Sự tương thích của cấu trúc hầu phức trong hình học

1

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn khoa học tận tình, chu
đáo của thầy TS. Ngô Đình Quốc. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân
thành, lòng biết ơn sâu sắc và mong muốn được thầy hướng dẫn, chỉ bảo
trong lĩnh vực nghiên cứu Toán học sau này.
Tôi chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo Khoa Toán – Trường Đại học
Vinh, những người đã giúp tôi có kiến thức, tài liệu, cũng như tạo điều kiện
để tôi hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn những người thân, bạn bè trong lớp Toán
K19- Đồng Tháp, BGH, tập thể giáo viên trường THPT iSchool Long An đã
quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua.

Học viên thực hiện
Phan Đặng Hoàng Khuất Nguyên


2

MỤC LỤC

Trang
LỜI CẢM ƠN ................................................................................. 1
MỤC LỤC ....................................................................................... 2
MỞ ĐẦU ......................................................................................... 3
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian vectơ symlectic ................................................. 5
1.2. Không gian phân thớ ............................................................ 9
1.3. Đa tạp symplectic ................................................................. 10
1.4. Mêtric Riemann, đa tạp Riemann ........................................ 12

1.5. Các khái niệm chuẩn bị cho bài toán địa phương ................ 13
Chƣơng 2: SỰ TƢƠNG THÍCH CỦA CẤU TRÚC HẦU PHỨC
TRONG HÌNH HỌC
2.1. Cấu trúc phức trong không gian vectơ ................................. 31
2.2. Cấu trúc tương thích trên đa tạp ........................................... 35
2.3. Cấu trúc tuyến tính tương thích ........................................... 37
2.4. Bộ ba tương thích ................................................................. 38
KẾT LUẬN ..................................................................................... 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................... 43


3

MỞ ĐẦU
Đối với mọi ngành Hình học, đối tượng cơ bản chung là điểm, đường,
mặt, đa tạp con nào đó. Quan hệ cơ bản chung là thuộc. Để phân chia các
ngành Hình học, người ta căn cứ vào phương pháp nghiên cứu nó, tức là căn
cứ vào công cụ sử dụng để tìm kiếm các tính chất hình học trên các không
gian hình học cụ thể.
Hình học sơ cấp (từ thế kỷ XI trước Công nguyên cho đến năm 1899)
phương pháp ngiên cứu là phương pháp tổng hợp, nên Hình học sơ cấp còn
được gọi là hình học tổng hợp. Phương pháp nghiên cứu tổng hợp là bao gồm
thí nghiệm, thực nghiệm, trực quan, suy luận logic. Từ năm 1899 đến giữa thế
kỷ XX hình học cao cấp ra đời, công cụ nghiên cứu chính là dựa vào đại số
để nghiên cứu hình học. Từ giữa thế kỷ XX cho đến nay công cụ nghiên cứu
hình học là tôpô đại số và tôpô vi phân, vì thế hình học hiện đại ra đời, nghiên
cứu các tính chất bất biến qua nhóm tác động. Dựa vào các nhóm tác động mà
phân chia các loại hình học. Hình học symplectic là hình học của dạng song
tuyến tính phản đối xứng không suy biến và đóng. Hình học Riemann là hình
học nghiên cứu các đa tạp Riemann, đa tạp nhẵn với metric Riemann, loại

khoảng cách này được hiểu là một dạng song tuyến tính, đối xứng, xác định
dương trên không gian tiếp xúc tại mỗi điểm. Hình học Riemann tổng quát
hóa hình học Euclide về không gian không cần thiết phẳng, mặc dù chúng vẫn
tương tự hình học Euclide tại mỗi điểm vô cực. Các khái niệm khác nhau dựa
trên độ dài và thể tích, chẳng hạn độ dài cung của đường cong, thể tích của
vật rắn được đưa vào tự nhiên trong hình học Riemann. Khái niệm đạo hàm
có hướng của một hàm từ phép tính vi phân nhiều biến số là sự mở rộng trong
hình học Riemann tới khái niệm đạo hàm hiệp biến của tensor. Nhiều tư
tưởng và kỹ thuật của giải tích toán học và phương trình vi phân đã được tổng


4

quát hóa để góp phần tạo nên Hình học vi phân. Hình học phức là hình học
nghiên cứu các đa tạp phức. Một đa tạp hầu phức là một đa tạp thực cùng với
tensor kiểu (1,1) và một tự đồng cấu (được gọi là cấu trúc hầu phức)
J : TM  TM ở đó J 2  1 .

Trong luận văn này tập trung nghiên cứu đề tài “Sự tƣơng thích của
cấu trúc hầu phức trong hình học”.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia
làm hai chương.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức về không gian
vectơ symplectic, đa tạp symplectic, không gian phân thớ, metric Riemann và
đa tạp Riemann.
Chương 2: Sự tương thích của cấu trúc hầu phức trong hình học.
Trong chương này chúng tôi trình bày cấu trúc phức trong không gian
vectơ, cấu trúc tương thích trên đa tạp, bộ ba tương thích.

