✮ ❚❐♣ ❤î♣

Rn ❣å♠ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❜é n sè t❤ù❝✱ ✈í✐ ♠➟tr✐❝ d1 (x, y)✱ d2 (x, y) ❧➭

❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✳

✶✳✶✳✶✸

▼Ö♥❤ ➤Ò✳

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

✭✶✮ ◆Õ✉

M

➤➬② ➤ñ t❤×

M

✭✷✮ ◆Õ✉

M

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣ ✈➭

(X, d)✱ M ⊂ X ✳ ❑❤✐ ➤ã

❧➭ t❐♣ ➤ã♥❣✳

X

➤➬② ➤ñ t❤×

M

➤➬② ➤ñ✳

(X, d) ✈➭ (Y, ρ)✳ ➳♥❤ ①➵
f : (X, d) → (Y, ρ) ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ α ∈ [0, 1) s❛♦ ❝❤♦

✶✳✶✳✶✹

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✭❬✶❪✮ ❈❤♦ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

ρ[f (x) , f (y)] ≤ αd (x, y) ,
✶✳✶✳✶✺

➜Þ♥❤ ❧ý✳

✈í✐ ♠ä✐

✭❬✶❪✮ ✭◆❣✉②➟♥ ❧ý ➳♥❤ ①➵ ❝♦✮ ●✐➯ sö

x, y ∈ X.

(X, d) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝

f : X → X ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ❝♦ tõ X ✈➭♦ ❝❤Ý♥❤ ♥ã✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ ❞✉② ♥❤✃t
➤✐Ó♠
∈ X s❛♦ ❝❤♦ f (x∗ ) = x∗ ✳
∗
∗
∗

➜✐Ó♠ x ∈ X ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t f (x ) = x ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣ ❝ñ❛ ➳♥❤
①➵ f ✳

➤➬② ➤ñ✱

x∗

X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t➠♣➠✳ ❍➭♠ f : X → R
➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t➵✐ x0 ∈ X ♥Õ✉ lim sup f (x) ≤ f (x0 )✳
✶✳✶✳✶✻

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

✭❬✾❪✮ ●✐➯ sö

x→x0

❍➭♠

f

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ tr➟♥

X

♥Õ✉ ♥ã ❧✐➟♥ tô❝ tr➟♥ t➵✐ ♠ä✐

x ∈ X✳
X ♥Õ✉ ❤➭♠ −f ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝
tr➟♥✱ tr♦♥❣ ➤ã (−f )(x) = −f (x) ✈í✐ ♠ä✐ x ∈ X ✳

◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ❤➭♠ f ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ t➵✐ x0 ∈ X ♥Õ✉
lim inf f (x) ≥ f (x0 )✳
❍➭♠

f

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥ö❛ ❧✐➟♥ tô❝ ❞➢í✐ tr➟♥

x→x0

➜➠✐ ❦❤✐✱ t❛ ✈✐Õt

lim f (x)✱ lim f (x)

x→x0

x→x0

lim inf f (x)✳

x→x0

✻

❧➬♥ ❧➢ît t❤❛② ❝❤♦

lim sup f (x)

x→x0

✈➭


f : X R ó f
ử tụ tr ử tụ ớ t ứ ỉ ớ ọ r R
t {x X : f (x) < r} t {x X : f (x) > r} t ứ ở tr X


ị í

sử

X

t



ị í

sử

X

t

tụ t

xX

ỉ

f

f : X R ó f

ử tụ tr ử tụ ớ t

x0
= A X f :
A R f ợ ọ ị ớ ị tr tr A ế tồ t
h R s f (x) h t ứ f (x) h ớ ọ x A
f ợ ọ ị tr A ế f ị tr ị ớ tr
A
X



ị ĩ



tr



ị ĩ

tr

(X, d) M X

(X, d) ợ ọ ế ọ ể {xn } X
ề ứ ột {xnk } {xn } ộ tụ ề ột ể x X
M ủ X ợ ọ ế M ớ tr
tr

s ột


M

ủ

X

ợ ọ t ố ế

M

t

A B t ó rỗ ủ
tr ủ (X, d) s F : A B A B tỏ


ị ý

sử

F (A) B, F (B) A



d(F (x), F (y)) kd(x, y),

x A, y B số k (0, 1)

A B
2
ứ t ỳ x AB ó ờ t ó d(F (x), F (x))
k.d(x, F (x)) ề é t d(F n (x), F n+1 (x)) k n d(x, F (x)) ờ

ó

F :XX

ớ ọ

ó t ể t ộ tr

ệ ề t ó

d(F n (x), F n+l (x)) (k n + k n+1 + ã ã ã + k n+l )d(x, F (x)).
0 < k < 1 từ t tứ ố t s r r {F n (x)}
n
X ủ {F (x)} ộ tụ ế ột ể z X ờ ề
ì

