Tập đại số trong không gian chiều thấp và Iđêan của chúng

MỤC LỤC

MỤC LỤC ........................................................................................................................... 1
LỜI MỞ ĐẦU ...................................................................................................................... 2
CHƯƠNG I. TÔPÔ ZARISKI.

Phần 1 Tập Đại Số
1.1 Khái niệm tập đại số .................................................................................................4
1.2 Một số tính chất cơ bản của tập đại số..............................................................6
1.3 Tôpô Zariski ...............................................................................................................9
Phần 2 Iđêan ..............................................................................................................10
CHƯƠNG II. IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ ZARISKI.

2.1 Ánh xạ Zariski.........................................................................................................12
2.2 Tính chất Iđêan trong tập đại số.......................................................................14
2.3 Iđêan căn

.............................................................................. ............................... .18

2.4 Iđêan nguyên tố .............................................. ........................................................ 20
2.5 Mối quan hệ giữa Iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy..................21
CHƯƠNG III. TẬP ĐẠI SỐ TRONG R1, R2, R3 VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG.

3.1 Tập đại số trong R1 và iđêan của chúng ............................................................23
3.2 Tập đại số trong R2 và iđêan của chúng ............................................................24
3.3 Tập đại số trong R3 và iđêan của chúng ............................................................26
KẾT LUẬN .........................................................................................................................28
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................................29

1

LỜI MỞ ĐẦU
Hình học đại số là môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên cứu
hình học. Để làm được điều này người ta thường dùng các phương trình đa thức
để mô tả các hình hình học và quy các vấn đề hình học về việc nghiên cứu tập
nghiệm của một hệ phương trình đa thức. Mỗi tập nghiệm như vậy gọi là một
tập đại số.
Hình học đại số là một ngành học rất quan trọng trong toán học hiện đại,
nó có mối liên hệ chặt chẽ với các ngành hình học khác như : Hình học afin,
hình học Ơclit, hình học xạ ảnh... cũng như với các nghành toán học khác như
giải tích, tôpô ... .
Công cụ chính của hình học đại số là đại số giao hoán nên đòi hỏi người
học cũng phải nắm vững không chỉ kiến thức về hình học mà cả kiến thức cơ
bản về đại số giao hoán.
Iđêan là một khái niệm cơ bản và quan trọng của Đại số và có rất nhiều tính
chất quan trọng trong Hình học đại số.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hình học đại số thông qua việc nhìn nhận,
phân tích một số yếu tố của nó trong R1, R2, R3 và Iđêan của chúng, tác giả đã chọn đề
tài : ‘‘Tập đại số trong không gian chiều thấp và Iđêan của chúng’’ .
Luận văn được chia làm 3 chương :
Chương 1 : Tôpô Zariski.
Trong chương này tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về tập đại số,
idean, tôpô Zariski.
Chương 2 : Iđêan và tập đại số Zariski.
Trong chương này tác giả sẽ trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện
trong tập Zariski,trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiện
của iđêan trong tập đại số.

2

Chương 3 : Tập đại số trong R1, R2 ,R3 và iđêan của chúng.
Trong chương này tác giả sẽ mô tả các tập đại số trong R1 ,R2 ,R3 và cố
gắng tính toán các iđêan của chúng.Ngoài ra,tác giả sẽ cố gắn Hình học đại số
với toán phổ thông bằng cách chỉ ra những hình trong toán phổ thông là tập đại số.
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS-TS Nguyễn Huỳnh Phán, người đã
hướng dẫn khoa học cho tác giả trong quá trình làm đề tài. Tác giả cũng xin
được chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Trường đại học Vinh,
nơi tác giả học tập đã nhiệt tình đóng góp các ý kiến quý báu. Bên cạnh đó tác
giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè, đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ để
tác giả hoàn thành luận văn.
Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn !
Vinh, tháng 09 năm 2013
Tác giả

3


Chương I - TÔPÔ ZARISKI.
Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về hình học
đại số như : Tập đại số, iđêan, tôpô Zariski. Nhiều tính chất trong này chúng tôi
đã chứng minh chi tiết mà trong các tài liệu tham khảo chỉ chứng minh sơ lược
hoặc không chứng minh.

Phần 1 - TẬP ĐẠI SỐ
1.1.Khái niệm tập đại số
1.1.1. Định nghĩa.
Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Vành đa thức n biến x , x ,..., xn trên A là

1 2
tập A[X] : = A[ x1, x2 ,..., xn ]. Mỗi phần tử f của A[X] gọi là đa thức, nó có dạng
f =

r1,r 2,....,r x r1x r 2 ....xnrn

2
n 1
r1r2....rnd

với d là một số tự nhiên nào đó và r1,r2 ,....,rn  A gọi là các hệ tử. Khi A là
trường ta gọi chúng là các hệ số. Các biểu thức x1r1 x2r2 ....xnrn gọi là các đơn
thức. Bậc của đơn thức x1r1 x2r2 ....xnrn là tổng các số mũ r1 + r2 +…..+ rn. Bậc
của f  0 là bậc lớn nhất của các đơn thức trong f và ký hiệu là degf . Nếu f = 0,
ta quy định degf =  . Nếu 0  f  A, ta nói degf = 0. Khi degf = 1, ta nói f
là đa thức bậc nhất, nó luôn có dạng
f = a x  a x  ...  an xn  an1 ,
11 2 2
trong đó ít nhất phải có một hệ số gắn biến khác không.
1.1.2. Định nghĩa tập đại số
Cho K là trường, tập con V  Kn gọi là tập đại số nếu nó là nghiệm của
một họ các đa thức n biến trong K X  .
Ta ký hiệu tập nghiệm của đa thức f là Z(f).
Thế thì

Z  f   a  K n f  a   0
4


Ví dụ (về tập đại số):

1. Tập rỗng  là tập đại số vì phương trình f = 0 với f  K mà f  0 là vô nghiệm.
2. Tập 1 điểm a = (a1, a2,…., an) là tập đại số vì đó là nghiệm của hệ n phương trình
tuyến tính
 x - a = 0
i i

i = 1, 2,..., n

3. Các m – phẳng trong không gian afin Kn là các tập đại số vì đó là nghiệm của
các đa thức bậc nhất có phương trình dạng
a11x1+a12x2+...+a1nxn+b1=0
...........
a x +a x +...+a x +b =0
p1 1
p2 2
pn n
p

Trong đó n-m  p n và ma trận hệ số có hạng bằng n-m.
4. Kn là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0.
Chú ý. Khái niệm “Tập đại số” không phụ thuộc và việc chọn tọa độ, nghĩa
là nếu V là nghiệm của một hệ các đa thức f(x1, x2,…., xn ) S, thì với tọa độ
 x = ci0 + ci1 y1 + ci 2 y2 + .....+ cin yn
mới (y1, y2,…., yn ), ta có  i


i = 1, 2,...................................., n

thì các điểm trong V với tọa độ mới là nghiệm của hệ phương trình
f(c10 + c11y1+….+ c1nyn,….., cn0 + cn1y1+….+ cnnyn) = 0, f  S.

