Xây dựng phép biến đổi fourier trong không gian các hàm suy rộng l schwartz

ũề
ề

é ề ỉ ỉ ề

ề

ừề ì ề



í

ỉệểề

ỉ

ể

ắ

ỉ ễ ỉừ èệ

ú

ễ

ì

ề ỉệểề

ẩ ừẹ ủ ặ

ỉá

ễ ềủí éủ



ể

ể

ừí


ễ

ỉểủề ỉ

ũểá ỉệí ề

ỉ

ủ

ẹ ĩ ề

èểụề

ề

ú

ũẹ ề

ề

ề ỉ ủề
ụ
ỉ

ừỉ

ề


ề

ũẹ

í

ềỉ

ẹ éủẹ ế ề
ụ
ỉ

ể

í

ề ì

ỉệểề

ề

ễ

èệ

ẹ ỉệểề

ề





ủ
ụ


ụ

ừ
ậ

ì ỉ ỉ

ề

ề
ẹ ĩ ề

ủí ỉ

ẹ ỉ ề ỉ ề á

é ề
ề

ỉ
ề

ề ì ìỳ
ỉ
ẹ

ỉ

ủ ặ

èậ èừ ặ
èệ á ề
ểủề ỉ ủề

á ỉ ụề
ậ ề

é ề ềủí

ề ẹ ắẳẵ


ặ í ề è

ề

ẩ

ề


Ä

×
òÒ Ø

Ò¸

Ù Úñ Ø
òÓ

Ò
Ñ

ô
Øô

Ѹ

ØÓñÒ ØÖô

ÓñÒ Ø ñÒ

ÒÃ

Ñ Ü Ò
Ñ
Ò
Ò

Ì˺ Ìõ Æ
ÌÖ

Ò

ó

Ñ Ó Ò

ñ

ÐÙ Ò

ÐÙ Ò Ø Ø Ò
ò

ó

Ó Ò Ò

ØÖ Ò

Ú

Ô¸

Ò Ù ØÖÓÒ
Ò

Ò

Ñ

Øô

×



úÒ

Ñ Ò º ÌÖÓÒ
Ø

Ñ

Ñ
Ìñ Ð

Ø ÕÙò ØÖÓÒ
Ø ÕÙò

Ú

Ã

Ñ

ÐÙ Ò Ðñ

ò

ÕÙô ØÖ Ò

òÓ Ñ Ø ×
Ù Ø

Ò

Øñ Ð

Ø ÕÙò Ò
Ñ Ü Ò

Ѻ

¸ Ø ôÒ
Ë Ò

Ò Ñ ¾¼½¿
Ú

Æ ÙÝ Ò Ì

Ò
ÙØ

Ò
Ñ

òÓº

ô
º Æ Ù ×

Àñ Æ

Ð


Ò

È

Ò

Ò
Ù
Ù

ÓñÒ


Å
Ð
ÌÖ Ò
Å

Ù

½ Ã ÒÌ
½º½º Å

Ø Úñ

Ù Úñ

ô

½º½º½º

Å

Ø Úñ

½º½º¾º

Å

Ø Úñ

ô

Ò
ô

ñÑ Ø

½º¾º Ã

¾ Ã


Ù Ò

Ò

Ò

Ò
ô

Ù
Ò

Ò

Ñ

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

Ò
ô

ñÑ ×ÙÝ Ö

¾º¾º Ã

Ò

Ò
ô

ñÑ

½¿
Ò

òÑ Ò

D ′ (Ω)
Ò

Úñ

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ò

Ò
ô

ñÑ ×ÙÝ Ö

Ò

ÓÙÖ
Ò

Ö
ÓÙÖ

½¿

Ø Ò

Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Ò
¿º½º

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

D (Ω)

Ò

¿

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¾º½º Ã



Ñ

½
¾½

Ö ØÖÓÒ

L1 (R)

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¾½

¿º¾º È

Ô

Ò

ÓÙÖ

Ö ØÖÓÒ

L2 (R)

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¾

¿º¿º È

Ô

Ò

ÓÙÖ

Ö ØÖÓÒ

S (Rn )

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¾

¿º

Ô

Ò

ÓÙÖ

Ö ØÖÓÒ

S ′ (Rn )

º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

¿

º È

Ã Ø ÐÙ Ò
Ìñ Ð

ÙØ

¿
Ñ

òÓ

¿



ẵ

ể

ề

ỉủ

ủẹ ìí ệ ề
ừể


ễễ

ề ế ề ỉệ ề

ủẹ ệ

ề ủẹ ìí ệ ề

ủẹ ì



ủẹ

ể

á

ẹủ ẹ ỉ

ừ

ề éủ

ủẹ

ề



ỉ ẹ

ỉ

ẹ

èừ ặ

èệ á

ệ

ủẹ ìí ệ ề

ụ
ề



ề

ề

ụ
ễ

ẹ

ẹ

ủẹ ỉ

ề

ẩ ễ

ẹ

ủ
ụ

ề

ỉủ

ểệ

ệ

ề

ề

L1 , L2

ụ

ề
ụ

ủẹ

ũỉ

ỉ

ỉệ ề
ẹ

ề áề

ỉ

ẹ

ề

ỉ

ề

ì ề



ỉ

ụ

(x)
ề
ề





ề

ụ ề

ủẹ ỉ

ụĩ

éừ

ủẹ ìí ệ ề á

ú

ệ ề

ỉ



ì

í ề ễ ễ
ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề ậ
ệỉị

ề

ĩ í

ề

ì à ẹủ
ề

ề

ề

ề

èậ

ểệ ệ ỉệểề

ỉệ ề

ề

ề

ề

ề
ụ

ề
ỉệểề

ủẹ
ề

ủẹ ìí ệ ề



é ề

ề ẵ ềỉ
ề


ễ

éỉ

ề

ụ ề

ề ểủ é ễ
ụ
ũ ỉ

ỉ

ủể

éủ ẹ ỉ

ề á ỉệểề

ủể
ụ

ặ



ềủí

ỉ

ẹ

ề


ề
ẹ ỉì

ủ

ụ ề

ẹ
ềỉ

ỉ
ểề

ề

é ề ề

ặ

ụ ề

ặ

ề

ẹ ủ

ề

ề

ủ ỉ ề

ụ
ễ ễ ỉểụềá ỉ ề



ềủí

ỉ

áỉ ề

ỉ

ỉ

ề ắ ề
ề

ề

ỉ

ề

ề
ụ

ề

ề
ụ

ủẹ ỉ

ủẹ ìí ệ ề

D ()

