Ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào đại số sơ cấp

Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

trờng đại học s phạm hà nội 2
khoa : toán
*********

Nguyễn thị dịu

ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào
đại số sơ cấp

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà nội - 2008

1


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Trờng đại học s phạm hà nội 2
Khoa : toán
***********

Nguyễn thị dịu

ứng dụng đa thức và phân thức hữu tỉ vào
đại số sơ cấp
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa
học
HÀ THỊ THU HIỀN

hà nội - 2008

2


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Lời cảm ơn
Sau một thời gian nghiên cứu, dới sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên, khoá luận của em đến nay đã hoàn thành.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy
cô trong tổ Đại số đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất cho em
trong thời gian làm khoá luận. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình
tới cô Hà Thị Thu Hiền đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và
hoàn thành khoá luận.
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bản thân còn
hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi thiếu xót. Em rất mong nhận đợc sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khoá luận của em đợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2008
Sinh viên

Nguyễn Thị Dịu

3


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi, không trùng với kêt quả nghiên cứu của tác giả khác.
Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà nội, tháng 5 năm 2008.
Sinh viên

Nguyễn Thị Dịu

4


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Lời nói đầu
Trong nhà trƣờng phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành
khoa học, là công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong đời sống thực tế.
Muốn học giỏi, đặc biệt học giỏi môn toán thì phải luyên tập, thực hành
nhiều.Ngoài việc nắm rõ lí thuyết, phải làm nhiều bài tập.Đối với học sinh,
bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhƣng thời gian học tập thì hạn hẹp.Đồng thời
các em khó có điều kiện chọn lọc những bài tập hay có tác dụng thiết thực cho
việc học tập, rèn luyện và phát triển tƣ duy học toán của mình.
Trong môn toán, đa thức giữ một vị trí hết sức quan trọng. Nó không
những là đối tƣợng nghiên cứu của đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải
tích. Tuy nhiên cho đến nay, tài liệu về đa thức chƣa có nhiều, các dạng bài
tập về đa thức chƣa đƣợc phân loại rõ ràng và hệ thống hoá chƣa đầy đủ.
Với những lí do trên em chọn đề tài “ứng dụng đa thức và phân thức
hữu tỉ vào đại số sơ cấp” nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa
thức, phân thức hữu tỉ và ứng dụng của nó để giải các bài toán có liên quan.
Từ đó giúp các em học sinh THPT có thêm tài liệu để luyện tập và thực hành.
Bên cạnh đó ta cũng thấy rõ hơn vai trò của đa thức, phân thức hữu tỉ trong
nhà trƣờng phổ thông.
Hà Nội, tháng 05 năm 2008.
Sinh viên
Nguyễn Thị Dịu

5


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Mục lục
Lời

nói

đầu…………………………………………………………………….1
Mục lục………………………………………………………………………..2
Chƣơng 1. Những kiến thức liên quan …………………………………........3
1.1. Vành đa thức một ẩn………………………………....................3
1.2. Vành đa thức nhiều ẩn………………………………………11
1.3. Đa thức đồng dƣ………………………………………………13
1.4. Phân thức hữu tỉ………………………………………………14
Chƣơng 2. ứng dụng của đa thức một ẩn…………………………………….18
2.1. ứng dụng 1: Xác định đa thức……………………………………18
2.2. ứng dụng 2: Chứng minh một số bài toán chia hết ……………...23
2.3. ứng dụng 3: Tìm giá trị của biểu thức đối xứng đối với các nghiệm
của đa thức …………………………………………………………26
2.4. ứng dụng 4: Giải phƣơng trình…………………………………...30
2.5. ứng dụng 5: Tìm điểm cố định của họ hàm số …………………..33
Chƣơng 3. ứng dụng của đa thức nhiều ẩn…………………………………..36
3.1. ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ...………………….36
3.2. ứng dụng 2: Chứng minh hằng đẳng thức………………………..38
3.3. ứng dụng 3: Chứng minh bất đẳng thức …………………………40
3.4. ứng dụng 4: Giải hệ phƣơng trình………………………………..44
3.5. ứng dụng 5: Phƣơng trình Điôphăng……………………………..47
Chƣơng 4. ứng dụng phân thức hữu tỉ vào tìm nguyên hàm, tích phân……..50
Kết luận……………………………………………………………………...56
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………...57