{F n (x)} tr A số tử
n
ủ {F (x)} tr B ừ tết A, B ó t s r z A B
A B t ủ ì A B = ờ ề ệ t ó
F : A B A B ừ ề ệ t s r F|AB : A B A B
ột F|
tỏ ề ệ ủ ị ý
AB
ó F|
ó t ột ể t ộ F : X X ó t ể
AB
t ộ tr A B

ệ t ó số tử ủ

A, B t ó rỗ ủ
tr ủ (X, d) f : A B g : B A s


ệ q

sử

d(f (x), g(y)) kd(x, y)
k (0, 1)
f (x0 ) = g(x0 ) = x0

tr ó

ó ờ t t r ế

F

x0 A B

s

ế
ế

x A,
x B.

x AB tì f (x) = g(x) ì tế F

tỏ ề ệ ủ ị ý ó

ụ ị ý



(1.1)

F : A B A B ở tứ

f (x)

g(x)

F (x) =

s

x A, y B,

ó tồ t t ể

ứ ờ tết t t

t ị

ớ ọ

F

t s r tồ t t ể

x0 A B

f (x0 ) = g(x0 ) = x0

ị ĩ



f :X X

X

ột t ợ rỗ

ột từ

X

í ó ọ

m số
{Xi }m
i=1 t
m

ủ

X

ợ ọ ột ể ễ ủ

X

ố ớ

f

ế

X :=

Xi
i=1

tỏ ề ệ s



Xi = ớ ọ i = 1, . . . , m
f (X1 ) X2 , f (X2 ) X3 , . . . , f (Xm1 ) Xm , f (Xm ) X1




ị ý



sử t ó

ủ tr ủ

{Ai }pi=1

ột ể ễ

p

p

Ai

(X, d) ố ớ F :
i=1



F

ó

F

i=1

k (0, 1) s

tỏ ề ệ ồ t số

d(F (x), F (y)) kd(x, y),

Ai

ớ ọ

x Ai , y Ai+1 ớ 1 i p.

ó ể t ộ t

m

ứ t ỳ

x
i=1

Ai ét {F n (x)} ó ì {Ai }pi=1

(X, d) ớ ỗ
i = 1, . . . , p ó {Fin (x)} {F n (x)} s {Fin (x)} tr
Ai tự tr ứ ủ ị ý t s r {F n (x)}
ì ỗ Ai t ó X ủ Ai t ủ ì tế
n
{Fi (x)} ộ tụ ế tử zi Ai ề é t

ột ể ễ ủ tr ủ

{F n (x)}

p

zi

ộ tụ ế

ì ớ t t s r

zi = z

i=1

p
ớ ọ

i = 1, . . . , p

F| p
i=1

Ai

Ai ột ụ ý
i=1

i=1

p
i=1



F



ị ĩ

(X, d)

p

p

t ủ

Ai F| p
i=1

Ai

:
Ai

Ai t s r
i=1

i=1

ó ể t ộ t

f

ề ệ



ữ từ tết t s r

i=1

Ai

:

Ai =

ó

p

p

sử

p

p

:

Ai

i=1
f (Ai )

ị ĩ

{Ai }pi=1 t ủ tr
Ai

ợ ọ ột ế t

i=1

Ai+1 ,

tr ó

sử

Ap+1 = A1 ớ i = 1, 2, 3, ..., p

{Ai }pi=1

rỗ ủ tr ủ

ột t ó

(X, d) f :

p

p

Ai
i=1

ọ ột ế t ề ệ s

Ai

f (Ai ) Ai+1 tr ó Ap+1 = A1 ớ i = 1, 2, 3, ..., p.


Ai ợ
i=1


k (0, 1) s d(f (x), f (y)) kd(x, y),
Ai , y Ai+1 ớ 1 i p

ồ t số



ị ĩ



: [0, +) [0, +)

ớ ọ

x

ợ ọ

t ổ ế ề ệ s ợ tỏ

tụ ệ



(t) = 0 ỉ t = 0



ý ệ



ọ tt t ổ

X từ X í
s

(X, d) tr f : X
ọ ế é ế ó ột



ị ĩ

ó ợ

d(f (x), f (y)) d(x, y) (d(x, y),

ị ĩ



A1 , A2 , ..., Am
m





Y =
i=1

é

(X, d)

ớ ọ

x, y X.

t ó rỗ ủ

Ai f : Y Y

từ

m số
X Am+1 = A1

tr

Y



Y

ợ ọ é ế

ế ế tỏ ề ệ s

m

Ai ột ể ễ ủ Y



ố ớ

f

i=1
ồ t

s tỏ
d (f (x), f (y)) d (x, y) (d (x, y))

