Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian Mêtric nón có thứ tự bộ phận

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

1 Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric có
thứ tự bộ phận

4

1.1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric có thứ
tự bộ phận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2 Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric nón
có thứ tự bộ phận

11

2.1. Không gian mêtric nón.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric nón có
thứ tự bộ phận. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


2

MỞ ĐẦU

Năm 2006, G. Bhaskar và V. Laksmikantham [4] đã đưa ra khái niệm điểm
bất động bộ đôi và chứng minh một số định lý về sự tồn tại của điểm bất
động bộ đôi trong không gian mêtric đầy đủ có thứ tự bộ phận. Khái niệm
điểm bất động bộ ba được giới thiệu và nghiên cứu bởi V. Berinde và M.
Borcut [3] vào năm 2011. Gần đây, E. Karapinar ([7],[8]) đã đưa ra khái niệm
điểm bất động bộ bốn của ánh xạ từ không gian tích X 4 vào X và nghiên cứu
một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric
đầy đủ có thứ tự bộ phận.
Năm 2007, Huang Long - Guang và Zhang Xian [5] đã mở rộng lớp không
gian mêtric bằng cách thay tập hợp các số thực R bởi một không gian Banach
thực có thứ tự bộ phận và đã đưa ra khái niệm không gian mêtric nón. Sau
đó, vấn đề về sự tồn tại điểm bất động trong các không gian mêtric nón đã
được nhiều người quan tâm, nghiên cứu và thu được nhiều kết quả.
Mục đích của chúng tôi trong luận văn này là nghiên cứu một số kết quả
về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn của các ánh xạ từ X 4 vào X có tính đơn
điệu hỗn hợp trong không gian mêtric nón đầy đủ có thứ tự bộ phận và tìm
ra các ví dụ minh họa cho các kết quả đạt được. Do đó, ngoài phần mở đầu,
kết luận, luận văn được trình bày trong hai chương.

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị, kết quả cơ bản về không
gian mêtric, thứ tự bộ phận, ánh xạ đơn điệu hỗn hợp, các điểm bất động bộ


3

bốn,... mà chúng ta cần trong luận văn. Trình bày một số kết quả về sự tồn
tại điểm bất động bộ bốn của các ánh xạ co yếu trong không gian mêtric có
thứ tự bộ phận.
Trong chương 2, đầu tiên chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính
chất của không gian mêtric nón. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới
về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn và điểm bất động chung bộ bốn của các
ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ
phận. Đó là toàn bộ các kết quả ở mục 2.2.
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của
thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
của mình đến thầy. Tác giả cũng xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong
Khoa Toán của Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác
giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân
thành nhất đến quý thầy, cô giáo khoa Sau đại học - Trường Đại học Vinh,
Ban lãnh đạo trường Đại học Vinh, các bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên và giúp đỡ tác giả để tác giả hoàn
thành khóa học và thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những hạn
chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô
giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn!
Nghệ An, tháng 09 năm 2013
Tác giả

4

CHƯƠNG 1
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kết quả về sự tồn
tại điểm bất động, điểm chung bộ bốn của các ánh xạ trong không gian mêtric
có thứ tự bộ phận.

1.1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản.
Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gian
mêtric, thứ tự bộ phận, ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp, điểm bất động bộ
bốn, điểm chung bộ bốn,. . . mà chúng ta cần trong luận văn.
1.1.1. Định nghĩa. ([2]) Cho tập hợp X . Họ T các tập con của X được gọi
là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
(i) ∅, X ∈ T ;
(ii) Nếu Gi ∈ T , i ∈ I thì

Gi ∈ T ;
i∈I

(iii) Nếu G1 , G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T .
Tập hợp X cùng với tôpô T trên nó được gọi là không gian tôpô và kí hiệu
là (X, T ) hay đơn giản là X .
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô. Các phần tử
thuộc T được gọi là tập mở. Giả sử A ⊂ X , tập A được gọi là đóng nếu X\A
là mở.

5

1.1.2. Định nghĩa. ([2]) Cho không gian tôpô X , tập U ⊂ X được gọi là
lân cận của x nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ U .
Cho không gian tôpô X , x ∈ X , U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ

B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ U(x) tồn tại
V ∈ B(x) sao cho V ⊆ U .
1.1.3. Định nghĩa. ([2]) Dãy {xn } trong không gian tôpô X được gọi là hội
tụ tới x ∈ X nếu với mọi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ U với
mọi n ≥ n0 .
Khi đó, ta kí hiệu

xn → x hoặc lim xn = x.
n→∞

1.1.4. Định nghĩa. ([2]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y ,

f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận V của f (x), tồn tại lân
cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên tục trên X (nói
gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X .
1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp khác rỗng và d : X × X → R. Hàm

d được gọi là mêtric trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn
i) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .
Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và kí
hiệu (X, d) hoặc X .
1.1.6. Định nghĩa. Cho X là không gian mêtric. Một dãy {xn } trong X

được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi

> 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi

n, m ∈ N mà m > n ≥ n0 thì d(xn , xm ) < .
Mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Không gian mêtric được gọi là đầy đủ
nếu với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Tập con A ⊂ X được gọi là


