Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân

Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

LI CM N
hon thnh bn khúa lun tt nghip ny, trc ht em xin
chõn thnh cm n cỏc thy cụ giỏo trong khoa Toỏn, cỏc thy cụ trong
t gii tớch ó to iu kin, giỳp em trong thi gian va qua.
c bit, em xin by t lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht ti
Tin s Nguyn Vn Hựng ó tn tỡnh hng dn, ch bo cho em trong
sut quỏ trỡnh nghiờn cu khúa lun.
Em xin chõn thnh cm n.

H Ni, ngy 25 thỏng 4 nm 2013
Sinh viờn

Trn Hng Hnh

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận này là công trình nghiên cứu của
riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì
công trình nào khác.

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013
Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

MC LC

LI NểI U ....................................................................................... 1
Chng 1: CC KIN THC CHUN B ............................................ 3
Đ1. S GN NG V SAI S ........................................................... 3
1. Khỏi nim v s gn ỳng, sai s tuyt i, sai s tng i .............. 3
2. Sai s tớnh toỏn ................................................................................... 5
3. Bi toỏn ngc ca bi toỏn sai s ...................................................... 8
Đ2. SAI PHN ....................................................................................... 9
1. nh ngha v tớnh cht....................................................................... 9
2. Mt s cụng thc ni suy s dng sai phõn ...................................... 10
Đ3. PHNG TRèNH VI PHN THNG........................................ 12
1. Mt s khỏi nim .............................................................................. 12
2. Mt s phng trỡnh vi phõn ó bit cỏch gii .................................. 12
3. nh lớ Pica Lindolov (nh lớ tn ti v duy nht nghim) ............ 14

4. Phng trỡnh vi phõn cp 1 cha gii ra i vi o hm ................. 16
5. Cỏch gii mt s phng trỡnh vi phõn cp cao ................................ 18
Chng 2: MT S PHNG PHP GII GN NG
PHNG TRèNH VI PHN ............................................................... 24
Đ1. PHNG PHP EULER V EULER CI TIN ......................... 24
1. Phng phỏp Euler ........................................................................... 24
2. Phng phỏp Euler ci tin ............................................................... 26
Đ2. PHNG PHP RUNGE KUTTA ............................................ 29
1. Trng hp m = 1 ............................................................................ 31
2. Trng hp m = 2 ............................................................................ 31
3. Trng hp m = 3 ............................................................................ 33
4. Trng hp m = 4 ............................................................................ 35

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

5. Phương pháp Runge – Kutta có thể áp dụng để giải một hệ
phương trình vi phân cấp 1 hay một phương trình vi phân cấp cao ....... 39
Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG .......................................................... 41
KẾT LUẬN.......................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 54

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

LI NểI U
Thot u, toỏn hc c phỏt sinh do nhu cu gii quyt cỏc bi
toỏn cú ngun gc thc tin. Cựng vi s phỏt trin ca ni ti toỏn hc
v cỏc ngnh khoa hc khỏc, toỏn hc chia thnh hai lnh vc: toỏn hc lớ
thuyt v toỏn hc ng dng.
Trong lnh vc toỏn hc ng dng thng gp rt nhiu bi toỏn
liờn quan ti phng trỡnh vi phõn thng. Vỡ vy, nghiờn cu phng
trỡnh vi phõn thng úng mt vai trũ quan trng trong lớ thuyt toỏn hc.
Chỳng ta bit rng ch cú mt s ớt cỏc phng trỡnh vi phõn thng
l cú th tỡm c nghim chớnh xỏc, trong khi ú phn ln cỏc phng
trỡnh vi phõn thng ny sinh t cỏc bi toỏn thc tin u khụng tỡm
c nghim chớnh xỏc. Do dú, mt s vn t ra l tỡm cỏc phng
phỏp xỏc nh nghim gn ỳng ca phng trỡnh vi phõn thng.
Xut phỏt t nhu cu thc tin ú, cỏc nh toỏn hc ó tỡm ra
nhiu phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn thng. Trong
cỏc phng phỏp ú, ngi ta ó phõn lm 2 nhúm: nhúm th nht gi l
cỏc phng phỏp gii tớch cho phộp tỡm nghim gn ỳng di dng biu
thc gii tớch, nhúm th hai gi l cỏc phng phỏp s cho phộp tỡm
nghim di dng bng.
L mt sinh viờn khoa Toỏn, trong khuụn kh mt bn khúa lun,
em xin c trỡnh by nhng hiu bit ca mỡnh v mt s phng phỏp
s gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn thng.
c s hng dn tn tỡnh ca Tin s Nguyn Vn Hựng cựng
vi lũng nhit tỡnh say mờ nghiờn cu khoa hc, em ó chn ti: Mt
s phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh vi phõn. Em ó i sõu
nghiờn cu hai phng phỏp s: phng phỏp Euler v Euler ci tin,
phng phỏp Runge Kutta.