ớ ọ

(1.2)

x Ai y Ai+1 i = 1, . . . , m

í ụ



X = R

số tự ớ tr

t tờ ét t ó rỗ s ủ

R A1 =

4

Ai f : Y Y

[1, 0] = A3 A2 = [0, 1] = A4 Y =

ở

i=1

f (x) =

x3

4
ớ ọ

x Y õ r

Ai ột ể ễ ủ Y
i=1



ố


f ữ ế t : [0, ) [0, ) ở (t) =
ọ t [0, +) tì t t
ớ

t
2

ớ

y
1
x
( )| = |x y|
3

3
3
1
1
|x y| = |x y| |x y|
2
2
= |x y| (|x y|).

|f (x) f (y)| = |





f



ế
tr

ị ĩ

(X, d) T : X X

(, ) ế ế tỏ ề ệ

ợ ọ é

(d(T x, T y)) (d(x, y)) (d(x, y))
ớ ọ



x, y X tr ó ,

ị ĩ





A1 A2 Ap

t rỗ ủ

p

tr

(X, d)

s

X =

Ai
i=1

ọ é

T

: X X

ợ

(, ) ế ế
p



{Ai } ột ể ễ ủ X

X=

ố ớ

T

i=1


(d(T x, T y)) (d(x, y)) (d(x, y)) ớ ọ x Ai
Ai+1 i = 1, 2, 3, .....p tr ó , Ap+1 A1



y

X = [1; 1] ớ tr t tờ ĩ
d(x, y) = |x y| ý ệ A1 = [1; 0] = A3 A2 = [0; 1] = A4


í ụ



4
ó

X =

Ai = [1; 1]

ị

i=1

T : X X

ở

T x = x3

x X õ r T ột tr X ữ ế
, : [0, ) [0, ) ị ở (t) = t (t) = 2t tì ,
T é (, ) ế
ớ ọ

ị í





(X, d) tr ủ A1 , A2 , ...Ap
p

t ó rỗ ủ

Ai sử T : X X

X s X =
i=1

é

(, )

ế ó

T

ó ột ể t ộ t

z

p

Ai
i=1



ể t ộ ủ ớ ề ệ
s rộ tr tr

r ụ t sẽ ứ ột số ị ý ể t ộ ố ớ
ớ ề ệ s rộ tr tr



ị ĩ

F



:XX

X

tr

x0 X F : X X

ọ ợ rút ế

d(F (x), F (y)) < d(x, y) ớ ọ x, y X



x = y.

{xn } tr X ở x1 = F (x0 ), x2 = F (x1 ), . . . , xn = F (xn1 ) =
0 ), . . . ợ ọ Pr



F n (x

st ứ ết q s

F : X X
n
rút từ X í ó ế ớ ọ x X Pr {F (x)} ó
ột ộ tụ tr X tì F ó ột ể t ộ t


ị í

sử

X

tr ủ

ị ý s ột ở rộ ết q ủ st
sử ụ tí tụ ủ



ị í



tr ủ

X

{Ai }pi=1

t ó rỗ ủ

s ó ít t ột t tr ú

p

p

Ai

Ap+1 = A1 sử F :
i=1

F

Ai tỏ ề ệ s
i=1

F (Ai ) Ai+1 ớ ọ 1 i p






d(F (x), F (y)) < d(x, y) ớ ọ x Ai , y Ai+1 x = y ớ ọ
1 i p

ó ó ột ể t ộ t
ứ t tí tổ qt t sử r

A1 t

d = dist(A1 , Ap ) := inf{d(x, y) : x A1 , y Ap } ờ tí
ủ A1 từ t d ở tr tồ t x0 A1 {un } Ap s
lim d (x0 , un ) = d sẽ ứ r d = 0 sử ợ r
t

n

d > 0 ó ờ ề ệ tr tết t ó
d F p+1 (x0 ), F p+1 (un ) < ã ã ã < d (F (x0 ), F (un )) < d (x0 , un ) .

ì

{F p+1 (un )}
n=1 A1



A1

ó ột ộ tụ ề ể ó

t t

z A1

(2.1)

{F p+1 (un )}
n=1

ờ t tứ

tí tụ ủ t ó

d z, (F p+1 (x0 ) d.
ờ ề ệ từ t tứ t s r

d F p1 (z), F 2p (x0 ) < d.
F p1 (z) Ap F 2p (x0 ) A1 ề t ớ t d
d = 0 ừ tí ó ủ Ap ề é t A1 Ap = ì tế ờ

