Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn rn, ℓ p (p≥1), c0

Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Lời cảm ơn
Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi bước đầu tập dượt nghiên
cứu đề tài khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy cô
giáo và các bạn trong khoa.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS.
GVCC Nguyễn Phụ Hy người đã trực tiếp hưỡng dẫn chỉ bảo tận tình để em
có thể hoàn thành bản khoá luận này.
Đồng thời em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ giải
tích, ban chủ nhiệm khoa Toán – Trường ĐHSP Hà Nội2, các cô chú trong
thư viện nhà trường đã tạo điều kiện thuận lợi để em có cơ hội để hoàn thành
công việc của mình.
Ngày

tháng 5 năm 2007
Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Lời nói đầu
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa
đầu thế kỷ XX, hiện nay đã được xem là ngành toán học trọng điển. Nội dung
của nó là sự hợp nhất của những lý thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng
một số khái niệm và kết quả của giải tích, đại số, phương trình vi phân…
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, giải tích hàm đã tích luỹ được
một nội dung hết sức phong phú, bao gồm:
- Lý thuyết các không gian trừu tượng ( không gian metric, không gian
định chuẩn, không gian tôpô và toán tử tôpô).
- Lý thuyết và toán tử tuyến tính.
- Lý thuyết các bài toán cực trị, giải tích hàm phi tuyến, giải gần đúng
phương trình toán tử.
- Lý thuyết nội suy toán tử, giải tích hàm ngẫu nhiên.
Những phương pháp, kết quả rất mẫu mực và tổng quát của giải tích
hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và có sử dụng
đến những công cụ giải thích và không gian vec tơ. Ngoài ra nó còn ứng dụng
trong vật lý lý thuyết và trong một số lĩnh vực kỹ thuật.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn này
và bước đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học em đã chọn đề tài:“
Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trong các không gian định
chuẩn ¡ n ,lp (p ³ 1),c0 ”. Nghiên cứu đề tài này em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về
không gian vô hạn chiều mà cụ thể ở đây là không gian ¡ n ,lp (p ³ 1),c0 .Từ đó
có thêm kiến thức về các vấn đề của giải tích,sự khác nhau của chúng trên các
không gian khác nhau, xét ở khía cạnh khác nhau.
Nội dung của khoá luận gồm 3 chương:

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn ¡ n .
.
Chương 2: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn lp (p ³ 1) .
Chương 3: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục trên
không gian định chuẩn c0.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực có hạn nên một số vấn đề đặt ra
trong khoá luận còn chưa được giải quyết triệt để. Em rất mong được sự giúp
đỡ và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn để khoá luận này được
hoàn thiện hơn.
Ngày

tháng 5 năm 2007.
Sinh viên

Nguyễn Thị Khánh Ly

Trường ĐHSP Hà Nội 2

3

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Chương 1: Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục
trên khôn gian
1.1. Không gian tuyến tính ¡

¡ n (n ³ 1) .

n

Cho tập hợp ¡ n = {x = (x1, x2,….xn)/xi Î ¡ , i = 1, n }.
Với 2 phần tử tuỳ ý x = (xi)ni =1 Î ¡ n , y = ( yi )in= 1 Î ¡

n

và a Î P (P= ¡ hoặc

C).Ta định nghĩa hai phép toán như sau:
Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y và kí hiệu là x + y là phần tử
n
x + y = (xi + yi )i=1

và tích của 2 phần tử x và a ,kí hiệu là a x là phần tử
n

a x = (a x i )i = 1 .

Định lý 1.1.1
¡ n đóng kín với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên.

Chứng minh:
+) " x = (x i )in= 1 " y = (y i )in= 1 Î ¡ n ,ta có:

" i = 1, n , xi Î ¡ , yi Î ¡ Þ xi + yi Î ¡ , " i= 1, n Þ (xi + yi) in= 1 Î ¡
n

Þ x + y = (xi+ yi) i = 1

+) " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , a Î P. Ta có:
a xi Î ¡ ,i= 1, n Þ

a x = ( a x i)

n
i= 1

Î ¡ n.

Vậy ¡ n đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên
Định lý 1.1.2.
¡ n cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định ở trên lập thành một

không gian tuyến tính.
Chứng minh:

Ta chỉ ra 2 phép toán định nghĩa ở trên thoả mãn 8 tiên đề của không
gian tuyến tính

Trường ĐHSP Hà Nội 2

4

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

1. " x = (x i )in= 1 " y = (y i )in= 1 Î ¡ n ,ta có:
xi+ yi = yi + xi, " i = 1, n Þ x + y = y + x ( tiên đề 1 thoả mãn).
2. " x = (x i )in= 1 , " y = (y i )in= 1 , z = (zi) in= 1 Î ¡ n , ta có:
(xi +yi)+zi= xi + (yi+zi), " i = 1, n
Þ (x + y) +z = x + (y +z)

(Tiên đề 2 thoả mãn).

3. Xét phần tử q = (0, 0,…,0) Î ¡ n , " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , ta có:
0 +xi = xi " i = 1, n
Þ q+ x = x , " x Î ¡

( Tiên đề 3 thoả mãn).

n

4. " x = (x1, x2,…. xn) Î ¡
Ta có:

n

, tồn tại phần tử – x = (-x1,- x2….- xn) Î ¡

n

xi + (-xi) = 0, " i = 1, n

Þ x + ( - x)= q , " x Î ¡

5. " x = (xi) in= 1 Î ¡

n

( Tiên đề 4 thoả mãn).

n

, " a , b Î ¡ ta có:

a ( b xi) = ( a b )xi, " i = 1, n

Þ a ( b x) = ( a b )x

( Tiên đề 5 thoả mãn).

6. " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , " a , b Î ¡ ,ta có:

( a + b )xi= a xi + b xi , " i = 1, n
Þ ( a + b )x = a x + b x

7. " x = (xi) in= 1 Î ¡ n , " y = (yi)

(Tiên đề 6 thoả mãn).
n
i= 1

Î ¡ n , " a , b Î ¡ ,ta có:

a (xi+ yi) = a xi + b xi, " i = 1, n

Þ a (x + y) = a x + a y

8. " x = (xi)

n
i= 1

(Tiên đề 7 thoả mãn)

Î ¡ n , ta luôn có :

1. xi =xi ( 1 là đơn vị của ¡ ) , " i = 1, n
Þ 1. x = x , " x Î ¡

(Tiên đề 8 thoả mãn).

n

Vậy ¡ n là một không gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng và
nhân xác định ở trên.

Trường ĐHSP Hà Nội 2

5

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Bổ đề1.1.1.
Nếu a,b là hai số không âm; p,q là cặp số mũ liên hợp
( tức là

1 1
+ = 1), 1< p < ¥ thì
p q

a p aq
ab £
+
p
q

Dấu “=” sảy ra Û ap = bq

Chứng minh:
Nếu ab = 0 thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng.
Nếu a > 0 , b > 0 ta xét hàm số:
t p t- q
với t > 0
+
j (t) =
p
q

Ta có:
p-1

j ' (t) = t

- t-q-1= t-q-1(tp+q-1).

j ' (t) = 0 Û t = 1 ( với t > 0)

Bảng biến thiên :
1
0

0
t
j ' (t + ¥
)
j (t)

+¥

+
+¥

1
Hình1.1 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của hàm j suy ra
min j (t) = j (1) = 1

0< t< ¥

1
q

- 1
p

Do đó j (t) ³ j (1) = 1 , " t Î (0;+ ¥ ). Chọn t = a b ta được

Trường ĐHSP Hà Nội 2

6

K29E – Toán


Lun Vn Tt Nghip
p

Nguyn Th Khỏnh Ly
-

a q .b- 1 a- 1.b
+
p
q


q
p

a p- 1.b- 1 b p- 1.a- 1
+
1
p
q

1

a p bq
+
ab
p
q

Du ng thc sy ra khi v ch khi
1

-

a q .b

1
p

1

1

= 1 a q = b p a p = bq

B 1.1.2. ( Bt ng thc Holder)
1 1
+ = 1),1 Ê p < + Ơ
p q

Nu p,q l cp s m liờn hp ( tc
n

n

" x = (xi) i = 1 , y = (yi) i = 1 ẻ Ă
1

n

ồ

i= 1

n

ta cú

1

n
ổn
ửq
p ửp ổ
ỗỗồ y q ữ
xi yi Ê ỗỗồ xi ữ
.
ữ
ữ
i
ữ ốỗ
ữ
ỗố i= 1
ứ
ứ
i= 1

Chng minh:
1

1

ổn
p ửp
t A = ỗỗỗồ xi ữữữ

ố i= 1
ứ

ổn
q ửq
; B = ỗỗỗồ yi ữữữ
ố i= 1
ứ

Nu A.B = 0 thỡ bt ng thc hin nhiờn ỳng.
Nu A > 0, B > 0,theo b 1.1.1 ta cú
p

q

xi yi
x
y
Ê i p+ i q
A.B P. A
q.B
n

ị

n

ồ

xi yi

Ê

i= 1

A.B

=

i= 1

p. A p

n

p 1
.p
p

+

ồ

yi

p(ồ xi )
i= 1

=

q.B q

ồ
+

q

i= 1

q

n

xi

i= 1

n

p

xi

p

n

ồ

ồ

xi

i= 1
q 1
.q
q

n

q(ồ xi )

ị

ồ

i= 1

1 1
+ =1
p q

i= 1
1

n

=

1

n
ổn
ửq
p ửp ổ
ỗỗồ y q ữ
xi yi Ê AB = ỗỗồ xi ữ
ữ
i ữ
ữ
ữ
ỗố i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ

Trng HSP H Ni 2

7

K29E Toỏn


Lun Vn Tt Nghip

Nguyn Th Khỏnh Ly
1

Vy

n

ồ

i= 1

1

n
ổn
ửq
p ửp ổ
ỗỗồ y q ữ
xi yi Ê ỗỗồ xi ữ
ữ
i ữ
ữ ốỗ
ữ
ỗố i= 1
ứ
ứ
i= 1

B 1.1.3.( Bt ng thc Mincovxki)
Vi " x = (xi)ni= 1, y = (yi)ni= 1 ẻ Ă
1

n

ta cú

1

1

p
ổn
ửp ổ n
ổn
ửp
pử
ữ
ỗỗồ x + y p ữ
ỗ
ỗỗồ y p ữ
Ê
x
+
ữ
ữ
ỗ
ồ
i
i ữ
i
i
ữ
ữ ốỗ
ữ , 1Ê p < + Ơ
ỗố i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ

ứ
i= 1

Chng minh:
pử
ổn
ổn
ữ
ỗỗ
ỗ
ữ
x
+
y
Ê
xi + yi
i ữ ỗồ
ỗỗồ i
ữ
ữ ỗố i= 1
ố i= 1
ứ

Ta cú:

p- 1

ử
ữ
ữ( xi + yi ) (1)

ữ
ứ

Mt khỏc, ỏp dng b 1.1.2 ta cú:
ổn
ỗỗồ x + y
i
i
ốỗ i= 1

p- 1

ử
ổn
ữ
ỗỗồ x + y
x
Ê
ữ
i
i
ữ
ỗố i= 1 i
ứ

1
( p- 1).q q

ử
ữ

ữ
ữ
ứ

1

ổn
ửp
ỗỗồ x p ữ
i ữ
ữ
ốỗ i= 1
ứ

1

1

n
ổn
p ửq ổ
p ửp
= ỗỗỗồ xi + yi ữữữ ỗỗỗồ xi ữữữ
ố i= 1
ứ ố i= 1
ứ

ổn
ỗỗồ x + y
i

ỗố i= 1 i

(2)

