Định lý điểm bất động và một số ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận
tình, nghiêm khắc của thầy Bùi Kiên Cường. Bên cạnh đó em cũng
được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa toán
trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2.
Vì vậy em xin khẳng định nội dung của đề tài: “Định lí điểm bất
động và một số ứng dụng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

ĐINH THỊ NHÂM

SVTH: Đinh Thị Nhâm

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong
tổ Giải tích, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong trường
ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Bùi Kiên Cường – người đã tận tình

giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Hơn
nữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố
gắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên
để khóa luận của em được hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

ĐINH THỊ NHÂM

SVTH: Đinh Thị Nhâm

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

MỤC LỤC
Phần mở đầu ......................................................................................... 3
1. Lí do chọn đề tài ....................................................................... 3
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................ 3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu .......................................................... 3
5. Cấu trúc của khóa luận ............................................................. 4
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị ................................................. 5
1.1 Không gian metric .................................................................. 5

1.2 Không gian Hilbert ................................................................. 7
1.3 Không gian L2a, b .............................................................. 12
1.4 Toán tử tích phân.................................................................. 16
Chương 2: Định lí điểm bất động và một số ứng dụng..................... 24
1. Định lí Banach về ánh xạ co ................................................... 24
2. Ứng dụng của định lí Banach ánh xạ co.................................. 31
2.1 Ứng dụng trong việc giải phương trình giá trị thực ........... 31
2.2 Ứng dụng trong việc giải phương trình ma trận ................ 32
2.3 Ứng dụng trong việc giải phương trình tích phân .............. 36
2.4 Ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân................. 41
Kết luận............................................................................................... 48
Tài liệu tham khảo.............................................................................. 49

SVTH: Đinh Thị Nhâm

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Lí thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm
phi tuyến - một môn toán học cơ bản vừa mang tính lí thuyết vừa mang
tính ứng dụng rộng rãi. Ngay từ đầu thế kỉ 20, các nhà toán học trên thế
giới đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định rằng lí
thuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công
cụ không thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực

tế đặt ra. Nói đến lí thuyết điểm bất động không thể không nhắc đến định
lí điểm bất động. Vậy, nội dung định lí đó như thế nào? Định lí ấy có
ứng dụng gì trong toán học, cụ thể trong việc giải phương trình giá trị
thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân và giải
phương trình vi phân? Đó chính là lí do em chọn đề tài: “Định lí điểm
bất động và một số ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và khóa luận tốt
nghiệp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu định lí điểm bất động.
Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm bất động trong việc giải
phương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trình
tích phân và giải phương trình vi phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận.
Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá.

SVTH: Đinh Thị Nhâm

3

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

5. Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa
luận gồm 2 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Định lí điểm bất động và một số ứng dụng.

SVTH: Đinh Thị Nhâm

4

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp X  
cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực thỏa
mãn các tiên đề sau đây:
i. d ( x, y )  0  x  y x, y X
ii. d ( x, y )  d ( y, x) x, y X
iii. d ( x, y )  d ( x, z )  d ( z , y ) x, y, z  X
Ánh xạ d được gọi là metric trên X , số d  x, y  được gọi là
khoảng cách giữa các phần tử x và y .
Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ bất kỳ
x   x1, x2 ,..., xk  , y   y1, y2 ,..., yk  thuộc không gian

k

k   

ta đặt:
k

 xj  yj 

d  x, y  

2

(1.1.1)

j 1

Khi đó hệ thức (1.1.1) xác định một metric trên

k

, thật vậy dễ

dàng thấy hệ thức (1.1.1) thỏa mãn các tiên đề (i), (ii) về metric. Để kiểm
tra hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) về metric trước hết ta chứng
minh bất đẳng thức Cauchy - Bunhiacopski:
Với 2k số thực a j , b j  j  1,2,..., k  , ta có:
k

k

k

 a jb j 

 a 2j

 b2j

j 1

j 1

j 1

SVTH: Đinh Thị Nhâm

5

(1.1.2)

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

Thật vậy:

k  k
0     aib j  a j bi
i 1  j 1





2

k

k

k

k

k

k

2 2
2 2
    ai b j  2   aibi a j b j    a j bi
 i 1 j 1
i 1 j 1
i 1 j 1

 k

 k
  k

 2   a 2j   b 2j   2   a j b j 
 j 1  j 1   j 1



 