D ()

ủẹ ìí ệ ề

ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề


ề

ề

ủẹ ìí ệ ề á

ề

ề
ụ

ủẹ ìí

ệ ề
ặ
ủ

ề

ề

ề

ủ ỉ ề

ề
ụ

ề



ủẹ ỉ ề

ề

ỉ


ề
ẹ

ểệ ệ

S (Rn )

ề
ụ

ủẹ

ũẹ ề

ề

S (RRn )


ề

ềủí ề

ì ủể ễ ễ

ắ 





ề

ểệ

ề

ề

ặ

ề
ề

ặ

ề


ặ

ễ ễ

ề


ặ

ề
ễ ễ

ẩ

ề

ễ

ề

ụễ ề

á ỉệ

ểệ
ề

L1

ệ ỉệểề
ề
ụ

ủ

L2



ỉ

ủẹ ìí ệ ề



ểệ

ề

ề
ụ

ậ
ệỉị
ểệ

ề

ệ



ề ỉ
á ìể ìụề áỉ ề


ệ ỉệểề



ủẹ ìí ệ ề

ễ ụễ ễ

ỉủ é

ệ ỉệểề

ề

ề

ặ

ề

ề

ủẹ ìí ệ ề

ẹ  ề

ẩ

ụ
ễ ễ

ễ

ề ỉ



ủẹ ìí ệ ề


Ò ½
à ÒØ

½º½º


Ù Ò

Å

Ø Úñ

Ù Úñ

½º½º½º Å Ø Úñ

ô

Ò

Ñ

Ù

Zn+ = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ Z+}º

Rn = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R}º
C (Ω)

Ì Ô
ô

C k (Ω)

Ì Ô

C ∞ (Ω) Äñ Ø
Lp (Ω)

ñÑ Ð

Ô
ô

Ô

Ì Ô

ñÑ Ð

Ô
ô
Ô
ô

Ωº

Ò Ø
ØÖÓÒ

Ò Ø


ñÑ

ñÑ

ò Ú Ú

Ó

Ø



f =
Lploc (Ω)

Ì Ô

Ý Ø Ô
ô

f

ò Ø

Ô
ô
ñÑ

ØÖÓÒ

Å Ø Ú
Ø



Ðñ Ñ Ø

f

Üô

ñÑ
Ò

õÓ

ñÑ Ö

õÒ¸ Ð
Ó Ò

Ò

Ð

Ò Ø
Ø

Ò Ø
ØÖ Ò

Ωº

Ä

ØÖÓÒ

× Ù

Ô

ØÖ Ò

Ω×

Ó
Ó

Ωº

 1p

Ω

|f (x)|p  < ∞.

ò Ø
ØÖ Ò

Ω

Ô

Ò

× Ó

Ó Ú


Ñ

p, 1 ≤ p ≤ ∞

ØÖ Ò

Î
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ

Ω

Ω

Ø

κ
õÒ
×

´

α = (α1 , α2, ..., αn) , αj ∈ Z+, j = 1, 2, ..., n
Ý Ò¹

× µ Ú

ñ ´

Ý
Ô

|α| = α1 + α2 + ... + αn .

αµ Ðñ




èểụề ỉ

ễ

ề é

ề

ỉ





ì

éủ

D = D11 .D22 .....Dnn

ỉệểề


j
,
j
=
1,
2,
...,
n,
i
=
Dj =
1

ixj j
ể
ẻ

= 11 .22 ...nn
ẵẵ



ể

xj

j =



(x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 , = (1; 2; 3) Z+3

ủẹ

= x1 y2 z3 = x1y2z3 = 108x2y.
ể

éủ ẹ

f (x)á ề
ỉ

ỉ

ỉểụề ỉ

ụ
ệ ề

ễ

ũ ủ é
ụ

ẹ ỉ

ủẹ é

í

ỉ

ề
ề

f :C



ề 
ỉ

ề

ẹ

E tV ặ

éủ

ỉ ễ

ỉệ ề ỉệ

ủ

éủ



Zn+

ì

f C ()

f

ề

éủ

éủ

ể

ề

ỉệểề

ỉ ễ

ễ

suppf



X

ỉệ ề ỉệ

ề

K

(, y) y

ề
ỉ

ỉ ễ

é ề
ề ẻ

ầ

é

ỉệ ề

ẹ ỉ ỉ ễ

ể

K = Cà éủ

ì ể
ể
ụ
ụề

ề ỉ

á ẹ ỉ ỉ ễ

ầá

ẹ ỉ é ề
ề

K=R

K

ề

ễ

ẹ ỉ ì


E X

s > 0

ề ỉ

ề

éủ ỉ ễ

ì ể
ể
ề



t > s
éủ



ề
ỉ
ề

ề

ỉ ỉ ễ

ễ

E X

x X, t = t(x) = 0


ề

ẹ

ễ

ề ỉ

ề 
ỉ

èệểề

ễ

ề ỉ




f : C, x

ủẹ ì

ụ ề ẹ

(x, y) x + y

ề

ỉ ề ỉừ ủ é

ỉ

Supp f = cl {x : f (x) = 0}

ẵẵắ ỉ ủ

ẹ ỉ

Rn

ỉệểề

ềủí
ề

ề ỉ
ẹ

{x : f (x) = 0}

ĩừ

f

ề

f C ()

ề

ủẹ

ỉỉ ễ ẹ

E E

ỉ





ề

ề
ỉ

ỉ ễ

x tE

ặ

éủ ỉ ễ
ểề
ề



ì ể
ể

C

éủ ỉ ễ
ẹủ

ỉ ề

|| 1

á ỉ


ỉ
ẹ ỉ

ề
ì

é ề
ề

ỉ

ề

ề







ẹ ề

ễ ễ ỉ ề

ễ

ề

ề



ề

ề

ỉ

ệ

ẹúề

ỉ ề ề

éủ ẹ ỉ

d(x + z, y + z) =

ềà
éủ

ỉ ề



ỉ

ề ạ

ểệ é ề ẹ

éủ ỉ ễ
ểẹễ
ỉ

ề
ụ

ể
ể

ỉ

ề é

ỉ ễ é

éủ

ỉ ễ

D ()

