Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài. ....................................................................................... 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. ............................................................. 1
3. Phương pháp nghiên cứu. ........................................................................... 1
4. Cấu trúc. ..................................................................................................... 2
CHƯƠNG 1
NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH.............................................. 3
1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm. .................................................. 3
1.1.1. Không gian metric. ............................................................................... 3
1.1.2. Không gian định chuẩn. ........................................................................ 6
1.1.3. Không gian Hilbert. ............................................................................ 11
1.2. Nguyên lý ánh xạ co. ............................................................................. 12
1.2.1. Ánh xạ Lipschitz. ............................................................................... 12
1.2.2. Ánh xạ co. .......................................................................................... 12
1.2.3. Nguyên lý ánh xạ co của Banach. ....................................................... 13
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO....................... 18
2.1. Giải phương trình đại số và siêu việt. .................................................... 18
2.1.1. Bài toán. ............................................................................................. 18
2.1.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 19
1.3. Ví dụ. .................................................................................................... 23
2.2. Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính. .................................. 24
2.2.1. Bài toán. ............................................................................................. 24
2.2.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 26
2.2.3. Ví dụ................................................................................................... 29
2.3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường. ......................................... 30

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

Khóa luận tốt nghiệp

2.3.1. Bài toán. ............................................................................................. 30
2.3.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 33
2.3.3. Ví dụ................................................................................................... 35
2.4. Giải gần đúng phương trình tích phân loại II. ........................................ 37
2.4.1. Bài toán. ............................................................................................. 37
2.4.2. Cơ sở lý thuyết. .................................................................................. 38
2.4.3. Ví dụ................................................................................................... 42
CHƯƠNG 3
MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG ....................................................................... 44
KẾT LUẬN ................................................................................................. 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 57

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Ra đời vào cuối thế kỉ XVII, giải tích toán học có một vị trí quan
trọng trong chương trình toán cao cấp của các khoa Khoa học tự nhiên
của các trường Đại học sư phạm và các trường kĩ thuật. Đây là môn học
khó với hầu hết sinh viên, khi giải quyết các bài toán người học gặp phải
những tình huống, những giả thiết phức tạp. Điều này đòi hỏi phải có sự
trợ giúp của nhiều kiến thức về toán học liên quan.

Điểm bất động là một khái niệm xuất hiện rất sớm trong Toán
học giải tích. Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải
tích hàm – một môn học cơ bản vừa mang tính bài tập vừa mang tính
ứng dụng rộng rãi. Nói đến lý thuyết điểm bất động thì không thể không
nhắc đến kết quả kinh điển của nó, đó là: Nguyên lý ánh xạ co của
Banach.
Nguyên lý ánh xạ co có rất nhiều ứng dụng trong toán học. Nó
dùng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của: hệ phương trình
tuyến tính, phương trình tích phân, phương trình vi phân,…
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu “ Một số
ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu
hơn, làm phong phú thêm kiến thức của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Sự phát triển của giải tích toán học nói riêng và của toán học nói
chung được quy định bởi sự phát triển những nhu cầu có tình thực tiễn
nhất định. Nghiên cứu những ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co vào giải
quyết một số bài toán của giải tích là mục đích chính của khóa luận này.
3. Phương pháp nghiên cứu.
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận.
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

+ Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
4. Cấu trúc.
Khóa luận bao gồm 3 chương.
Chương 1: Nguyên lý ánh xạ co của Banach.

Chương 2: Một số ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co.
Chương 3: Một số ví dụ áp dụng.

