Tính cách được của nửa nhóm Blauumslag Solitar

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VŨ TUẤN ANH

TÍNH TÁCH ĐƯỢC CỦA NỬA NHÓM
BLAUMSLAG - SOLITAR

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An 2013


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

VŨ TUẤN ANH

TÍNH TÁCH ĐƯỢC CỦA NỬA NHÓM
BLAUMSLAG - SOLITAR
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 05

Người hướng dẫn khoa học:

PSG. TS. LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An 2013


3

MỤC LỤC

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Trang
1
2

4
1.1 Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do
4
1.2 Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm
14
Chương 2. Tính tách được của nửa nhóm Blaumslag-Solitar
19
2.1 Dạng chuẩn đối với nửa nhóm Blaumslag-Solitar
19
2.2 Tính tách được hữu hạn đối với nửa nhóm Blaumslag-Solitar
24
2.3 Một số lớp nửa nhóm tách được hữu hạn
28

KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

37
38

LỜI NÓI ĐẦU
Giả sử k và l là các số nguyên không âm. Nhóm Blaumslag-Solitar B k,l
với biểu diễn nhóm


4

( )

P G p = a, b | abk = bl a
đã được Blaumslag và Solitar đề xuất nghiên cứu từ 1962 và đã đạt được
nhiều kết quả sâu sắc.
Trong công trình Decision and separability problems for BlaumslagSolitar semigroups, David A. Jackson đã đưa ra ý tưởng khảo sát nửa nhóm
S

k ,l với biểu diễn nửa nhóm
P ( S ) = a, b | abk = bl a

và đã giải quyết được một số bài toán liên quan đến lớp nửa nhóm này,
trong đó có bài toán xác định tính tách được của chúng.
Nửa nhóm S được gọi là nửa nhóm tách được hữu hạn nếu với mỗi
nửa nhóm con M của S và mỗi phần tử s ∈ S \ M , tồn tại một nửa nhóm
hữu hạn T và một đồng cấu nửa nhóm ϕ : S → T sao cho ϕ ( s ) ∉ϕ ( M ) .
Bản luận văn của chúng tôi dựa trên công trình của D. A. Jackson để

tìm hiểu tính tách được đối với nửa nhóm Blaumslag-Solitar và một số
lớp nửa nhóm khác thỏa mãn tính chất liên quan đến hình học t ổ h ợp nh ư
nửa nhóm với biểu diễn thỏa mãn điều kiện phủ nhỏ C ( n ) hay T ( k ) .
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai
chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại các kiến thức về nửa nhóm t ự

do và vị nhóm tự do, biểu diễn nửa nhóm và biểu diễn vị nhóm bởi cấu
trúc tự do tương ứng để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau.
Chương 2. Tính tách được của nửa nhóm Blaumslag-Solitar
Đây là nội dung chính của luận văn.
Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày dạng chuẩn của các t ừ
trên nửa nhóm Blaumslag-Solitar. Trên cơ sở đó trình bày chi tiết kết quả
chính của luận văn nói rằng: Nửa nhóm Blaumslag-Solitar tách được hữu
hạn. Phần cuối luận văn trình bày những bước đầu tìm hiểu về một số
lớp nửa nhóm với biểu diễn thỏa mãn điều kiện phủ nhỏ C ( n ) hay T ( k ) .


5

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh. Nhân d ịp này tác
giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Quốc Hán,
người đã đặt vấn đề và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa sau Đại
học, các thầy, các cô trong khoa và tổ Đại số đã tạo mọi điều kiện giúp
đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi nh ững thiếu
sót, chúng tôi rất mong nhận những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy,

cô giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.
Nghệ An, tháng 8 năm
2013

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản của Lý
thuyết nửa nhóm và vị nhóm có sử dụng trong luận văn.

1.1 Nửa nhóm tự do. Vị nhóm tự do

Tiết này trình bày nửa nhóm tự do và vị nhóm tự do.
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Một tập con X của S
được gọi là sinh ra S một cách tự do nếu S = X s và mỗi ánh xạ

α 0 : X → P (trong đó P là nửa nhóm bất kỳ) có thể mở rộng thành đồng
cấu α : S → P sao cho α | X = α 0 .


6

Khi đó ta nói rằng α là một mở rộng đồng cấu của ánh xạ α 0 . Nếu S
được sinh ra tự do bởi một tập nào đó thì S được gọi là nửa nhóm tự do.
1.1.2 Ví dụ. 1. ( Ν* , + ) là nửa nhóm tự do với x = { 1} là tập sinh tự do của
nó.
Nếu α 0 : X → P là một ánh xạ, thì ta định nghĩa α : Ν* → P bởi

α ( n ) = α 0 ( 1) . Khi đó α | X = α 0 và α là đồng cấu, vì:
n

α ( m + n ) = α 0 ( 1)

m+ n

= α 0 ( 1) .α 0 ( 1) = α ( m ) .α ( n )
m

n

*
2. ( Ν ,.) không phải là nửa nhóm tự do.
*
Thật vậy: Giả sử X ⊆ Ν* , chọn P = ( Ν , + ) và giả sử α 0 ( n ) = n, ∀n ∈ X .
*
Nếu α : ( Ν ,.) → P là một đồng cấu thì α 0 ( n ) = α 0 ( 1.n ) = α ( 1) + α ( n ) và do

đó α ( 1) = 0 ∉ ( P ) . Như vậy α không phải là mở rộng của α 0 .
1.1.3 Định lý. Nếu S được sinh ra tự do bởi X và α0: α 0 : X → P là
một ánh xạ, thì α 0 có một mở rộng đồng cấu duy nhất α : S → P .
Chứng minh. Theo định nghĩa, mỗi α 0 có một mở rộng. Giả sử ánh xạ

