Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian lp và ca,b

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2
khoa: Toán
*************

Phạm thị thƣơng

Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên không gian L p và C[ a,b]
Khoá luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Giải tích

hà nội – 2007

1


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

lời cảm ơn
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS.GVCC Nguyễn
Phụ Hy, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khoá luận
này.
Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm, các thầy cô giáo trong tổ
Giải tích, khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho
em trong suốt quá trình em thực hiện đề tài.

Em xin chân thành cảm ơn.

Xuân hòa, ngày 30/04/2007
Sinh viên

Phạm Thị Thƣơng

2


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Dạng tổng quát của
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Lp và C[ a,b] ” là công trình
nghiên cứu của riêng tôi. Tuy đề tài này không phải là hoàn toàn mới nhưng
kết quả nghiên cứu của đề tài không trùng với kết quả của một số tác giả
khác.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Xuân hoà, ngày 30/04/2007
Sinh viên

Phạm Thị Thƣơng

3

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Mục lục
Lời cảm ơn.........................................................................................................1
Lời cam đoan.....................................................................................................2
Lời nói đầu……………………………………………………………………4
Chƣơng 1. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian C[ a,b] .........................................................................6
1.1 Tích phân Stieljes......................................................................6
1.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian C[ a,b] ...................................................................10
Chƣơng 2. Không gian Lp ( p  1 )..............................................................19
2.1 hàm số luỹ thừa p khả tích ( p  1 )......................................19
2.2 Không gian tuyến tính thực Lp ............................................19
2.3 Không gian định chuẩn Lp ..................................................22
Chƣơng 3. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian Lp ( p  1 )..............................................................27
3.1 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian Lp (p > 1)............................................................27
3.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian L .......................................................................33
3.3 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên L1 ..40
Kết luận...........................................................................................................44
Tài liệu tham khảo...........................................................................................45

4

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Lời nói đầu
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa
đầu thế kỷ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học
cổ điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất
phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số,
phương trình vi phân,…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được
một nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả rất mẫu mực
của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và
có sử dụng đến những công cụ của giải tích và không gian véctơ. Ngoài ra, nó
còn có những ứng dụng trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ
thuật.
Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành
toán học nói trên, mặt khác nó còn đề ra cho ngành giải tích hàm phải đúc kết
những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó
đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải
tích hàm, em đã chọn đề tài: “Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên không gian Lp và C a ,b ”. Nghiên cứu đề tài này, chúng ta có cơ hội
tìm hiểu sâu thêm về không gian Lp ( E, ) và không gian C a ,b . Từ đó ta có
thêm những kiến thức về các vấn đề của phiếm hàm, sự khác nhau giữa chúng
khi ta xét trên các không gian khác nhau.
Nội dung của khoá luận bao gồm ba chương:

5

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Chương 1. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian C a ,b .
Chương 2. Không gian Lp ( E, ) ( p  1 ).
Chương 3. Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian Lp ( p  1) .
Do thời gian và năng lực có hạn nên chắc chắn khoá luận này không
tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của
các thầy cô và bạn đọc để khoá luận này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.
Em xin cảm ơn.

Xuân hoà, ngày 28/04/2007
Sinh viên

Phạm Thị Thƣơng

6


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Chƣơng 1. Dạng tổng quát của phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên không gian Ca ,b
1.1 Tích phân Stieljes

1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1
Cho hai hàm số f  x  và g  x  xác định trên  a,b .
Ta chia đoạn  a,b bằng các điểm chia a  x0  x1  ...  xn  b ( n  N ) .
và lập tổng:
n 1

S   f i   g( xi 1 )  g  xi 
i 0

trong đó  i là một điểm bất kỳ trên đoạn  xi ,xi 1  , i  o,n  1 . Nếu khi
max( xi 1  xi )  0 , tổng S dần đến một giới hạn hữu hạn không phụ thuộc
vào cách chia đoạn  a,b và cách chọn điểm  i thì giới hạn đó gọi là tích
phân Stieljes (hay Rieman-Stieljes) của f  x  theo g  x  trên đoạn  a,b và
được kí hiệu là:
b