6

tập đầy đủ nếu nó đầy đủ với mêtric cảm sinh từ không gian mêtric (X, d).
Mọi tập con đầy đủ trong không gian mêtric là tập đóng. Mọi tập đóng của
không gian mêtric đầy đủ là tập đầy đủ.
1.1.7. Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ g : X −→ X
được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {xn } là dãy trong X và hội tụ tới x thì

g(xn ) → g(x).
1.1.8. Định nghĩa. Giả sử E là không gian véctơ trên trường K = R hoặc
K = C. Hàm p : E → R được gọi là chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều
kiện sau
i) p(x) ≥ 0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;
ii) p(λx) = |λ|p(x) với mọi x ∈ E và mọi λ ∈ K;
iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E.
Số p(x) được gọi là chuẩn của véctơ x ∈ E. Ta thường kí hiệu chuẩn của
x là

x . Không gian véctơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được

gọi là không gian định chuẩn, kí hiệu (E, . ).

1.1.9. Mệnh đề. Giả sử (E,

. ) là không gian định chuẩn. Khi đó, công

thức d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E xác định một mêtric trên E. Ta gọi mêtric
này là mêtric sinh bởi chuẩn hay mêtric chuẩn.
Một không gian định chuẩn và đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn được
gọi là không gian Banach.
1.1.10. Định nghĩa. Cho tập hợp X và " " là một quan hệ hai ngôi trên

X . Quan hệ " " được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn
các điều kiện sau
i) x

x với mọi x ∈ X ;

ii) Nếu x

y và y

iii) Từ x

y, y

x thì x = y với mọi x, y ∈ X ;
z suy ra x

z với mọi x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự bộ

7

phận và kí hiệu (X, ).
Kí hiệu X 4 là không gian tích X × X × X × X . Giả sử (X, ) là một tập
sắp thứ tự bộ phận, (X, d) là không gian mêtric.
Giả sử (u, v, r, t), (x, y, z, w) là các phần tử bất kỳ thuộc X 4 , chúng ta xét
quan hệ thứ tự trong X 4 như sau

(u, v, r, t)

trong đó ta viết a

b thay b


u



v
(x, y, z, w) ⇔
r



t

x

y
z
w

a.

Ta nói rằng

u=x



v=y
(x, y, z, w) = (u, v, r, t) ⇔
r=z



t = w.
Ta dễ dàng chứng minh được hàm ρ : X 4 × X 4 → R xác định bởi

ρ((x, y, z, w), (u, v, r, t)) := d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)
là một mêtric trên X 4 . Ta nói (X 4 , ρ) là không gian mêtric xác định bởi

(X, d).
1.1.11. Định nghĩa. ([8]) Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự bộ phận và ánh
xạ F : X 4 → X . Ta nói F có tính đơn điệu hỗn hợp nếu với bất kì x, y, z, w
thuộc X ta có

x1 , x2 ∈ X, x1

x2 ⇒ F (x1 , y, z, w)

F (x2 , y, z, w),

y1 , y2 ∈ X, y1

y2 ⇒ F (x, y1 , z, w)

F (x, y2 , z, w),

z1 , z2 ∈ X, z1

z2 ⇒ F (x, y, z1 , w)

F (x, y, z2 , w),

w1 , w2 ∈ X, w1

w2 ⇒ F (x, y, z, w1 )

F (x, y, z, w2 ).


8

1.1.12. Định nghĩa. ([8]) Một phần tử (x, y, z, w) ∈ X 4 được gọi là điểm
bất động bộ bốn của ánh xạ F : X 4 → X nếu

F (x, y, z, w) = x, F (x, w, z, y) = y,

F (z, y, x, w) = z, F (z, w, x, y) = w.
1.1.13. Định nghĩa. ([7]) Cho (X, ) là tập hợp sắp thứ tự bộ phận và các
ánh xạ F : X 4 → X , g : X → X . Ta nói F có tính g - đơn điệu hỗn hợp trên

X nếu với bất kỳ x, y, z, w thuộc X ta có
x1 , x2 ∈ X, g(x1 )

g(x2 ) ⇒ F (x1 , y, z, w)

F (x2 , y, z, w),

y1 , y2 ∈ X, g(y1 )

g(y2 ) ⇒ F (x, y1 , z, w)

F (x, y2 , z, w),

z1 , z2 ∈ X, g(z1 )

g(z2 ) ⇒ F (x, y, z1 , w)

F (x, y, z2 , w),

w1 , w2 ∈ X, g(w1 )

g(w2 ) ⇒ F (x, y, z, w1 )

F (x, y, z, w2 ).