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 1
NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO CỦA BANACH

1.1. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm.
1.1.1. Không gian metric.
+ Không gian metric.
Định nghĩa 1.1: Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng
với một ánh xạ d từ tích Descartes X  X vào tập hợp số thực thỏa mãn
các tiên đề dau đây:
(i)

 x, y  X  d  x, y   0, d  x, y   0  x  y ;

(ii)  x, y  X  d  x, y   d  y, x  ;
(iii)  x, y, z  X  d  x, z   d  x, y   d  y, z  ;
Ánh xạ d được gọi là metric trên X ; Số d  x, y  gọi là khoảng
cách giữa hai phần tử x và y ; Các phần tử của X gọi là các điểm; Các
tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric kí hiệu là: M   X , d  .
Ví dụ 1.1: Với 2 vector bất kì x   x1 , x2 ,..., xk  , y   y1 , y2 ,..., yk  thuộc

không gian

k

k 

* ta đặt:
d  x, y  

k

 x
j 1

j

 yj 

(1.1)

Khi đó hệ thức (1.1) xác định một metric trên không gian

k

.

Ví dụ 1.2: Với hai phần tử bất kì x, y  , ta đặt:
d  x, y   x  y

Khi đó hệ thức (1.2) gọi là metric tự nhiên trên

(1.2)
.

+ Sự hội tụ trong không gian metric.

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.2: Cho không gian metric M   X , d  , dãy điểm

 x   X , điểm
n

x0  X . Dãy điểm  xn  gọi là hội tụ đến điểm x0 trong

không gian M khi n   , nếu:

   0  n

0

 * n  n0  , d ( xn , x0 )   .

x  x0 hay xn  x0  n    .
Kí hiệu: lim

n  n

Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy  xn  trong không gian metric M .
Ví dụ 1.3: Sự hội tụ của một dãy điểm  xn  trong không gian

1

là sự

hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học.
+ Ánh xạ liên tục.
Cho hai không gian metric M 1   X , d1  , M 2  Y , d 2  . Ánh xạ f từ
không gian M 1 lên không gian M 2 .
Định nghĩa 1.3: Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0  X , nếu  >0,  >0
sao cho x  X : d1  x, x0  <  thì d 2  f  x  , f  x0   <  .
Định nghĩa 1.4: Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A  X , nếu ánh xạ f
liên tục tại mọi điểm thuộc tập A , khi A  X thì ánh xạ f gọi là liên
tục.
Định nghĩa 1.5: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập A  X , nếu:

  0,   0 sao cho x, x '  A : d1  x, x '    thì d 2  f  x  , f  x '    .
+ Không gian metric đầy đủ.
Định nghĩa 1.6: Cho không gian metric M   X , d  . Dãy điểm

x   X
n

gọi là dãy cơ bản trong M nếu:

   0  n

0

 * m, n  n0  , d  xn , xm    .

Hay lim d  xn , xm   0 .
n , m 
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.7: Không gian metric M   X , d  gọi là không gian đầy
đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ.
1

Ví dụ 1.4: Không gian metric

là không gian đầy. Điều đó được suy

ra từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải
tích toán học.
k

Ví dụ 1.5: Không gian

là không gian đầy. Thật vậy,

Giả sử x  n    x1 n  , x2  n  ,..., xk  n    n  1,2,... là dãy cơ bản tùy ý trong
k

không gian Euclid

. Theo định nghĩa 1.6:

   0  n

0

 * m, n  n0  , d  x  n  , x  m    
k

 x    x 

Hay

n

j

j

j 1

m



2



x j  n   x j  m   , m, n  n0 ; j  1, 2,..., k

(1.3)

Các bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ với mỗi j  1,2,..., k dãy  x j  n   là
dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim x j  n  x j , ( j  1,2,..., k ).
n 
Đặt x   x1 , x2 ,..., xn  ta nhận được dãy  x  n   

k

đã cho hội tụ

theo tọa độ tới x . Nhưng sự hội tụ trong không gian Euclid

k

tương

đương với sự hội tụ theo tọa độ, nếu dãy cơ bản  x  n   đã cho hội tụ tới
x trong không gian

k

Ví dụ 1.6: Không gian

. Vậy không gian Euclid
 a ,b 

k

là không gian đầy.

