Làm đầy một không gian định chuẩn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (570.07 KB, 33 trang )
Khoá luận tốt nghiệp
Lời cảm ơn
Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc
nghiên cứu khoa học.Trứơc sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới bắt
đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học,em đã nhận được sự giúp
đỡ động viên của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán. Đặc biệt
em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. GVCC. Nguyễn Phụ Hy, đã
giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều
kiện để em có cơ hội tập dược với việc nghiên cứu khoa học.
Xuân Hoà, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Đồng Thị Chinh
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
lời cam đoan
Tôi xin cam đoan kết quả đề tài :"Làm đầy một không gian định
chuẩn"đảm bảo tính chính xác, khách quan, khoa học, không trùng với kết
quả của tác giả khác.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Xuân Hoà, tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Đồng Thị Chinh
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Lời mở đầu
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ
XX, đây là ngành giải tích Toán học. Nội dung của nó là sự hợp nhất của lí
thuyết tổng quát xuất phát từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của
giải tích và đại số. Trong đó điều đáng chú ý nhất là tác giả của các đối tượng
đang được khảo sát giống như không gian thực tại trong các mối quan hệ này
hay các mối quan hệ khác. Đến nay giải tích hàm đã đạt được một số nội
dung hết sức quan trọng:
- Lý thuyết về các không gian trừu tượng
- Lý thuyết về toán tử tuyến tính
- Lý thuyết về nội suy toán tử
- Lý thuyết về giải tích hàm suy tuyến, giải gần đúng phương trình
tuyến tính
Phương pháp của giải tích hàm là tiên đề hoá những tính chất đặc
trưng của tập số thực thành các không gian tương ứng và mở rộng các vấn đề
cơ bản của giải tích cổ điển vào những không gian đó.
Giải tích hàm có ý nghĩa quan trọng bởi sự ứng dụng của nó trong vật
lí lí thuyết hiện đại, đặc biệt trong cơ học lượng tử.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về môn này và
là bước đầu tiếp cận với nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài: “Làm đây
không gian định chuẩn”.
Trong khoá luận này em đã trình bày nội dung sau:
Chương 1. Không gian định chuẩn CL[a,b]
Chương 2. Làm đầy không gian định chuẩn
Để hoàn thành bản khoá luận này, mặc dù em đã hết sức cố gắng song
do còn hạn chế về thời gian và kiến thức nên khoá luận không tránh khỏi
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và
bạn bè.
CHƢƠNG 1 : KHÔNG GIAN địNH CHUẩN Cl a, b
l
1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn C a, b
1.1.1. Định nghĩa 1.1.1: (Không gian tuyến tính )
Giả sử P là trường số thực R hay trường số phức .Tập
X cùng với hai ánh xạ ( gọi là phép cộng và phép nhân vô
hướng ).
Phép cộng:
X X X
(x,y)
( x,y X )
x+y
Phép nhân vô hướng : P X
( .x)
X
.x ( P, x X)
Gọi là một không gian tuyến tính ,nếu các tiên đề sau thoả mãn:
10: ( x,y X) : x+y=y+x
;
20: ( x,y,z X): (x+y)+z =x+(y+z);
30: ( X )( x X) x+ =x
;
( gọi là phần tử không của X)
40: ( x X) ( -x X) x+(-x)= ;
( -x gọi là phần tử đối của x )
50: ( x,y X)( P) .(x+y )= x+ y
;
60: ( x X)( , P) ( + ).x = x + x ;
70: ( x X) ( , P) : ( . ).x= .( x)
80 : ( x X)
;
1.x=x ;
Nếu P= R thì X gọi là không gian tuyến tính thực
Nếu P= thì X gọi là không gian tuyến tính phức
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
l
1.1.2. Xây dựng không gian tuyến tính C a, b
Cl a, b = x= x(t): x(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a,b]
l
a) Đưa vào tập C a, b hai phép toán :
y=y(t) C a, b , R :
l
l
x=x(t) C a, b ,
Ta gọi tổng của 2 phần tử x và y ,kí hiệu x+y
x+ y=x(t)+y(t)
Ta gọi tích của phần tử x với số ,kí hiệu .x
.x = .x(t)
l
b) Các phép toán trên đóng kín trong C a, b .
l
Thật vậy: x=x(t) C a, b
l
, y=y(t) C a, b ,
R.