1.1.14. Định nghĩa. ([7]) Điểm (x, y, z, w) ∈ X 4 được gọi là điểm chung bộ

bốn của ánh xạ F : X 4 → X và g : X → X nếu

F (x, y, z, w) = g(x), F (x, w, z, y) = g(y),
F (z, y, x, w) = g(z), F (z, w, x, y) = g(w).
1.1.15. Định nghĩa. ([7]) Cho F : X 4 → X và g : X → X . Các ánh xạ F
và g được gọi là giao hoán với nhau trên X nếu với mọi x, y, z, w thuộc X ta
có

g(F (x, y, z, w)) = F (g(x), g(y), g(z), g(w)).
1.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric có
thứ tự bộ phận.
Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn,
điểm chung bộ bốn của các ánh xạ trong không gian mêtric có thứ tự bộ
phận. Các định lý này đã có trong các tài liệu tham khảo ([7],[8]) nên chúng
tôi không trình bày phần chứng minh.


9

Giả sử (X, ) là tập hợp sắp thứ tự bộ phận, (X, d) là không gian mêtric
đầy đủ. Đặt

Φ1 :={φ : [0, +∞) → [0, +∞) : lim φ(t) > 0 với mọi r > 0 và lim+ φ(t) = 0}.
t→r

t→0

Φ2 :={φ : [0, +∞) → [0, +∞) : φ(t) < t với mọi 0 ≤ t, và
lim φ(r) < t với mọi 0 ≤ t}.

r→t+

1.2.1. Định lý. ([8]) Cho F : X 4 → X là ánh xạ có tính chất đơn điệu hỗn
hợp trên X và tồn tại φ ∈ Φ1 sao cho với mọi (x, y, z, w), (u, y, r, t) thuộc

X 4 mà (u, y, r, t)

(x, y, z, w) ta có

1
d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)]
4
1
− φ( [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)]).
4
Giả sử tồn tại (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 thỏa mãn

x0

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

z0

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0

F (z0 , w0 , x0 , y0 ).

Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện

(a) F là ánh xạ liên tục hoặc
(b) X có các tính chất
- Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn

x với mọi n ∈ N,

- Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn

y với mọi n ∈ N,

thì F có điểm bất động.
1.2.2. Hệ quả. ([8]) Cho F : X 4 → X là ánh xạ có tính chất đơn điệu
hỗn hợp trên X và k ∈ [0, 1). Với mọi (x, y, z, w), (u, y, r, t) thuộc X 4 mà

(u, y, r, t)

(x, y, z, w) ta có

k
d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ [d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)].
4


10

Giả sử tồn tại (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 thỏa mãn

x0

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

z0

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0

F (z0 , w0 , x0 , y0 ).

Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện
(a) F là ánh xạ liên tục hoặc
(b) X có các tính chất
- Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn

x với mọi n ∈ N,

- Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn

y với mọi n ∈ N,

thì F có điểm bất động.
1.2.3. Định lý. ([7]) Cho F : X 4 → X là ánh xạ giao hoán với g : X → X ,

F (X 4 ) ⊂ g(X) và F có tính chất g - đơn điệu hỗn hợp trên X , g(X) là không
gian con đầy đủ của X .
Giả sử tồn tại φ ∈ Φ2 sao cho với mọi (x, y, z, w), (u, v, r, t) thuộc X 4 mà

(g(u), g(v), g(r), g(t))

(g(x), g(y), g(z), g(w)) ta có

1
d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t)) ≤ φ( [d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v))
4
+d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))])
và tồn tại (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 thỏa mãn

g(x0 )

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 )

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

g(z0 )

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 )

F (z0 , w0 , x0 , y0 ).

Khi đó, nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện
(a) F là ánh xạ liên tục hoặc
(b) X có các tính chất
- Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn

x với mọi n ∈ N,

- Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn

y với mọi n ∈ N,

thì F và g có điểm chung bộ bốn.


11

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG BỘ BỐN TRONG KHÔNG
GIAN MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất của không gian mêtric
nón và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn, điểm chung bộ
bốn của các ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp trong không gian mêtric nón
có thứ tự bộ phận.

2.1. Không gian mêtric nón.
Mục này trình bày khái niệm, ví dụ và một số tính chất của không gian
mêtric nón.
2.1.1. Định nghĩa. ([5]) Cho E là không gian Banach trên trường số thực
R. Một tập con P của E được gọi là nón trong E nếu
i) P là đóng, P = ∅, P = {0};
ii) Nếu a và b thuộc R, a ≥ 0, b ≥ 0 và x ∈ P, y ∈ P thì ax + by ∈ P ;
iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
Cho P là một nón trong không gian Banach E. Trên E, ta định nghĩa quan
hệ thứ tự " " xác định bởi P như sau

x
Ta viết x < y nếu x

y ⇔ y − x ∈ P.

y và x = y . Viết x

y nếu y − x ∈ intP .

2.1.2. Định nghĩa. ([5]) Cho P là một nón trong không gian Banach E.