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

1


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

Nội dung bản khóa luận gồm ba chương
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số phương pháp giải gần đúng phương trình vi
phân.
Chương 3: Bài tập áp dụng.
Do thời gian và năng lực có hạn nên khóa luận của em còn nhiều
thiếu sót, kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và
các bạn sinh viên.

Hà Nội, ngày 25 tháng 4 năm 2013
Sinh viên

Trần Hồng Hạnh

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

2


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

Chng 1
CC KIN THC CHUN B
Đ1. S GN NG V SAI S

1. Khỏi nim v s gn ỳng, sai s tuyt i, sai s tng i
a, S gn ỳng, sai s tuyt i, sai s tng i.
Trong thc t tớnh toỏn, ta thng khụng bit s ỳng a * m ch
bit s gn ỳng ca a * l a . i lng a * a c gi l sai s
thc s ca a .
Do khụng bit a * nờn cng khụng bit, nhng ta cú th tỡm
c a 0 sao cho a * a a ;

(1.1)

S a nh nht tha món (1.1) c gi l sai s tuyt i ca a .
T s a

a
c gi l sai s tng i ca a .
a

Vớ d 1. Gi s a 3,14 ; a *
Do 3,14 a * 3,15 3,14 0,01 nờn a 0,01 .
Mt khỏc 3,14 a * 3,142 3,14 0,002 nờn a 0,002 .
Trong phộp o núi chung, sai s tuyt i cng nh thỡ cng tt.
Vớ d 2. o di hai on thng AB, CD ta c a 10 cm v
b 1 cm, vi a b 0,01. Khi ú, ta cú a

b

0,01
0,1%;
10

0,01
1% hay b 10 a . Hin nhiờn rng phộp o a chớnh xỏc
1

hn phộp o b mc dự a b .
Vy chớnh xỏc ca phộp o phn ỏnh qua sai s tng i.

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

b, S thu gn cỏc s, sai s thu gn.
Xột s thp phõn a c biu din di dng
a p .10 p p 1 .10 p 1 ... p s .10 p s

trong ú 0 i 9, i Z , i l nhng s nguyờn.
Nu p s 0 thỡ a l s nguyờn.
Nu p s m, (m 0) thỡ a cú phn l gm m ch s.
Nu s thỡ a l s thp phõn vụ hn.

Chng hn a 597,36 5.10 2 9.101 7.10 0 3.10 1 6.10 2
õy p 2, s 4, 2 5, 1 9, 0 7, 1 3, 2 6 , ta thy
p s 2 nờn a 597,36 l s thp phõn cú phn l gm hai ch s.

*) Thu gn a l vt b i mt s cỏc ch s hng bờn phi trong
biu din ca a c mt s gn ỳng a gn hn, nhng vn m
bo chớnh xỏc cn thit.
*) Quy tc thu gn
Gi s

a p .10 p ... j .10 j ... p s .10 p s

v ta gi li n s hng th j. Gi phn vt b i l , ta t
a p .10 p ... j 1 .10 j 1 j .10 j

trong ú
j 1 khi 0,5.10 j 10 j
j
j
j khi 0 0,5.10

Nu 0,5.10 j thỡ j j nu j l chn v j j 1 nu j
l vỡ tớnh toỏn vi s chn tin hn.
Vớ d 3. 3,141592 3,14159 3,1416 3,142 3,14 3,1 3 .
Sai s thu gn a 0 l mi s tha món iu kin
a a a