Khi đó theo tính chất các hàm số liên tục ta có
x(t)+y(t);
.x(t) đều là các hàm liên tục trên đoạn [a,b].
Do đó x+y C a, b ; .x C a, b
l
l
l
Suy ra các phép toán xây dựng trên đómg kín trong C a, b
l
c) C a, b cùng với hai phép toán trên là một không gian
tuyến tính.
Thật vậy:
Kiểm tra tiên đề 1
0
l
l
x=x(t) C a, b , y=y(t) C a, b .Ta có
Với mỗi t [a,b] ,thì x(t), y(t) R nên
x(t)+y(t) =y(t)+x(t).
Suy ra x+y=y+x
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Vậy tiên đề 10 được thoả mãn .
Kiểm tra tiên đề 2
0
l
l
l
x=x(t) C a, b , y=y(t) C a, b , z=z(t) C a, b
Với mỗi t [a,b] thì x(t), y(t), z(t) R nên
( x(t)+y(t) )+ z(t) =
x(t)+(y(t) + z(t))
( x+y) +z =x+( y+z ).
Vậy tiên đề 20 được thoả mãn .
0
Kiểm tra tiên đề 3 :
Xét = (t)=0 , t [a,b]
Hiển nhiên C a, b , x=x(t) C a, b , ta có:
l
l
Với mỗi t [a,b] thì x(t) R nên :
x(t) +0 =0+ x(t)= x(t)
x+ = +x=x .
Vậy tiên đề 30 được thoả mãn , và phần tử được gọi là
l
phần tử không của C a, b .
0
Kiểm tra tiên đề 4 :
l
l
x=x(t) C a, b ,đặt y=-x(t) . Rõ ràng y C a, b
Với mỗi t [a,b] thì x(t) R và -x(t) R ,nên
x(t)+ (-x(t)) = x(t)-x(t) =0
x(t)+( -x(t))=x(t)-x(t) =0 , t [a,b] .
x+y = .
Phần tử y được gọi là phần tử đối của x , kí hiệu –x
Vậy tiên đề 40 được thoả mãn
0
Kiểm tra tiên đề 5 :
x=x(t) C a, b , y=y(t) C a, b , R ta
l
Đồng Thị Chinh
l
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
có :
Với mỗi t [a,b] thì x(t) ,y(t) R , nên :
.( x(t)+y(t) )= .x(t)+ .y(t).
Vậy tiên đề 50 được thoả mãn
0
Kiểm tra tiên đề 6 :
x=x(t) C a, b , , R , ta có :
l
Với mỗi t [a,b] thì x(t) R nên :
( + ).x(t) = .x(t)+ .x(t)
( + ).x= .x+ .x .
Vậy tiên đề 60 thoả mãn .
0
Kiểm tra tiên đề 7 :
x=x(t) C a, b , , R , ta có :
l
Với mỗi t [a,b] thì x(t) R nên :
( .x( t ) )=( . ). x(t)
( x)=( . .)x ,
Vậy tiên đề 70 được thoả mãn.
0
Kiểm tra tiên đề 8 :
l
x=x(t) C a, b , ta có:
Với mỗi t [a,b] thì x(t) R nên :
1.x(t) =x(t) ,
1.x =x.
Vậy tiên đề 80 được thoả mãn.
l
Vậy C a, b cùng với hai phép toán trên lập thảnh một
không gian tuyến tính trên trường số thực R .
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
l
1.2 Không Gian Định Chuẩn C a, b
1.2.1 Định nghĩa 1.2.1 (Không gian định chuẩn ).
