Định lý minimax khôg lồi đối với đa thức thuần nhất tách được

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 4
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị ...................................................................... 6
1.1. Khái niệm không gian định chuẩn ........................................................... 6
1.2. Không gian Hillbert ................................................................................... 8
1.2.1. Tích vô hướng .......................................................................................... 8
1.2.2. Bất đẳng thức Schwarz ............................................................................ 9
1.2.3. Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ .................................................. 9
1.3. Tập lồi ....................................................................................................... 10
1.3.1. Định nghĩa và tính chất .......................................................................... 10
1.3.2. Bao lồi và bao lồi đóng .......................................................................... 11
1.3.3. Các định lý tách...................................................................................... 12
1.4. Hàm lồi ...................................................................................................... 13
1.4.1. Hàm lồi ................................................................................................... 13
1.4.2. Các phép toán về hàm lồi ....................................................................... 16
1.4.3. Tính liên tục của hàm lồi ....................................................................... 18
1.5. Tập mở và tập đóng ................................................................................. 18
1.6. Tập compact ............................................................................................. 18
Chương 2 Định lý minimax không lồi .............................................................. 20
2.1. Đa thức thuần nhất tách được; Tính lồi của miền giá trị ghép ........... 20
2.2. Định lý minimax không lồi ...................................................................... 23
2.3. Ứng dụng của định lý minimax không lồi ............................................. 28
KẾT LUẬN ......................................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 32


LỜI MỞ ĐẦU
Định lý minimax cho hàm tách được lồi - lõm là định lý cơ bản trong lý
thuyết tối ưu và giải tích lồi, nó có rất nhiều ứng dụng trong nền kinh tế. Mở
rộng của định lý minimax cổ điển cho trường hợp không lồi đã được nghiên cứu
trong suốt hai thập kỉ qua (xem trong [4,5,7]), bằng cách thêm các giả thiết lồi

tổng quát. Tháng 7 năm 2011, G. Y. Li công bố bài báo “A Note on Nonconvex
Minimax Theorem with Separable Homogenous Polynomials” đã cho chúng ta
một cách nhìn định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được
một cách đầy đủ và chính xác nhất. Đặc biệt, áp dụng tính lồi ẩn (tính lồi của
miền giá trị ghép) của đa thức thuần nhất tách được, ông đã chứng minh được
định lý minimax không lồi áp dụng cho đa thức thuần nhất tách được. Với ý
tưởng tương tự, đã có một số công trình được công bố với hệ toàn phương không
lồi, xem trong [8,9]. Các kết quả thu được trong bài báo [12] cung cấp cho chúng
ta thêm một cách nghiên cứu về định lý minimax không lồi, bằng cách lấy một
số điều kiện có thể kiểm tra dễ dàng hơn.
Là một sinh viên Sư phạm, chuyên ngành Sư phạm Toán, tôi mong muốn
được tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tối ưu và giải tích lồi nói chung cũng như
định lý minimax nói riêng. Đặc biệt, dưới sự gợi mở, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
của thầy ThS. Nguyễn Quốc Tuấn tôi đã chọn đề tài
“Định lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được” .
Khoá luận tập trung làm rõ một số nội dung liên quan đến định lý minimax
không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được, một số bổ đề và hệ quả có liên

4


quan. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khoá luận gồm hai
chương:
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tác giả hệ thông lại một số kiến thức chuẩn bị cho định
lý minimax không lồi đối với đa thức thuần nhất tách được.
Chương 2. Định lý minimax không lồi
Chương này trình bày khái niệm đa thức thuần nhất tách được; Tính lồi của
miền giá trị ghép. Phát biểu, làm rõ chứng minh định lý minimax không lồi và
ứng dụng của nó.

Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng của bản thân còn hạn chế nên
khoá luận này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, trình bày các nội dung chính
theo chủ đề đã đặt ra. Trong quá trình viết khoá luận cũng như trong quá trình xử
lý văn bản, khoá luận không tránh được những thiếu sót nhất định. Vì vậy, tôi rất
mong được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và bạn đọc để khoá luận được
hoàn thiện hơn.