là không gian đầy. Thật vậy,

Giả sử  xn  t   là dãy cơ bản tùy ý trong không gian

 a ,b 

. Theo

định nghĩa 1.6:

   0  n

0

 * m, n  n0 

d  x n  , x m   max xn  t   xm  t   
a t b

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

5

Khóa luận tốt nghiệp

 xn  t   xm  t    , m, n  n0 ; t   a, b 

(1.4)

Các bất đẳng thức (1.4) chứng tỏ với mỗi t cố định tùy ý thuộc
đoạn  a, b  dãy  xn  t   là dãy số thực cơ bản nên phải tồn tại giới hạn:

lim
x  t   x  t  , t   a, b 
n  n
Ta nhận được hàm số x  t  xác định trên  a, b  . Vì các bất đẳng
thức (1.4) không phụ thuộc t , nên cho qua giới hạn trong các bất đẳng
thức này khi n   ta được:
xn  t   x  t    , n  n0 , t   a, b
Các bất đẳng thức (1.5) chứng tỏ dãy  xn  t   
hàm số x  t  trên đoạn  a, b  , nên x  t  
không gian

 a ,b 

 a ,b 

(1.5)
 a ,b 

hội tụ đều tới

. Nhưng sự hội tụ trong

tương tự với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên

đoạn  a, b  nên dãy cơ bản  xn  t   đã cho hội tụ tới x  t  trong không
gian

 a ,b  .

Vậy

 a ,b 

là không gian đầy.

1.1.2. Không gian định chuẩn.
+ Không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.8: Ta gọi là không gian định chuẩn ( không gian tuyến tính
định chuẩn ) là không gian tuyến tính X trên trường K ( K là trường số
thực

hoặc trường số phức

số thực

kí hiệu là

) cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập

và đọc là chuẩn, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

1)  x  X  , x  0, x  0  x   ( kí hiệu phần tử không là  );
2)  x  X    K  ,  x   x ;
3)  x, y  X  , x  y  x  y ;
Số x gọi là chuẩn của vector x .
Kí hiệu không gian định chuẩn là X .
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

6


Khóa luận tốt nghiệp

Các tiên đề 1), 2), 3) là hệ tiên đề chuẩn.
Định lý 1.1: Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vector bất kì
x, y  X ta đặt:
d  x, y   x  y

(1.6)

Khi đó d là một metric trên X .
Chứng minh.
Ta chứng minh d thỏa mãn hệ tiên đề metric.
 Tiên đề (i)
d  x, y   x  y  0,  x, y  X  ( Do tiên đề 1)
d  x, y   0  x  y  0  x  y

 Tiên đề (ii)
d  x, y   x  y  1 y  x   1 y  x  y  x  d  y, x 

 x, y  X  ;
 Tiên đề (iii)

 x, y, z  X  d  x, z  

x  z   x  y   y  z

 x y  yz
 d  x, y   d  y , z  .

Vậy định lý được chứng minh.
Nhờ định lý 1.1 mà mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành
không gian metric với metric (1.6). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
+ Sự hội tụ trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.9: Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X gọi là
x  x hay
hội tụ tới điểm x  X nếu lim
xn  x  0 kí hiệu lim
n  n
n 
xn  x  n    .

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp

Định nghĩa 1.10: Dãy điểm  xn  trong không gian định chuẩn X gọi là
dãy cơ bản nếu:
lim xn  xm  0 ;

m , n 

+ Không gian Banach.
Định nghĩa 1.11: Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.6: Đối với mỗi số thực bất kì x 

ta đặt:
(1.7)

x  x

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.7) cho
chuẩn trên

. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là

1

là không

gian Banach.
Ví dụ 1.7: Cho không gian vector k chiều  k , trong đó:
 k  {x  ( x1 , x2 ,..., xk ) : xk 

hay x j  }

Đối với bất kì x   k ta đặt:
k

x 

x

2
j

(1.8)

j 1

Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.8)
cho một chuẩn trên  k . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là  k .
Dễ dàng thấy  k là không gian Banach.
Ví dụ 1.8: Cho không gian vector l2 . Đối với vector bất kì x   xn   l2
ta đặt:


x 

x

n

2

(1.9)

n 1

Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.9)
cho chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu là l2 . Dễ dàng
thấy l2 là không gian Banach.
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

