Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric nón và không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1 Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric
nón

4

1.1. Không gian tựa mêtric nón

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa
mêtric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric
nón có thứ tự bộ phận

22

2.1. Thứ tự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2. Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric nón có thứ
tự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Kết luận

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tài liệu tham khảo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động là một trong những chủ đề được quan tâm
nghiên cứu trong giải tích, có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết tối
ưu, lý thuyết trò chơi, bao hàm thức vi phân và trong nhiều ngành kỹ thuật
khác. Định lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric đầy
đủ của Banach đã được mở rộng cho nhiều kiểu ánh xạ trên nhiều không
gian khác nhau. Một trong những mở rộng đó là giảm bớt điều kiện trong
định nghĩa mêtric, từ đó thu được các lớp không gian rộng hơn lớp các không
gian mêtric. Sau đó, người ta nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ trên các không gian mới nhận được.
Năm 2007, Huang Long - Giang và Zhang Xian đã mở rộng khái niệm
không gian mêtric nón bằng cách thay tập hợp số thực bởi một nón định
hướng trong không gian Banach. Trong [3], đã giới thiệu khái niệm không
gian tựa mêtric nón và đưa ra một số kết quả về điểm bất động của các ánh
xạ trong không gian tựa mêtric nón.
Vấn đề về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trong các không gian

mêtric và mêtric nón có thứ tự bộ phận cũng được quan tâm nghiên cứu và
thu được nhiều kết quả ([5], [6]).
Mục đích của chúng tôi là nghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động của
các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón và không gian tựa mêtric nón
có thứ tự bộ phận. Xem xét một số kết quả tương tự về sự tồn tại điểm bất
động trong không gian mêtric còn đúng cho không gian tựa mêtric nữa hay


3

không. Với mục đích đó luận văn của chúng tôi được trình bày thành hai
chương.
Chương 1 trình bày khái niệm, tính chất của không gian tựa mêtric nón
và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric
nón.
Chương 2 trình bày một số khái niệm cơ bản về thứ tự bộ phận, tập bị
chặn, cận trên, cận dưới và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của
các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc của mình đến thầy. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong
Khoa Toán học, Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ
tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng
nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 19 Giải tích đã cộng
tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 9 năm 2013
Tác giả

4

CHƯƠNG 1
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
TỰA MÊTRIC NÓN

Chương này trình bày khái niệm, tính chất của không gian tựa mêtric
nón và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa
mêtric nón.
1.1. Không gian tựa mêtric nón

Mục này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của không gian
tựa mêtric nón.
Đầu tiên, chúng ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản về không
gian tôpô, ánh xạ liên tục, không gian Banach làm cơ sở cho việc trình bày
về sau.
1.1.1 Định nghĩa. ([2]) Cho tập hợp X. Họ τ các tập con của X được gọi
là tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
T1 ) ∅, X ∈ τ ;
T2 ) Nếu Gi ∈ τ với mọi i ∈ I thì

Gi ∈ τ ;
i∈I

T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ.

Tập X cùng với tôpô τ trên nó được gọi là không gian tôpô và ký hiệu
là (X, τ ) hay đơn giản X.

5

Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc τ được gọi là tập mở .
Giả sử E ⊂ X. Tập E được gọi là tập đóng nếu X\E là tập mở.
1.1.2 Định nghĩa. ([2]) Cho không gian tôpô X, tập con A của X được gọi
là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊆ A.
Cho không gian tôpô X, x ∈ X, U(x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ
B(x) ⊂ U(x) được gọi là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ B(x) tồn tại
V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U.

1.1.3 Định nghĩa. ([2]) Dãy {xn } trong không gian tôpô X được gọi là
hội tụ tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn ∈ U với mọi n

n0 .

Khi đó, ta viết xn → x hoặc lim xn = x.
n→∞

1.1.4 Định nghĩa. ([2]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề
đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x ∈ X có một cơ sở lân cận B(x) có
lực lượng đếm được.
Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian hay là không gian Hausdorff
nếu hai điểm bất kỳ x, y ∈ X, x = y tồn tại các lân cận Ux và Uy của x và
y tương ứng sao cho Ux ∩ Uy = ∅.

Nếu X là không gian Hausdorff thì mỗi dãy trong X mà hội tụ thì hội tụ

tới một điểm duy nhất.
1.1.5 Định nghĩa. ([2]) Giả sử X, Y là hai không gian tôpô và f : X → Y.

ánh xạ f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận V của f (x),
tồn tại lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V. ánh xạ f được gọi là liên tục
trên X (nói gọn hơn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X.


6

1.1.6 Định lý. ([2]) Giả sử X và Y là các không gian tôpô, f : X → Y.
Khi đó các điều kiện sau tương đương
1) f liên tục trên X;
2) Nếu E là tập mở trong Y thì f −1 (E) mở trong X;
3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f −1 (E) đóng trong X.
1.1.7 Định nghĩa. ([2]) Giả sử X là một tập khác rỗng và d : X ×X → R.
Hàm d được gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y ;

i) d(x, y)

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;
iii) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với một mêtric trên nó được gọi là không gian mêtric và ký
hiệu là (X, d) hoặc X .
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử X là một tập khác rỗng và d : X × X → R.
Hàm d được gọi là một tựa mêtric trên X nếu thỏa mãn

i) d(x, y)

0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;

ii) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X.

