Giải gần đúng phương trình vi phân thường

Lời nói đầu
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc
thực tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển chia thành hai
lĩnh vực đó là: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Trong lĩnh vực toán
học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương
trình vi phân, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò rất
quan trọng trong lý thuyết toán học.
Chúng ta biết rằng chỉ một số ít phương trình vi phân thường là có thể
tìm được nghiệm chính xác. Trong khi dó phần lớn các phương trình vi phân
nảy sinh từ các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do
vậy chúng ta phải nhờ tới các phương pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần đúng.
Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà khoa học đã nghiên cứu tìm ra nhiều phương
pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường
Là một sinh viên chuyên nghành toán em may mắn có cơ hội nghiên
cứu về đề tài: “Giải gần đúng phương trình vi phân thường”. Dưới sự giúp
đỡ tận tình, sự chỉ bảo ân cần của thầy giáo: TS Nguyễn Văn Hùng. Với sự
say mê toán, sự tích cực tìm tòi nghiên cứu của mình em đã hoàn thành được
đề tài nghiên cứu này
Đề tài của em gồm 3 phần: Lời nói đầu, nội dung, kết luận
Nội dung gồm:
Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
Chương 2: Giải gần đúng phương trình vi phân thường
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến thầy
giáo: TS Nguyễn Văn Hùng đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành đề tài này
Em xin cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo khoa toán, các thầy cô
tổ bộ môn giải tích, các bạn sinh viên khoa toán và tập thể các bạn sinh viên

1


lớp k32 cử nhân toán, đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt quá

trình hoàn thành bản khóa luận này
Do lần đầu tiên tiếp xúc với nghiên cứu khoa học và do thời gian có
hạn nên đề tài của em chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót. Em mong
được sự thông cản của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên.
Hà nội ngày 5 tháng 4 năm 2010

2


Chương 1: Các kiến thức bổ trợ
1.1: Sai phân
1.1.1 Dãy số
Gọi A là tập hợp m số tự nhiên khác không đầu tiên A  1,2...., k .
Một hàm số x xác định trên tập A được gọi là một dãy số hữu hạn. Tập
giá trị của dãy số hữu hạn này là  x 1 ; x  2  ;...; x  k  . Người ta thường kí
hiệu các giá trị đó là x 1  x1; x  2  x2 ;...; x  k   xk và viết dãy số đó dưới
dạng x1, x2 ,..., xk
Một hàm số x xác định trên tập N  các số tự nhiên khác không được
gọi là dãy số vô hạn (hay gọi là dãy số. Tập giá trị của dãy số x gồm vô số
phần tử x 1  x1; x  2   x2 ;...; x  n   xn ... . Người ta thường viết dãy số dưới
dạng x1 , x2 ,..., xn, ...
Dãy số x1, x2 ,..., xn ,... được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên
dương N 0 sao cho xn  c với mọi n  N0 . Ở đây c là một hằng số nào đó (và
gọi là hằng số dừng)
Dãy số x1, x2 ,..., xn ... được gọi là:
Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho xn  M với mọi

n  1,2,.....
Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn  m với mọi n  1,2,...
Dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới

3


1.1.2. Giới hạn của dãy số
Ta nói rằng dãy số  xn  có gới hạn là a nếu với mọi số dương  cho
trước (nhỏ hơn bao nhiêu tùy ý), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi

n  N thì xn  a   . Ta viết lim xn  a hay viết là lim xn  a
n 

1.1.3. Tổng n số hạng đầu tiên của dãy số:
Cho dãy số  xn  tổng n số hạng đầu tiên của dãy số được kí hiệu là

sn  x1  x2  ...  xn  i n xi
1.1.4. Công thức Moarvơ
Cho số phức:

  x  iy  r  cos  i sin  
i 2  1; r    x 2  y 2
y
x

  arctg ; thì số phức liên hợp   x  iy  r  cos -isin 
Ta có:

 n  r n  cos -isin   r n  cosn -isinn  (công thức Moarvơ)
n

1.1.5. Sai phân

a. Khái niệm sai phân:
Giả sử f : R  R là một hàm số cho trước và h là một hằng số khác 0
ta gọi  0 f  x   f  x  là sai phân cấp 1 của hàm số y  f  x 
1 f  x   f  x  h   f  x 

