Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Không gian lồi địa phương và định lý Tikhonov-Schauder 4
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Định lý Tikhonov-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên
không gian lồi địa phương

18

2.1. Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co suy rộng
trên không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
´ dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Ưng
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


2

MỞ ĐẦU

Không gian lồi địa phương là lớp không gian véctơ tôpô có vai trò
quan trọng trong toán giải tích. Tôpô lồi địa phương được sinh bởi họ
các nửa chuẩn liên tục, và họ các nửa chuẩn cũng sinh ra các giả mêtric
trên không gian đó.
Từ các giả mêtric sinh ra bởi các nửa chuẩn trên không gian lồi địa
phương, một vấn đề xuất hiện tự nhiên và có nhiều ứng dụng là nghiên
cứu các mở rộng và ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co cho lớp không
gian này. Những kết quả đầu tiên về lý thuyết điểm bất động đối với
các ánh xạ trên không gian lồi địa phương đạt được bởi Tikhonov và
Schauder với một sự mở rộng nổi tiếng định lý cổ điển Brouwer (xem
[2]). Sau đó, nhiều kết quả được nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng
bởi I. A. Rus, V.G. Angelov và nhiều tác giả khác (xem [2]). Đặc biệt,
các định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ co trên không gian lồi địa
phương đã cho nhiều ứng dụng trong nhiều vấn đề của phương trình vi
tích phân, phương trình hàm...,(xem [2], [3], [6]).
Các vấn đề nghiên cứu về các định lý điểm bất động cho các lớp ánh
xạ co suy rộng trên các không gian lồi địa phương và ứng dụng là khá
thú vị. Với mục đích tìm hiểu về không gian lồi địa phương, một vài kết
quả ban đầu về định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộng
trên không gian lồi địa phương và ứng dụng, chúng tôi lựa chọn đề tài
sau cho luận văn của mình là: Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ

co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng.
Nội dung chính của luận văn là trình bày những vấn đề cơ bản về


3

không gian lồi địa phương, định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder
đối với ánh xạ liên tục trên tập con lồi và compact của không gian lồi
địa phương, và một số kết quả của Hadzic về sự tồn tại điểm bất động
đối với các ánh xạ co suy rộng trong không gian lồi địa phương. Các nội
dung trên được trình bày trong hai chương:
Chương 1. Không gian lồi địa phương và định lý Tikhonov-Schauder
Chương này trình bày những kiến thức cơ sở về không gian lồi địa
phương cần dùng về sau và chứng minh chi tiết định lý điểm bất động
Tikhonov-Schauder.
Chương 2. Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên
không gian lồi địa phương
Chương này trình bày các định lý điểm bất động đối với một số lớp
ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng trong
chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình vi phân.
Các nội dung được trình bày trong luận văn là không mới, nó được
chúng tôi tổng hợp trình bày theo một lôgic riêng, trong đó rất nhiều
kết quả trong các tài liệu được chứng minh vắn tắt hoặc không chứng
minh đã được chúng tôi chứng minh chi tiết. Luận văn được thực hiện tại
trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Kiều Phương
Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy. Tác giả
xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Khoa Toán học, Trường Đại
học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi
những hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến

đóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Nghệ An, tháng 9 năm 2013


4

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ĐỊNH LÝ
TIKHONOV-SCHAUDER

Chương này nhằm mục đích trình bày các kết quả căn bản về không
gian lồi địa phương và định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder.
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian vectơ tôpô
và giải tích hàm cần dùng về sau. Những nội dung này được tổng hợp và
trích ra từ [1].
1.1.1 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùng
với một tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng là
liên tục.
Tập con U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U với
mọi α ∈ K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại
δ > 0 sao cho αx ∈ U với mọi |α| < δ.
1.1.2 Định lý. Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận
U của 0 gồm các tập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho
V + V ⊂ U.
1.1.3 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ X được gọi là lồi
nếu với mọi x, y ∈ U , với mọi 0

λ

1, thì λx + (1 − λ)y ∈ U .


5

1.1.4 Định nghĩa. Tập con U của không gian véctơ tôpô E được gọi
là bị chặn nếu với mọi lân cận V của 0 tồn tại s > 0 tương ứng sao cho
U ⊂ tV với mọi t > s.
1.1.5 Định lý. Trong mỗi không gian véctơ:
1) Bao đóng của tập bị chặn là tập bị chặn;
2) Bội vô hướng của tập bị chặn là tập bị chặn;
3) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tập bị chặn là tập bị chặn.
1.1.6 Định nghĩa. Cho E là không gian véctơ tôpô. Tập con A ⊂ E
được gọi là hoàn toàn bị chặn hay tiền compact nếu với mỗi lân cận U
của 0 tồn tại tập con hữu hạn B sao cho A ⊂ B + U .
1.1.7 Định nghĩa. Cho E là không gian véctơ tôpô với cơ sở lân cận U
của 0. Dãy suy rộng {xi }i∈I được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi U ∈ U
tồn tại i0 ∈ I sao cho xi − xj ∈ U với mọi i, j

i0 .