2

Từ đó suy ra bất đẳng thức (1.1.2).
Với ba vectơ bất kì
k

x   x1, x2 ,..., xk  , y   y1, y2 ,..., yk  , z   z1, z2 ,..., z3  thuộc
d 2  x, y  

k

 xj  yj 

2

k



j 1

2

j 1

k



  x j  z j    z j  y j 

ta có:

 xj  zj 

2

k

k



 2 xj  zj

j 1

 z j  y j     z j  y j 

j 1

 d 2  x, z   2

j 1

k



2

xj  zj

j 1



2

k

 zj  yj 

2

 d 2  z, y 

j 1

 d 2  x , z   2 d  x, z  d  z , y   d 2  z , y 
  d  x, z   d  z , y  

2

 d  x, y   d  x, z   d  z , y 

Do đó hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) về metric.
Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M   X , d  , dãy điểm

 xn   X , điểm

xo  X . Dãy điểm  xn  được gọi là hội tụ tới điểm xo



trong không gian M khi n   , nếu    0  no 



 n  no  thì

d  xn , xo    . Kí hiệu:
lim  xn   xo hay xn  xo  n   

n 

Điểm xo còn gọi là giới hạn của dãy  xn  trong không gian M .

SVTH: Đinh Thị Nhâm

6

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường
1

Ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ của một dãy điểm  xn  trong không gian
là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric M   X , d  . Dãy điểm

 xn   X

gọi là dãy cơ bản trong M

 m, n  no  thì d  xm , xn   

nếu

   0   no 





hay lim d  xm , xn   0
m, n 

Dễ thấy rằng mọi dãy điểm  xn   X hội tụ trong M đều là dãy
cơ bản.
Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric M   X , d  được gọi là
không gian metric đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều là
dãy hội tụ.
Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian metric M   X , d  . Tập hợp K
chứa trong X được gọi là tập hợp compact trong không gian M nếu
mọi dãy vô hạn các phần tử của tập hợp K đều chứa dãy con hội tụ tới
phần tử thuộc K .
Khi K  X thì M gọi là không gian compact.
Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian M nếu mọi
dãy vô hạn phần tử của tập K đều chứa một dãy con hội tụ (tới phần tử
thuộc X ).
1.2 Không gian Hilbert
1.2.1 Tích vô hướng
Định nghĩa 1.2.1
Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P 

hoặc P  ) . Ta

gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X
vào trường P , kí hiệu (.,.) thỏa mãn các tiên đề:

SVTH: Đinh Thị Nhâm

7

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

1) ( y, x)  ( x, y ) x, y X
2) ( x  y, z )  ( x, z )  ( y, z ) x, y, z  X
3) ( x, y )   ( x, y ) x, y X ;   P
4) x X , ( x, x)  0 , nếu x   ( kí hiệu là phần tử không)
( x, x)  0 , nếu x 

Các phần tử x, y, z gọi là các phần tử của tích vô hướng. Số ( x, y )
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2), 3), 4) gọi là
hệ tiên đề tích vô hướng.
1.2.2 Bất đẳng thức Schwarz
Định lí 1.2.1
(x, y X ) , ta có ( x, y )  ( x, x). ( y, y )

Đối với mỗi x X , ta đặt: x  ( x, x)
Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa không gian Hilbert)
Ta gọi một tập hợp H  gồm các phần tử x, y, z ,... nào đấy là
không gian Hilbert, nếu tập hợp H thỏa mãn các điều kiện:
1) H là không gian tuyến tính trên trường P .
2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.) .
3) H là không gian Banach với chuẩn x  ( x, x), x H
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con của không gian H .

1.2.3 Phần bù trực giao, tập con trực giao
Định nghĩa 1.2.3
Cho không gian Hilbert H , hai phần tử x, y H gọi là trực giao với
nhau, kí hiệu x  y , nếu ( x, y )  0 .