 S   f  x dg  x  .
a

Định nghĩa 1.1.2
Cho hàm số F  x  xác định trên  a,b . Ta gọi biến phân của hàm F  x 
trên đoạn  a,b và kí hiệu Vab  F  là cận trên đúng của tổng
n 1

 F  x   F( x )
i 0

i 1

i

lấy theo tất cả các cách chia đoạn  a,b bởi những điểm
7


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

a  x0  x1  ...  xn  b , ( n  N )
Hàm F  x  gọi là có biến phân bị chặn nếu Vab  F   
1.1.2 Định lý
Định lý 1.1.1 (Điều kiện đủ để tồn tại tích phân Stieljes)
Nếu f  Ca ,b và g là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn [a,b] thì tồn
b

tại tích phân Stieljes

 S   f  x dg  x  .
a

Chứng minh
Với số   0 nhỏ tuỳ ý, chọn   0 sao cho:

f  x"   f  x'  


b
a

2V

g

với x"  x'  

Bây giờ ta lấy hai phép phân hoạch đoạn [a,b] thành từng phần có độ
dài mỗi phần nhỏ hơn  . Trên chúng lấy các điểm tuỳ ý và lập tổng tích phân
S’, S” tương ứng.
Ta sẽ chứng minh: S'  S"  
Giả sử cách chia thứ nhất có các điểm chia:

a  x0  x1  ...  xn  b và

n

S'   f i   g  xi   g  xi 1 
i 1

i  xi 1 ,xi  . Nếu lấy tất cả các điểm chia của cả hai cách chia thì ta được
cách chia thứ ba đoạn [a,b]. Tất nhiên sẽ “tốt hơn”. Gọi các điểm chia của
cách này là:

a  x0  x00   x01  ...  x0 m   x1  x10   x11  ...  x1m  x2  x20   x21
0

1

 ...  xn m2   xn 1  xn01  xn11  ...  xn m1   b

n 2

n 1

trong mỗi phần  xi j 1 ,xi j   một điểm i j  và lập tổng:

S   f i j    g  xi j    g  xi j 1 
n

mj

i 1 j 1

8

Chọn


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Vì ở cách thứ nhất độ dài các phần tử nhỏ hơn  nên với i, j bất kì ta có:

f  xi j    f  xi j 1  
 S  S' 


b
a

2V

f  xi j    f  xi  

và

g


b
a

2V

g

f i j    g  xi j    g  xi j 1    f i   g  xi   g  xi 1  =

i 1 j 1
i 1
n

mi

n

m

( j)

( j)
( j 1 )

 f i   g  xi   g  xi    f i   g  xi   g  xi 1   
i 1  j 1

n

i

m
n
m

=   f i( j )   g  xi( j )   g  xi( j 1 )   f i    g  xi j    g  xi( j 1 )  
i  1  j 1
j 1

i

i

=   f i( j )   f i   g  xi j    g  xi( j 1 ) 
mi

n

i 1 j 1

<


b
a

2V

  g  x    g  x
n

g

mi

i 1 j 1

( j 1 )
i

j

i

Vậy S  S' 


2

  2V



b
a

g

Vab  g  


2

.

Một cách tương tự ta cũng có: S  S" 


2

Lấy dãy số dương giảm  n  0  n    , với mỗi  n đều chọn được số

 n tương ứng sao cho với    n và    n điều kiện định lí (1.1.1) được thoả
mãn. Khi đó  chọn được phụ thuộcvào  , không làm mất tính tổng quát ta
có thể giả sử dãy:  n  lập thành dãy đơn điệu giảm  n1  n .
Với mỗi n ta đều có thể lấy phép phân hoạch nào đó đoạn [a,b] ra từng
phần độ dài nhỏ hơn  n , thành lập tổng tích phân tương ứng S n .
Ta chứng minh dãy  Sn  là dãy cơ bản trong R 1 .
Thật vậy,

9

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Nếu m>n thì độ dài của tất cả các đoạn của phép phân hoạch thứ m và
n đều nhỏ hơn  n , do đó theo chứng minh trên Sn  Sm   .
Vậy dãy  Sn  là dãy cơ bản trong R 1 , nên limSn  I
n