12

1) Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực k > 0 sao cho với
mọi x, y thuộc E và 0

x

y ta có

x ≤k

y . Số thực dương k nhỏ

nhất thỏa mãn điều kiện này được gọi là hằng số chuẩn tắc của P .
2) Nón P được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên
trong E đều hội tụ (một cách tương đương là mọi dãy giảm và bị chặn
dưới trong E đều hội tụ). Nghĩa là, nếu {xn } là một dãy trong E sao cho

x1

x2

...

xn

...

y với y ∈ E thì tồn tại x ∈ E mà

xn − x → 0

khi n → ∞.
2.1.3. Định lý. ([5]) Mọi nón chính quy trong không gian Banach đều là nón
chuẩn tắc.
2.1.4. Mệnh đề. ([5]) Nếu k là hằng số chuẩn tắc của nón P thì k ≥ 1.
2.1.5. Bổ đề. ([1]) Giả sử P là nón trong không gian Banach E, a, b, c là
các phần tử thuộc E và α là số thực dương. Khi đó
(i) Nếu a

b và b

c thì a

c;

(ii) Nếu a

b và b

c thì a

c;

(iii) Nếu a

b, c

d thì a + c

b + d;

(iv) αintP ⊂ intP (trong đó αintP = {αx : x ∈ intP });
(v) Với mọi δ > 0 và x ∈ intP , tồn tại 0 < γ < 1 sao cho

γx < δ ;

(vi) Với mọi c1 ∈ intP và c2 ∈ P , tồn tại d ∈ intP sao cho c1

c2

d và

d;

(vii) Với mọi c1 , c2 ∈ intP , tồn tại e ∈ intP sao cho e
(viii) Nếu a ∈ P và a

c2 ;

x với mọi x ∈ intP thì a = 0;

(ix) Nếu E là không gian Banach thực với nón P và nếu a

0 < λ < 1 thì a = 0;

c1 , e

λa với a ∈ P ,


13

(x) Nếu 0

0

x

xn

yn với mọi n ∈ N và lim xn = x, lim yn = y thì
n→∞

n→∞

y.

2.1.6. Bổ đề. ([1]) Cho P là nón trong không gian Banach E và {xn } là dãy
trong P . Nếu xn → 0 thì với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao cho xn

c

với mọi n ≥ n0 .
2.1.7. Định nghĩa. ([5]) Cho X là tập khác rỗng và d : X × X → E, P là
một nón trong E. Hàm d được gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các
điều kiện sau
i) 0

d(x, y), ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;

ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;
iii) d(x, y)

d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và được kí hiệu là (X, d) hoặc X .
Từ định nghĩa trên ta nhận thấy khái niệm của không gian mêtric nón
tổng quát hơn khái niệm không gian mêtric. Bởi vì mỗi một không gian mêtric
là một không gian mêtric nón trong trường hợp E = R và P = [0, +∞).
2.1.8. Ví dụ.
1) Cho E = R2 và nón P = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0}. Xét X = R và
ánh xạ d : X × X → E xác định bởi

d(x, y) = (α|x − y|, β|x − y|)

∀x, y ∈ X,

trong đó α, β là hằng số dương cho trước. Khi đó, ta dễ dàng chứng minh
được rằng d là một mêtric nón hay (X, d) là không gian mêtric nón.
2) Giả sử C[a,b] là tập tất cả các hàm số nhận giá trị thực liên tục trên

[a, b]. Ta đã biết C[a,b] là không gian Banach với chuẩn
f = sup |f (x)|,
x∈[a,b]

∀f ∈ C[a,b]


14

Trên C[a,b] ta xét quan hệ thứ tự bộ phận " " được xác định như sau

∀f, g ∈ C[a,b] , f

g ⇔ f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b],

trong đó "≤" là quan hệ thứ tự thông thường trên R.
Đặt P = {f ∈ C[a,b] : 0

f }. Khi đó, P thỏa mãn 3 điều kiện

i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
ii) Với mọi α1 , α2 ∈ R, α1 , α2 ≥ 0 và mọi f, g ∈ P ta có

0 ≤ α1 f (x) + α2 g(x), ∀x ∈ [a, b].
Do đó α1 f + α2 g ∈ P .
iii) Với f ∈ P và −f ∈ P ta có f = 0.
Vậy P là một nón trong C[a,b] .
2.1.9. Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian mêtric nón, a ∈ X , c ∈ intP .
Đặt

B(a, c) := {x ∈ X : d(x, a)

c}.

Ta gọi B(a, c) là hình cầu mở tâm a, bán kính c.
2.1.10. Mệnh đề. ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón và T xác định

T := {G ⊂ X : ∀x ∈ G, ∃c ∈ P : B(x, c) ⊂ G}.
Khi đó
i) T là một tôpô trên X ;
ii) B(x, c) ∈ T với mọi x ∈ X, c ∈ intP ;
iii) (X, T ) là T2 không gian;
iv) (X, T ) thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Từ mệnh đề trên ta có hệ quả sau đây.
2.1.11. Hệ quả. ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón, nếu dãy {xn }
hội tụ đến x và y thì x = y .


15

2.1.12. Hệ quả. ([1]) Cho P là nón trong không gian Banach E và {xn } là
dãy trong X . Nếu xn → x thì với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao cho

d(xn , x)

c với mọi n ≥ n0 .

2.1.13. Định nghĩa. ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón. Dãy {xn }
trong X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi c ∈ intP , tồn tại n0 ∈ N sao
cho d(xm , xn )

c với mọi m > n ≥ n0 .

