Về không gian các bài tập lồi compact trong Rn

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MAI ANH TUẤN

VỀ KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT
TRONG ¡

n

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2013


2


3

MỤC LỤC

Trang
LỜI MỞ ĐẦU

2

Bảng ký hiệu

4

Chương 1.

KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT
TRONG ¡ n

1.1.

Khoảng cách giữa điểm và tập hợp

5

1.2.

Mêtric Hausdorff

6

1.3.

Tổng Minkowski của hai tập hợp và tích một số với 10
tập hợp

1.4.

Tập hợp lồi, tập lồi compact

14

1.5.

Phẳng

25

Chương 2.

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG
GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n

2.1.

Phép chiếu mêtric

30

2.2.

Phép đẳng cự và đồng dạng

33

2.3.

Phép đối xứng hóa

37

KẾT LUẬN

47

TÀI LIỆU THAM KHẢO

48

LỜI MỞ ĐẦU


4

1. “Hình học lồi” là một hướng quan trọng trong hình học, được nhiều
nhà toán học quan tâm, nghiên cứu. Sau các kết quả đầu tiên của
H.Minkowski (1910) về tập lồi và hàm lồi thì đã thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà toán học như: C.Caratheodory, W..Fench, J.J.Moreau,
W.V.Jensen, ……
2. Trên cơ sở tham khảo các tài liệu tham khảo có thể có được trong
điều kiện hiện nay, trong đó tài liệu tham khảo chính là [4], [6], luận văn trình
bày một số vấn đề về không gian các tập lồi compact trong ¡ n , các tính chất
cơ bản của tập lồi compact trong ¡ n . Các kết quả này đã có trong tài liệu
tham khảo theo các mức độ khác nhau, trong đó có nhiều tính chất, định lý, hệ
quả không được chứng minh hoặc chỉ được chứng minh sơ lược.
3. Nội dung luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n .
Trong chương này chúng tôi trình bày các vấn đề về cấu trúc của không gian
các tập lồi compact: khoảng cách giữa điểm và tập hợp, mêtric Hausdorff,
tổng Minkowski của hai tập hợp và tích một số với tập hợp, tập hợp lồi và tập
lồi compact, phẳng.
Chương 2. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI TRÊN KHÔNG GIAN CÁC

TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡ n . Trong chương này chúng tôi trình bày
một số phép biến đổi trong không gian các tập lồi compact: phép chiếu
mêtric, phép đẳng cự và đồng dạng, phép đối xứng hóa.
Luận văn được hoàn thành tại phòng Sau đại học Trường Đại học Vinh,
dưới sự hướng dẫn khoa học, tận tình, chu đáo của thầy giáo PGS.TS. NGƯT
Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp hoàn thành luận văn, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành nhất tới các thầy giáo trong tổ Hình học Trường Đại học Vinh đã
giảng dạy và chỉ dẫn tận tình trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả
cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Phòng Sau đại
học, Trường Đại học Vinh, Sở giáo dục và đào tạo tỉnh An Giang, Phòng giáo
dục huyện Chợ Mới và tập thể giáo viên Trường THCS Hội An 2, các bạn bè
và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.


5

Mặc dù đã có cố gắng song luận văn không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để
luận văn được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 09 năm 2013

Tác giả

BẢNG CÁC KÝ HIỆU

diam A: đường kính của tập hợp A.
clA : bao đóng của tập hợp A.
int A: phần trong của tập hợp A.

6

convA: bao lồi của tập hợp A.
bdA: biên của tập hợp A.
∆ ( a, b ) : đoạn thẳng có các mút là a, b

( A)ε : ε − bao của A.
B ( a, ε ) hoặc BX ( a, ε ) : hình cầu đóng tâm a, bán kính là ε .

B n : Hình cầu đơn vị đóng tâm 0 trong ¡ n .
Sn-1: mặt cầu đơn vị tâm 0 trong ¡ n .
K n : Họ các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact của ¡ n .
K 0n : Họ các thể lồi trong K n
C n : Họ tất cả các tập con khác rỗng, compact của ¡ n .
pos{x} = {tx | t ≥0}.
posA= ∪pos{x| x∈ A}.
E⊥(x): Phẳng của ¡

n

đi qua x và bù trực giao với phẳng E.

σE: Phép đối xứng qua siêu phẳng E.
Vn(A): Thể tích của thể lồi A trong ¡ n .
affA: tập hợp tất cả các tổ hợp affin của các điểm thuộc A.

CHƯƠNG I. KHÔNG GIAN CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG ¡

n

1.1. Khoảng cách giữa điểm và tập hợp
Giả sử ( X , ¤ ) là không gian mêtric, tức là tập hợp khác rỗng X trên đó có
một mêtric là hàm ¤ : X × X → ¡ + thỏa mản các điều kiện sau:
*

¤ ( x, y ) = 0 nếu và chỉ nếu x = y .

** ¤ ( x, y ) = ¤ ( y, x) .


***

¤ ( x, y ) + ¤ ( y , z ) ≥ ¤ ( x , z ) .

7

Số ¤ ( x, y ) được gọi là khoảng cách giữa điểm x và y.
1.1.1 Định nghĩa. Cho tập con khác rỗng A của X. và x ∈ X , giả sử
¤ ( x, A) = inf { ¤ ( x, a) | a ∈ A} .
Số ¤ ( x, A) được gọi là khoảng cách giữa điểm x và tập hợp A.
1.1.2. Tính chất. Hàm ¤ (., A) : X → ¡

+

là hàm liên tục.

Chứng minh. Giả sử x = lim xk . Bởi bất đẳng thức tam giác ở mục *** và
tính chất của cận trên ta có
−¤ ( xk , x) + ¤ ( x, A) ≤ ¤ ( xk , A) ≤ ¤ ( xk , x) + ¤ ( x, A).