Tập X cùng với một tựa mêtric trên nó được gọi là không gian tựa mêtric
và ký hiệu là (X, d) hoặc X .
1.1.9 Định nghĩa. ([1]) Giả sử E là không gian véc tơ trên trường K = R
hoặc K = C. Hàm p : E → R thỏa mãn các điều kiện
i) p(x)

0, ∀x ∈ E và p(x) = 0 ⇔ x = 0;

ii) p(xλ) = |λ|p(x), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K;
iii) p(x + y)

p(x) + p(y) ∀x, y ∈ E .

p được gọi là một chuẩn trên không gian véc tơ E . Số p(x) được gọi là

chuẩn của véc tơ x ∈ E . Ta thường ký hiệu chuẩn của x là x . Không gian
véc tơ E cùng với một chuẩn trên nó được gọi là một không gian định chuẩn.


7

1.1.10 Mệnh đề. ([1]) Nếu E là không gian định chuẩn thì công thức

d(x, y) = x − y

∀x, y ∈ E,

xác định một mêtric trên E . Ta gọi mêtric này là mêtric sinh bởi chuẩn
hay mêtric chuẩn.
1.1.11 Định nghĩa. ([1]) Một không gian định chuẩn và là không gian
mêtric đầy đủ theo mêtric sinh bởi chuẩn thì gọi là một không gian Banach.
1.1.12 Định lý. ([1]) Nếu E là không gian định chuẩn thì
ánh xạ chuẩn: x → x , ∀x ∈ E;
phép cộng: (x, y) → x + y, ∀(x, y) ∈ E × E
và phép nhân với vô hướng: (λ, x) → λx, ∀(λ, x) ∈ K × E là các ánh xạ
liên tục.
1.1.13 Định lý. ([1]) Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó, với
mỗi a ∈ E và mỗi λ ∈ K, λ = 0 các ánh xạ
x → x + a, x → λx với mọi x ∈ E

là các phép đồng phôi E lên E.
1.1.14 Định nghĩa. ([5]) Cho E là không gian Banach trên trường số
thực R. Tập con P của E được gọi là một nón nếu thỏa mãn các điều
kiện sau
i) P là một tập đóng khác rỗng và P = {0};
ii) Với mọi x, y ∈ P, mọi a, b ∈ R, a, b

0 ta có ax + by ∈ P ;

iii) Nếu x ∈ P và −x ∈ P thì x = 0.
1.1.15 Ví dụ. ([5]) 1) Trong không gian các số thực R với chuẩn thông
thường, tập P = {x ∈ R : x

0} là một nón.


8

2) Giả sử E = R2 , P = {(x, y) ∈ E : x, y

0} ⊂ R2 . Khi đó, P thỏa

mãn ba điều kiện:
i) P là tập đóng, P = ∅, P = {0};
ii) Với mọi (x, y), (u, v) ∈ P và mọi a, b ∈ R, a, b

0 ta có a(x, y) +

b(u, v) ∈ P ;

iii) Nếu (x, y) ∈ P và (−x, −y) ∈ P thì (x, y) = (0, 0).
Vậy P là một nón trên E .
Cho P là một nón trong không gian Banach E. Khi đó, trên E xét một
quan hệ thứ tự

xác định bởi P như sau: x

Chúng ta quy ước x < y nếu x

y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P.

y và x = y và quy ước x

y nếu

y − x ∈ intP với intP là phần trong của P .

1.1.16 Định nghĩa. ([5]) Cho P là một nón trong không gian Banach E.
1) Nón P được gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho
với mọi x, y ∈ E và 0

x

y ta có x

K y . Số thực K nhỏ nhất thỏa

mãn điều kiện này gọi là hằng số chuẩn tắc của P .
2) Nón P được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên
trong E đều hội tụ. Nghĩa là, nếu {xn } là dãy trong E sao cho
x1

x2

...

xn

...

y với y ∈ E

thì tồn tại x ∈ E sao cho xn − x → 0 khi n → ∞.

Định lý sau nói về mỗi quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc.
1.1.17 Định lý. ([5]) Mọi nón chính quy trong không gian Banach là
nón chuẩn tắc.
1.1.18 Định nghĩa. Giả sử X là một tập khác rỗng và d : X × X → E .
1) Hàm d được gọi là tựa mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều
kiện sau


9

i) d(x, y)

0 với mọi x, y ∈ X ;

ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;
iii) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với tựa mêtric nón d trên X được gọi là không gian tựa
mêtric nón và được ký hiệu là (X, d) hoặc X.
2) Hàm d được gọi là mêtric nón trên X nếu thỏa mãn các điều kiện
sau
i) d(x, y)

0 với mọi x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇔ x = y ;

ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;
iii) d(x, y)

d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với mêtric nón d trên X được gọi là không gian mêtric nón
và được ký hiệu là (X, d) hoặc X.
1.1.19 Ví dụ. 1) Mọi tựa mêtric là tựa mêtric nón, mọi không gian tựa
mêtric là không gian tựa mêtric nón.
2) Mọi không gian mêtric nón là tựa mêtric nón.
3) Giả sử P = {f ∈ C[0,1] : f (x)

0 ∀x ∈ [0, 1]}. Khi đó, P là nón

trong không gian Banach C[0,1] với chuẩn sup. Lấy f0 ∈ P, f0 = 0 và xác
định hàm d : R × R → C[0,1] bởi công thức

f0 nếu x < y
d(x, y) = 2f0 nếu y < x

0
nếu x = y
Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được d là tựa mêtric nón trên R. Nếu x < y thì
d(x, y) = d(y, x). Do đó d không là mêtric nón trên R.