ủẹ ỉ

ặ éủ ỉ ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề

f C (Rn ) ì

ề

ề

ề

ề

ề

ẹ ỉệ

ũẹ ì ề

ề
ỉ

ủ

éủ

ễ

ề

ề

ề

ẵắ

ề é

ỉ

ỉ

ỉ ễ
ầ

ề ẹ ỉệ

d(x, y)
ỉ ễ

ề
ỉ

Rn

ỉ

ỉ

supp f K ặ

Dk



éủ

ề

ề
ụ

ỉ ủề

ẹ ỉ

ủẹ

Kỉ



Dk = {f C () : supp f K} .
ĩ í
ề

ủ

ệ

ề
ỉ

ỉ ề

K ỉ

ẹ

= j kj



ỉệ ề

C () ì

ỉ

ề ạ

ểệ é ủ

ẹ ỉỉ ễ




ủ

ề

ề
ụ
ỉ ễ
ểẹễ
ỉ
ề

ẹ ỉ

ề

C () ỉệ

ể
ể

Dk éủ ẹ

ỉ ỉ ễ
ểề

kj (j = 1, 2...) ì
ề

pN

ỉệ ề

ề

ể
ể

ề

C ()

kj int kj+1

C (), N = 1, 2...

pN (f ) = max {|D f (x)| : x kN , || N } .

ẻ

á
ẹ

pN

VN =
ặ

ề

x á

ể

ề

ỉ

ĩụ

ì

ẹ ỉ ỉ ễ

ễ

ề

ủẹ

ụ
ẳ ỉừ



ề

f C () : pN (f ) <

{fi} éủ

ừ ễ

x f (x)

ủẹ ì

ề
ụ

é

úí

í ỉệ ề

1
N

ề á

ũ ẹ ỉệ
ỉệ ề

éủ é

ề ỉ
ỉ

xề

ề

Dk

ể ỉ ễ

éủ

ề ềủí


ể

|D fi D fj | <

C ()á ặ

1
N ỉệ ề

Dk

ềủí ẻ

ỉệểề

éủ

C ()
ụ
ỉ ễ

ễ

, (N = 1, 2...)
ề

ỉ

é ề
ể

ề

C ()

kN

ề

|| N

fi fj VN



i, j


½¼

Ù ÒñÝ

D α fi

Ø

fi(x) → go (x)º À

Ø
Ø

Ò

Ò

Ú

C ∞(Ω) º

Ñ

Ò

MN < ∞ ×

Ó
Ó

øÒ

Ø

Î Ý



òÒµ ØÖ Ò

À

Ú

Ò Ò

Ú
Ì

Ò
Ò

Ò

kN −1



Ø À
Ø Ø
ò

Ù Ðñ

Ò

ô

ñÑ

Ωº Î

Ò Ò
¸

Î

Ó

Ω Ðñ

Ø Ô
ÓÑÔ
Ø

Dk º

¸β
¸ τ

f i → go

Ù ÒñÝ
Ò



f ∈ Eº

Ñ

|α| ≤ N ¸

Ò Ù

|β| ≤ N − 1º

Ò

Ñ Ø

Ø

Ò Ò Ò Ø Ò Øõ

Ì

Ðñ Ð
Ó

Ò Ø
Ò

óÝ
ÓÒ

Ò

Ð

{fi } ×

×
ÓÐ
Ó
Ó

Ðñ Ø Ô
ÓÑÔ
غ

Ò

Dk

õÝ ØÖ Ò Ø Ô Ø Ø
ò
ô

ñÑ Ø

´

Ý

Ò

Ò
ô

ñÑ



Ò Ú
Ø
ñÑ Ò

φ ∈ D(Ω) Ò
Ñ

Ú

Ô Ô
Ò

Ò
ô

Ù Úñ

ô ØÖ Ô

Ò Ù

Úñ Ô Ô Ò

Ò

º

φ ∈ C ∞ (Ω) Úñ Suppφ

φ ∈ C ∞(Ω) Úñ Suppφ Ðñ Ø

Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ

= Max {|Dα φ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N } , N = 1, 2...

½º¾º
Ñ

Úñ



D (Ω)º

ΩØ
N

Òº Î

kN

Ò
ô

Ò
Ý Ö÷Ò

غ

gα ¸

ÓÖ Ðº

Ò

Ò

Ø

Ö

ØÖ Ò

Ò

Ðñ Ñ Ø

Ðñ Ø Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ

φ

Ù

Ò ¹

D (Ω)

Ø

Úñ

Ò

gα = D α go

Ø

º

óÝ ØÖÓÒ

Ðñ

Ω¸

Ø

ØÖ Ò

Ô

Ω¸

Ò

Dk

Ò

C ∞ (Ω) ¸



Ø Ò

½º½º À

Ø Ô
ÓÑÔ
Ø

Ò

Ðñ Ø Ô

Ñ

Ó Ø Ô

C ∞(Ω)

Ò Ò

Ò

C ∞ (Ω) Ðñ

|Dα f | ≤ MN



Ø Ø

Ó
Ó

pN (f ) ≤ MN , N = 1, 2, 3... Ú

Úñ Ò ÙÝ Ò Ð
ÒØÓÖ Ø

{fi}

¸

go ∈ C ∞ (Ω) ×

Ò
ÓÒ

Dβ (f ) : f ∈ E



Ò

Ó

E ⊂ C ∞ (Ω)

ò ×

Ø

Ò Ò



ÓØ Ô

Ω

Ø ØÖ Ò
ô
Ø Ô
ÓÑÔ
Ø

Ø Ô
ÓÑÔ

Ø

Ðñ

Ø Ø
ò
ô

φ+W

Ö Ò

Úñ Ñ

Ù Ðñ Ø Ô

W ⊂ D(Ω)

Ò

K⊂Ωº
Ô

Ò

K ⊂ Ω, τk

Ðñ Ø Ô Ø Ø
ò
ô

Ø Ô Ð
Ñ

Ñ Ø Ø Ô



õÒ

¸ Ú

ØÖÓÒ



× Ó
Ó

Rn
Ò

Ò

Ö

Dk ∩ W ∈ τk

φ ∈ D(Ω) Úñ W ∈ β º

Ú

Ø


½½

Ò Ð ½º½º
¸τ

Ðñ Ñ

Ø Ø

¸ D (Ω)
Ò

µ

Ì

Ô

Ò

Ñ Ò

º

Ò

τ

Ú

Ì



Ðñ Ñ

Ò

Ò

D (Ω) Úñ β

Ø

Ò

Ñ Ò

Ø Ò

Ò Ú
Ø

Ô

Ðñ Ñ

Ø

Ø

Ô

×

Ô

Ð

Ô

Ò

τ



º

Ò º

Ò Ñ Ø

ò ×

V1 ∈ τ, V2 ∈ τ, φ ∈ V1 ∩ V2 .