1

1

qổn
ổn
p- 1 ử
( p- 1) q ử
p ửp
ữ
ữ
ữ yi Ê ỗỗồ xi + yi
ữ ỗỗồ yi ữ
ữ
ữ
ữ
ữ ốỗ i= 1
ứ
ốỗ i= 1
ứ
ứ
1

1

n

ổn
p ửq ổ
p ửp
= ỗỗỗồ xi + yi ữữữ ỗỗỗồ yi ữữữ
ố i= 1
ứ ố i= 1
ứ

(3)

T (1) , (2) v (3) ta cú:
n

ồ

xi + yi

i= 1

p

1 ộ
1
1ự
n
n
q ờ
p
pỳ
ổn

ổ
ử
ổ
ử
pử
p
p
ờỗỗồ xi ữ
ỳ
Ê ỗỗồ xi + yi ữ
+ ỗỗồ yi ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ữ
ỗố i= 1
ứ ờốỗ i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ ỳ
ờở
ỳ
ỷ
1

1

1

ổn
ổn
ửp ổ n
ửp
p ửp
ỗỗồ x p ữ
ỗỗồ y p ữ
ị ỗỗồ xi + yi ữ
Ê
+
ữ
ữ
i ữ
i ữ
ữ
ữ
ốỗ i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ ốỗ i= 1
ứ

nh lý 1.1.3
Trờn khụng gian tuyn tớnh Ă

n

ta xột ba ỏnh x i t Ă

n

vo tp s thc

nh Ă sau

Trng HSP H Ni 2

8

K29E Toỏn


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

n

" x = (xi )i= 1 Î ¡

ta đặt

n

n

å

1). x 1 =

n

xi .

i= 1

2). x 2 = max x i .
1£ i< n

1
p p

æn
3). x 3 = çççå x i
è i= 1

ö
÷
, p >1.
÷
÷
ø

Các công thức 1) hoặc 2) hoặc 3) cho ta một chuẩn trên ¡

n

Chứng minh:
a. Công thức 1) cho ta một chuẩn trên ¡

n

Kiểm tra 3 tiên đề về chuẩn
n

1. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , ta có:
n

å

xi

2

³ 0Þ

x 1³ 0

i= 1
n

å

x 1= 0Û

2

x i = 0 Û x i = 0, " i = 1, n

Û x= q

i= 1
n

2. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , " l Î ¡ ta có
n

lx1=

å

n

å

2

l xi = l

i= 1

2

xi = l . x

1

i= 1

n

n

3. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , y = (yi )i= 1 Î ¡

n

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovsky ta có
n

å

n

x i yi £

i= 1
n

Û

å

i= 1

å

xi .

i= 1

å

n

n

i= 1

æ
çç
(x
+
y
)
£
åi= 1 i i
çç
è
2

i= 1

i= 1

n

å

n

xi2 + 2

i= 1

n

å

Trường ĐHSP Hà Nội 2

yi 2

i= 1

x i 2 + 2 å x i yi + å yi 2 £

n

Û

n

2

n

xi +
2

å

i= 1

9

å

i= 1

n

xi2 .

å

i= 1

n

yi 2 +

å

yi 2

i= 1

2

ö

÷
yi ÷
÷
÷
÷
ø
2

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

n

n

å

Û

n

å

(x i + yi ) 2 £

i= 1

å

xi2 +

i= 1

Û x + y1 £

x1+

yi 2

i= 1

y , " x, y Î ¡

n

Vậy ¡ n cùng với chuẩn 1) là không gian định chuẩn.
b. Công thức 2) xác định một chuẩn trên ¡ n .
Kiểm tra các tiên đề về chuẩn
1. " x = ( x1, x2,....xn) Î ¡ n , ta có:
x i ³ 0 , " i = 1, n Þ max x i ³ 0 Þ
1£ i< n

x 2³ 0

x 2 = 0 Û max x i = 0 Û x i = 0, " i = 1, n Û x = q .
1£ i< n

2. " x = ( x1, x2,....xn) Î ¡ n , " l Î

¡ ,ta có:

max l x i = max ( l x i ) = l max x i
1£ i < n

1£ i < n

Þ

lx2= l x

1£ i < n

2

n

n

3. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , y = (yi )i= 1 Î ¡ n , ta có:
xi + yi

£

xi + yi

." i = 1, n

Þ x i + yi £ max x i + max yi , " i = 1, n
1£ i< n

1£ i< n

Þ max x i + yi £ max x i + max yi , " i = 1, n
1£ i< n

1£ i< n

Þ x+ y

Vậy ¡

n

£

2

x

2

1£ i< n

+ y

2

, " x, y Î ¡

n

cùng với chuẩn 2)là một không gian định chuẩn

c. Công thức 3) cho ta một chuẩn trên ¡ n , thật vậy:
n

1. " x = (x i )i= 1 Î ¡ n , ta có :
1

x i ³ 0 , " i = 1, n Þ

Trường ĐHSP Hà Nội 2

æn
öp
ççå x p ÷
i ÷
÷ ³ 0
çè i= 1
ø

10

hay

x

3

³ 0

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly
1

x

æn
p öp
= 0 Û ççå x i ÷
÷
÷ =0 Û
çè i= 1
ø

3

x i = 0 , " i = 1, n

Û x =q
n

2. " x = (x i )i= 1 Î ¡

, " l Î ¡ ,ta có:

n

n

3. " x = (x i )i= 1 Î ¡

n

1

1

p öp
æn
öp
p÷
÷
ç
ç
= l .x
÷ = l .çå x i ÷
÷
÷
÷
÷
çè i= 1

ø
ø

æn
x 3 = ççå l x i
çè i= 1

n

, " y = (yi )i= 1 Î ¡

3

n

áp dụng bất đẳng thức Mincovski ta có
1

1

1

p
æn
öp
æn
æn
öp
pö
÷

ççå x + y p ÷
ç
ççå y p ÷
£
x
+
÷
÷
ç
å
i
i ÷
i
i
÷
÷
÷ ,"p> 1
çè i= 1
ø
èç i= 1
ø
èç i= 1
ø

Û

x+ y

3

£

x

3

+

y

3

,"x ,yÎ ¡ n .