SVTH: Đinh Thị Nhâm

8

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

Định nghĩa 1.2.4
Cho không gian Hilbert H và tập hợp A  H , A  . Phần tử x H
gọi là trực giao với tập hợp A , nếu x  y (y A) , kí hiệu x  A .
1.2.4 Phần bù trực giao
Định nghĩa 1.2.5
Cho không gian Hilbert H và không gian con E của H . Tập con
F  H gồm các phần tử của không gian H trực giao với tập E gọi là

phần bù trực giao của tập E trên không gian H và kí hiệu: F  H  E .
Dễ thấy F cũng là không gian con của H khi đó ta có biểu diễn:
H  E  F   x  x1  x2 , x1 E , x2  F 

Định lí 1.2.2 (định lí về hình chiếu lên không gian con)
Cho không gian Hilbert H và H o là không gian con của H . Khi đó

phần tử bất kỳ x H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
x  y  z, yH o , z  H 0

1.2.5 Hệ trực chuẩn
Định nghĩa 1.2.6
Cho không gian Hilbert H . Một tập hợp (còn gọi là hệ thống) gồm
hữu hạn hay đếm được các phần tử (en ) n1  H gọi là một hệ trực chuẩn
nếu:
0, nÕu i  j

 ei ,e j  ij  1, nÕu i  j
 ij _ là kí hiệu Kroneckes (i, j 1,2...)

SVTH: Đinh Thị Nhâm

9

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

1.2.6 Cơ sở trực chuẩn  Đẳng thức Paseval
Định nghĩa 1.2.7
Hệ trực chuẩn (en ) n1 trong không gian Hilbert H gọi là cơ sở trực
chuẩn của không gian H , nếu trong không gian H không tồn tại vectơ
khác không nào trực giao với hệ đó.
Định lí 1.2.3

Cho (en ) n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H . Năm
mệnh đề sau tương đương:
1) Hệ (en ) n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H ;
2) (x H ) x   ( x, en )en ;
n 1

3) (x, y H )( x, y )   ( x, en )(en , y ); (Đẳng thức Paseval)
n 1
2

2

4) (x H ) x   ( x, en ) ; (Phương trình đóng)
n 1

5) Bao tuyến tính của hệ (en ) n1 trù mật khắp nơi trong không gian
H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ các

phần tử thuộc hệ (en ) n1 trù mật khắp nơi trong không gian H ).
1.2.7 Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục
Định lí 1.2.4 (F. Riesz)
Mọi phiến hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều
có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f ( x)  ( x, a), xH
Trong đó phần tử a H được xác định du nhất bởi phiến hàm f và
f a .

SVTH: Đinh Thị Nhâm

10

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

1.2.8 Toán tử liên hợp
Định nghĩa 1.2.8
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X
vào không gian Hilbert Y . Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian
X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A , nếu:

(Ax, y )  ( x, By ), x X , yY
Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A .
1.2.9 Toán tử tự liên hợp
Định nghĩa 1.2.9
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó được gọi là tự liên hợp, nếu:
(Ax, y )  ( x, Ay ), x, y  H

Toán tử liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lí 1.2.5
Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào
chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là một số thực
đối với mọi x H .
1.2.10 Sự hội tụ yếu
Định nghĩa 1.2.10

Cho không gian Hilbert H . Dãy điểm ( xn )  H gọi là hội tụ yếu tới
điểm x H , nếu với mọi điểm y H ta có: lim ( xn , y )  ( x, y )
n 

1.2.11 Toán tử compact
Định lí 1.2.6
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X
vào không gian Hilbert Y . A là toán tử compact khi và chỉ khi toán tử A

SVTH: Đinh Thị Nhâm

11

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

biến mọi dãy hội tụ yếu trong không gian X thành dãy hội tụ mạnh (còn
gọi là hội tụ theo chuẩn) trong không gian Y .
Định lí 1.2.7
Nếu X là một không gian Hilbert, thì liên hợp của mọi toán tử
compact trong X đều là một toán tử compact.
1.2.12 Điều kiện Lipschitz
Ta nói rằng trên  a, b  ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
biến y , nếu tồn tại số L  0 sao cho với mọi y , y ' a, b  ta có bất đẳng thức:
Ay  Ay '  L y  y '

Số L được gọi là hằng số Lipschitz.
1.3 Không gian L2  a, b 
1.3.1 Tập hợp L2  a, b  : Kí hiệu L2  a, b  tập hợp tất cả các hàm số đo
b

được trên  a, b  sao cho

 x(t )