K n , f = 0
Như vậy ta có: Nếu deg f = 0 thì Z(f)  
  , f  0

Nếu deg f > 0 thì Z(f) gọi là siêu mặt. Nói riêng, nếu deg f = 1 (nghĩa là f là đa
thức bậc nhất) thì Z(f) là một siêu phẳng.
Cho S là tập con bất kỳ của K[X]. Ký hiệu Z(S) là tập nghiệm của tất cả các đa
thức trong S (thường gọi vắn tắt là tập nghiệm của S), nghĩa là Z(S) là một tập
đại số. Ta có Z(S) =

 Z( f ) .
f S

Chú ý: Tương ứng S



Z(S) cho một ánh xạ từ họ tất cả các tập con của

vành đa thức K[X] đến họ tất cả các tập con của không gian afin Kn.

5


Ví dụ.
1) Nếu f là đa thức 1 biến, thì các tập đại số Z(f) chỉ có thể là : tập rỗng ; là tập
hữu hạn hoặc toàn bộ K.

 a, a ; a  K Nó là một parabol.
Thật vậy, đặt V: =  a, a  ; a  K  . Ta có V  Z(f).

2) f = x2 – y, thì Z(f) =

2

2

Ngược lại, giả sử ( a1 , a2 )  Z(f). Nếu a1 = 0 thì a2 = 0 nên ( a1 , a2 ) = (0, 02)  V.
Khi a1  0, ta có


a12 a2  a2 
    : a
 a1 
a
a1  a1 
1


2
a2 2 a22  a2 

2
 a2  a  a 2   a  : a
 1
2
1

Do đó ta có ( a1 , a2 )  V. Từ đó suy ra Z(f)  V. Vậy ta có V = Z(f).
3) f = x3 – y2 thì Z(f) =

 a , a ; a  K Thật vậy,đặt
2

3



V :=  a 2 , a 3  ; a  K



Chứng minh tương tự như trên, ta có V  Z(f).
Ngược lại, giả sử ( a1 , a2 )  Z(f). Nếu a1 = 0 thì a2 = 0 nên ( a1 , a2 ) = (02, 03)  V.
Khi a1  0, ta có
2

a13 a22  a2 
 a1   2    : a 2
a1 a1  a1 


3

a23 a23  a2 
3
 a2  a  a 3   a  : a
 1
2
1


Do đó ta có ( a1 , a2 )  V. Từ đó suy ra Z(f)  V. Vậy ta có V = Z(f).
1.2.Một số tính chất cơ bản của tập đại số
1.2.1. Mệnh đề (về một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)
1) Nếu S1  S2 thì Z(S1)  Z(S2) ;
2) Z(0) = Kn;
3) Z(c) =  với

0  c K;

4) Z(S1)  Z(S2) = Z(S) với S = { fg; f  S1 và g  S2 };
6


5)  Z(Si) = Z(  Si).
Chứng minh.
1) Giả sử S1  S2. Khi đó với mọi a Z(S1), tức là a là nghiệm của S1.
Do S1  S2 nên a cũng là nghiệm của S2. Do đó a  Z(S2).Vậy Z(S1)  Z(S2).
Theo định nghĩa, hiển nhiên ta có 2) và 3).
4) Ta có S = { fg; f  S1 và g  S2 } nên mọi nghiệm của S1 hoặc S2 đều là
nghiệm của S nên Z(S1)  Z(S2)  Z(S)
Ta chứng minh Z(S1)  Z(S2)  Z(S)
Thật vậy, giả sử a  Z(S), tức a là nghiệm của S. Nếu a không là nghiệm của S1 thì
tồn tại f  S1 sao cho f(a)  0. Khi đó mọi g  S2 ta có g(a) = 0 nên
a  Z(S2), nghĩa là Z(S1)  Z(S2)  Z(S).
5) Cho Si là một họ các tập con của K[X]. Thế thì a là nghiệm của mọi tập con Si khi
và chỉ khi a là nghiệm của tập  Si. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
1.2.2. Bổ đề.
Nếu A là miền nguyên thì deg fg = deg f + deg g .
Chứng minh. Mọi đơn thức của fg là tích của đơn thức của f và đơn thức của g.

Nếu umax , vmax là đơn thức có bậc lớn nhất của f và g tương ứng với hệ tử khác
không là c, d, khi đó đơn thức có bậc lớn nhất của fg là tích umax vmax với hệ tử
là cd. Do A là miền nguyên nên cd  0.
Do đó deg fg = deg (umax vmax) = deg umax + deg vmax = deg f + deg g.
1.2.3. Bổ đề.
Nếu A là miền nguyền thì vành đa thức A[X] cũng là miền nguyên và các
phần tử khả nghịch của A[X] là phần tử khả nghịch của A.
Chứng minh. Nếu f, g là đa thức khác 0 trong A[X], thì deg f, deg g  0,
nên deg fg  0 và do đó fg  0. Vậy A[X] là miền nguyên.
Tiếp theo, nếu f g = 1 thì deg fg = deg f + deg g = 0, do đó f và g là những phần
tử khác 0 của A. Vậy f và g là những phần tử khả nghịch của A.
Cho f là đa thức hệ số trên trường K. Coi Kn là không gian afin n- chiều.
Điểm a = ( a , a ,..., an )  Kn gọi là nghiệm của f nếu
1 2
7