α : S → P và β : S → P là các mở rộng đồng cấu của α 0 . Khi đó với mọi
x ∈ S , x = x1 x2 ...xn với các phần tử xi ∈ X nào đó, vì X sinh ra S . Thế thì

α ( x ) = α ( x1 ) α ( x2 ) ...α ( xn ) = α 0 ( x1 ) α 0 ( x2 ) ...α 0 ( xn ) = β ( x1 x2 ...xn ) = β ( x ) và do
đó α = β . W
1.1.4 Định lý. Một nửa nhóm tự do nếu và chỉ nếu nó đẳng cấu với nửa
nhóm các từ A+ với một bảng chữ cái A+ nào đó.
Chứng minh. Giả sử S được sinh bởi tập con X ⊆ S và A là một bảng

chữ cái với A = X |. Khi đó tồn tại song ánh ψ 0 : A → X .Vì A sinh ra A+
một cách tự do nên tồn tại một mở rộng toàn cấu ψ : A+ → S .


7

Vì ψ 0−1 : X → A cũng là song ánh và S được sinh tự do bởi X nên ψ 0−1 có
một mở rộng toàn cấu β : S → A+ . Cái hợp thành βψ : A+ → A+ là một
toàn cấu thỏa mãn điều kiện:

βψ | A = βψ 0 = ( β / X ) ψ 0 =ψ 0−1ψ 0 = i .
A
Vì i A : A → A được mở rộng một cách duy nhất tới đẳng cấu đồng nhất
i : A+ → A+ nên βψ = i A . Vì i + là song ánh nên ψ đơn ánh và do đó ψ
A
A
là song ánh. Từ đó ψ là một đẳng cấu.
+

Mặt khác, giả sử rằng tồn tại một đẳng cấu ψ : A+ → S . Khi đó
S = ψ ( A) S và có ψ một ánh xạ ngược ψ −1 : S → A+ cũng là đẳng cấu.
Xác định ánh xạ ψ 0 = ψ | A và X = ψ ( A) .
Giả sử P là một nửa nhóm tùy ý và α 0 : X → P là một ánh xạ bất kỳ.
Thế thì ánh xạ α 0ψ 0 : A → P mở rộng một cách duy nhất thành đồng cấu

γ : A+ → P .
Xét ánh xạ β = γψ −1 : S → P . Đó là một đồng cấu vì ψ −1 và γ là những
−1
−1
đồng cấu. Hơn nữa, với mỗi x ∈ X , β ( x ) = γ ( ψ ( x ) ) = α 0ψ 0ψ ( x ) = α 0 ( x )

và do đó β | X = α 0 , nghĩa là β là một mở rộng đồng cấu của α 0 . Theo
định nghĩa, S được sinh tự do bởi X . W
1.1.5 Hệ quả.
i) Nếu S được sinh tự do bởi một tập con X thì S ≅ A+ với A = X ;
ii) Nếu S và R là các nửa nhóm được sinh tự do tương ứng bởi X và Y
sao cho X = Y thì S ≅ R .
1.1.6 Định lý. Mỗi nửa nhóm tự do có luật giản ước.


8

Chứng minh. Suy ra từ luật giản ước có trong A+ . W
Bây giờ ta chuyển sang chứng minh tiêu chuẩn Lévi – Dubreil – Jacotin
về nửa nhóm tự do trên sự nhân tử hóa các phần tử của nó.
Giả sử X ⊆ S . Chúng ta nói rằng x = x1 x2 ...xn là một sự phân tích thành
nhân tử phần tử x trên X nếu mỗi xi ∈ X , i = 1,2,..., n . Nếu X sinh ra S thì
mỗi phần tử x ∈ S có một nhân tử hóa trên X . Nói chung sự phân tích đó
không duy nhất, nghĩa là có thể xảy ra x1 x2 ...xn = y1 y2 ... yn với xi ∈ X , yi ∈ X
và xk ≠ yk nào đó.
1.1.7 Định lý. Một nửa nhóm S được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu
mỗi phần tử x thuộc S có sự nhân tử hóa duy nhất trên X .
Chứng minh. Trước hết ta nhận xét rằng khẳng định của Định lý 1.1.7
được thỏa mãn với nửa nhóm A+ .
Giả sử A là một bảng chữ cái sao cho A = X và α 0 : X → A là một song
ánh.
Giả thiết rằng X sinh ra S .
Giả sử x = x1 x2 ...xn = y1 y2 ... yn là hai sự nhân tử hóa x trên X và α là mở
rộng

đồng

cấu

của

α0

thì

α ( x ) = α 0 ( x1 ) α 0 ( x2 ) ...α 0 ( xn ) = α 0 ( y1 ) α 0 ( y2 ) ...α 0 ( ym ) là hai sự nhân tử hóa
của α ( x ) trên A . Vì A+ thỏa mãn khẳng định của định lý, nên phải có

α 0 = ( xi ) = α 0 ( yi ) với ∀i = 1,2,..., n . (và m = n ). Vì α 0 là song ánh nên
xi = yi , với i = 1,2,..., n . Và như vậy S thỏa mãn khẳng định của Định lý
1.1.7. Giả sử S thỏa mãn điều kiện duy nhất. Ký hiệu β0 = α 0−1 và giả sử