2.1.14. Định nghĩa. ([5]) Không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ
nếu với mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ.
Tập con Y của không gian mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y .
2.1.15. Định nghĩa. ([5]) Cho (X, d) là không gian mêtric nón.
i) Ánh xạ g : X −→ X được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu {xn } là dãy
trong X và xn → x thì g(xn ) → g(x).
ii) Ánh xạ F : X 4 −→ X được gọi là liên tục tại (x, y, z, w) ∈ X 4 nếu
từ {xn }, {yn }, {zn }, {wn } là các dãy trong X , xn → x, yn → y , zn → z ,

wn → w kéo theo F (xn , yn , zn , wn ) → F (x, y, z, w).
2.2. Sự tồn tại điểm bất động bộ bốn trong không gian mêtric nón
có thứ tự bộ phận.
Mục này trình bày một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động bộ bốn,
điểm chung bộ bốn của các ánh xạ trong không gian mêtric nón có thứ tự bộ
phận.
Trong mục này, ta giả thiết (X, ) là tập sắp thứ tự bộ phận, (X, d) là
không gian mêtric nón với d nhận giá trị trong P , P là nón trong không gian
Banach thực E với intP = ∅.
2.2.1. Định lý. Cho ánh xạ g : X −→ X và ánh xạ F : X 4 −→ X có tính
g - đơn điệu hỗn hợp và thỏa mãn các điều kiện sau


16

1) g liên tục và giao hoán với F , F (X 4 ) ⊂ g(X), g(X) là không gian con
đầy đủ của X ;

2) Tồn tại α1 , α2 , α3 , α4 ∈ [0; 1) sao cho α1 + α2 + α3 + α4 < 1 và với mọi

(x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X 4 mà (g(u), g(v), g(r), g(t))

(g(x), g(y), g(z), g(w))

ta có

d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t))

α1 d(g(x), g(u)) + α2 d(g(y), g(v))
+ α3 d(g(z), g(r)) + α4 d(g(w), g(t));

(2.1)

3) Tồn tại (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 sao cho

g(x0 )

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 )

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

g(z0 )

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 )

F (z0 , w0 , x0 , y0 );

(2.2)

4) F là ánh xạ liên tục hoặc X có các tính chất
i) Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn

x với mọi n ∈ N,

ii) Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn

y với mọi n ∈ N.

Khi đó, F và g có điểm chung bộ bốn.
Chứng minh. Từ F (X 4 ) ⊂ g(X), chúng ta thiết lập được các dãy {xn }, {yn },

{zn }, {wn } trong X như sau
g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn ),
g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn ),

(2.3)

g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn ),
g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn )

với n = 0, 1, . . .

Khi đó, từ (2.2), (2.3) và tính g - đơn điệu hỗn hợp của ánh xạ F ta có

g(x0 )

g(x1 )

g(x2 )

...

g(xn+1 ) = F (xn , yn , zn , wn )

...,

g(y0 )

g(y1 )

g(y2 )

...

g(yn+1 ) = F (xn , wn , zn , yn )

...,

g(z0 )

g(z1 )

g(z2 )

...

g(zn+1 ) = F (zn , yn , xn , wn )

...,

g(w0 )

g(w1 )

g(w2 )

...

g(wn+1 ) = F (zn , wn , xn , yn )

...

(2.4)


17

Với mỗi n = 0, 1, . . . đặt

an := g(xn ), bn := g(yn ), cn := g(zn ), dn := g(wn ),
δn := d(an , an+1 ) + d(bn , bn+1 ) + d(cn , cn+1 ) + d(dn , dn+1 ).

(2.5)

Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh rằng với mọi n = 1, 2, . . .

d(an , an+1 )

q n δ0 ,

(2.6)

d(bn , bn+1 )

q n δ0 ,

(2.7)

d(cn , cn+1 )

q n δ0 ,

(2.8)

d(dn , dn+1 )

q n δ0 ,

(2.9)

trong đó q := α1 + α2 + α3 + α4 .
Từ (2.1), (2.3), (2.4) và (2.5) ta có

d(a1 , a2 ) = d(g(x1 ), g(x2 ))
= d(F (x0 , y0 , z0 , w0 ), F (x1 , y1 , z1 , w1 ))
α1 d(g(x0 ), g(x1 )) + α2 d(g(y0 ), g(y1 ))
+ α3 d(g(z0 ), g(z1 )) + α4 d(g(w0 ), g(w1 ))
= α1 d(a0 , a1 ) + α2 d(b0 , b1 ) + α3 d(c0 , c1 ) + α4 d(d0 , d1 )

qd(a0 , a1 ) + qd(b0 , b1 ) + qd(c0 , c1 ) + qd(d0 , d1 )
= qδ0 .
Suy ra (2.6) đúng với n = 1. Tương tự, ta chứng minh được (2.7), (2.8), (2.9)
cũng đúng với n = 1.
Giả sử (2.6), (2.7), (2.8), (2.9) đúng với n ≥ 1, nghĩa là

d(an , an+1 )

q n δ0 ,

d(bn , bn+1 )

q n δ0 ,

d(cn , cn+1 )

q n δ0 ,

d(dn , dn+1 )

q n δ0 .