r1,r 2,....,rn a1r1a2r2 ....anrn = 0

r1r2....rnd

f (a ) =

Chú ý rằng, mỗi đa thức f xác định một ánh xạ f : Kn  K; a  f( a ), gọi
là ánh xạ đa thức.
1.2.4. Bổ đề.
Nếu trường K vô hạn thì f(a) = 0 với a  K n  f  0 .
Chứng minh. Nếu n = 1, thì mỗi đa thức một biến khác 0 chỉ có hữu hạn
nghiệm nên kết quả là hiển nhiên. Khi n > 1, giả sử ngược lại, f  0. Giả thiết f
chứa biến xn. Viết f dưới dạng

f = f0 + xnf1 + xn2f2 +

….. + xnmfm

với f0 , f1 , f2 , ….., fm là đa thức của n – 1 biến đầu và fm  0. Dùng quy nạp, ta
có thể giả thiết tồn tại b = (b1, b2,…., bn-1)  Kn - 1 sao cho fm (b1, b2,….,bn-1)  0.
Khi đó f (b, xn) = f0 (b) + xnf1 (b) + xn2 f2 (b) …+ xnm fm(b).
Đây là một đa thức khác không bậc m của một biến xn, nên nó chỉ có hữu hạn
nghiệm. Điều này mâu thuẫn với giả thiết f(a) = 0 với mọi a  Kn.
Hệ quả.
Nếu trường K vô hạn và f (a) = g(a) với mọi a = (a1, a2,., an)  Kn thì f = g.
Chứng minh. Đặt h = f – g, áp dụng Bổ đề trên, ta nhận được kết quả.
Chú ý. Nếu K là trường hữu hạn thì các tính chất trên không còn đúng.
Ví dụ. Nếu K = { a1, a2,…., as} và f (x) = (x - a1) (x - a2)….. (x - as) thì f triệt tiêu
trên K nhưng f  0.
Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết trường K là vô hạn.
1.2.5.Hệ quả.
Họ tất cả các tập đại số trong Kn lập thành một tôpô, gọi là tôpô Zariski. Mỗi
phần tử của tôpô này (tức là mỗi tập Z(S)) gọi là một tập đóng Zariski.
Chứng minh. Ký hiệu Z(Kn) là họ tất cả các tập đại số Z(S) trong Kn. Thế thì
họ này chứa rỗng, chứa Kn và đóng kín với hợp hữu hạn, giao tùy ý nên nó lập
thành một tôpô trên Kn.
Chú ý. Mỗi tập mở trong tôpô Zariski là tập dạng
8


D(S) = Kn \ Z(S) = Kn \

 Z( f )

=

f S

 K

n



\ Z(f) .

f S

Ký hiệu D(f) = Kn \ Z(f), thì họ tất cả các tập mở dạng D(f) lập thành một cơ sở
tôpô Zariski trên Kn.
1.3. Tôpô Zariski
1.3.1.Định nghĩa.
Họ

TZ = {U | U = Kn \V, V là tập đại số} lập thành một tôpô trên không gian

afin Kn và gọi là tôpô Zariski.
1.3.2. Mệnh đề.(về một số tính chất đơn giản của tôpô Zariski).
1) TZ là tô pô.
2) Các tập mở dạng D(f) = Kn \ Z(f) gọi là tập mở Zariski và chúng lập thành
một cơ sở cho tô pô Zariski. Thật vậy, mọi tập mở U bất kỳ trong Kn đều là phần
bù của một tập đại số Z(S). Do Z(S) =  Z(f) nên
fS

U = Kn \  Z(f) =  (Kn \ Z(f)), suy ra U =
fS

fS


D(f) (đpcm).
fS

3) Khi K = R, C (trường số thực, trường số phức), các tập đại số trong
R n , C n với tôpô thông thường trên R n , C n là các tập đóng vì Z(S) =


f-1(0) trong
fS

đó f-1 là ánh xạ ngược của ánh xạ đa thức f (liên tục) và {0} là tập đóng trong K.
4) Hai tập mở (với tôpô Zariski trong Kn) không rỗng của Kn luôn giao nhau;
Thật vậy, Với mọi f, g  0 thì ta luôn có Z(f)  Z(g) = Z(fg)  Kn. Do đó
D(f)  D(g) = (Kn \ Z(f))  (Kn \ Z(g)) = Kn \ (Z(f)  Z(g))   .
5) Mọi tập mở Zariski không rỗng đều là tập trù mật (đối với tôpô Zariski);
6) Không gian afin Kn với tôpô Zariski không phải là không gian Hausdorff.
Kết luận 5) và 6) suy từ 4) vì nếu Z(S) là tập mở khác rỗng thì mọi tập mở
khác rỗng khác đều giao với nó, cho nên mọi lân cận của mọi điểm trong Kn đều
giao khác rỗng với Z(S), nghĩa là Z(S) là tập trù mật trong Kn.
1.3.3. Mệnh đề.
Cho S  K[X] và T  K[Y]. Coi S  T  K[X, Y]. Ta có
Z(S)  Z(T) = Z(S  T).
9

Chứng minh. Ta thấy (a, b)  Kn  Km là nghiệm của S  T khi và chỉ khi a là
nghiệm của S và b là nghiệm của T nên Z(S)  Z(T) = Z(S  T).

Phần 2. IĐÊAN
Từ đây trở đi, ta luôn giả thiết các vành là giao hoán có đơn vị.
2.1. Định nghĩa 1.
Tập con I của vành A gọi là iđêan của A nếu I   và I thỏa mãn điều kiện:
i)

f+g  I,  f,g  I

ii) h.f  I ,  h  A ,  f  I.
Ví dụ :
I = (x) là iđêan
2.2. Định nghĩa 2.
Cho tập S bất kỳ , S  A.
Xét (S) : = {g1f1+g2f2+...+grfr /r  N,fi  S,gi  A}. khi đó (S) là iđêan bé nhất
chứa S , gọi là iđêan sinh bởi tập S.
2.3. Định nghĩa 3.
Cho V  Kn , ký hiệu Iv : = {f  K[X] / f  0 trên V } . Ta thấy Iv là một iđêan
trong K[X], gọi là iđêan của tập V.
2.4. Định nghĩa 4.
Bao đóng của V trong không gian tôpô X là tập đóng bé nhất chứa V, kí hiệu là V
2.4.1.Mệnh đề:Cho V là một tập tùy ý trong Kn. Khi đó:
i) V  Z ( I ) .
V
ii) I

V

I .
V

Chứng minh.
i) Để chứng minh V  Z ( IV ) ta sẽ chứng minh V  Z ( I ) và V  Z ( I ) :
V
V
+) Chứng minh. V  Z ( I ) :
V
Ta có V  Z ( I )  V  Z ( I )  Z ( I ).
V
V
V
+) Chứng minh V  Z ( I ) :
V
10


Đặt V  Z (S ) . Khi đó các đa thức của S triệt tiêu trên V nên S  IV , suy ra
Z(S)  Z(IV). Vậy V  Z ( I ) .
V
Kết luận: V  Z ( I ) .
V
ii) Chứng minh. I  IV .