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

4

Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

Vỡ a p .10 p ... j .10 j
cũn a p .10 p ... j 1 .10 j 1 j .10 j





nờn a a j j .10 j 0,5.10 j
Sau khi thu gn, sai s tuyt i tng lờn
a * a a * a a a a a .

c, Ch s chc.
Ch s cú ngha l mi ch s khỏc 0 v c 0 nu nú kp gia
hai ch s cú ngha hoc nú i din cho hng c gi li.
Vớ d 4. a 0,0030140 . Ba ch s 0 u khụng cú ngha.
Mi ch s cú ngha i ca a p .10p p1 .10p1 ... ps .10ps
gi l ch s chc, nu
a .10 i

trong ú l tham s cho trc. Tham s c chn mt ch s
vn ó chc sau khi thu gn vn l ch s chc. Gi s ch s chc cui
cựng ca a trc khi thu gn l i . i 1 v cỏc ch s trc nú vn
chc, phi cú
a a .10 i 1

5
Suy ra .10 i 0,5.10 i 1 .10 i 1 hay .
9

Ta s gi ch s chc theo ngha hp (rng) nu 0,5 ( 1) .
Khi vit s gn ỳng, ch nờn gi li mt, hai ch s khụng chc
khi tớnh toỏn sai s ch tỏc ng n cỏc ch s khụng chc m thụi.
2. Sai s tớnh toỏn
Trong tớnh toỏn, ta thng gp 4 loi sai s sau:
+ Sai s gi thit do mụ hỡnh húa, lý tng húa bi toỏn thc t.
Sai s ny khụng loi tr c.
Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

+ Sai s phng phỏp cỏc bi toỏn thng gp rt phc tp,
khụng th gii ỳng c m phi s dng cỏc phng phỏp gn ỳng.
Sai s ny s c nghiờn cu cho tng phng phỏp c th.
+ Sai s cỏc s liu cỏc s liu thng thu c bng thc
nghim do ú cú sai s.
+ Sai s tớnh toỏn cỏc s vn ó cú sai s, cũn thờm sai s thu
gn nờn khi tớnh toỏn s xut hin sai s tớnh toỏn.
Gi s ta phi tớnh i lng y theo cụng thc y f ( x1 ,..., x n ) .
Gi x * ( x1* ,..., x n* ); y * f ( x * ) l cỏc giỏ tr ỳng.

Gi s ta khụng bit cỏc giỏ tr ỳng ny, ta ch bit cỏc giỏ tr gn
ỳng l x ( x1 ,..., xn ) ; y f ( x) .
Gi s xi (i 1,..., n); xi (i 1,..., n) l cỏc sai s tuyt i v sai
s tng i tng ng ca cỏc i s. Khi ú: sai s ca hm s
y f ( x1 ,..., x n ) c gi l sai s tớnh toỏn.

Gi s hm f l hm s kh vi liờn tc theo tt c cỏc bin xi thỡ

y y y * f ( x1 ,..., x n ) f ( x1* ,..., x n* )
n

f x' ( x1 ,..., xn ) . xi xi*
i 1

i

vi x = ( x1 ,, x n ) v x l im nm gia x v x * .
Vỡ f kh vi liờn tc, xi xi xi* khỏ bộ nờn
n

y f x' ( x) .xi ; vi x ( x1 ,..., x n ) .
i 1

Vy y

i

y n

ln f ( x) .xi

i 1 x i
y

v ụi khi cú th vit y ln y ;

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

(1.2)
(1.2' )

6


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

a, Sai s ca mt tng.
n

Nu y xi thỡ y x' 1(i 1,..., n) . Vy ta cú
i

i 1

n

n

y f x' ( x) .xi x1 ... xn xi ;

i

i 1

(1.3)

i 1

Sai s tuyt i ca mt tng bng tng cỏc sai s tuyt i ca
cỏc s hng.
b, Sai s ca mt tớch.
y x1 .x2 ...x n
y x1 . x2 ... x n
Ln y ln x1 ln x2 ... ln x n
ln y ln x1 ... ln x n
y x1 ... x n
y y .y

Sai s tng i ca mt tớch bng tng cỏc sai s tng i ca
cỏc s hng thnh phn.
c, Sai s ca mt thng.
y

x1
x2

y x'
1

y

x
1
; y x' 2 1
x2
x2
2

x1 .x 2 x 2 .x1
x 22

y x1 x 2

d, Sai s ca y = ln x :

y x

3. Bi toỏn ngc ca bi toỏn sai s
Gi s y f ( x1 ,..., x n )
Cn tớnh xi y , ( 0) cho trc.

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

Theo cụng thc tng quỏt ca sai s tớnh toỏn ta phi cú
n

y
i 1

f
.xi
xi

x i


n. f x'

i

Nu cỏc bin xi cú vai trũ u nhau thỡ ta cú th ly xi


n. f x'

i

khi ú y .