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính đ
cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập R ,kí hiệu là . và đọc là
chuẩn, thoả mãn các tiên đề sau:
1o : ( x X) :
x 0
x =0 x= (ký hiệu phần tử không của X là
)
20: ( x X) ( P): .x = . x ;
30 : ( x,y X) x y x y
;
Số x đọc là chuẩn của vectơ x
Các tiên đê 10 ,20, 30 gọi là hệ tiên đề chuẩn
Kí hiệu không gian định chuẩn : X hay (X, . );
l
1.2.2. Xây dựng không gian định chuẩn C a, b
l
a) Ta đưa vào không gian tuyến tính C a, b chuẩn của phẩn
l
tử x=x(t) C a, b , kí hiệu x xác định
b
x = x(t ) dt
(1)
a
l
Dễ thấy quy tắc cho bởi (1) là một ánh xạ từ C a, b vào R
l
b) Chứng minh ánh xạ từ C a, b vào R xác định bởi (1)
thoả mãn hệ tiên đề chuẩn
Thật vậy:
x t CL x t CL x
a,b
a,b
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
o
Kiểm tra tiên đề 1 :
l
x=x(t) C a, b do x(t ) 0
t [a,b]. nên
b
Bây giờ ta chỉ ra
x(t ) dt =0 x(t ) 0 , t[a,b].
a
Thật vậy ,chiều ngược lại là hiển nhiên.
b
x(t ) dt =0 (*) và giả sử t a.b sao cho
Nếu
0
a
x(t0) 0.Khi đó , c, d a, b , t0 c, d sao cho
x(t ) 0, t c, d .Từ đó và từ:
b
d
x(t ) dt x(t ) dt 0 ( mâu thuẫn với (*) ). Vậy x(t ) 0, t a, b
c
a
Từ đó và từ tính liên tục của hàm x(t ) , x(t ) 0, t a, b .
b
Vậy
x(t ) dt =0 x(t ) 0 , t[a,b].
a
Hay x(t ) 0 x(t ) 0, t a, b
Vậy tiên đề 10 thoả mãn.
0
Kiểm tra tiên đề 2 :
x=x(t) C a, b , R ,Ta có : .x= .x(t);
l
b
b
b
.x = .x(t ) dt = x(t ) dt = . x(t ) dt = x
a
a
a
.x = x .
Vậy tiên đề 20 thoả mãn
0
Kiểm tra tiên đề 3 :
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
l
l
x=x(t) C a, b , y=y(t) C a, b ,
l
x+y=x(t)+y(t) C a, b ,
b
b
b
b
a
a
a
a
x y = x(t ) y(t ) dt x(t ) y(t ) dt = x(t ) dt + y (t ) dt = x + y
xy x y
Vậy tiên đề 30 thoả mãn
l
Kết luận : (C a, b , . ) là không gian định chuẩn.
l
1.3.Định lí :Không gian định chuẩn C a, b không đầy.
1.3.1.Các khái niệm cơ bản :
Định nghĩa 1.3.1:
Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm
x X nếu
lim x x =0 .Kí hiệu lim xn=x hay xn x ( n )
n n
n
Định nghĩa 1.3.2 :
Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản nếu
lim xn xm . =0.
n , m
Định nghĩa 1.3.3:
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ .
1.3.2.Chứng minh định lí:
Thật vậy: Trong không gian CL ta xét dãy ( xn (t )) như sau:
a ,b
1
Đồng Thị Chinh
với a t
10
ab
,
2
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
ab 1
ab
t
2
2
2n
1+(a+b)n-2nt với
xn(t) =
với
0
ab 1
tb
2
2n
(n * )
.
a) Ta chứng minh xn(t) CLa ,b
Thật vậy :
Với t
[a;
Với t
(
( ab ;
2
ab
2
) thì xn(t) =1 nên xn(t) liên tục trên [a;
ab ab
;
2
2
+
ab
2
)
1
) thì xn(t) nên xn(t)=1+(a+b)n-2nt liên tục trên
2n
ab 1
+ )
2n
2
(
Với t
Tại t=
ab
2
ab
2
ab 1
1
;b] thì xn(t) =0 nên xn(t) liên tục trên (
+ ;1].