8


Khóa luận tốt nghiệp

Ví dụ 1.9: Cho không gian vector Ca ,b . Đối với hàm số bất kì
x  t   C a ,b ta đặt:

x  max x  t 
a t b

(1.10)

Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.10)
cho chuẩn trên Ca ,b . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là Ca ,b .
Dễ thấy Ca ,b là không gian Banach.
Ví dụ 1.10: Cho không gian vector L a ,b . Đối với hàm số bất kì
x  t   L a ,b ta đặt:
b

x   x  t  dt

(1.11)

a

Từ công thức x  d  x,  và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.11)
cho một chuẩn trên La ,b . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là
L a ,b . Dễ thấy L a ,b là không gian Banach.

+ Toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.12: Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường K
(K 

hoặc K 

). Ánh xạ A đi từ không gian X vào không gian Y

là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện sau:
1.  x, y  X  A  x  y   Ax  Ay ;
2.  x  X    K  A x   Ax ;
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử
A chỉ thỏa mãn điều kiện 1 thì A gọi là toán tử cộng tính, còn nếu chỉ

thỏa mãn điều kiện 2 thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y  K thì toán
tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Ví dụ 1.11: Cho A :

n



m

xác định, A  x1 , x2 ,..., xn    y1 , y2 ,..., ym 

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp

n

yi   aij x j ; i  1, m

(1.12)

j 1

Trong đó a ij là những hằng số. Ma trận  aij  mn gọi là ma trận của toán
tử A . Dễ thấy công thức (1.12) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến
tính từ

n



m

.

Ví dụ 1.12: X  Y  D k  a ,b ( Không gian các hàm số có đạo hàm liên tục
đến cấp k trên  a, b  ). Khi đó:
Ax  t   a0 x  t   a1 x '  t   ...  ak x k   t 

Trong đó a0 , a1 ,..., ak là những hằng số ( hoặc những hàm số cho trước
của t thuộc D k a ,b ) là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân.
b

Ví dụ 1.13: X  Y  Ca ,b . Ax  t    K  t , s  x  s  ds .
a

Trong đó K  t , s  là hàm số liên tục theo hai biến t , s trong hình vuông

a  t , s  b là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử tích phân.
Định nghĩa 1.13: Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại
hằng số c  0 sao cho:
Ax  c x ; x  X

Định nghĩa 1.14: Cho không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L  X , Y  là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
X vào không gian Y . Ta đưa vào L  X , Y  hai phép toán:

 Tổng của hai toán tử A, B  L  X , Y  là toán tử, kí hiệu A  B , xác
định bởi biểu thức:

 A  B  x   Ax  Bx, x  X

 Tích vô hướng của   K với toán tử A  L  X , Y  là toán tử, kí
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

10


Khóa luận tốt nghiệp

hiệu là  A , xác định bởi biểu thức:

 A x     Ax 
Dễ dàng kiểm tra được rằng A  B  L  X , Y  , A  L  X , Y  và hai phép
toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính.
Tập L  X , Y  trở thành một không gian tuyến tính trên trường K .
Định lý 1.2: Nếu Y là một không gian Banach thì L  X , Y  là không
gian Banach.
1.1.3. Không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.15: Cho không gian tuyến tính X trên trường K ( K 
hoặc K 

) ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

tích Descarter X  X vào trường K , kí hiệu .,. , thỏa mãn:
1)

 x, y  X 

y , x  x, y ;

2)  x, y, z  X  x  y, z  x, z  y, z ;

3)  x, y  X    K   x, y   x, y ;
4)  x  X  x, x  0 nếu x   ( kí hiệu phần tử không là  );
x, x  0 nếu x   .