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

8

Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

§2. SAI PHÂN
1. Định nghĩa và tính chất
a, Định nghĩa.
Giả sử y  f (x) là hàm số xác định trên tập X, h  0 sao cho
x  h  X , khi đó biểu thức

f ( x)  f ( x  h)  f ( x ) được gọi là sai phân cấp 1 của hàm số
f (x) tại điểm x.

2 f  ( f )  [ f ( x  h  h)  f ( x  h)]  [ f ( x  h)  f ( x)]
 f ( x  2 h)  2 f ( x  h )  f ( x )
 f ( x  h)  f ( x)

được gọi là sai phân cấp 2 của f (x) tại x.
Tương tự n f  (n 1 f ) được gọi là sai phân cấp n.
Giả sử f (x) được cho bằng bảng tại các giá trị cách đều của đối
số: f ( xi ), xi  x 0  ih (i  0,1,...) .
Khi đó, ta có thể lập bảng các sai phân cấp 1, cấp 2, … của f như
sau
fxi

2 fxi

3 fxi

4 fxi

5 fxi

xi

fxi

x 3

f 3

x2

f 2

f 3

x 1

f 1

f  2

2 f 3

x0

f0

f 1

2 f  2

3 f 3

x1

f1

f 0

2 f 1

3 f 2

4 f 3

x2

f2

f 1

2 f 0

3 f 1

4 f  2

5 f 3

x3

f3

f 2

2 f 1

3 f 0

4 f 1

5 f  2

6 fxi

6 f 3

Nhận xét: bắt đầu từ cột 3 mỗi phần tử bằng hiệu của hai phần tử
dòng dưới và dòng trên của cột liền trước.
Chẳng hạn f 3  f  2  f 3
TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

9


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

b, Các tính chất.
) k ( f  g )  k f  k g
) k (f )   .k f
) n ( Pn ( x))  c  const

m ( Pm ( x))  0 , nếu m  n

với Pn (x ) là đa thức cấp n của x.
n

) f ( x  n.h)   C ni i f ( x)
i 1

n

) n f   (1) i .C ni . f ( x  ( n  i ).h)
i 1

2. Một số công thức nội suy sử dụng sai phân
Giả sử hàm y  f (x) dưới dạng bảng y i  f ( xi ) tại các mốc xi
cách đều
xi 1  xi  h  const (i  0)

Mốc nội suy được sắp xếp theo thứ tự x0  x1  ...  x n .
Ta tìm đa thức nội suy dưới dạng
P ( x )  a 0  a1 ( x  x0 )  a 2 ( x  x 0 )( x  x1 )  ...  a n ( x  x0 )...( x  x n 1 )

Cho x  x0 , ta được a 0  y 0 ; x  x1  a1 

Đặt x  xi  a i 
Đổi biến t 

y 0
h

i y 0
i!h i

x  x0
 x  x 0  th , ta có
h

t
t (t  1) 2
t (t  1)...(t  n  1) n
F ( x0  th)  y0  .y0 
 y0  ... 
 y0 
1!
2!
n!
f ( n 1) ( ) n1

h t (t  1)...(t  n)
( n  1)!

Đây là công thức nội suy Newton tiến.