18

Bây giờ, ta chứng minh (2.6), (2.7), (2.8), (2.9) đúng với n + 1. Ta có

d(an+1 , an+2 ) = d(g(xn+1 ), g(xn+2 ))
= d(F (xn , yn , zn , wn ), F (xn+1 , yn+1 , zn+1 , wn+1 ))
α1 d(g(xn ), g(xn+1 )) + α2 d(g(yn ), g(yn+1 ))

+ α3 d(g(zn ), g(zn+1 )) + α4 d(g(wn ), g(wn+1 ))
= α1 d(an , an+1 ) + α2 d(bn , bn+1 ) + α3 d(cn , cn+1 ) + α4 d(dn , dn+1 )
α1 q n δ0 + α2 q n δ0 + α3 q n δ0 + α4 q n δ0
= (α1 + α2 + α3 + α4 )q n δ0
= q n+1 δ0 .
Tương tự, ta chứng minh được (2.7), (2.8), (2.9) cũng đúng với n + 1. Vậy
(2.6), (2.7), (2.8), (2.9) đúng với mọi n = 1, 2, . . ..
Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh rằng các dãy {an }, {bn }, {cn }, {dn } là các
dãy Cauchy trong g(X).
Từ (2.6), với mọi n = 1, 2, . . . và mọi p = 0, 1, . . . ta có

d(an , an+p )

d(an , an+1 ) + d(an+1 , an+2 ) + . . . + d(an+p−1 , an+p )
q n δ0 + q n+1 δ0 + . . . + q n+p−1 δ0
= q n (1 + q + . . . + q p−1 )δ0
p
n1 − q
δ0
=q
1−q
1
qn
δ0 .
1−q

(2.10)

Vì q = α1 + α2 + α3 + α4 nên q ∈ [0; 1). Suy ra q n → 0 khi n → +∞. Do đó
1

qn
δ0 → 0 khi n → +∞.
1−q
Khi đó, với mọi c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n ≥ n0 , với
mọi p = 1, 2, . . . thì

d(an , an+p )

qn

1
δ0
1−q

c.


19

Do đó {an } là dãy Cauchy trong g(X).
Tương tự, ta cũng có {bn }, {cn }, {dn } là các dãy Cauchy trong g(X). Vì

(g(X), d) đầy đủ nên tồn tại a, b, c, d thuộc g(X) sao cho
lim an = a, lim bn = b,

n→∞

n→∞

lim cn = c, lim dn = d.

n→∞

(2.11)

n→∞

Vì g liên tục nên

lim g(an ) = g(a), lim g(bn ) = g(b),

n→∞

n→∞

lim g(cn ) = g(c), lim g(dn ) = g(d).

n→∞

(2.12)

n→∞

Mặt khác, F và g giao hoán với nhau nên

g(an+1 ) = g(g(xn+1 )) = g(F (xn , yn , zn , wn ))
= F (g(xn ), g(yn ), g(zn ), g(wn ))

(2.13)

= F (an , bn , cn , dn ).
Tương tự

g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ),
g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ),
g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ).
Giả sử F liên tục. Khi đó, từ (2.11), (2.12) và (2.13) ta có

g(a) = lim g(an+1 )
n→∞

= lim F (an , bn , cn , dn ) = F (a, b, c, d).
n→∞

Tương tự, ta có

g(b) = F (a, d, c, b),
g(c) = F (c, b, a, d),
g(d) = F (c, d, a, b).
Như vậy (a,b,c,d) là điểm chung bộ bốn của F và g .

(2.14)


20

Giả sử X thỏa mãn i) và ii). Khi đó, các dãy {an } và {cn } là các dãy tăng
và hội tụ, {bn } và {dn } là các dãy giảm và hội tụ. Từ (2.11), ta có

an

a, bn

b, cn

c, dn

d,

∀n = 0, 1, . . .

Vì các dãy {g(an )}, {g(bn )}, {g(cn )}, {g(dn )} lần lượt hội tụ tới g(a), g(b),

g(c), g(d) khi n → +∞. Do đó, với mọi c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên nc sao
cho với mọi n ≥ nc ta có

d(g(an ), g(a))
d(g(bn ), g(b))
d(g(cn ), g(c))
d(g(dn ), g(d))

1
c,
5(ω + 1)
1
c,
5(ω + 1)
1
c,
5(ω + 1)

1
c,
5(ω + 1)

(2.15)

trong đó ω = max{α1 , α2 , α3 , α4 }.
Suy ra với mọi n ≥ nc ta có

d(g(a), F (a, b, c, d))

d(g(a), g(an+1 )) + d(g(an+1 ), F (a, b, c, d))
= d(g(a), g(an+1 )) + d(F (an , bn , cn , dn ), F (a, b, c, d))
d(g(a), g(an+1 )) + α1 d(g(an ), g(a)) + α2 d(g(bn ), g(b))
+ α3 d(g(cn ), g(c)) + α4 d(g(dn ), g(d))
1
[c + α1 c + α2 c + α3 c + α4 c]
5(ω + 1)
1
[c + ωc + ωc + ωc + ωc]
5(ω + 1)
1 + 4ω
=
c
5(ω + 1)
c.