Các phần tử x, y, z,... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số x, y gọi
là tích vô hướng của hai nhân tử x và y ; các tiên đề 1), 2), 3), 4) là hệ
tiên đề tích vô hướng.
+ Bất đẳng thức Schwarz.
Định lý 1.3: Đối với mỗi x  X , đặt x 

x, x . Khi đó với mọi

x, y  X ta có bất đẳng thức Schwarz:

x, y  x y .
Định nghĩa 1.16: Ta gọi một tập hợp H   gồm những phần tử

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp

x, y, z,... nào đấy là không gian Hilbert, nếu H thỏa mãn:

1) H là không gian tuyến tính trên trường K ;
2) H được trang bị một tích vô hướng .,. ;
3) H là không gian Banach với chuẩn x 

x, x , x  H .

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là
không gian Hilbert con của không gian Hilbert H .
Ví dụ 1.14: Trường K với tích vô hướng x, y  xy là không gian
Hilbert.
n

Ví dụ 1.15: Không gian K n với tích vô hướng x, y   xi yi là không
i 1

gian Hilbert.
Ví dụ 1.16: Không gian  2 trong đó







2



 2  x   xn  n 1 , xn  K :  xn   .
n 1



Với tích vô hướng x, y   xn yn là không gian Hilbert.

n 1

1.2. Nguyên lý ánh xạ co.
1.2.1. Ánh xạ Lipschitz.
Định nghĩa 1.17: Cho  X , d1  và Y , d 2  là các không gian metric trên
trường K . Ánh xạ f :  X , d1   Y , d 2  được gọi là ánh xạ Lipschitz
nếu có một số L  0 sao cho:
d 2  fx, fy   Ld1  x, y  , x, y  X .

Số L nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên gọi là hằng số
Lipschitz. Ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục.
1.2.2. Ánh xạ co.
Định nghĩa 1.18: Ánh xạ f từ không gian metric  X , d X  vào không

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

12


Khóa luận tốt nghiệp
gian metric Y , dY  đươc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số    0,1
sao cho:
dY  f  x  , f  y     d X  x, y  , x, y  X .
Như vậy ánh xạ co là một trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển
nhiên nó liên tục.
1.2.3. Nguyên lý ánh xạ co của Banach.
Định lý 1.4: Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và f : X  X
là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một và chỉ một
điểm x  X sao cho f  x   x .
Chứng minh.

Lấy x0 là một điểm tùy ý thuộc X và đặt
xn 1  f  xn  với n  0,1,2,...



x 
n

là một dãy trong X .

Vì f là ánh xạ co của X vào chính nó nên tồn tại hằng số

   0,1 thỏa mãn:
d  f  x1  , f  x0     d  x1 , x0 
Do đó ta có:
d  x2 , x1   d  f  x1  , f  x0  
  d  x1 , x0 

  d  f  x0  , x0  .
Tương tự ta có:
d  x3 , x2   d  f  x2  , f  x3  
  d  x2 , x1 

  d  f  x1  , f  x0  

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

13

Khóa luận tốt nghiệp

  2 d  f  x0  , x0  .
Lập luận tương tự, cuối cùng ta có:
d  xn 1 , xn   d  f  xn  , f  xn1  
  d  xn , xn 1 

  d  f  xn 1  , f  xn 2  
………….
  n d  f  x0  , x0 
Khi đó với mọi số nguyên dương p ta đều có:
d  xn  p , xn   d  xn  p , xn  p 1   d  xn p 1 , xn  p  2   ...  d  xn 1 , xn 

  n  p 1   n  p 2  ...   n  d  f  x0  , x0 
1 p

d  f  x0  , x0 
1
n



n
d  f  x0  , x0 
1

Vì    0,1 nên  n  0  n   
Suy ra:

lim

d  xn  p , xn   0, p  1,2,...
n 

Điều đó chứng tỏ rằng  xn  là một dãy cơ bản trong không gian
metric đầy đủ X , vậy tồn tại giới hạn hữu hạn:
lim xn  x
n 

Khi đó : d  f  xn  , xn    n d  f  x0  , x0  .
Cho n   và sử dụng tính liên tục của f ta được:
d  f  x  , x   0 tức là f  x   x .