Tập con A ⊂ E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy suy rộng Cauchy là
hội tụ trong A.
1.1.8 Định lý. Cho E là không gian véctơ tôpô. Tập con A của E là
compact khi và chỉ khi A đầy đủ và hoàn toàn bị chặn.
1.1.9 Định nghĩa. Cho E là không gian tuyến tính trên trường R. Hàm
. : E → R được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện
sau:
1) x

0, với mọi x ∈ E và x = 0 ⇔ x = 0;

2) λx = |λ| x , với mọi λ ∈ R và với mọi x ∈ E;
3) x + y

x + y , với mọi x, y ∈ E.

Khi đó (E, . ) được gọi là một không gian định chuẩn.
Không gian định chuẩn là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn
d(x, y) = x−y , ∀x, y ∈ E. Không gian định chuẩn E được gọi là không
gian Banach nếu E đầy đủ với mêtric sinh bởi chuẩn. Đối với tôpô sinh


6

bởi mêtric sinh bởi chuẩn các phép toán cộng và nhân vô hướng trên E
là liên tục. Do đó, mỗi không gian định chuẩn là một không gian vectơ
1
tôpô với Bn = {x ∈ E : x < }, n = 1, 2, ... là cơ sở lân cận gồm các
n
tập lồi, cân, bị chặn của E.
Sau đây ta nhắc lại một vài khái niệm quan trọng.
1.1.10 Định nghĩa. Cho ánh xạ f : X → X. Điểm x được gọi là điểm
bất động của f nếu f (x) = x.
Bây giờ, ta nhắc lại định lý điểm bất động nổi tiếng của Schauder.
1.1.11 Định lý. ([2]) Cho C là tập con đóng, lồi của không gian định
chuẩn E. Khi đó, mọi ánh xạ compact, liên tục F : C → C có ít nhất
một điểm bất động.
Tiếp theo ta trình bày khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bản của không

gian lồi địa phương và sự xác định của tôpô lồi địa phương sinh bởi họ
các nửa chuẩn. Các kết quả căn bản được tổng hợp và trích ra từ [1].
1.1.12 Định nghĩa. Không gian véctơ tôpô được gọi là lồi địa phương
nếu nó cơ sở lân cận U của 0 gồm các tập lồi.
1.1.13 Mệnh đề. Giả sử X là không gian lồi địa phương. Khi đó 0 ∈ X
có cơ sở lân cận U thoả mãn:
1) U, V ∈ U thì có W ∈ U sao cho W ⊂ U ∩ V ;
2) αU ∈ U với mọi α ∈ K, α = 0 và với mọi U ∈ U;
3) Mọi U ∈ U là lồi, cân và hút.
Hơn nữa, nếu không gian tuyến tính tôpô X có họ các tập con U thoả
mãn 1), 2) và 3) thì nó là không gian lồi địa phương.
1.1.14 Mệnh đề. Nếu không gian véctơ E có họ U gồm các tập con lồi,
cân và hút thì trên E tồn tại tôpô yếu nhất sao cho hai phép toán trên E


7

liên tục và E trở thành không gian lồi địa phương. Hơn nữa, cơ sở của 0
trong E là họ các tập
n

Vi , ε > 0, Vi ∈ U, 1

U =ε

i

n.

i=1

1.1.15 Mệnh đề. Nếu tôpô lồi địa phương τ trên X nhận U làm cơ sở
lân cận của điểm 0 ∈ X thì tôpô này là Hausdorff khi và chỉ khi
εU = 0.
U ∈U;ε>0

Sau đây ta trình bày những kết quả cốt yếu về sự xác định của tôpô
lồi địa phương thông qua họ các nửa chuẩn. Đầu tiên ta nhắc lại khái
niệm nửa chuẩn.
1.1.16 Định nghĩa. Cho X là một không gian vectơ. Hàm p xác định
trên X và nhận giá trị thực được gọi là một nửa chuẩn trên X nếu với
mọi x, y ∈ X và với mọi λ ∈ K ta có
N1 ) p(x)

0;

N2 ) p(x + y)

p(x) + p(y);

N3 ) p(λx) = |λ|p(x).
Nửa chuẩn p trên không gian vectơ X là chuẩn trên X nếu p(x) = 0
suy ra x = 0. Nếu p là một chuẩn trên X và x ∈ X thì số p(x) thường
được kí hiệu là ||x||.
1.1.17 Mệnh đề. Nếu p là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X thì
với mọi α > 0 các tập A = {x ∈ E : p(x) < α} và B = {x ∈ E : p(x)
α} là lồi, cân và hút.
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ A. Khi đó, với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
p(λx + (1 − λ)y)

p(λx) + p((1 − λ)y)
= |λ|p(x) + |1 − λ|p(y)
< λα + (1 − λ)α = α.


8

Do đó λx + (1 − λ)y ∈ A. Vậy A là tập lồi.
Với mỗi x ∈ A với mọi r ∈ K sao cho |r|
p(rx) = |r|p(x)

1 ta có

|r|α < α.