Vậy ¤ ( x, A) = lim ¤ ( xk , A) .
1.1.3. Tính chất. ¤ ( x, A) = ¤ ( x, clA) .
Chứng minh. Từ A ⊂ clA , do đó mà ¤ ( x, A) ≥ ¤ ( x, clA) .
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, chúng ta cần chứng minh
a ∈ clA, ¤ ( x, A) ≤ ¤ ( x, a) .

(1.1)

Nếu a ∈ clA , khi đó a = lim ak với mỗi dãy (ak ), k ∈ ¥ trong A.
Do đó ¤ ( x, A) ≤ ¤ ( x, ak ) với bất kỳ k. Cho k → ∞ , bởi 1.1.2 chúng ta có
được (1.1)
Từ 1.1.2 và 1.1.3 ta dễ dàng suy ra được tính chất sau.
1.1.4. Tính chất. ¤ ( x, A) = 0 ⇔ x ∈ clA .
1.1.5. Định nghĩa. Cho A ⊂ X và ε > 0 , giả sử
( A)ε = { x ∈ X | ¤ ( x, A) ≤ ε } .
Tập hợp ( A)ε gọi là ε − bao của A.
Dễ dàng chứng minh được hai tính chất đơn giản sau.


8

1.1.6.

Tính

chất.

Cho

mỗi

tập

khác

δ , ε > 0, A ⊂ B ⇒ ( A)ε ⊂ ( B)ε và ( ( A ) δ ) ε ⊂ ( A ) δ +ε .

rỗng

A, B ⊂ X

và

1.1.7. Tính chất. Nếu A là compact thì ( A ) ε = U{ a} ε .
a∈A

1.1.8. Định nghĩa. Tập hợp A ⊂ X được gọi là bị chặn nếu tập hợp

{ ¤ ( x, y ) | x, y ∈ A}

bị chặn trên. Cận trên bé nhất được gọi là đường kính của

A. Ký hiệu là diamA.
1.2. Mêtric Hausdorff
Giả sử C(X) là họ gồm tất cả các tập hợp con, đóng, bị chặn, khác rỗng
của không gian mêtric ( X , ¤ ) , cho bất kỳ A, B ∈ C ( X ) , giả sử
¤

H

( A, B ) = inf { ε > 0 | A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A ) ε } .

(1.2)

(tồn tại cận dưới vì tập hợp A, B bị chặn ).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng:
1.2.1. Mệnh đề. Hàm ¤

H

Chứng minh. Rõ ràng , ¤
đóng trong X , bởi 1.1.4 suy ra

: C ( X ) × C ( X ) → R là một mêtric.
H

≥ 0 . Giả sử A, B ∈ C ( X ) . Từ đó A và B là

I( A)
ε >0

¤

H

ε

= A,I( B ) ε = B . Do đó
ε >0

( A, B ) = 0 ⇔ ∀ε > 0,( A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A) ε )
⇔ A ⊂ B, B ⊂ A ⇔ A = B

Ta chứng minh các điều kiện của mêtric (xem mục 1.1) thỏa mãn. Trước
hết, điều kiện * và ** thỏa mãn hiển nhiên do định nghĩa ¤ H .
Ta chứng minh ¤

H

thỏa mãn ***

Giả sử A, B, C ∈ C ( X ) do * chúng ta có thể coi rằng A, B, C từng đôi một
khác nhau. Giả sử ε 0 = ¤

H

( A, B ) ,δ 0 = ¤ H ( B, C ) .


9

Thật dễ thấy là tập hợp { ε > 0 | A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A ) ε } là đóng, từ đó cận

( A, B ) thuộc
B ⊂ ( C ) δ ,C ⊂ ( B) δ

dưới ¤

H

0

nó, nghĩa là

A ⊂ ( B ) ε , B ⊂ ( A ) ε . Tương tự
0
0

0

Do đó, theo 1.1.6 , A ⊂ ( C ) ε 0 +δ 0 và C ⊂ ( A ) ε 0 +δ 0 .
Vậy ¤

H

( A, C ) ≤ ε 0 + δ 0 = ¤ H ( A, B ) + ¤ H ( B, C ) .

Mêtric ¤

( C ( X ) ,¤ )
H

H

được gọi là mêtric Hausdorff, giới hạn trong không gian

được gọi là giới hạn Hausdorff:

A = lim H An ⇔ lim ¤

H

( A, An ) = 0 .

Công thức (1.3) sau thường được dùng làm định nghĩa của mêtric
Hausdorff.
1.2.2. Định lý. Cho A, B ∈ C ( X ) ,
¤

H

( A, B ) = max

{

sup ¤ ( a, B ) ,sup ¤ ( b, A )
a∈A

b∈B

}

Chứng minh. Với hai tập liên thông của S1 , S2 ⊂ ¡

(1.3)
+

với giao khác rỗng thì

inf ( S1 ∩ S2 ) = max { inf S1 ,inf S 2 } .

Do tính đối xứng của A và B trong (1.3), ta chỉ cần chứng minh
sup ¤ ( a, B ) = inf { ε > 0 | A ⊂ ( B ) ε } .
a∈A

Đặt α = sup ¤ ( a, B ) , β = inf { ε > 0 | A ⊂ ( B ) ε } thì ¤ ( a, B ) ≤ α với mỗi
a∈A

a∈ A

và

do

đó

∃ε ∈ ( 0;α ) , A ⊂ ( B ) ε .

A ⊂ ( B) α ,

do

đó

α ≥ β . Giả sử

α >β

thì

¤ ( a, B ) ≤ ε < α , trái lại với giá trị α ở trên. Chứng tỏ không xảy ra

Vậy sup
a∈A

α > β , nghĩa là α=β.