Vậy x là điểm bất động của f .
+ x là duy nhất.
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử có x   X sao cho f  x   x . Ta có:
d  x , x   d  f  x   , f  x     d  x  , x 

 1    d  x , x   0 ,    0,1 ;
 d  x , x   0  x  x .
Vậy x là điểm bất động duy nhất của f .
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.17: Cho   a  b   , hàm số x  t  khả vi trên đoạn  a, b 
thỏa mãn các điều kiện:

x  t    a, b  ,0  x '  t   k  1, t   0,1 , k cố định.

Khi đó phương trình x  t   t có duy nhất 1 nghiệm t0   a, b  .
Thật vậy, ta có  a, b  là một tập con đóng của

1

với metric

d  u , v   u  v ; u , v   a, b  .

Do đó  a, b  cùng với metric của

1

lập thành một không gian

metric đầy đủ. Theo định lý giá trị trung bình, với mỗi u, v   a, b  , có
một điểm w   a, b sao cho :
x  u   x  v   x '  w  u  v   k u  v .
Do đó theo nguyên lý ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất t0   a, b 
sao cho x  t0   t0 .
Ví dụ 1.18: Cho ánh xạ  : 9,10  9,10 , x    x  , với   x  cho
bởi   x   1000  x 3 . Khi đó ánh xạ  không có điểm bất động.
Thật vậy, ta có:
d   x  ,   y      x     y 
  '  c  x  y    '  c  x  y

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp

  x  y   d  x, y  .

Mặt khác,   max  '  x   300
x9,10

1 . Do đó  không là ánh xạ co.

Vậy ánh xạ  không có điểm bất động.
 Với metric xác định trong định lý 1.1 ta có cách phát biểu khác
của nguyên lý ánh xạ co cua Banach trong không gian định chuẩn
như sau:
Giả sử rằng:
(a) M là một tập đóng, khác rỗng trong không gian Banach X trên
trường K và
(b) Toán tử A : M  M thỏa mãn

Au  Av  k u  v , u , v  M và

k cố định, k   0,1

Khi đó các kết quả sau là đúng:
(i)

Tồn tại và duy nhất nghiệm u của phương trình u  Au

(ii)

Với mỗi u0  M đã cho, dãy  un  tạo bởi
un 1  Aun , n  0,1,2...

(2.1)

Hội tụ đến nghiệm duy nhất u của phương trình (2.1)
Ta chứng minh (ii):
Trước hết ta chỉ ra rằng  un  là một dãy Cauchy.
Thật vậy, với mỗi n  0,1, 2,... sử dụng (b) ta có:
un 1  un  Aun  Aun 1  k un  un 1
 k Aun 1  Aun  2  k 2 un1  un 2
 ...  k n u1  u0 .

Bây giờ, với n  0,1,... và m  1,2,... từ bất dẳng thức tam giác ta có:
un  un  m   un  un 1    un 1  un  2   ...   un  m1  un  m 
 un  un 1  un 1  un  2  ...  un  m1  un  m

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp

  k n  k n 1  ...  k n  m1  u1  u0
1

 k n 1  k  u1  u0

Vì k   0,1 nên k n  0 khi n   . Vậy dãy  xn  là một dãy
Cauchy, do X là không gian Banach nên dãy  xn  hội tụ tới một phần tử
u  X hay
un  u khi n  

Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u là nghiệm của phương trình
(2.1) . Từ uo  M và u1  Au0 cùng với A  M   M suy ra u1  M .
Tương tự bằng quy nạp ta được un 1  Aun và un  M , n  0,1,...
Vì M đóng, ta có u  M , suy ra Au  M .
Theo (b) ta có:
Aun  Au  k un  u   khi n  

Cho n   từ un 1  Aun ta có u  Au .
Điều phải chứng minh.