6

Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

chương 1
Những kiến thức liên quan

1.1.Vành đa thức một ẩn.
1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn.
Định lí:
Cho A là một vành giao hoán có đơn vị, kí hiệu phần tử đơn vị là 1.Gọi P là
tập hợp các dãy có dạng:

P  (a0,a1...,an ,...) / ai  A, i  0,1...,ai  0hÇu hÕt
Trên P xác định 2 qui tắc sau:
Quy tắc cộng:

(a 0 ,a1,...a n ,...)  (b0 ,b1,...,bn ,...)  (a 0  b0 ,a1  b1 ,...,a n  bn ,...)
Quy tắc nhân:

(a 0 ,a1,...a n ,...).(b0 ,b1,...,bn ,...)  (c0 ,c1,...,cn ,...)
Với c0  a 0 .b0 ; c1  a 0b1  a1b0 ;...

ck  a 0bk  a1bk1  ...  a k b0 ; k  0,1,...
* (P, +, .) là một vành giao hoán, có đơn vị và đƣợcgọi là vành đa thức. Mỗi
phần tử của P là một đa thức .
Chứng minh:
+Hai quy tắc cộng và nhân trên đây là hai phép toán đại số hai ngôi xác định

trên P:

a  (a0,a1,...,an ,...)  P, b  (b0,b1,...,bn ,...)  P
Ta có:

ai ,bi  A  ai  bi  A

Mặt khác ai , bi = 0 hầu hết nên ai+bi= 0 hầu hết.
Vậy a  b  P

7


Khoá luận tốt nghiệp
Tƣơng tự :

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

ai ,bi  A  ai .bi  A  ck  A

Mặt khác ai , bi = 0 hầu hết nên ck = 0 hầu hết.
Vậy a.b  P
+ (P,+,.) là vành giao hoán có đơn vị.
- Phép + trong A có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép + trong P cũng có
tính chất kết hợp và giao hoán
Phần tử đơn vị là 0 = (0,0,…,0,…)
Phần tử đối của a là -a = (a0, a1,..., an ,...) .
- (P,.) là một vị nhóm giao hoán.
Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng trong vành A; phép cộng
và phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán nên phép nhân trong P có tính

chất kết hợp, giao hoán.
Phần tử đơn vị 1 = (1,0,…,0,…)
- Ta cũng kiểm tra đƣợc phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng.
* Đưa cách viết tổng quát về cách viết thông thường.
ánh xạ f : A  P
a  (a,0...,0) là một đơn cấu vành.

Do đó ta đồng nhất a  A với f (a)  P  A  P .Các phần tử của A cũng
đƣợc gọi là các đa thức.
Kí hiệu

x  (0,1,0,...) ta có
x 2 = (0,0,1,0...)
x 3 = (0,0,0,1,0,...)
…….

x n  (0,0,...,0, 1, 0,...)



n

8


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

 P    (a 0 ,a1,...,a n ,...) , a i  0 hầu hết

  n  N sao cho a n1  a n2  ...  0    (a 0 ,a1,...a n ,0,...)

   (a 0 ,0,...)  (0,a1,0,...)  ...  (0,...,0,a n ,0,...)
 (a 0 ,0,...)  (a1 ,0,...)(0,1,0,...)  ...  (a n ,0,...0,...)(0,...,0,1,0,...)

n

 a 0  a1x  ...  a n x n
Cách viết   a 0  a1x  ...  a n x n là cách viết thông thƣờng.
Khi đó, thay cho P ta viết là A[x]. A gọi là vành cơ sở, x là ẩn. Các phần tử
của A[x] thƣờng đƣợc kí hiệu là f(x), g(x),…
Chẳng hạn, f (x)  a 0  a1x  ...a n x n ,a n  0 ; trong đó: a i x i gọi là hạng tử thứ i;

a i , a 0 , a n tƣơng ứng gọi là hệ tử thứ i, hệ tử tự do, hệ tử cao nhất.