5

Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản về
không gian vectơ symplectic, đa tạp symplectic, không gian phân thớ, metric
Riemann, đa tạp Riemann, …. liên quan đến chương sau. Các kiến thức trình
bày ở đây được trích dẫn trong tài liệu [1], [2], [3], [4], [7].

1.1.

Không gian vectơ Symplectic

1.1.1. Ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng
a) Định nghĩa ánh xạ song tuyến tính phản xứng ([1], T16)
Cho V là không gian vectơ n – chiều trên trường số thực
song tuyến tính  : V V 

, ánh xạ

được gọi là một ánh xạ song tuyến tính phản

đối xứng nếu ( x, y)  ( y, x) với mọi x, y V .
Ví dụ Ánh xạ

f:

 2
( x, y)

f ( x, y)  x1 y2  x2 y1

2

trong đó x  ( x1, x2 ), y  ( y1, y2 ) 

2

là ánh xạ song tuyến tính phản xứng.

b) Định lý tiêu chuẩn
Nếu  là ánh xạ song tuyến tính phản đối xứng trên V thì trong V tồn
tại cơ sở u1, , uk , e1, , en , f1, , f n sao cho :
(ui , v)  0

với mọi i  1,. , k; v V

(ei , e j )  0  ( fi , f j )

với mọi i, j  1, , n và

(ei , f j )  ij

với mọi i  1, , n.

Chứng minh
Đặt U  u V | (u, v)  0, v V 
Chọn cơ sở trong U là u1 , , uk và gọi W là phần bù của U trong V ta có

6

V = W  U.
Ta chứng minh W  0 .
Thật vậy, giả sử W  0  V  U và   0 .Nhưng nói chung là   0
nên W  0 .
Chọn e1  W sao cho e1  0 và chọn f1  W sao cho (e1, f1 )  1 .
Giả sử (e1, f1 )  0, f  W  (e1, f )  0, f  W  e1 U .Vô lý
Vậy tồn tại f  W để (e1, f )  c  0. Khi đó chọn f1 

1
f thì (e1, f1 )  1.
c

Đặt W1  e1 , f1 và W1  v  W | (v, u)  0, u  W1.
* Ta chứng minh W1  W1  0
Giả sử x  W1  W1  x  W1  e1 , f1  x  ae1  bf1
Vì x  W1 nên ( x, e1 )  0 và ( x, f1 )  0 .
Mà
( x, e1 )  (ae1  bf1 , e1 )  b
( x, f1 )  (ae1  bf1 , f1 )  b

Do đó, a = - b = 0 và x = 0. vậy W1  W1  0 .
* Ta chứng minh W=W1 +W1Ω .
Thật vậy, lấy tùy ý v  W khi đó (v, e1 )  a, (v, f1 )  b.
Ta viết v  (be1 - af1 )  (v  af1 - be1 ) thì be1  af1 W1 và
(v  af1  be1 , e1 )  (v, e1 )  (af1 , e1 )  (-be1 , e1 )
  (v, e1 )  a( f1 , e1 )  b(e1 , e1 )  0
(v  af1  be1 , f1 )  (v, f1 )  (af1 , f1 )  (-be1 , f1 )
  (v, f1 )  a( f1 , f1 )  b(e1 , f1 )  0.

Suy ra v  af1  be1 W1 .
Suy ra W  W1  W1 và hiển nhiên W1  W1  W . Do đó W = W1  W1
Vậy W=W1  W1Ω .


7

Nếu W1  0 thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu W1  0 thì lặp lại lý luận trên với W1 như với W. Vì dimV   nên
sau hữu hạn bước tiến hành, cuối cùng ta thu được
V  U  W1 

 Wn .

Trong đó Wi  ei , fi với i  1, , n .
c) Định lý đối ngẫu
Ánh xạ  : V  V , u

(u) xác định bởi (u)(v)  (u, v) là một ánh xạ

tuyến tính.
Chứng minh
* Với mọi u1 , u2 , v V ta có
(u1  u2 )(v)  (u1  u2 , v)  (u1 , v)  (u2 , v)
 (u1 )(v)  (u2 )(v)

Suy ra (u1  u2 )  (u1 )  (u2 )
* Với mọi u, v V và k  , ta có
(ku)(v)  (ku, v)  k (u, v)  k (u)(v)