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO
2.1. Giải phương trình đại số và siêu việt.
2.1.1. Bài toán.
Xét phương trình:
f  x  0

(1.1)

Trong đó f  x  là hàm đại số hay siêu việt.
Nghiệm của phương trình (1.1) là số thực  thỏa mãn (1.1) . Tức là
khi thay  vào x ở vế trái ta được:
f    0

(1.2)

Phương trình (1.1) trừ một số trường hợp đặc biệt có công thức giải
đúng, nói chung rất phức tạp. Do đó ta phải tìm cách giải gần đúng.
Thông thường quá trình giải phương trình (1.1) bao gồm hai bước:
 Bước giải sơ bộ: Ở giai đoạn này, ta tìm một khoảng dủ bé chứa
nghiệm của f  x  .
 Bước giải kiện toàn: Tìm nghiệm với độ chính xác cần thiết.
+ Sự tồn tại nghiệm.
Trước khi tìm cách tính gần đúng nghiệm thực của phương trình
(1.1) ta phải tự hỏi xem nghiệm thực ấy có tồn tại hay không. Để trả lời
câu hỏi đó, ta có định lý sau:
Định lý 2.1: Nếu có hai số thực a và b  a  b  sao cho f  a  và f  b 
trái dấu, tức là:
f  a  f b  0

Đồng thời f  x  liên tục trên  a, b  thì ở trong đoạn  a, b  có ít nhất một
nghiệm của phương trình (1.1).
+ Khoảng tách nghiệm.
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

18

Khóa luận tốt nghiệp
Khoảng  a, b  được gọi là khoảng phân ly nghiệm của phương
trình (1.1) nếu nó chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.
Nghĩa là trong khoảng  a, b  hàm f  x  liên tục, đạo hàm f '  x  không
đổi dấu và f  a  , f  b  trái dấu thì  a, b là khoảng phân ly nghiệm của
phương trình f  x   0 .
2.1.2. Cơ sở lý thuyết.
Để giải gần đúng phương trình (1.1) ta sử dụng phương pháp lặp
đơn mà bản chất của phương pháp này là vận dụng nguyên lý ánh xạ co
của Banach.
+ Mô tả phương pháp.
Xét phương trình (1.1) với giả thuyết nó có khoảng tách nghiệm là

 a, b  .
Trước hết ta chuyển phương trình (1.1) về dạng phương trình tương
đương với nó và có dạng:
x    x

(1.3)

Sau đó chọn một số x0 nào đó thuộc đoạn  a, b  làm xấp xỉ và tính
dần dãy số  xn  theo quy tắc:
xn    xn 1  ;

n  1, 2,...

(1.4)

Quá trình này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp ở đây gọi là
phương pháp lặp, hàm  ở đây gọi là hàm lặp.

+ Sự hội tụ.
Định lý 2.2: Giả sử   C1a ,b sao cho:
a. x   a, b  thì   x    a, b
b. x   a, b  thì  '  x   q  1
Kết luận:
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

19


Khóa luận tốt nghiệp

(i)

Phương trình (1.1) có nghiệm  duy nhất trên  a, b 

(ii)

Phép lặp (1.4) hội tụ, hơn nữa ta có ước lượng:

Hoặc

xn   

q
xn  xn 1
1 q

xn   

qn
x1  x0
1 q

Chứng minh.
(i)
Do

Đặt: X   a, b  , d  x, y   x  y
  ;   là không gian metric đầy,  a, b là tập đóng trong

nên  a, b  là một không gian metric đầy.
Xét hàm  xác định trên đoạn  a, b  . Theo điều kiện a.