ét t ó A1 A2 =
ờ t t A1 = A1 A2 , A2 = A2 A3 , . . . , Ap = Ap A1 ừ ề
ệ t s r r tt t ó rỗ A1
ì tế ề ệ ủ ị í ú ớ F ọ t
p
ó rỗ {Ai }
i=1 t tự trờ ợ
p
t {Ai }
i=1 t ết ợ A1 Ap = ề é t A1 A2 =
A1 A2 A3 = ế tụ q trì s p 1 ớ t s r
A := p i=1 Ai =
ì A t ẹ ủ F tr A rút ờ
ị ý t s r F ó t ột ể t ộ t tr A
ét r ột ể t ộ t ỳ ủ F t tết tr
A ì tế ờ ề ệ t s r tí t ủ ể t ộ
ủ F
ì




ề t r t ó tể t tế ề ệ rút tr ị ý
ở ề ệ ể t ợ ột ở rộ ủ ý
ể ề ó trớ ết ú t ớ tệ ột ở rộ ị ý
ủ rt ét ọ

S = { : R+ [0, 1)| ế (tn ) 1,

ị í

từ

X

sử

X

tì

S

í ó sử r tồ t

f ó ột ể t ộ t z X
ớ ỗ x X


n }.

f :X X



x, y X.
{f n (x)} ộ tụ ề z

{Ai }pi=1 t ó rỗ tr

p

p

tr ủ

X



s

ớ ọ

ó

ị í



ột tr ủ

d (f (x), f (y)) (d (x, y))d (x, y) ,



tn 0

ớ

Ap+1 = A1 S

sử

Ai

f :

Ai
i=1

i=1
tỏ ề ệ s



f (Ai ) Ai+1 ớ ọ 1 i p



d (f (x), f (y)) (d (x, y)) d (x, y)) ớ ọ x Ai , y Ai+1 ớ
ọ 1 i p

ó

f

ó ột ể t ộ t

p

Ai =

ứ ể ứ ị ý t sẽ ứ r

i=1

p
ụ ị ý t ẹ ủ

f

Ai = ể t

tr

i=1
tệ tr ý ệ tr ề s t q ớ r ế

j > p tì t t Aj = Ai ế j = i p ớ 1 i p
n
ố ị x0 A1 t t xn = f (x0 ), n = 1, 2, . . . ó t ó
lim d (xn , xn+1 ) = 0
t từ ề ệ t s r
n
{d (xn , xn+1 )} ệ ị ớ

ó

lim d (xn , xn+1 ) =

n

r 0 sử r > 0 ó ũ từ ề ệ t ó
d (xn+1 , xn+2 )
d (xn , xn+1 ) , n = 1, 2, . . . .
d (xn , xn+1 )





ớ ế t tứ

n t ợ

d (xn , xn+1 ) 1.
S t ó d (xn , xn+1 ) 0 ừ ó s r r = 0
{xn } t sử ợ {xn }
ó tồ t 0 > 0 s ớ t ì N N tồ t n > m N
ớ n m = 1 p s d (xn , xm ) 0 > 0 ờ t tứ t


ó

d (xn , xm ) d (xn , xn+1 ) + d (xn+1 , xm+1 ) + d (xm+1 , xm ) .
n m = 1 p t s r xm Ai xn Ai+1 ớ ỉ số i ó
1 i p ờ ề ệ từ t tứ tr t ợ

[1 (d (xn , xm ))]0 < [1 (d (xn , xm ))](d (xn , xm )
d (xn , xn+1 ) + d (xm , xm+1 ) .
n, m ớ n m = 1 p t ết r (d (xn , xm )) 1
S từ ề s r d (xn , xm ) 0 t
ì ớ ọ > 0 tồ t N N s ớ ọ n, m N nm = 1
p t ó d (xn , xm ) /p ì lim d (xn , xn+1 ) = 0 ớ ọ



n

> 0 tồ t N1 N s ớ ọ n N1 t ó d (xn , xn+1 ) /p
ờ ớ t ỳ n, m max{N, N1 } ớ m > n tồ t k {1, 2, . . . , p}
s n m = k p ó t ó n m + j = 1 p tr ó
j = p k + 1 ì tế ờ t tứ t t t ợ
d (xn , xm ) d (xm , xn+j ) + d (xn+j , xn+j1 ) + ã ã ã + d (xn+1 , xn ) .
{xn } ì ỗ ủ
t Ai , i = 1, . . . , p ủ ờ ét
ề ứ tỏ r

p

Ai =

t s r

i=1
ờ tr ề ệ tr tết ủ ị ý

p

ụ ị ý t ẹ ủ

p
r

f

f

Ai = t s

tr

i=1

Ai t ề ệ tì t

ó ột ể t ộ t tr

i=1
ì ể t ộ ủ

f

p

Ai

ũ tr

i=1




ị ý s t ột ở rộ ủ ị ý ể t ộ




ị í

tr ủ



X

ớ

{Ai }pi=1

Ap+1 = A1

t ó rỗ ủ

p
sử

p

Ai

f :
i=1

Ai



i=1

tỏ ề ệ s



f (Ai ) Ai+1 ớ ọ 1 i p



d (f (x), f (y)) (d (x, y)) ớ ọ x Ai , y Ai+1 ớ ọ
1 i p tr ó : R+ [0, ) ột ử tụ tr
tỏ 0 (t) < t ớ t > 0