Suy ra (ku)  k (u) .
1.1.2. Định nghĩa không gian vectơ symplectic và ví dụ ([1], T 19)
a) Định nghĩa cấu trúc symplectic ([1], T 19)
Ánh xạ song tuyến tính phản xứng  là symplectic nếu và chỉ nếu  là
song ánh. Khi đó, ánh xạ  được gọi là cấu trúc symplectic trên V và
(V,  ) được gọi là không gian vectơ symplectic.
Nếu Y là không gian vectơ con của không gian vectơ symplectic
(V,  ) thì ta định nghĩa
Y   v V | (u, v)  0, u  Y  ,


8

được gọi là phần bù trực giao của Y trong (V,  ).
b) Các tính chất ([1], T.19)
Nếu Y, L, M là các không gian vectơ con của không gian vectơ
symplectic (V,  ) thì
i. dim Y  dim Y   dimV .
ii. (Y  )  Y .
iii. Nếu Y  M thì M   Y  .
iv. ( L  M )  L  M  ,( L  M )  L  M  .
Chứng minh
i. Xét ánh xạ f : V  Y *  Hom(Y , ), v

f (v)  (v) | Y .

 Rõ ràng f là ánh xạ tuyến tính do  là song ánh.
 Vì (V,  ) là không gian vec tơ symplectic nên  là song ánh. Do đó

imf = Y*.
 Kerf  v V : f (v)  0  v V : (v, u )  0, u Y   Y  .

Mặt khác dimY = dimY* nên ta suy ra

dimV  dim(Im f )  dim( Kerf )  dimY  dimY  .
ii. Với mọi v  Y ta có (v, u)  0, u  Y  .
Suy ra v  Y   và do đó Y  Y   .




Theo (i) thì dimV  dim Y  dim Y   dim Y   dim(Y  ) .
Suy ra dim Y  dim(Y  ) . Vậy Y  (Y  )
iii. Với mọi v  M   (v, u)  0, u  M .
Vì Y  M nên (v, u)  0, u  Y , suy ra v  Y  và M   Y  .
iv.Ta có L  M  L và L  M  M .
Theo (iii) suy ra  L  M   L và  L  M   M 




 ( L  M )  L  M 


9

Mặt khác

L  L  M  và M   L  M  .

Suy ra
L   L  M   và M   L  M  




  L  M   L  M  .


Vậy  L  M   L  M 


Sử dụng ý 1 của phần này ta có  L  M    ( L )  (M  ) .


Suy ra L  M    L  M  .


1.2.

Không gian phân thớ ([7], T.11)
1.2.1. Định nghĩa ([7], T.11)
Cho E, B là hai không gian tôpô, p : E  B là một ánh xạ liên tục thỏa

mãn: Với mỗi b  B tồn tại một lân cận U b của b , một không gian F và một
phép đồng phôi  :Ub  F  p1 (U p ) sao cho p( (b ', x))  b '.
Khi đó bộ ba ( E, p, B) được gọi là một phân thớ, E được gọi là không
gian toàn phần của phân thớ, B được gọi là không gian cơ sở của phân thớ,

p được gọi là phép chiếu phân thớ.
Ta thường kí hiệu phân thớ bởi   ( E, p, B),  ( E, p, B),   ( E, p, B),

Khi

đó E ( ) được gọi là không gian tổng của  , B( ) được gọi là không gian cơ
sở của  .
Với mỗi b  B không gian p 1 (b) được gọi là thớ trên b. Một không
gian đồng phôi với p 1 (b) , b  B được gọi là một thớ của phân thớ
( E, p, B) .

Ví dụ Xét bộ ba ( B  F , p, B) , với p :(b, x)

b . Ta chọn Ub  B và 

là ánh xạ đồng nhất, khi đó điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn.
Do đó ( B  F , p, B) là một phân thớ và được gọi là phân thớ tích với thớ F .


10

1.2.2. Định nghĩa ([7], T.12)
( E ', p ', B ') được gọi là một phân thớ con của ( E, p, B) nếu E ' là không

gian con của E, B ' là không gian con của B và p '  p

: E '  B'.
E'

1.2.3. Định nghĩa ([7], T.12)

Cho   ( E, p, B) là một phân thớ, s : B  E là ánh xạ liên tục thỏa
mãn p s  1B . Khi đó s được gọi là một nhát cắt của phân thớ  . Nói cách
khác một nhát cắt là một ánh xạ s : B  E thỏa mãn s(b)  p1(b) với mỗi

b  B.
Từ định nghĩa nhát cắt ta thấy nếu ( E ', p ', B ') là phân thớ con của
( E, p, B) , s là một nhát cắt của ( E, p, B) thì s là nhát cắt của ( E ', p ', B ') nếu

và chỉ nếu s(b)  E ', b  B '.

1.2.4. Mệnh đề ([7], T.12)
Cho phân thớ tích   ( B  F , p, B), s : B  B  F cho bởi b

(u, f ) là

một nhát cắt của  . Thì ta có u  b và f  g (b) với g : B  F.
Chứng minh
Do s là nhát cắt của  nên ta có:
p s(b)  b, b  B  p(u, f )  b  u  b

Do đó ta có f là ảnh của b qua một ánh xạ g : B  F nên f  g (b).