Từ đây về sau, khi nói tới không gian tựa mêtric nón nếu không giải thích
gì thêm thì ta luôn hiểu tựa mêtric nón d nhận giá trị trong nón P.


10

1.1.20 Bổ đề. ([5]) Giả sử P nón trong không gian Banach E; a, b, c ∈ E
và α là số thực dương. Khi đó

i) Nếu a

b và b

c thì a

c;

ii) Nếu a

b và b

c thì a

c;

iii) Nếu a

b, c

d thì a + c

b + d;

iv) αintP ⊂ intP ;
v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP tồn tại 0 < γ < 1 sao cho γx < δ;
vi) Với mỗi c1 ∈ intP và c2 ∈ P, ∃ d ∈ intP sao cho c1
vii) Với mỗi c1 ; c2 ∈ intP tồn tại e ∈ intP sao cho e
viii) Nếu a ∈ P và a

d, c2
c1 và e

d;
c2 ;

x với mọi x ∈ intP thì a = 0;

ix) Nếu E là không gian Banach thực với nón P, nếu a

λa với a ∈ P,

0 < λ < 1 thì a = 0;

x) Nếu 0

xn

yn ∀ n ∈ N, lim xn = x, lim yn = y thì 0
n→∞

n→∞

x

y.

Chứng minh. i) Vì phép cộng liên tục nên intP + intP ⊂ intP. Nếu a
và b

b

c thì b − a ∈ intP và c − b ∈ intP, suy ra c − a = c − b + b − a ∈

intP + intP ⊂ intP. Vậy a

c.
(x + intP ) là tập mở và P là nón suy

ii) Dễ thấy rằng intP + P =
x∈P

ra x + intP ⊂ P. Do đó P + intP ⊂ intP. Nếu a

c thì b − a ∈ P

b và b

và c − b ∈ intP, suy ra c − a = c − b + b − a ∈ intP + P ⊂ intP. Vậy a
iii) Ta có a

b, c

c.

d nên b − a ∈ intP và d − c ∈ intP suy ra b − a +

c − d ∈ intP hay (b + d) − (a + c) ∈ intP do đó a + c

b + d.

iv) Vì phép nhân vô hướng liên tục nên αintP ⊂ intP.
v) Với mỗi δ > 0 và x ∈ intP chọn số tự nhiên n > 1 sao cho
Khi đó, với γ =

δ
n x

thỏa mãn: 0 < γ < 1 và
γx

γ

x

δ
n x

x

δ
< δ.
n

δ
n x

< 1.

11

vi) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ) ⊂ intP, trong đó B(0, δ) = {x ∈
E : x < δ}. Do tính hút của B(0, δ) tồn tại m > 1 sao cho c2 ∈ mB(0, δ)

suy ra −c2 ∈ B(0, δ) và mc1 − c2 ∈ intP. Đặt d = mc1 − c2 . Khi đó, d thỏa
mãn vi).
vii) Chọn δ > 0 sao cho c1 + B(0, δ ) ⊂ intP, c2 + B(0, δ ) ⊂ intP, trong
đó B(0, δ ) = {x ∈ E : x < δ }. Do tính hút của B(0, δ ) tồn tại m > 0 sao
cho c1 ∈ mB(0, δ ), c2 ∈ mB(0, δ ) suy ra −c1 ∈ mB(0, δ ), −c2 ∈ B(0, δ )
và mc1 − c1 ∈ intP, mc2 − c2 ∈ intP. Đặt e = mc1 − c1 + mc2 − c2 . Khi đó,
e thỏa mãn vii).
x
n

viii) Giả sử x ∈ intP. Từ giả thiết suy ra a
đó

x
n

x
n −a

x
n

− a ∈ P với mọi n = 1, 2, ... Vì

=

x
n

với mọi n = 1, 2, ... do

→ 0 nên

x
n

→ 0, do đó

→ −a. Mặt khác, vì dãy { nx − a} ⊂ P và P đóng trong E nên −a ∈ P.

Như vậy, a và − a ∈ P . Vì P là nón nên a = 0.
ix) Vì a

λa ⇒ λa−a ∈ P hay (λ−1)a ∈ P. Do 0 < λ < 1 ⇒ 1−λ > 0.

Từ đó suy ra −a =

1
1−λ a

∈ P hay − a ∈ P. Như vậy, a và − a ∈ P . Vì P

là nón nên a = 0.
x) Ta có xn

yn suy ra xn − yn ∈ P. Do P đóng nên lim (yn − xn ) ∈ P.
n→∞

Mặt khác, lim xn = x, lim yn = y nên lim (yn − xn ) = y − x. Từ đó suy
n→∞

n→∞

ra y − x ∈ P do đó x
được từ 0

xn suy ra 0

n→∞

y. Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh
x. Vậy 0

x

y.