Suy ra rx ∈ A. Vậy A cân.
Với mỗi x ∈ X. Nếu p(x) = 0 thì x ∈ A. Nếu p(x) = 0 thì lấy δ =

α
.
p(x)

Khi đó, với mọi λ ∈ K sao cho |λ| < δ ta có
p(λx) = |λ|p(x) <

α
p(x) = α.
p(x)

Vì vậy λx ∈ A. Do đó A hút. Chứng minh tương tự ta có kết luận cho

B.
1.1.18 Nhận xét. Giả sử P là họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ
X. Khi đó, kết hợp các Mệnh đề 1.1.14 và Mệnh đề 1.1.17 ta có: Trên X
tồn tại một tôpô yếu nhất sao cho E không gian vectơ tôpô và các p ∈ P
liên tục. Hơn nữa, X là không gian lồi địa phương và cơ sở lân cận tại 0
là họ các tập lồi có dạng
U = {x ∈ E : sup pi (x) < ε, i = 1, 2, . . . , n},
trong đó ε > 0, pi ∈ P, n ∈ N.
1.1.19 Định nghĩa. Giả sử A là tập con lồi, hút của không gian vectơ
tôpô X. Hàm thực không âm µA : X → R+ cho bởi
µA (x) = inf{t > 0 : x ∈ tA} với mọi x ∈ X
được gọi là phiếm hàm Minkowski của tập hợp A.
1.1.20 Định lý. Nếu A là tập lồi, cân và hút của không gian vectơ tôpô
X thì µA := p là nửa chuẩn trên X. Hơn nữa
{x ∈ X : p(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X : p(x)

1}.


9

1.1.21 Nhận xét. Nếu X là không gian lồi địa phương thì X có cơ sở
lân cận các tập lồi, cân và hút. Do đó, cơ sở lân cận này tương ứng với
họ các nửa chuẩn là các phiếm hàm Minkowski tương ứng. Kết hợp với
Nhận xét 1.1.18 suy ra rằng mỗi tôpô lồi địa phương hoàn toàn được xác
định bởi một họ các nửa chuẩn và ngược lại.
1.1.22 Nhận xét. Giả sử P là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa
phương trên E. Khi đó E là Hausdorff khi và chỉ khi p(x) = 0 với mọi
p ∈ P kéo theo x = 0.
1.1.23 Định lý. Nếu E là không gian Hausdorff lồi địa phương E được

xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn thì E khả mêtric, tức là trên
E tồn tại một mêtric sinh ra tôpô trùng với tôpô lồi địa phương ban đầu
của nó.
Chứng minh. Giả sử {pn } là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa phương
trên E. Với mỗi x, y ∈ E ta đặt
∞

d(x, y) =
n=1

1 pn (x − y)
.
2n 1 + pn (x − y)

Khi đó, rõ ràng d(x, y) xác định và hơn nữa d là mêtric trên E. Ta chứng
minh tôpô sinh bởi d trùng với tôpô lồi địa phương sinh bởi {pn }.
Với ε > 0 ta xét
Bd (0, ε) = {x ∈ E : d(x, 0) < ε}
là hình cầu trong tôpô do mêtric d sinh ra. Chọn n0 đủ lớn sao cho

n>n0

ε
1
<
.
2n
2

Với U là lân cận của 0 trong tôpô lồi địa phương xác định bởi

ε
U = {x ∈ E : pi (x) < , 1
2

i

n0 }.


10

Khi đó, ta có U ∈ B(0, ε). Thật vậy, nếu x ∈ U thì
n0

d(x, 0) =
i=1
n0

<
i=1
n0

1 pi (x)
+
2i 1 + pi (x)
1
pi (x) +
2i

n>n0

n>n0

1 pn (x)
2n 1 + pn (x)

1
2n

1ε ε
+
2i 2 2
i=1
ε ε
< + .
2 2

<

Ngược lại, nếu ta lấy
V = {x ∈ R∞ : pi (x) < , i ∈ I, I hữu hạn }
là lân cận của 0 ∈ E trong tôpô sinh bởi họ {pn }. Lấy ε1 > 0 sao cho
2i ε 1

ε
, i ∈ I.
1+ε

Khi đó
Bd (0, ε1 ) ⊂ V.

Thật vậy, giả sử có x ∈ Bd (0, ε1 ) và i ∈ I sao cho
pi (x) > ε.
Khi đó

∞

ε1 >
n=1

1 pn (x)
2n 1 + pn (x)

1 ε
.
2i 1 + ε

Điều đó không xảy ra. Vậy tôpô do d sinh ra là tôpô địa phương và E là
không gian lồi địa phương với tôpô được xác định bởi họ đếm được các
nửa chuẩn.
1.1.24 Định nghĩa. Cho X là không gian lồi địa phương với với tôpô
lồi địa phương sinh bởi ho các nửa chuẩn {pα }α∈I .