1.3.

Đa tạp symplectic ([1], T.21)
1.3.1. Dạng symplectic ([1], T.21)
Cho M là đa tạp trơn 2n – chiều. 2- dạng vi phân  thõa mãn  đóng

và  p không suy biến với mọi p  M được gọi là dạng symplectic.

11

Ví dụ Trong mặt phẳng

với hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy nếu

2

lấy   dx  dy thì  là 2 – dạng vi phân trên U. Khi đó  là một dạng
symplectic.
Chứng minh
 Ta có : d  d (dx  dy)  0

 Ta kiểm tra tính suy biến của  p với mọi p  M 

2

.

Ta viết  ( X ) thay cho  p  X ( p) 
- Tính đơn ánh:
dx  dy( X )  dx  dy (Y )  dx  dy ( X ,V )  dx  dy (Y ,V )
 dx  dy ( X  Y ,V )  0

Với X,Y,V là các trường vectơ trơn trên M.
Chọn V 


ta suy ra được dx( X  Y )  0

y

Chọn V 


ta suy ra được dy( X  Y )  0
x

Giả sử
X Y  f



g
x
y

thì ta suy ra 0  dx( X  Y )  f và 0  dy( X  Y )  g .
Do đó X  Y  0  X  Y
- Tính toàn ánh .
Lấy tùy ý  T * M thì  có biểu diễn duy nhất dưới dạng
  

  

     dx     dy  fdx  gdy
 x 
 y 

Xét X  g



f
x
y

Ta có
dx  dy ( X )  dx( X )dy  dy ( X )dx  gdy  ( f )dx
 fdx  gdy.


12

1.3.2. Định nghĩa đa tạp symplectic ([1], T.22)
Đa tạp symplectic là một cặp  M ,   , trong đó M là đa tạp trơn 2n –
chiều và  là dạng symplectic.
Ví dụ Xét đa tạp trơn 2 – chiều M 

2

và hệ tọa độ tuyến tính trong

nó thì   dx  dy là dạng symplectic và  M ,   là một đa tạp symplectic.
Chứng minh
 Với mỗi p  N  q  M : f (q)  p. Do M là đa tạp trơn nên tồn tại lân

cận mở U của q trong M vi phôi với tập mở  (U ) 
trong N và f(U) vi phôi với  (U ) mở trong
nên  f 1 : f (U )   (U ) 

n

n

n

. Khi đó f(U) cũng mở

. Thật vậy, vì  và f là vi phôi

là vi phôi.

 Giả sử U ,   và V ,  là hai hệ tọa độ trên M thì

 f (V ),

 f (U ),

f 1  và

f 1  sẽ là các hệ tọa độ trên N.

Nếu U V   thì f (U )  f (V )   và



f 1   f 1   

f 1 

1



f

1

f
f

 1 
 1    1

là trơn. Vậy trên N có cấu trúc đa tạp trơn cảm sinh bởi cấu trúc đa tạp trơn
trên M qua vi phôi f.

1.4.

Mêtric Riemann, Đa tạp Riemann
1.4.1. Mêtric Riemann
Giả sử M là đa tạp khả vi lớp C k ,(k  1) . Một trường tenxơ g hai lần

hiệp biến trên M được gọi là tenxơ metric (hay metric Riemann trên M ) nếu
nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
1.

g ( X , Y )  g (Y , X ) với mọi X , Y V (M );

2.

g ( X , X ) p  0 với mọi X V (M ) mà X ( p)  0.


13

Thay cho g ( X , Y ) ta thường viết X , Y .

1.4.2. Đa tạp Riemannian [4]
Ta kí hiệu:
M là đa tạp khả vi thực với cơ sở đếm được và với hệ bản đồ U , I .

Tp M là không gian các vectơ tiếp xúc với M tại p.
F ( M ) là tập tất cả các hàm khả vi trên M .
B( M ) là tập các trường vectơ khả vi trên M .

Định nghĩa [4]
Một cấu trúc Riemann g trên M , đó là một ánh xạ g : p  g p , p  M và

g p : Tp M  Tp M 

, trong đó g p thỏa mãn:

1.

g p là tích vô hướng trong Tp M ,

2.

g phụ thuộc khả vi vào p (tức là, g ( X ,Y )( p)  g p ( X p ,Yp ) và g
là hàm khả vi theo p).

Đa tạp ( M , g ) được gọi là đa tạp Riemann.

1.5.