1.1.21 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric nón, a ∈
X và c ∈ intP. Đặt
B(a, c) = {x ∈ X : d(a, x)

c}

và gọi B(a, c) là hình cầu mở tâm a, bán kính c. Đặt
J = {G ⊂ X : ∀ ∈ G, ∃c ∈ intP : B(x, c) ⊂ G}.

12

1.1.22 Mệnh đề. Nếu (X, d) là không gian tựa mêtric nón thì
1) J là một tôpô trên X;
2) B(x, c) ∈ J với mọi x ∈ X, với mọi c ∈ intP ;
3) (X, J ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh. 1) Hiễn nhiên ∅ và X ∈ J .
Giả sử Gα ∈ J với mọi α ∈ I. Khi đó, với mọi x ∈

Gα ắt tồn tại α0 ∈ I
α∈I

sao cho α ∈ Gα0 ∈ J nên tồn tại B(x, c) ⊂ Gα0 ⊂

Gα ∈ J .

Gα . Do đó
α∈I

α∈I

Giả sử G, H ∈ J . Khi đó, với mỗi x ∈ G ∩ H ta có x ∈ G và x ∈ H.
Do đó tồn tại c1 , c2 ∈ intP sao cho B(x, c1 ) ⊂ G và B(x, c2 ) ⊂ H. Theo
Bổ đề 1.1.20 vi) tồn tại c ∈ intP sao cho c

c1 và c

c2 . Từ đó suy ra

B(x, c) ⊂ G ∩ H. Do đó G ∩ H ∈ J .

Vậy J là một tôpô trên X.
2) Giả sử x ∈ X, c ∈ intP và a ∈ B(x, c). Khi đó, d(x, a)
δ := c − d(x − a) ∈ intP. Với mỗi y ∈ B(a, δ) ta có d(a, y)

c. Do đó

δ. Do đó theo

Định nghĩa 1.1.18 và Bổ đề 1.1.20 iii) và iv) ta có
d(x, y)

d(x, a) + d(a, y)

c,

tức là y ∈ B(x, c). Từ đó suy ra B(a, δ) ⊂ B(x, c). Như vậy B(x, c) ∈ J .
3) Giả sử x ∈ X. Ta cần chứng minh tại x có một cơ sở lân cận đếm
được. Lấy c ∈ intP và đặt
c
U = {B(x, ) : n = 1, 2, ...}.
n

Hiển nhiên U ∈ J . Giả sử V là một lân cận bất kỳ của x. Khi đó, tồn tại
y ∈ intP sao cho B(x, y) ⊂ V. Vì y ∈ intP nên tồn tại ε > 0 sao cho


13

BE (y, ε) ⊂ P, ở đây BE (y, ε) là hình cầu mở trong E với tâm y bán kính ε.

Lấy n ∈ N sao cho n >

c
ε

. Ta có
c
c
y − (y − ) =
< ε,
n
n

tức là y− nc ∈ BE (y, ε) ⊂ P. Vì BE (y, ε) là tập mở trong E nên y− nc ∈ intP.
Do đó

c
n

y. Từ đó suy ra
c
B(x, ) ⊂ B(x, y) ⊂ V.
n

Như vậy U là cơ sở lân cận tại x (đối với tôpô J ). Hiển nhiên U đếm được.
Vậy (X, J ) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chú ý. Từ đây về sau, nếu không giải thích gì thêm thì tôpô trên không

gian tựa mêtric nón được hiểu là tôpô J . Như vậy, các tập hợp B(x, c) là
tập mở trong không gian tựa mêtric nón (X, d).
1.1.23 Bổ đề. Giả sử P là nón trong không gian Banach E và {xn } là
dãy trong P . Khi đó, nếu xn → 0 thì với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N
sao cho xn

c với mọi n

n0 . Nếu P là nón chuẩn tắc thì điều ngược

lại cũng đúng.
Chứng minh. Giả sử {xn } là dãy trong P và xn → 0. Với mọi c ∈ intP,
vì intP là tập mở nên tồn tại δ > 0 sao cho c + BE (0, δ) ⊂ intP. Do đó,
nếu x ∈ E mà x < δ thì c − x ∈ intP. Với δ > 0 xác định được như trên
tồn tại n0 ∈ N sao cho
xn < δ, ∀n > n0 .

Suy ra c − xn ∈ intP với mọi n > n0 . Do đó xn

c với mọi n

n0 .

Ngược lại, giả sử với mỗi c ∈ intP tồn tại n0 ∈ N sao cho xn
Gọi K là hằng số chuẩn tắc của P. Với mỗi ε > 0, chọn c ∈ E sao cho 0

c.
c

14

và K c < ε. Khi đó, từ giả thiết tồn tại n0 ∈ N sao cho
c với mọi n

xn

n0 .

Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số K nên
K c < ε với mọi n

xn

n0 .

Vậy xn → 0.
1.1.24 Hệ quả. ([5]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian Banach E,
{bn } và {cn } là hai dãy trong P . Khi đó, nếu 0

bn

cn với mọi n và

cn → 0 thì bn → 0.

Chứng minh. Vì cn → 0 nên theo Bổ đề 1.1.23 thì với mỗi c ∈ intP tồn tại
n0 ∈ N sao cho
cn

Mặt khác, vì 0

bn

c với mọi n

cn nên bn

n0 .

c với mọi n. Như vậy, với mỗi c ∈ intP

tồn tại n0 ∈ N sao cho
bn

c với mọi n

n0 .