5


Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị
1.1. Khái niệm không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định
chuẩn) là không gian tuyến tính X trên
thực

cùng với một ánh xạ từ X vào tập số

, ký hiệu là  và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) x  0 ; x = 0  x  0 , x  X ;
2)  x   x , x  X ,   , (tính thuần nhất);
3) x  y  x  y , x, y  X (bất đẳng thức tam giác).

Số x gọi là chuẩn của vector x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X .
Các tiên đề 1) 2) 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ 1.1. Đối với số thực bất kỳ x  , ta đặt
x  x .

(1.1)

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.1) cho một
chuẩn trên

.

Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là
Banach.

6

1

. Dễ thấy

1

là không gian


k

Ví dụ 1.2. Cho không gian vector k chiều

k

,

k

Đối với vector bất kỳ x  ( x1 , x2 ,..., xk ) 
k

x

x 

2

 {x  ( x1 , x2 ,..., xk ) : x j  ) .

ta đặt
.

(1.2)

j 1

Ta dễ thấy (1.2) xác định một chuẩn trên không gian



k

, 

k

. Hơn nữa,

 là không gian Banach.


Ví dụ 1.3. Cho không gian vector l2   x   xn  





:  xn    . Đối với
n 1


vector bất kỳ x   xn   l2 ta đặt


x 



xn

2

.

(1.3)

n 1

Ta dễ thấy (1.3) xác định một chuẩn trên không gian l2 . Hơn nữa,  l2 , 

 là

không gian Banach.
Ví dụ 1.4. Cho không gian

 a ,b 

gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên  a, b  . Đối với hàm số bất kỳ x  x  t  

 a ,b 

ta đặt

x  max x  t  .

(1.4)

a t b

Ta dễ thấy (1.4) xác định một chuẩn trên không gian



a , b ,



 a , b .

Hơn nữa,

 là không gian Banach.

Nhận xét 1.1. Các chuẩn thỏa mãn (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) là các chuẩn Euclide.

7


1.2. Không gian Hillbert
1.2.1. Tích vô hướng
Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian tuyến tính trên

. Ta gọi là tích vô

hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X  X vào

, ký hiệu

 ,  , thỏa mãn các tiên đề:

1) x, y  y, x , x, y  X ;
2) x  y, z  x, z  y, z , x, y, z  X ;
3)  x, y   x, y , x, y  X ,  

;

4) x, x  0 , x  X nếu x  0 ; x, x  0 nếu x  0 .
Các phần tử của x, y, z ,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, các tiên đề 1), 2),
3), 4) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Định nghĩa 1.3. Cho

m

là không gian Euclide m chiều, với mỗi x, y 

vô hướng giữa x và y , kí hiệu là x, y , được xác định bởi
m

x, y   xi yi , x   x1 ,..., xm  , y   y1 ,..., ym  .
i 1

Nhận xét 1.2. Một số tính chất đơn giản của tích vô hướng
1) 0, x  0, x  X vì 0, x  0.x, x  0. x, x  0 ;
2) x, y   x, y , x, y  X ,   ;
3) x, y  z  x, z  y, z , x, y, z  X .

8

m

, tích


1.2.2. Bất đẳng thức Schwarz
Định lý 1.1. Đối với mỗi x  X ta đặt

x 

x, x ,

(1.5)

khi đó, với mọi x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz
x, y  x

y .

(1.6)

Hệ quả 1.1. Tích vô hướng ,  là một hàm liên tục theo hai biến đối với chuẩn
được xác định bởi (1.5).
Định nghĩa 1.4. Không gian tuyến tính trên trường số thực

cùng với một tích

vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
1.2.3. Định nghĩa không gian Hilbert và ví dụ
Định nghĩa 1.5. Không gian tiền Hillbert  H ,  , 
cùng với chuẩn x 

 là không gian Hilbert nếu H

x, x , x  H là không gian Banach.

Ta gọi một không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian H .

Ví dụ 1.5. Ký hiệu
thuộc

k

k

là không gian vector thực k chiều. Với mọi x   xn 

, mọi y   yn  thuộc

k

ta đặt
k

x, y   xn yn .