là sai phân cấp 1 của hàm số y  f  x 

 2 f  x     1 f  x  
 f  x  h   f  x 
 f  x  2h   2 f  x  h   f  x 

4


là sai phân cấp hai của hàm số y  f  x 
Quy nạp:

n f  x      n1 f  x  

n  N 


là sai phân cấp n của hàm số y  f  x 

xi

f  xi 

f  xi 

x4

f 4

x3

f 3

f 4

x2

f 2

f 3

 2 f 4

x1

f 1

f 2

 2 f 3

3 f 4

x0

f0

f 1

2 f2

3 f 3

 4 f 4

x1

f1

f 0

 2 f 1

3 f 2

 4 f 3

5 f 4

x2

f2

f1

 2 f0

3 f 1

 4 f 2

5 f 3

 6 f 4

x3

f3

f 2

 2 f1

3 f 0

 4 f 1

5 f 2

 6 f 3

x4

f4

f3

2 f2

3 f1

 4 f0

5 f 1

 6 f 2

 2 f  xi 

 3 f  xi 

 4 f  xi 

 5 f  xi 

 6 f  xi 

Nhận xét:
Bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của 2 phần tử dòng dưới và
dòng trên của cột liền trước..
Ví dụ: f4  f3  f 4
1.1.6. Tính chất sai phân
a. Sai phân  là toán tử tuyến tính xác định trên không gian X các
hàm số xác định trên R , nghĩa là với mọi  ,   R , với mọi hàm số f , g thì:

  f   g   f  g

5


Chứng minh:
Ta có:   f   g  x    f   g  x  h    f   g  x 

  f  x  h   g  x  h   f  x    g  x 
   f  x  h   f  x     g  x  h   g  x 

 f  x   g  x 
b. Nếu c  f thì c  0
Chứng minh:

c  c  c  0   c  0
c.  n  x n   n!hn

m  xn   0

 m>n 

Chứng minh:
  xn    x  h   xn
n

 xn  Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2  ...  hn  x n
 Cn1hxn1  Cn 2h2 xn2  ...  h2
 n  n  1 2 n2 
 2  x n     x n     nhx n1   

h x   ...    h n 
2


Do đó:

 n  x n   n!hn rõ ràng n  x n   n!hn  const

Ta được:

 m  x n    mn n  xn   0   m>n 





d. Nếu p  x  là đa thức bậc n thì:

hi i
p  x   p  x  h   p  x    p  x 
i 1 i !
n

Chứng minh:
Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức p  x  h  ta được:

6


h 1

h 2  2
hn  n
p  x  h  p  x  p  x 
p  x   ... 
p  x
i!
2!
n!

(do p  x  là đa thức bậc n nên m  n ta có p    0 )
m

Khi đó:
p  x   p  x  h   p  x 
h 1
h 2  2
hn  n
 p  x 
p  x   ... 
p  x
1!
2!
n!
n


i 1

hi i
p  x

i!

n

e. f  x  nh    C i n i f  x 
i 0

Chứng minh:

f  x   f  x  h   f  x 
f  x  h   f  x   f  x   1    f  x 

Suy ra

f  x  2h   f  x  h  h   1    f  x  h 
2

 1    f  x    C i 2i f  x 
2

i 0

f  x  nh   f  x  h   n  1 h 

Quy nạp với n:

 1    f  x 
n

n

  C i n i f  x 
i 0

f. mọi sai phân đều biểu diễn qua các giá trị của hàm số
n

 f  x     1 C i n f  x   n  i  h 
n

i

i 0

7


Chứng minh:
Ta có:
 n f  x   1     1 f  x 
n

   1 C i n 1   
i

n i

f  x

i 0

n
 ni

i
   1 C i n   C k ni  k f  x  
i 0
 k 0

n

=   1 C i n f  x   n  i  h 
i

i 0

g. Giả sử f  x   C n  a, b  và  x, x  nh   a, b , khi đó:
f  x 
 f n  x   nh  với    0,1
h

Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp:
Với n  1 ta có:
f  x 
 f '  x   h  là công thức số gia hữu hạn.
h