Vậy ( ¡ 2 , . 3 ) là một không gian định chuẩn.
1.2. Không gian Banach ¡

n

Giả sử trên không gian tuyến tính ¡ n cho một chuẩn nào đó, kí hiệu . 3
Định lý: 1.2.1
Không gian định chuẩn ¡

n

là một không gian Banach.

Chứng minh:
Theo định lý “ Mọi không gian định chuẩn n chiều đều đồng phôi
tuyến tính” nên chỉ cần chứng minh tính Banach của ¡ n theo một chuẩn

(chẳng hạn . 2 ). Từ đó suy ra tính Banach của ¡

n

theo các chuẩn còn lại.

Giả sử: (x (k) )¥k= 1 là một dãy cơ bản bất kỳ trong ¡

n

với

(k)
x( ) = (x1(k) ,x (k)
2 ,...,x n ) . Nghĩa là:
k

(" e > 0) ,($ k 0 Î ¥ * ), (" m, k ³ k 0 ) .Ta có

x (m) - x (k) £ e
2

hay max xi (m) - xi (k) £ e Û xi(m) - xi(k) < e, " i = 1, n
1£ i< n

Trường ĐHSP Hà Nội 2

11

K29E – Toán

Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Suy ra với mỗi i cố định ( i = 1, n ) , dãy (x(i k) )¥k= 1 là một dãy số cơ bản, do
đó tồn tại xj(0) = lim x(j )
k

(*)

i

Đặt x(0) = (x1(0) ,x(2 ),...,x(0)
n ) Î ¡
0

n

Từ (*) ta có ( " e > 0) , ( $ k1 Î ¥ * ) ( " k ³ k1 ) ta luôn có
x i(k) - x i(0) < e Þ x (k) - x (0)

2


Nghĩa là dãy ( (x (k) )¥k= 1 hội tụ tới x(0) Î ¡
Vậy không gian định chuẩn ¡

n

n

là một không gian Banach

1.3. Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục xác định trên
không gian ¡

n

¡ n = {x = ( x1, x2,...,xn) / xi Î ¡ ; n Î ¥ * }

Giả sử: trên ¡

n

đã xác định một chuẩn nào đó kí hiệu .

Gọi ei = ( dij )nj = 1, trong đó:

di j = 1nếu i ¹ j, di j =0 nếu i=j; " i = 1, n
là cơ sở của không gian ¡
Với " x= ( xi )in= 1
với x =

Î

¡

n

n

đều có hiểu diễn duy nhất dưới dạng

n

å

x i ei

i= 1

Lấy một phiến hàm bất kỳ f Î ( ¡ n )* ( ¡ n )* là không gian liên hợp của
¡ n ) ta có
" x = (xi)

n

i= 1 Î

¡ n;
n

f(x) = f ( å x i ei ) =
i= 1

Þ

$ (fi )in= 1 Î ¡

n

å

n

x i f (ei ) =

i= 1

å

x i f i , f i = f (ei ) i = 1, n

i= 1

n

Ngược lại với mỗi vectơ cố định tuỳ ý f = (fi)ni = 1 Î ¡ n ta có
n

f (x) =

å

fi x i

, " x = ( x i )in= 1

Î ¡

n

i= 1

Trường ĐHSP Hà Nội 2

12

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Dễ dàng thấy f là một phiến hàm tuyến tính trên ¡ n , hơn nữa f liên tục
Thật vậy
n

å

1. Giả sử x 1 =

xi

2

, " x = (xi)

n
i= 1

Î ¡

n

ta có

i= 1
n

å

f (x) =

2

n

x i fi £

i= 1

å

n

å

fi

i= 1

2

2

n

xi = x 1 .

i= 1

å

fi

i= 1

n

å

f £

Þ

fi 2

(1)

i= 1

fi

Chọn x0 = ( x i(0) )in= 1 , x(i 0) =

, " i = 1, n

n

å

fi

2

i= 1

Þ

x0 Î ¡

n

và x 0 = 1
fi2

n

f (x 0 ) =

å

i= 1

n

=

n

å

å

f i2

i= 1

f i2

i= 1

Suy ra
n

f = sup f (x ) ³ f (x 0 ) =

å

f i2

(2)

i= 1

Từ (1) và (2) ta nhận được f =

n

å

fi 2

(3)

i= 1

Bất đẳng thức (1) chứng tỏ f bị chặn. Do đó f Î ( ¡ n )* và chuẩn trên
( ¡ n )* xác định bởi hệ thức (3)

2. Giả sử x 2 = max x i ,
i

n

" x= (x i )i= 1

Î ¡

n

Khi đó ta có:
n

f (x) =

n

å

x ifi £

i= 1

å

i= 1

æn ö
x i . f i £ x 2 .ççå f i ÷
÷
÷ ,f i = f (ei ), i = 1,n
èç i= 1 ø

n

Þ

f

£

å

fi

(4)

i= 1

Trường ĐHSP Hà Nội 2

13

K29E – Toán


Lun Vn Tt Nghip

Nguyn Th Khỏnh Ly

Mt khỏc chn x0 = (sign (fi) in= 1 ẻ Ă

n

n

ị

x 0 2 = 1 v f (x 0 ) =

n

ồ

(sign(fi )f i =

i= 1

ồ

fi

i= 1
n

Suy ra f = sup f (x)

f (x 0 ) =

ồ

fi

i= 1

n

Bt ng thc (4) v ( 5) cho ta f =

ồ

fi (6)

i= 1

T (4) chng t f b chn, do ú f ẻ ( Ă n )* v chun trờn

(Ă n )* xỏc nh bi h thc (6)
n

1
p p

3. Gi s x 3 = (ồ x i )

" x = (xi)

n
i= 1

ẻ ( Ă n )* , P>1

i= 1

Khi ú " f ẻ ( Ă n )* ta cú

n

f (x) =

n

ồ

x ifi Ê

i= 1

ồ

x ifi

i= 1

ỏp dng bt ng thc Holder ta cú:
1

n

f (x) Ê

ồ

x if i

i= 1

Trong ú:

1

1

n
q
p
ổn
ổn qử
p ửp ổ
qử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
Ê ỗỗồ x i ữ
.
f
=
x
.
fi
ữ ỗồ i ữ
ồ ứữữ
3 ỗ
ữ ốỗ i= 1
ữ

ỗố i= 1
ứ
ứ
ốỗ i= 1

1 1
+ =1
p q
1

ổn
q ửq
ị f Ê ỗỗồ fi ữ
ữ
ữ
ỗố i= 1
ứ

(0) Ơ
n= 1
i

Mt khỏc chn x0 = (x )

Trng HSP H Ni 2

0

trongú x i =

14

fi

q- 1

sign(f i )

ổn
ỗỗ f
ỗỗồ i
ố j= 1

1
q p

ửữ
ữ
ữ
ữ
ứ

K29E Toỏn


Luận Văn Tốt Nghiệp

p

Þ x0 =

n

å

Nguyễn Thị Khánh Ly
n

x =
0
i

i= 1

å

fi

q- 1

sign(fi ).fi
n

å

i= 1

fi

=

.

n

å

q

n

1

i= 1

fi

q

å

q

fi = 1

i= 1

i= 1

n

n

f (x) =

å

n

f i0 x i0 =

å

i= 1

i= 1

1-

æn
qö
= ççå fi ÷
÷
÷
çè i= 1
ø
Þ

1
p

fi

q- 1

sign(fi ),f i

æn
ççå f
çè i= 1 i

1
q p

å
=

ö
÷
÷
÷
ø

fi

q

i= 1
1

æn
öp
ççå f q ÷
i ÷
÷
èç i= 1
ø

1

æn
q öq
= ççå fi ÷
÷
÷
èç i= 1
ø

æn
f = sup f (x) ³ f (x) = ççå f i
çè i= 1

1

q öq
÷
÷
÷
ø

x =1
1

æn
q öq
Hay f ³ ççå f i ÷
÷
÷
çè i= 1
ø

(8)
1

æn
q öq
Từ (7) và (8) ta nhận được f = ççå fi ÷
÷
÷
çè i= 1
ø

Vậy chuẩn trên ( ¡ n )* cho bởi hệ thức

Trường ĐHSP Hà Nội 2

15

(9)
(9)

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Chương 2: Không gian l p (p ³ 1)
2.1. Trường hợp 1 £ p < + ¥
2.1.1.Định nghĩa
¥
n n= 1

Tập hợp l p = {x = (x )

¥

xn Î ¡ , å xn < + ¥ } , 1 £ p + ¥
n= 1

2.1.2. Không gian tuyến tính l p (p ³ 1)
Với 2 phần tử tuỳ ý x = (x n )¥n= 1 Î l p , y = (yn )¥n= 1 Î l p và a Î ¡
ta định nghĩa các phép toán như sau:
Ta gọi tổng của 2 phân tử x và y, kí hiệu x + y là phần tử
x + y = (xn + yn)

¥
n= 1

Ta gọi tích của 2 phân tử x và a , kí hiệu và a x là phân tử

a x = ( a xn)

¥
n= 1

Định lý: 2.1.1.
l p đóng kín đối với 2 phép toán cộng và nhân xác định ở trên .

Chứng minh:
+ " x = (xn)

¥
n= 1

; y = (yn)

¥
n= 1

Î l p, ta có:
p

p

x n + y n £ x n + y n Û x n + y n £ ( x n + y n , " n Î ¥ * (1)

Mặt khác

x n + yn £ 2 max {x n ; yn }
p

p
*
Þ ( x n + y n £ 2p éêëmax {x n ; y n }ù
ú "nÎ ¥
û

Do đó, " k Î ¥ * ta có

Trường ĐHSP Hà Nội 2

16

K29E – Toán


Lun Vn Tt Nghip
p

k

ồ

Nguyn Th Khỏnh Ly
k

x n + yn Ê

n= 1

ồ

(

p

2p x n + y n

p

)

n= 1

ổk
p
= 2p ỗỗồ x n +
ỗố n= 1

k

ồ

n= 1

pử
yn ữ
ữ

ữ
ứ

Ơ
ổƠ
p
pử
ỗ
; " k ẻ Ơ*
Ê 2 ỗồ x n + ồ y n ữ
ữ
ữ
ốỗ n= 1
ứ
n= 1
p

Cho k đ Ơ ta c
p

Ơ

ồ

x n + yn

p
ổƠ
ỗ
Ê 2 ỗỗồ x n +

ỗố n= 1
p

n= 1

Suy ra x + y = (xn + yn)
Ơ
n= 1

+ " x = (xn)
p

k

ồ

k

a xn Ê

n= 1

ồ

Ơ
n= 1

ử
ữ
yn ữ

< +Ơ
ữ
ữ
ứ
p

Ơ

ồ
n= 1

ẻ lp

ẻ Ă , " a ẻ Ă ta cú
p

p

a . xn = a

p

n= 1

k

ồ

k

x n = a .ồ x n Ê a
p

p

n= 1

p

p

n= 1

Ơ

ồ

p

xn ,

n= 1

"kẻ Ơ *

Cho k đ Ơ ta c
p

Ơ

ồ

a xn Ê a

p

n= 1

p

Ơ

ồ

xn

< + Ơ ị a x = (a x n )Ơn= 1 ẻ l p

n= 1

Vy l p úng kớn vi 2 phộp toỏn cng v nhõn xỏc nh trờn
nh lý 2.1.2.
l p cựng vi 2 phộp cng v nhõn xỏc nh trờn lp thnh mt khụng

gian tuyn tớnh.
Chng minh:
Ta ch ra 2 phộp cng v nhõn xỏc nh trờn tho món 8 tiờn ca
khụng gian tuyn tớnh
1. " x = (xn)