1.1.2. Các tính chất của vành đa thức một ẩn.
a. Bậc của đa thức
Cho f (x)  A x , f (x)  a 0  a1x  ...a n x n ,a n  0
Nếu f(x) = 0 thì ta nói f(x) không có bậc hoặc nó có bậc  .
Nếu f (x)  0 thì n đƣợc gọi là bậc của đa thức f(x) và đƣợc kí hiệu là:
n = degf(x).
Tính chất: Giả sử f(x), g(x) là hai đa thức thức khác 0
(i) Nếu f (x)  g(x)  0 thì
deg (f (x)  g(x))  max{ deg f (x),deg g(x) }

(ii) Nếu f(x).g(x)  0 thì
deg(f(x).g(x))  deg(f(x)+deg g(x)
b. Phép chia đa thức.
* Phép chia có dư.

9


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Định lí: Cho vành đa thức A[x], A_ trƣờng.
Với hai đa thức bất kỳ f (x),g(x)  A[x],g(x)  0 thì tồn tại duy nhất các đa
thức q(x), r(x)  A [x] sao cho :
f(x)=g(x).q(x)+r(x),
trong đó r(x) = 0 hoặc r(x)  0 thì deg r(x) < deg g(x)
Chứng minh:
1.Sự tồn tại:
Nếu f(x) = 0  q(x)=0, r(x)=0.
Nếu f(x)  0
+) Nếu deg f(x) < deg g(x) ta viết f(x) = g(x).0 +f(x) thì ta có q(x) = 0,
r(x) = f(x).
+) Nếu deg f (x)  deg g(x) ,giả sử

f (x)  a n x n  a n 1x n 1  ...a1x  a 0 , a n  0
g(x)  b m x m  b m1x m1  ...  b1x  b 0 ,b m  0
Chọn h(x)  anbm1x nm  A[x]
Đặt f1(x) = f(x) - g(x) .h(x)  A[x]
Nếu f1(x) = 0  q(x) = h(x), r(x) = 0
Nếu f1(x)  0
+) deg f1(x) < deg g(x)  q(x) = h(x), r(x) =f1(x)
+) deg f1(x)  deg g(x) ta lặp lại lí luận trên, giả sử :
f1(x) = an1 x n1 + an11x n11  ...
Chọn h1(x)  an1 .bm1x n1m  A[x]

Đặt f2(x) = f1(x) - g(x) . h1(x) A[x]
Nếu f2(x) = 0

 f1(x) = g(x) . h1(x)
 f(x) = g(x).h(x) + f1(x)= g(x).h(x) + g(x).h1(x)= g(x) ( h(x) + h1(x)

10


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

 q(x) = h(x) + h1(x), r(x) = 0 .
Nếu f2(x)  0
+) Nếu deg f2(x) < deg g(x)  q(x) = h(x)+h1(x), r(x) =f2(x)
+) Nếu deg f2(x) > deg g(x) ta lại tiếp tục quá trình nhƣ vậy thu đƣợc dãy các
đa thức f(x), f1(x), f2(x),… mà:
deg f(x) > deg f1(x)> deg f2 (x)>…
Vì bậc của những đa thức là những số nguyên không âm nên quá trình trên
không thể kéo dài vô hạn mà phải dừng lại ở bƣớc thứ k, tức là ta có:
f(x) = g(x).h(x) + f1(x)
f1(x) = g(x).h1(x) + f2(x)
f2(x) = g(x).h2(x) + f3(x)
……..
fk-1(x) = g(x).hk-1(x) + fk(x)
Với fk(x)= 0 hoặc fk(x)  0 thì deg fk(x) < deg g(x), khi đó ta chọn
q(x) = h(x) + h1(x) +…+ hk-1(x) , r(x) = fk(x), thoả mãn điều kiện q(x): thƣơng,
r(x): dƣ.
2.Tính duy nhất:

Giả sử  q’(x), r’(x)  A[x] cũng thoả mãn điều kiện trên, tức là:
f(x) = g(x).q’(x) + r’(x)
Khi đó ta có:
g(x).q(x) + r(x) = g(x).q’(x) +r’(x).

 g(x) (q(x) – q’(x)) = r’(x) – r(x)
Nếu r’(x) = 0 hoặc r(x) = 0 thì ta có
deg (g(x)(q(x) – q’(x))) = deg (g(x)) + deg (q(x) – q’(x))

 deg g(x) > deg r’(x), deg r(x)