Các khái niệm chuẩn bị cho bài toán địa phƣơng

1.5.1. Không gian tiếp xúc tại một điểm ([3], T.15)
Cho M là đa tạp khả vi số chiều m lớp C k , k  1 . Một ánh xạ

c : J  M khả vi lớp C r ,(r  k ) được gọi là một đường cong khả vi lớp C r
trên M , ở đó J là khoảng mở của

chứa điểm 0. Ánh xạ f : M 

lớp C r

được gọi là một hàm khả vi lớp C r trên M . Nếu U mở nằm trong M ,

f U :U 

thuộc lớp C r thì f được gọi là hàm khả vi trong lân cận

U  M . Kí hiệu F r ( M ) là tập hợp các mầm hàm khả vi (lớp C r ) trên M ,


14

F r ( p) là tập hợp các hàm khả vi lớp C r trong lân cận của p và C1p ( M ) là
tập các đường cong c khả vi lớp C 1 trên M sao cho C (0)  p.
Ta xét mối quan hệ “~” trên C1p ( M ) như sau:
c1 : J  M , c2 : J  M , c1 (0)  c2 (0)  p.

Ta nói c1 ~ c2 khi và chỉ khi có bản đồ (U , x) quanh p sao cho
d i
( x c1 )
dt

t 0



d i
( x c2 )
dt

t 0

với i  1,2,..., m . Đễ thấy quan hệ “~” là một

quan hệ tương đương trên tập các đường cong khả vi lớp C 1 qua p  M . Mỗi
lớp tương đương đối với quan hệ tương đương trên được gọi là một vectơ tiếp
xúc tại p của M . Vectơ tiếp xúc có đại diện là đường cong c kí hiệu là [c] .
Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M được kí hiệu là Tp M hay M p .
Ta mô tả cấu trúc của Tp M . Tập F k ( p) với phép toán cộng, nhân tự
nhiên và nhân vô hướng với một số thực làm thành một
một đạo hàm tại p là một hàm v : F k ( p) 
1. v là ánh xạ tuyến tính giữa các

 đại số. Ta gọi

thỏa mãn hai điều kiện:

 không gian vectơ;

2. v( f g )  v( f )  g ( p)  f ( p)  v( g ), f , g  F k ( p).
Dễ thấy tập các đạo hàm tại p với phép toán cộng và nhân với một số thực
làm thành

 không gian vectơ.

Giả sử [c]  Tp M , ta có thể coi [c] là một đạo hàm tại p bằng cách sau: Với

[ f ]  F 1 ( p) là mầm hàm của f tại p, đặt
[c]([ f ]) 

d
( f c(t )) 0 .
dt

Dễ thấy quy tắc trên không phụ thuộc vào việc chọn đường cong đại diện của

[c] và nó thỏa mãn hai tính chất 1 và 2 ở trên. Bằng đồng nhất này, ta có một
đơn ánh từ Tp M vào không gian các đạo hàm tại p. Ta chứng tỏ Tp M là


15

không gian con m chiều của không gian vectơ các đạo hàm tại p. Xét bản đồ
địa phương (U , x) quanh p sao cho x  ( x1 ,..., xm ) . Với mỗi j, xét đường cong
c j  t    x 1   p   te j  ;0, e1 ,

m

, thì c j là đường cong


xác định vectơ tiếp xúc, kí hiệu  j  . Ta có
 x 

trên M qua p, nó
  
1
 j   f   Dj f x
 x  p



, em  là mục tiêu trong



, ở đó D j là kí hiệu đạo hàm riêng thứ j . Ta viết
x p 

  
 f 
 j   f  j  .

 x  p
 x  p

Giả sử đã cho một đường cong c(t) trên M với c  0  p và c  Tp M .
Trong bản đồ địa phương U , x  quanh p ta có x c  t    x j  t   , j  1, , m và

c   f    f
dt

c t 

d
m



  Dj f x
j 1

t 0

1



 dx j  t  


 dt t 0

 m
   
   j  j    f  ,
 j 1  x  p 



 dx j  t  

 dt t 0

với  j  

Như vậy, mỗi vectơ tại p là tổ hợp tuyến tính của
  
 1 ,
 x  p

  
, m  .
 x  p

Ngược lại, nếu cho một tổ hợp tuyến tính

m


j 1



m





j 1



j

  
j
 j  , 
 x  p

xét đường cong xác đinh bởi c  t   x 1  x  p     j t.e j  , j  1, , m.

, thì ta


16

Khi đó, vectơ tiếp xúc [c] là

m



j

j 1

  
 j
 x  p

. Do đó, tập các vectơ tiếp xúc tại p

là không gian con của không gian vectơ có đạo hàm tai p , sinh bởi m vectơ

  
 j  , j  1,
 x  p

,m .


Để chứng minh tính độc lập tuyến tính của  j  , j  1, , m , ta xét
 x  p
m
  
v   j  j   0
 x  p
j 1

 

v xi   i  0, i  1,

và hàm tọa độ x i của bản đồ địa phương (U, x) . Khi đó

  
, m . Như vậy, hệ  j  , j  1,

 x  p



, m  là cơ sở của không



gian tiếp xúc Tp M của đa tạp M tại p .
1.5.2. Ánh xạ đẳng hƣớng và trƣờng vectơ
Cho M là một đa tạp và  : M x  M là một ánh xạ, chúng ta đặt
t  p  :   p, t  , t  .