Vậy d(g(a), F (a, b, c, d))

c với mọi c ∈ intP . Áp dụng Bổ đề 2.1.5 (viii)

ta có d(g(a), F (a, b, c, d)) = 0 hay F (a, b, c, d) = g(a).


21

Tương tự, ta cũng chứng minh được

F (a, d, c, b) = g(b), F (c, b, a, d) = g(c), F (c, d, a, b) = g(d).
Do đó (a,b,c,d) là điểm chung bộ bốn của F và g .
Vậy nếu thỏa mãn F liên tục hoặc X có các tính chất i) và ii) thì F và g luôn có
điểm chung bộ bốn.
2.2.2. Hệ quả. Cho ánh xạ g : X −→ X và ánh xạ F : X 4 −→ X có tính g
- đơn điệu hỗn hợp và thỏa mãn các điều kiện sau
1) g liên tục và giao hoán với F , F (X 4 ) ⊂ g(X), g(X) là không gian con
đầy đủ của X ;
2) Tồn tại α ∈ [0; 1) sao cho với mọi (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X 4 mà

(g(u), g(v), g(r), g(t))

(g(x), g(y), g(z), g(w)) ta có

d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t))

α
[d(g(x), g(u)) + d(g(y), g(v))
4
+ d(g(z), g(r)) + d(g(w), g(t))];

3) Tồn tại (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 sao cho

g(x0 )

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), g(y0 )

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

g(z0 )

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), g(w0 )

F (z0 , w0 , x0 , y0 );

4) F là ánh xạ liên tục hoặc X có các tính chất
i) Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn

x với mọi n ∈ N,

ii) Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn

y với mọi n ∈ N.

Khi đó, F và g có điểm chung bộ bốn.
Chứng minh. Đặt α1 = α2 = α3 = α4 = α4 . Khi đó, các điều kiện trong Định
lý 2.2.1 được thỏa mãn. Do đó, F và g có điểm chung bộ bốn.
Trong Định lý 2.2.1, nếu chọn g là ánh xạ đồng nhất thì ta có hệ quả sau
đây


22

2.2.3. Hệ quả. Giả sử X là không gian mêtric nón đầy đủ, F : X 4 −→ X
là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp và thỏa mãn các điều kiện sau
1) Tồn tại α1 , α2 , α3 , α4 ∈ [0; 1) sao cho α1 + α2 + α3 + α4 < 1 và với mọi

(x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X 4 mà (u, v, r, t)
d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t))

(x, y, z, w) ta có

α1 d(x, u) + α2 d(y, v) + α3 d(z, r) + α4 d(w, t);

2) Tồn tại (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 sao cho

x0

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

z0

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0

F (z0 , w0 , x0 , y0 );

3) F là ánh xạ liên tục hoặc X có các tính chất
i) Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn

x với mọi n ∈ N,

ii) Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn

y với mọi n ∈ N.

Khi đó, F có điểm bất động bộ bốn.
Trong Định lý 2.2.1, nếu chọn α1 = α2 = α3 = α4 =

α
4

với α ∈ [0, 1) và g

là ánh xạ đồng nhất thì ta có hệ quả sau
2.2.4. Hệ quả. Giả sử X là không gian mêtric nón đầy đủ, F : X 4 −→ X
là ánh xạ có tính đơn điệu hỗn hợp và thỏa mãn các điều kiện sau
1) Tồn tại α ∈ [0; 1) sao cho với mọi (x, y, z, w), (u, v, r, t) ∈ X 4 mà

(u, v, r, t)

(x, y, z, w) ta có

d(F (x, y, z, w), F (u, v, r, t))

α
[d(x, u) + d(y, v) + d(z, r) + d(w, t)];
4

2) Tồn tại (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 sao cho

x0

F (x0 , y0 , z0 , w0 ), y0

F (x0 , w0 , z0 , y0 ),

z0

F (z0 , y0 , x0 , w0 ), w0

F (z0 , w0 , x0 , y0 );

3) F là ánh xạ liên tục hoặc X có các tính chất
i) Từ {xn } là dãy tăng và xn → x suy ra xn

x với mọi n ∈ N,


23

ii) Từ {yn } là dãy giảm và yn → y suy ra yn

y với mọi n ∈ N.

Khi đó, F có điểm bất động bộ bốn.
2.2.5. Định lý. Cho F : X 4 → X và g : X → X là các ánh xạ thỏa mãn
các tính chất trong Định lý 2.2.1. Giả sử với mọi (x, y, z, w); (u, v, r, t) thuộc

X 4 luôn tồn tại a, b, c, d ∈ X sao cho (g(a), g(b), g(c), g(d)) so sánh được với
(g(x), g(y), g(z), g(w)) và (g(u), g(v), g(r), g(t)) theo quan hệ thứ tự trong

X 4 và thỏa mãn
g(a)

F (a, b, c, d), g(b)

F (a, d, c, b),

g(c)

F (c, b, a, d), g(d)

F (c, d, a, b).