2

dt 

a

1.3.2 Không gian tuyến tính L2  a, b 
Tập hợp L2  a, b  định nghĩa trên cùng với phép cộng hai hàm số và
phép nhân với một số thực là một không gian tuyến tính trên R .
Thật vậy: Ta sẽ chứng minh các phép toán trên L2  a, b  thỏa mãn 8
tiên đề về không gian tuyến tính.
Tiên đề 1: x, y L2  a, b  : x  y  y  x
Vì x (t )  y (t )  y (t )  x(t ) h.k.n /  a, b 
Tiên đề 2: x, y, z  L2  a, b  : ( x  y )  z  x  ( y  z )
Vì  x(t )  y (t )  z (t )  x(t )  y (t )  z (t )  x(t )   y (t )  z (t ) h.k.n /  a, b 

SVTH: Đinh Thị Nhâm

12

K35G- SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

Tiên đề 3: đặt  (t )  0 h.k.n /  a, b    L2  a, b 
x L2  a, b  : x     x  x

Vì ( x   )(t )  x(t )   (t )  x (t ) h.k.n /  a, b 
Tiên đề 4: x L2  a, b đặt ( x)(t )   x(t ) h.k.n /

 a, b 

  x L2  a, b  và  x  x  .
Vì  (  x )  x  (t )   x(t )  x (t )  0 h.k.n /  a, b
Tiên đề 5: x L2  a, b :1.x  x
Vì (1.x)(t ) 1.x(t )  x(t ) h.k.n /  a, b 
Tiên đề 6:  ,   R, x L2  a, b  :  (  x)  ( ) x
Vì  (  x)  (t )    (  x)(t )   ( ) x(t ) h.k.n /  a, b 
Tiên đề 7:  ,   R, x L2  a, b  : (   )( x)   x   x
Vì:  (   ) x  (t )  (   ) x(t )   x(t )   x(t ) h.k.n /  a, b 
Tiên đề 8:   R, x, y L2  a, b  :  ( x  y )   x   y
Vì:  ( x  y ) (t )   ( x  y )(t )    x(t )  y (t )   x(t )   y (t )
h.k.n /  a, b 
Vậy L2  a, b  là một không gian tuyến tính thực.
1.3.3 Không gian định chuẩn L2  a, b 
Với mỗi x L2  a, b ta đặt tương ứng với một số thực kí hiệu là x

xác định bởi công thức:

SVTH: Đinh Thị Nhâm

b

2

1
2

x    x (t ) dt 


a


13

(1.3.1)

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

2

b

2

2

Theo định lí tập L  a, b  thì x L  a, b  : 0   x(t ) dt 
a

Do (1.3.1) hoàn toàn xác định và cho ta một ánh xạ từ không gian
tuyến tính L2  a, b  vào tập số thực R . Kí hiệu ánh xạ đó là . . Khi đó

 L2 a, b, .  là một không gian định chuẩn.
Thật vậy: Ta chứng minh . thỏa mãn 3 tiên đề của không gian định
chuẩn.
Tiên đề 1: x L2  a, b  , x  0, x  0  x 
1

Vì:

b
2 2
x    x (t ) dt   0


a

b

2

x  0   x(t ) dt  0  x(t )  0 h.k.n /  a, b   x 
a

Tiên đề 2: x L2  a, b  ,   R :  x   x
b

1
2

2

b

Vì:  x     x(t ) dt     

 
a
 a

2

2

1
2

x(t ) dt 



1

 b
2
   2  x 2 (t ) dt    x


 a


Tiên đề 3: x, y L2  a, b  : x  y  x  y
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho các hàm x(t ), y (t ) ta có:
b

2

1
2

x  y    x(t )  y (t ) dt 


a


SVTH: Đinh Thị Nhâm

14

K35G- SP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

b

GVHD: Bùi Kiên Cường
1
2

2

b

2

1
2

   x(t ) dt     y (t ) dt 

 

a
 a

 x  y
 x y  x  y

Vậy L2  a, b  là không gian định chuẩn.

L2  a, b  còn là không gian Banach.
1.3.4 Không gian Hilbert L2  a, b 
Tích vô hướng trên L2  a, b  : Trên không gian L2  a, b  với mọi
x (t ), y (t ) L2  a, b  ta đặt:
b

(1.3.2)