10

1.2.3. Định nghĩa. Không gian ( X , ¤
mọi tập con đóng bị chặn của ( X , ¤

)

)

được gọi là compact hữu hạn nếu

là tập compact.

Từ định nghĩa trên ta suy ra
1.2.4. Mệnh đề. Cho không gian mêtric ( X , ¤ ) , các điều kiện sau tương
đương với nhau:
(i) ( X , ¤

)

compact hữu hạn.

(ii) Mọi hình cầu đóng trong ( X , ¤

)

(iii) Mọi dãy bị chặn trong ( X , ¤

đều có dãy con hội tụ.

)

compact.

Một cách rõ ràng mọi không gian compact là compact hữu hạn. Không
gian Rn là compact hữu hạn nhưng không compact. Ví dụ này dường như cho
ta thấy tính đầy đủ kéo theo tính compact hữu hạn. Tuy nhiên suy luận này là
sai. Ví dụ: Mặt phẳng ¡

2

:

với đường biên mêtric ¤ được định nghĩa bởi:

:
 x − y ,0 ∈ aff ( x, y )
¤ ( x, y ) = 
 x + y ,0 ∉ aff ( x, y )

là đầy đủ nhưng không compact hữu hạn, do hình cầu tâm (0,0) là không
compact. Tương tự trong không gian l 2 nghĩa là không gian tất cả các dãy số
thực lập thành chuỗi bình phương hội tụ, với mêtric ¤ được định nghĩa bởi
công thức:

( ( x ) i ∈ N , ( y ) i ∈ ¥ ) =  ∑ ( x − y )
∞

¤

i

i



i =1

i

i

2

1
2


÷


là đầy đủ nhưng không compact hữu hạn.
1.2.5. Bổ đề. Nếu không gian ( X , ¤
giảm ( An ) , n ∈ ¥ trong C(X),

∞

IA

n

n =1

)

là compact hữu hạn thì cho mọi dãy

= lim Η An .


11
∞

Chứng minh: Giả sử A = IAn . Theo tính compact hữu hạn của ( X , ¤ ) ,
n =1

theo Định lý Cantor, tập A ≠ ∅ . Từ A ⊂ An với mọi n, hơn nữa
∀ε > 0, ∀n, A ⊂ ( An )ε ; nó kéo theo: ∀ε > 0, ∃n0 , ∀n > n0 , An ⊂ ( A)ε .
∞

Giả sử ngược lại rằng kết luận

IA

n

n =1

dãy tăng ( kn ) , n ∈ ¥ sao cho

= lim Η An sai, khi đó tồn tại ε > 0 và

Akn ⊄ ( A ) ε .

(1.4)
∞

Giả sử X n = Akn \ int ( A ) ε với mọi n và X 0 = IX n . Một cách rõ ràng

( Xn )

n =1

là dãy giảm các tập hợp compact, bởi (1.4) nó là tập khác rỗng. Do đó

theo Định lý Cantor, X 0 ≠ ∅ .

(1.5)
∞

Mặt khác X 0 ∩ A = A \ int ( A ) ε = ∅ và X 0 ⊂ IAkn = A từ đó suy ra
n =1

X 0 = X 0 ∩ A = ∅ trái với (1.5). Suy ra điều phải chứng minh.

1.2.6. Định lý. Nếu ( X , ¤

)

compact hữu hạn thì ( C ( X ) , ¤ H ) đầy đủ.

Chứng minh. Giả sử ( Cn ) , n ∈ ¥ là dãy Cauchy trong ( C ( X ) , ¤ H ) thì:

( )

∀ε > 0, ∃n0 , ∀n1 , n2 ≥ n0 , Cn1 ⊂ Cn2

( )

do đó nói riêng Cn ⊂ Cn0

ε
2

ε
2

,

và Cn0 ⊂ ( Cn ) ε2 với n > n0 .

∞

Do đó tập hợp

UC

n

n =1

(1.6)

( ) ∪ UC

là bị chặn, bởi vì nó là tập hợp con của Cn0

∞
 ∞

A
=
cl
C
A
=
Am .
Với mỗi m ∈ ¥ , đặt m
I
 U n ÷ và
m =1
 n=m 

n0

ε

n

n =1

(1.7)

.


12

Tập Am đóng và bị chặn, do đó nó là compact, vì ( X , ¤

)

là compact hữu

hạn. Rõ ràng Am+1 ⊂ Am với mọi m ∈ ¥ . Do đó theo Bổ đề 1.2.5, A = lim H Am
∞ 
kết hợp với (1.7) suy ra tồn tại n1 sao cho Cn ⊂ cl  UCi ÷⊂ ( A ) ε , n > n1 .
 i=n 
∞

Từ (1.6) và (1.7) suy ra A ⊂ cl UCi ⊂ ( Cn ) ε , n > n0 . Vậy A = lim H Cn do
đó ( Cn ) , n ∈ ¥ là dãy hội tụ.

i =n

1.2.7. Hệ quả. Không gian C n là đầy đủ.
1.2.8. Định lý. Không gian C n là compact hữu hạn.
Chứng minh. Sử dụng Định lý Blaschke (xem [7]), thì mỗi dãy bị chặn
trong C n đều có dãy con hội tụ. Theo Mệnh đề 1.2.4 ta có điều cần chứng
minh.
1.3. Tổng Minkowski của hai tập hợp và tích một số với tập hợp
Từ đây về sau, khi X là không gian ¡ n , chúng ta xét tích vô hướng như
sau:
n
n
Cho x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ ¡ , y = ( y1 , y2 ,..., yn ) ∈ ¡ ; tích vô hướng của x và
n

y ký hiệu là x o y , được định nghĩa bởi: x o y = ∑ xi yi . Do đó chuẩn của
i =1

1

x ∈ ¡ n , ký hiệu là x , được xác định bởi x = { x o x} 2
Góc giữa 2 vectơ x, y khác 0 được định nghĩa là số t: 0 ≤ t ≤ π sao cho
cos t =

xo y
. Ta nói x và y trực giao với nhau hoặc vuông góc vói nhau nếu
x y

π
. Giả sử L là không gian vectơ con của ¡ n , gọi
2
⊥

n
L = { y ∈ ¡ ; y ⊥ x; ∀x ∈ L} là không gian con của ¡ n bù trực giao (bù

góc giữa chúng bằng

vuông góc) với L .
1.3.1. Định nghĩa. Cho tập hợp con của ¡ n , phép toán cộng Minkowski
hai tập hợp và phép nhân tập hợp với một số được định nghĩa:


13

i) Với A, B ⊂ ¡ , A + B = { a + b | a ∈ A, b ∈ B}
n

Tập A+B được gọi là tổng Minkowski của Avà B
ii) Với A ⊂ ¡

n

và t ∈ ¡ , tA = { ta | a ∈ A}

Tập hợp tA được gọi là tích của A với t.
Dễ dàng chứng minh được hai tính chất đơn giản sau.
1.3.2. Tính chất
i) Tập:
Minkowski.

{ 0} (gồm

chỉ vectơ 0) là phần tử trung hòa của phép cộng

ii) Phép cộng có tính chất kết hợp và giao hoán.
iii) Phép nhân với một số phân phối phép cộng.
1.3.3. Tính chất. Phép nhân với một số với tập hợp và phép cộng
Minkowski hai tập hợp bảo tồn tính quan hệ bao hàm:
Ai ⊂ Bi , i = 1,2 ⇒ A1 + A2 ⊂ B1 + B2
A ⊂ B ⇒ tA ⊂ tB
1.3.4. Tính chất. Phép toán Minkowski bảo tồn tính compact, nghĩa là
nếu A, B compact và t là một số thì A+B và tA compact.
Chứng minh. Giả sử A và B compact. Xét dãy {z n}, n = 1,2,... tùy ý trong
A+B, ta chứng minh {zn}có dãy con hội tụ về điểm của A+B. Do z n ∈A+B
nên zn = xn+ yn, với xn ∈ A, yn ∈B. Do A compact nên {xn} có dãy con {xni}
hội tụ về x ∈A. Tương tự như vậy {yn} có dãy con {yni} hội tụ về y∈B. Đặt
zni = xni + yni thì {zni} là dãy con của {zn}. Dễ thấy {zni} hội tụ về x+y∈A+B
do đó có điều phải chứng minh.
Với t là số đã cho, chứng minh tA compact hoàn toàn tương tự.
Ký hiệu C n là họ các tập con khác rỗng, compact của ¡ n . Do Tính chất
1.3.4 nên phép cộng là hàm: C n × C n → C n và phép nhân với một số đã cho là
hàm: C n → C n .
Ký hiệu hình cầu đóng tâm a và bán kính ε là B ( a, ε ) hoặc BX ( a, ε ) :


14

B ( a, ε ) = { x ∈ ¡ | ¤ ( a , x ) ≤ ε } .
n

Hình cầu đơn vị đóng tâm 0 trong ¡

n

được ký hiệu là B n :

B n = { x ∈ ¡ n | ¤ ( 0, x ) ≤ 1} .

1.3.5. Định lý. Cho bất kỳ A ∈ C n và ε > 0 , ta có

( A) ε = A + ε B n .
Chứng minh. Chúng ta cố định x ∈ ¡ n . Do mêtric và ¤ | { x} × A là liên
tục,

từ

tính

compact

của

A

suy

ra

x ∈ ( A ) ε ⇔ ∃a ∈ A ,

x − a ≤ ε ⇔ x ∈ A + ε Bn .
Dựa vào các Tính chất 1.3.2 và 1.3.5. ta có Mệnh đề sau, mô tả các tính

chất của phép toán Minkowski đối với ε-bao.
1.3.6. Mệnh đề
i) Cho bất kỳ A, B ∈ C n và α , β > 0, ( A ) α + ( B ) β = ( A + B ) α + β .
ii) Cho bất kỳ A ∈ C n , t > 0, ε > 0 , t ( A ) ε = ( tA ) tε .
Chứng minh
n
n
n
i) Một cách rõ ràng α B + β B = ( α + β ) B .

(1.8)

n
Như vậy ( A ) α + ( B ) β = A + B + ( α + β ) B = ( A + B ) α + β .
n
n
ii) t ( A ) ε = t ( A + ε B ) = tA + tε B = ( tA ) tε .

1.3.7. Định lý
i) Phép toán Minkowski liên tục trên C n × C n .
ii) Phép nhân với số không âm liên tục trên C n .
Chứng minh
i) Như ta biết, hội tụ trong tích Descartes tương đương hội tụ theo từng
tọa độ, nó không phụ thuộc vào sự lựa chọn mêtric trong tích Descartes. Vì
thế để chứng minh mệnh đề, ta chỉ cần chứng minh rằng


15

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀A1 , A2 , B1 , B2 ∈ C ¤

n

⇒¤

Η

Η

( Ai , Bi ) ≤ δ , i = 1,2

( A1 + A2 , B1 + B2 ) ≤ ε .

(1.9)

ε
. Nếu ¤ Η ( Ai , Bi ) ≤ δ , i = 1,2 thì Ai ⊂ ( Bi ) δ và
2
(1.3.3) và (1.3.6i) ta có A1 + A2 ⊂ ( B1 + B2 ) ε và

Giả sử ε > 0 và δ =
Bi ⊂ ( Ai ) δ

từ

B1 + B2 ⊂ ( A1 + A2 ) ε nghĩa là ¤

Η

( A1 + A2 , B1 + B2 ) ≤ ε .