Định nghĩa ([4], T.35)
Đồng luân từ f 0 đến f1 ( f 0 , f1 là ánh xạ liên tục từ không gian Tôpô X
vào không gian tôpô Y). Ánh xạ liên tục H : X  I  Y  I  0;1 sao cho
H  x,0  f0  x  , H  x,1  f1  x  , x  X . Nếu có đồng luân H từ f 0 đến f1 thì ta

nói f 0 đồng luân với f1 và ký hiệu f0

f1 . Đó là một quan hệ tương đương

trong tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y. Mỗi lớp tương đương đó gọi là một

lớp đồng luân. Lớp đồng luân với f được ký hiệu  f 
Cho M là một đa tạp và  :M   M là một ánh xạ và t  p  :   p, t 
Định nghĩa ([4], T.35)


17

Ánh xạ  là ánh xạ đẳng hướng (isotopy) nếu mỗi t : M  M là một vi
phôi và 0  id M
Cho ánh xạ đẳng hướng , chúng ta có một trường vectơ phụ thuộc
thời gian , đó là một họ của trường vectơ vt , t  , p  M thỏa mãn
vt  p  

d
ở đó q  t1  p  ,
s  p 
ds
s t
d t

Nghĩa là

dt

 vt t .

Ngược lại, cho một trường vectơ phụ thuộc thời gian vt , nếu M compac
hoặc vt , s có giá compac, thì tồn tại một ánh xạ đẳng hướng  thỏa mãn điều
kiện đầu của phương trình vi phân thường.
Giả sử rằng M là compac, thì ta có một sự tương ứng 1-1 sau :

1 1
 {trường vectơ phụ thuộc thời gian trên M}
{ánh xạ đẳng hướng của M} 

t , t   vt , t 

Định nghĩa ([4], T.35)
Khi vt  v là độc lập với t, thì ánh xạ đẳng hướng liên kết được gọi là
ánh xạ mũ hoặc là dòng của v và ký hiệu là exp tv ; tức là

exp tv : M  M | t   là một họ trơn duy nhất của các vi phôi thỏa mãn :
exp tv t 0  id M

và

d
 exp tv  p   v exp vt  p  
dt

1.5.3. Định nghĩa đại số Lie ([3], T.35)
Cho K là trường vectơ và G là trường vectơ trên K
G là một đại số nếu ta trang bị thêm vào G một ánh xạ song tuyến tính :
 :G  G  G

 x, y 

  x, y 

 được gọi là tích trong và thường được ký hiệu là   x, y   x. y

18

Định nghĩa
Giả sử G là một đại số trên K. G được gọi là đại số Lie nếu tích trong

, :

GG  G

 x, y 

 x, y 

thỏa mãn đồng thời
a. x, y     y, x  , x, y  G
b.  x, y  , z    y, z  , x    z, x  , y   0

( hệ thức Jacobi)

, được gọi là tích Lie hay móc Lie.
Số chiều của đại số Lie chính là số chiều của không gian vectơ G.
Với G là không gian vectơ hữu hạn chiều mà dimG = n, cấu trúc của đại số
Lie G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ

e1 , e2 ,

thuộc cơ sở

, en  đã chọn trước trên G như sau :

n

ei , e j    cijk ek , 1  i  j  n, cijk  K
k 1

Các hệ số cijk được gọi là hằng số cấu trúc của đại số Lie G.
Ví dụ
a ) Với G là không gian vectơ Ơclit thông thường 3-chiều

3

, định nghĩa

 x, y   x  y là tích có hướng thông thường thì G là đại số Lie trên .
Thật vậy
 G


3

là modun với hai phép toán cộng và nhân thông thường.

Phép toán  x, y   x  y là song tuyến tính vì x, y, z 

3

ta có :

 x   y  z  x  y  x  z ; x  y  z  x  z  y  z
 x    y   .  x  y 

Suy ra G 

3

;   x   y  .  x  y 

là đại số.

 Tính phản đối xứng thỏa mãn vì x, y 

3

, x  y  y  x.