β : A+ → S là


9

mở rộng đồng cấu của β 0 . Khi đó β là toàn ánh (vì X sinh ra S ) và là
đơn ánh (vì nếu β ( u ) = β ( v ) với u, v ∈ A+ , u ≠ v nào đó thì β ( u ) có hai
cách nhân tử hóa khác nhau trên X : trái giả thiết). Vậy β là một song ánh
và do đó là một đẳng cấu . W
1.1.8 Định nghĩa
Đối với nửa nhóm S , tập con B ( S ) = S \ S 2 = { x ∈ S | ∀y, z ∈ S : x ≠ yz}
được gọi là một cơ sở của S .
Từ định nghĩa ta suy ra rằng một phần tử x ∈ S nằm trong B ( S ) nếu và

chỉ nếu x không biểu diễn được thành tích của hai phần tử tùy ý thuộc S .
Kết quả sau đây thuộc về Lévi –Dubreil – Jacotin.
1.1.9 Định lý. Một nửa nhóm S tự do nếu và chỉ nếu B ( S ) sinh ra S một
cách tự do.
Chứng minh. Đặt X = B ( S ) . Nếu X sinh ra S một cách tự do thì S là
nửa nhóm tự do theo Định nghĩa 1.1.1. Giả sử S là nửa nhóm tự do. Ta
chứng minh X sinh ra S một cách tự do. Trước hết, ta chú ý rằng X là
tập con của S không có ước nào thuộc S , thế thì X ≠ φ và X sinh ra S .
Thật vậy, giả sử a = bc trong đó b, c ∈ X hoặc a = xyz... hoặc quá trình đó
sẽ kết thúc và ta thu được biểu diễn của a dưới dạng tích các phần tử
thuộc X hoặc với mọi số n lớn tùy ý tồn tại các phần tử a1 , a2 ,..., an ∈ S
sao cho a = a1a2 ...an . Nếu a = a1a2 ...an thì a1 , a1a2 , a1a2 a3 ,..., a1a2 ...an là các ước
bên trái của a , chúng đều khác nhau cả vì trong nửa nhóm tự do có luật
giản ước và không có lũy đẳng. Vì n có thể lớn tùy ý nên mâu thuẫn với
Định lý 1.1.4 và định nghĩa nửa nhóm các từ. Vậy X sinh ra S .


10

Giả sử x1 x2 ...xn = y1 y2 ... ym

trong đó xi , y j ∈ X . Đặt x2 ...xn = x và

y2 ... ym = y thì x1 x = y1 y nên hoặc x1 , y1 có ước. Khả năng thứ hai không
xảy ra do định nghĩa của X . Bây giờ tương tự thu được x2 = y2 và tiếp tục
quá trình đó không quá max { n, m} bước, ta đi tới n = m và xi = y j với
i = 1,2,..., n . Như vậy mỗi phần tử thuộc S biểu diễn được một cách duy
nhất dưới dạng tích các phần tử thuộc X . Do đó S được sinh tự do bởi
X .W

1.1.10 Ví dụ. Giả sử A = { a, b, c} là một bảng chữ cái. Các từ ab, bab, ba
sinh ra một nửa nhóm con của nửa nhóm các từ A+ . Nửa nhóm
S = ab, ba, bab A không tự do, vì phần tử w = babab có hai cách nhân tử
+

hóa khác nhau trong S :
w = ba.bab = bab.ab .
Giả sử A = { a, b, c} và T = ab, ba, bab A+ . Khi đó T là nửa nhóm con tự do
của A+ . Thật vậy, nếu tồn tại hai cách nhân tử hóa w = u1u2 ...un = v1v2 ...vm
của một từ w thuộc T , thì hoặc u1 = v1 (và do tính giản ước sẽ có một từ
ngắn hơn với hai cách nhân tử hóa khác nhau : u2u3...un = v2v3...vm ) hoặc
u1 = aa và v = abb (hoặc do đối xứng, u1 = abb và v1 = aa ). Nhưng trong
trường hợp này không thể tìm được u2 , bởi u2 nếu có phải bắt đầu bằng
chữ cái b .
1.1.11 Định nghĩa. Vị nhóm M gọi là một vị nhóm tự do được sinh tự do
bởi một tập con X với 1∉ X nếu X ∪ { 1} là một tập sinh của M và mỗi
ánh xạ α 0 : X → P (trong đó P là một vị nhóm) mở rộng được thành một
đồng cấu vị nhóm duy nhất α : M → P , nghĩa là α | X = α 0 và α ( 1M ) = 1P .


11

1.1.12 Định lý. Nếu S là một nửa nhóm tự do thì S 1 là vị nhóm và ngược
lại.
1.1.13 Hệ quả. Vị nhóm từ A* là một vị nhóm tự do với mọi bảng chữ cái
A.
1.1.14 Định lý. Một vị nhóm M là vị nhóm tự do nếu và chỉ nếu M \ { 1}
là nửa nhóm con tự do.
Chứng minh. Đối với điều kiện ngược lại, tập con M \ { 1} là nửa nhóm
con của M . Điều đó được thỏa mãn, vì nếu không 1M sẽ có hai cách nhân

tử hóa khác nhau. Phần còn lại của khẳng định trong định lý được suy ra
từ Định nghĩa 1.1.11. W
Tương tự như nửa nhóm tự do, ta còn có một số k ết quả khác sau đây v ề
vị nhóm tự do.
1.1.15 Định lý. i) Một vị nhóm M được sinh tự do bởi X nếu và chỉ nếu
mỗi x ∈ M \ { 1} có một sự nhân tử hóa duy nhất trên X .
ii) Mỗi vị nhóm tự do là một ảnh đồng cấu của một vị nhóm các từ A* với
bảng chữ cái A chọn thích hợp.
iii) Một vị nhóm M là tự do nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với một vị
nhóm các từ A* với bảng chữ cái A nào đó.
1.1.16 Định nghĩa. Đối với mỗi tập con X ∈ A* của các từ ta kí hiệu
X + = X A* là nửa nhóm con mà X sinh ra trong vị nhóm các từ A* , nghĩa
là X + gồm tất cả các tích của các từ trong X .
*
+
Cũng như vậy, vị nhóm tương ứng ký hiệu là X = X ∪ { 1} . Chú ý rằng