Ơ
n= 1

, y = (yn)

Ơ
n= 1

ẻ l p ta cú

" n = 1,2.....

xn + yn = xn + yn,

ị x+y =x+y
2. " x = (xn)

Ơ
n= 1

, y = (yn)

Trng HSP H Ni 2

(tiờn 1 tho món)
Ơ
n= 1

, z = (zn)
17

Ơ
n= 1

ẻ l p ta cú

K29E Toỏn


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

(xn + yn) + zn = xn + (yn + zn)

Þ (x + y) + z = x + (y + z )

" n = 1,2.....
( tiên đề 2 thoả mãn)

3. Xét phần tử q = (0,0...) Î l p, " x = (xn)
xn + 0 = 0 + xn

Þ

¥
n= 1

Î l p ta có

" n = 1,2.....

x+ q = q +x=x

(tiên đề 3 thoả mãn)

Phần tử q được gọi là phần tử không của l p
4. " x = (xn)

¥
n= 1

Î l p , đặt " - x = (-xn)

¥
n= 1

Rõ ràng -x Î l p và xn + (- xn) = 0, " n = 1,2.....
(tiên đề 4 thoả mãn)

Þ x +(-x) = q
5. " x = (xn)

¥
n= 1

Î l p , " y = (yn)

¥
n= 1

, Î l p ta có

" n = 1,2.....

a (xn + yn) = a xn + a yn,
Þ a (x + y) = a x + a y
6. " x = (xn)

¥
n= 1

(tiên đề 5 thoả mãn)

Î l p, " a , b Î p ta có

( a + b ) xn = a x n + b x n ,

" n = 1,2.....

Þ (a + b) x = a x + bx

7. " x = (xn)

¥
n= 1

(tiên đề 6 thoả mãn)

Î l p, " a , b Î p ta có

a ( b xn) = ( a b )xn,

" n = 1,2.....

Þ a ( b x) = ( a b )x

8. " x = (xn)

¥
n= 1

(tiên đề 7 thoả mãn)

Î l p, ta có

" n = 1,2.....

x n . 1 = xn,
Þ x.1=x

(tiên đề 8 thoả mãn)

Vậy l p là không gian tuyến tính thực
Bổ đề 2.13. ( Bất đẳng thức Holder)
Nếu p,q là cặp số mũ liên quan ( tức

Trường ĐHSP Hà Nội 2

18

1 1
+ = 1) , 1 £ p < + ¥
p q

K29E – Toán


Lun Vn Tt Nghip
" x = (xn)

Ơ
n= 1

Nguyn Th Khỏnh Ly
Ơ
n= 1

ẻ l p, " y = (yn)

, ẻ l p , ta cú

1

ồ

1

p ổƠ
ổƠ

ửq
pử
ữ
ỗ
ỗỗồ y q ữ
Ê ỗồ x n ữ
.
n ữ
ữ ốỗ
ỗố n= 1
ứ
ứữ
n= 1

Ơ

x n .y n

n= 1

Chng minh:
1

1

ổƠ
p ửp
t A = ỗỗồ x n ữ
ữ
ữ

ỗố n= 1
ứ

ổƠ
p ửp
, B = ỗỗồ y n ữ
ữ
ữ
ỗố n= 1
ứ

Nu A . B = 0 thỡ bt ng thc hin nhiờn ỳng
Nu A > 0 , B > 0 thỡ theo b 1.1.1 ta cú:
p

q

x n .y n
x
y
Ê np+ nq
A.B
p.A
q.B
Do ú K ẻ Ơ * tu ý ta cú
k

k

ồ

x n .yn
Ê

n= 1

A.B

ồ

xn

+

n= 1

p.A

k

p

p

ồ

yn

Ê

n= 1

p.A

Ơ

p

p

ồ

xn

n= 1

p.A

p

Ơ

p

+

ồ

yn

q

n= 1

q.Bq

Cho k đ Ơ ta cú
Ơ

ồ

x n .y n

Ơ

p

Ê

n= 1

B.A

ồ

xn

+

n= 1

p.A

Ơ

q

p

ồ

yn

q

=

n= 1
q

q.B

1 1
+ =1
p q

1

Ơ

ị

ồ

x n .y n

n= 1

Vy

1

Ơ

ồ

1

p ổƠ
ổƠ
ửq
pử
ữ
ỗ
ỗỗồ x q ữ
.
Ê A.B = ỗồ x n ữ
n ữ
ữ ỗố
ữ

ỗố n= 1
ứ
ứ
n= 1

x n .y n

n= 1

1

p ổƠ
ổƠ
ửq
pử
ữ
ỗ
ỗỗồ y q ữ
Ê ỗồ x n ữ
.
n ữ
ữ ốỗ
ữ
ỗố n= 1
ứ
ứ
n= 1

B 2.1.4. ( Bt ng thc Mincovxki)
Vi " x = (xn)

Ơ
n= 1

, ẻ l p, " y = (yn)

Trng HSP H Ni 2

19

Ơ
n= 1

,ẻ l

p

ta cú

K29E Toỏn


Lun Vn Tt Nghip

Nguyn Th Khỏnh Ly
1

ổƠ
ửp ổ Ơ
ỗỗồ x + y ữ

ỗ
n
n ữ
ữ Ê ỗỗốồ x n
ốỗ n= 1
ứ
n= 1

1

p
pử
ữ
ữ
ữ
ứ

ổƠ
+ ỗỗồ yn
ốỗ n= 1

1

p
pử
ữ
ữ
ữ ,1 Ê p < + Ơ
ứ

Chng minh:
Do l p l mt khụng gian tuyn tớnh thc nờn " x, y ẻ l p suy ra
Ơ
n= 1

x + y = ( xn + yn)
Ơ

ị

ồ (x

n

+ yn

p

Ơ

p- 1 q

) =ồ

n= 1

Vi q :