 Bằng các phép tính trưc tiếp, dễ dàng chứng minh được hệ thức Jacobi :


19

 x, y  , z    y, z  , x    z, x  , y    x  y   z   y  z   x   z  x   y  0.

b ) Mỗi không gian vectơ V trên K là đại số Lie với tích Lie :

 x, y   0, x, y V
Đại số Lie này được gọi là đại số Lie tầm thường.
c ) M n     A| A là ma trận vuông cấp n trên  với tích Lie :

 A, B  A.B  B.A là một đại số Lie.
Thật vậy

Với phép cộng, phép nhân thông thường các ma trận và tích trong được
định nghĩa ở trên thì M n   là một đại số.
Ta kiểm tra điều kiện của đại số Lie :
A, B  M n 
A, B, C  M n 

 thì  A, B  A.B  B.A    B.A  A.B     B, A.
 thì

 A, B  , C    B, C  , A  C , A , B    A.B  B. A, C    B.C  C.B, A  C. A  A.C , B 
  A.B  B. A  .C  C.  A.B  B. A    B.C  C.B  . A  A.  B.C  C.B   C. A  A.C  .B  B. C. A  A.C
 ABC  BAC  CAB  CBA  BCA  CBA  ABC  ACB  CAB  ACB  BCA  BAC
0
Vậy M n   là đại số Lie.

 0 a b 

d ) Xét H=  a 0 c  a, b, c 
 b c 0 





 là không gian vectơ thưc 3 chiều



Xác đinh tich trong  A, B  A.B  B. A , A, B H .
Khi đó H là đại số Lie.

Nhóm Lie
Tập hợp G được gọi là một nhóm Lie nếu thỏa mãn các điều kiện sau :
1. G là một nhóm. Ta sẽ ký hiệu phép toán của nhóm là phép nhân


20

GG  G
( x, y ) xy

2. G là một đa tạp khả vi.
3. Ánh xạ
G G  G
( x, y )

xy 1

là ánh xạ khả vi.
Chú ý : Nếu thay 1), 2) bởi
1’) G là một đa tạp tôpô .
2’) Ánh xạ
G G  G
( x, y )

xy 1

là liên tục thì G được gọi là nhóm tôpô.
Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán.
Hiển nhiên, một nhóm Lie là nhóm tôpô. Ngược lại, người ta chứng

minh được rằng : Mọi nhóm tôpô, compact, liên thông địa phương, hữu hạn
chiều đều là nhóm Lie.
Ví dụ
a) Đường tròn đơn vị S 1 với phép toán (.) ( có thể xem S 1 là tập hợp các
số phức có môđun bằng 1) là nhóm Lie giao hoán.
b) Nếu G1 , G2 , Gm là những nhóm Lie thì G  G1  G2   Gm là một nhóm
Lie nếu ta cho nó cấu trúc nhóm tích và cấu trúc đa tạp vi phân tích của
các cấu trúc G và ta nói rằng G là nhóm Lie tích của các
Gi , i  1, 2,

,m.

Định nghĩa đạo hàm Lie là toán tử ([3], T.36)
: k  M   k  M  được xác định bởi

 :

d
 exp tv  * |t 0
dt


21

Khi một trường vectơ vt phụ thuộc thời gian thì dòng của nó là tương
ứng với ánh xạ đẳng hướng , về mặt địa phương bởi định lý Picard . Hơn
nữa trong lân cận lân cận của điểm p nào đó với thời gian t đủ nhỏ, thì tồn tại
họ một tham số của vi phôi địa phương t thỏa mãn
d t
 vt t

dt

và 0  id

Do đó, chúng ta nói rằng đạo hàm Lie xác định bởi vt là
: k  M   k  M  được định nghĩa bởi

 :

d
 exp tv  *  |t 0
dt

Định lý
Cho một tập hợp trơn t , t 

, của d- dạng, chúng ta có

d *

t t  t* 
dt


vt

t 

dt 
dt 

Chứng minh
Nếu f  x, y  là hàm thực của hai biến, bằng chuỗi qui tắc chúng tôi có
d
d
d
f t, t  
f  x, t  
f t , y 
dt
dx
dy
x t
y t

Do đó ,

d *
t t 
dt

d *
t t
dt
t*


 t* 


vt

vx t

t 

x t


x t
do *

dt 
dt 

d *
t  y
dy
t*

y t

d y
dy

y t



1.5.4. Định lý lân cận ống

Cho M là một đa tạp n- chiều, và X là một đa tạp con k- chiều với k< n
và ánh xạ nhúng chìm


22

Tại mỗi x  X , không gian tiếp xúc với X được xem như là không gian
con của không gian tiếp xúc với M ánh xạ tuyến tính bao hàm
nơi

,

chúng

tôi

biểu

thị

x  i  x .

Tập

thương

N x X : Tx M / Tx X là không gian vectơ (n-k) – chiều đó là không gian chuẩn tắc

với X tại x . Phân thớ chính tắc của X là
NX   x, v  | x  X , v  N x X 

Tập NX có cấu trúc của một phân thớ vectơ trên X, có hạng n-k dưới
phép chiếu tự nhiên, do đó đa tạp NX là n- chiều. Nhát cắt không của NX,

Phép nhúng X như đa tạp con đóng của NX. Một lân cận
không X trong NX được gọi là lồi nếu giao

của nhát cắt

 N x X với mỗi thớ là lồi

Định lý
Tồn tại một lân cận lồi
một vi phôi

của X trong NX, một lân cận lồi

của X trong M, và

sao cho

giao hoán

Sơ lƣợc chứng minh
 Trường hợp M 

n

, và X là đa tạp con compact của

Định lý ( - lân cận)

n

.