Ò

Ñ Ò

´ µ¸ Ø

Ò

Ò

Ñ Ò

φ + W ⊂ V1 ∩ V2, ∀W ∈ β
Ì

Ó

Ò

Ò



τ

Ø

Ø Ò Øõ

φ ∈ φi + Wi ⊂ Vi , (i = 1, 2)º
Ò Ã × Ó
Ó

Dk



ô

φi ∈ D(Ω)

φ1 , φ2 , φº

Î

Ó Ø Ò



φ − φi ∈ (1 − δi )Wi, ∀δi > 0º

´½º½µ

Ð

Dk ∩ Wi
Wi

Wi ∈ β

Úñ

Ðñ Ñ

× Ó
Ó

Dk

ØÖÓÒ

Ò Ò

Ò Ò

φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi)Wi + δi Wi = Wi .
⇒ φ + δiWi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi (i = 1, 2)
Ó

´½º½µ
µ

Ò

Ú

W = (δ1 W1) ∩ (δ2W2)º Î

φ1 , φ2 ∈ D(Ω)º

ò ×

φ

φ1

0

= Max |φ(x)| Ø

Ðñ Ø Ô

x∈Ω
Ò Ø Ò

È Ô
Ò

Ðñ

τ

Ð

W ∈β

ØÖÓÒ
Ò Ø
¸

Ø

Ô Ô Ò

Ò Ú

τ

ÓØ Ò

Úñ

φ1



Ò ¸

Ò
× Ó
Ó

Ñ Ò º

Ò

Ò÷Ñ ØÖÓÒ

φ2 + W

º

Ó

º
Ð



Ñ

Ø Ô

Ò Ñ Ø Ú

αφ − α0 φ = α(φ − φ0 ) + (α − α0 )φ0

δφ0 ∈ 12 W

Ò

< φ1 − φ2 0}

0

ϕ2 + 12 W = (ϕ1 + ϕ2) + W, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Ω) º
Î



Ø

W = {φ ∈ D(Ω) : φ
Ú

Ý ´ µ

Ò

º Æ Ù

2c(|α0 | + δ) = 1º

W ∈β

α0

Ò Ò

Úñ Ñ Ø

W ∈β

Ø

ϕ1 + 21 W +

φ0 ∈ D(Ω)

∃δ > 0

Î Ï Ðñ Ø Ô Ð

Ò

× Ó
Ó
Ò Ò


ẵắ

0 0 W

| 0 | <



0 cW

ủ

ẻ í à

ề

ẹ ề

ề é ẵắ à



ỉ ỉ

ễ
ểề é

á

ề

D ()

ẻ

V

à

ụ
ỉ

k

ễ

Dk



ỉệ

ề



ỉ

ễ



ề

éủ ẹ

ề
ểề

ủ

Dk

ũẹ ì ề

ỉ

D ()

à

ặ

éủ ẹ

ụ
ì

ỉ ỉ

ễ
ểề

MN ì



ể

ể

ề

E

D ()
ỉ

E D()ák

ỉ

ẹúề

ỉ

ứề

ỉ

ủ



MN , (N = 0, 1, 2...)


à

ặ

{j }

ểẹễ

à



ì

èệểề

ề

ề

ỉ
ũ



í ỉệểề

i j

ỉ

D ()
N

ỉ

{j } Dk

D () ỉ

ễ



suppj

ủ

D j

ỉ



í

ỉ

ề





úí

é
ỉểụề ỉ




ề
ễ



ẹ ề
ề

D



ẹ

ỉ

ễ

= 0 (N = 0, 1, 2...)


ẹ
ỉ

ỉ ỉ

ễ
ểẹễ

ỉệểề
éủ ẹ

ỉệ ề
ỉ ụề

ỉ

K ềủể

j0

ẳ



D ()á ẹ

ẹ ề



i,j

ỉ

ếũ ẵẵ


úí

{j } 0 ỉệểề

ặ

ề

ỉ

K ủ lim

ỉ



à

éủ ẹ



ẹ

ẵ ẳ

ĩừ é

ề ỉ
ỉ

D ()ủể


ề ắ


ề

ắẵ

ề
ụ
ủẹ ìí ệ ề



ề

ề ề

ề
ụ

ắẵ

ỉ

ừề

ủẹ ìí ệ

ỉí ề ỉ ề



ề

D ()

í ẹ ỉ ễ

ẹ

ủẹ ỉí ề ỉ ề à

u : D () C
u () u () = u,
éủ ẹ ỉ

ủẹ ìí ệ ề

ỉ ễ
ểẹễ
ỉ

K á

ỉ



ể ề

ẹ ỉ ì

ậ
ệỉịà ĩụ
ỉ



c0

ề

ủ ẹ ỉ ì

ỉệ ề

áề

ề í ề

ề

ẹ
ẹ ặ

ì ể
ể

| u, | C.
ẻ

supp K

ẹ ỉ

ề

ềá

||N

sup | |, D () .