V

Do V  V nên I  I . Vì thế để chứng minh I  I ta cần chứng minh
V

V
V V
I I .
V
V
Thật vậy: Lấy phần tử bất kỳ f  IV. Khi đó f(a) = 0 với a  V và V  Z ( I ) nên
V
f(a) = 0 với a  V . Suy ra f  I tức là I  I .
V
V
V
Kết luận: I  I .
V V
2.4.2. Nhận xét. Nếu V là tập đại số thì V = Z(IV).
Chứng minh.
Do V là tập đại số nên V  V . Theo mệnh đề 2.4.1 thì V  Z ( I ) .
V
Từ đó suy ra V = Z(IV) (đpcm).

11


CHƯƠNG II - IĐÊAN VÀ TẬP ĐẠI SỐ ZARISKI
Trong chương trình bày một số tính chất của iđêan thể hiện trong tập đại số
Zariski, trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lý về sự biểu hiện của
iđêan trong tập đại số. Đây là một trong những nội dung chính của luận văn.
2.1.Ánh xạ Zariski
Cho K là trường. Nhắc lại rằng, tập con V  Kn gọi là tập đại số nếu nó là
nghiệm của một họ các đa thức n biến trong K[X].





Ví dụ Cho S: = fi  K[x1, x 2 , ...., x n ],i  I  K[x1, x 2 , ...., x n ]
và kí hiệu (S)  a  K n / f (a)  0  f  S thế thì Z(S) chính là một tập đại số.
Phần bù Kn\ Z(S) gọi là tập mở Zariski.
Ví dụ: khi n =1 khi đó K[x] là vành đa thức 1 ẩn; lấy K 

.

S  f   K[x]  Z ( f ) ={nghiệm của đa thức f}= tập hữu hạn.
Ngược lại nếu S = a1 , a2 ,..., as  là hữu hạn số thì S chính là tập nghiệm của đa thức

f  x    x  a1  x  a2  ... x  as 
Do đó S là tập đại số Zariski.
2.1.1.Ánh xạ Zariski:
Kí hiệu ([ x ...xn ]) là họ tất cả các tập con [ x ...xn ] và   K n  là họ tất cả
1
1
các tập con của K n , thì cách xác định tập đại số Zariski cho ta ánh xạ:





 :   x ,...xn     K n 
 1

S

 Z (S )

Ta gọi Z là ánh xạ Zariski.
Mệnh đề (về một số tính chất đơn giản của ánh xạ Z)
Z :  (  k  x     k n 





Một số tính chất của ánh xạ Zariski  :   x1,...xn     k n 


    
2)   S1     S2     f .g / f  Si , g  S2      S  , S   f .g / f  S1, g  S2 
1)  S1  S2   S1  S2

12


 

 

3) S1  S2   S1   S2
4) Z ( S )  Z (T )  Z ( S  T )
Chứng minh



    

1)  S1  S2   S1  Z S2

 Z ( S1)  f1(a )  0, f1  S1

a  Z(S1)  Z(S2) => a  

Z ( S )  f (a)  0, f  S
2
2
2
2


=> a  Z(S1  S2)

   

Do đó :  S1   S2  Z (S1  S2 ) (1)
Ngược lại:

   

a  Z ( S  S )  f (a )  0 f  ( S  S )  a  S  Z S
1
2
1
2
1

2

   
Từ (1) (2)    S1  S2     S1   Z  S2 
Do đó :  S1   S2  Z (S1  S2 ) (2)

2) Z(S1)  Z(S2) = Z({f.g /f  S1,g S2}) = Z(S),
S = {f.g / f S1,g S2}
 Z ( S1)  f1(a )  0, f1  S1  a  Z (S )

a  Z(S1)  Z(S2) => a  

 Z ( S2 )  f 2 (a)  0, f 2  S2  a  Z ( S )

Do đó :   S1     S2   Z ( S ) (1)
Ngược lại:
 f (a )  0  a  Z ( S )

1
 g (a )  0  a  Z ( S )
2


a  Z(S1)  Z(S2) => fg( a ) = f( a ).g( a ) = 0 => a  

   
   

do đó :  S1   S2  Z (S ) (2)
Từ (1) (2)   S1   S2  Z (S )

4) Z ( S )  Z (T )  Z ( S  T )

(a, b)  k n  k m là nghiệm của đa thức trong S  T  a là nghiệm của đa thức
trong S và b là nghiệm của đa thức trong T.
) hiển nhiên
) theo định nghĩa

13


2.1.2. Cho một ví dụ về ánh xạ Zariski.
Lấy n = 1, K = R và xét Z : P(R[x])  R đặt mỗi họ các đa thức 1 ẩn với
tập nghiệm của chúng. Tập này luôn là một tập hữu hạn trong R. Thế thì Z là
một ánh xạ Zariski.
2.2.Tính chất của iđêan trong tập đại số
Trong phần này, chúng tôi trình bày tính chất (có chứng minh chi tiết), các
phép toán về iđêan và các tính chất của tập đại số liên quan đến chúng.
2.2.1. Mệnh đề.
Cho I, J là các iđêan trong vành V, ta có:
1) I  J : {a  b | a  I , b  J } là iđêan nhỏ nhất chứa I và J;
2) I  J : {f  I và f  J} là một iđêan;
3) Tập IJ : = { h1f1 + h2f2 +……+ hrfr ; h1, h2,…,hr  I và f1 , f2 ,…., fr  J } là
iđêan và được gọi là iđêan của tích IxJ;
4) IJ  I  J và nói chung hai iđêan này khác nhau;
5) M(I + J) = MI + MJ vói mọi iđêan I, J, M.
Chứng minh. Áp dụng định nghĩa.
Chú ý rằng, IJ chính là iđêan sinh bới các phần từ fg với f  I và g J.
2.2.2. Nhận xét.
1) Phép cộng và phép nhân các iđêan thỏa mãn tính chất kết hợp, giao hoán và
phân phối;