ó

f

ó ột ể t ộ t

ứ ể ứ ị ý t tế ớ t tự

j > p t t Aj = Ai
n
ế j = i p x0 A1 t xn = f (x0 ), n = 1, 2, . . . ó t

tr ứ ủ ị ý ớ t ỳ

ó


lim d (xn , xn+1 ) = 0 t ờ ề ệ t ó {d (xn , xn+1 )}

n

ệ ị ớ ì tế tồ t

lim d (xn , xn+1 ) = r 0

n

d (xn+1 , xn+2 ) (d (xn , xn+1 )) ờ tí ử
tụ tr ủ t s r r (r) ề é t r = 0
{xn } t sử ợ {xn }
ó tồ t 0 > 0 s ớ t ì k N tì tồ t
mk > nk k s d (xmk , xnk ) 0 ữ ớ ỗ k N t ó tể
ọ mk số ỏ t ớ nk s t tứ tr ú
ó ờ t ó lim d (xmk , xmk 1 ) = 0 ừ ó ờ t tứ

ó từ t tứ

n

0 d (xmk , xnk ) d (xmk , xmk 1 ) + d (xmk 1 , xnk )
d (xmk , xmk 1 ) + 0 .
t ợ ết q


lim d (xmk , xnk ) = 0

n

ì

lim d (xmk , xnk ) = 0

n

lim d (xn , xn+1 ) = 0 từ t tứ s

n

d (xmk , xnk )d (xmk +1 , xmk ) d (xmk +1 , xnk ) d (xmk +1 , xmk )+d (xmk , xnk ) ,



t s r

lim d (xmk , xnk ) = 0

n

ét r tồ t

j N ớ 0 j

p 1 s mk nk + j = 1 p ớ ỉ số k ế j = 0 tì
ớ ữ ỉ số k tế t ó
d (xmk , xnk ) d (xmk , xmk +1 ) + d (xmk +1 , xnk +1 ) + d (xnk +1 , xnk )
d (xmk , xmk +1 ) + (d (xmk , xnk )) + d (xnk +1 , xnk ) .
k sử ụ ết q ứ ở tr t t ợ
0 (0 ) ề t ớ ề (t) < t ớ ọ t > 0
r trờ ợ j = 0 sử ụ t tứ t


t t tự t t tr ó

{xn } ì ỗ ủ t
p

Ai , i = 1, . . . , p ủ ờ ét t s r

Ai =
i=1

ờ tr ề ệ tr tết ủ ị ý

p
ụ ị ý t ẹ ủ

f

i=1

p
r

f

Ai = t s

tr

Ai t ề ệ tì t

ó ột ể t ộ t tr

i=1
ì ể t ộ ủ

f

p

Ai

ũ tr

i=1

ị ý

ị ý rst sử

(M, d) ột tr

f : M M ế tồ t ột ử tụ ớ ị ớ
: M R từ M t số tự R s
ủ

d (x, f (x)) (x) (f (x)) ,
tì

f

ớ ọ

x M,

ó ột ể t ộ

ị ý s t ột ở rộ ủ ị ý rst



ị í

A1 , A2 , . . . , Ap , Ap+1 = A1 ữ t ó
tr ủ X sử f : X X

rỗ tr
tỏ ề ệ s



f (Ai ) Ai+1 ớ ọ 1 i p





d (x, f (x)) i (x)i+1 (f (x)) ớ ọ x Ai ớ ọ 1 i p
tr ó ỗ i : Ai R ử tụ ớ ị
ớ

ó

f

ó ột ể t ộ

x1 A1 ớ ỗ n 2 t t xn = f n1 (x1 )
ó t ó xn An ớ ộ n N ờ ề ệ tr tết ủ ị
ứ sử

ý t ó

1 (x1 ) ã ã ã n (xn ) . . . , n = 1, 2, . . .
j > p
lim i (xi ) = r

tr ó ớ

t t

j = i

ế

j = i



p

ì tồ t

i

ớ t ỳ

m, n N m > n ờ ề ệ ủ tết t ó

d (xn , xm )

+
=

ì

d (xn , f (xn )) + d (f (xn ), f (xn+1 )) + ã ã ã + d (f (xm2 , xm ))
n (xn ) n+1 (f (xn )) + n+1 (f (xn )) n+2 (f (xn+1 ))
ã ã ã + m1 (f (xm2 )) m (xm )
n (xn ) m (xm ).

lim i (xi ) = r ỗ ộ tụ từ t tứ tr t

i

s r

p

{xn } ì tế t ũ ợ A :=

ờ t ét

f : A A ờ ề ệ t ó

d (x, f (x)) min [i (x) i+1 (f (x))]
1ip

ớ ọ

Ai =
i=1

x A.