11

1) Dãy {xn } ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu pα (xn − xm ) → 0 khi
m, n → ∞ với mọi α ∈ I.
2) Không gian X được gọi là đầy đủ dãy nếu mọi dãy Cauchy trong
X đều hội tụ.
1.1.25 Định nghĩa. Các không gian lồi địa phương khả mêtric gọi là

F -không gian, nếu nó đầy đủ thì gọi là không gian Frechet.
1.1.26 Ví dụ. Giả sử

R∞ := {x = {xn } : xn ∈ R, n

1}

với phép cộng và nhân vô hướng thông thường theo từng số hạng. Xét
họ Q = {pn } là họ đếm được các nửa chuẩn trên R∞ xác định bởi
Pn (x) = |xn |; x = {xn }, n = 1, 2, ...
Khi đó R∞ là không gian lồi địa phương. Do họ các nửa chuẩn là đếm
được nên R∞ còn khả mêtric
∞

d(x, y) =
n=1

1 |xn − yn |
2n 1 + |xn − yn |

với mọi x, y ∈ R∞ . Tuy nhiên, R∞ không phải là không gian bị chặn địa
phương. Thật vậy, nếu ngược lại thì nó là không gian định chuẩn. Khi
đó, tồn tại chuẩn trên R∞ sao cho tôpô sinh ra bởi chuẩn trùng với tôpô
sinh ra bởi {pn }. Xét B(0, 1) = {x ∈ R∞ : x < 1}. Khi đó, tồn tại
V = {x ∈ R∞ : pi (x) = |xi | < δ, i ∈ I}
trong đó I là tập hữu hạn sao cho V ⊂ B(0, 1). Lấy x0 = {x0n } ∈ R∞
sao cho x0n = 0 nếu n ∈ I và x0n = 0 với n ∈
/ I. Khi đó, x0 = 0 và suy ra
x0 = r > 0. Với mọi số tự nhiên k do cách xác định của x0 và V ta có
kx0 ∈ V . Do đó kx0 ∈ B(0, 1) với mọi k. Suy ra kx0 = kr < 1 với mọi

k. Ta nhận được sự mâu thuẫn.


12

1.1.27 Ví dụ. Gọi C(R) là không gian vectơ các hàm thực liên tục trên

R. Với mỗi n = 1, 2, ... đặt
pn (f ) = sup{|f (x)| : x ∈ [−n, n]},
với mọi f ∈ C(R). Khi đó, dễ dàng kiểm tra được pn là các nửa chuẩn
trên C(R). Do đó, C(R) là không gian lồi địa phương sinh bởi họ các
nửa chuẩn {pn }. Hơn nửa, C(R) là không gian Frechet với khoảng cách
∞

d(f, g) =
n=1

1 pn (f − g)
,
2n 1 + pn (f − g)

với mọi f, g ∈ C(R).
Sau đây ta nhắc khái niệm bao lồi.
1.1.28 Định nghĩa. Cho E là một không gian vectơ và A ⊂ E. Bao lồi
của A là tập lồi bé nhất chứa A.
Bao lồi của tập A được ký hiệu là convA. Rõ ràng bao lồi của A bằng
giao của tất cả các tập lồi chứa A. Hơn nữa, người ta chứng minh được
n

n

λi ai : ai ∈ A, λi > 0,

convA =
i=1

λi = 1 .
i=1

1.1.29 Mệnh đề. Trong không gian lồi địa phương:
1) Bao lồi của tập bị chặn là bị chặn.
2) Bao lồi của tập hoàn toàn bị chặn là hoàn toàn bị chặn.
3) Bao lồi của tập compact là tập compact.
1.2. Định lý Tikhonov-Schauder
Mục này nghiên cứu định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder trên
không gian lồi địa phương. Đây là sự mở rộng của định lý Schauder về
sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi compact
trong không gian định chuẩn.
Trước hết ta trình bày một kết quả bổ trợ sau:


13

1.2.1 Định lý. Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff, A là một
tập con compact của E và C là tập con lồi của E chứa A. Khi đó, nếu
U là lân cận mở của 0 thì tồn tại một ánh xạ liên tục x → PU (x) từ A
vào E thỏa mãn:
i) PU (x) ∈ L ∩ C với x ∈ A;
ii) PU (x) − x ∈ U với x ∈ A, trong đó L là một không gian con hữu
hạn chiều của E.

Chứng minh. Do E lồi địa phương nên ta có thể giả thiết U lồi và cân.
Ký hiệu
µU (x) := inf{α > 0 : x ∈ αU }
là phiếm hàm Minkowski xác định bởi U . Khi đó x → µU (x) là nửa
chuẩn liên tục trên E và
U = {x ∈ E : µU (x < 1)}.
Từ A là tập compact suy ra tồn tại {a1 , a2 , ..., an } ⊆ A sao cho
n

A⊆

U (ai ),
i=1

trong đó U (a) = U + a với a ∈ E. Ta định nghĩa các hàm µi , i = 1, 2, ...
cho bởi
µi (x) := max{0, 1 − µU (x − ai )},
với mọi x ∈ E. Từ µU liên tục trên E suy ra µi liên tục trên E
Mặt khác, với mỗi i = 1, 2, ..., n ta có
0

1 với x ∈ E,

µi (x)

với µi (x) = 0 nếu x ∈
/ U (ai ) và µi (x) > 0 nếu x ∈ U (ai ). Bây giờ, ta
đặt

n

µi (x)ai
PU (x) =

i=1
n

với x ∈ A.
µi (x)

i=1


14

Ta thấy PU xác định, bởi vì nếu x ∈ A thì x ∈ U (ai ) với i nào đó thuộc
vào {1, 2, ..., n} và vì thế
n