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

10


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

Mốc nội suy sắp theo thứ tự xn  xn1  ...  x0 .
Đặt t 

x  xn
 x  x n  th
h

Đa thức nội suy Newton lùi tìm dưới dạng
P ( x )  a 0  a1 ( x  xn )  a 2 ( x  x n )( x  xn 1 )  ...  a n ( x  x n )...( x  x1 )

Cho x  x n  a 0  y n
x  x n 1  a 0  a1 ( h)  y n 1  a1 

y n 1
h

i y n i
Tổng quát, đặt x  xi  ai 
; (i  0,..., n)
i!h i

Như vậy, công thức Newton lùi sẽ có dạng

t
t (t  1) 2
t (t  1)...(t  n  1) n
f ( xn  th)  yn  .yn 1 
 yn  2  ... 
 y0 
1!
2!
n!
f ( n1) ( ) n 1

h t (t  1)...(t  n)
(n  1)!

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

11


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

§3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

1. Một số khái niệm
Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng
F ( x, y, y ' , y" ,..., y ( n ) )  0 ;

(1.4)

Trong đó x là biến độc lập, y là hàm số cần tìm
y ' , y" ,..., y ( n ) là các đạo hàm của hàm số y (y là hàm số của x).

Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong
phương trình.
Hàm số y   (x) được gọi là nghiệm của phương trình (1.4) nếu
thay

y   ( x), y '   ' ( x),..., y ( n )   ( n ) ( x ) vào (1.4) thì (1.4) trở thành

đồng nhất thức.
Hàm số y   ( x, c) thỏa mãn (1.4) khi ( x, y ) chạy khắp D, với
mọi c  R .
2. Một số phương trình vi phân đã biết cách giải
a, Phương trình vi phân có biến số phân li.
dy
 f ( x )  y   f ( x)dx  c
dx
dy
dy
 f ( y)  
 xc
dx
f ( y)

M 1 ( x) N 1 ( y ) dx  M 2 ( x ) N 2 ( y )dy  0 

M 1 ( x)
N ( y)

dx  2
dy  0
M 2 ( x)
N1 ( y)

( M 2 ( x).N 1 ( y )  0)

b, Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất.
 y
y'  f   . Giả thiết hàm số xác định với mọi x  0.
 x

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

12


Khóa luận tốt nghiệp

NHD: TS.Nguyễn Văn Hùng

gii phng trỡnh ny ta t u

y
, sau ú a v vic gii
x

phng trỡnh vi phõn cú bin s phõn li.
c, Phng trỡnh vi phõn tuyn tớnh cp 1.
Dng tng quỏt: y ' P( x) y Q( x)

+) Q ( x ) 0 thỡ gi l phng trỡnh tuyn tớnh khụng thun nht
cp 1.
+) Q( x) 0 thỡ gi l phng trỡnh tuyn tớnh thun nht cp 1.
Cụng thc nghim tng quỏt ca phng trỡnh l
y e

P ( x ) dx

Q( x )e P ( x ) dx dx c



d, Phng trỡnh Bernoulli.
Dng tng quỏt: y' P( x) y Q( x) y
+) 1 : phng trỡnh tuyn tớnh thun nht cp 1.
+) 0 : phng trỡnh tuyn tớnh khụng thun nht cp 1.
+) 0, 1 : ta chia c hai v ca phng trỡnh cho y .
Sau ú, t z y 1 v a v phng trỡnh tuyn tớnh khụng
thun nht.
e, Phng trỡnh vi phõn ton phn.
Dng tng quỏt: P ( x, y ) dx Q( x, y ) dy 0

;

(1.5)

Trong ú P ( x, y ), Q ( x, y ) l cỏc hm s liờn tc cựng vi cỏc o
hm riờng trờn min n liờn D v tha món Qx' ( x, y ) Py' ( x, y ) trờn D.
Nu D R 2 , gi s ( x0 , y 0 ) D thỡ tớch phõn tng quỏt ca (1.5)
l

x

y

x

y

u ( x, y ) P( x, y0 ) dx Q( x, y ) dy P( x, y ) dx Q( x0 , y )dy
x0

y0

Trần Hồng Hạnh K35G SP Toán

x0

y0

13


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

f, Phương trình vi phân đưa được về dạng phương trình thuần
nhất cấp 1.
 ax  by  c 
dy

 ;
 f 
dx
a
x

b
y

c
 1
1
1 

(1.6)

Nếu c  c1  0 thì (1.6) là phương trình thuần nhất cấp 1.
Nếu c  0, c1  0,

a b
 0 , ta đặt
a1 b1

 x  x1  
, ( ,  _ const ) .