nếu 1∈ X thì X * = X + . Nếu w ∈ A* là một từ thì ta viết w * thay cho { w} .
*


12

Giả sử u, v ∈ A+ . Thế thì u được gọi là một nhân tử của v nếu
v = w1uw 2 với các từ w1 , w 2 nào đó thuộc A* ; u được gọi là tiền tố (hậu
tố) của v nếu v = u.w (hay tương ứng v = w.u ) với w ∈ A* nào đó.
Độ dài w của từ w ∈ A* là số chữ cái có trong w ; nếu w = a1 , a2 ,..., an
với ai ∈ A thì w = n . Độ dài của từ rỗng được quy ước bằng không.
1.1.17 Bổ đề. Nếu u1u2 = v1v2 trong A* thì hoặc u1 là tiền tố của v1 hoặc
v1 là tiền tố của u1 , nghĩa là tồn tại một từ w ∈ A* sao cho u1 = v1w hoặc

v1 = u1w .
Trước hết ta chứng minh một tiêu chuẩn khác đối với tính tự do của vị
nhóm con của vị nhóm các từ. Đối với một vị nhóm con M của A* chúng ta
sẽ sử dụng ký hiệu M + = M \ { 1} . Khi đó M + là một nửa nhóm con của A* ,
vì từ rỗng không thể là tích của hai từ khác từ rỗng. Cơ sở của M ,
B ( M ) = M + \ M 2 + là cơ sở của nửa nhóm M + . Nhớ rằng đơn vị (từ rỗng)
là đơn vị của chính vị nhóm con M . Cơ sở của vị nhóm tự do được gọi là
mã.
Một vị nhóm con của vị nhóm các từ A* không nhất thiết tự do.
1.1.18 Bổ đề . Đối với mọi vị nhóm con M của A* , cơ sở B ( M ) là tập
sinh tối tiểu duy nhất của M (xét như một vị nhóm), nghĩa là nếu N là
tập sinh của M thì B ( M ) ⊆ N .
Chứng minh. Để chứng tỏ rằng B ( M ) sinh ra M , ta giả thiết rằng trái
lại có một từ w ∈ M không thể biểu diễn được thành tích các từ thuộc
B ( M ) . Giả thiết rằng w là từ ngắn nhất

sao cho w ∈ M nhưng

+
w ∉ B ( M ) . Vì w ∉ B ( M ) nên tồn tại hai từ u, v ∈ M + sao cho w = uv . Vì


13

u, v ngắn hơn w nên từ cách xác định của w , có u,v ∈ B ( M ) + . Nhưng khi
đó uv ∈ B ( M ) , hay w ∈ B ( M ) : mâu thuẫn.
+

Giả sử

+

N

là một tập con sinh ra

M . Khi đó với mọi

u ∈ B ( M ) , u ∈ N * = M nhưng u không phải là tích của hai hay nhiều hơn
hai từ thuộc M nên u ∈ N .
Do đó B ( M ) ⊆ N . W
Kết quả sau đây thuộc về M. P. Schutzenberger (1995).
1.1.19 Định lý.
Giả sử M là một vị nhóm con của vị nhóm các từ A+ . Thế thì M tự do
nếu và chỉ nếu : u, v,uw, wv ∈ M ⇒ w ∈ M .
Chứng minh. Giả sử M tự do, w ∈ A* là một từ nào đó có u , v ∈ M sao
cho uw, wv ∈ M . Giả sử u = u1...uk , uw = v1...vt , wv = uk +1...uk + r và v = vt +1...vt + s
, trong đó mọi ui , v j ∈ X , với X = B ( M ) .
Khi đó uwv = uwv = u1...uk uk +1...uk + r = v1...vt vt +1...vt + s . Vì M được sinh tự do
bởi X nên k + r = t + s, ui = vi với i = 1,2,..., k + r . Từ đó w = uk +1...ut (vì
k ≤ t ) nên w ∈ M .
Giả sử điều kiện trên có hiệu lực đối với M . Giả sử tồn tại một từ có hai
sự nhân tử hóa khác nhau trên X : u1u2 ...uk = v1v2 ...vm (ui , v j ∈ X ) . Có thể giả
thiết rằng u1 ≠ v1 , vì nếu ngược lại có u2 ...un = v2 ...vm , thế thì hoặc u1 là
một tiền tố của v1 hoặc v1 là tiền tố của u1 . Giả sử rằng v1 = u1w (trong
trường hợp khác lập luận được tiến hành tương tự do tính đối x ứng). Khi
đó u1w ∈ M và u2u3 ...un = wv2v3 ...vm (do A* có luật giản ước). Theo giả
thiết w ∈ M , nhưng điều đó mâu thuẫn vì v1 = u1w ∈ B ( M ) . Vậy M tự
do . W