Theo Bổ đề 1.1.23 thì bn → 0.
Ta đã biết rằng, nếu {xn } là dãy trong không gian tựa mêtric (X, d) thì
xn → x ∈ X khi và chỉ khi d(x, xn ) → 0. Định lý sau đây cho ta thấy kết

quả này vẫn đúng trong không gian tựa mêtric nón.
1.1.25 Mệnh đề. ([5]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian
Banach E, {an }, {bn } và {cn } là ba dãy trong E . Khi đó, nếu
an

bn

cn , với mọi n

và lim an = lim cn = d thì tồn tại lim bn và lim bn = d.
n→∞

n→∞

n→∞

n→∞


15

Chứng minh. Từ an
0

cn với mọi n suy ra

bn

bn − an

cn − an , với mọi n.

Vì lim cn = lim an nên lim (cn − an ) = 0. Do đó theo Hệ quả 1.1.24 ta
n→∞

n→∞

n→∞

có lim (bn − an ) = 0. Mặt khác, theo giả thiết ta có lim an = d nên tồn
n→∞

n→∞

tại lim bn và lim bn = d.
n→∞

n→∞

1.1.26 Định lý. Giả sử {xn } là dãy trong không gian tựa mêtric nón
(X, d). Khi đó, xn → x ∈ X khi và chỉ khi với mỗi c ∈ intP tồn tại số
tự nhiên nc sao cho d(x, xn )

c với mọi n

nc .

Chứng minh. Giả sử xn → x ∈ X. Khi đó, với mọi c ∈ intP , vì B(x, c) là lân
cận của x (Mệnh đề 1.1.22) nên tồn tại số tự nhiên nc sao cho xn ∈ B(x, c)
với mọi n

nc , tức là d(x, xn )

c với mọi n > nc .

Ngược lại, giả sử với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(x, xn )

c với mọi n

nc . Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó,

tồn tại c0 ∈ intP sao cho B(x, c0 ) ⊂ U. Từ đó suy ra tồn tại nc0 ∈ N sao
cho
xn ∈ B(x, c0 ) ⊂ U với mọi n

nc0 .

Như vậy xn → x.
1.1.27 Định lý. Giả sử X và Y là hai không gian tựa mêtric nón,
f : X → Y và a ∈ X. Khi đó f liên tục tại a khi và chỉ khi mỗi dãy
{xn } ⊂ X mà xn → a thì f (xn ) → f (a).

Chứng minh. Giả sử f liên tục tại a ∈ X và {xn } là dãy trong X và xn → a.
Khi đó, với mọi lân cận V của f (a) trong Y , vì f liên tục tại a nên tồn tại
lân cận U của a sao cho f (U ) ⊂ V . Do xn → a nên tồn tại số tự nhiên n0


16

sao cho xn ∈ U với mọi n

n0 . Do đó f (xn ) ∈ f (U ) ⊂ V với mọi n

n0 .

Vậy f (xn ) → f (a).

Ngược lại, giả sử với mỗi dãy {xn } trong X, xn → a thì f (xn ) → f (a).
Ta sẽ chứng minh f liên tục tại a. Giả sử f không liên tục tại a ∈ X. Khi
đó, từ Định nghĩa 1.1.5 suy ra tồn tại y0 ∈ intP sao cho với mọi c ∈ intP
đều có f (B(a, c)) không bao trong B(f (a), y0 ). Do đó với mỗi n = 1, 2, ...
/ B(f (a), y0 ), trong đó c là phần tử cố
tồn tại xn ∈ B(a, nc ) sao cho f (xn ) ∈

định trong intP . Vì
sao cho
n

c
n

c
n

→ 0 khi n → ∞ nên với mọi t ∈ intP tồn tại nt ∈ N

t với mọi n

nt . Từ đó suy ra d(a, xn )

c
n

t với mọi

nt . Theo Định lý 1.1.26 thì xn → a. Do đó f (xn ) → f (a). Điều này

mâu thuẫn với f (xn ) ∈
/ B(f (a), y0 ) với mọi n = 1, 2, ...
Vậy f liên tục tại a.
1.1.28 Định nghĩa. Cho (X, d) là không gian tựa mêtric nón. Dãy {xn } ⊂
X được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi 0

c ∈ E tồn tại số tự nhiên n0

sao cho
d(xm , xn )

c với mọi m, n

n0 .

Không gian tựa mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
trong X đều hội tụ.
Tập con Y của không gian tựa mêtric nón (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy trong Y đều hội tụ tới điểm thuộc Y.
1.2. Một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong không gian
tựa mêtric nón

Mục này trình bày một số định lý về sự tồn tại điểm bất động của các
ánh xạ co trong không gian tựa mêtric nón. Từ đây về sau ta luôn giả thiết


17

các tựa mêtric nón nhận giá trị trong nón P của không gian Banach thực E
với intP = ∅;

và

là hai thứ tự trên E được xác định bởi nón P.

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric nón. ánh xạ
f : X → X được gọi là co nếu tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
d(f (x), f (y))

αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.