Nếu t = 0 thì tA = { 0} với mỗi A ∈ C n , do đó phép nhân trên C n liên
tục với t = 0.
ε
Giả sử t>0. Cho bất kỳ ε > 0 , giả sử δ = . Nếu ¤ Η ( A, B ) ≤ δ , thì
t
A ⊂ ( B ) δ và B ⊂ ( A ) δ , từ (1.2.3) và (1.2.6ii), tA ⊂ ( tB ) ε và tB ⊂ ( tA ) ε
ii)

Vậy ¤

Η

( tA, tB ) ≤ ε .

1.4. Tập hợp lồi, tập lồi compact
1.4.1. Định nghĩa. Cho hai điểm x, y, tập hợp các điểm {
z = λ x + ( 1 − λ ) y,0 ≤ λ ≤ 1 } được gọi là đoạn thẳng có các mút là x, y, ký
hiệu là ∆ ( a, b ) .
Tập hợp A ⊂ ¡

n

được gọi là lồi nếu với mỗi cặp điểm của nó là { a, b} ,

đoạn thẳng ∆ ( a, b ) là chứa trong A.
Tập hợp lồi A được gọi là thể lồi nếu nó có điểm trong: intA ≠∅.
Sau đây chúng ta chỉ ra rằng phép toán Minkowski bảo tồn tính lồi.
1.4.2. Định lý
i) Nếu A1 và A2 là tập lồi thì A1 + A2 là tập lồi.
ii) Nếu A là tập lồi thì bất kỳ t ∈ R , tập hợp tA cũng là tập lồi.

Chứng minh
i) Cho x, y ∈ A1 + A2 .Thì x = x1 + x2 , y = y1 + y2 , với xi , yi ∈ Ai , i = 1,2 . Từ
đó Ai là tập lồi, kéo theo ∆ ( xi , yi ) ⊂ Ai thật vậy


∆ ( x, y ) = { ( 1 − t ) x + ty | t ∈ [ 0,1] }

16

⊂ { ( 1 − t ) x1 + ty1 | t ∈ [ 0,1] } + { ( 1 − t ) x2 + ty2 | t ∈ [ 0,1] }
⊂ ∆ ( x1 , y1 ) + ∆ ( x2 , y2 ) ⊂ A1 + A2 .
ii) Chứng minh hoàn toàn tương tự.
Sau đây chúng ta đưa ra một vài ví dụ đơn giản về tập lồi.
1.4.3. Ví dụ
a) Mọi đoạn thẳng cũng như bất kỳ không gian con affin của k chiều
k ∈ { 0,....., n} là tập lồi.
b) Mỗi hình cầu là tập lồi. Theo Tính chất 1.4.2 ta chỉ cần chỉ ra B n là
tập lồi. Giả sử a, b ∈ B n nghĩa là a ≤ 1 , b ≤ 1. Thì
∀t ∈ [ 0,1] , ( 1 − t ) a + tb ≤ ( 1 − t ) a + t b ≤ 1 − t + t = 1.
n
Từ đó ta có ∆ ( a, b ) ⊂ B .

Từ 1.3.5, 1.4.2 và 1.4.3b chúng ta suy ra Định lý sau.
1.4.4. Định lý. Nếu A là tập lồi thì với mỗi ε > 0 , ε − bao của A là tập
lồi.
1.4.5. Mệnh đề. Với mỗi tập lồi A và với mỗi cặp số α , β ≥ 0 , ta có:

α A + β A = ( α + β ) A.

(1.10)

Chứng minh. Nếu α = 0 = β thì (1.10) có dạng { 0} = { 0} . Giả sử rằng
α + β > 0.
Bao hàm α A + β A ⊃ ( α + β ) A trong (1.10) là đúng đối với tập hợp A
tùy ý.
Ta chứng minh bao hàm α A + β B ⊂
t ∈ [ 0,1] và 1 − t =

( α + β ) A.

α
; do đó với mỗi a1, a2 ∈ A ,
α +β

Đặt t =

β
thì
α +β


17

α a1 + β a2 = ( α + β ) (( 1 − t ) a1 + ta2 ) ∈ ( α + β ) ∆ ( a1 , a2 ) .
Do đó α A + β A ⊂ ( α + β ) A , vì ∆ ( a1 , a2 ) ⊂ A.
Ví dụ sau chứng tỏ rằng trong Mệnh đề 1.4.5 giả thiết tập A lồi không thể
bỏ được.
1.4.6. Ví dụ. Ta ký hiệu Sn-1 là mặt cầu đơn vị tâm 0 trong ¡ n , tức là tập
hợp tất cả các điểm trong mà khoảng cách tới 0 bằng 1. Giả sử A = S n−1 thì
0 ∈ A + A , nhưng 0 ∉ 2A , vì 2A là hình cầu với bán kính 2 và tâm 0. Như vậy

A + A ⊄ 2 A.
Chúng ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau.
1.4.7. Mệnh đề. Bao đóng của bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi.
1.4.8. Mệnh đề. Cho mỗi tập con đóng X của Rn các điều kiện sau tương
đương:
i) X là tập lồi.
ii) ∀a, b ∈ X ,

1
( a + b) ∈ X .
2

Chứng minh. Phép kéo theo ( i ) ⇒ ( ii ) là rõ ràng.

( ii ) ⇒ ( i ) : Giả sử a, b ∈ X . Từ (ii) suy ra tập hợp
trong ∆ ( a, b ) , suy ra ∆ ( a, b ) ⊂ clX = X .