è ễ ỉ ỉ
ũ
ụ
éủ

ề

ủẹ ìí ệ ề

ề
ụ

ĩụ

ủẹ ìí ệ ề

ề

ỉệ ề



ỉệ ề é ễ ỉ ủề
á ủ

éủ

D ()
ủể
ẻ

f



ắẵ

éủ ẹ ỉ

ề
ụ

ủẹ é

ề
ủẹ ì

ắẵà ỉ
é

ĩỉ ẹ ỉ ì

ề ỉ
ỉệ ề

ề ỉ
ỉệ ề





éủ
ụ
f

ẵ

 ì
ủẹ ìí ệ ề è

éủ ẹ ỉ

ủẹ

ũ ỉ

ỉ íá
ỉệ ề



ũ ì
ề


ẵ

ề

á ỉ



f : D () C

f, =
è

ỉ íá

| f, | =

f (x) (x) dx




ỉ
í
ẻ

f (x) (x) dx


c=


f

éủ



ắắ

ụ

ủẹ

|f (x)| dx sup | (x)| , D ()



ỉ

f





|f (x)| dx c 0
ủẹ ìí ệ ề

|f (x)| | (x)| dx

ẻ í



| f, | c sup | (x)| , D ()


ể ề

ậ
ệỉị

Lp () , 1 p <

ỉệểề

ề

éủ
ụ

ủẹ ìí ệ ề



f, =

f (x) (x) dx, D ()


ẻ



ắ ủẹ
í

ủẹ

ẻ

éỉ



Rn

: D (Rn ) C

ề ề

ề



éủ

ủẹ

éủ ẹ ỉ

ĩụ

ũ é

() = , = (0)

ề
ề ỉ

ẹ

ủẹ ìí ệ ề



éủ

supp K

ủẹ ìí ệ ề

ệ

ệ
à

ắ



Rn

ể



éủ

ủẹ ìí ệ ề á

ủẹ

|x| : D (R) C
|x| (x) dx

|x| , =
R


ễ ủ

| , | = | (0)| 1. sup | (x)| , D (Rn ) ẹủ supp K á K

ểẹễ
ỉ ỉệểề
ẻ

ệ

D (Rn )

ạ
ểẹễ
ỉ ỉệểề
í

ạ

supp K á éủ ỉ

ễ
ểẹễ
ỉ ỉệểề

R


½

Ì



|x| φ (x) dx ≤

| |x| , φ | =

R

R

R

R

R





= sup |φ (x)| 
K

K

c=

|x|dx ≥ 0

K



|x| sup |φ (x)| dx = sup φ (x) 

≤

Ø

|x| |φ (x)| dx


R

|x|dx

|x|dx .

Ý

| |x| , φ | ≤ c sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (R) .
K

|x| Ðñ Ñ

Ú Ý

Ø

Ò Ð ¾º½º
×ÙÝ Ö

Ò

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò º

Å

Ø Ô

Ñ

ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò

u

Üô

Ò

ØÖ Ò

D (Ω)

Ðñ Ñ

Ø

ñÑ

Úñ

lim u, φj = 0.

j→∞
Ú

Ñ

óÝ

Ò Ò

{φ}j

¾º¾º

¾º

ô

Ù

¼ ØÖÓÒ

D (Ω)¸

j → ∞º

f ∈ D′ (Ω)

Ó

½º ÀñÑ ×ÙÝ Ö Ò

f |K = 0 Ò

Ø Ø

f



Ðñ

÷Ò

¼ ØÖ Ò Ø Ô Ñ

f, φ = 0, ∀φ ∈ D (K)º

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

f



Ù

suppf

K ⊂ Ω

Üô

Ù Ðñ

Ò

supp f = Ω\ (∪ {K ⊂ Ω, f |K = 0})
ØÖÓÒ
Æ Ù

f

à Ñ

suppf

ô
ÓÑÔ
غ Ì Ô

ε′ (Ω)º

Úñ ù
ÓÑÔ
غ
Ðñ Ø Ô
ÓÑÔ
Ø ØÖÓÒ
Ô
ô

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

Ω


Ø

Ø

Ò

f

Ðñ

ô
ÓÑÔ
Ø

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò


Ù




½

Æ

Ú Ý¸

ØÖ Ò

Ø

Ý

D′ (Ω)

Ðñ

Ò

Ò Ð

Ò

D (Ω)

Ô

ØÖ Ò

ô
Ô Ô ØÓôÒ × Ù

½º È Ô
Ò
Ó

Ø

ô

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

f, g ∈ D′ (Ω) Ø

f + g ∈ D′ (Ω)

Üô

Ò

Ø

Ó ÕÙÝ Øú

f + g, ϕ = f, ϕ + g, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω)
¾º È Ô Ò
Ó

Ò Ñ Ø ×

Ú

Ñ Ø

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

f ∈ D′ (Ω) Úñ λ ∈ R Ø

λf ∈ D′ (Ω)

Üô

Ò

Ø

Ó ÕÙÝ Øú

λf, ϕ = λ f, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω)
Î

D′ (Ω) ØÖ

Ô Ô ØÓôÒ ØÖ Ò Ø

¿º À

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

À

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

÷Ò

Ò

Ø ñÒ

Ñ Ø

Ò

Ò ØÙÝ Ò Ø Ò º

Ù

f, g ∈ D′ (Ω)



Ðñ

÷Ò

Ò

Ù Ò Ù

f, ϕ = g, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω)
º

õÓ

ñÑ

Ò Ò

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

¾º¿º

Dα f, ϕ = (−1)|α| f, Dα ϕ , ϕ ∈ D (Ω)

ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò
õÓ

Æ Ù

f ∈ D′ (Ω) , α = (α1 , α2, ..., αn) ∈ Zn+ º

Ó

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

Ô

| f, ϕ | ≤ c φ

α

Ú

Ñ

φ ∈ Dk

| Dα f, φ | ≤ c Dα φ
Dα f

Ó
Î

Ñ

Ðñ

f

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

ØÖÓÒ

Ωº Ã

È


Ù Ðñ

Ñ
Ðñ

Dα f

Ø

N

≤c φ

N +|α|

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

f ∈ D′ (Ω)¸

Ñ

Dα Dβ f = Dβ (Dα f )

α, β ∈ Zn+¸

Ø



Ò

Ø



Dα+β f =


½

Î



Ý

¾º

º

ÀñÑ À

Ú ×


 1, x > 0
H (x) =
 0, x ≤ 0

H : R → {0, 1}, Ω = Rº

H ∈ D′ (R) Úñ H (x)

Ö Ò

Ì

Ø

Ý

ò Ø

H (x) ∈ L1loc (R)

Ô

Ò

H (x) φ (x) dx =

H, φ =

RÒ

−∞

ñÑ ×ÙÝ

Ò

φ (x) dx
0

Dα H, φ = (−1)|α| H, Dα φ , φ ∈ D (R)