µi (x) = 0.
i=1

Hơn nữa PU là liên tục trên A và tập giá trị của nó nằm trong không
gian con tuyến tính L sinh bởi {ai : i = 1, 2, ..., n}. Mặt khác A ⊆ C và
C là một tập lồi nên
PU (x) ∈ C với mỗi x ∈ A
Do đó
PU (x) ∈ L ∩ C với x ∈ A.
Mặt khác
n

µi (x)(ai − x)
µU (PU (x) − x) =

i=1

với x ∈ A

n

µi (x)
i=1

và do đó
n

µi (x)µU (ai − x)
µU (PU (x) − x)

i=1

< 1 với x ∈ A,

n

µi (x)
i=1

bởi vì với mọi i = 1, 2, ..., hoặc µi (x) = 0 và µU (ai − x)

1 hoặc

µi (x) > 0 và µU (ai − x)U < 1.
Khi đó PU (x) − x ∈ U với x ∈ A. Định lý đã được chứng minh.
Bây giờ, ta trình bày định lý Tikhonov-Schauder.
1.2.2 Định lý. ([1],[2]) Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff,
C là tập con lồi của E và F : C −→ E là ánh xạ liên tục sao cho:
F (C) ⊆ A ⊆ C,


15

trong đó A là tập compact. Khi đó F có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử U là lân cận mở, lồi, cân của 0 và PU được xác định
như trong Định lý 1.2.1. Bây giờ ta định nghĩa FU bởi:
FU (x) := PU (F (x)) với x ∈ C.
Khi đó PU nhận giá trị trong không gian hữu hạn chiều L xác định
như trong chứng minh Định lý 1.2.1. Cũng từ Định lý 1.2.1 ta có nếu
x ∈ L ∩ C thì F (x) ∈ A và do vậy
FU (x) = PU (F (x)) ⊆ L ∩ C.
Suy ra
FU (L ∩ C) ⊆ PU (A) ⊆ L ∩ C.

(1.1)

Giả sử K là bao lồi của tập compact PU (A) trong L. Chú ý rằng K
cũng là tập compact.Từ (1.1) và PU (A) ⊆ K ⊆ L ∩ C suy ra
FU (K ) ⊆ K .

áp dụng định lý điểm bất động của Brouwer suy ra tồn tại x ∈ K với x =

FU (x). Suy ra
x − F (x) ∈ U,

(1.2)

do x = FU (x) là tương đương với x = PU (F (x)). Do đó theo định lý
1.2.1 ta có
PU (F (x)) − F (x) ∈ U.
Như vậy, với bất kỳ lân cận mở U của 0, tồn tại ít nhất điểm x ∈
K ⊆ C sao cho (1.2) thỏa mãn.
Bây giờ, ta giả sử rằng: x = F (x) với mọi x ∈ C. Do tính liên tục
của F và E là không gian Hausdorff nên sẽ tồn tại hai lân cận mở Vx và
Wx của 0 thỏa mãn
F (C ∩ Vx (x)) ⊆ Wx (F (x))

(1.3)


16

và
F (C ∩ Vx (x)) ∩ Wx (F (x)) = ∅.
Giả sử Ux là một lân cận mở của 0 sao cho
2Ux ⊆ Vx ∩ Wx .
Do A compact nên tồn tại một tập hữu hạn {ai : i = 1, ..., n} ⊆ A với
n

A⊆

Uαi (αi ).

i=1

Ta khẳng định rằng với bất kỳ x ∈ C,tồn tại j ∈ {1, ..., n} sao cho
x − F (x) ⊆ Uαj

(1.4)

không thể xẩy ra. Thật vậy, cố định x ∈ C. Vì y = F (x) ∈ A nên tồn tại
j ∈ {1, ..., n} với y ∈ Uαj (αj ). Ta có y = u + aj với u nào đó thuộc Uαj .
Do đó nếu ω ∈ Uαj (y) thì tồn tại ω ∈ Uαj với
z = ω + y = ω + u + aj ,
và vì vậy
z ∈ 2Uαj + aj ⊆ Vαj (αj ).
Ta thu được
Uαj (y) ⊆ Vαj (αj ).

(1.5)

Giả sử rằng khẳng định (1.4) không đúng. Khi đó với bất kỳ x ∈ C ta
có x ∈ Vαj (y); với y = F (x) và từ (1.5) ta thấy rằng x ∈ Vαj (αj ). Mặt
khác, từ (1.3)ta có
y = F (x) ∈ Wαj (F (aj )).
Tuy nhiên, từ y ∈ Wαj (F (aj )) và (1.3) suy ra y ∈
/ Vαj (αj ). Điều này mâu
thuẫn với (1.5). Do đó với bất kỳ x ∈ C,tồn tại j ∈ {1, ..., n} sao cho
x − F (x) ⊆ Uαj

(1.6)

17

không thể xẩy ra. Chọn U sao cho
n

U⊆

Uαi .
i=1

Từ khẳng định trên ta nhận được
x − F (x) ∈
/ U với mọix ∈ C.
Ta nhận được sự mâu thuẫn với (1.2). Do đó, tồn tại x ∈ C với x =
F (x).