23

là tập hợp các điểm ở khoảng

Cho

cách dưới dạng  từ X . Sau đó cho  đủ nhỏ, với mỗi p

có duy

nhất một điểm qX ( i.e., duy nhất qX cực tiểu hóa p  q )
Hơn nữa, tập q    p  , ánh xạ

là một (trơn) ngập với

,đoạn thẳng (1-t)p + tq, 0  t  1 nằm trong

thỏa mãn mọi

Để chứng minh ta thực hiện như sau
Tại mỗi x  X , không gian chuẩn tắc N x X có thể được coi như là
một không gian con (n-k)- chiều của
trong

n

n

, nó có tên là phần bù trực giao

của không gian tiếp xúc với X tại x :
Nx X

v 

n

: v  , cho   Tx X



Chúng ta xác định lân cận mở của X trong NX như sau:
NX    x, v   NX : v   

Đặt

exp :

NX 

 x, v 

n

xv

Cắt bớt nhát cắt zero exp là ánh xạ đồng nhất thức trên X.
Chứng minh biểu đồ cho  đủ nhỏ, ánh xạ exp NX  vi phôi với
và chứng tỏ rằng

giao hoán

 Trường hợp X là đa tạp con Compact của một đa tạp tùy ý M.
Đặt một metric Riemann g trên M và để cho d(p,q) là khoảng
cách Riemann giữa p,q M. -lân cận của đa tạp con compac X là



 p

n

: p  q   ,q X




24

Chứng minh -lân cận trên tập này : với  đủ nhỏ, khẳng định
sau đúng
có duy nhất điểm qX với d(p,q) nhỏ nhất. Đặt

- Bất kỳ p
q    p

là ngập và, với mọi p 

- Ánh xạ

, tồn tại duy nhất

một đường cong trắc địa  nối từ p đến q =(p) .
-

Không gian chuẩn tắc của X tại x  X đồng nhất với không gian

con của Tx M :

v T M |

Nx X

x



g x  v , 

 0,   Tx X

Đặt NX    x, v   NX | g x  v, v   





- Xác định exp : NX   M bởi exp  x, v    1 , với  : 0,1  M là
trắc địa và   0   x và

d
 0   v. Thì ánh xạ mũ NX  vi phôi với
dt

 Trường hợp tổng quát
Khi X không compac, tương tự như trên ta thay  bởi một hàm


liên tục thích hợp  : X 

mà tiến dần đến không cố định đủ nhanh x

tiến dần ra vô hạn.
Thu hẹp tập con
được một phép ngập
tồn tại thớ này đến
0

 NX

0

0

0

 NX từ định lý lân cận ống, chúng ta thu

0

 X với thớ  01  x  lồi. Chúng ta chuyển

bằng cách đặt    0  1
là sự phân thớ 

 M là sự phân thớ

0 



X

X

Điều đó được gọi là phân thớ lân cận ống.


25

1.5.5. Công thức đồng luân
là lân cận ống của đa tạp con X trong M. Ánh xạ thu hẹp

Cho

i * : H ddeRham  u   H ddeRham  X  là ánh xạ bao hàm là toàn ánh. Do đó như hệ quả

của phân thớ lân cận ống, i * cũng là đơn ánh: điều này do bất biến đồng luân
của de Rham đối đồng điều.
Hệ quả
l
l
Cho bất kỳ bậc l , H deRham
u  HdeRham
X 

Cấp của dạng nghĩa là nếu  là l -dạng đóng trên

và i * là khớp

trên X, thì  là khớp. Chúng ta sẽ cần kết quả quan hệ sau
Định lý
Nếu l -dạng  đóng trên

có thu hẹp i *  0 , thì  là khớp tức là ,   d 

với  d 1  u  . Hơn nữa, chúng ta có thể chọn  sao cho  x  0 tại x  X .

Chứng minh
Hàm thô  :

0


 , tương đương với việc thực hiện trên

. Xác định

cho mỗi 0  t  1 là ánh xạ
t :

Điều đó thực hiện được vì

0

 x, v 



0

 x, tv 
lồi . Ánh xạ 1 là đồng nhất, 0  i0  0 , và mỗi

t cố định X, đó là t i0  i0 . Do đó chúng ta nói rằng họ t | 0  t  1 là đồng
luân từ i0  0 đến ánh xạ đồng nhất cố định X. Ánh xạ  0 :

0

 X được gọi

là sự co rút bởi vì  0 i0 là đồng nhất. Đa tạp con X được gọi là co rút biến
dạng của

.