ẻ l

x n + yn

p

<+Ơ

n= 1

1 1
+ = 1 hay ( x n + yn ) Ơn= 1 ẻ l
p q

p

Ta cú:
p

Ơ

ồ

x n + yn

n= 1

p- 1 ử
ổƠ
ữ
ỗ
Ê ỗỗồ x n + y n ữ

( x n + yn ) (1)
ữ
ữ
ỗố n= 1
ứ

Mt khỏc, ỏp dng b 2.1.3. ta cú
1

Ơ

ồ

x n + yn

p- 1

xn

n= 1

ổƠ
ửp
(p- 1).q ữ
Ê ỗỗồ x n + y n
ữ
ữ
ỗố n= 1
ứ

1

1

Ơ
ổƠ
p ửp ổ
p ửp
= ỗỗồ x n + y n ữ
ữ .ỗỗồ x n ữ
ữ
ữ ốỗ n= 1
ữ
ỗố n= 1
ứ
ứ

1

Ơ

ồ

(2)

x n + yn

p- 1

yn

n= 1

ổƠ
= ỗỗồ x n + y n
ỗố n= 1

1
q
p

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

1

p ổƠ
ổƠ
(p- 1).q ử
p ửp
ữ
ỗ
Ê ỗồ x n + y n
ữ .ỗỗồ y n ữ
ữ
ữ ốỗ n= 1
ữ

ốỗ n= 1
ứ
ứ

ổƠ
.ỗỗồ y n
ốỗ n= 1

1
p p

(3)

ử
ữ
ữ
ữ
ứ

T (1), (2) v (3) suy ra
1

ổƠ
ửp
ỗỗồ x + y p ữ
n ữ Ê
ữ
ỗố n= 1 n
ứ

1

1

p
ổƠ
ửp ổ Ơ
pử
ữ
ỗỗồ x p ữ
ỗ
+
y
n ữ
n ữ
ữ ốỗỗồ
ữ
ốỗ n= 1
ứ
ứ
n= 1

nh lý 2.1.3

Trng HSP H Ni 2

20

K29E Toỏn

Lun Vn Tt Nghip
ỏnh x

. :l

đ Ă

p

Ơ
n= 1

x = (xn)

Nguyn Th Khỏnh Ly

ổƠ
x = ỗỗồ x n
ỗố n= 1

a

1

p
pử
ữ
ữ
ứữ

Tho món cỏc tiờn v chun

Chng minh:
1

10. " x = (xn)

Ơ
n= 1

,ẻ l

p

ổƠ
p ửp
, x = ỗỗồ x n ữ
0
ữ
ữ
ỗố n= 1
ứ
1

ổƠ
p ửp
x = 0 ỗỗồ x n ữ
ữ
ữ =0

ỗố n= 1
ứ

20. " x = (xn)

Ơ
n= 1

xn = 0, " n = 1,2..... x = q

,ẻ lp, " a ẻ Ă
1

1

1
Ơ
p
ổƠ
ổƠ
pử
p
p p
p ửp
ữ
ỗ
a x = ỗồ a .x n ữ = ( a .ồ x n ) = a .ỗỗồ x n ữ
ữ = a x
ữ
ữ

ỗố n= 1
ỗ
ứ
ố
ứ
n= 1
n= 1

30. " x = (xn) Ơn= 1 , ẻ l p. " y = (yn)

Ơ
n= 1

,ẻ l

1

p
1

1

p
p
p
ổƠ
ổƠ
ổƠ
pử
pử

pử
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
x + y = ỗồ x n + y n ữ
Ê
x
+
y
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ ốỗồ n ứ
ữ ốỗồ n ứ
ữ
ỗố n= 1
ứ
n= 1
n= 1

( b 2.3.3)
Hay x + y Ê x + y
Vy ỏnh x

.

xỏc nh chun trờn l

p

2.1.4. Khụng gian Banach l p (1 Ê p < + Ơ )
nh lý 3.1.4.
l p l khụng gian Banach

Chng minh

Trng HSP H Ni 2

21

K29E Toỏn


Lun Vn Tt Nghip

Nguyn Th Khỏnh Ly

Gi s x(n) = (xk(n)) Ơk= 1 ẻ l

l p, Ta chng x(n) hi t trong l

n = 1,2.... l 1 dóy c bn bt k trong

p

p

Tht vy theo nh ngha dóy c bn, ta cú

" e > 0 , $ n0 ẻ Ơ * " m, n n 0
ổ
ỗỗồ x (n) - x
ỗố k= 1 k
Ơ

hay

1
p
(m) p
k

ử
ữ
ữ
ữ <2
ứ

: x (n) - x (m) < e

" n,m n 0

(1)

Trong ( 1) vi mi s k c nh, ta cú
(m)

x (n)
k - xk

" m, n n 0

Vy vi mi k c nh, dóy (xk(n)) Ơk= 1 l 1 dóy cosi trong Ă . Theo tiờu
chun cosi v s hi t ca dóy s, suy ra tn ti
)
xk = lim x (n
k , k = 1,2...