2) Phần tử 0  I vì 0 = 0.x với x  V;
3) Phần tử đơn vị 1  I khi và chỉ khi I = V;
4) I  V thì I được gọi là iđêan thực sự của V;
5) Cho S  V. Kí hiệu: S  {a1 f1  a2 f 2  ...  an f n | ai V , fi  S , i  1, 2,..., n} .
Lúc đó S là iđêan và là iđêan nhỏ nhất chứa S, người ta gọi là iđêan sinh bởi S.
Đặc biệt khi S có hữu hạn phần tử thì S  f1, f 2 ,..., f n , nếu S có một phần tử
thì S  f  {fh | h V } được gọi là iđêan chính.
2.2.3. Ví dụ. Cho I = (x, y2) và J = (y) là hai iđêan trong vành đa thức hai ẩn K[x, y], ta có
14


1) I + J = x, y vì I = {xf + y2g | f, g  K[x, y], J = {yh | h  K[x, y]} nên
I + J = {xf + y2g + yh | f, g, h  K[x, y]} = {xf + ey | f, e  K[x, y]}.
2) IJ =

xy, y3

do IJ = {(xf + y2g)yh | f, g, h  K[x, y]}
= {xyu + y3v | u, v  K[x, y]} =

3)I  J =

xy, y3 .

xy , y 2 .

Chứng minh.
Giả sử S là một tập các đa thức trong K[X] và I  S là iđêan sinh bởi S.
Ta sẽ chứng minh Z(S) = Z(I), nghĩa là khi đó tập đại số của tập S chính là tập
đại số của iđêan I. Thật vậy:

Ta có: S  I nên Z(S)  Z(I)

(1).

Ta chứng minh Z(S)  Z(I): Lấy phần tử bất kỳ a  Z(S) thì f(a) = 0, f  S.
Suy ra g(a) = 0 với g  I vì
g  h f  h f  ...  hn f n ; hi  K [ X ], fi  S , i  1, 2,..., n và fi(a) = 0 với mọi i = 1, 2,.., n.
11 2 2

Do đó a  S(I). (2).
Vậy từ (1) và (2) suy ra Z(S) = Z(I) (đpcm).
2.2.5. Bổ đề. Cho I và J là hai iđêan tùy ý trong K[X]. Khi đó:
1/ Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ);
2/ Z(I)  Z(J) = Z(I + J).
Chứng minh.
1) Đặt S = {fg| f  I, g  J}.
Ta có S  IJ  I  J  I, J  Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I), Z(J)


Z(S)  Z(IJ)  Z(I  J)  Z(I)  Z(J).

Mặt khác Z(S) = Z(I)  Z(J).
Vậy Z(I)  S(J) = Z(I  J) = Z(IJ).
2) Do I, J  I + J nên Z(I), Z(J)  Z(I + J). Suy ra Z(I)  Z(J)  Z(I + J).
Mà Z(I)  Z(J) = Z(I  J), I  J  I  J

 Z(I + J) = Z(I  J).

Vậy Z(I + J) = Z(I)  Z(J).
15

2.2.6. Định lí.
Cho V là tập con của Kn. Khi đó tập IV : {f  K[X] | f(a) = 0 với mọi a  V}
là iđêan của K[X] và là iđêan lớn nhất có tập nghiệm chứa V; IV gọi là iđêan của
tập điểm V trong K[X]; V  Z(IV). Khi V = {a} thì ta viết IV = Ia.
Chứng minh. Để chứng minh IV là iđêan ta kiểm tra hai điều kiện sau:
i) Với mọi f, g  IV thì f + g  IV:
Thật vậy: Do f, g  IV nên f( a ) = 0 và g( a ) = 0 với v a  V, suy ra
(f + g)( a ) = f( a ) + g( a ) = 0 với  a  V. Do đó f + g  IV (đpcm).
ii) Với mọi f  IV và h  K[X] thì fh  IV:
Vì f  IV nên f( a ) = 0 với  a  V. Do đó (fh)( a ) = f( a )h( a ) = 0 với  a  V.
Vậy fh  IV.
Kết luận: IV là iđêan trong K[X].
Như vậy, cách xác định tập Z(S) và tập IV cảm sinh hai ánh xạ Z và I được cho
trong sơ đồ sau

 K [ X ]

Z





I

 

 Kn ;

trong đó Z : S  Z(S) và I : V  IV ; P(X) là ký hiệu họ tất cả các tập con của X.
Về sau ta sẽ thấy, nếu thu hẹp trên các tập con nào đó, Z và I là các song ánh ngược nhau.
2.2.7. Ví dụ.

1) I = K[X];
2) I

Kn

= {0};

3) Ia = (x1 – a1, x2 – a2,….., xn – an) với a = ( a1, a2, ….., an );
4) Nếu V  K2 là tập vô hạn điểm trên parabol y = x2 thì IV = (x2 – y) ;
5) Nếu V là d- phẳng trong Kn mà ta có thể giả sử nó là tập hợp có dạng
V = {( x1, x2,…., xd , 0, …0)  Kn } thì

IV = (xd+1, xd+2,…., xn).