ì tế t ó

pd (x, f (x)) 1 (x) 2 (f (x)) + 2 (x) 3 (f (x)) + . . .
+p (x) 1 (f (x))
p

=

[i (x) i (f (x))].
i=1

ờ t ị

: A R ợ ở
p

(x) = p

1

i (x),

ớ ọ

x A.

i=1
ó

ột ử tụ ớ ị ớ ữ t ó
d (x, f (x)) (x) (f (x)),

ớ ỗ

x A.

ụ ị ý t s r f : A A ó ột ể t ộ





ể t ộ ủ é ế
tr tr ủ
tr
ể t ộ ủ ế tr



tr ủ



ị ĩ



A1 A2 Ap t rỗ ủ
p

tr

(X, d) s X =
i=1

é

Ai T : X X

ợ ọ

(, ) ế s rộ ế
(d(T x, T y)) (M (x, y)) (M (x, y)),

ớ ọ

x Ai



(2.1)

y Ai+1 i = 1, 2, 3, .....p tr ó , Ap+1 = A1



M (x, y) = max d(x, y), d(x, T x), d(y, T y),

d(x, T y) + d(y, T x)

.
2

M (x, y) = d(x, y) tr ị ĩ
t sẽ t ợ ị ĩ ó ớ é (, ) ế
s rộ rộ ớ é (, ) ế ì tế ề t r
ị ý ề ể t ộ é (, ) ế ó ò
ú é (, ) ế s rộ ết q s


ét

ễ t r ế t

tr ờ ỏ



ị ý





tr ủ

A1 A2 Ap
(X, d)

t ó rỗ ủ

p

p

Ai

T :
i=1

ế s rộ ủ

X ó T
x

é

ó ể t ộ t

(, )
p

z

Ai
i=1

p

ứ sử

Ai
i=1

Ai

ó tồ t

i = {1, 2, ..., p} s

i=1

x Ai T x Ai+1 ó x T x tỏ ề ệ (2.1) ì ớ t



❦ú

n ∈ N✱ n ❝❤➼♥ ❤♦➷❝ n + 1 ❧➭ sè ❝❤➼♥ ✈➭ t❛ ❝ã

ψ d T n x, T n+1 x

❱×

≤ ψ M T n−1 x, T n x − ϕ M T n−1 x, T n x
≤ ψ M T n−1 x, T n x .
(2.2)

ψ ❧➭ ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ t❛ ❝ã

d T n x, T n+1 x

≤ max d T n−1 x, T n x , d T n−1 x, T n x , d T n x, T n+1 x ,
d(T n−1 x,T n+1 x)+d(T n+1 x,T n+1 x)
2

≤ d T n−1 x, T n x
n ∈ N✳ ❱× ✈❐② ❞➲② {d(T n x + T n+1 x} ❧➭ ❞➲② ❣✐➯♠ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ❦❤➠♥❣
n
n+1 x) = 0✳ ●✐➯ sö ♥❣➢î❝
❇➞② ❣✐ê t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ lim d(T x, T

✈í✐ ♠ä✐
➞♠✳

❧➵✐ r➺♥❣

lim

n→∞

d(T n x, T n+1 x)

✭✷✳✷✮ ✈➭ sö ❞ô♥❣ ❣✐➯ t❤✐Õt

n→∞

= r > 0✳

❑❤✐ ➤ã ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤♦

n → ∞ tr♦♥❣

ψ, ϕ ∈ Φ t❛ ❝ã ψ(r) ≤ ψ(r) − ϕ(r) < ψ(r)✳ ➜✐Ò✉

♥➭② ♠➞✉ t❤✉➱♥✳❱× t❤Õ t❛ ❝ã

lim d(T n x, T n+1 x) = 0.