2n
2n
2
+
ta có xn(
ab
2
)=1 ,
lim
xn(t) = lim
(1+(a+b)-2nt)=1 =xn( 1 )
a b
a b
t (
)
2
t (
2
2
)
lim
xn(t)= lim
1=1 = lim
xn(t)
a b
a b
a b
t (
2
)
t (
)
2
t (
Vậy xn(t) liên tục tai t=
ab
Tại t=
t (
2
+
t (
2n
)
)
ab
.
2
1
ab 1
,ta có xn(
+ )=0 , n * .
2n
2n
2
lim
(xn(t))=
a b 1
2
2
t (
ab 1
lim
0 =0=xn(
+ );
a b 1
2
2n
2
)
2n
ab 1
lim
1 (a b)n 2nt =0= xn(
(xn(t)) = lim
+ ).
a b 1
a b 1
2
2n
)
Đồng Thị Chinh
t (
2
2n
)
10
2
2n
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Vậy xn(t) tại t=
ab
2
+
1
.
2n
Do vậy xn(t) liên tục trên đoạn [a,b] .Suy ra xn(t) C
L
[a,b]
L
b) Dãy ( xn (t )) là dãy cơ bản trong C [a,b]
n1
Thật vậy: m,n * , giả sử m=n+p , p * ta có :
b
xm xn xn (t ) xm (t ) dt
a
a b 1
2 2n
a b
2
=
xn (t ) xm (t ) dt +
xn (t ) xm (t ) dt +
a b
2
a b 1
2 2n
a
a b
2
1 1 dt +
xn (t ) xm (t ) dt
a b 1
2 2n
a b
2
a
=
b
b
xn (t ) xm (t ) dt +
0 0 dt
a b 1
2 2n
a b 1
2 2n
=
xn (t ) xm (t ) dt
a b
2
Vì xn (t ) xm (t ) 1 , t [a,b] nên
xn xm =
a b 1
2 2n
xn (t ) xm (t ) dt
a b
2
a b 1
2 2n
a b
2
dt =
1
2n
1
hay xn xm
0 ( n )
2n
Do đó dãy ( xn (t )) là một dãy cơ bản
n1
c. Dãy ( xn ) không hội tụ trong C
L
[a,b]
.Thật vậy :
L
Giả sử dãy ( xn (t )) hội tụ tới một hàm x(t) nào đó trong C [a,b] ,tức là
n1
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
xn x 0 (n ) ,hay
a b
2
xn (t ) x(t ) dt 0 (n )
a
a b
2
Tích phân này có thể viết
b
xn (t ) x(t ) dt +
a b
2
phải có:
b
xn (t ) x(t ) dt 0 (n ) và
xn (t ) x(t ) dt
cho nên ta
xn (t ) x(t ) dt 0 (n )
a b
2
a
hay
a b
2
a
lim xn (t ) x(t ) trong không gian
n
CL[a, a b ]
2
L
xn (t ) x(t ) trong không gian C [ a b ,b]
Và lim
n
2
a b
2
Nhưng rõ ràng
xn (t ) 1 dt 0 (n ) ,
b
xn (t ) 0 dt 0 (n )
a b
2
a
xn (t ) 1 trong không gian C
Vậy lim
n
L
[a,
ab
]
2
L
xn (t ) 0 trong không gian C [ a b ,b]
Và lim
n
2
Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của dãy ( xn (t )) trong không gian
CL[a, a b ]
2
L
x(t) và 0 cùng là giới hạn của dãy ( xn (t )) trong không gian C [ a b ,b]
2
Do tính duy nhất của giới hạn ,ta suy ra
1
với a t
ab
2
x(t)=
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
0
với
ab
t b
2
Nhưng như thế x(t) không liên tục vì tại t=
ab
2
thì x(t) bị gián đoạn
nên
x(t) C
L
[a,b]
Do đó xn(t) không thể có giới hạn trong C
Kết luận : Vậy không gian C
L
[a,b]
L
[a,b]
không đầy
Trong chương sau chúng ta sẽ tìm cách làm đầy một không gian định
chuẩn chưa đầy thành không gian Banach .