(1.7)

n 1

Dễ dàng thấy hệ thức (1.7) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh bởi
tích vô hướng (1.7)

9


k

x 

x, x 

2
n

x

, x   xn  

k

,

n 1

trùng với chuẩn (1.2) đã biết trên không gian
k

k

nên không gian vector thực

cùng với tích vô hướng (1.7) là một không gian Hilbert.

1.3. Tập lồi
1.3.1. Định nghĩa và tính chất
Giả sử X là không gian tuyến tính,

là tập các số thực

Định nghĩa 1.6. Tập A  X được gọi là tập lồi, nếu mọi x1 , x2  A , mọi  

,

0    1 thì  x1  (1   ) x2  A .

Nhận xét 1.3. Theo định nghĩa tập  được xem là tập lồi.
Giả sử A  X ; x1 , x2  A
Định nghĩa 1.7. Giả sử A  X ; x1 , x2  A . Đoạn nối x1 và x2 , kí hiệu là [ x1 , x2 ]
được định nghĩa bởi
[ x1 , x2 ]  {x  A : x   x1  (1   ) x2 ,0    1}.

Nhận xét 1.4. Tập A là tập lồi nếu mọi x1 , x2  A kéo theo [ x1 , x2 ]  A .
Ví dụ 1.6. Các nửa không gian là tập lồi; các tam giác và các hình tròn trong mặt
phẳng là các tập lồi; hình cầu đơn vị trong không gian Banach là các tập lồi; …
Mệnh đề 1.1. Giả sử A  X (  I ) là các tập lồi, với I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó, tập A   A cũng là tập lồi.
 I

Từ định nghĩa 1.7 ta nhận được các mệnh đề 1.2, 1.3, 1.4

10


Mệnh đề 1.2. Giả sử tập Ai  X lồi, i 

( i  1,2,.., m ). Khi đó, tập 1 A1  ...  m Am

là tập lồi.
Mệnh đề 1.3. Giả sử X i là không gian tuyến tính, tập Ai là tập lồi, Ai  X i ( i  1,2,.., m ).
Khi đó, tích Descartes A1  ...  Am là tập lồi trong X 1  ...  X m .
Mệnh đề 1.4. Giả sử X , Y là các không gian tuyến tính, T : X  Y là toán tử
tuyến tính. Khi đó,
1) Nếu A là tập lồi trong X thì T ( A) là tập lồi trong Y ;
2) Nếu B là tập lồi trong Y thì nghịch ảnh T 1 ( B ) của B là tập lồi.
Định nghĩa 1.8. Vector x  X được gọi là tổ hợp lồi của các vector x1 , x2 ,..., xm  X
m

m

nếu tồn tại i  0 (i  1,..., m),  i  1, sao cho x   i xi .
i 1

i 1

Định lý 1.2. Giả sử A là tập lồi, A  X , x1 , x2 ,..., xm  A . Khi đó, tập A chứa tất
cả các tổ hợp lồi của các x1 , x2 ,..., xm .
1.3.2. Bao lồi và bao lồi đóng
Định nghĩa 1.9. Giả sử A là tập lồi, A  X . Giao của tất cả các tập lồi chứa A
được gọi là bao lồi của tập A , ký hiệu là conv A .
Định lý 1.3. Tập convA trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A .
Hệ quả 1.2. Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi của A .
Định nghĩa 1.10. Giả sử A là tập lồi, A  X . Khi đó, giao của tất cả các tập lồi
đóng chứa A được gọi là bao lồi đóng của tập A , ký hiệu là conv A .
Mệnh đề 1.5. Giả sử A là tập lồi, A  X . Khi đó

11

1) Phần trong int A và bao đóng A của A là các tập lồi.
2) Nếu x1  int A , x2  A thì
[ x1 , x2 )  {  x1  (1   ) x2 : 0    1}  int A .

Nhận xét 1.5. Nếu int A   thì A  int A và int A  int A .
Định lý 1.4. Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A , hay
conv A  conv A .

1.3.3. Các định lý tách
Định nghĩa 1.11. Không gian vector tôpô có một cơ sở gồm những lân cận lồi của
điểm gốc được gọi là không gian vector lồi địa phương (không gian lồi địa phương).
Định nghĩa 1.12. Cho các tập A và B nằm trong không gian lồi địa phương X .
Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x*  0 tách A và B nếu tồn tại số  sao cho
x , y    x , x

x  A, y  B .