11


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

 mâu thuẫn. Do đó r’(x), r(x)  0.
Giả sử r’(x) - r(x)  0

 deg (r’(x) – r(x))  max {degr(x), degr’(x)} < degg(x)

(1)

mặt khác deg (r’(x) - r(x)) = deg (g(x)(q(x) – q’(x)))
= deg g(x) + deg(q(x)– q’(x))  degg(x)

(2)

Từ (1) và (2)  r’(x) - r(x) = 0  r’(x) = r(x)

 g(x) . (q(x) – q’(x)) = 0  q(x) = q’(x)

(do g(x)  0).

* Phép chia hết.
Định nghĩa: Cho hai đa thức P(x), Q(x)  A[x] .Ta nói rằng đa thức P(x) chia
hết cho đa thức Q(x), kí hiệu P(x)  Q(x) nếu tồn tại một đa thức S(x)  A[x]
sao cho:
P(x) = Q(x).S(x)
Ta thấy ngay nếu P(x)  Q(x) thì deg P(x)  deg Q(x)
Phép chia đa thức có một số tính chất sau:
1. Với  P(x)  A[x] ,   0, P(x)P(x)
2. Nếu P(x)  Q(x) và Q(x)  P(x) thì P(x) =  Q(x) ,   0
3. Nếu P(x)  Q(x) và Q(x)  S(x) thì P(x)  S(x)
4. Nếu Pi(x)  Q(x), i  1, n và S1(x), S2(x),…, Sn(x) là những đa thức bất kì
n

thì

 P (x).S (x)  Q(x)
i 1

i

i

c. Nghiệm của đa thức.
+) Định nghĩa: Cho P(x)  A [x], deg P(x)  1,   A. Nếu P(  ) = 0 thì 

gọi là nghiệm của đa thức P(x) trong A và  cũng gọi là nghiệm của phƣơng
trình P(x) = 0.

12


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

+) Định lí d’Alembert: Mọi đa thức bậc khác không với hệ số phức có ít nhất
một nghiệm phức.
+) Hệ quả định lí Bezout: Số  là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi
P(x)  (x –  ).
+) Định lí: Mọi đa thức P(x) = a0x n  a1x n1  ...  an1x  an có thể biểu diễn
dƣ với dạng P(x)  a0 (x  1)(x  2 )...(x  n ) nếu P(x) có n nghiệm

1, 2 ,..., n .
*Công thức Viet:
Cho P(x)  a 0 x n  a1x n 1  ...  a n 1x1a n là một đa thức bất kì và đƣợc biểu
diễn: P(x)  a 0 (x  1 )(x  2 )...(x  n )
ở đây 1,..., n là nghiệm của đa thức.Sau khi ta nhân các thừa số vào với
nhau và nhóm các hệ số theo dạng đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của
đa thức P(x) ta nhận đƣợc:

1   2  ...   n  

a1
a0

1. 2  1.3  ...  1.n  2 .3  ...   n 1n 
1 23  1 2 4  ...   n 2 n 1 n  

a3
a0

.........
1 2 ... k  ...   n k 1 n  k 2 ... n  (1) k
.........
1 2 ... n  (1) n .

an
a0

Công thức này đƣợc gọi là công thức Viet.

13

ak
a0

a2
a0


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

1.1.3. Đa thức với hệ số nguyên

a. Các định nghĩa
- Định nghĩa 1: Đa thức P(x)  L[x] đƣợc gọi là không bất khả quy trong L[x]
nếu tồn tại các đa thức Q(x)  L[x] , S(x)  L[x] với bậc  1 sao cho
P(x) = Q(x).S(x)
Ngƣợc lại P(x) đƣợc gọi là bất khả quy trong L[x].
- Định nghĩa 2: Đa thức f(x)  Z[x] đƣợc gọi là đa thức nguyên bản nếu các
hệ số của nó nguyên tố cùng nhau.

b. Các tính chất
- Tính chất 1: Nếu f(x)  Q[x] thì tồn tại duy nhất g(x) nguyên bản và

p
là
q

phân số tối giản sao cho:
p
f (x)  .g(x)
q

- Bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản.
- Định nghĩa: Hai đa thức P(x), Q(x) đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu
ƢCLN của chúng là một đa thức hằng số hay(P(x), Q(x)) = 1.
- Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P(x), Q(x) nguyên tố cùng nhau
là tồn tại cặp đa thức U(x) và V(x) sao cho:
U(x).P(x) + V(x).Q(x) = 1
Chứng minh:

14

Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Vì (P(x), Q(x)) = 1 nên tồn tại đa thức U(x), V(x) sao cho:
U(x).P(x) + V(x).Q(x) = 1
Ngƣợc lại cho P(x), Q(x) là những đa thức mà chúng thoả mãn điều kiện: tồn
tại cặp đa thức U(x), V(x) sao cho U(x).P(x) + V(x).Q(x) = 1.
Nếu (x) là một ƢC bất kỳ của P(x), Q(x) thì (U(x).P(x) + V(x).Q(x)) chia
hết cho (x) nghĩa là 1(x)  (x) là hằng số. Vậy (P(x), Q(x)) = 1
- Tính chất 2: Nếu P(x), Q(x), S(x) là những đa thức sao cho:(P(x), Q(x)) = 1;
S(x).Q(x)  P(x) thì S(x)  P(x)
- Tính chất 3: Hai đa thức U(x) và V(x) trong định lí trên là tồn tại duy nhất.
Ngoài ra còn có deg U(x) < deg Q(x); deg V(x) < degP(x)
- Tính chất 4: Nếu (P(x), Q(x)) = 1 và (P(x), S(x)) = 1 thì
(P(x), Q(x).S(x)) = 1

- Tính chất 5:

P(x)Q(x)


P(x) :S(x)
  P(x)Q(x).S(x)
(Q(x),S(x))  1

1.2. Vành đa thức nhiều ẩn
1.2.1. Định nghĩa
Ta xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phƣơng pháp quy nạp

Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Ta xây dựng đƣợc vành đa thức một ẩn
A1 = A[x1] là vành giao hoán có đơn vị. Trên vành A1 ta xây dựng vành đa
thức A2 = A1[x2].
Tƣơng tự ta cũng xây dựng đƣợc An-1[xn] = An có n ẩn
An đƣợc gọi là vành đa thức n ẩn x1, x2,…,xn

15


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Kí hiệu An = A[x1, x2,…,xn]. Mỗi phần tử của An là một đa thức n ẩn:
f(x1, x2 ,…,xn) lấy hệ tử trong A.
* Bậc của đa thức
Cho đa thức f(x1, x2,…,xn)  A[x1, x2,…,xn], f(x1, x2 ,…,xn)  0
và f (x1,x 2 ,...x n )  c1x1a11 x a212 ...x an1n  ...  cm x1a m1 x a2m 2 ...x anmn
m

  ci x1ai1 x a2i 2 ...x anin ,ci  0
i 1

Khi đó
- Số lớn nhất trong các số mũ của x j trong các hạng tử của f(x1, x2,…,xn) là
bậc của ẩn x j . Nếu x j không có mặt trong các hạng tử thì ta nói x j có bậc 0.
- Gọi ai1 + ai2 +…+ ain là bậc của hạng tử thứ i của f(x1, x2,…, xn).
- Gọi số lớn nhất trong các số là bậc của các hạng tử là bậc của đa thức f(x1,
x2,…, xn).
- Nếu các hạng tử của f(x1, x2,…, xn) có bậc bằng nhau và bằng k thì ta gọi

f(x1, x2,…, xn) là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k.

1.2.2. Đa thức đối xứng
- Định nghĩa: Đa thức f(x1, x2,…, xn)  A[x1, x2,…, xn] đƣợc gọi là một đa

1 2 3 ... n 
thức đối xứng nếu và chỉ nếu với mọi phép thế i  

 i1 i 2 i3 ... i n 
ta có f (x1,x 2 ,...,x n )  f (x i1 ,x i2 ,...,x in )
- Những đa thức sau là những đa thức đối xứng cơ bản:
n

1   x i  x1  x 2  ...  x n
i 1

16


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

2   x i x j  x1x 2  x1x 3  ...  x1x n  x 2 x 3  ...  x n 1x n
i j

3 

xxx

i jk

i

j

k

 x1x 2 x 3  x1x 2 x 4  ...  x n 2 x n 1x n

…………….