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Chƣơng 2 : Làm đầy không gian định chuẩn không đầy thành
không gian Banach
*
Nhận xét : Từ định lý :” Cho không gian định chuẩn X .Đối với hai
vector bất kì x, y X ,ta đặt d(x,y)= x y
(2.1.1)
Khi đó d là một metric trên X .
Nhờ định lý trên mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric (2.1.1) .Do đó một mẹnh đề đã đúng trong
không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn .
Vì vậy nhờ nguyên lí làm đầy không gian metric , và metric (2.1.1)
mọi không gian đinh chuẩn không là không gian Banach đều có thể làm đầy
thành không gian Banach .
* Quá trình làm đầy không gian định chuẩn X thực chất là : Mỗi dãy
cơ bản mà không hội tụ trong X thì coi như xác định một phần tử mới làm
giới hạn cho dãy đó
Sau khi thêm những phần tử mới này ,người ta có thể định nghĩa một
chuẩn thích hợp để không gian đã bổ sung là đủ trong chuẩn đó , và lúc này
X trở thành không gian con của không gian đã bổ sung .
2.1. Làm đầy không gian định chuẩn .
Cho không gian định chuẩn ( X, . ) ( nói chung X là không gian
không đầy ). Khi đó tồn tại không gian Banach X sao cho :
1) Không gian X đẳng cự tuyến tính với một không gian con của không
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
gian X
2) X trù mật khắp nơi trong X .
Không gian X gọi là cái làm đầy của không gian X
Chứng minh định lý :
2.1.1.Xây dựng X là không gian định chuẩn
2.1.1.1. Xây dựng X là tập tất cả các lớp dãy cơ bản của không gian
X.
Ta phân hoạch tập X thành cáclớp phần tử như sau:
+Với hai dãy cơ bản ( xn ),( xn ) ,trong không gian X ta xây dựng quan hệ
Với mọi dãy cơ bản (xn) và (xn’) trong không gian X,ta xây dưng quan
hệ sau: ( xn ) ( xn ) lim xn xn 0 .
n
Dễ thấy là một quan hệ tương đương bởi nó có đầy đủ những tính
chất : ( xn ),( xn ),( yn ) là các dãy cơ bản trong X.
a) Tính phản xạ: Vì lim xn xn 0 nên ( xn ) ( xn ) .
n
b) Tính đối xứng: Ta có
lim xn xn lim xn xn
n
n
,nên nếu
lim xn xn 0 thì lim xn xn 0 .
n
n
nếu ( xn ) ( xn ) thì ( xn ) ( xn )
c) Tính bắc cầu: Ta có lim xn xn 0 , lim xn yn 0
n
n
0 lim xn yn lim xn xn lim xn yn 0
lim xn yn 0 .
Vậy nếu ( xn ) ( xn ) và ( xn ) ( yn ) thì ( xn ) ( yn ) .
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Do đó tập tất cả các dãy cơ bản trong không gian X được chia thành
các lớp,hai dãy cơ bản thuộc cùng một lớp thì tương đương .Ta kí hiệu tập
tất cả các lớp kể trên là X ,kí hiệu các phần tử của X là x , y ,….
2.1.1.2. Xây dựng X là không gian tuyến tính .
a) Đưa vào X hai phép toán :
x , y X , P .
Với ( xn ) x , ( yn ) y ,ta kí hiệu ( xn yn ) ( x1 y1, x2 y2 ,..., xn yn ,...) ,
và ( xn ) ( x1, x2 ,..., xn ,...) .
+ Ta gọi tổng của hai phần tử x và y ,kí hiệu là x + y :
x + y = ( xn yn ) : ( xn ) x,( yn ) y .
+ Ta gọi tích của số với x , kí hiệu x :
x = ( xn ) : ( xn ) x .
b) Các phép toán trên đóng kín trong không gian
X .