y

y




1

3. Định lí Pica – Lindolov (định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử hàm f ( x, y ) xác định và liên tục trong miền G

G  ( x, y ) : x  x0  a, y  y 0  b
đồng thời thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y. Khi đó, tồn tại một dãy
nghiệm gần đúng của phương trình

dy
 f ( x, y) trên đoạn [ x0  h, x0  h]
dx

và dãy nghiệm này là các hàm liên tục hội tụ đều đến nghiệm duy nhất
của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu
 b 
y ( x 0 )  y 0 , h  min  a, , M  max f ( x, y ) .
( x , y )G
 M

Chứng minh
Lấy  0 ( x)  y0
x

1 ( x)  y0   f t ,  0 (t ) dt
x0

x

 2 ( x)  y0   f t , 1 (t ) dt
x0

......
x

 n ( x)  y0   f t ,  n1 (t ) dt
x0

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

14


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

Dãy hàm  n (x ) gọi là nghiệm gần đúng của phương trình đã
cho. Ta sẽ chứng minh dãy  n (x) hội tụ đều.
Gọi  (x) là nghiệm đúng của phương trình, ta có
x

 ( x)  y 0   f (t ,  (t ))dt
x0

Đặt  n ( x)   ( x)   n ( x) , ta có
x

 ( x )   n ( x) 

  f t ,  (t )   f t ,

n 1

(t ) dt

x0

x

Từ đó, ta có  n ( x)   ( x)   n ( x) 

 f t ,  (t )   f t , 

n 1

(t ) dt

x0

Vì f ( x, y ) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y , do vậy
x

x

 n ( x)   L  (t )   n 1 (t ) dt  L   n 1 (t ) dt ;
x0

(1.7)

x0

(L là hằng số Lipsit của hàm số f).
Với n  0 , ta có

 0 ( x)   ( x)   0 ( x)  ( x  x0 ). ' ( ) ; ( x0    x0  h)
Vì  ' ( )  f  ,  ( )   M , nên  0 ( x)  M ( x  x0 ) . Áp dụng
liên tiếp (1.7) ta được
x

x

1 ( x)  L  0 (t )dt  L.M  (t  x0 )dt  L.M .
x0

x0

( x  x0 ) 2
2

(t  x0 ) 2
( x  x0 ) 3
2
2 ( x)  L  1 (t )dt  L .M 
dt  L .M .
2
3!
x

x
x

x

2

0

0

......
( x  x0 ) n 1
n ( x)  L .M .
(n  1)!
n

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

; (n  0,1,2,...)

15


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

Từ đó, ta có n   thì  n ( x)  0 và  n ( x)   ( x) trên đoạn
[ x0 , x0  h].

Ta chứng minh  (x) là duy nhất. Giả sử có 2 hàm  ( x) & ( x) là
nghiệm của phương trình đã cho và thỏa mãn điều kiện ban đầu cho trước.
Xét
x

 ( x )  y0   f (t, (t ))dt
x0

x

 ( x )  y0   f (t, (t ))dt
x0

x

x

  ( x )   ( x )  L   (t )   (t ) dt  L  sup  (t )   (t ) dt 
x0

x0

t



 L sup  (t )   (t ) .( x  x0 )  L.sup  ( x )   ( x ) .a ; x  x0  a
t

x



  ( x )   ( x )  L.a.sup  ( x )   ( x ) ; x
x

 sup  ( x )   ( x )  L.a.sup  ( x )   ( x )
x

x

 (1  La).sup  ( x )   ( x )  0
x

(1  La)  0  sup  ( x )   ( x )  0
x

  ( x )   ( x )  0 ; x
  

Vậy  (x) là duy nhất.
4. Phương trình vi phân cấp 1 chưa giải ra đối với đạo hàm
Dạng phương trình: F ( x, y, y ' )  0 ;

(1.8)

Trường hợp 1: phương trình (1.8) giải được theo y
y   ( x, y ' ) ;

Đặt y '  p  y   ( x, p )  dy 

(1.9)



dx 
dp
x
p

Vì dy  y ' dx  pdx thì phương trình

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

16


Khãa luËn tèt nghiÖp

pdx 

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng



  dp
dx 
dp  p 


.
x
p
x p dx

 p   ( x, c )
 y    x,  ( x, c ) 