14

1.1.20 Định lý. Giả sử { M i | i ∈ I } là một họ các vị nhóm con tự do của
M i cũng là vị nhóm con của A* .
A* . Khi đó M = I
i∈I
Chứng minh. Rõ ràng M là vị nhóm con của A* . Giả sử u , v, uw, vw ∈ M ,
thế thì u , v, uw, vw ∈ M i với mọi i ∈ I . Do đó w ∈ M i , ∀i ∈ I theo Định lý
1.1.19, suy ra w ∈ IM i = M . Lại theo Định lý 1.1.19, M là vị nhóm con tự
i∈I

do của A* . W
Giả sử X ⊆ A* là một tập con tùy ý, thế thì I { M | M là vị nhóm con của
A* , X ⊆ M } là một vị nhóm con tự do của A* . Rõ ràng nó là vị nhóm con
tự do nhỏ nhất của A* chứa X . Cơ sở của giao này được gọi là bao tự do
*
của X và được ký hiệu là F ( X ) . Nói riêng, X * ⊆ F ( X ) vì X * là một vị

nhóm con và X ⊆ F ( X ) .
*

1.1.21 Định lý khuyết. Giả sử X ⊆ A* là một tập con hữu hạn các từ, và
F ( X ) là bao tự do của nó. Nếu X không phải là một mã (nghĩa là X
không phải là cơ sở của một vị nhóm tự do nào đó) thì F ( x ) ≤ X − 1 .
Chứng minh. Vì X ⊆ F ( X ) nên mỗi từ u ∈ X * được viết một cách duy
*

nhất dưới dạng u = w1w 2 ...w k , với w i ∈ F ( x ) . Giả sử α : X → F ( X ) là một
*

song ánh sao cho α ( u ) = w1 , nếu u ∈ w1 F ( x ) . Giả thiết rằng X * không tự do,

khi đó tồn tại một từ w ∈ X * có hai cách nhân tử hóa trên X : w = u1u2 ...u
= v1v2 ...vm ( ui , v j ∈ X ) , trong đó u1 ≠ v1 (nếu u1 = v1 thì có một phần tử ngắn
hơn u2 ...un với hai cách nhân tử hóa khác nhau trên X ). Thế thì α ( u1 ) = α ( v1 )


15

và như vậy α không phải là đơn ánh (Nếu α ( u1 ) ≠ α ( v1 ) thì từ w sẽ có hai
*
cách nhân tử hóa khác nhau trên F ( X ) , mâu thuẫn với F ( X ) là vị nhóm con

tự do).
Bây giờ ta chỉ ra rằng α là toàn ánh, giả sử ngược lại rằng tồn tại một
w∈F ( X )

từ

sao

α ( u ) ≠ w , với tất cả

cho

u∈ X .

Giả

sử

Y = ( f ( x ) \ { w} ) .w * .
Khi đó X ⊆ Y * , thế thì Y * tự do, vì nếu u1u2 ...un = v1v2 ...vr ( ui , v j ∈Y ) trong
ui = y1ki

đó

và

y1w k y2 w k ... ym w k
1

2

t

vi = z j w j

với

yi , z j ∈ F ( X ) \ { w}

và

ki , t j ≥ 0

thì

m

= z1w t z2 w k ...zr w t và (vì F ( X ) * tự do) y1 = z1 , k1 = t1 , ym = zm , km = tm và m = r
1

2

r

. Nhưng khi đó ui = vi với mọi i và do đó Y * tự do.
*
Ta có X ⊆ Y * nhưng Y * ⊆ F ( X ) , mâu thuẫn với tính cực tiểu của F ( X )

với tư cách là cơ sở bé nhất của vị nhóm tự do chứa X . Điều đó kéo theo

α là toàn ánh. Vì α không phải là đơn ánh nên F ( X ) ≤ α ( x ) ≤ X , do
đó F ( X ) ≤ X − 1 . W
1.1.22 Định nghĩa. i) Một từ w ∈ A+ được gọi là nguyên thủy nếu nó
không phải là lũy thừa của một từ khác, nghĩa là nếu w = u k thì k = 1 và
u=w.
ii) Hai từ u, v ∈ A+ được gọi là liên hợp với nhau, nếu tồn tại các từ
w1 , w 2 ∈ A* sao cho u = w1w 2 , v = w 2 w1 .
1.1.23 Hệ quả. Mỗi từ u ∈ A+ là một lũy thừa của một từ nguyên thủy
duy nhất.


16

Chứng minh. Giả thiết rằng w = u n = v m với các từ u, v ∈ A+ nào đó, u ≠ v
và với các số nguyên m, n ≥ 1 nào đó. Thế thì tập hợp X = { u, v} không
phải là mã, vì có hai sự nhân tử hóa khác nhau trên X . Theo Định lý
khuyết có F ( x ) < X và do đó F ( x ) = { z} với một từ z ∈ A* nào đó, nhưng

điều đó có nghĩa là u, v ∈ Z * và do đó v = z s , u = z t . Nếu u, v nguyên thủy
thì r = s = 1 và u = v .
1.1.24 Hệ quả. Hai từ u, v ∈ A* giao hoán được với nhau nếu và chỉ nếu
chúng là lũy thừa của cùng một từ.
Chứng minh. Vì uv = vu nên X = { u, v} không phải là một mã và do đó
F ( X ) < X = 2 nên theo chứng minh hệ quả trên ta có u và v là lũy thừa
của một từ z chung nào đó.

1.2 Biểu diễn nửa nhóm. Biểu diễn vị nhóm
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Khi đó tồn tại một toàn
cấu ψ : A+ → S với một nửa nhóm các từ A+ nào đó. Thế thì
S ≅ A+ / ker ( ψ ) . Khi đó ψ được gọi là một biểu diễn đồng cấu của S ,
và nếu ( u, v ) ∈ ker (ψ ) thì u = v được gọi là một hệ thức hay đẳng thức
trong S . Để tránh hiểu nhầm, ta viết u ≡ v nếu các từ u , v bằng nhau trong
A+ .

Như vậy, định nghĩa một biểu diễn của S gồm các kí hiệu sinh
A = { a1 , a2 ,...}

và

các

hệ

thức

S = a1 , a2 ,...| ui = vi ( i ∈ I ) hay S = A | R

R = { ui = vi | i ∈ I } ,

và

viết

nếu ker ( ψ ) là tương đẳng nhỏ

nhất của A+ chứa các hệ thức { ( ui , vi ) | i ∈ I } .