Ò

+∞

+∞

Ì

ØÖ Ò

Üô

Ý

+∞

DH, φ = (−1)1 H, Dφ = −

−∞
+∞

0

=−

−∞

H (x) Dφ (x) dx

0.Dφ (x) dx −

0

+∞

1.Dφ (x) dx = −

1.Dφ (x) dx
0

= φ (0) = δ, φ , ∀φ ∈ D (R)

= φ (x)|+∞
0
DH = δ

Î Ý
Î



¾º

f

º

ÀñÑ

Ðñ

ñÑ



f : R∗ → R Ú

Ò

ØÖ Ò

f (x) = log |x| Ì

ò Ø

Ô

Ú

Rº

Ó

f

x → log |x|
Ðñ Ñ Ø

+∞

f, φ =
−∞
Ì

Ø Ò

Df º

Ò

ÒñÝ Ø

f (x) φ (x) dx, ∀φ ∈ D (R)

Ò



Ù

1
º Ì
x

Dα f, φ = (−1)|α| f, Dα φ , ∀φ ∈ D (R)

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò


½

Æ Ò

+∞

Df, φ = (−1)1 f, Dφ = −

−∞

+∞

log |x| Dφ (x) dx

=−

−∞
0

+∞

=−

log |x| Dφ (x) dx −

−∞



ε→0

−∞

Ô

Ò Ø

u = log |x|¸ dv =
Ø Ù

log |x| Dφ (x) dx

0

−ε

= − lim+ 
Ø

f (x) Dφ (x) dx

ε

Dφ (x) dx

Úñ ôÔ





−ε

= lim+ 
ε→0

+∞

φ (x)
dx +
x

−∞

Ò

ε→0
Ø

Ò

Ò

ØÖ Ò Ø



D′ (R) \L1l og (R)º

Ðñ

Ò

Ø

Ø

Ô

Ò Ø Ò

ε

lim+

ε→0

ô ØÖ

Ò

Ø

Ò

−ε
−∞


Ø

Ø





Ø

φ(x)
x dx
Ø

Ô

Ò

+∞

+
Ò

−∞

ε

ε

φ (x)
dx +
x

ñÑ

1
x
1
x

1
x

õÒ

∈ D′ (R)

φ(x)
x dx

ε
+∞

+∞

Ý

Ò
Ò

−ε



φ (x) 
dx
x

φ (x) 
dx
x

lim+ [φ (ε) − φ (−ε)] log ε = 0¸

ÙØ

Ò



ε→0

Æ Ò

log |x| Dφ (x) dx

log |x| Dφ (x) dx +

Df, φ = lim+ [φ (ε) − φ (−ε)] log ε +

ÌÖÓÒ



+∞

φ(x)
x dxº

Ò
Ø
Ðñ

Ø Ù

Ô

Òº ÌÙÝ Ò

Dlog |x|¸
+∞



L1loc (R)º

Ù

−∞

Ò

Ò

Ø Ù

φ(x)
x dx¸




½

¾º¾º

Ã

Ò

Ò
ô

ñÑ ×ÙÝ Ö

Ò Ò
Üô
Ú

Ò

¾º º Ã

Ò

Ø

Ò

Ò

Úñ

Ò

Ò
ô

Ñ

(Rn ) Ðñ

f

ñÑ ×

òÑ Ò



ÒS

Ò

Ø Ô
ô

ñÑ

ØÖ Ò

Rn

Ò

Ò ØÙÝ Ò Ø Ò

× Ó
Ó

C0∞ (Rn )

ÓÒ

xα Dβ f (x)



Ò ØÖ Ò

Rn

α, β ∈ Zn+º

Ñ

S (Rn ) = f ∈ C ∞ (Rn ) | xα Dβ f (x) < cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Z+n
Ã

Ò

Ò

S (Rn )

ØÖ Ò

f
ô
Ô

Ò Ø

S (Rn )
Î







¾º

Ò Ò

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

Ø Ò



Ñ

Î Ý
ØÖ Ò

S (Rn )



Ò

Ò
ô

ô
Ô
Ø Ò





Ðñ

Ðñ Ð

Ò Ø

Å Ò

Ø Ù

S (R) Ú

Ò

ñÑ

Ð

Úñ

¾º½º ôÒ

Ò

T ∈ S ′ (Rn )º

Ò

º Ã

Ò

Ò



Ðñ

Ò º

n ∈ Z+

Ñ

Ò Ø
ØÖ Ò

Ò ØÙÝ Ò Ø Ò

ñÑ

S (Rn )



ô

T : S (Rn ) → C Ð

T (fn ) → T (f ) ØÖ

T (fn) − T (f ) = T (fn − f )
Ò

òÑ Ò

ñÑ ×ÙÝ Ö Ò

S ′ (Rn )

S (Rn )¸ Ø
Ð

Ò Ø
Ø

Üõ ØÙÝ Ò Ø Ò

|T (f )| ≤ f
Ø

òÑ Ò

ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò

Ѻ Ã

ñÑ

ñÑ

Úñ

(fn − f ) → 0 ØÖ



Ñ

Ù Ðñ

S (Rn )¸ Ò
Ì

Ðñ
ô

2

T ∈ S ′ (Rn )

¾º½º

x∈Rn

f (x) = xn e−x

¾º º

ô

= sup xα Dβ f (x) , ∀α, β ∈ Z+n .