n  x1x 2 ...x n
Định lý cơ bản( về đa thức đối xứng)
Mọi đa thức đối xứng f(x1, x2,…, xn)  A[x1, x2,…, xn] đều biểu diễn một
cách duy nhất dƣới dạng một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ
tử trong A

1.3. Đa thức đồng dư
1.3.1. Định nghĩa
Cho (x) là đa thức khác không. Ta nói rằngđa thức P(x) và Q(x) là đồng dƣ
theo mođun đa thức (x) nếu (P(x) – Q(x))  (x) .
Kí hiệu: P(x)  Q(x)(mod (x))

1.3.2. Định lý
Cho (x) là đa thức khác không. Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức

thì

P(x)  Q(x)(mod (x)) khi và chỉ khi P(x) và Q(x) cho cùng một đa thức dƣ

khi chia chúng cho (x)

1.3.3. Các tính chất:
(x) là đa thức khác không, (x)  A  x ,

1. P(x)  P(x)(mod (x))

17


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

2. P(x)  Q(x)(mod (x)) thì Q(x)  P(x)(mod (x))
3.

P(x)  Q(x)(mod (x)) 
  P(x)  R(x)(mod (x))
Q(x)  R(x)(mod (x)) 

4. Cho các đa thức bất kì P1(x), P2(x),…,Pn(x); Q1(x), Q2(x),…Qn(x) và
U1(x), U2(x),…,Un(x).
Nếu Pi (x)  Qi (x)(mod (x)),i  1,n thì:

U1 (x).P1 (x)  ...  Un (x).Pn (x)  U1(x).Q1(x)  ...  Un (x).Qn (x) (mod (x))
5. Nếu P(x)  Q(x)(mod (x)) thì P(x).R(x)  Q(x).R(x)(mod (x))
6. Nếu P(x)  Q(x)  R(x)(mod (x)) thì P(x)  R(x)  Q(x)(mod (x))
7. Nếu P(x)  Q(x)(mod (x)) thì Pn (x)  Qn (x)(mod (x)), n 

1.4. Phân thức hữu tỉ
1.4.1. Trường các phân thức hữu tỉ
Cho hai đa thức f(x), g(x)  A[x], g(x)  0 , A – trƣờng thì

f (x)
đƣợc gọi là
g(x)

một phân thức hữu tỉ sao cho thoả mãn:
f (x) f '(x)

 f (x).g '(x)  f '(x).g(x)
g(x) g '(x)

f(x) đƣợc gọi là tử thức, g(x) là mẫu thức của phân thức hữu tỉ
- Mọi đa thức f(x)  A[x] đều là phân thức hữu tỉ vì ta luôn viết đƣợc

f (x) 
-

f (x)
1

f (x) f '(x)
,
xác định 2 phép toán:
g(x) g '(x)

f (x) f '(x) f (x).g '(x)  f '(x).g(x)



g(x) g '(x)
g(x).g '(x)

18


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

f (x) f '(x) f (x).f '(x)
.

g(x) g '(x) g(x).g '(x)

 f (x)

Kí hiệu A(x)  
,f (x),g(x)  A  x ,g(x)  0  thì A(x) cùng với 2 phép
 g(x)

toán cộng và nhân các phân thức hữu tỉ trên đây lập thành một trƣờng gọi là
trƣờng các phân thức hữu tỉ.

1.4.2. Phân thức thực sự
a. Định nghĩa: Một phân thức hữu tỉ

f (x)

mà degf(x) < degg(x) gọi là phân
g(x)

thức thực sự.
Ngƣợc lại, ta gọi phân thức đó là phân thức không thực sự.
Nhận xét: Cho

p(x)
 A  x  , A – trƣờng. Theo định lý phép chia với dƣ trong
q(x)

trƣờng thì:
p(x)
p (x)
 E(x)  1
q(x)
q(x)

E(x) là phần nguyên của phân thức

p1 (x)
là phân thức thực sự.
q(x)
- Phân thức tối giản:
Phân thức thực sự

p(x)
với (p(x), q(x)) = 1 gọi là phân thức tối giản.
q(x)

b. Phân thức thực sự đơn

19


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

- Định nghĩa: Phân thức thực sự đơn là phân thức thực sự mà mẫu của nó là
luỹ thừa của đa thức bất khả quy trong A[x]
- Phân tích một phân thức thực sự thành tổng các phân thức thực sự đơn:
Cho phân thức thực sự

r(x)
 A[x] , A – Trƣờng.
b(x)