(2.16)

Khi đó, ánh xạ F và g có duy nhất một điểm bất động chung bộ bốn, tức là
tồn tại duy nhất (x0 , y0 , z0 , w0 ) ∈ X 4 thỏa mãn

F (x0 , y0 , z0 , w0 ) = g(x0 ) = x0 ,
F (x0 , w0 , z0 , y0 ) = g(y0 ) = y0 ,
F (z0 , y0 , x0 , w0 ) = g(z0 ) = z0 ,

(2.17)

F (z0 , w0 , x0 , y0 ) = g(w0 ) = w0 .
Chứng minh. Rõ ràng theo chứng minh trong Định lý 2.2.1 thì tập các điểm
chung bộ bốn của F và g là khác rỗng. Khi đó, giả sử (x, y, z, w), (u, v, r, t)
là hai điểm chung bộ bốn của F và g . Ta có
F (x, y, z, w) = g(x), F (u, v, r, t) = g(u),

F (x, w, z, y) = g(y), F (u, t, r, v) = g(v),
F (z, y, x, w) = g(z), F (r, v, u, t) = g(r),

(2.18)

F (z, w, x, y) = g(w), F (r, t, u, v) = g(t).
Theo giả thiết, tồn tại (a, b, c, d) ∈ X 4 sao cho (g(a), g(b), g(c), g(d)) so sánh
được với hai điểm (g(x), g(y), g(z), g(w)), (g(u), g(v), g(r), g(t)) theo quan
hệ thứ tự trong X 4 và thỏa mãn (2.16) nên ta có thể giả sử

(g(a), g(b), g(c), g(d))

(g(x), g(y), g(z), g(w).

(2.19)


24

Chúng ta thiết lập các dãy {an }, {bn }, {cn }, {dn } trong X như sau. Với

n = 0, 1, . . .
a0 = a, b0 = b, z0 = c, d0 = d,
g(an+1 ) = F (an , bn , cn , dn ),
g(bn+1 ) = F (an , dn , cn , bn ),

(2.20)

g(cn+1 ) = F (cn , bn , an , dn ),
g(dn+1 ) = F (cn , dn , an , bn ).

Từ (2.19) suy ra

(g(an ), g(bn ), g(cn ), g(dn ))

(g(x), g(y), g(z), g(w)) ∀n = 0, 1, . . . (2.21)

Tương tự như trong Định lý 2.2.1, ta cũng chứng minh được các dãy {g(an )},

{g(bn )}, {g(cn )}, {g(dn )} lần lượt hội tụ tới a , b , c , d khi n → +∞. Suy ra
với mọi c ∈ intP , tồn tại số tự nhiên nc sao cho với mọi n ≥ nc ta có
c
d(g(an ), a )
,
3
c
,
d(g(bn ), b )
3
(2.22)
c
d(g(cn ), c )
,
3
c
d(g(dn ), d )
.
3
Đặt

δ0 := d(g(x), g(a0 )) + d(g(y), g(b0 )) + d(g(z), g(c0 )) + d(g(w), g(d0 )).

Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh rằng với mọi n = 1, 2, . . . thì

d(g(x), g(an ))

q n δ0 ,

d(g(y), g(bn ))

q n δ0 ,

d(g(z), g(cn ))

q n δ0 ,

d(g(w), g(dn ))

q n δ0 ,

(2.23)


25

trong đó q := α1 + α2 + α3 + α4 .
Thật vậy, từ (2.1) và (2.18), ta có

d(g(x), g(a1 )) = d(F (x, y, z, w), F (a0 , b0 , c0 , d0 ))
α1 d(g(x), g(a0 )) + α2 d(g(y), g(b0 )) + α3 d(g(z), g(c0 ))
+ α4 d(g(w), g(d0 ))
qd(g(x), g(a0 )) + qd(g(y), g(b0 )) + qd(g(z), g(c0 ))

+ qd(g(w), g(d0 ))
= qδ0 .
Suy ra d(g(x), g(a1 ))

qδ0 . Tương tự ta cũng có
d(g(y), g(b1 ))

qδ0 ,

d(g(z), g(c1 ))

qδ0 ,

d(g(w), g(d1 ))

qδ0 .

Vậy (2.23) đúng với n = 1. Giả sử (2.23) đúng với n ≥ 1, nghĩa là

d(g(x), g(an ))

q n δ0 ,

d(g(y), g(bn ))

q n δ0 ,

d(g(z), g(cn ))

q n δ0 ,

d(g(w), g(dn ))

q n δ0 .

(2.24)

Ta chứng minh (2.23) đúng với n + 1. Từ (2.1), (2.18), (2.20) và (2.24) ta có

d(g(x), g(an+1 )) = d(F (x, y, z, w), F (an , bn , cn , dn ))
α1 d(g(x), g(an )) + α2 d(g(y), g(bn )) + α3 d(g(z), g(cn ))
+ α4 d(g(w), g(dn ))
α1 q n δ0 + α2 q n δ0 + α3 q n δ0 + α4 q n δ0
= (α1 + α2 + α3 + α4 )q n δ0
= q n+1 δ0 .