(1.8)

Nếu (1.8) có dạng
x , y    x , x

 x  A,  y  B ,

thì ta nói x tách ngặt A và B .
Định lý 1.5 (Định lý tách thứ nhất). Giả sử A, B là hai tập lồi trong không gian
lồi địa phương X , A  B   , int A   . Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính
x  X  , x  0 , tách hai tập A và B .

12


Hệ quả 1.3. Giả sử A, B là các tập lồi trong không gian lồi địa phương X ,
int A   . Khi đó, hai tập A và B tách được khi và chỉ khi  int A   B   .

Định lý 1.6 (Định lý tách thứ hai). Giả sử A là không gian con lồi đóng trong
không gian lồi địa phương X và x0  A . Khi đó, tồn tại x  0 thuộc X  tách
ngặt (hoặc tách chặt) tập A và x0 .
Hệ quả 1.4. Giả sử X là không gian lồi địa phương Hausdorff, A  X . Khi đó,
coA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A .

1


Ví dụ 1.7. Cho A   x, y   : y  , x  0  và B   x, y  
x



2

: y  0 . Theo

định lý tách thứ nhất thì A và B tách nhau nhưng không tách chặt.

Hình 1

1.4. Hàm lồi
1.4.1. Hàm lồi

Trong mục này, ta giả sử X là không gian lồi địa phương, D là một tập con
của X , hàm f : D 

  .

13


Định nghĩa 1.13. Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu là epi f , được định nghĩa bởi
epi f   x, r   D 

: f  x   r .

Định nghĩa 1.14. Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu là dom f , được định nghĩa bởi
dom f   x  D : f  x    .

Định nghĩa 1.15. Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f   và f  x   
với mọi x thuộc D .
Định nghĩa 1.16. Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong X 

.

Hàm f được gọi là lõm trên D nếu  f là hàm lồi trên D .
Nhận xét 1.6. Hàm f là hàm lồi thì dom f cũng lồi.
Định lý 1.7. Hàm f :



  được gọi là lồi khi và chỉ khi

f   x  1    y    f  x   1    f  y       0,1 ,  x, y 

m

.

(1.9)

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Jensen). Giả sử f : X   ,   . Khi đó, hàm f
m

là hàm lồi khi và chỉ khi với mọi i  0  i  1,..., p  ,  i  1,  x1 ,..., xm  X ,
i 1

f  1 x1  ...  m xm   1 f  x1   ...  m f  xm  .

(1.10)

Mệnh đề 1.6. Giả sử f : X   ,   . Khi đó, hàm f là hàm lồi khi và chỉ khi
f   x  1    y    r  1    s,     0,1 ,  x, y : f  x   r , f  y   s .

14


Định lý 1.9. Giả sử hàm f là hàm lồi trên X ,    ,   . Khi đó, các tập
mức  x : f  x     và  x : f  x     là các tập lồi.
Hệ quả 1.5. Giả sử các hàm f là hàm lồi trên X ,  

   I  , I

là tập

chỉ số bất kỳ. Khi đó, tập A   x  X : f  x    ,   I  là tập lồi.
Định nghĩa 1.17. Giả sử hàm f xác định trên X được gọi là thuần nhất dương
nếu với mọi x  X , mọi    0,   ,
f  x   f  x .

Định lý 1.10. Hàm thuần nhất dương f : X   ,   là hàm lồi khi và chỉ khi
f  x  y   f  x   f  y    x, y  X  .

(1.11)

Hệ quả 1.6. Giả sử hàm f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi đó,
với mọi xi  X , mọi i  0  i  1,..., m  , ta có
f  1 x1  ...  m xm   1 f  x1   ...  m f  xm  .

Hệ quả 1.7. Giả sử hàm f là hàm lồi chính thường, thuần nhất dương. Khi đó,
f  x   f   x   0,  x  X .

Định nghĩa 1.18. Hàm f được gọi là đóng nếu epi f là tập đóng trong X 

.