Trường hợp 2: phương trình (1.8) giải được theo x
x   ( y, y ' ) ;

Đặt y '  p  x   ( y, p )  dx 
Vì dy  y ' dx  pdx  dx 

(1.10)



dy 
dp ;
y
p

1
dy , thay vào ta có
p

dy 

1   dp


dy 
dp  

.
p y
p
p y p dy
 p   ( y , c )  x    y , ( y , c ) 

*) Phương trình Lagrange: y  x ( y ' )   ( y ' ) ;

(1.11)

Đặt y '  p  y  x ( p)   ( p) ;

(1.12)

Ta vi phân hai vế của (1.11) : dy   ( p )dx  x ' ( p )   ' ( p )dp
Thay

dy  y ' dx  pdx  pdx   ( p )dx  x ' ( p )   ' ( p )dp

 [ p   ( p)]dx  [ x. ' ( p)   ' ( p)]dp ;

(1.13)

+ Nếu p   ( p )  0 , giả sử p0 là nghiệm của phương trình này thì
nghiệm của phương trình (1.11) là y  p 0 x   ( p0 )
+ Nếu p   ( p )  0 thì

(1.13) 

dx x. ' ( p)   ' ( p)

dp
p   ( p)



dx
 ' ( p)
 ' ( p)

x
dp p   ( p)
p   ( p)



dx  ' ( p)
 ' ( p)
;

x
dp  ( p)
p   ( p)

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

(1.14)

17


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

Tích phân phương trình (1.14) ta được nghiệm tổng quát dạng
tham số của phương trình (1.11) là
 x   ( p, c )

 y   ( p ). ( p, c)   ( p)

Hoặc từ (1.14) ta giải được nghiệm rồi rút p theo x thế vào (1.12)
*) Phương trình Clairaut: y  xy ' ( y ' ) ;

(1.15)

(1.15) là phương trình Lagrange với  ( y ' )  y '

Giả thiết hàm  là hàm phi tuyến tính (không tuyến tính).
Đặt y '  p , ta có phương trình y  xp   ( p) ;

(1.16)

Vi phân hai vế theo p, ta có Dy  pdx   x   ' ( p ) dp
Thay dy  y ' dx  pdx  pdx  pdx   x   ' ( p ) dp
  x   ' ( p ) dp  0 ;

(1.17)

dp  0
p  c
Từ (1.17)  

 x   ' ( p )  0  p   ( x)
 y  cx   (c)
Thay vào (1.16)  
 y  x ( x)    ( x ) 

5. Cách giải một số phương trình vi phân cấp cao
a, Một số phương trình cấp cao đơn giản.
*) Phương trình chỉ chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất.
F x , y ( n )   0 ;

(1.18)

+ Trường hợp 1: Nếu từ (1.18) ta giải ra được y ( n )  f ( x) với
f (x) liên tục trên [a, b] thì ta có
x

dy  y ' dx  dy

( n 1)

(n)

 y dx  y

( n 1)

  y dx 
x0

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

x
(n)

 f ( x)dx  c

1

x0

18


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

Tương tự
x x

y

( n 2 )

x

 ...  y    ... f ( x)dx 
x0 x0

x0

c1
( x  x0 ) ( n1)  ...  cn1 ( x  x0 )  cn
(n  1)!

+ Trường hợp 2: Biểu diễn x, y ( n ) theo tham số t
 x   (t )
 (n)
 y   (t )

 là hàm khả vi liên tục;  là hàm liên tục. Ta có
dy  y ' dx  dy ( n1)  y ( n ) dx   (t ). ' (t )dt
y ( n1)   (t ) ' (t )dt  c1   1 (t , c1 )

tương tự y ( n 1)   2 (t , c1 , c2 )  y   n (t , c1 , c 2 ,..., c n )
Vậy nghiệm tổng quát của (1.18) là
 x   (t )

 y   n (t , c1 ,..., c n )

*) Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp ( n  1) .
F ( y ( n ) , y ( n1) )  0 ;

(1.19)