18

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO
SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Chương này trình bày các định lý điểm bất động đối với một số lớp
ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng trong
chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình vi phân.
2.1. Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co suy
rộng trên không gian lồi địa phương
Mục này nghiên cứu một số định lý điểm bất động của các ánh xạ co
suy rộng trong không gian lồi địa phương.

Trong cả mục này, ta xét không gian lồi địa phương, Hausdorff E với
tôpô lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn P = {pi : i ∈ I}.
2.1.1 Định lý. ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và
f là ánh xạ từ I vào I. Giả sử M là tập con đóng trong E và T là ánh
xạ từ M vào M thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với mỗi i ∈ I, tồn tại q(i)
pi (T x − T y)

0 sao cho với mọi x, y ∈ M ta có
q(i)pf (i) (x − y);

2) Tồn tại x0 ∈ M sao cho với mọi i ∈ I, chuỗi
∞

n−2

q[f k (i)] pf n−1 (i) (T x0 − x0 )
n=1

k=0

hội tụ và có tổng ký hiệu là S(i), trong đó q[f −1 (i)] = 1, q[f 0 (i)] = q(i),
f n (i) = f [f n−1 (i)].


19

Khi đó, T có duy nhất điểm bất động x ∈ M thỏa mãn
n−2

q[f k (i)]pf n−1 (i) (x − x0 )

lim

n→∞

=0

k=0

với mọi i ∈ I và

S(i) − Sk (i)

pf k (i) (x − x0 )

n−1

(2.1)

q[f r (i)]
r=0

với mọi i ∈ I và k = 0, 1, . . ., trong đó Sk (i) là tổng riêng của chuỗi S(i).
Chứng minh. Với x0 xác định như trong giả thiết định lý, ta xét dãy
{xn } ⊂ M theo cách xn = T xn−1 , n = 1, 2, . . .. Khi đó, với mỗi i ∈ I ta
có

pi (x2 − x1 )

q(i)pf (i) (x1 − x0 )

pi (x3 − x2 )

q(i)q[f (i)]pf 2 (i) (x1 − x0 )

····································
····································
n−1

q[f r (i)] pf (n+1) (i) (x1 − x0 )

pi (xn+1 − xn )
r=0

····································
Suy ra
n

pi (T x0 − x0 ) + q(i)pf (i) (T x0 − x0 ) + · · · +

pi (dr )
r=1

(2.2)

n−2

q[f r (i)] pf n−1 (i) (T x0 − x0 ),

+
r=0

n

trong đó dn = xn − xn−1 . Đặt yn =

dr . Ta có
r=1

n+r

n+k−1

q[f j (i)] pf k−1 (i) (T x0 − x0 ).

pi (yn+r − yn )
k=n+1

j=0


20
∞

n−2

n=1

r=0

Vì chuỗi

q[f r (i)] pf n−1 (i) (T x0 −x0 ) hội tụ nên pi (yn+r −yn ) → 0

khi n → ∞ với mọi r. Do đó, (yn ) là dãy Cauchy trong không gian đầy đủ
n

dãy E và vì thế {yn } hội tụ tới y trong E. Từ xn = x0 +

dr = x0 + yn
r=1

suy ra (xn ) hội tụ trong E. Vì (xn ) ⊂ M và M đóng nên x = lim xn =
n→∞

lim T n x0 ∈ M. Với mọi i ∈ I ta có

n→∞

pi (T x − T xn )

pf (i) p(x − xn ) → 0

khi n → ∞. Suy ra xn+1 = T xn → T x khi n → ∞. Vì E là Hausdorff
nên x = T x.
Bây giờ, ta sẽ chứng tỏ rằng:
n−2

q[f k (i)] pf n−1 (i) (x − x0 ) = 0.

lim

n→∞

k=0

Với mọi k, n ∈ N ta có
pf k (i) (xn − x0 )

pf k (i) (xn − xn−1 ) + pf k (i) (xn−1 − xn−2 ) + · · · +
+ pf k (i) (x1 − x0 )
n−2

q[f r (f k (i))] pf n+k−1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · +
r=0
k

+ q[f (i)]f k+1 (i) (T x0 − x0 ) + pf k (i) (T x0 − x0 )

(2.3)

n−2

q[f r+k (i)] × pf n+k−1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · +

=
r=0

+ pf k (i) (T x0 − x0 ).