Định lý 1.11. Hàm f là hàm đóng khi và chỉ khi tất cả các tập mức có dạng

x : f  x     của

f là tập đóng.

15

Nhận xét 1.7. Tính chất lồi của hàm không giống tính chất đóng. Cụ thể, nếu
hàm f hàm lồi thì tất cả các tập mức của hàm f là tập lồi. Nhưng điều ngược
lại không đúng.
Định nghĩa 1.19. Cho bài toán tối ưu (P): f  min thì tập nghiệm của bài toán
(P) được kí hiệu là argmin (P).
1.4.2. Các phép toán về hàm lồi
Định lý 1.12. Giả sử các hàm f1 ,..., f m là các hàm lồi chính thường trên X . Khi
đó, tổng f1  ...  f m là một hàm lồi.
Nhận xét 1.8. Nếu các hàm f1 ,..., f m là các hàm lồi chính thường trên X thì
f1  ...  f m là hàm lồi, nhưng có thể không chính thường.

Định lý 1.13. Giả sử F là tập lồi trong X 

và

f  x   inf  : x,    F  .

(1.12)

Khi đó, hàm f là hàm lồi trên X .
Định nghĩa 1.20. Giả sử  f I là một họ tuỳ ý các hàm
a) Cận trên của các hàm f , kí hiệu là  I f , được xác định bởi

 I f   x   sup f  x  ;
 I

b) Cận dưới của các hàm f , kí hiệu là  I f , được xác định bởi

 I f   x  :  inf
 I

f  x  ;

c) Bao lồi cận dưới của các hàm f , kí hiệu conv I f , được xác định bởi

 conv I



f   x  :  inf  
 I

16



:  x,     epi f
 I

 .


Mệnh đề 1.7. Giả sử f   I  là các hàm lồi trên X . Khi đó,
a) Hàm  I f là hàm lồi,
b) Hàm conv I f là hàm lồi.
Nhận xét 1.9. Nếu f   I  là các hàm lồi chính thường thì các hàm cận trên
và bao lồi cận dưới là lồi nhưng có thể không chính thường.
Định nghĩa 1.21. Giả sử X là không gian lồi địa phương, hàm f là một hàm lồi,

ta có các định nghĩa sau
a) Bao đóng của hàm f , kí hiệu là f , được xác định bởi
epi f  epi f ;

b) Bao lồi và bao lồi đóng của hàm f , kí hiệu lần lượt là conv f và conv f ,
được xác định tương ứng bởi:
epi  conv f   conv  epi f  ;





epi conv f  conv  epi f  .

Nhận xét 1.10.
a) Hàm f đóng khi và chỉ khi f  f ;
b) Bao đóng của một hàm lồi là một hàm lồi;
c) Bao đóng của một hàm chính thường có thể không chính thường;
d) Tổng hữu hạn các hàm đóng là một hàm đóng;
e) Cận trên của họ tuỳ ý các hàm đóng là một hàm đóng.

17


1.4.3. Tính liên tục của hàm lồi
Định lý 1.14. Giả sử hàm f là hàm lồi chính thường trên X . Khi đó, các khẳng
định sau tương đương:
(i) Hàm f bị chặn trên trong một lân cận của x ;
(ii) Hàm f liên tục tại x ;
(iii) Phần trong int  epi f    ;

(iv) Phần trong int  dom f    và f liên tục trên int  dom f  , đồng thời
int  epi f    x,    X 

: x  int  dom f  , f  x     .

1.5. Tập mở và tập đóng
Định nghĩa 1.22. Cho không gian định chuẩn  X ,   . Ta gọi lân cận của điểm
x trong không gian X là mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r dương nào đấy.

Định nghĩa 1.23. Cho không gian định chuẩn  X , 

 và tập

A X .

a) Tập A được gọi là tập mở trong không gian X nếu điểm x  A đều tồn
tại một lân cận của x bao hàm trong A .
b) Tập A được gọi là tập đóng trong không gian X nếu tập X \ A là tập mở.