α,β

Ðñ

ÀñÑ ×

º

ô

Ù Ò

Ø

Ý Ñ

Ò

Ò Ø
Úñ

Cº

Úñ

fn → f

Ø ôÒ

ØÖ Ò

α,β , ∀f

S (Rn )

Üõ ØÙÝ Ò Ø Ò

ØÖ Ò

0 ∈ S (Rn )º

T : S (Rn ) → S (Rn ) Ø
∈ S (Rn ) , ∀α, β ∈ Z+n

fn → f

ÑóÒ

Úñ

S (Rn )


¾¼

Ò

Ñ Ò

¼º Ì

ôÔ

º

Ø Ú Ý¸ Ò Ù

n → ∞¸ Ò

Ò

´¾º½µ¸

fn → 0 ØÖ
Ðñ

Î Ý

T ∈ S ′ (Rn )º

Ò Ò

¾º º

Î

T

Ò

Ð

Ò

Ø

S (Rn ) Ø

fn

Ò

α,β

T

Ñ Ò

Ð

Ò Ø
Øõ

→ 0 Úñ T f ≤ f

α,β

→0

Ò Ø
ØõÓ ¼º

k, m ∈ Z+ , f ∈ S (Rn )º

Ñ

Ò

f

=

k,m

f

Ø

α,β

|α|≤k
|β|≤m
Ù Ò ÒñÝ ØÖ Ò

(k ′′ , m′′ ) Ø

S (Rn )
f

¾º¾º fn − f

Ò

f

Ò

Å Ò
Ò

Ø

Ò



¾º¾º
Ø

Ò



α,β

→ 0Ú

Ðñ Ú

k,m , ∀f

α, β ∈ Zn+

Ñ

Ðñ Ñ

Ñ

Å Ò

Å

Ø Ô

Ñ

ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò

Úñ

k,m , ∀f

¾º¿º

Ó

Ø

Ñ

(k ′, m′ ) Úñ

∈ S (Rn )

Å Ò

ñÑ ×ÙÝ Ö

ØÖ Ò

Ì ØÖ Ò
Ú

ôÒ



Ò

Ø

Ò

Ò

Ñ Ò

Üõ ØÙÝ Ò Ø Ò

℄ ØÖ Ò

º

k,m

S (Rn ) Ðñ

→ 0

Ðñ Ñ

k, m ∈ Z+

Ñ

Ñ

ØÖÓÒ

k,m

S (Rn )

g (x) f (x) dx


ØÖ Ò

fn

Ú

∈ S (Rn )

g ∈ L2 (Rn ) Ø

fn − f

Úñ

ñÑ ØÙÝ Ò Ø Ò

c>0

Ò Øõ

Tg : f →
S (Rn ) Ðñ

Ñ

T (fn ) → 0

Úñ

Ø Ô

Ñ

|T (f )| ≤ c f

ØÖ Ò

≤ f

k ′′ ,m′′

k, m ∈ Z+º
Ö

Ò ¸ Ò

ÑóÒ

k ′ ,m′ ,

k, m ∈ Z+ ¸ Ò

Ñ

×ÙÝ Ö

Ø

(k, m) Ññ k ≥ max {k ′, k ′′ } , m ≥ max {m′ , m′′ }º

Ñ

0Ú



(k, m) Ø

Ø Ò Øõ

max

Ú

Ø Ò

Ø

Ú

→
ñÑ

Ñ

ñÑ ×ÙÝ
Ø

ÑóÒ


Ò ¿
Ò

ÓÙÖ Ö

¿º½º

Ò

Ò Ò
Ðñ

ñÑ ×

ÓÙÖ

¿º½º
Üô

Ò

ÓÙÖ

Ö

Ò Ð ¿º½º

ò ×

f ∈ L1 (R) Ø

Ò Ø
Ø

Ò Ú

¼ Øõ

Ò

Ú

Ñ Ò

º

¼

Ø

øÒ

Ù Ø

n → ∞º Î

Ó

f

Ð

Ff

Ý

f

Ø

e−iλt f (t) dt, λ ∈ R.

−∞

f ∈ C0 ¸ Ú

∞

Ú Ý

Ò Ø
º

Ô

Ò

Ò
ô

ñÑ ×

1
f 1.
≤√
2π

×ÙÝ ØÖ
Ø

Ò

C0 Ðñ

Ò Ò

Ô Ø

1
f (tn ) − f (t) ≤ √
2π
ÀñÑ

Ù Ðñ

+∞

º À

f
Ò

f ∈ L1 (R)¸

ñÑ

Ò

1

f (λ) = √
2π

Ð

L1 (R)

Ö ØÖÓÒ

ØÖ Ò

f (tn ) → f (t)

Ò

tn → t Ø

´¿º½µ

+∞

−∞



|f (x)| e−itx dx.
|f (x)| Úñ

Ò
Ó

¾½

Ò

Ò

Ð

Ú

×

Ø Ø Ò
Ø



Ñ Ø
Òº


¾¾

Î

ñÑ ×

x → h (x)¸ Ø

Ù

√
2π f (t) = −

hα

Ðñ

x → h (x − α)º Ã

ñÑ ×

+∞

f (x) e−it(

x+π
t

) dx

−∞
+∞

f πt (x) e−itx dx.

=−

−∞

ËÙÝ Ö

√
2 2π f (t) =

+∞

−∞

+∞

f (x) − f πt (x) e−itx dx ≤

≤ f − f πt
ËÙÝ Ö

f →0

¿º½º

Æ Ù

1

−∞

f (x) − f πt (x) dx

, ∀t ∈ R (t = 0) .

t → ∞º
f ∈ Lp (R) , 1 ≤ p < ∞ Ø

Ú

Ñ

y ∈ R ôÒ

Üõ

F :R → Lp (R)
y → f (y)
Ð

Ò Ø

Ùº

Ò Ð ¿º¾º

Æ Ù

f ∈ L1 (R) Úñ f ∈ L1 (R) Ø
1
g (x) = √
2π

Ã

Æ

Ò ÜØ

Ø



f (x) = g (x)

Ù

ñÑ

g

Üô

Ò

f (λ) eixλ dλ.
R
úÔ Ò

ØÖ Ò

Rº

¿º½º

1
f=√
2π
1
=√
2π

R

1
eixλ f (λ) dλ = √
2π

e−ixλ f (λ)dλ = f
R

e−i(−x)λ f (λ) dλ = f (−x) .
R


¾¿

Î



Ì

¿º½º

Ó

ñÑ



x, −1 ≤ x ≤ 1





 2 − x, 1 < x ≤ 2
f (x) =


0, |x| > 2




 −x − 2, −2 ≤ x < −1



1
f (λ) = √
2π

+∞

e−ixλ f (x) dx
−∞

 −1

1
=√ 
2π

e−ixλ (−x − 2) dx +

−2

Ñ Ø

1

e−ixλ xdx +
−1

1

e−ixλ (2 − x) dx .