Thật vậy:
x , y X , P . Ta giả sử dãy ( xn ) x và dãy ( yn ) y
+ Ta chứng minh x + y X :
*Dễ thấy x + y là tập các dãy cơ bản trong X.
* x + y là lớp các dãy cơ bản tương đương :
Với hai dãy cơ bản bất kì (n ),(n ) x + y ta có
( xn0 ) x , (y0n ) y sao cho n xn0 yn0 , n * ;
( x1n ) x , ( y1n ) y sao cho n x1n y1n , n *
Khi đó:
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
0 lim n n lim xn0 yn0 x1n y1n lim xn0 x1n lim yn0 y1n =0.
0 lim n n 0 (n ) (n ) .
Vậy x + y X
+ Ta chứng minh x X :
* Dễ thấy x là tập các dãy cơ bản trong X
* x là lớp chứa các dãy cơ bản tương đương
Lấy hai dãy cơ bản bất kì (n ),(n ) x . Ta cần chứng minh dãy
(n ) (n ) . Thật vậy ( xn0 ) x sao cho n xn0 , n * và
( x1n ) x sao cho
n x1n , n * .
Ta có : lim` n n lim xn0 x1n lim xn0 x1n 0
x X .
c) X cùng với hai phép toán trên lập thành không gian tuyến tính.
+Kiểm tra tiên đề 10:
x , y X , do X là không gian tuyến tính,nên phép cộng trong X có
tính giao hoán : xn yn yn xn , xn , yn X ( xn yn ) ( yn xn )
x + y = ( xn yn ) : ( xn ) x,( yn ) y =
= ( yn xn ) : ( xn ) x,( yn ) y = y + x ;
Vậy tiên đề 10 thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 20 :
x , y, z X .Do X là không gian tuyến tính nên phép cộng trong X
có tính kết hợp : ( xn yn ) zn xn ( yn zn ), xn , yn , zn X
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
= ( x ( y
: ( x ) x,( y )
y,( z ) z
( x y) z (( xn yn ) zn )n1 : ( xn ) x,( yn ) y,( zn ) z
n
n
zn ))n1
n
n
n
= x ( y z ) .
Vậy tiên đề 20thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 30:
Xét X , ( ) ( , ,..., ,...) , trong đó là phần tử không của X .
Do X là không gian tuyến tính nên xn xn , xn X
x X ,ta có
x + = ( xn ) : ( xn ) x ( xn ) x x
n1
n1
Vậy tiên đề 30 thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 40.
x X , đặt y (1) x , ( trong đó -1 là phần tử đối của phần tử đơn vị
trong P ).
X và ta có xn (1.xn ) , xn X .
Rõ ràng y
x y ( xn (1xn ))n1 : ( xn ) x = .
Phần tử y được gọi là phần tử đối của phần tử x , kí hiệu là - x .
Vậy tiên đề 40 thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 50 :
x, y
X , P ,
do X là không gian tuyến tính nên
( xn yn ) xn yn , xn , yn X
= ( x y )
,( x ) x,( y ) y x y
( x y) ( ( xn yn ))n1 : ( xn ) x,( yn ) y
n
Đồng Thị Chinh
n n 1
n
10
n
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Vậy tiên dề 50 thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 60:
x
X , , P .
Do
X
là
không
gian
tuyến
tính
nên
không
gian
tuyến
tính
nên
( ) xn xn xn , xn X .
(( ) xn ) ( xn xn ) , ( xn ) x
( )x x x .
Vậy tiên đề 60 thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 70.
x
X , , P .
Do
X
là
( ) xn ( xn ), xn X (( ) xn ) ( ( xn )), ( xn ) x
( ) x ( x ) .
Vậy tiên đề 70 thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 80:
x
X ,do X là không gian tuyến tính nên 1. xn = xn , xn X
( 1 là phần tử đơn vị của P)
x .
(1xn )n1 ( xn )n1, ( xn ) x 1x
Vậy tiên đề 80 thoả mãn .