Chứng minh.
16


1) Vì tập rỗng thuộc tập nghiệm của mọi đa thức;
2) Vì chỉ có phương trình 0 = 0 có tập nghiệm là Kn.
3) Để cho tiện, ta giả sử điểm a là gốc tọa độ, a = (0, 0, …., 0). Mọi đa thức
f  K[X] đều viết được dưới dạng
f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + b
với b  K. Nhưng f(0, 0,…,0) = 0 khi và chỉ khi b = 0, tức là khi và chỉ khi f có dạng
f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn,

nghĩa là khi và chỉ khi f  (x1, x2 ,…., xn ). Vậy I0 = (x1, x2 ,…., xn ).
4) Ta chỉ cần chứng minh IV  (x2 – y). Coi mọi đa thức f  K[x, y] là đa
thức của ẩn y với hệ số trong K[x]. Tương tự như thuật toán Euclide ta có thể viết
f = h(x2 – y) + g với g  K[x].
Do V  Z(x2 – y) = { (a, a2) ; a  K } nên với f  IV thì f(a, a2) = g(a) = 0 với
mọi a thuộc tập vô hạn trong K nên g là đa thức 0, nên f = h(x2 – y), nghĩa là
f  (x2 – y).
5)Ta có thể viết mọi đa thức trong K[X] dưới dạng
f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn + g
trong đó g  K[x1, x2 ,…., xd]. Thế thì f  IV khi và chỉ khi
f(a1, a2 ,…., ad, 0, 0,….,0) = g(a1, a2 ,…., ad) = 0
với mọi a1, a2 ,…., ad  K. Điều này có nghĩa là g = 0, nên khi đó
f = hd+1xd+1 + hd+2xd+2 +……+ hnxn  (xd+1, xd+2 ,….., xn).(đpcm).
Cho I là iđêan của vành A. Ký hiệu





I : = f  A ; f r  I, r  * .

2.3. Iđêan căn
17


2.3.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan, thế thì

I cũng là iđêan và I 

Nếu I = I thì I gọi là iđêan căn.

Chứng minh. Lấy f, g  I , nghĩa là fr , gs 

I =

I.

I . Khi đó

r s  r  s  r s i i
g .

f
i 1  i 

r s
= 
 f  g

Trong cặp số tự nhiên (r + s – i, i) , i = 1, …, r + s luôn có hoặc thành phần đầu lớn
hơn r, hoặc thành phần sau lớn hơn s, do vậy fr + s –i gi luôn thuộc I nên (f + g) r+ s
luôn thuộc I, nghĩa là f + g  I . Tiếp theo, với mọi f  A thì (fh)r = fr hr  I,
nghĩa là fh  I . Cuối cùng ta thấy fg  I .
2.3.2.Ví dụ. Giải sử I, J là các iđêan trong K[X]. Khi đó:
IJ  I  J  I  J

Chứng minh.
Ta có: IJ  I  J  IJ  IJ

(1)

I  J  I, I  J  J  IJ  I , IJ  J  IJ  I  J

(2)

Từ (1) và (2) suy ra IJ  IJ  I  J.
Ta cần chứng minh IJ 

IJ  I  J, bằng cách lấy phần tử tuỳ ý

f  I  J  f  I , f  J. Khi đó tồn tại m, n 

*

sao cho fm  I, fn  J.

Do đó fmn  IJ, nên f  IJ. Suy ra IJ  I  J.
Vậy IJ = IJ = I  J.
2.3.3. Bổ đề. Cho V  Kn, khi đó IV là iđêan căn.
Chứng minh. Ta cần chứng minh IV = IV .
Thật vậy: Ta có IV  IV , bây giờ ta sẽ chứng minh IV  IV.
Lấy phần tử bấy kỳ f  IV thì fm  IV với m > 0 nào đó. Suy ra:
fm( a ) = 0 với a  V, m > 0  f( a ) = 0 với  a  V
 f  IV  IV  IV.
Vậy IV là iđêan căn. (đpcm).
2.3.4. Mệnh đề. Cho V, W là các không gian con của Kn. Khi đó:
18


1) Nếu V  W thì IV  IW;
2) IV  IW = IVW;

3) IV + IW  IVW.
Chứng minh.
1) IW  IV: Lấy phần tử bất kỳ f  IW thì f(a) = 0 với  a  W
 f( a ) = 0 với  a  V vì V  W
 f  IV  IW  IV (đpcm).
2) Để chứng minh IV  IW = IVW ta sẽ chứng minh IV  IW  IVW và
IV  IW  IVW.
+) IV  IW  IVW Lấy tùy ý f  IV  IW suy ra
fIV
f(a)=0,aV


fIW
f(b)=0,bIW

 f(c) = 0, c  V  W  f  IVW
Vậy IV  IW  IVW.
+) IV  IW  IVW:
Ta có: V  V  W và W  V  W. Do đó IV  IVW và IW  IVW.
Vậy IV  IW  IVW.
3) Chứng minh: IV + IW  IVW.
Lấy phần tử bất kỳ f  IV + IW thì f = g + h với g  IV, h  IW
 g( a ) = 0, a  V và h(b) = 0, b  W
 g(c) = 0 và h(c) = 0 với c  V  W
 f(c) = g(c) + h(c) = 0 với c  V  W
 f  IVW.
Vậy IV + IW  IVW (đpcm).
Chú ý. 0 là tập hợp các phần tử lũy linh của A. Do đó, 0 là iđêan căn khi và chỉ
khi trong A không có phần tử lũy linh. Những vành như vậy gọi là vành rút gọn.
Ví dụ, mọi miền nguyên là vành rút gọn.

2.4. Iđêan nguyên tố
19


2.4.1. Định nghĩa
Định nghĩa tập đại số bất khả quy: Tập đại số V 

n

gọi là tập đại số bất khả

qui nếu nó không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn thực sự.