Bây giờ ta chứng minh với mỗi phép phân hoạch bất kì đoạn [a,b] ta
đều có: I  S   ,trong đó S là tổng tương ứng của phép phân hoạch đó.
Thật vậy, với   0 , chọn số tự nhiên N sao cho: Sn  I 


2

, n  N



Ta tìm được số n0  N sao cho  n  . Lấy một tổng tích phân S bất kì được
2
0

thành lập nhờ một phép phân hoạch đoạn [a,b] ra các đoạn có độ dài nhỏ hơn

 n . Vì rằng tổng Sn được thành lập nhờ phép phân hoạch thoả mãn điều kiện
0

0

độ dài mỗi đoạn nhỏ hơn  n nên theo chứng minh trên ta có:
0

S  Sn   n 
0

0

 S  I  S  Sn  Sn  I 
0



0

2




2


2



Vậy limS  I
 0

Định lý được chứng minh 
Định lý 1.1.2 (Định lý giá trị trung bình)
b

Nếu tồn tại tích phân Stieljes

 f  x  dg  x 
a

b

f  x V  g 
 f  x  dg  x   max
 
a

a ,b

b
a

Chứng minh

10

thì

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

b

Nếu tồn tại tích phân

 f  x  dg  x 

thì với mỗi phép phân hoạch đoạn

a

 a,b ta có:
n

 f    g  x   g  x 
i 1

i

i

i 1

n

  f i  g  xi   g  xi 1 

i 1

n

 max f  x   g  xi   g  xi 1 
 a ,b

i 1

 max f  x  Vab  g 
 a ,b

Vậy định lý được chứng minh 
1.2 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C a ,b
.
1.2.1 Định nghĩa
Không gian C a ,b là tập tất cả các hàm số x  t  giá trị thực xác định và
liên tục trên đoạn [a,b],    a  b   

x  t  , y  t   a,b ta có:
x=y  x  t   y  t  ,t  a,b .

x   (phần tử không)  x  t   0,t  a,b
1.2.2 Không gian định chuẩn C a ,b
Ta đưa vào không gian C a ,b hai phép toán
+, Phép cộng hai hàm số

x  t  , y  t   Ca ,b :  x  y  t   x  t   y  t  , t  a,b
+, Phép nhân một số thực với một hàm số theo nghĩa thông thường

x  t   Ca ,b ;  R :  x  t    x  t  , t  a,b
11


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Tập hợp C a ,b trở thành không gian tuyến tính thực.
Từ đó với mỗi x  Ca ,b ánh xạ

.:

Ca ,b  R
x  t   x  max x  t 
 a ,b

xác định một chuẩn trên C a ,b .
Thật vậy, x  t   Ca ,b nên x  t  liên tục trên đoạn [a,b] do đó x  t  đạt giá trị
lớn nhất trên đoạn [a,b]
Ta kiểm tra sự thoả mãn các tiên đề về chuẩn:
1. x  t   Ca ,b ta có:

x  t   0 t   a,b ,
 max x  t   0  x  0
a ,b

x  0  max x t   0
a ,b

 x  t   0, t  a,b 

 x  t   0, t a,b 

 x 
Tiên đề 1) được thoả mãn.
2. x  t   C  a,b ,   R ta có:

 x  max
 x  t    max
x t    x
a ,b
a ,b








Tiên đề 2) được thoả mãn.
3. x  t   Ca ,b ; y  t   Ca ,b ta có:

x  t   y  t   x  t   y  t  , t  a,b
 max x  t   max y t 
 a;b

a;b 

12


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

 max x  t   y  t   max x  t   max y t 
a ,b

a ,b

a ,b

 x y  x  y
Tiên đề 3) được thoả mãn.
Vậy C a ,b  cùng với chuẩn được xác định như trên lập thành một không gian
định chuẩn.
1.2.3 Tính đầy của không gian C a ,b
Định lý 1.2.1
Không gian C a ,b là không gian Banach.
Chứng minh
Lấy một dãy cơ bản bất kỳ  xn  t  n 1  Ca ,b