Ta gọi α là hằng số co của f.
Chú ý. Nhiều lúc ta viết f x thay cho f (x).
1.2.2 Nhận xét. Nếu f : X → X là ánh xạ co thì f liên tục.
Chứng minh. Giả sử x ∈ X và {xn } là dãy trong X, hội tụ tới x. Khi dó,
theo Định lý 1.1.26, với mọi c ∈ intP tồn tại nc ∈ N sao cho d(x, xn )
với mọi n

c

nc . Vì f là ánh xạ co nên tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho
0

d(f (x), f (xn ))

αd(x, xn )

c ∀n

nc .

Do đó theo Định lý 1.1.26, f (xn ) → f (x). Vì thế theo Định lý 1.1.27, f
liên tục tại x. Vì x là điểm bất kỳ của X nên f liên tục trên X.
1.2.3 Định nghĩa. Giả sử f : X → X. Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động
của f nếu f (a) = a.
1.2.4 Định lý. Giả sử (X, d) là không gian tựa mêtric nón, đầy đủ,
Hausdorff thì mọi ánh xạ co trên X đều có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử f : X → X là ánh xạ co với hằng số co α. Lấy x0 ∈ X.
Đặt f (x0 ) = x1 , f (x1 ) = x2 , ... Khi đó, với mỗi n = 1, 2, ... ta có
d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn )

αd(xn−1 , xn )

= αd(f xn−2 , f xn−1 )
...

αn d(x0 , x1 ).

α2 d(xn−2 , xn−1 )


18

Do đó với mỗi n = 1, 2, ... và mỗi p ∈ N ta có
d(xn , xn+p )

d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+p−1 , xn+p )
(αn + αn+1 + ... + αn+p−1 )d(x0 , x1 )
p
αn

n1 − α
d(x0 , x1 )
d(x0 , x1 ).
=α
1−α
1−α

Hay là
d(xn , xn+p )

αn
d(x0 , x1 ).
1−α

(1.1)

Tương tự, với mỗi n = 1, 2, ... và mỗi p ∈ N
d(xn+p , xn )

Từ α ∈ [0, 1) suy ra

αn
1−α d(x0 , x1 )

αn
d(x1 , x0 ).
1−α

→ 0 và

αn
1−α d(x1 , x0 )

(1.2)
→ 0 khi n → ∞. Kết

hợp với (1.1) và (1.2) suy ra với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(xn , xm )

c với mọi n, m

nc .

Do đó {xn } là dãy Cauchy. Vì X đầy đủ nên tồn tại a ∈ X sao cho xn → a.
Bây giờ, ta chứng minh a là điểm bất động của f. Thật vậy, ta có
f (xn ) = xn+1 → a. Vì xn → a và f liên tục nên f (xn ) → f (a). Kết hợp với

giả thiết X là không gian Hausdorff nên a = f (a), tức a là điểm bất động của f.
Cuối cùng ta chứng minh a là điểm bất động duy nhất của f. Giả sử b
cũng là điểm bất động của f. Khi đó,
0

d(a, b) = d(f (a), f (b))

αd(a, b).

Vì α ∈ [0, 1) nên theo Bổ đề 1.1.20 ix) suy ra d(a, b) = 0, tức là a = b.
1.2.5 Chú ý. Từ việc chứng minh Định lý 1.2.4 ta thấy rằng, nếu các
giả thiết của Định lý 1.2.4 được thỏa mãn và a là điểm bất động của f thì
f n x → a với mọi x ∈ X, trong đó f 2 x = f (f x), f 3 x = f (f 2 x), ...

19

1.2.6 Hệ quả. Giả sử X là không gian tựa mêtric nón Hausdorff, đầy
đủ và g : X → X sao cho g n0 là ánh xạ co với n0 là một số tự nhiên nào
đó. Khi đó, g có duy nhất điểm bất động a và g n x → a với mọi x ∈ X.
Chứng minh. Vì g n0 là ánh xạ co nên theo Định lý 1.2.4, g n0 có duy nhất
điểm bất động a. Khi đó, từ g n0 (a) = a suy ra
g n0 (ga) = g(g n0 a) = ga.

Như vậy ga cũng là điểm bất động của g n0 . Do đó a = ga, tức là a là điểm
bất động của g.
Giả sử x là điểm bất động của X . Khi đó, theo Chú ý 1.2.5 ta có (g n0 )n x →
a. Tương tự ta có
(g n0 )n (g j x) → a với mỗi j = 1, 2, ..., n0 ,

Tức là
lim g n0 n+j x = a với mỗi j = 1, 2, ..., n0 .

n→∞

Từ đó suy ra g n x → a với mọi x ∈ X.
Giả sử b cũng là điểm bất động của g. Theo kết quả vừa chứng minh
thì g n b → a. Vì b là điểm bất động của g nên g n b = b với mọi n. Do đó
b = a.