Cho k chy t 1 đ Ơ ta thu c dóy s x = (xk)

Ơ
k= 1

Bõy gi ta phi chng minh x ẻ l p v lim x (n) - x = 0

nđ Ơ
Tht vy: T (1) suy ra, vi s N bt k, N ẻ Ơ * ta cú:
N

ồ

x

(n)
k

- x

1
(m) p
k


" m, n n 0

(2)

k= 1

Trong (2)cho m đ Ơ ta c
ổ N (n )
ỗỗ x - x (m)
k
k
ỗốồ
k= 1

1

1
p

ửp
ữ
ữ

ữ
ữ
ứ

"n

n0

(3)

Do (3) ỳng " N ẻ Ơ * nờn trong (3) cho N đ Ơ ta c
1

ổ Ơ (n)
ửp
ỗỗồ x - x p ữ
ữ
k ữ < e
ỗố k= 1 k
ứ

Trng HSP H Ni 2

" n n 0 (4)

22

K29E Toỏn

Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

Ta thấy, rõ ràng với mỗi n ³ n0 phần tử x – x (n) = (xk- xk(n)

¥
k= 1

là 1 phần

tử của không gian l p. Do đó x = x(n) + (x – x(n)) Î l p.
Từ (4) Þ x (n) - x < e

"n ³

lim x(n) = x trong l

n® ¥

n 0 hay

p

Vậy l p là không gian Banach ( hay không gian đầy).
2.2. Trường hợp p = + ¥
2.2.1. Định nghĩa

l ¥ là tập hợp gồm các dãy số thực bị chặn.

l ¥ = {x = (xn) ¥n= 1

x n Î ¡ ,sup x n < + ¥ }
n

2.2.2. Không gian tuyến tính thực l ¥
Định nghĩa các phép toán
Với 2 phần tử tuỳ ý x =(xn) ¥n= 1 Î l ¥ , y =(yn) ¥n= 1

Î l ¥ và a Î ¡

ta định nghĩa các phép toán như sau:
Gọi tổng của 2 phần tử x và y, kí hiệu và x + y là phần tử
x + y = (xn + yn) ¥n= 1
Gọi tích của 2 phần tử x và a , kí hiệu là a x là phần tử

a x = ( a xn)

¥
n= 1

Định lý 2.2.1

l ¥ đóng kín với 2 phép toán cộng và nhân
Chứng minh:

" x = (xn) ¥n= 1 , " y = (yn)

¥
n= 1

,Î l¥

x n + y n £ x n + y n £ sup x n + sup y n < + ¥
n

Þ sup x n + yn < + ¥

n

¥
Þ x + y = (xn + yn) n= 1 Î l ¥

n

+ " x = (xn) ¥n= 1 Î l ¥

Trường ĐHSP Hà Nội 2

,"aÎ ¡
23

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly

a x = a . x n £ a .sup x n

< +¥

"nÎ ¥ *

n

Þ sup a x n

< + ¥ Þ a x = (a x n )¥n= 1 Î l ¥

n

Chứng tỏ l ¥ đóng kín với 2 phép toán trong bị ở trên
Định lý 2.2.2

l ¥ cùng với 2 phép toán cộng và nhân trang bị ở trên lập thành một
không gian tuyến tính.

Chứng minh
Ta chỉ ra 2 phép toán định nghĩa ở trên thoả mãn 8 trên đề của không
gian tuyến tính.
1. " x = (xn) ¥n= 1 , " y = (yn)

¥
n= 1

Î l¥

ta có

" n = 1,2.....

xn + yn= xn + yn

Þ x+y=y+x

(Tiên đề 1 thoả mãn)

2. " x = (xn) ¥n= 1 , " y = (yn)

¥
n= 1

, z = (zn)

(xn + yn) + zn = xn + (yn + zn)

¥
n= 1

Î l¥

" n = 1,2.....
(Tiên đề 2 thoảt mãn)

Þ (x + y)+ z = x + (y+ z)

3. Xét phần tử q = (0,0...) Î l ¥

ta có

" n = 1,2.....

xn + 0 = 0 + xn = x

(Tiên đề 3 thoảt mãn)

Þ x+ q = q + x = x

4. " x = (xn) ¥n= 1 , Î l ¥

ta có

, đặt y = (- xn)

¥
n= 1

,

Rõ ràng y Î l ¥ và xn+(-xn) =0 , " n=1,2...
(Tiên đề 4 thoảt mãn)

Þ x+y=q

5. " x = (xn) ¥n= 1 , Î l ¥ , " y = (yn) ¥n= 1 , Î l ¥ ta có

a (xn+yn) = a xn + a yn

Trường ĐHSP Hà Nội 2

" n = 1,2.....
24

K29E – Toán


Luận Văn Tốt Nghiệp

Nguyễn Thị Khánh Ly
(Tiên đề 5 thoả mãn)

Þ a (x + y)= a x + a y

6. " x = (xn) ¥n= 1 Î l ¥

, " a , b Î ¡ ta có:

( a + b ) xn = a xn + b yn

" n = 1,2.....
(Tiên đề 6 thoả mãn)

Þ ( a b )x = a x + b y

7. " x = (xn) ¥n= 1 Î l ¥

, " a ,b Î ¡

a ( b xn) = ( a b xn)

" n = 1,2.....
(Tiên đề 7 thoả mãn)

Þ a ( b x) = ( a b )x

8. " x = (xn) ¥n= 1 Î l ¥

ta có

" n = 1,2.....

xn.1 = xn
Þ x.1 = x (Tiên đề 8 thoả mãn)

Vậy l ¥ là không gian tuyến tính thực.
2.2.3. Không gian định chuẩn l ¥
Định lý 2.2.3.
Cho không gian tuyến tính thực l ¥ ,ta đưa vào l ¥ chuẩn của phần tử x,
ký hiệu x , xác định như sau:

x = sup xn

(2.2.2)

n

Khi đó, l ¥ cùng với chuẩn xác định bởi (2.2.2) lập thành một không
gian định chuẩn.

Chứng minh:
* Trước hết ta chứng minh tương ứng

.

: l¥ ® ¡
x = (xn) ¥n= 1 , a

x = sup x n
n

là một ánh xạ
Thật vậy, tương ứng trên thoả mãn 2 điều kiện
+ Xác định khắp nơi:

Trường ĐHSP Hà Nội 2

25

K29E – Toán