1.6. Tập compact
Định nghĩa 1.24. Cho không gian định chuẩn  X ,   . Tập K  X được gọi là
tập compact trong không gian X nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều
chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K được gọi là tập compact

18


tương đối trong không gian X nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa
dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X).
Ví dụ 1.8. Trong không gian metric

1

(tập số thực

với metric tự nhiên) đoạn

bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương đối. Trong không
gian Euclide

n

tập bất kỳ đóng và bị chặn là tập compact, tập bất kỳ bị chặn là

tập compact tương đối.

19


Chương 2

Định lý minimax không lồi
2.1. Đa thức thuần nhất tách được; Tính lồi của miền giá trị ghép
Định nghĩa 2.1. Hàm số f :

m



  được gọi là một đa thức thuần nhất

bậc q nếu f là một đa thức và f ( x)   q f ( x) , với mọi   0 và x 
Định nghĩa 2.2. Hàm số f :

m



m

.

được gọi là đa thức thuần nhất tách được

m

bậc q nếu f ( x)   f j ( x j ), x  ( x1 ,..., xm ) trong đó mỗi f j là đa thức thuần nhất
j 1

bậc q trên

.

Định nghĩa 2.3. Cho hàm fi  i  1,..., p  (không lồi) là đa thức thuần nhất tách
m

m

 q   , tập

 là một hộp compact, nghĩa là  :   j ,

trong đó mỗi  j là một đoạn trong

. Miền ghép giá trị của  f1 ,..., f p  trên  ,

được bậc q trên

j1

kí hiệu R  f1 ,..., f p  được xác định bởi
R  f1 ,..., f p  : 

 f ( x),..., f
1

p



( x)  : x   .

Dưới đây là bổ đề quan trọng trong định lý minimax không lồi. Bổ đề này
chỉ ra rằng miền giá trị ghép R  f1 ,..., f p  luôn là tập lồi.

20


Bổ đề 2.1. Cho  là một hộp compact trong
m

thuần nhất tách được bậc q trên
trong

p

(q

m

và fi  i  1,..., p  là đa thức

). Khi đó, R ( f1 ,..., f p ) là một tập lồi

.
m

Chứng minh. Khi  là một hộp compact trong

m

, ta đặt     j , trong đó
j1

 j  j  1,..., p  là những đoạn trong

. Hơn nữa, với mỗi fi  i  1,..., p  là đa

thức thuần nhất tách được bậc q trên

m

, ta có

m

fi ( x)   fij ( x j )  x  ( x1 ,..., xm ) ,
j 1

trong đó mỗi

fij :



xác định bởi

fij ( x) :  aij x q với các aij 

 i  1,..., p   j  1, m  . Tiếp theo, ta chứng minh
m

R ( f1 ,..., f p )  

 f

1j



( x j ),..., f pj ( x j )  : x j   j .

(2.1)

j 1

Lấy (u1 ,..., u p )  R ( f1 ,..., f p ) hay



m



(u1 ,..., u p )  ( f1 ( x),..., f p ( x)) : x    j .
j 1

m

m

j 1

j 1

Khi đó, tồn tại x  ( x1 ,..., xm )    j , sao cho ui  f i ( x)   f ij ( x j )  i  1,..., p  .
m

Vì vậy  u1 ,..., u p   

 f

1j



( x j ),..., f pj ( x j )  : x j   j nên

j 1

21


m

R ( f1 ,..., f p )  

 f

1j



( x j ),..., f pj ( x j )  : x j   j .

j 1

Ta thấy rằng, để chứng minh điều ngược lại trong (2.1), ta chỉ cần chứng minh
(2.2). Với mỗi j  1, ..., m thì

( f

1j

( z ),..., f pj ( z )) : z   j  là một tập lồi.

(2.2)

Vì tổng của những tập lồi là một tập lồi. Từ (2.2), với j cố định, j  1,..., m , nếu
, giả sử  j =  j ,  j  thì

 j là một tập lồi compact trong

( f

1j





( z ),..., f pj ( z )) : z   j    a1j z q ,..., a pj z q  : z   j ,  j  .