( x, y )   x(t ) y (t ) dt
a

Ta chứng minh (1.3.2) thỏa mãn hệ tiên đề của tích vô hướng.
Tiên đề 1: x, y L2  a, b  : ( y, x)  ( x, y )
b

b

b

Thật vậy: ( y, x)   y ( s) x( s )ds   x( s ) y ( s )ds   x( s ) y ( s )ds  ( x, y )
a

a

a

Tiên đề 2: x, y, z  L2  a, b  : ( x  y , z )  ( x  z )  ( y, z )
b

b

Thật vậy: ( x  y , z )   ( x  y )( s ) z ( s )ds    x ( s )  y ( s ) z ( s )ds
a

a
b

b

  x( s ) z ( s)ds   y ( s ) z ( s )ds
a

a

 ( x, z )  ( y , z )

Tiên đề 3: x, y L2  a, b  ,   R : ( x, y )   ( x, y )
b

b

Thật vậy: ( x, y )    x( s ) y ( s) ds    x( s) y ( s )ds   ( x, y )
a

SVTH: Đinh Thị Nhâm

a

15

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

Tiên đề 4: x L2  a, b  ,( x, x)  0;( x, x)  0  x 
b

Thật vậy: ( x, x)   x 2 ( s) ds  0 x
a

( x, x)  0  x 2 ( s )  0  x( s )  0 h.k.n /  a, b   x 
Theo trên đã chứng minh L2  a, b  không gian tuyến tính trên trường
số thực R và được trang bị tích vô hướng (1.3.2). Ngoài ra nó còn là không
gian Banach do đó là một không gian Hilbert
1.4 Toán tử tích phân.
1.4.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục
Giả sử X là một tập hợp compact trong không gian

m

, K là một

hàm số liên tục trên X  X . Ta sẽ chứng minh rằng nếu   L2 ( X ) thì tích
phân:
A( )( x)   K ( x, s) ( s) ds

(1.4.1)

X

tồn tại với mỗi x X và A là một hàm số liên tục trên X .
Trước hết chú ý rằng nếu X có độ đo hữu hạn và   L2 ( X ) thì ta có:

  ( x) dx 

1X

X

  ( x)

2

dx ,1X là phần tử đơn vị trong X

X

(Bất đẳng thức này được suy ra từ bất đẳng thức Bunhiacopxki với
g ( x ) 1, x X , và thay  ( x) bởi  ( x) ).

Từ đó và tính giới nội của hàm số K trên tập hợp suy ra sự tồn tại
của tích phân ở vế phải của (1.4.1) với mỗi x X .
Ta sẽ chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục.
+) Do K là hàm số liên tục trên X  X , mà X là không gian
compact nên K sẽ liên tục đều trên X  X , nghĩa là:

SVTH: Đinh Thị Nhâm

16

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

(  0)(  0)(x ', x ", s ', s " X : x ' x "   , s ' s "  

thì: K ( x ', s ')  K ( x ", s ") 




2

1X

(ở đây ta xét trường hợp   0 . Nếu   0 thì A  0 )
Khi đó với mọi x ', x " X , nếu x ' x "   thì
K ( x ', s )  K ( x ", s) 




2

1X

, s X

Do đó
( A )( x ')  ( A )( x ") 

  K ( x ', s)  K ( x ", s) ( s)ds
X







  ( s) ds

1X

2

X




1X

1X

2

  ( s)

2

ds   , x ', x " X

X

Vậy A là một hàm số liên tục trên X . Vì X là tập hợp compact
nên mỗi hàm số liên tục trên X đều thuộc L2 ( X ) . Do đó A là một ánh
xạ từ không gian L2 ( X ) vào chính nó.
+) Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính.
+) Đặt   sup K ( x, s ) , ta có:
x , s X

( A )( x) 

 K ( x, s) ( s)ds    ( s) ds 
X

Do đó A 2 

1X  2 , x X

X



2

( A )( x) dx   .1X . 

2

X

Suy ra A bị chặn.
Vậy A là một toán tử tuyến tính liên tục từ L2 ( X ) vào L2 ( X ) , A
được gọi là toán tử tích phân với hạch liên tục.