Vậy X cùng vớ hai phép toán trên lập thành không gian tuyến tính .
2.1.1.3. Xác định chuẩn trên X .
*
x X , ( xn ) x .Ta xác định chuẩn như sau :
= lim x
x
1
n n
(2.1.1.3)
+Giới hạn này tồn tại vì : xn xm xn xm
Và do (xn) là dãy cơ bản trong X ,nên xn xm 1 0
Đồng Thị Chinh
K29B- Toán
10
Khoá luận tốt nghiệp
( m, n ) ,nghĩa là ( xn ) là dãy số cơ bản ,do đó phải tồn tại lim xn
n
+ Cách xác định chuẩn trên không phụ thuộc vào việc chọn dãy ( xn ) x .
Thật vậy: Giả sử ( xn ) x,( xn ) x thì lim xn xn 0 .
Từ đó và từ hệ thức
xn - xn
xn xn 0 (n ) .
lim xn lim xn = x .
* Ta chứmg minh (2.1.1.3) thoả mãn 3 tiên đề chuẩn :
+ Kiểm tra tiên đề 1:
x X .Từ (2.1.1.3) suy ra x 0 ,
Với ( xn ) x , ta có x 0 lim xn 0 ( xn ) ( )
1
mà ( ) .
Vậy x ( trong đó ( ) là dãy dừng gồm các phần tử của X)
Vậy tiên đề 1 thoả mãn .
+ Kiểm tra tiên đề 2 :
x X , P ,với (xn) x .
Ta có: x lim x n lim( . x n ) .lim x n x
1
1
Vậy tiên đê 2 thoả mãn
+Kiểm tra tiên đề 3:
x,y X với (x n ) x ,(y n ) y , Ta có
lim x n y n lim x n lim y n .
x y x y
1
1
1
Vậy tiên đề 3 thoả mãn
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
2.1.2.Không gian X đẳng cự tuyến tính với một không gian con của X .
Mỗi phần tử x X cho ta dãy dừng (x,x,…),và do dãy dừng là dãy cơ bản
khi đó x chứa dãy dừng ( x, x,…).
nên mỗi x X cho ta tương ứng x X
Khi đó lớp x chứa tất cả các dãy (xn) X mà hội tụ tới x.
Xét ánh xạ f :X X
x x
( Trong đó xn x lim xn x )
* Dễ thấy với quy tắc xác định trên thì f là một ánh xạ.
:
* f là một ánh xạ đẳng cự từ X vào X
x,yX , đặt
x f x , y f y
nghĩa là
( xn ) x , ( yn ) y
thì
x limx n , y limy n
Từ hệ thức : x y xn yn x xn y yn 0 (n ).
x y = lim xn yn = x y 1 .
n
Do đó ánh xạ f thành lập trên là một phép đẳng cự từ X vào X ,hay X
đẳng cự với một bộ phận của X
f là một ánh xạ tuyến tính từ X vào X .
Thật vậy:
+ x,y X ,khi đó đặt x f x , y f y sao cho ( xn ) x, ( yn ) y
Ta có lim xn=x , lim yn=y .
n
n
+ , P ta có
lim ( xn yn )= . lim xn+ . lim yn = x+ y
n
n
n
Và do ( xn yn )1 x y
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Do vậy f( x+ y) = x + y = f(x)+ f(y)
f là một ánh xạ tuyến tính từ X vào X
Vậy f là một phép đẳng cự tuyến tính từ X vào X .Do dó X đẳng cự tuyến
tính với một bộ phận của X .
Do đó x y 1 = lim x yn
n
(2.2.1)
2.1.3. X trù mật khắp nơi trong X .
Giả sử x X và >0 nhỏ tuỳ ý cho trước .
Lấy một dãy bất kì (x n ) x khi đó ( xn ) là dãy cơ bản trong X nên :
n1
( n0 *)(m, n n0 ) xn xm từ đó và từ (2.2.1) ta có :
xn x = lim xn xm < ( n n0 )
m
lim xn x 1 =0 hay lim xn= x trong không gian X
n
n
Vậy >0 nhỏ tuỳ ý luôn tìm được xn X cách x không quá .Do đó
X trù mật khắp nơi trong X .