V  V

1 , với V , V là các tập đại số.
Nghĩa là nếu V  V1  V2  
1
2
V  V2





Ví dụ: Tập V  a  n , a  a1 , a2, ..., an , V là tập nghiệm của của họ n đa
thức f1  x1  a1 , f2  x2  a2 ,..., f n  xn  an . Nên V là tập đống đại số. Hơn nữa,
V là tập bất khả qui do nó chỉ có tập rỗng là tập đại số nhỏ hơn.
Định nghĩa Iđêan nguyên tố : Cho I là một Iđêan thực sự của vành A. I được gọi là

Iđêan nguyên tố nếu có tích f .g  I thì suy ra được f  I hoặc g  I .
2.4.2.Tính chất của Iđêan nguyên tố
Mọi Iđêan nguyên tố đều là Iđêan căn.
Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh

I  I. Nhưng điều này là hiển nhiên vì I

nguyên tố. Dưới đây ta có một tiêu chuẩn để Iđêan căn là nguyên tố.
2.4.3. Bổ đề. Iđêan căn I  A là Iđêan nguyên tố khi và chỉ khi I không là giao
của 2 Iđêan lớn hơn thực sự.
Chứng minh. Giả sử I nguyên tố và I = J1  J2 thì J1J2  I. Do đó J1 và J2 không
thể chứa những phần tử không thuộc I, cho nên J1  I. và J2  I. Đảo lại, nếu I
không nguyên tố, thì tồn tại f, g  I mà fg  I. Đặt J1 =

 I , f  và J2 =

I, g ,

thì rõ ràng I  J1  J2 . Lấy h J1  J2 thì tồ tại m sao cho hm(I, f)  (I, g).
Từ đây suy ra : h2m (I, f)(I, g) = I2 + (f)I + (g) I + (fg)  I
do đó h  I. Vì vậy I = J1  J2 với j1 và J2 thực sự chứa I.
Định nghĩa. Iđêan thực sự I của A gọi là Iđêan cực đại nếu I không bị chứa
trong một Iđêan thực sự nào khác của A.
2.4.4. Ví dụ.
1) I cực đại khi và chỉ khi (I, f) = A với mọi f  I;
2) Ia = (x1 – a1, x2 – a2,…., xn – an) là Iđêan cực đại trong K[X].
20


Thật vậy, giả sử 0 = (0, 0, …, 0). Khi đó I a = (x1, x2,…., xn). Với một đa thức

f  K[X] ta viết được
f = h1x1 + h2x2 +……+ hnxn + c.
Nếu f  I thì c  K là hằng số khác không. Vì vậy c  (Ia, f) và do đó (Ia, f) = K[X].
2.4.5. Nhận xét.
1) Nếu I  A thì

I  A và do I  I nên nếu I là iđêan cực đại thi I =

I,

nghĩa là mọi iđêan cực đại là iđêan căn. Mặt khác, mỗi iđêan cực đại chỉ có một
một iđêan căn lớn hơn là cả vành A nên nó không thể là giao của 2 iđêan căn lớn
hơn. Vậy mọi iđêan cực đại phải là iđêan nguyên tố.
2) Nếu I1  I2  …..  Ij  …… là một dãy tăng các iđêan thực sự thì hợp

I

j

j

cũng là một iđêan thực sự. Vì vậy, áp dụng Bổ đề Zorn ta nhận được: Mọi iđêan
thực sự đều nằm trong một iđêan cực đại. Do đó mọi iđêan cực đại đều nằm
trong một iđêan nguyên tố.
2.5. Mối quan hệ giữa Iđêan nguyên tố và tập đại số bất khả quy
Trong mục này trình bày và chứng minh một số bổ đề và định lí về sự biểu
hiện của Iđêan nguyên tố trong tập đại số bất khả quy
2.5.1. Định lý. Tập đại số V là bất khả quy khi và chỉ khi IV là iđêan nguyên tố.
Chứng minh. Nếu V bất khả quy mà IV không nguyên tố thì IV = I1  I2 với I1 và I2
là 2 iđêan thực sự lớn hơn I. Khi đó V = Z(IV) = Z(I1  I2) = Z(I1)  Z(I2). Vì vậy

 Z(I )

V= 

1

, suy ra

 Z(I )
2


I = I
V
1
I = I
V
 2

, mâu thuẩn.

Đảo lại, giả sử V không bất khả quy thì V = V1  V2 với V1 , V2 là 2 tập đại số thực sự
bé hơn V. Khi đó, ta có IV1 và IV2 là 2 iđêan thực sự lớn hơn IV nên tồn tại f  IV1 \ IV
và g IV2 \ IV. Khi đó fg IV1  IV2 = IV nên IV không thể là iđêan nguyên tố.
2.5.2. Ví dụ.
1) I a là iđêan cực đại và do đó nguyên tố, nên tập 1 điểm a là bất khả quy;
2) Kn bất khả quy vì I K = 0 là iđêan nguyên tố.
n

2.5.3. Mệnh đề. Cho f là đa thức bất khả quy trong K[X]. Nếu IZ(f) = (f) thì Z(f)

là tập bất khả quy.
21


Chứng minh. Vì f bất khả quy nên (f) là iđêan nguyên tố. Do vậy Z(IZ(f)) = Z((f))
là tập bất khả quy.
Ví dụ. Các đa thức x2 – y và x3 – y2 là bất khả quy trong K[x, y]. Mặt khác
I

Z(x -y)
2

= (x 2 - y)

và

I

Z(x -y2 )
3

= (x 3 - y 2 )

nên các đường cong (tập đại số) x2 – y = 0 và x3 – y2 = 0 là bất khả quy.
2.5.4. Mệnh đề. Cho K là một trường đóng đại số, I là một iđêan trong K[X].
Khi đó:
a) I = I(V) với V  K n nào đó khi và chỉ khi I là iđêan căn.
b) I = I(V) với (V  K n ) bất khả quy nào đó khi và chỉ khi I là iđêan nguyên tố.
Chứng minh
a) Điều kiện cần:

Giả sử I = I(V) với V  K n nào đó  I là iđêan căn.
Điều kiện đủ:
Giả sử I là một iiđêan căn. Khi đó I  I  I ( Z ( I ))
Hay I = I(V) với V = Z(I).
b) Điều kiện cần:
Giả sử I = I(V) với (V  K n ) bất khả qui nào đó  I là iđêan nguyên tố.
Điều kiện đủ:
Giả sử I là một iđêan nguyên tố. Khi đó I là một iđêan căn

 I  I  I ( Z ( I )) hay I = I(V) với V = Z(I)
 V bất khả qui.