1.2.7 Định nghĩa. Giả sử f và {fn } là dãy các ánh xạ từ không gian tựa
mêtric nón X vào không gian tựa mêtric nón Y. Ta nói {fn } hội tụ đều tới f
trên X nếu với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc , sao cho với mọi n

và với mọi x ∈ X ta có
d(fn x, f x)
d(f x, fn x)

c,
c.

nc


20

1.2.8 Định lý. Giả sử X là không gian tựa mêtric nón, đầy đủ, Hausdorff, P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K và F : X → X. Cho
Fn : X → X là dãy các ánh xạ liên tục sao cho mỗi Fn có điểm bất động
xn , n = 1, 2, ... và {Fn } hội tụ đều tới F trên X . Khi đó,

a) Nếu xn → x0 và d(xn , x0 ) → 0 hoặc F xn → x0 và d(xn , x0 ) → 0 thì
x0 là điểm bất động của F.

b) Nếu F là ánh xạ co thì {fn } hội tụ tới điểm bất động duy nhất của F.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh F liên tục trên X. Vì {Fn } hội tụ
đều tới F trên X nên với mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(Fn x, F x)
d(F x, Fn x)

c,
c với mọi n

(1.3)

nc , với mọi x ∈ X.

Với mỗi a ∈ X , vì Fnc liên tục tại a nên tồn tại lân cận Ua của a sao cho
d(Fnc a, Fnc x)

c với mọi x ∈ Ua .

(1.4)

Do đó với mọi x ∈ Ua , từ (1.3) và (1.4) ta có
d(F a, F x)

d(F a, Fnc a) + d(Fnc a, Fnc x) + d(Fnc x, F x)

3c.

Từ đó suy ra F liên tục tại a. Như vậy F liên tục trên X.
a) Giả sử xn → x0 (tức d(x0 , xn ) → 0) và d(xn , x0 ) → 0. Khi đó, với mọi
c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(xn , x0 )

c với mọi n > nc .

(1.5)

Vì F liên tục và xn → x0 nên tồn tại số tự nhiên nc sao cho
d(F x0 , F xn )

c với mọi n > nc .

(1.6)

Theo bất đẳng thức thứ hai trong (1.3) ta có
d(F xn , xn ) = d(F xn , Fn xn )

c với mọi n > nc .

(1.7)


21

Từ (1.5), (1.6) và (1.7) suy ra với mọi n
d(F x0 , x0 )

max(nc , nc , nc ) ta có

d(F x0 , F xn ) + d(F xn , Fn xn ) + d(Fn xn , x0 )

3c.

Do đó từ Hệ quả 1.1.24 suy ra d(F x0 , x0 ) = 0, tức là F x0 = x0 . Vậy x0 là
điểm bất động của F.
Giả sử F xn → x0 (tức d(x0 , F xn ) → 0) và d(xn , x0 ) → 0. Khi đó, từ
(1.7) suy ra d(F xn , xn ) → 0, kết hợp với bất đẳng thức
0

d(x0 , xn )

d(x0 , F xn ) + d(F xn , xn ) với mọi n,

ta có d(x0 , xn ) → 0, tức là xn → x0 . Do đó theo kết quả đã chứng minh x0
là điểm bất động của F.
b) Giả sử F là một ánh xạ co. Khi đó, theo Định lý 1.2.4 F có điểm bất
động a. Ta có
d(a, xn ) = d(F a, Fn xn )

d(F a, F xn ) + d(F xn , Fn xn )

αd(a, xn ) + d(F xn , Fn xn ) với mọi n.

Do đó, với mọi n ta có
d(a, xn )

1
d(F xn , Fn xn ).
1−α

Vì P là nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc K nên bất đẳng thức kéo theo
d(a, xn )

K

1
d(F xn , Fn xn ) .
1−α

Từ α ∈ [0, 1) và d(F xn , Fn xn ) → 0 suy ra d(a, xn ) → 0, tức là xn → a.

22

CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN
TỰA MÊTRIC NÓN CÓ THỨ TỰ BỘ PHẬN

Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản về thứ tự bộ phận, tập
bị chặn, cận trên, cận dưới và một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động
của các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận.
2.1. Thứ tự bộ phận

Mục này trình bày một số khái niệm cơ bản về thứ tự bộ phận, tập bị
chặn, cận trên, cận dưới,...
2.1.1 Định nghĩa. ([4]) Cho tập hợp X và
quan hệ

là một quan hệ hai ngôi trên X.

được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận trên X nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:
(i) x

x với mọi x ∈ X ;

(ii) Từ x
(iii) x

y và y
y; y

x suy ra x = y với mọi x, y ∈ X ;

z suy ra x

z với mọi x, y, z ∈ X .

Tập X cùng với một thứ tự bộ phận trên nó được gọi là tập sắp thứ tự
bộ phận và ký hiệu (X, ) hoặc X .
2.1.2 Định nghĩa. ([2]) Giả sử
và A ⊂ X .

là một quan hệ thứ tự bộ phận trên X


23

1) Phần tử x ∈ X được gọi là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A
nếu a

x (tương ứng x

a) với mọi a ∈ A;

2) Phần tử x ∈ X được gọi là một cận trên đúng (tương ứng cận dưới
đúng) của A nếu x là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A và nếu y
cũng là một cận trên (tương ứng cận dưới) của A thì x

y (tương ứng

x). Khi đó, ta ký hiệu x = sup A (tương ứng x = inf A);

y

3) Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử cực đại (tương ứng cực tiểu) của
A, nếu mọi x ∈ A mà a

x (tương ứng x

a) thì a = x;

4) Tập A được gọi là một dây chuyền trong X nếu A sắp tuyến tính, tức
là với mọi x, y ∈ A thì x

y hoặc y

x.