Do ánh xạ z  z q là một ánh xạ liên tục trên
đóng trong



và  j ,  j  là một tập compact



nên C j  z q : z   j ,  j  cũng là một tập compact và đóng trong

. Vì vậy, tập C j  j  1,..., m  là những đoạn compact trong

 a z ,..., a z  : z   ,     t  a
j q
1

j q
p

j

j

1

j

và



,..., a p j  .

tC j

Suy ra

 a z ,..., a z  : z   ,   là một tập lồi. Do đó, với mỗi
j q
1

j q
p

j

j

j

 j  1,..., m 

thì tập

( f

1j

( z ),..., f pj ( z )) : z   j  là một tập lồi.

Vậy bổ đề 2.1 đã được chứng minh.



Định nghĩa 2.4. Tập hợp gồm tất cả các đa thức thuần nhất tách được (hoặc một
hằng số), kí hiệu là Sq ( q 

), được xác định bởi

22


m


Sq   f : f ( x)   a j x qj  b, a j , b  , j  1,..., m  .
j 1



Vì phép tịnh tiến bảo toàn tính lồi nên hệ quả 2.1 được suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.1.
Hệ quả 2.1. Nếu  là một hộp compact trong
thì R  f1 ,..., f p  là một tập lồi trong

p

m

, q

và fi  Sq , i  1,..., p

.

2.2. Định lý minimax không lồi
Bằng cách sử dụng tính lồi của miền ghép giá trị của đa thức thuần nhất tách

được chúng ta có định lý minimax không lồi và việc chứng minh nó dựa theo các
chứng minh cổ điển của định lý minimax cho hàm tách được lồi - lõm đã được
trình bày trong [16].
Định lý 2.1. Cho  là một hộp compact trong
A

n

. Giả sử hàm tách được f :

m



n

m

, q

và A là một tập lồi,

  thỏa mãn



1) Với mỗi y cố định, y  A, f  , y   Sq ;
2) Với mỗi x cố định, x  , f  x,  là một hàm lồi.
Khi đó, ta có
inf max f ( x, y )  max inf f ( x, y ) .

yA

x

x

yA

Chứng minh. Để chứng minh được định lý 2.1, ta chỉ cần chứng minh
inf max f ( x, y )  max inf f ( x, y ) .
yA

x

x

yA

Giả sử max inf f ( x, y )   . Khi đó, với mỗi x   thì tồn tại y x  A sao cho
x

yA

f  x, y x    . Nếu hàm f (, y x ) liên tục thì tồn tại một lân cận mở Vx của x sao cho

23


f (u , y x )   , với mọi u Vx .

(2.3)

Do  là hộp compact và    x Vx nên tồn tại các số x1 ,..., x p   sao cho
p

  Vxi .
i 1

Cho yi  y xi và xét các tập C1 , C2 được xác định bởi
C1 :  conv

 f ( x, y )   ,..., f ( x, y )    : x   và C
p

1

2



p


,

trong đó conv P là bao lồi của tập P . Dễ thấy hai tập C1 , C2 đều là tập lồi và
int C2   . Tiếp theo, chúng ta chứng minh C1  int C2   . Giả sử ngược lại,

tồn tại  u1 ,..., u p   int

p


với

 u ,..., u   C : conv f ( x, y )   ,.... f ( x, y
p

1

1

1

p



)   : x .

q

và  j  0  j  1,..., q  với

Do đó, tồn tại x   , q 



j

 1 sao cho với mỗi

j 1

i  1,..., p thì
q

q

j 1

j 1

0  ui    j  f ( x j , yi )       j f ( x j , yi )   .

(2.4)

Cho fi ( x)  f  x, yi  , i  1,..., p . Với mỗi fi  Sq , i  1,..., p và từ hệ quả 2.1 ta có
R  f1 ,..., f p  :

 f ( x),..., f ( x)  : x   là một tập lồi trong
p

1

p

.

Hơn nữa, với mỗi j  1,..., q ta có

 f ( x , y ), f ( x , y ),..., f ( x , y )    f ( x ), f ( x ),..., f
j

1

j

2

j

p

1

j

24

2

j

p

( x j )   R ( f1 ,..., f p ) .