Vậy mệnh đề đúng với n  1
Giả sử mệnh đề đúng với n  k  k  1

k f  x 
Tức là
 f k  x   kh  đúng
k
h
Ta chứng minh mệnh đề đúng với n  k  1
Tức là ta phải chứng minh:

 k 1 f  x 
 f k 1  x    k  1 h 
k 1
h
Hay

 k 1 f  x   h k 1  f  x    k  1  

8

n 1

do h  0


Thật vậy:

k 1 f  x    k f  x     hk f k  x   ' kh   (trong đó  '   0,1 ).
Áp dụng công thức tính số gia hữu hạn cho f 

k

 x   ' kh 

Ta có:

k 1 f  x   hk f 

k

 x   ' kh 

(vì  là toán tử tuyến tính)

 hk  f k  x   ' kh  h   f k  x   ' kh  

 hkh f 

k 1

 x   ' kh   '' h 

(do mệnh đề đúng với n  1 ). Trong đó  ', ''   0,1
Đặt  

 ' k   ''
k 1

,   0,1

k 1 f  x   hk 1 f k 1  x    k  1 h 

Ta được :
Hệ quả:

n f  x 
Nếu f  x   C  a, b  khi h đủ nhỏ ta có f  x  
hn
n

n

Nhận xét:Với hàm f  x  xác định trên tập số nguyên Z và coi rằng

h 1
kí hiệu yk  f  x  ; k  0,1,2....
Ta có:
n

 y   y
i 1

i

2

 y1    y3  y2   ...   yn1  yn 

  yn1  y1 

Với yi  yi 1  yi  f  i  1  f i   f i  h   f i   h  1

n

Vậy :  yi  yn1  y1
i 1

9


Sai phân cấp i của đa thức bậc n là:
Hằng số, khi i  n ( theo tính chất b )
Đa thức bậc n  i khi iBằng 0 khi i  n ( theo tính chất c )

1.2: Số gần đúng và sai số
1.2.1. Sai số
1.2.1.1. Trong tính toán ta thường làm việc với các giá trị gần đúng của các
đại lượng.
Ta nói a là số gần đúng của số a  . Đại lượng   a  a được gọi là
sai số thực sự của a
Do đó a  ta không biết nên  cũng không biết nhưng ta có thể tìm
được  a  0 sao cho: a  a   a

 2.1

Số  a nhỏ nhất thỏa mãn (2.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a .
Tỉ số  a 

a
được gọi là sai số tương đối của a .
a

Ví dụ 1: Cho số x  n; a  3,14; a  n

3,14  a  3,15 ; a  0,01
3,14  a  3,142 ; a  0,002
Ví dụ 2: Cho số x  e; a  2,71; a  e

2,71  a  2,718 ; a  0,008
2,71  a  2,7182 ; a  0,0082
Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt.
Ví dụ 3: A  500m

B  4km

a  0,09

b  10m

10


a 

0,09
9
 0,00018 
500
50000

b 

10
1

4000 400

Phép đo B chính xác hơn phép đo A
Vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối
1.2.1.2. Số thu gọn
Xét số thập phân a được biểu diễn dưới dạng:

a     p10 p   p110 p1  ...   pq10 pq 
Trong đó: i ; p  q  i  p; 0  i  9
Nếu p  q  0 thì a là số nguyên
Nếu   p  q  0 thì a là số thập phân có phần lẻ gồm p  q chữ số
Nếu p  q   thì a là số thập phân vô hạn
Ví dụ 4: 5218  5.103  2.102  1.101  8.100
Ta thấy p  q  0 nên a  5218 là số nguyên
Ví dụ 5: 52,18  5.101  2.100  1.101  8.102
Ta thấy p  q  2 nên a  52,18 là số thập phân có phần lẻ gồm 2 chữ
số
Thu gọn a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được một số
a ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết

Quy tắc thu gọn (làm tròn):
Giả sử:

a    p .10 p   p1.10 p1  ...   j .10 j   j 1.10 j 1  ...   pq .10 pq 
Giả sử ta muốn giữ lại đến hàng thứ j gọi phần bỏ đi là M. Khi đó ta