  x    a, b nên    a, b    a, b 
Do đó hàm  ánh xạ không gian metric đầy X   a, b  vào chính
nó.
d   x  ,   y      x     y 
  '  c  x  y 
  ' c  x  y
q x y
 qd  x, y 
 d   x  ,  y    qd  x, y 

Và theo nguyên lý ánh xạ co thì tồn tại một điểm bất động của hàm

 , kí hiệu là  thì:

    

(1.5)

Nên  là một nghiệm của phương trình (1.1).
(ii)

Ta có:

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

20


Khóa luận tốt nghiệp

    
xn    xn1  ;

(1.5)

n  1, 2,...

(1.4)

Trừ từng vế của (1.5) cho (1.4) ta được:

  xn         xn1 

(1.6)

Áp dụng công thức Lagrange ta có:

  xn   '  c   xn1 

(1.7)

Với c  a     xn 1    a, b 
Theo giả thiết b, ta có:  '  c   q  1 .
Từ (1.7) suy ra:

  xn   '  c    xn1  q   xn1
Vậy có:

  xn  q   xn 1 ; n

(1.8)

Do đó:

  xn  q   xn 1
  xn1  q   xn2
……………

  x2  q   x1
  x1  q   x0 .
Nhân vế với vế của các bất đẳng thức này, ta được:

  xn  q n   x0

(1.9)

Vì x0 và  đã xác định, q n  0 khi n   do 0  q  1 nên vế
phải (1.9) dần tới 0; và ta có:

  xn  0 khi n  
Vậy phép lặp (1.4) hội tụ, và từ công thức (1.8) ta có:

  xn  q   xn 1  q   xn  xn  xn1

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

21


Khóa luận tốt nghiệp



  xn  q    xn  xn  xn1 



1  q    x

n

(1.10)

 q xn  xn 1

Vì nên 1  q  0 . Chia bất đẳng thức (1.10) cho 1  q ta được:

  xn 

q
xn  xn 1
1 q

(1.11)

Định lý được chứng minh.
+ Sơ đồ khối của phép lặp đơn như sau:

Interation

Input x0 ,  , q

x1 :   x0  ; err : x1  x0
x0 : x1

no

err   1  q  / q

yes
Print x1

End

Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

22


Khóa luận tốt nghiệp

1.3. Ví dụ.
Giải phương trình: x 3  2 x  100  0

(1.12)

Bài giải.
Đặt f  x   x 3  2 x  100
Dễ thấy f  4  f  5   0 nên    4,5 
Có 3 cách đưa phương trình (1.12) về dạng phương trình (1.3)
x3
a) x  1  x  ,1  x   50 
2

b) x   2  x  ,2  x  

, x   4,5 .

100 2

x2 x

c) x  3  x  ,3  x   3 100  2 x

, x   4,5 .
, x   4,5 .

Ta lần lượt kiểm tra 2 điều kiện  là ánh xạ co. Ta có:
3x2
a)  '1  x   
; max  '1  x   37,5
x 4,5
2

b)  '2  x  
c)  '3  x  

200 2
 2 ;  '2  5   1,52  1 .
x3
x
2
3 100  2 x 
3

 '3  x  

1.

2

2
3 3 100  2 x 

2

;



 0,0033  1

2
3 3 100  2.5 

2

; x   4,5 .

Suy ra  '3  x   q  1,  q  0,0033 với x   4,5 .
Mặt khác: x   4,5 thì 4  3  x   5
nên suy ra   4,5   4,5 .
Do đó  là ánh xạ co nên tồn tại điểm x   sao cho       là
nghiệm của phương trình (1.12). Dãy  xn  được xác định như sau:
Lý Thị Kiều Trang – K35 CN Toán

23