X I ∆ ( a, b ) là trù mật

Mệnh đề đã được chứng minh đầy đủ.
1.4.9. Định nghĩa
i) Giả sử t1 ,....., tk ∈ [ 0,1] và

k

k

i =1

i =1

∑ ti = 1. Điểm c ( a1,....., ak ; t1,......, tk ) = ∑ ti ai

được gọi là tổ hợp lồi của điểm a1 ,......, ak với bộ hệ số t1 ,......tk .
ii) Giả sử t1 ,..., tk thỏa mãn

k

∑t
i =1

n

i

= 1. Điểm d = ∑ ti ai được gọi là tổ hợp

affin của các điểm a1 ,..., ak với bộ hệ số t1 ,..., tk .
Cho bất kỳ A ⊂ ¡ n , ta sử dụng các ký hiệu sau:

i =1


18

C ( A ) = { c ( a1 ,..., ak ; t1 ,..., tk ) | a1 ,..., ak ∈ A, t1 ,..., tk ∈ [ 0,1] , k ∈ ¥ } .
affA là tập hợp tất cả các tổ hợp affin của các điểm thuộc A, với tất cả mọi
bộ hệ số.
Do đó, rõ ràng, C ( A ) ⊂ affA.
iii) Hệ điểm { a1 ,..., ak } được gọi là độc lập affin nếu không có điểm nào

trong chúng là tổ hợp affin của các điểm còn lại.
Dễ dàng chứng minh được rằng sự độc lập affin của hệ điểm không phụ
thuộc vào thứ tự của chúng.
iv) Nếu { a1 ,..., ak } độc lập affin, thì tập hợp C ( { a1 ,..., ak } ) được gọi là
đơn hình, và các điểm a1 ,......, ak là các đỉnh của nó. Đơn hình A với các đỉnh
a1 ,......, ak sẻ được ký hiệu là ∆ ( a1 ,..., ak ) .
Đơn hình ∆ ( a1 , a2 ) là đoạn thẳng với các điểm mút là a1 và a2. Đơn hình
∆ ( a1 , a2 , a3 ) chính là hình tam giác với các đỉnh a1 , a2 , a3 .
Dễ dàng chứng minh được tính chất sau.
1.4.10. Mệnh đề. Với mỗi A ≠ ∅ , tập hợp C(A) là lồi.
Phát biểu sau miêu tả quan hệ giữa tính lồi của tập hợp và tập hợp lồi.
1.4.11. Mệnh đề. Với mỗi tập hợp con A ≠ ∅ của ¡
tương đương:

n

các điều kiện sau

i) A là tập lồi.
ii) C(A) = A.
Chứng minh. Phép kéo theo (ii) ⇒ (i) suy ra trực tiếp từ 1.4.10.

( i ) ⇒ ( ii ) : Chúng ta lưu ý là với mỗi tập hợp A,
A ⊂ C ( A) .
Giả thiết cho rằng A là tập lồi, ta sẽ chứng minh rằng bất kỳ k ∈ ¥ ,

(1.11)


19

a1 ,..., ak ∈ A, t1 ,..., tk ∈ [ 0,1] , và

k

∑t
i =1

=1

i

(1.12)

⇒ c ( a1 ,..., ak ; t1 ,..., tk ) ∈ A.
Với k = 1 mệnh đề (1.12) đúng hiển nhiên.
Giả sử k ≥ 2 . Giả thiết rằng (1.12) là đúng với k-1; giả sử
a1 ,..., ak ∈ A, t1 ,..., tk ∈ [ 0,1] và

k

∑t
i =1

i

= 1.

Nếu tk = 1 , thì c ( a1 ,..., ak ; t1 ,..., t k ) = ak ∈ A.
'

Giả sử tk < 1 và ti =

k −1

ti
, i = 1,..., k − 1 . Rõ ràng
1 − tk

∑t
i =1

c ( a1 ,..., ak ; t1 ,..., tk ) = ( 1 − t k ) c ( a1 ,..., ak −1, t1' ,..., t k' −1 ) + t k ak ∈ A

'
i

= 1 và

Do giả thiết quy nạp cho nên (1.12) là đúng cho k; điều phải chứng minh.
Sau đây chúng ta chỉ ra sự cộng tính Minkowski của hàm C.
1.4.12. Mệnh đề. Cho bất kỳ tập A, B ≠ ∅ , ta có
C ( A + B ) = C ( A) + C ( B ) .
Chứng minh
a) C ( A + B ) ⊂ C ( A ) + C ( B ) : Giả sử x ∈ C ( A + B ) . Do đó x là tổ hợp
lồi của các điểm trong A+B, nghĩa là tồn tại bộ số
k

t1 ,..., tk ∈ [ 0,1] , a1 ,..., ak ∈ A, b1,..., bk ∈ B
k

k

k

i =1

i =1

i =1

sao

cho

∑t
i =1

i

=1

và

x = ∑ ti ( ai + bi ) = ∑ ti ai + ∑ tibi
Do đó x ∈ C ( A ) + C ( B ) .

b) C ( A + B ) ⊃ C ( A ) + C ( B ) : Bây giờ giả sử x ∈ C ( A ) + C ( B ) ; thì tồn tại
k

l

k

l

i =1

j =1

i =1

j =1

t1 ,....., tk , s1 ,..., sl ∈ [ 0,1] sao cho ∑ ti = 1 = ∑ s j và x = ∑ ti ai + ∑ s j b j .


20
k

k

i =1

j =1

Tất nhiên chúng ta có thể cho rằng k = l . Giả sử a = ∑ ti ai và b = ∑ s j b j ,
thì
k

k

k

j =1

i =1

i, j

x = (∑ s j )a + (∑ ti )b = ∑ ti s j ( ai + b j ) .
 k   k  k 
ti s j = ∑ ti  ∑ s j ÷ =  ∑ ti ÷ ∑ s j ÷ = 1,
∑
i, j
i
 j   i  j 
k

Trong

đó

x ∈C ( A + B) .

k

nó

kéo

theo

Sau đây là Định lý Carathe’odory, nói rằng là tập hợp C(A) được tạo ra
bởi tập hợp con độc lập affin của A, nói cụ thể hơn: C(A) là hợp có các đơn
hình các đỉnh trong A.
1.4.13. Định lý. Giả sử A ⊂ ¡ n . Với mỗi x ∈ C ( A ) tồn tại tập hợp con
độc lập affin { a1 ,..., ak } ⊂ A sao cho x ∈ ∆ ( a1 ,..., ak ) .