17

Nói riêng ψ ( ui ) = ψ ( vi ) đối với tất cả các ui = vi trong R
Tập hợp R các hệ thức được giả thiết có tính đối xứng nghĩa là nếu

u = v trong R thì v = u cũng thỏa mãn.
Cần nhớ rằng các từ w ∈ A+ không phải là các phần tử của S nhưng
được ánh xạ vào S . Chúng ta nói rằng một từ w ∈ A+ biểu diễn phần tử

ψ ( w ) của S . Cùng một phần tử của S có thể được biểu diễn bằng nhiều
cách khác nhau (bởi các từ khác nhau). Nếu ψ ( u ) = ψ ( v ) thì hai từ u , v
biểu diễn cùng một phần tử của S . Giả sử S = A | R

là một biểu diễn.

Chúng ta chỉ ra rằng S có một hệ thức u = v (nghĩa là ψ ( u ) = ψ ( v ) nếu và
chỉ nếu tồn tại một dãy u = u1 , u2 ,..., uk +1 = v với các từ sao cho ui +1 nhận
được từ ui bằng cách thay thế nhân tử ui bởi vi đối với ui = vi nào đó
trong R ). Chính xác hơn, chúng ta nói rằng một từ v là dẫn xuất trực
tiếp từ u nếu u = ω1u 'ω2 và v = ω1u 'ω2 với u ' = v ' nào đó trong R .

Rõ ràng rằng nếu v được dẫn xuất từ u thì u được dẫn xuất từ v (vì
R đối xứng) và ψ ( u ) = ψ ( ω1 ) ψ ( u ') ψ ( ω2 ) = ψ ( ω1 ) ψ ( v ) ψ ( ω2 ) nên u = v
là một hệ thức trong S . Từ v được gọi là dẫn xuất từ u nếu tồn tại một
dãy hữu hạn u = u1 , u2 ,..., uk ≡ v sao cho với tất cả j = 1,2,..., k − 1 , u j +1 là
dẫn xuất trực tiếp từ u j . Nếu v được dẫn xuất từ u thì sẽ có vì

ψ ( u ) = ψ ( u1 ) = ψ ( u2 ) = ... = ψ ( uk −1 ) = ψ ( uk ) = ψ ( v ) , và do đó u = v là
một hệ thức trong S . Nó có thể viết thành u ≡ u1 = u2 = ... = uk ≡ v .


18

Trước khi trình bày một định lí về biểu diễn nửa nhóm, ta nhắc lại rằng
với mỗi quan hệ ρ trên nửa nhóm S luôn luôn tồn tại một tương đẳng ρ C
trên S nhỏ nhất chứa ρ (được gọi là tương đẳng sinh bởi quan hệ ρ ).
1.2.2 Định lý. Giả sử S = A | R

là một biểu diễn, với R đối xứng. Thế

thì
R C = { ( u, v ) | u = v hay v được dẫn xuất từ u }.
Do đó u = v trong S nếu và chỉ nếu v được dẫn xuất từ u .
Chứng minh. Ký hiệu ρ là quan hệ xác định bởi u ρ v nếu và chỉ nếu

u = v hoặc v được dẫn xuất từ u .
Rõ ràng i ⊆ ρ nên ρ phản xạ. Vì R đối xứng nên ρ đối xứng, tính
bắc cầu của ρ là hiển nhiên. Vậy ρ là quan hệ tương đương.
Nếu w ∈ A+ và v được dẫn xuất từ u thì rõ ràng wv cũng được dẫn
xuất từ wu và vw được dẫn xuất từ uw . Vậy ρ là quan hệ tương đẳng.
Giả sử θ là một tương đẳng sao cho R ⊆ θ . Giả thiết rằng v được dẫn

xuất trực tiếp bởi u : u = w1u 'w 2 , v = w1v 'w 2 trong R . Vì R ⊆ θ nên

( u ', v ') ∈θ .

Vì θ là một tương đẳng

( u, v ) ∈θ . Do đó, nhờ tính bắc cầu của

nên

( w1u 'w 2 , w1v 'w 2 ) ∈θ

hay

ρ và θ , có ρ ⊆ θ và như vậy ρ

là tương đẳng nhỏ nhất chứa R , nghĩa là R C = ρ . W
Từ Định lý 1.1.2 trực tiếp suy ra
1.2.3 Định lý. Giả sử A là một bảng chữ cái và R ∈ A+ × A+ là một quan
hệ đối xứng. Thế thì nửa nhóm S = A+ / R C có biểu diễn
S = A | u = v với mọi ( u, v ∈R

)

.


19

Hơn nữa, tất cả các nửa nhóm có cùng biểu diễn đẳng cấu với nhau.

1.2.4 Ví dụ.
1) Xét biểu diễn nửa nhóm sau: S = a, b | aa = ab, ba = aab, bbb = aba .
Trong biểu diễn này có hai phần tử sinh và ba hệ thức xác định.
Chẳng hạn, trong S có một đẳng thức baabbaa = bbaaba , vì u1 = baabbaa
= b.ba.baa = u2 và u2 = bbabaa = bba.ba.a = bba.aba.a = bbaaab . Cũng như
vậy, aaab = aabb = abbb = aaba = bab trong S , và do đó aaab = bab trong
S.