SVTH: Đinh Thị Nhâm

17

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

1.4.2 Toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích.
Giả sử X là tập hợp đo được (theo nghĩa Lesbesgue) trong không
gian

m

, K là một hàm số thuộc L2 ( X  X ) , tức K là hàm số đo được trên

X  X sao cho:

2

K ( x, s ) dxds   


X X

Ta sẽ chứng minh nếu   L2 ( X ) thì tích phân
( A )( x)   K ( x, s) ( s)ds

(1.4.2)

X

tồn tại với hầu hết x X và A  L2 ( X ) .
Thật vậy theo định lí Fubini ta có:



2

K ( x, s ) ds  , với hầu hết

X

x X



2
2
K
(
x
,
s
)
ds

 dx   K ( x, s) dxds


XX
X X

và

(1.4.3)

Do đó từ bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra tích phân ở vế phải của
(1.4.2) tồn tại với hầu hết x X , và:
2
2

( A )( x) 

 K ( x, s) ( s)ds
X

Từ đó:


X

2

2

  K ( x, s ) ds   ( s) ds
X

X



2
2
2
( A )( x) dx     K ( x, s) ds  dx.   ( x) ds


 X
XX

(1.4.4)

Vậy A  L2 ( X )
Ta đã chứng minh A là một ánh xạ từ không gian L2 ( X ) vào chính nó
Dễ dàng thấy A là một toán tử tuyến tính.
Từ (1.4.3) và (1.4.4) suy ra: A 

 K ( x, s)

2

dxds 

2

X

Vậy A là một toán tử tuyến tính bị chặn và:

SVTH: Đinh Thị Nhâm

18

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

A

 K ( x, s)

2

dxds

X

A được gọi là toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích.

1.4.3 Toán tử tích phân trong không gian L2  a, b 
Định nghĩa: Cho một hàm hai biến K (t , s ) có bình phương khả tích.
bb

Nghĩa là:

K

2

(t , s )dtds  N 2 

(1.4.5)

aa

Khi đó toán tử A xác định bởi công thức:
b

(1.4.6)

Ax(t )   K (t , s ) x( s) ds
a

gọi là toán tử tích phân sinh bởi hạch K (t , s ) với x  L2  a, b .
1

Ax(t )   tsds

Ví dụ:

0
1

Ax(t )   (t  s ) sds
1

Tính tuyến tính và tính bị chặn của toán tử tích phân
Trong không gian L2  a, b  toán tử tích phân cho bởi công thức
(1.4.6)  L2  a, b là toán tử tuyến tính bị chặn.
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
b

 Ax(t )
a

2

2

bb

dt    K (t , s) x( s)ds dt
aa

bb

 b

2
    K (t , s) ds   x( s ) ds  dt



aa
 a


SVTH: Đinh Thị Nhâm

2

19

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

 x

GVHD: Bùi Kiên Cường
2

bb

  K (t , s )

2

dsdt

aa

Từ đó và từ (1.4.5) suy ra Ax(t ) L2  a, b  .
A là toán tử tuyến tính. Thật vậy:

Với mọi x(t ), y (t ) L2  a, b  và với mọi số  ,   P , ta có:
b

A( x   y )(t )   K (t , s)( x   y )( s )ds
a
b

   K (t , s ) x( s)   K (t , s) y ( s) ds
a
b

b

   K (t , s ) x( s) ds    K (t , s ) y ( s) ds
a

a

  Ax(t )   Ay (t )

Vậy A là toán tử tuyến tính. Theo chứng minh trên ta có:
bb

Ax  x .

  K (t , s)

2

dsdt  N x

aa

hay Ax  N x nên A là toán tử tuyến tính bị chặn và do đó nó liên

tục và ta có:

1
2

bb

A  N     K 2 (t , s )dsdt 


aa


(1.4.7)

Lấy xo (t ) 1.t   a, b   xo 1 , ta có:
1
2

bb

A  Ax o     K 2 (t , s )dsdt   N


aa

1

bb 2
2
 A  N     K (t , s) dsdt 


aa


SVTH: Đinh Thị Nhâm

20

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

Định lí 1.4.1: Toán tử tích phân sinh bởi hạch đối xứng là một toán
tử đối xứng.
Chứng minh
b

2

1
2

Thật vậy: Do x    x(t ) dt  và định lí Fubini ta có:


a

bb

( A , )     K (t , s) ( s)  (t ) dt




a a
bb

    K (t , s) (t )dt  ( s )ds  ( , A )



a a

ở đây định lí Fubini áp dụng được vì  ( s ) (t ) L2  a, b  a, b  và
K (t , s ) L2  a, b  a, b  cho nên tích vô hướng của hai hàm ấy tức là tích
bb

phân sau tồn tại:

  K (t , s) (t ) ( s)dsdt
aa

Tính compact của toán tử tích phân
Định lí 1.4.2: Toán tử tích phân là một toán tử compact trong
L2  a, b 

Trong không gian L2  a, b  toán tử tích phân:
b

Ax(t )   K (t , s ) x( s) ds, x  L2  a, b 
a

với hạch K (t , s ) được xác định trên hình vuông D  a  t , s  b và thỏa

mãn điều kiện:
bb

  K (t , s )

2

dtds 

(1.4.8)

aa

là compact.