CHƯƠNG 3-TẬP ĐẠI SỐ TRONG R1, R2, R3 VÀ IĐÊAN CỦA CHÚNG
22


Trong chương này chúng tôi sẽ mô tả các tập đại số trong R1, R2, R3 và cố
gắng tính toán các iđêan của chúng. Ngoài ra, chúng tôi sẽ cố gắn Hình học đại số
với toán phổ thông bằng cách chỉ ra những hình trong toán phổ thông là tập đại số.
3.1.Tập đại số trong R1 và iđêan của chúng.
Định lý 1:Mọi tập đại số trong R1 có một trong 3 dạng sau:
1) Tập rỗng 
2) Toàn bộ R,
3) Tập hữu hạn.
Chứng minh: Giả sử A là tập nghiệm của họ S các đa thức 1 biến. Khi đó nếu S
chỉ gồm một đa thức hằng khác không, thì rõ ràng A là tập rỗng. Còn nếu S chỉ
gồm một đa thức 0 thì A = R. Và nếu S gồm một số đa thức thì do các đa thức 1
biến chỉ có hữu hạn nghiệm nên tập A luôn luôn là tập hữu hạn.
Mặt khác:
1) Tập rỗng là tập đại số vì phương trình f = 0 với f R1 mà f  0 là vô nghiệm.

2) R là tập đại số vì nó là nghiệm của phương trình 0 = 0.
3) Giả sử V ={ a1 , a2 ,..., am } là tập hữu hạn thì V là nghiệm của đa thức

f  x    x1  a1  x2  a2  ... xm  am  => V là tập đại số. Vậy mọi tập đại số trong
R1 là tập hữu hạn.
Định lý 2:Nếu V là tập đại số trong R1 thì iđêan IV của nó là một trong các dạng sau:
. Nếu V =  thì I = R1,
. Nếu V = R1 thì I R = {0},
. Nếu V = { a } thì Ia = {f R[x]/ f( a ) = 0} = (x- a )R[x] (là iđêan chính sinh
bởi đa thức x- a ).
Nếu V ={ a1 , a2 ,..., am } thì IV =  x1  a1  x2  a2  ... xm  am  R[x]
1

(là iđêan chính sinh bởi đa thức  x1  a1  x2  a2  ... xm  am  ).
Chứng minh:IV ={f R[x]/ f(v) = 0, v

}

={f R[x]/  x1  a1  x2  a2  ... xm  am  g( x ),g R[x]}
=  x1  a1  x2  a2  ... xm  am  R[x].
3.2.Tập đại số trong R2 và iđêan của chúng.
23


Định lý: Ánh xạ afin f: R2  R2

 a11a12   x1  b1 
x  f(x) = Ax + B = 
  x   b 
a

a
 21 22   2   2 
là ánh xạ đồng phôi trên tôpô Zariski.

 a11a12 
Ở đây A = 
 là ma trận vuông cấp 2 không suy biến và B =
a
a
 21 22 

b1 
b 
 2

là ma trận 1 cột.
Chứng minh:
+) f là đơn ánh. Thật vậy với X = (x1,x2)  Y = (y1,y2) (x1  y1,x2  y2)
=> f(x)  f(y)
Giả sử f(x) = f(y)  AX + B = AY + B

 A(X-Y) = 0
 X=Y

(Trái với giả thiết)

=> f đơn ánh.
+) f toàn ánh.
Lấy Y(y1,y2)  R2 , tồn tại X(x1,x2) : X = A-1Y – A-1B  R2 (A  0 => A-1  0)
Khi đó Y = AX + B

=> f là toàn ánh => f song ánh.
+) Vì f song ánh, ta có f-1: R2  R2
X  Y = A-1X – A-1B.
Ta nhận thấy f và f-1 liên tục trên tôpô Zariski. Thật vậy, nếu M = Z(S) là tập đại
số gồm tất cả các nghiệm của những đa thức hai ẩn gi (x1, x2) trong S. Thế thì

x  a y  a y
với tọa độ mới (y1, y2) ta có:  1 11 1 12 2
 x2  a21 y1  a22 y2
Cho nên M lại là nghiệm của của các đa thức trong hệ tọa độ mới là

g i (a11 y1  a12 y2 , a21 y1  a22 y2 );g i  S
Khi đó ngược ảnh f-1(M) của tập A cũng là một tập đại số trong R2. Tương tự như
vậy, nếu N là một tập đại số trong R2 thì f(N) cũng sẽ là một tập đại số trong R2.

24


Do f và f-1 là những ánh xạ có tính chất : Ngược ảnh của tập đại số Zariski là tập
đại số Zariski nên nó liên tục trên R2 với tôpô Zariski.
Chú ý: Về sau chúng tôi sẽ nêu một số ví dụ về ánh xạ liên tục trên R1, R2 với
tôpô thông thường (tôpô tự nhiên), nhưng không liên tục với tôpô Zariski.
3.2.1.Đường thẳng
Định lý 1:Mọi đường thẳng d có phương trình a x + by + c = 0 với a , b, c  R và

a 2 + b2 ≠ 0 đều đẳng cấu trong tôpô Zariski với trục Ox:y = 0
Chứng minh: Ta biết có một phép biến đổi afin
f: R2  R2
x '
x 

  A     B 

 y '
 y

 x, y    x ', y ' ; 

 x '  a11 x  a12 y  b1



 y '  a21 x  a22 y  b2

 a11a12 
với det 
  0 biến đường thẳng d thành trục Ox.
 a21a22 
Theo Định lý trên, phép biến đổi afin này là một đẳng cấu tôpô Zariski, nên d
đồng phôi Zariski với trục Ox.
Định lý 2: Iđêan của mọi đường thẳng d trong R2 đều đẳng cấu với iđêan chính
sinh bởi y hoặc x. I d



(y) = yR[x,y]



xR[x, y].

Chứng minh: Cho d là đường thẳng bất kỳ trong R2. Theo Định lý trên, d
đồng phôi tôpô Zariski với trục Ox và cũng đồng phôi Zariski với trục Oy, cho
nên ba iđêan sau là đẳng cấu (trong vành đa thức hai ẩn R[x, y])
Id



IOx



IOy

Trục Ox có phương trình y = 0. Nên đa thức hai ẩn f(x, y) triệt tiêu trên Ox khi
và chỉ khi f(x, y) có dạng f(x, y) = y h(x, y) với h(x, y) là đa thức hai biến nào đó
trong R[x, y]. Cho nên IOx = yR[x,y]. Tương tự, ta có IOy = xR[x,y].
3.2.2.Parabol.
Định lý : Mọi Parabol (P) có dạng y2 = a x2 + bx + c với a

 0 đều đẳng cấu với

tôpô Zariski với parabol y2 = x.
25