2) Một biểu diễn các nửa nhóm các từ không cần hệ thức xác định:
A+ = A | φ

Tất cả các nửa nhóm (vì vị nhóm) đều có biểu diễn. Thực vậy,

S = A | ker ( ψ )

là một biểu diễn như vậy, khi ψ : A+ → S là toàn cấu

biểu diễn. Tuy nhiên, nói chung biểu diễn này rất phức tạp. Chúng ta sẽ
quan tâm nhiều hơn các nửa nhóm có biểu diễn hữu hạn, nghĩa là một
biểu diễn S = A | R , trong đó A là một bảng chữ cái hữu hạn và R là
tập hữu hạn các hệ thức (Tiếc rằng không phải nửa nhóm nào cũng có th ể
biểu diễn như vậy).
Trở lên, ta nói rằng tất cả các vị nhóm đều có một biểu diễn (với tư cách
là một nửa nhóm). Tuy nhiên sẽ tiện lợi hơn nếu s ử dụng các bi ểu di ễn v ị
nhóm mà đối với các biểu diễn ấy có ưu thế của phần tử đơn vị:

M = a1 , a2 ,...| ui = vi , ( i ∈ I ) là một biểu diễn vị nhóm nếu ui , vi ∈ A* , trong
đó A = { a1 , a2 ,...} là một bảng chữ cái. Trong biểu diễn vị nhóm chúng ta có

20

thể giả thiết có các hệ thức dạng u = 1 , nghĩa là từ u có thể bị xóa từ một
từ khác hay bổ sung vào một vị trí nào đó giữa hai chữ cái.
1.2.5. Ví dụ. 1) Giả sử M = a, b | ab = ba là một biểu diễn của vị nhóm

M . Thế thì M ; A* / R C trong đó A = { a, b} và R = { ab = ba} . Có một
toàn cấu ψ : A* → M và M được sinh bởi phần tử x = ψ ( a ) và y = ψ ( b ) .
Vì ab = ba nên ψ ( a ) .ψ ( b ) = ψ ( b ) ψ ( a ) hay xy = yx . Do đó M là vị nhóm
giao hoán.
Hơn nữa mỗi phần tử z ∈ M có một dạng chuẩn: Giả sử z = z1.z2 ...zn với

zi = ψ ( ai )

( ai = a

hoặc ai = b ) thì z = ψ ( a1 ) ψ ( a2 ) ...ψ ( an ) = ψ ( a1a2 ...an )

= ψ ( a k b m ) = ψ ( a ) k ψ ( b ) m = x k b m nào đó ( m ≥ 0, k ≥ 0 ) . Do đó vị nhóm M

là một nhóm giao hoán tự do, và có thể chỉ ra được rằng m ỗi vị nhóm giao
hoán được sinh bởi hai phần tử là ảnh toàn cấu của M .
2) Biểu diễn vị nhóm M = a, b | aba = 1 xác định một nhóm. Thực ra,
nhóm này đẳng cấu với ( ¢ ,+ ) . Thật vậy, giả sử M là một vị nhóm với
biểu diễn trên thì M ; A* / R C trong đó A = { a, b} và R = { aba = 1} , và
giả sử ψ : A* → M là toàn cấu tương ứng. Thế thì M được sinh bởi các
phần tử x = ψ ( a ) và y = ψ ( b ) , hơn nữa ab = ba.aba = aba.ba = ba và do
đó xy = yx . Điều đó kéo theo M là một vị nhóm giao hoán. Do đó mỗi
m n
phần tử thuộc z ∈ M có dạng z = ψ ( a b ) với m ≥ 0 , n ≥ 0 nào đó. Hơn

nữa, a.ab = 1 và ba.a = 1 nên ba là nghịch đảo của a . Tương tự a 2 là
nghịch đảo của b , b = ( aa ) . Điều đó có nghĩa là các phần tử của M
−1


21

k
đều có dạng z = ψ ( a ) với k ∈ Z . Thế thì α : M → ( Z , + ) xác định bởi

α ( a ) = −1 và α ( b ) = 2 là một đẳng cấu.

CHƯƠNG 2
TÍNH TÁCH ĐƯỢC CỦA NỬA NHÓM BLAUMSLAG-SOLITAR
2.1 Dạng chuẩn đối với nửa nhóm Blaumslag-Solitar
2.1.1 Định nghĩa. Nửa nhóm có biểu diễn nửa nhóm
a, b | abk = bl a
trong đó k và l là các số nguyên không âm cho trước được gọi là nửa
nhóm Blaumslag-Solitar.


22

Ký hiệu Sk ,l .
2.1.2 Nhận xét. Giả sử u là phần tử của nửa nhóm S2,3 được cho bởi
biểu diễn

A | R , trong đó

A = { a, b}

2
3
và R = { ab = b a} , với

u = b3ab5a 2b 4 ab3 .
Nếu chúng ta sử dụng quan hệ ab 2 = b3a để chuyển b3 sang phải, chúng
2
8
ta làm ngắn độ dài ở mọi bước và cuối cùng được từ ( b a.ba.baa ) b = v

Nếu chúng ta sử dụng quan hệ ab 2 = b3a để chuyển b 2 sang trái, chúng ta
làm dài thêm độ dài các từ ở mọi bước tiếp theo và nhận từ
b 44 ( a.ab.a.a ) º w .

Phần tử v được gọi là dạng chuẩn bên trái và phần tử w được gọi là
phần tử dạng chuẩn bên phải của u trong nửa nhóm S2,3 . Thực ra ba từ

u , v, w đều biểu diễn một phần tử của nửa nhóm S2,3 nhưng độ dài của
chúng (thực ra là độ dài của các từ biểu diễn chúng trong A+ ) khác nhau:

u = 19; v = 16; w = 49 .