Kí hiệu r = r(x), b = b(x)
TH1: Nếu b là bất khả quy ta có ngay sự phân tích
TH2: Nếu b khả quy thì b có ƣớc thực sự.
Giả sử b = b1.b2; (b1, b2) = 1  r ',s  A  x  :
b1r’ + b2.s = 1

 (r.r’)b1 + (r.s)b2 = r (1)
Đặt r.r’ = u2
r.s = u1
Chia u1, u2 lần lƣợt cho b1, b2, giả sử nhận đƣợc:
u1 = b1c1 + r1 , degr1 < degb1
u2 = b2c2 + r2 , degr2 < degb2

Thay vào (1) ta có:
(b2c2 + r2)b1 + (b1c1 + r1)b2 = r

 b1b2(c1 + c2) + r2b1 + r1b2 = r
Giả sử c1 + c2  0, ta có:
b1b2(c1 + c2) = r- r2b1 - r1b2
deg(VT) = deg b1b2 + deg (c1 + c2) = deg b + deg (c1 + c2)  deg b
deg(VP) = max{ degr; deg r2b1; deg r1b2} < deg b
ta suy ra điều vô lí. Vậy c1+ c2 = 0

 r = r2b1 + r1b2
Vậy

r r1b2  r2 b1 r1 r2

 
b
b1b2
b1 b2

20


Khoá luận tốt nghiệp

Nếu b1, b2 bất khả quy thì

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

r

đƣợc phân tích thành phân thức thực sự đơn.
b

Nếu b1 hoặc b2 khả quy (giả sử b1 không bất khả quy) thì ta làm lại quá trình
tƣơng tự nhƣ trên ta nhận đƣợc
b1 = b3.b4; (b3, b4) = 1,…
Quá trình phải dừng lại sau hữu hạn bƣớc.Ta có

r r1' r2'
rn'
   ...  ;
b a1 a 2
an
Với

ri'
là các phân thức thực sự đơn, i  1,n
ai

* Xét trong   x ,   x 
- Các đa thức bất khả quy trong   x  là các đa thức bậc nhất có dạng ax+b
- Các đa thức bất khả quy trong   x là các đa thức bậc nhất hoặc các đa thức
bậc hai có   0 .

21


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Chương 2
ứng dụng của đa thức một ẩn

2.1. ứng dụng 1: Xác định đa thức
2.1.1. Cơ sở lí luận
- Dùng ánh xạ đa thức: Mỗi đa thức f(x) = a0 + a1x + …+anxn sinh ra một ánh
xạ:

f :A A
c  a 0  a1c  ...  a n c n  f (c), f (c)  A
gọi là ánh xạ đa thức.
Ta thƣờng gặp bài toán xác định đa thức khi giải phƣơng trình hàm trên tập
các đa thức. Để xác định đa thức ta có thể xác định bậc của đa thức rồi lần
lƣợt xác định các hệ số, cũng nhƣ sử dụng các tính chất của vành đa thức.
- Dùng kết quả của phép chia đa thức.

2.1.2. Phương pháp giải

22


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

- Dùng các phép biến đổi ẩn, hoặc cho ẩn những giá trị đặc biệt x = 0,1, 2,
3,…rồi tính giá trị của đa thức tại những giá trị đó, ta đƣợc hệ phƣơng trình
mà ẩn là các hệ số của đa thức.
- Giải hệ phƣơng trình này tìm các hệ số, từ đó xác định đƣợc đa thức.