5) Hai phần tử x, y được gọi gọi là so sánh được với nhau nếu x < y
hoặc y < x.
2.1.3 Bổ đề. (Zone) ([2]) Giả sử X là tập sắp thứ tự bộ phận và khác
rỗng. Khi đó, nếu mọi dây chuyền trong X đều có cận trên thì trong X
có phần tử cực đại.
2.1.4 Bổ đề. Giả sử (X, d) là một không gian tựa mêtric nón và ϕ :
X → P, λ là một số thực dương và

ϕ

là một quan hệ trên X được cho

bởi
x

Khi đó,

ϕ

ϕ

y ⇔ λd(x, y)

ϕ(y) − ϕ(x);

x, y ∈ X.

là một thứ tự bộ phận trên X.

Chứng minh. Vì d(x, x) = 0 với mọi x ∈ X nên x
Giả sử x, y ∈ X sao cho x

ϕ

y và y

λd(x, y)
λd(y, x)

Do đó λ[d(x, y) + d(y, x)]

ϕ

x với mọi x ∈ X.

x. Khi đó, ta có

ϕ(y) − ϕ(x)
ϕ(x) − ϕ(y)

0. Vì λ > 0, d(x, y)

d(y, x) = d(x, y) = 0. Do đó x = y.

ϕ

0, d(y, x)

0 nên


24

Giả sử x, y, z ∈ X sao cho x
λd(x, z)

λ[d(x, y) + d(y, z)]

Do đó x

ϕ

Vậy

ϕ

ϕ

y và y

ϕ

z. Khi đó, ta có

ϕ(y) − ϕ(x) + ϕ(z) − ϕ(y) = ϕ(z) − ϕ(x).

z.

là một thứ tự bộ phận trên X.

2.2. Sự tồn tại điểm bất động trong không gian tựa mêtric nón có
thứ tự bộ phận

Mục này dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại bất động
của các ánh xạ trong không gian tựa mêtric nón có thứ tự bộ phận.
Trong mục này, ta giả thiết (X, d) là không gian tựa mêtric nón, đầy đủ,
Hausdorff; trên X có thứ tự bộ phận cũng được kí hiệu bởi

.

2.2.1 Định lý. Giả sử f : X → X và g : P → [0, 1) là hai hàm không
giảm thỏa mãn các điều kiện sau

i) Với mọi x, y ∈ X mà chúng so sánh được với nhau ta có
d(f x, f y)

ii) Tồn tại x0 ∈ X sao cho x0

g(d(x, y))d(x, y);
f x0 ;

iii) f liên tục hoặc X có tính chất
iii’) Từ {xn } là dãy không giảm trong X, xn → x suy ra xn

x với

mọi n = 1, 2, ... .
Khi đó, f có điểm bất động trong X .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X. Đặt x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), ..., xn+1 = f (xn ), ...
Vì f không giảm nên x0 x1 x2 ... Do đó với mỗi n = 1, 2, ... ta có
d(xn , xn+1 ) = d(f xn−1 , f xn )
g(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn )
d(xn−1 , xn ).


25

Vì g là hàm không giảm nên với mỗi n = 1, 2, ... ta có
g(d(xn , xn+1 ))

g(d(xn−1 , xn )).

Do đó, với mỗi n = 1, 2, ... ta có

d(xn , xn+1 ) g(d(xn−1 , xn ))d(xn−1 , xn )
g(d(xn−1 , xn ))g(d(xn−2 , xn−1 ))d(xn−2 , xn−1 )
[g(d(xn−2 , xn−1 ))]2 d(xn−2 , xn−1 )
...

[g(d(x0 , x1 ))]n d(x0 , x1 ).

Từ đó và sử dụng bất đẳng thức tam giác suy ra rằng với mỗi n = 1, 2, ...
và với mọi p = 0, 1, 2, ... ta có
d(xn , xn+p ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+p−1 , xn+p )
{[g(d(x0 , x1 ))]n + [g(d(x0 , x1 ))]n+1 + ...
+ [g(d(x0 , x1 ))]n+p−1 }d(x0 , x1 )
1 − [g(d(x0 , x1 ))]p
= [g(d(x0 , x1 ))]n
d(x0 , x1 )
1 − g(d(x0 , x1 ))
[g(d(x0 , x1 ))]n
=
d(x0 , x1 ).
1 − g(d(x0 , x1 ))

Từ 0

g(d(x0 , x1 )) < 1 suy ra

[g(d(x0 ,x1 ))]n
d(x0 , x1 )
1−g(d(x0 ,x1 ))

đó suy ra với mọi c ∈ intP tồn tại n1 ∈ N sao cho

[g(d(x0 , x1 ))]n
d(x0 , x1 )
c ∀n
1 − g(d(x0 , x1 ))

→ 0 khi n → ∞. Từ

n1

Do đó với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n1 sao cho d(xn , xn+p )
với mọi n

c

n1 , p = 0, 1, 2, ... Tương tự ta cũng chứng minh được rằng với

mọi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên n2 sao cho với mọi n

n2 , p = 0, 1, 2, ...

c. Do đó với mỗi c ∈ intP tồn tại số tự nhiên nc =

ta có d(xn+p , xn )
max(n1 , n2 ). sao cho

d(xn , xm )

c với mọi m, n

nc .