2.1.3 Mệnh đề (Dạng chuẩn bên phải đối với S k .l ). Giả sử k ³ 1 . Thế
thì :

( 1) Mỗi phần tử của Sk .l có thể viết dưới dạng
w là một phần tử thuộc tập hợp
Wl = { a, ba, b 2 a,..., bl- 1a}

éwb n ù, trong đó n ³ 0 và
ê
ë ú
û


23

(có thể xảy ra trường hợp n = 0 hoặc w là từ rỗng, nhưng không đồng
thời xảy ra hai trường hợp đó).

( 2) Giả sử
NR := { wb n : n ³Î¹0, w

Wl , wb n

1}

Thế thì các phần tử phân biệt của NR biểu diễn các phần tử phân biệt
của S k .l (chúng ta sẽ gọi một phần tử thuộc NR biểu diễn s Î S là dạng
chuẩn bên phải của s ).

( 3) Giả sử s là một phần tử của S sao cho u là một dạng chuẩn bên
k .l
phải của s và v là một từ trên bảng chữ cái A = { a, b} cũng biểu diễn s
trong S k ,l .
Thế thì :

u < v nếu k < l

u = v nếu k = l
u > v nếu k > l .

Chứng minh. Trước khi chứng minh ta giải thích một vài ký hiệu. Giả sử
S là một nửa nhóm với biểu diễn A | R . Như thường lệ, A+ sẽ được ký

hiệu là nửa nhóm tự do (chính xác : nửa nhóm các từ trên A ) và A* là vị
nhóm tự do trên A với đơn vị là từ rỗng mà ta sẽ ký hiệu là 1, Ù hay e.
Thế thì S @ A+ / r , trong đó r là tương đẳng trên A+ sinh bởi R (nghĩa
là r là tương đẳng nhỏ nhất trên A+ chứa R ). Khi đó, các phần tử thuộc

A+ / r là các lớp r -tương đương, với mỗi u Î A+ , r - lớp tương đương
chứa u được ký hiệu là [ u ] r hay đơn giản hơn [ u ] (nếu không sợ nhầm


24

+
+
lẫn). Do đó A / r = { [ u ] | u Î A } . Vì S @ A+ nên ta cũng đồng nhất mỗi

phần tử s của S với [ u ] , trong đó u là một từ trên A biểu diễn s Î S .
Giả sử m là số lần a xuất hiện trong biểu diễn của từ u Î A+ . Khi đó ta
sẽ ký hiệu u a = m .
Bây giờ ta sẽ chứng minh Mệnh đề 2.1.3.

( 1) Trước hết ta sẽ chú ý rằng

éb ql aù= éab kq ùtrong Sk ,l , với mọi số tự nhiên
ê

ë ú
û ê
ë ú
û

q
l ù é kù
(chứng minh quy nạp theo q với chú ý é
êb a ú
êab û
útheo giả thiết).
ë
û= ë

Giả sử từ u trên bảng chữ cái A = { a, b} biểu diễn s trong S k ,l . Chúng ta
chứng minh bằng quy nạp theo u a rằng [ u ] và [ v ] bằng nhau trong S k ,l , với
v = wb n là một từ dưới dạng yêu cầu của ( 1) , Mệnh đề 2.1.3.
Nếu u a = 0 thì u º b n với n > 0 và u có dạng yêu cầu biểu diễn.
Nếu u a > 0 thì ta viết u º u ' ab n2 với u ' Î A* và n2 Î ¥ nào đó. Lập
luận của chúng ta sẽ kết thúc nếu u ' là từ rỗng. Nếu u ' không phải là từ
n1 ù
rỗng, theo quy nạp, [ u '] sẽ bằng é
êw ' b û
útrong Sk ,l với n1 ³ 0 và w ' là một
ë

từ nào đó trong tập hợp
Wl = { a, ba,..., bl- 1a} .
Chia n1 cho l để viết n1 dưới dạng n = ql + j1 với 0 £ j1 < l . Thế thì
n

n
[ u] = é
ê
ëw ' b ab
1

2

ù= éw ' b j1 b ql ab n2 ù= é( w '.b j1 a ) .b qk + n2 ù.
ú
ú
ú
û ê
ë
û ê
ë
û


25

( 2) Chúng ta theo lập luận của Van der Waerden (1948) để chứng tở rằng
các phần tử phân biệt của NR biểu diễn các phần tử phân biệt của Sk ,l .
Ký hiệu : NR * = NR ∪ { 1}
trong đó 1 là từ rỗng. Giả sử FNR * là nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ
trên NR * . Ta hãy xác định các phép biến đổi α và β trên NR * . Trước
hết, 1a = a và 1b = b . Nếu wb n là một từ không tầm thường thuộc NR *
n
j
qk

thì hãy viết n = ql + j với 0 £ j < l và giả sử wb a = ( wb a ) .b . Xác

định b lên wb n bởi wb n b = wb n+ 1 . Giả sử s là nửa nhóm con của FNR *
được sinh bởi a và b . Khi đó abk = bl a là các phần tử của s , và do đó
ta có đồng cấu F : S k ,l ® s xác định bởi F ( [ a ]) = a và F ( [ b ]) = b . Chứng
nù
n
minh hệ thức 1F ( é
êwb û
ú) º wb bằng quy nạp theo n . Từ đó F là một đẳng
ë

cấu nên mỗi phần tử của Sk ,l có một biểu diễn duy nhất trong Sk ,l .

( 3) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo u a như chứng minh phần
( 1) . W
2.1.4 Mệnh đề (Dạng chuẩn bên trái đối với nửa nhóm S k ,l ). Giả sử
k ³ 1 . Thế thì :
n ù
( 1) Mỗi phần tử s của Sk ,l có thể được viết dưới dạng é
ê
ëb w ú
ûtrong đó

n ³ 0 và w là một từ trong tập hợp
Wk = { a, ab, ab 2 ,..., ab k - 1 }