SVTH: Đinh Thị Nhâm

21

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

Toán tử liên hợp của toán tử tích phân
Toán tử tích phân A : X  Y ( X , Y là hai không gian Hilbert) được
xác định bởi công thức:
b

Ax(t )   K (t , s ) x( s)ds x  L2  a, b
a
bb

và thỏa mãn:

  K (t , s )

2

dtds  là toán tử liên tục với hạch K (t , s ) .

aa

X  Y  L2  a, b  ta có: A : L2  a, b   L2  a, b  . Gọi A là toán tử

liên hợp của A khi đó với mọi x, y L2  a, b  ta có:
( A x, y )  ( x, Ay )
b

b b
b


  x(t )   K (t , s) y ( s )ds  dt     K ( s, t ) x(t ) dt  y ( s )ds
 a


a

a  a


b

do đó ( A x)( s)   K ( s, t ) x(t ) dt
a

hay A cũng là một toán tử tích phân với hạch K  (t , s)  K ( s, t )
Toán tử tự liên hợp
Nếu X  Y  L2  a, b  và toán tử tích phân A trong L2  a, b  được
xác định bởi hạch K (t , s ) là tự liên hợp tức là: A  A khi và chỉ khi
K (t , s )  K  (t , s )  K (t , s ) h.k.n trên D  a  t , s  b
Vậy mọi tích phân đối xứng đều là toán tử tự liên hợp.
Tích của hai toán tử tích phân
Cho hai toán tử tích phân trong L2  a, b  :

SVTH: Đinh Thị Nhâm

22

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường
b

Ax(t )   K (t , s ) x( s )ds

a
b

Bx(t )   H (t , s) x( s ) ds
a

Khi đó toán tử tích B. A cũng là toán tử tích phân với hạch:
b

R (t , s )   H (t , u ) K (u , s )du
a

Thật vậy: Theo định lí Fubini ta có:
b

b

B  Ax(u )    H (t , u )   K (u, s ) x( s )ds  du
 a

a
b b


    H (t , u ) K (u, s )du  x( s )ds
a  a

b

  R (t , s ) x( s )ds, x  L2  a, b 

a
b

Đặt R (t , s)   H (t , u ) K (u, s )ds ta có điều cần chứng minh.
a

Với K (t , s ), H (t , s ) thỏa mãn bình phương khả tích thì ta có A, B là
các toán tử compact do đó toán tử tích là toán tử compact.

SVTH: Đinh Thị Nhâm

23

K35G- SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Kiên Cường

CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Định lí Banach ánh xạ co
Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ co) Một ánh xạ T từ một không gian
metric ( X , d ) vào chính nó (T : X  X ) được gọi là một ánh xạ liên tục
Lipschitz

nếu

có

một

hằng

số

thực

dương



sao

cho

d (Tx, Ty )   d ( x, y ) x, y X . Nếu 0    1 thì T được gọi là một ánh
xạ co,  được gọi là hệ số co của T .
Ví dụ 1.1 Cho T : R  R và Tx  (1 

1
x) 3 ,

khi đó việc tìm nghiêm

của phương trình Tx  x tương đương với việc giải phương trình

x3  x  1  0 . Ánh xạ T là ánh xạ co trên A 1,2 , ở đó hệ số co

1
  (3) 3

1.

Ví dụ 1.2
1
a) Cho Tx  x, x 0,1 . Khi đó T là một ánh xạ co trên  0,1
3

với hệ số co  

1
3

b) Cho T ( x)  x   , x R và  là phần tử cố định thuộc R . Khi
đó T không là ánh xạ co.
Ví dụ 1.3 Cho X  R,  a, b   X , f : a, b    a, b và tồn tại f ' và
sup f '( x ) 1. Khi đó f là ánh xạ co từ  a, b  vào chính nó.

Một ánh xạ T từ không gian metric  X , d  vào chính nó gọi là có
điểm bất động u nếu tồn tại u X sao cho: Tu  u

SVTH: Đinh Thị Nhâm

24

K35G- SP Toán