n→∞
❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣

{T n (x)} ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳

●✐➯ sö ♥❣➢î❝ ❧➵✐ r➺♥❣

{T n (x)} ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳ ❑❤✐ ➤ã tå♥ t➵✐ sè µ > 0 ✈➭ ❤❛✐ ❞➲②
t➝♥❣ {mk }, {nk } ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣ s❛♦ ❝❤♦ n ≤ mk < nk ✈í✐ ♠ä✐
n ∈ N ✈➭ t❤á❛ ♠➲♥
❞➲②

d(T mk x, T nk x) ≥ µ ✈➭ d(T mk x, T nk −1 x) < µ.
◆❤ê ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛♠ ❣✐➳❝ t❛ ❝ã

d(T mk x, T nk x) ≤ d(T mk x, T nk −1 x) + d(T nk −1 , T nk x).
❚õ ➤ã s✉② r❛

lim d(T mk x, T nk x) = µ✳

k→∞

▼➷t ❦❤➳❝ ✈×

T

❧➭ ♣❤Ð♣

(ψ, ϕ)✲❝♦

②Õ✉ s✉② ré♥❣✱ ♥➟♥ t❤❡♦ ✭✷✳✶✮ t❛ ❝ã

ψ d(T mk +1 x, T nk +1 x)

❈❤♦

= ψ (d(T T mk x, T T nk x))
≤ ψ (M (T mk x, T nk x)) − ϕ (M (T mk x, T nk x))
≤ ψ (M (T mk x, T nk x)) .

k → ∞ ✈➭ sö ❞ô♥❣ µ > 0, ψ, ϕ ∈ Φ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢î❝
ψ(µ) ≤ ψ(µ) − ϕ(µ) < ψ(µ).
✷✵


➜✐Ò✉ ♥➭② ❞➱♥ ➤Õ♥ ♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❱× t❤Õ

p
➤ñ ♥➟♥ tå♥ t➵✐

z ∈

z ∈

tå♥ t➵✐ ❝➳❝ ❞➲②

Ap+1 = A1 ✳
T 2n+1 x

Ai
i=1
{T 2n x}

❱×

{T n x}

Ai

s❛♦ ❝❤♦

✈➭

T z = z✳

❧➭ ❞➲② ❈❛✉❝❤②✳ ❱×

❤é✐ tô tí✐

z✳

X

❧➭ ➤➬②

❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ❝❤ø♥❣

i=1

p
♠✐♥❤ r➺♥❣

{T n x}

❚r➢í❝ ❤Õt ✈í✐ ❜✃t ❦ú

i ∈ {1, 2, ..., p}

{T 2n+1 x} ♥➺♠ tr♦♥❣ Ai ✈➭ Ai+1 t➢➡♥❣ ø♥❣✱ ✈í✐
T n x → z ✈➭ Ai , Ai+1 ➤ã♥❣ t❛ s✉② r❛ T 2n x → z ∈ Ai ✈➭
✈➭

p

→ z ∈ Ai+1 ✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❝❤ø♥❣ tá z ∈

Ai ✳
i=1

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ sö ❞ô♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✮ t❛ ❝ã

ψ(d(T 2n x, T z)) = ψ(d(T T 2n−1 x, T z))
≤ ψ(M (T 2n−1 x, z)) − ϕ(M (T 2n−1 x, z))
≤ ψ(M (T 2n−1 x, z)).
❈❤♦

k → ∞ ✈➭ sö ❞ô♥❣ ❧❐♣ ❧✉❐♥ tr➟♥ t❛ ❝ã
ψ(d(z, T z) ≤ ψ(d(z, z)) = ψ(0) = 0

✈➭

ϕ(d(z, T z)) = 0✳ ➜✐Ò✉ ♥➭② ❦Ð♦ t❤❡♦ d(z, T z) = 0 ✈➭ z = T z ✳
p
●✐➯ sö ❝ã

u∈

p

Ai

s❛♦ ❝❤♦

u = T u✳

❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ò♥❣ ❝ã

u∈

i=1

Ai

✈➭

i=1

M (u, z) = d(u, z)✳ ❱× t❤Õ ♥❤ê ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✭✷✳✶✮ t❛ ❝ã
ψ(d(u, z)) ≤ ψ(d(u, z)) − ϕ(d(u, z)) ≤ ψ(d(u, z)).
❱×

ψ, ϕ ∈ Φ✱ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② t❛ s✉② r❛ d(u, z)) = 0✱ ❤❛② u = z ✳

❱× t❤Õ

t❛ s✉② r❛ tÝ♥❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤✐Ó♠ ❜✃t ➤é♥❣✳

✷✳✶✳✹

◆❤❐♥ ①Ðt✳

✶✮ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✸✹ ❧➭ ♠ét ❤Ö q✉➯ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸ ❦❤✐ t❛ ❧✃②

p

X=

Ai ✈➭ M (x, y) = d(x, y)✳
i=1
✷✮ ➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✷✹ ❧➭ ♠ét ❤Ö q✉➯ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✸ ❦❤✐ t❛ ❧✃②

M (x, y) =

p

d(x, y)