{

}

Chứng minh. Giả sử k = min m ∈ ¥ | x ∈ C ( { x1 ,..., xm } ) , xi ∈ A, i = 1,..., m .
Tồn tại a1 ,..., ak ∈ A sao cho x ∈ C ( { a1 ,..., ak } ) , và tồn tại t1 ,..., tk ∈ [ 0,1] sao
k

k

i =1

i =1

cho ∑ ti = 1 và x = ∑ ti ai .
Giả sử tập hợp { a1 ,..., ak } là phụ thuộc affin nghĩa là một trong những
điểm của nó là tổ hợp affin của các điểm khác. Khi đó tồn tại

( s1 ,..., sk ) ≠ ( 0,...,0 ) , sao cho

k

∑ si ai = 0 và
i =1

k

∑s
i =1

i

= 0 . Rõ ràng ít nhất một

t

trong những các số s1 ,..., sk là dương; do đó tập hợp  i | i ∈ { 1,..., k } , si > 0  là
 si

khác rỗng. Giả sử
với i = 1,..., k .

tm
tm
là số bé nhất của tập hợp này và giả sử α i = ti − .si
sm
sm


21
k

Dễ thấy x = ∑ α i ai , toàn bộ hệ số trong tổ hợp này là không âm, tổng của
i =1

chúng bằng 1, và α m = 0 . Như vậy x là một tổ hợp lồi của k – 1 điểm, trái với

{

}

giả định k = min m ∈ N | x ∈ C ( { x1 ,..., xm } ) , xi ∈ A, i = 1,..., m .
Ta ký hiệu K n là họ gồm tất cả các tập hợp con khác rỗng, lồi, compact
n
n
n
của ¡ , K 0 là họ gồm tất cả các thể lồi của K .
Sau đây là một điều kiện để họ tùy ý các tập lồi, compact có điểm chung.
Đây là một dạng mở rộng của Định lý Hêlly: trong Định lý Hêlly họ các tập
lồi chỉ có hữu hạn thành phần (xem [2], [6]).
1.4.14. Định lý. Cho χ ⊂ K n . Nếu với mỗi hệ A1 ,..., An+1 ∈ χ tập hợp
n +1

IA

i

là khác rỗng, thì

i =1

Iχ ≠ ∅ .

Chứng minh. Lấy A0 ∈ χ và đặt χ 0 = { A0 ∩ A | A ∈ χ } . Ta có χ 0 ⊂ K n và

Uχ

0

= A0 , từ đó, χ 0 gồm tập hợp con đóng của không gian compact A0. Ta

chứng minh họ χ 0 có tính chất giao hữu hạn, nghĩa là mỗi họ con hữu hạn
của χ 0 có giao khác rỗng. Sử dụng 1.4.13, suy ra mỗi họ con hữu hạn của χ
có giao khác rỗng. Với mỗi hệ A1 ,..., Ak ∈ χ , ta có
k

k

i =1

i =0

I( A0 ∩ Ai ) = IAi ≠ ∅.
Do đó mỗi họ con hữu hạn của χ 0 có giao khác rỗng. Áp dụng một kết
quả của tôpô đại cương (chẳng hạn trong [5]), ta suy ra, họ χ 0 có giao khác
rỗng. Mặt khác

Iχ

0

⊂ Iχ . Vậy

Iχ ≠ ∅

1.4.15. Định nghĩa. Cho tập hợp con bất kỳ A của ¡ n , giả sử F ( A ) là họ
gồm tất cả các tập hợp lồi chứa A. Giao của họ F ( A ) được gọi là bao lồi của
A, được kí hiệu là convA.


22

convA = ∩ F ( A ) .
Dễ dàng thấy convA là tập lồi; đó là tập hợp con lồi nhỏ nhất của ¡
A. Hình 1.1 mô tả convA, trong đó A là một cung trong ¡ 2 .

n

chứa

(Hình 1.1)
1.4.16. Mệnh đề. Cho A, B ⊂ ¡ n , khi đó
A ⊂ B ⇒ convA ⊂ convB.
Chứng minh. Điều phải chứng minh suy từ chú ý
A ⊂ B ⇒ F ( B ) ⊂ F ( A) .
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng thực chất bao lồi trùng nhau với tập
hợp các tổ hợp lồi.
1.4.17. Định lý. Với mỗi A ≠ ∅ , convA = C ( A ) .
Chứng minh. Bởi (1.11), A là tập hợp con của C(A). Theo 1.4.10, tập hợp
C(A) là tập lồi, nó kéo theo convA ⊂ C ( A ) .
Phép toán C là tăng theo quan hệ bao hàm, từ đó C ( A ) ⊂ C ( convA ) . Do
đó bằng phép tất suy ( i ) ⇒ ( ii ) trong 1.4.11, C ( A ) ⊂ convA, vì convA là lồi.

Từ 1.4.17 chúng ta mô tả đặc điểm sau đây của tập hợp lồi.