Theo định nghĩa dãy cơ bản (   0 ), (n0  N * ),( m  n0 ),( n  n0 ) ta
có:

xn  xm    max xn t   xm t   
 a ,b

 xn  t   xm  t   

m,n  n  , t a,b
0

(1.2.1)_

Hệ thức trên chứng tỏ dãy  xn  t  n1 với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc vào đoạn


xn  t   x  t  , t  a,b
[a,b] là dãy số cơ bản nên lim
n 

Cho t thay đổi trên  a,b ta nhận được hàm số x  t  xác định trên  a,b .
Vì các bất đẳng thức (1.2.1) không phụ thuộc vào t  a,b nên cho qua giới
hạn trong các bất đẳng thức này khi m   ta được

xn  t   x  t    , n  n0 , t  a;b

(1.2.2)

Các bất đẳng thức (1.2.2) chứng tỏ dãy hàm  xn  t  n1 hội tụ đều tới hàm


x  t  trên  a,b nên x  t  liên tục trên  a,b nghĩa là x  Ca ,b .

13

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Do sự hội tụ trong không gian C a ,b tương đương với sự hội tụ đều của
dãy hàm liên tục trong không gian C a ,b nên dãy ( xn  t  )n1 hội tụ tới x  t 
trong không gian C a ,b .
Vì vậy không gian C a ,b là không gian Banach.
Định lý được chứng minh 
1.2.4 Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
C a ,b

Định lý 1.2.2
Nếu hàm g  x  có biến phân bị chặn trên đoạn  a,b thì phiếm hàm
b

F  f    f  x  dg  x  trên C a ,b là tuyến tính liên tục.
a

Chứng minh
Theo định lý (1.1.1) thì F là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên
không gian C a ,b .
Ta chia đoạn  a,b bởi các điểm chia a  x0  x1  ...  xn  b
là một điểm bất kì của đoạn  xi ,xi 1  thì

n N 

và  i

b

 f  x  dg  x 

là giới hạn của tổng

a

n 1

S   f i   g  xi 1   g  xi  , khi max  xi 1  xi   0
10

Theo định lý giá trị trung bình ta có
n 1

S  sup f  x    g  xi 1   g  xi   sup f  x  Vab  g 
a  x b

a  x b

i 0

Cho qua giới hạn ta được F  Vab  g  x .
Điều này chứng tỏ F bị chặn và F  Vab  g  . Định lý được chứng minh 
Định lý 1.2.3

14

Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên C a ,b đều có thể biểu diễn
b

được dưới dạng F  f    f  t  dg  t  , trong đó g  t  có biến phân bị chặn và
a

F  Vab  g 
Chứng minh
Kí hiệu M a ,b là không gian tất cả các hàm đo được theo nghĩa
Lebesgue và bị chặn trên đoạn  a,b . Ta định nghĩa chuẩn trong M a ,b
x  sup x  t  ( x  M a ,b )
a t b

Với các phép toán thông thường và với chuẩn như trên thì M a ,b một không
gian định chuẩn và C a ,b là một không gian con đóng của M a ,b .
Giả sử F  C* a ,b , theo định lý Hahn-Banach ta có thể thác triển F và
giữ nguyên chuẩn lên toàn bộ không gian M a ,b .
Ta cũng kí hiệu thác triển đó là F .

1 nÕu a  t  s
Nếu s   a,b , xét hàm xs  t   
thì xs  t   M a ,b .
0
nÕ
u
s


b

Do đó F  xs  là xác định và là một hàm số của s và kí hiệu hàm đó là

g  s   F  xs  .
Ta bổ sung g  s  với s  a , chẳng hạn g  a   0 , thế thì

 F  xs  nÕu ag s  
nÕu s=a
0
Tiếp theo ta chứng minh g là hàm có biến phân bị chặn trên đoạn  a,b 
Lấy một phép phân hoạch đoạn  a,b ra n phần bởi các điểm chia

a  s0  s1  ...  sn  b ( n  N ) và thành lập hàm bậc thang

15


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

d nÕu a  t  s1
x t    1
di nÕu si-1  t  si

(1.2.1)

trong đó di  sign  g  si   g  si1  , i=1,2,...n
Từ định nghĩa của x  t  ta thấy x  1 trong không gian M a ,b , do đó