Vì

k−1

q[f r (i)] pf k (i) (T x0 − x0 )+

S(i) − Sk (i) =
r=0
k

(2.4)
q[f r (i)] pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · ·

+
r=0


21
k−1

q[f r (i)] × [pf k (i) (T x0 − x0 ) + qf k (i) pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · ] =

=
r=0

k−1

q[f r (i)] Ak (i),

=

r=0

trong đó A(i) = pf k (i) (T x0 − x0 ) + qf k (i) pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · Từ
(2.3) ta có pf k (i) (xn − x0 )

Ak (i). Do đó, từ (2.4) và cho n → ∞ ta thu

được:
pf k (i) (x − x0 )

S(i) − Sk (i)
k−1

.

q[f r (i)]
r=0
n−1

Cũng từ (2.4) cho k → ∞ ta nhận được lim

n→∞

q[f r (i)] pf n (i) (x −

r=0

x0 ) = 0.
Cuối cùng ta sẽ chứng minh tính duy nhất điểm bất động thỏa mãn
điều kiện (2.1). Giả sử ngược lại x, y là 2 nghiệm của phương trình

T x = x. Khi đó,
pi (x − y) = pi (T x − T y)

q(i)pf (i) (x − y)

n

q[f r (i)] pf n+1 (i) (x − y)
r=0
n

q[f r (i)] [pf n+1 (i) (x − x0 ) + pf n+1 (i) (y − x0 )]
r=0

và khi n → ∞ ta thu được pi (x − y) = 0 với mọi i ∈ I. Suy ra x = y
Ta nhận được hệ quả sau:
2.1.2 Hệ quả. ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và
f là ánh xạ từ I vào I. Giả sử M là tập con đóng trong E và T là ánh
xạ từ M vào M thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Với mọi i ∈ I tồn tại q(i)
pi (T x − T y)

0 sao cho:

q(i)pf (i) (x − y) ∀x, y ∈ M


22

2) Với mọi i ∈ I tồn tại n(i) ∈ N sao cho với mọi n

n(i), q[f n (i)]

q(i) < 1
3) Tồn tại x0 ∈ M sao cho pf n (i) (x0 − T x0 )
i ∈ I và n

m(i) < ∞, với mọi

0.

Khi đó, phương trình x = T x có duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện:
4) pf n (i) (x − x0 )

p(i, x) < ∞ với n

0.

Chứng minh. Vì
∞

∞

n−1

n−1

k

q[f k (i)] m(i).

q[f (i)] pf n (i) (T x0 − x0 )
n=0

n=0

k=0
∞

n−1

an (i), trong đó an (i) =

Xét chuỗi số
n=0

k=0

q[f k (i)]. Ta có

k=0
n

an+1 (i)
=
an (i)

q[f n (i)]

k=0

n−1

= q[f n (i)]

q(i) < 1,

q[f k (i)]
k=0
∞

an (i) hội tụ. Do đó, áp

và vì thế áp dụng dấu hiệu D’Alambert’s thì
n=0

dụng Định lý 2.1.1 ta nhận được điều cần chứng minh.
2.1.3 Định lý. ([3]) Cho G là tập con lồi, đóng của không gian tôpô lồi
địa phương Hausdorff E và S, T là hai ánh xạ từ G vào E thỏa mãn các
điều kiện
1. Với mọi x, y ∈ G, T x + Sy ∈ G
2. a) Với mọi i ∈ I tồn tại q(i)

0 sao cho pi (T x−T y)

q(i)pf (i) (x−

y) với mọi x, y ∈ G
b) Với mọi i ∈ I và n ∈ N tồn tại an (i)
mọi x ∈ E, n

0 và g(i) ∈ I sao cho với

N thì bất đẳng thức sau đúng pf n (i) (x)

∞

n−2

n=0

k=0

c) Chuỗi

q[f k (i)] an−1 (i) là hội tụ

an (i)pg(i) (x).


23

3. Ánh xạ S là liên tục và S(G) là tập compact tương đối.
Khi đó, tồn tại một điểm x0 ∈ G sao cho Sx0 + T x0 = x0 .
Chứng minh. Với mỗi x ∈ G cố định, ta xét ánh xạ y → T y + Sx. Từ
điều kiện 2) của định lý ta dễ dàng suy ra ánh xạ y → T y + Sx thỏa
mãn tất cả các điều kiện của Định lý 2.1.1, và do đó tồn tại duy nhất
Rx ∈ G sao cho Rx = T Rx + Sx. Sử dụng bất đẳng thức
∞

pi (Rx − Rx0 )

n−2

q[f k (i)] an−1 (i)

pg(i) (Sx − Sx0 )
n=1

k=1

và điều kiện 3) của định lý ta dễ dàng chỉ ra rằng ánh xạ R là liên
tục và tập R(G) là compact. Do đó, áp dụng định lý điểm bất động
của Tikhonov và Schauder ta có tồn tại z ∈ G sao cho Rz = z, tức là
z = T z + Sz.
Định lý sau đây là cũng là một hệ quả của Định lý 2.1.1, nó khẳng
định tính liên tục theo tham số của điểm bất động của các ánh xạ phụ
thuộc tham số.
2.1.4 Định lý. ([3]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và
f là ánh xạ từ I vào I. Giả sử M là tập con đóng trong E. Giả sử Λ
là một không gian tôpô và Φ là một ánh xạ từ M × Λ vào M . Hơn nữa,
giả sử rằng φx : λ → φ(x, λ) là liên tục theo biến λ, với mỗi x ∈ M và
φλ : x → φ(x, λ) thỏa mãn các điều kiện sau:
1. Với mọi i ∈ I và λ ∈ Λ, tồn tại fλ : I → I và qλ
pi (φλ x − φλ y)

qλ (i)pfλ (i) (x − y) ∀x, y ∈ M

2. Với mọi i ∈ I và n ∈ N , tồn tại an (i)

0 Qn (i)

sao cho:
a) pfλn (i) (x)
b) q[fλn (i)]