23

1.4.18. Hệ quả. Tập hợp A của ¡

n

là lồi khi và chỉ khi

A = convA.
Phát biểu sau là hệ quả trực tiếp của 1.4.12 được kết hợp với 1.4.17.
1.4.19. Hệ quả. Với mỗi A, B ⊂ ¡ n ,
conv ( A + B ) = convA + convB .
1.4.20. Mệnh đề. conv ( ( A ) ε ) = ( convA ) ε .
Chứng minh. Chúng ta ứng dụng lần lượt 1.3.5, 1.4.19, 1.4.3b, và 1.3.5.
conv ( ( A ) ε ) = conv ( A + ε B n ) = convA + conv ( ε B n )
= convA + ε B n = ( convA ) ε .
Chúng ta lưu ý là bao lồi của tập hợp đóng chưa hẳn là tập đóng.
2
2
Ví dụ A = { ( x1 ,0 ) ∈ ¡ | 0 ≤ x1 ≤ 1} ∪ { ( 0, x2 ) ∈ ¡ | x2 ≥ 0} thì

convA = { ( x1 , x2 ) ∈ ¡ 2 | 0 ≤ x1 < 1, x2 ≥ 0} ∪ { ( 1,0 ) } ,
khi đó convA không đóng trong ¡ 2 , mặc dù A là đóng.
1.4.21. Định lý. A ∈ C n ⇒ convA ∈ C n
Chứng minh: Giả sử F(A) là họ tất cả các tập lồi trong ¡
n
sử F0 ( A ) = F ( A ) ∩ C .

n

chứa A và giả

Do giao của họ các tập lồi là tập lồi nên:
convA ⊂ ∩ F0 ( A ) .

(1.13)

Mặt khác với mỗi X ∈ F ( A ) tồn tại tập hợp X 0 ∈ F0 ( A ) chứa trong X.
Chẳng hạn, X 0 = B ∩ clX , trong đó B là hình cầu chứa A (X 0 compact, từ đó
nó là tập con đóng bị chặn của Rn và bởi 1.4.3, 1.4.7 nên nó là tập lồi.
Do đó convA ⊃ ∩ F0 ( A ) .

(1.14)


24

Từ (1.13) và (1.14), tập hợp convA là giao của các tập hợp con compact
của Rn, từ đó nó là compact.
Theo Định lý 1.4.21, hàm conv được coi là hàm của C n vào chính nó, hay
là như hàm từ C n vào K n . Định lý sau nói rằng conv là ánh xạ từ C n lên K n .
1.4.22. Định lý. Hàm conv : C n → K n là song ánh.
Như ta đã biết, một ánh xạ f giữa hai không gian mêtric (X,d), (Y,d’)
được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k: 0 < k <1 sao cho với mọi cặp x, y
thuộc X ta có:
d’(f(x),f(y) ≤ kd(x,y).
Nếu k = 1, f được gọi là ánh xạ co yếu.

1.4.23. Định lý. Hàm conv : C n → K n là ánh xạ co yếu.
Chứng minh. Giả sử A1 , A2 ∈ C n . Chúng ta cần chứng minh
¤

H

( convA1 , convA2 ) ≤ ¤ H ( A1, A2 ) .

(1.15)

Do biểu thức (1.15) đối xứng với A1, A2, ta chỉ cần chứng minh bất đẳng

thức inf { δ > 0 | convA1 ⊂ ( convA2 ) δ } ≤ inf { δ > 0 | A1 ⊂ ( A2 ) δ } .

(1.16)

Theo 1.4.16 và 1.4.20, ta có
A1 ⊂ ( A2 ) δ ⇒ convA1 ⊂ ( convA2 ) δ ,
do đó vế trái của (1.16) chứa vế bên phải. Suy ra bao hàm (1.16).
Chúng ta có được hệ quả trực tiếp của 1.4.23 như sau.
1.4.24. Hệ quả. Hàm conv : C n → K n là liên tục.
Như ta đã biết, một ánh xạ f từ không gian mêtric (X,d) lên tập hợp con Z
của X được gọi là co rút X trên Z nếu:
- f là ánh xạ liên tục từ X lên Z.
- Hạn chế của ánh xạ f trên Z là ánh xạ đồng nhất.
Theo 1.4.18 và 1.4.24, ta có thể phát biểu các kết quả trên dưới dạng sau:
1.4.25. Hệ quả. Hàm conv là co rút của Cn trên Kn.


25

Vì một co rút của không gian bất kỳ đóng trong không gian này, từ 1.4.25
chúng ta có kết quả sau.
1.4.26. Hệ quả. Họ Kn là đóng trên Cn.
1.4.27. Định lý. Không gian K n là compact hữu hạn.
Chứng minh. Theo Hệ quả 1.4.26 thì họ K n đóng trong C n mà mỗi không
gian con đóng của không gian mêtric compact hữu hạn là không gian mêtric
compact hữu hạn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.4.28. Mệnh đề
i) Kn khép kín đối với phép toán Minkowski.
ii)

K 0n khép kín đối với phép cộng Minkowski; hơn thế, nếu

A1 ∈ K 0n , A2 ∈ K n , thì A1 + A2 ∈ K 0n .
n

iii) Phép nhân số bất kỳ khác 0 bảo tồn K 0 .

Chứng minh:
i) Bởi 1.3.7 phép toán Minkowski bảo toàn tính compact, và bởi 1.4.2 tính
lồi được bảo toàn.
ii) Giả sử A1 ∈ K 0n , A2 ∈ K n . Bởi (i) ta chỉ cần chỉ ra
int ( A1 + A2 ) ≠ ∅

(1.17)

Từ int A1 ≠ ∅ , kéo theo int ( A1 + x ) ≠ ∅ với mọi x (vì phép tịnh tiến là
phép đồng phôi). Điều này cùng với đẳng thức A1 + A2 = ∪{ A1 + x | x ∈ A2 }
cho ta (1.17).

iii) Cũng do (i) và tính bất biến tôpô của phần trong qua phép vị tự (vì
phép vị tự là phép đồng phôi).
Như vậy hệ quả trực tiếp của 1.4.5 và 1.4.28 (ii),(iii) là:
n
n
1.4.29. Mệnh đề. A ∈ K ⇒ ( A ) ε ∈ K 0 .

1.5. Phẳng