F  x  F  x  F
Từ định nghĩa xs ở trên ta thấy rằng nếu a  s'  s'' thì

xs''  t   xs'  t   1 , s'  t  s'' và xs''  t   xs'  t   0 ngoài khoảng đó.
x  d1 xs   di  xs  xs
n

Vì vậy, từ (1.2.1) ta suy ra

1

F  x   d1 F  xs    d i  F  xs   F  xs
n

1

i 2

i

i 1

i 2

i

i 1

 khi đó



n

=d1 g  S1    di  g  si   g  si 1  
i 2

Từ đó va từ g  a   g  s0   0 nên biểu diễn trên có thể viết lại là
n

F  x   d1  g  s1   g  s0     di  g  si   g  si 1 
i 2

n

  di  g  si   g  si 1  
i 1

n

  g  si   g  si 1 

( do định nghĩa di )

i 1

Từ đó ta có:

n

 g s   g s   F  x 
i 1

i

i 1

F suy ra Vab  g   F

(1.2.2)

Tiếp theo ta chứng minh F  Vab  g  .
Lấy phiếm hàm f  Ca ,b và lấy   0 nhỏ tuỳ ý, ta chọn được số   0
để sao cho với mọi cách chia đoạn  a,b bởi các điểm chia

a  s0  s1  ...  sn  b
16


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

Mà độ dài mỗi phần đều nhỏ hơn  thì

f  t'   f  t''    , với t',t'' là hai điểm bất kì của đoạn  si 1 ,si 
Ta lấy trong mỗi đoạn  si 1 ,si  một điểm tuỳ ý ti và lập hàm bước nhảy
g  M a ,b

 f  t1 
g t   
 f  ti 

nÕu a  t  s1

, với i=2,3,...

nÕu si-1  t  s1

với t  a,b thì g  t   f  ti  với i nào đó mà t và ti cùng nằm trong đoạn

s

i 1

,si  nên g  t  phụ thuộc vào hai cách chia đoạn  a,b và
g  t   f  t   f  t   f  ti     f  g  

 

Hơn nữa F  f   F g  F 

(1.2.3)

n

và g  f  t1  xs   f  ti   xs  xs 
i 2

1

i 1

i

 

Do đó F g  f  t1  F  xs    f  ti   F  xs   F  xs
i 2
n

1

i1

i



n

 f  t1  g  s1    f  ti   g  si   g  si 1  
i 2
n

  f  ti   g  si   g  si 1  
i 1

(Do g  s0   g  a   0 )

Như vậy từ (1.2.3) và từ đẳng thức trên ta suy ra
n

F  f   lim  f  ti   g  si   g  si 1 
 0
i 1

(   max  ti  ti 1 

b

  f  t  dg  t 

(1.2.4)

a

Từ đó và từ định lý giá trị trung bình ta được
17


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

F  sup F  f   F Vab  g   Vab  g 
f 1

 F  Vab  g 
Kết hợp với (1.2.2) ta có

F  Vab  g 
b

đồng thời kết hợp (1.2.4) ta được F  f    f  t  dg  t 
a

Định lý được chứng minh 
Kết luận
Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian C a ,b
có dạng tích phân Stieljes:
b

F  f    f  x  dg  x 
a

, f  x   Ca ,b

trong đó g  x  có biến phân bị chặn trên  a,b và F  Vab  g   g

18


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

CHƢƠNG 2. KHÔNG GIAN Lp ( p  1 )
2.1 hàm số luỹ thừa p khả tích ( p  1 )
Giả sử E là một tập nào đấy,

F là một  - đại số các tập con của tập

E ,  là một độ đo trên F.