ô

−1

−2

e−ixλ (−x − 2) dx = −

−1

e−ixλ (x + 2) dx

−2



= −

−e−iλx
(x + 2)
iλ
−1

−1

−1

+

−2

−2
−ixλ −1

e
e−iλx
(x + 2) + 2 2
iλ
iλ
−2
eiλ eiλ e2iλ
=
− 2 +
.
iλ
λ
4

=

Úñ



2

1
−ixλ

e
−1

−2

e−iλ eiλ e−iλ
eiλ
xdx =
−
−
+
.
iλ
iλ i2 λ2 i2 λ2



e−ixλ 
dx
iλ


ắ

ắ

ẩ

ễ

ề



ề

ề
ụ



ề

ề

ểệ

ủẹ

ủẹ

ũẹ ề

ũẹ ề

L2 (R)

ệ ỉệểề

S (R) éủ ỉệ

ề

ề

f : R C, f C , sup xm

S (R) =

xR

í éủ
ụ
ẹ ề

ề

ẵ



ề

ểệ

ề
ệ

f () = (2)

ể ễ

Ff

ỉệểề

n
2

L2 (R)

ẹ ỉ ỉệểề

dl
f (x) < , m, l
dxl

ề ềủí

S (R)

ĩụ

ề



ề

ỉ



eix f (x) dx, R.
R

ỉ

ụ
ỉệ

ề é

ề

ẹ ề

ề ỉ



è ỉ

ễ ũ éủ ẹ ỉ
í

ề ẹ

ề

ề

ỉ

ứề





L2 (R) L2 (R)

S (R) éủ ẹ

í ệữề

ề


ỉ

ỉ

ề

ề

í

ề

ề ẹ ỉệ

ẹ ỉ
ề ỉệ ề

ề

ề

ề

=

k

f



ề ề

ề

ề

S

dp
.
sup x
dxq
xR

p

p+qk

S (R)

ề

ề
à

f
ẻ íá

ỉ

k éủ ẹ ỉ

ề

ề

ề

à
ề

ỉ

ề

ề



ề



d (f, g) =

k=1


ề

ẹ ề

ắ

ẵà ỉ

ặ

f

k

ễ ũ éủ ẹ ỉ
ềà ẹủ éủ ẹ ỉ ẹ ỉệ

f g k
.2k , [0, ).
1+ f g k

ẹúề

éủ ẹ

ỉ

ỉ


ỉ

ểũề

ụ



ỉ

ỉ ẹ

ềá

d (f, g) =
éủ ẹ

ứề

f g
1+ f g

ụ
ỉ



ẵà

ì


ắ

ề ề

ắ

ủẹ ìí ệ ề

éủ ẹ ỉ

ủẹ ỉí ề ỉ ề

ề

df
du
(f ) = u
dx
dx

.

u : S (R) C.
è

ỉ

í

V L2 (R)á ĩụ
u, f =



f (x) u (x) dx,
R


2

L (R) S (R) = {u : S (R) C}

ẻ

ề

0 : S (R) Cá

ắ

H=
ủ

0 (f ) = f (0)

1, x 0
0, x < 0


H (f ) =

y



S (R)

èệểề

d
df
H (f ) = H
dx
dx
F
ỉ



ỉ

f (x) dx, f S (R)

f Hdà =
R

ỉ



ẹ

ệ ề

ỉ

ẹ ỉỉ ễ

=

ễ ỉệ

df
= f (0) = 0 (f ).
dx

0

ẹ ỉ ỉệểề

L2 ủể L2 á

í

á

ề

í ệữề

ặ

fn S (R) , fn f á ỉệểề L2 (R) ỉ
fn fm

ẻ íá ễ ễ

2

F

ề

= 2 fn fm
L2

ỉệểề



ỉ

F fn = f
2

ỉ

ẹúề

0, n .

ĩụ

ề

F f = lim fn ; f = lim fn , fn S (R) .
n

n

ẻ íá
ậ


ặ

F : S (R) S (R) L2 (R)

ể

ỉệ

ẹ ỉ



ề

ề

ụ

ẹ ề

í

ủẹ

ề
ụ

ềủíá

f n Sn

ể ẹ

fn f, n

ề

ủẹ ậ
ệỉị

ỉ

ềễ ũ

f L2 (R)

ề

ẹ ề

ì

ỉ ề ỉừ

ẹ ỉ

¾

Ò Ð ¿º¿º

Æ Ù

fn′ → f, fn′ ∈ S ¸
lim fn = lim fn = f
n→∞

n→∞
Ø

Ff
Ò

Üô

Ñ Ò

º

Ò

ÙÝ Ò

fn′ → f, ⇒ fn′ − fn → 0 ØÖÓÒ L2 (R)¸ Ø
f ′n − f

Ò

Ñ Ò

½

fN → f
Ì

Ð

Æ Ù

L2 (R)

Ø Ú Ý

2

= (2π) f ′n − f

S (R) Ðñ ØÖ

Ö÷Ò
Ò

ØÖÓÒ

L2 (R)º

Ø ØÖÓÒ

Ñ Ø ØÖÓÒ

f ∈ L2 (R)

Úñ

N → ∞º

2

Ù Ö÷Ò

→ 0.

L2 (R)º
Ñ Ø Ó ¾
 f (x) , |x| ≤ N
fN (x)
 0, |x| > N


×ÙÝ Ö


 0, |x| ≤ N
2
||f − fN | | =
 −f (x) , |x| > N

Úñ

f − fN

2

|f (x)|2 dx → 0

=
|x|≥N

N →∞Ú f
¾ Æ

Ó Ò
Ø
Ø

Ù

Ò

Ò

Ô

Ò

Ò

Ú

Ø
ô

g (y) = f (2Ry)¸
Ò Ò Óñ

Ã

¸ Ø

Ò



ò Ø
º
Ý
ô

Ø

Ø ÕÙò ØÖÓÒ

g=
Ø ØÖÓÒ
ÀñÑ

×úÔ Ü Ô¸ ØÖ Ò

[−1; 1] , g ∈ L2 (R)º


Ò Ù

ØÖ Ò ØÖÓÒ

L2 (R)



S (R)º

óÝ ØÖÓÒ
Ò

ñÑ

Ò

ÓÙÖ

Ðõ
ô

ñÑ

g

×

ØÖ

Ö

Cneiny

L2 º

C ∞ : gm (y) =

L2 ([−π; π])º

|n|≤m

Cn einy ∈ C ∞ ([−π; π])

Ø

Ò

g

ØÖÓÒ

Ø