2.1.4. X là không gian đầy.
Ta lấy mộy dãy cơ bản bất kì ( x n) trong X .Do sự trù mật khắp nơi của X
trong X nên với mỗi x n X ta tìm được lớp z
X chứa dãy dừng
(zn, zn,…, zn,…) với zn X , sao cho
1
zn xn (n=1,2…);
1
n
Khi đó ta nhận được dãy z1, z2,…,zn,.. là dãy cơ bản trong. X
Thật vậy:
Dzn-zmD = Dzn-zmD1 Dzn- x nD1 + D x n - x m D1 + D x m – zmD1 <
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
1
1
< + D x n - x m D1 + 0 (m,n );
n
m
Vậy (zn )1 xác định một lớp z X với z là giới hạn của dãy ( xn ) trong
không gian X .Thật vậy : Với n đủ lớn ta có
x n z 1 zn z 1 + z n z 1 < zn x 1 +
1
0
n
z là giới hạn của dãy ( x n).
Vậy mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ ,suy ra X là không gian đầy
2.2.Mọi bổ sung một không gian định chuẩn đều đẳng cự tuyến tính .
2.2.1. Xây dựng ánh xạ từ M 1 lên M 2 .
*
Giả sử M1 =( X , . 1 ) và M2=( X , . 2) đều là cái làm đầy của không
gian định chuẩn M=(X, . ) đã cho .
Lấy phần tử tuỳ ý x X .Khi đó (xn) X hội tụ đến x trong M1 do
đó dãy ( xn ) là dãy cơ bản trong X theo chứng minh (2.1.4) và do điều
n1
kiện 1) của định lý thì ( xn ) là dãy cơ bản trong không gian M2, và kết
n1
hợp với tính đầy của M2 nên dãy ( xn ) hội tụ đến phần tử x trong không
n1
gian M2 .
Ta nhận được ánh xạ g: M1 M2
x
x
(theo quy tắc trên )
Do M1 và M2 là hai không gian có vai trò như nhau vậy nên theo cách lập
luận trên với mỗi x tuỳ ý trong M2 luôn tồn tại x ( thao quy tắc xác định
trên ).
Do vậy g là một toàn ánh .
Sau đây ta chứng minh g là ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ M 1 lên M2
:
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
Khoá luận tốt nghiệp
Thật vậy:
2.2.2. g là ánh xạ tuyến tính .
Thật vậy: x , y M1 , , P ta có :
g( x )= x M2, g( y )= y M2 .Với x M1, (xn) X sao cho lim xn= x
n
trong M1 và lim xn= x trong M2 .
n
Với y M1 tồn tại dãy (yn) X sao cho lim yn= y trong không gian M1
n
và lim yn= y trong không gian M2 .
n
Suy ra lim ( xn yn )= . x + . y trong không gian M1 và
n
lim ( xn yn )= . x + . y trong không gian M2.
n
g( . x + . y )= . x + . y = g( x )+ g( y ).
Vậy g là ánh xạ tuyến tính .
2.2.3. g là ánh xạ đẳng cự ánh xạ M1 lên M2
Thật vậy:
Lấy hai phần tử tuỳ ý x , y X .Khi đó tồn tại hai dãy (xn),(yn) X
sao cho lim xn= x và lim yn= y trong không gian
n
n
và
lim xn= x , lim yn= y trong không gian M2.
n
n
Khi đó ta có :
y = lim x y = lim x y =
x
1
n n n 1 n n n
= lim x y = D x - y D .
2
n n n 2
Vậy g là ánh xạ tuyến tính đẳng cự từ không gian M1 len không gian M2.
Kết luận: Mọi bổ sung một không gian định chuẩn không đầy đều đẳng cự
tuyến tính .
2.3.Ví dụ:
Đồng Thị Chinh
10
K29B- Toán