0 sao cho:

an (i)pg(i) (x) với mọi λ ∈ Λ và x ∈ M
Qn (i) với mọi λ ∈ Λ

0 và g(i) ∈ I


24
∞

n−2

n=1

k=0

Qk (i) an−1 (i) hội tụ.

c) Chuỗi

Khi đó nghiệm x(λ) của phương trình x(λ) = Φ[x(λ), λ] là liên tục
theo biến λ ∈ Λ.
Chứng minh. Từ các điều kiện a) của định lý, với mỗi λ ∈ Λ ánh xạ
Φλ : M → M xác định bởi Φλ (x) = Φ(x, λ) thỏa mãn các điều kiện

của Định lý 2.1.1. Do đó, tồn tại duy nhất x(λ) ∈ M sao cho x(λ) =
Φ[x(λ), λ], λ ∈ Λ và x(λ) là giới hạn của dãy {xn,λ } ⊂ M xác định bởi
xn,λ = Φ[xn−1,λ , λ]. Hơn nữa, từ điều kiện c) của định lý, không mất tính
tổng quát với phần tử {x0,λ ∈ M }. Nếu tiếp tục áp dụng Định lý 2.1.1
đối với T là ánh xạ Φλ ta thu được từ (2.1) bất đẳng thức
pi (x − x0 ) = pi (x(λ) − x(λ0 ))
∞

pg(i) (Φλ [x(λ0 )] − Φλ0 [x(λ0 )])×

n−2

q[fλk (i)] an−1 (i)

×
n=1

pg(i) (Φλ [x(λ0 )] − Φλ0 [x(λ0 )])×

k=0
∞

n−2

×

Qk (i) an−1 (i).
n=1

k=0

Vì ánh xạ λ → Φ(x, λ) liên tục nên tồn tại một lân cận V (λ0 ) ⊂ Λ sao
cho:
∞

pg(i) (Φλ [x(λ0 ), λ] − Φλ0 [x(λ0 ), λ0 ])

ε

−1

Qk (i) an−1 (i)
n=1

và suy ra pi (x(λ) − x(λ0 ))

n−2

k=0

ε với mọi λ ∈ V (λ0 ). Do đó, x(λ) liên

tục.
2.1.5 Định lý. ([5]) Cho E là không gian lồi địa phương đầy đủ dãy và
M là tập con đóng trong E. T là ánh xạ từ M vào E
1) Với mọi (α, i) ∈ I × {1; 2; . . . ; k} tồn tại q(α, i)
ϕi : I → I thỏa mãn bất đẳng thức:
k

pα (T x − T y)

q(α, i)pϕi (α) (x − y)
i=1

0 và ánh xạ


25

với mọi x, y ∈ M.
2) Tồn tại x0 ∈ M sao cho
n−1

R = sup lim

p(α, n, x0 )

α∈I n∈N

i=0

1
Q(α, i) < .
k

Khi đó, tồn tại ít nhất một nghiệm x∗ của phương trình T x = x và x∗
thỏa mãn các tính chất
n−1

lim k

n→∞

n

∗

max

i1 i2 ...in ∈V (n,k)

{pϕi1 ϕi2 ...ϕin (α) (x − x0 )}

Q(α, i) = 0

(2.5)

i=0

với mọi α ∈ I và
pα (x∗ − T m x0 )

S(α, x0 ) − Sm (α, x0 )

(2.6)

với mọi m = 1, 2, . . . , α ∈ I. Hơn nữa, với mọi nghiệm x∗ của phương
trình T x = x thỏa mãn điều kiện (2.5) thì x∗ = lim T m x0 .
m→∞

Trong đó ta dùng các ký hiệu sau: P (α, 0, x) = pα (T x − x);
P (α, n, x) =
Q(α, n) =

max

i1 i2 ...in ∈V (n,k)

max

{pϕi1 ϕi2 ...ϕin (α) (x − T x)}, n = 1, 2, . . . ;

{q(ϕi1 ϕi2 . . . ϕin (α)i , i)}, n = 1, 2, . . . ;

i1 i2 ...in ∈V (n,k)

Q(α, 0) =

max q(α, i), n = 1, 2, . . . ;

i=1,2,...,k
∞

n−2

S(α, x) = P (α; 0; x) +

k

n−1

p(α, n − 1, x)

n=2

Q(α, i);
i=0

và Sm (α, x) là tổng riêng thứ m của chuỗi S(α, x)
Chứng minh. Đầu tiên, ta sẽ chứng tỏ rằng: Với mọi n ∈ N và ∀x, y ∈ M
ta có bất đẳng thức sau

pα (T n x − T n y)

q(α, in )q(ϕin (α); in−1 )q(ϕin−1 ϕin (α),
i1 i2 ...in ∈V (n,k)