được một số nguyên là: a   p .10 p   p1.10 p1  ...   j .10 j

11




  j .... j
Trong đó:   
  j 1... j
Ví dụ 6:

2,718281828  2,71828183  2,7182818  2,718282  2,71828  2,7183
 2,718  2,72  2,7
Giả sử số thu gọn của a là a ta có: a  a  a .

a  a  a   a  a  a  a   a  a  a   a  a
Nhận xét: Khi thu gọn số a thì sai số tuyệt đối của a với a  lớn hơn
hoặc bằng sai số tuyệt đối của a  và a .
1.2.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc.
a. Chữ số có nghĩa: Là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 nếu nó kẹp
giữa 2 chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại
Ví dụ 7: a  0,0006408530
Giải:
4 chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là những chữ số không có nghĩa. Toàn bộ
những chữ số còn lại là những chữ số có nghĩa.
b. Xét số a     p .10 p  ...   pq .10 pq 
Chữ số  i được gọi là chữ số chắc nếu a  .10i với  là tham số

cho trước. Tham số  được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn
vẫn là chữ số chắc. Rõ ràng  i là chữ số chắc thì i 1 cũng là chữ số chắc
Ví dụ 8: a  8,60432

a  0,001  103 khi đó:

a  8.100  6.101  0.102  4.103  3.104  2.105

Chọn   1 thì a có bốn chữ số chắc là: 8,6,0,4 còn lại hai chữ số
không chắc là: 3,2

12


Chọn  

1
thì a có ba chữ số chắc là: 8,6,0 còn lại ba chữ số không
2

chắc là: 4,3,2 .
Ta xét việc chọn  : Giả sử số a được biết:

a     p .10 p  ...   pq .10 pq  và  i là chắc
Vậy i 1 vốn là chắc. Ta chọn  để sao cho khi thu gọn đến đúng bậc

 i  1

thì có i 1 vẫn là chắc. Muốn vậy ta phải có:

a  a  .10i1

.10i  0,5.10i 1  .10i 1

  5  10


5
9

Trong thực tế người ta thường chọn  

1
hoặc   1. Nếu   1 thì
2

người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa rộng, còn  

1
thì người ta nói chữ số
2

là chắc theo nghĩa hẹp
1.2.2. Sai số tính toán
Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y  f  x1, x2 ,...., xn  .
Gọi x   x1,..., xn  ; y  f  x  là các giá trị đúng. Giả sử ta không biết các
giá trị đúng này ta chỉ biết các giá trị gần đúng là x   x1,..., xn  ; y  f  x  là
các giá trị gần đúng của y .
Giả sử xi  i  1,2,..., n  ;  xi ;  i  1,2,..., n  là các sai số tuyệt đối và
tương đối tương ứng của các đối số. Khi đó sai số của hàm số y  f  x1,..., xn 

được gọi là sai số tính toán

13


Giả sử hàm f  x1,...xn  là hàm số khả vi liên tục theo tất cả các biến

xi thì:
 y  y  y  f  x1,..., xn   f  x1,..., xn 



n



  f ' xi x1 ,..., xn . xi  xi
i 1





Với x  x1 ,..., xn và x là điểm nằm giữa x và x 
Vì f khả vi liên tục
n

 xi  xi  xi khá bé nên  y   f 'xi  x   xi


với x   x1, x2 ,..., xn 

i 1

i 

Vậy

y

và đôi khi có thể viết:

y

n


i 1


ln f  x  xi
  xi 

 i   ln y

(1.2.2.1 )

1.2.2.1. Sai số của một tổng
n

Nếu y   xi thì
i 1

yxi  1  i  1,..., n  vậy ta có:

n

n

i 1

i 1

 y   f 'xi  x  .xi  x1  ...  xn    xi

(1.2.2.2 )