Do đó, tổ hợp lồi

q

   f ( x , y ),
j

j

1

f ( x j , y2 ),..., f ( x j , y p )   R ( f1 , f 2 ,..., f p ) ,

j 1

nên tồn tại x0   sao cho
q



j

f ( x j , yi )  f i ( x0 )  f ( x0 , yi )  i  1,..., p  .

j 1

Kết hợp với (2.4), ta có
f  x0 , yi    với mọi i  1,..., p .

(2.5)

p

Mặt khác, vì x0   và    i 1Vxi nên tồn tại một số i0  1,... p sao cho
x0 Vxi . Cho yi0  y xi , kết hợp với (2.3) ta có
0

0





f x0 , yi0   .

Mâu thuẫn với (2.5), suy ra C1  int C2   . Áp dụng định lý tách tập lồi 1.5, tồn
p

tại ui  , i  1,..., p với



i

 1 sao cho

i 1

p

n

  ( f ( x, y )   )    u ,  u
i

i

i i

i 1

i

 0, x .

i 1

Suy ra, với mỗi ui  0, i  1,..., p , ta có
p

  ( f ( x, y )  
i

i

với mọi x   .

i 1

p

Cho y0 :   i yi  A (theo tính lồi của tập A ). Vì f  x ,. là lồi với mọi x   nên

i 1

25


p

f ( x, y0 )   i f ( x, yi )   ,  x   .
i 1

Do đó,
inf max f ( x, y )  max f ( x, y0 )   .
y A

x

x



Vậy ta có điều phải chứng minh.

Ba hệ quả sau được chứng minh dễ dàng nhờ định lý minimax. Đặc biệt, hệ
quả 2.4 chính là định lý von-Neumann nổi tiếng.
Hệ quả 2.2. Cho  là một hộp compact trong
tập A 
f2 :

n

n



m

. Cho hàm f1 :

m

, q

và A là một tập lồi,

là đa thức thuần nhất tách được bậc q và hàm



là hàm afin. Khi đó, ta có
inf max f1 ( x) f 2 ( y )  max inf f1 ( x) f 2 ( y ) .
yA

x

x

Chứng minh. Xét hàm tách được f :

m



n

yA



xác định bởi

f ( x, y )  f1 ( x) f 2 ( y ) .

Với mỗi y cố định, y 
và với mỗi x cố định, x 

m

n

, f ( , y ) là đa thức thuần nhất tách được bậc q

, f ( x, ) là hàm afin. Do đó, từ định lý 2.1 ta có



điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.3. Cho  là một hộp compact trong

A

n

. Cho hàm f1 :

và hàm f 2 :

n



m



m

, q

và A là một tập lồi,

là đa thức thuần nhất tách được không âm bậc q

là hàm lồi. Khi đó, ta có

26


inf max f1 ( x) f 2 ( y )  max inf f1 ( x) f 2 ( y ) .
yA

x

x

m

Chứng minh. Xét hàm tách được f :



n

yA



xác định bởi

f ( x, y )  f1 ( x) f 2 ( y ) .

Với mỗi điểm y cố định, y 
q và với mỗi điểm x cố định, x 

n

m

, f ( , y ) là đa thức thuần nhất tách được bậc

, f ( x, ) là hàm lồi (nếu f1 là hàm không âm

và f 2 là hàm lồi). Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải chứng minh.
m

Hệ quả 2.4. Cho hai số m, n  ,    x  ( x1 ,..., xm ) 
U thuộc

mn



: xi  1, i  1,..., m và

. Khi đó, ta có
infn max x,U y  max infn x,U y .
y

Chứng minh. Cho A 

n

x

x

y

. Xét hàm tách được f :

m



n



xác định bởi

f ( x, y )  x,U y ;

với mỗi y cố định, y  , f ( , y ) là một hàm số tuyến tính và với mỗi x cố
định, f ( x, ) cũng là một hàm tuyến tính. Do đó, từ định lý 2.1 ta có điều phải
chứng minh, vì mọi hàm tuyến tính là lồi và thuộc tập S1 .



Tiếp theo, ta trình bày ví dụ minh hoạ cho hệ quả 2.2.
Ví dụ 2.1. Cho m  2 và n  1 ,    1,1   1,1 và A 
f:

2





,
f ( x, y ) :  ( x14  x24 )( y  1) .

27

. Xét hàm tách được