+ Trường hợp 1: Từ (1.19) giải ra được y ( n )  f  y ( n 1) 
Đặt z   ( x, c1 )  y ( n 1)   (t , c1 )
 x   (t )
  ( n 1)
  (t , c1 )
y

+ Trường hợp 2: Giả sử từ (1.19) , ta có thể biểu diễn y ( n 1) , y ( n )
theo tham số t có phương trình dạng
 y ( n 1)   (t )
 (n)
 y   (t )

Vì dy  y ' dx  dy ( n 1)  y ( n ) dx  dx 

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

dy ( n 1)
y (n)

19


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

d ( (t ))  ' (t ) dt


 (t )
 (t )
 ' (t )dt
x
 c1  1 (t , c1 )
 (t )
 dx 

dy ( n  2 )  y ( n 1) dx   (t ).

 ' (t )
 (t ) ' (t )
dt  y ( n  2 )  
dt  c 2
 (t )
 (t )

 y ( n  2 )   2 (t , c 2 )
 x  1 (t , c1 )
Ta có  ( n  2 )
; (đã biết cách giải ở trên)
  2 (t , c 2 )
y

 x  1 (t , c1 )
Nghiệm 
 y   n 1 (t , c2 ,..., c n )

*) Phương trình chỉ chứa đạo hàm cấp n và cấp ( n  2) .
F  y ( n2) , y ( n )   0 ;

(1.21)

+ Trường hợp 1: Từ (1.21) , ta giải được y ( n ) theo y ( n  2 ) :
y ( n)  f  y ( n2) 

Đặt y ( n  2 )  z  z"  f ( z ) . Từ phương trình
z"  f ( z )  2 z ' z"  2 z ' f ( z ); ( z '  0)
d z '2   2 f ( z )dz
 z '2   2 f ( z )dz  c1

 z'  


 2 f ( z )dz  c

1

dz
  2 f ( z ) dz  c1
dx

dz

 dx 

 2 f ( z )dz  c1
 x  c2  

dz

;

(1.22)

 2 f ( z ) dz  c1

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

20


Khãa luËn tèt nghiÖp

NHD: TS.NguyÔn V¨n Hïng

Giải (1.22) sau đó thay z  y ( n  2 ) , ta đưa phương trình (1.22) về
trường hợp đã giải ở trên.
 y ( n )   (t )
+ Trường hợp 2: Từ (1.21) , ta có thể biểu diễn  ( n  2 )
;
  (t )
y

dy ( n 1)  y ( n ) dx
dy ( n 1)  y ( n ) dx
vì  ( n  2 )

 y ( n  2 ) dx  y ( n 1) dx  dy ( n  2 )
dy

Ta nhân hai vế của hai phương trình ta được
y ( n1) dy ( n1)  y ( n ) dy ( n2 )  2 y ( n1) dy ( n1)  2 y ( n ) dy ( n2 )
 d y ( n1)  2  2 y ( n ) dy ( n2 )  y ( n1)  2   2 (t ) ' (t )dt  c1
 y ( n1)   2 ' (t ) ' (t )dt  c1   1 (t , c1 )
 y ( n 1)   1 (t , c1 )
Ta có  ( n )
; (đã có cách giải ở trên).
y


(
t
)


b, Các phương trình cấp cao hạ thấp cấp được.
*) Phương trình không chứa hàm phải tìm và các đạo hàm đến cấp
( k  1) .

Dạng phương trình: F x, y ( k ) , y ( k 1) ,..., y ( n )   0 ; (k  n) ;

(1.23)

Đặt z  y ( k ) , ta có phương trình F x, z , z ' ,..., z ( n k )   0 ;

(1.24)

Giả sử (1.24) có nghiệm
z   ( x, c1 ,..., c n  k )  z  y ( k )   ( x, c1 ,..., c n  k )

 y ( k )   ( x, c1 ,..., c n  k ) ; (đưa nó về dạng phương trình chỉ

chứa biến số độc lập và đạo hàm cấp cao nhất).
Nếu từ

(1.24)

ta tìm được tích phân tổng quát sau:

  x, z , c1 ,..., c n k   0 thì ta có phương trình  x, y ( k ) , c1 ,..., c n k   0 ; (đã
biết cách giải ở trên).

TrÇn Hång H¹nh –K35G SP To¸n

21