1.2.2.2. Sai số của một tích

y  x1x2 ....xn

y  x1 . x2 .... xn
Từ (1.2.2.2) suy ra  ln y   ln x1  ...   ln xn
Từ (1.2.2.2) suy ra

 y   x1  ...   xn
y  y y

Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các số
hạng thành phần

14


1.2.2.3. Sai số của một thương

y

x1
x2

y ' x1 
y 

1
x
; y ' x2  2 1
x2
x2

x2 x1  x1 x2
;  y   x1   x2
x22

1.2.2.4. Sai số trong phép tính logarit:
y  ln x Suy ra  y   x

1.2.3. Bài toán ngược của bài toán sai số.
Giả sử y  f  x1, x2 ,..., xn  . Cần tính  xi để  y  

   0  cho trước

Theo công thức tổng quát của sai số tính toán ta phải có:
n

y  
i 1

xi 

f
.xi  
xi


n f 'xi

Nếu các biến xi có vai trò “đều nhau” thì ta có thể lấy: xi 


n f 'xi

khi đó:  y  
Ví dụ 9: một hình trụ có chiều cao h  3m , bán kính đáy R  2m . Tìm

h, R, số  để thể tích V được tính chính xác đến 0,1 m3
Giải:
V   R 2h ; v  0,1 m3 ; h  3 m ; R  2 m, n  3
0,1
V

 0,001
 2 Rh  37,7 suy ra R 
37,7
R

15


0,1
V
 0,003
 R 2 h  12 suy ra r 
3,12
r
0,1
V
 0,003
  R 2  12,6 suy ra h 
3.12,6
h

Vậy R  0,001 chính xác tới

1
1000

h  0,003 chính xác tới

3
1000

1.3: Một số kiến thức về phương trình vi phân thường
1.3.1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân thường cấp n có dạng tổng quát:

F  x, y, y ', y '',..., y n   0

(1.3.1.1)

Trong đó x là biến số độc lập, y là hàm phải tìm
Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương
trình
Hàm số y    x  được gọi là nghiệm của phương trình (1.3.1.1) nếu
thay y    x  ; y '   '  x  ,...; y     
n

n

 x

vào (1.3.1.1) thì ta được đồng

nhất thức.
Hàm số y    x, c   c  R  có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình n(1.3.1.1)
Nếu:  x, y   D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải
ra đối với c; c    x, y 
Hàm y    x, c  thỏa mãn k(1.3.1.1)
Thì  x, y  chạy khắp D với c  R

16


1.3.2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải
a. Phương trình vi phân có biến số phân li:
dy
 f  x  suy ra y   f  x  dx  C
dx

dy
 f  y  suy ra
dx



dy
 xC
f  y

M1  x  .N1  y .dx  M 2  x .N2  y .dy  0
M1  x 
N  y
dx  2
dy  0 ;
M2  x
N1  y 

 N  y .M  x   0
1

2

b. Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất:
dy
 f  x, y  ; f  tx, ty   t k . f  x. y  ;  t  0 
dx

Để giải phương trình dạng này ta đặt u 

y
sau đó đưa về việc giải
x

phương trình vi phân có biến số phân li
c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
dx
 p  x . y  Q  x 
dy

Dạng tổng quát:

(1.3.1.2)

Q  x   0 thì (1.3.1.2)gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
cấp 1.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình:

ye

 sp x .dx



 s.Q  x  e

s . p x .dx

C



d. Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần nhất cấp 1.

 ax  by  c 
dy
 f

dx
 a1 x  b1 y  c1 

17

(1.3.1.3)


Nếu c  c1  0 thì (3) là phương trình thuần nhất cấp 1
Nếu c  0; c1  0;

ab
0

a1 b1

 x  x1  
Đặt: 
 y  y1  

(  ,  là hằng số)

e. Phương trình Bernoulli
Dạng tổng quát:
dy
 P  x  y  Q  x  y
dx

(1.3.1.4)

  1: (1.3.1.4) trở thành phương trình tuyến tính cấp 1

  0: (1.3.1.4) trở thành phương trinh phi tuyến tính không thuần
nhất cấp 1

  0;   1 , ta chia 2 vế của phương trình (1.3.1.4) cho y sau đó đặt
z  y1 và đưa về phương trình tuyến tính không thuần nhất.
1.3.3. Định lý Pica-Lindolov (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f  x, y  xác định và liên tục trong miền G:

G   x, y  ; x  x0  a; y  y0  b
Đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y . Khi đó tồn tại một
dãy nghiệm gần đúng của phương trình

 x0  h, x0  h

dy
 f  x, y 
dx

trên đoạn

và dãy nghiệm này là các hàm liên tục hội tụ đều đến nghiệm

duy nhất của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu

 b 
y  x0   y0 ; h  min  a; 
 M

M  max f  x, y  ;

 x, y   G

18


Chứng minh:

0  x   y0

Lấy

x

1  x   y0   f  t ,0  t   dt
x0
x

2  x   y0   f  t ,1  t   dt

(1.3.1.5)

x0

……..
x

n  x   y0   f  t ,n1  t   dt
x0

Dãy hàm n  x  gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã cho. Ta
sẽ chứng minh dãy n  x  hội tụ đều. Gọi   x  là nghiệm đúng của phương
x

trình, ta có:   x   y0   f  t ,  t   dt đặt n  x     x   n  x 
x0

Ta có:
x

  x   n  x     f  t ,  t    f  t ,n1  t   dt
x0

Từ đó ta có :

n  x     x   n  x  

x

 f  t ,  t    f  t ,  t   dt
n 1

x0

Vì f  x, y  thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y do vậy:
x

x

n  x    L   t   n1  t  dt  L  n1  t  dt
x0

x0

(L là hằng số Lipsit của hàm số f )
Với n  0 ta có: 0  x     x   0  x    x  x0   '  

19

(1.3.1.6)


Vì  '     ,     M nên 0  x   M  x  x0 

Áp dụng liên tiếp (1.3.1.6) ta được
x

x

x0

x0

1  x   L  0  t  dt  LM   t  x0 
x

 t  x0 

x

2  x   L    t  dt  L M 
2

x0

 x  x0 
dt  LM

2

x0

2

2

2

 x  x0 
dt  L M

3

2

3!

……

 x  x0 
n  x   L M
 n  1!

n 1

n

;  n  0,1,2,...

Từ đó ta có: n   thì n  x   0 và n  x     x  trên đoạn

 x0 , x0  h ;
Ta chứng minh   x  là duy nhất:
Giả sử có 2 hàm   x  và   x  là nghiệm của phương trình đã cho và

thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước
x

x

x0

x0

Xét :   x   y0   f  t ,  t   dt ;   x   y0   f  t ,  t   dt
x

x

x0

x0

  x    x     f  t ,  t    f  t ,  t   dt   f  t ,  t    f  t ,  t   dt

x

x

x0

x0

 L    t    t  dt  L  sup   t    t  dt  L sup   t    t   x  x0 
t

t

 L sup   x    x  a ;  x  x0  a 
x

Suy ra   x    x   La sup   x    x  ; x.
x

20


sup   x    x   La sup   x    x  ;
x

x

Tương đương 1  La  sup   x    x   0
x

1  La   0

suy ra sup   x    x   0
x

  x    x   0 ; x
Suy ra   
Vậy   x  duy nhất

21

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng
phương trình vi phân thường
2.1: Một số phương pháp giải tích
2.1.1. Định nghĩa hàm số Lipsit:
Hàm số f  x, y  được gọi là Lipsit theo biến y trên miền G nếu

 k  0 sao cho: f  x, y1   f  x, y2   k y2  y1 ;   x, y j   G; j  1,2.
Tính chất:
i. Nếu f  x, y  là Lipsit đối với biến y trong miền G thì liên tục đều
theo biến y , đối với mỗi x sao cho  x, y   G
ii. Nếu f  x, y  là hàm liên tục theo x thỏa mãn điều kiện Lipsit đối
với biến y trong miền G thì f  x, y  là liên tục trong miền G
2.1.2. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard.
Xét bài toán Cauchy:
Tìm y  x  thỏa mãn điều kiện:
 y '  f  x, y 


 y  x0   y0

 2.1.2.1

x

 2.1.2.2 

 y, f  R 

0

xx



m

Trong đó hàm f  x, y  thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y trên miền
mở D:

 

 

  x, y  ; x, y  D; f  x, y   f x, y  M y  y
Giả thiết rằng các điều kiện tồm tại duy nhất nghiệm được thỏa mãn.
Việc giải bài toán trên tương đương với việc tìm nghiệm của phương trình
tích phân sau:

22


x

y  x   y0   f  t , y  t   dt

(2.1.2.3)

x0

Nội dung của phương pháp xấp xỉ liên tiếp Picard là thay côh việc
tìmnghiệm đúng của (2.1.2.3) ta tìm nghiệm gần đúng thứ n theo công thức
quy nạp:
x

y  y0   f  t , yn1  t  dt

(2.1.2.4)

x0

Trong đó để đơn giản ta có thể chọn nghiệm đúng đầu tiên là:

y0  x   y0
Tốc độ hội tụ của phương pháp được đặc trưng bởi hàm

n  x   y  x   yn  x  ,
Trong đó y  x  là nghiệm đúng của phương trình (2.1.2.3). Trừ từng vế
của (2.1.2.3) cho (2.1.2.4) ta được:
x

y  x   yn  x     f  x, y   f  x, yn1   dx ;
x0

x

Từ đó: n  x   y  x   yn  x    f  x, y   f  x, yn1  dx
x0

Vì f  x, y  thỏa mãn điều kiện Lipsit heo biến y do vậy:
x

x

n  x    L y  x   yn1  x  dx  L  n1  x  dx
x0

x0

Với n  0 ta có:

0  x   y  x   y0   x  x0 . y '  

 x0    x0  h 

Vì: y '     f  , y      M suy ra 0  x   M  x  x0  ;

23

(2.1.2.5)


Áp dụng liên tiếp (9) ta được:

 x  x0 
n  x   L M .
 n  1!

n 1

n

; n  0,1,...,

(2.1.2.6)

Khi n   thì n  x   0 và yn  x   y  x  trên đoạn  x0 , x0  h
(xem phần chứng minh định lý Picard_Lindolor)
Ví dụ 1: Áp dụng phương pháp Picard giải bài toán Cauchy sau:
2
2
 y '  x  y

 y  0   0

(2.1.2.7)

Giải: f  x, y   x 2  y 2
Áp dụng (2.1.2.4) ta có: y0  x   0
x

1
y1  x    t 2 dt  x 3
3
0
1 
1
1


y2  x     t 2  t 6  dt  x 3  x 7
9 
3
63
0
x

1
2 10
1 14 

y3  x     t 2  t 6 
t 
t  dt
9
189
3969


0
x

1
1
2 11
1
 x3  x 7 
x 
x15
3

63
2079
59535

Để xét tốc độ hội tụ ta làm như sau:
Hàm f  x, y   x 2  y 2 xác định trên toàn mặt phẳng nên có thể chọn
a,b tùy ý. Đặt: b  ka , khi đó miền G là: G   x, y  : x  a; y  b; a, b  0
Ta có: x 2  y 2  a 2  b2  a 2 1  k 2   M

 b
h  min  a,
 M





ka
k






min
a
,

min

a
,

 a 2 1  k 2  
 a 1  k 2  






24


Nếu k cố định thì giá trị lớn nhất của h đạt được khi:

a

k
k
k
suy ra h 
suy ra a 
2
2
1 k2
1 k
a 1  k 

Dễ thấy max h 

2
đạt được khi k  1
2

Vì vậy quá trình xấp xỉ liên tiếp để tìm nghiệm của (2.1.2.7)hội tụ (ít
nhất) trong đoạn x 

2
2
2
suy ra y  ka  a 
;
, từ x 
2
2
2

Hằng số Lipsit được xác định như sau:

L  max
y

f
 max 2 y  2
y y  2
2

Với x 

2
thì giá trị y2  x  và y3  x  khá gần nhau:
2
11

15

2  2
1  2
y3  y2 

 

  0.000022
2079  2 
59535  2 
1
1
Vì vậy ta có thể lấy nghiệm gần đúng y  x   y2  x   x 3  x 7
3
63

Nhận xét:
Nếu sử dụng công thức sai số (2.1.2.6) thì:

3  x   y  x   y3  x 

 x  x0 
 L3M
4!

4



4

 2 1
2 
 .  0,03
2

 4

 

3

Ưu điểm của phương pháp Picard là tìm nghiệm gần đúng dưới dạng
giải tích. Nhược điểm lớn nhất là tích phân đòi hỏi phải lấy được tường minh

25