Ta kí hiệu Lp ( E, ) là tập tất cả các hàm x( t ) đo được theo độ đo  trên tập
E sao cho tích phân sau hội tụ

 x( t ) d 
p

với p  1

E

+ Hai hàm số x(t), y(t) thuộc Lp ( E, ) được coi là đồng nhất với nhau
nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên tập E .
+ Phần tử x(t)=0 hầu khắp nơi trên E được coi là phần tử không của

Lp ( E,  ) và kí hiệu là 
2.2 Không gian tuyến tính thực Lp
2.2.1 Định nghĩa phép toán
Ta đưa vào Lp ( E, ) hai phép toán cộng hai hàm số và phép nhân một
số thực với hàm số như thường lệ

( x  y )( t )  x( t )  y( t )
(  x )( t )   x( t )
2.2.2 Chứng minh
* Trước hết ta chứng minh Lp đóng kín với hai phép toán cộng và nhân ở
trên.

Thật vậy,
+ x( t ),y( t )  Lp ( E,  ) , p  1 ta có :

19


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

x  t   y  t    x  t   y  t    2 p max{ x  t  , y  t  }
p

p

p



p

 2 p x t   y t 
p

p

 h.k.n trên E

p
p

p


  x  t   y  t  d   2 p   x  t    y  t  d    
E

E
E

 x  t   y  t   Lp  E,  

+ x( t )  Lp  E,   và   R ta có:

 x  t    x  t  h.k.n trên E
p

p

p

   x  t  d    . x  t  d   
p

p

p

E

E

  x  t   Lp  E,  

Vậy Lp  E,   đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân ở trên.
* Ta đi chứng minh hai phép toán này thoả mãn hệ tiên đề tuyến tính.
1. x  t  , y  t   Lp  E,   ta có:

 x  y t   x t   y t   y t   x t    y  x t  h.k.n trên

E.

x y yx

Tiên đề 1) được thoả mãn.
2. x  t  , y  t  ,z  t   Lp  E,   ta có:

 x  y   z  t    x  y t   z t   x t   y t   z t 

 x  t    y  z t    x   y  z  t  h.k.n trên E

  x  y  z  x   y  z
Tiên đề 2) được thoả mãn.
3. x  t  , y  t   Lp  E,   ,  R ta có:

  x  y   t     x  y t     x t   y t 
20


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

  x  t    y  t    x   y  t  h.k.n trên E .
   x  y   x   y
Tiên đề 3) được thoả mãn.
4.  ,   R,x  t   Lp  E,   ,ta có:

    x   t       x  t    x t    x t 

 (  x   x )t  h.k.n trên E .
     x   x   x
Tiên đề 4) được thoả mãn.
5.  ,   R,x  t   Lp  E,   ta có:

  x   t     x t    x t     x t  h.k.n trên E .

   x     x 
Tiên đề 5) được thoả mãn.
6. x  t   Lp  E,   , 1  Lp  E,   ta có:

1.x t   1.x t   x t  h.k.n trên

E.

 1.x  x
Tiên đề 6) được thoả mãn.
7, x  t   Lp  E,   ,   t   0  Lp  E,   ta có:

 x   t   x t    t   x t 

h.k.n trên E .

 x   x
Tiên đề 7) được thoả mãn.
8, x  t   Lp  E,   ,   x  t   1.x  t   L p  E,  

 x    x   t   x t    1 x t 

 1  1 x  t   0 h.k.n trên E .

21


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

 x  x 
Tiên đề 8) được thoả mãn.
Vậy Lp  E,   là không gian tuyến tính trên trường số thực R.
2.3 Không gian định chuẩn Lp
2.3.1 Chuẩn trên Lp
Đưa vào Lp  E,   chuẩn của các phần tử như sau:
. : Lp  E,    R
1


p
x  t   x   | x  t  | p d  
E



(2.3.1)

Ta đi chứng minh (2.3.1) xác định một chuẩn trên không gian Lp  E,   .
Thật vậy,
1. Ta có:

x  0( x  t   Lp  E,   )
1
p



x  0    x t  d    0
E

p

p


   x t  d    0
E


 x  t   0 h.k.n trên E
p

 x  t   0 h.k.n trên E

 x  t   0 h.k.n trên E

 x 
Tiên đề 1) được thoả mãn.
2. Với x  t   Lp  E,  ,  R ta có:


E




 x     x d 
p

1
p

22


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

1
p




    x t  d     . x
E

p

Tiên đề 2) được thoả mãn.
3. x  t  , y  t   Lp  E,  
áp dụng bất đẳng thức Mincovxki, ta có:
p


x  y    x t   y t  d  
E


1
p

1
p


 

   x t  d      y t  d  
E
 E

p

p

1
p

 x  y
Tiên đề 3) được thoả mãn.
Vậy Lp  E,   cùng với chuẩn (2.3.1) lập thành không gian định chuẩn
trên trường số thực R.
2.3.2 Tính đầy (hay tính Banach) của không gian định chuẩn Lp
Định lý
Lp  E,   là không gian Banach ( p  1 )

Chứng minh
Lấy một dãy cơ bản tùy ý  xn  t  n1 trong không gian Lp  E,   .


Theo định nghĩa,

  0   n

0

 N *   m,n  n0  xn  xm  

Từ đó suy ra

1


Với      n1  N *   n  n1  m  n1 
2


xn  xm 
23

1
2

(2.3.2)


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán

1
 xn  xn  ( n  n1 )
2
1

Với (  

1
) ( n2  N * ,n2  n1 ) ( n  n2 )
2
2
xn  xn 

1
22

 xn  xn 

1
2

2

2

1

Quá trình này tiếp tục mãi mãi ta nhận được dãy con  xn

k

cho xn  xn 
k 1

k

1

2k

 của dãy (xn) sao

 k  1,2,... .

s

Đặt ys  t   xn1  t    xnk 1  t   xnk  t  ,s  1,2,...
k 1

thì ys  t   Lp  E,   và ys  t   0  t  E,s  1,2,...
Ta nhận được dãy hàm  ys  t   Lp  E,    không giảm, do đó tồn tại
lim ys  t    với mỗi t  E .
s 

áp dụng bổ đề Fatou ta được:

 lim  y  t  d    lim  y  t  d   lim   y  t  d   lim
p

E

s

s 

p

E s 

s

p

s

s  E

s 

ys

p

nhưng
1
 xn1  1
k
k 1 2

s

s

ys  xn1   xnk 1  xnk  xn1  
k 1

p

nên lim ys
s 

 

(2.3.3)

Do đó 0   lim
 ys  t   d   
s  
p

E

Suy ra lim  ys  t  hữu hạn h.k.n trên E . nghĩa là lim  ys  t  tồn tại và hữu
s 
s 
p

hạn h.k.n trên E . Vì vậy, chuỗi
24


Khoá luận tốt nghiệp

Phạm Thị Thương-K29C Toán


xn1  t     xnk 1  t   xnk  t   hội tụ tuyệt đối h.k.n trên tập E .
k 1

Nên dãy hàm:
s

xns1  t   xn1  t     xnk 1  t   xnk  t  , s  1,2,... hội tụ h.k.n trên E
k 1

tới hàm số y(t) nào đấy khi s   . Nhờ hệ thức (2.3.3) và hệ thức:

xns1  t   lim ys  t   Lp  E,    s  1,2,...
s 

ta được

 y t 

p

E

d   lim  xns1  t  d    lim ys  t  d   
p

s 

p

E

E

s 

Suy ra y  t   Lp  E,  
áp dụng bổ đề Fatou ta được:

y  xnk

p

  lim xns1  t   xnk  t  d   lim  xns1  t   xnk  t  d 
p

E

p

s 

s 

E

p

 s

 lim   xn j1  t   xn  t    lim   xn j1  t   xn j  t  
s 
s 

j k 
 j k

s

p

j

p

1
 s 1
 lim   j    k 1 p
s 
 j k 2  2

( k  1,2,...)

y  xn  0 ,
Do đó lim
k 
k

nghĩa là  k0  N *  k  k0 

y  xnk  

(2.3.4)

Đặt k  max n0 ,nk  thì n  k , kết hợp các hệ thức (2.3.3) và (2.3.4) ta được
0

n,n

k

 k

y  xn  y  xnk  xnk  xn  2  k  ;n   

y  xn  0
Ta được: lim
n 

Vậy dãy  xn  t  n1 hội tụ tới y  t  trong không gian Lp  E,   .


Do đó không gian Lp  E,   là không gian Banach.

25