✈í✐ ♠ä✐

x, y ∈ X =

Ai

✈➭

ψ(t) = t✱ ϕ(t) = (1 − k)t

✈í✐ ♠ä✐

i=1

t ∈ [0, +∞) tr♦♥❣ ➤ã k ∈ (0, 1)✳
(X, d) ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♠➟tr✐❝ ➤➬② ➤ñ✱ p ❧➭ sè
♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✱ A1 , A2 , . . . , Ap ❧➭ ❝➳❝ t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ❦❤➳❝ rç♥❣ ❝ñ❛ X ✈➭ X =
✷✳✶✳✺

❍Ö q✉➯✳

✭❬✶✸❪✮

❈❤♦

p

Ai ✳ ●✐➯ sö T : X → X

❧➭ ➳♥❤ ①➵ t❤á❛ ♠➲♥✳

i=1

✷✶


p


X=

Ai ột ể ễ ủ X

ố ớ

T

i=1


T

ột é ế ố ớ ột ó

ó

T

ó ể t ộ t



p

z

Ai
i=1

ứ ử ụ ị ý t

M (x, y) = d(x, y) ớ

p
ọ

x, y X =

Ai (t) = t ớ ọ t [0, +)
i=1

í ụ



X = {1, 2, 3, 4, 5} r X

t tr ị tr

d ở

13
3
, d(1, 4) = , d(3, 4) = 2,
8
2
7
15
d(1, 5) = d(2, 4) = , d(2, 3) = d(4, 5) = 1, d(2, 5) = .
4
8
sử A1 = {1, 2, 3}, A2 = {1, 4, 5},
ó t ó
A1 A2 = X ét
T : X X ở T1 = 1, T2 = T3 = 4, T4 = 1, T5 = 2 ị
t
(t) = 2t, (t) =
20 ớ ọ t > 0
t r T (A1 ) = {1, 4} A2 T (A2 ) = {1, 2} A1 ễ t
r T tỏ tết ủ ị ý T1 = 1 A1 A2
T tỏ ị ý ị ý ì ớ x = 3, y = 5

7
13
13
t ó d(T x, T y) =
4 > 8 160 = d(x, y) (d(x, y))
d(1, 2) = d(1, 3) = d(3, 5) =

r tế t ú t trì ột số ết q ề ể t ộ
ủ é



(, ) ế trị

ị ĩ



sử

CB(X) ọ tt t
CB(X) ì CB(X) R ở

(X, d)

ột tr ý ệ

ó rỗ ị ủ

H(A, B) = max sup d(x, B), sup d(y, A)

xA
tr ó

ớ ọ

H



H :

A, B CB(X),

yB

d(x, B) = sup d(x, y) ó H

ột tr tr

yB
tr

X

tr sr s ở



d tr CB(X)

CB(X) ọ


ị ĩ



sử

{Ai }pi=1 t rỗ ủ
p

tr

(X, d) s X =

T

Ai
i=1

ột ể ễ ủ

T (x) Ai+1 ,

ớ ọ

ị ĩ

X

ố ớ

x Ai ,

sử

ớ

T

ế

i = 1, 2, 3, ..., p,

tr ó

Ap+1 = A1 .

{Ai }pi=1 t rỗ ủ
p

tr

: X CB(X) ợ ọ

(X, d) s X =

Ai
i=1

T

: X CB(X) ợ ọ

(, ) ế trị ế t ề ệ s

ột é

p


X=

Ai ột ể ễ ủ X

ố ớ

T

i=1


(H(T x, T y)) (d(x, y)) (d(x, y)), ớ ọ x Ai , y Ai+1
ớ 1 i p tr ó , Ap+1 = A1
ị í

tr ủ

A1 A2 Ap

t ó rỗ ủ

p

Ai sử T : X C(X)

(X, d) s X =
i=1

ột é

(, )

ế trị ủ

X

ó

T

ó ể t ộ

p

z

Ai
i=1

{xn } tr X s
x0 A1 x1 T x0 A2 ế H(T x0 , T x1 ) = 0 tì x1 T x1 ĩ
x1 ột ể t ộ ủ T sử r H(T x0 , T x1 ) > 0 ó tồ t
ột ể x2 T x1 A3 s d(x, y) H(T x0 , T x1 ) ọ
ợ ì T x1 t t rr ì
T x2 t ọ ợ ể x3 A4 s d(x2 , x3 ) H(T x1 , T x2 )
ế tụ ế H(T x0 , T x1 ) = 0 tì x2 T x2 ĩ x2 ể
t ộ ủ T ớ n > 0 tồ t ino {1, 2, ..., p} s xn1 Ain
xn Ain +1 ế tụ q trì ớ n N t ó
ứ rớ ết t ự ột

d(xn , xn+1 ) H(T xn1 , T xn ).
ì

T

é

, ) ế trị t ó

(d(xn , xn+1 ) (H(T xn1 , T xn )) (d(xn1 , xn )) (d(xn1 , xn ))

(d(xn1 , xn )).
(2.3)