2.1.3. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Xác định đa thức f (x)   x  sao cho f(x) chia cho x – 2 dƣ 5, chia
cho x – 3 dƣ 7 và chia cho (x – 2)(x – 3) thì đƣợc thƣơng là 1- x2 và còn dƣ.
Lời giải:
Theo giả thiết ta có: f(x) = (x – 2).A(x) + 5 (1)
f(x) = (x – 3).B(x) + 7 (2)
Gọi phần dƣ của phép chia f(x) cho (x – 2)(x – 3) là R(x)

 R(x)  0
Vì (x – 2)(x – 3) là đa thức bậc 2 nên 
 R(x)  0,deg R(x)  1
Do đó R(x) = ax + b;
Ta có: f(x) = (x – 2)(x – 3)(1 – x2) + ax+b (3)
Vì (1), (2), (3) đúng nên:
Với x = 2

(1)  f (2)  5

  2a  b  5 (*)
(3)  f (2)  2a  b 

Với x = 3

(2)  f (3)  7

  3a  b  7 (**)
(3)  f (3)  3a  b 

2a  b  5 a  2


Từ (*) và (**) ta có 
3a  b  7
b  1

23


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Vậy đa thứcphải tìm là: f(x) = ( x - 2)(x – 3)(1 – x2) + 2x +1 hay
f(x) = -x4 +5x3 – 5x2 – 3x + 7
Ví dụ 2: Tìm đa thức bậc hai P(x) với hệ số thực, biết rằng P(0) = 19, P(1) =
5, P(2) = 1995
Lời giải:
P(x) là đa thức bậc hai nên có dạng
P(x) = ax2 + bx + c, a,b,c   , a  0
P(0) = 19  c = 19
P(1) = 5  a + b + c = 5  a + b = -14 (*)
P(2) = 1995  4a + 2b + 19 = 1995  2a + b = 988

(**)

a  b  14
a  1002
Từ (*) và (**): 

2a  b  998 b  1016

Vậy P(x) = 1002x2 – 1016x + 19
Ví dụ 3: Xác định f (x)   x  sao cho f(x) = 2x4 + ax2 + bx + c chia hết cho
x – 2 và khi chia cho x2 – 1 thì đƣợc phần dƣ là x
Lời giải:
Vì f(x) chia hết cho x – 2 nên 2 là nghiệm của f(x) tức là ta có f(2) = 0
hay 32 + 4a +2b +c =0 (1)
Mặt khác, theo giả thiết ta có f(x) = (x2–1).q(x) + x, trong đó q(x)   x 

 f(x) = (x2 – 1)q(x) + (x - 1) + 1
f(x) = (x2 – 1)q(x) + (x + 1) – 1

2  a  b  c  1  2 
f (1)  1


f (1)  1 2  a  b  c  1 (3)

24


Khoá luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Dịu – K30D Toán

Giải hệ phƣơng trình (1), (2), (3) ta dƣợc a  
Vậy f (x)  2x 4 

32
26
, b  1, c 

.
3
3

32 2
26
x x
3
3

Ví dụ 4: Hãy tìm tất cả những đa thức P(x) = P(x + a) (1) với a– const, a  0
Lời giải:
+ Nếu deg P(x) = 0 tức P(x) là đa thức hằng số thì (1) luôn thoả mãn
+ Nếu deg P(x)  1
P(x) = a0xn + a1xn – 1 + …+ an – 1x + an , a 0  0
và thoả mãn P(x) = P(x + a)
Khi đó:
a0xn + a1xn – 1 + …+ an – 1x + an = a0(x + a)n + a1(x + a)n – 1 + …
+ an – 1(x + a) + an
So sánh hệ số của xn – 1 ta nhận đƣợc: a1  a 0c1n a  a1  na 0a  0 (vô lí)
Vậy chỉ có những đa thức hằng số thoả mãn (1)
Ví dụ 5: Tìm tất cả cá đa thức thoả mãn điều kiện
f(x).f(2x2) = f(2x3 + x2) x 

(1)

Lời giải:

c  0
+)Nếu deg f(x) = 0 tức f(x) = c thay vào (1) c.c = c  

c  1
+)Nếu deg f(x) = n  1 , f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x = an, a0 0

a  0
=>f(0) = an thay vào (1)  an.an = an   n
a n  1
*) an = 0  f(x) = xs.g(x), g(0)  0, s = N*; thay vào (1) ta đƣợc
xs.g(x) . 2s . x2s . g(x2s) = (2x + 1)s . x2s . g(2x3 + x2)

 2s . xs . g(2x2) = (2x + 1)s . g(2x3 + x2)  g(0) = 0
*) an = 1  f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + 1 , a0  0

25

(2)