Nửa môđun xạ ảnh trên nửa vành Nđịnh giá được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ NHUNG

NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH
TRÊN NỬA VÀNH N-ĐỊNH GIÁ ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ NHUNG

NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH
TRÊN NỬA VÀNH N-ĐỊNH GIÁ ĐƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN

Nghệ An - 2013

2

MỤC LỤC

Mục lục

2

Mở đầu

3

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1. Những kiến thức cơ sở về nửa vành . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Những kiến thức cơ sở về nửa môđun trên nửa vành

8

. . . . . . .

2 Nửa môđun tự do. Nửa môđun xạ ảnh

15

2.1. Nửa môđun tự do. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Nửa môđun xạ ảnh.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Nửa môđun xạ ảnh trên nửa vành N-định giá được

22

3.1. Nửa vành N-định giá được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2. Nửa môđun xạ ảnh trên các nửa vành N-định giá được.

. . . . . 30

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


MỞ ĐẦU

Những khảo sát khác nhau về tính tự do của nửa môđun xạ ảnh trên một
vành dẫn tới nhiều kết quả ấn tượng: Định lý Quilen - Suslin đã góp phần
minh hoạ cho giả thuyết nổi tiếng của Serre về sự trùng nhau của lớp môđun
tự do và môđun xạ ảnh trên các vành đa thức với hệ tử trên một trường. Hiện

nay đã có một số kết quả liên quan đến tính tự do của các nửa môđun xạ
ảnh trên nửa vành. Năm 1969, P.A. Grillet đã chứng minh được rằng các nửa
môđun xạ ảnh trên nửa vành các số nguyên không âm N là nửa môđun tự do.
Năm 2002, O. Sokratova chứng minh được rằng với nửa vành lũy đẳng cộng
tính, giao hoán và khác không tùy ý S, các S-nửa môđun tự do tạo thành một
lớp con thực sự của lớp các S-nửa môđun xạ ảnh. Năm 2004, Y. Katsov đã
mở rộng các kết quả đó lên một lớp rộng hơn các nửa vành chính quy cộng
tính.
Dựa trên bài báo Projective semimodules over semirings with valuations in
nonnegative intergers của A. Patchkoria đăng trên tạp chí Semigroup Forum
năm 2009, chúng tôi tìm hiểu các nửa môđun trên nửa vành với sự định giá
trên tập các số nguyên không âm N.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba
chương.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi hệ thống các khái niệm và các tính chất của
nửa vành, nửa môđun để làm cơ sở cho việc trình bày các chương sau.


4

Chương 2. Nửa môđun tự do và nửa môđun xạ ảnh.
Trong chương này, chúng tôi trình bày hai lớp nửa môđun liên quan đến
nội dung chính của luận văn, đó là lớp nửa môđun tự do và lớp nửa môđun
xạ ảnh.
Chương 3. Nửa môđun xạ ảnh trên các nửa vành N-định giá
được.
Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm nửa vành N-định giá được và
chứng minh một số tính chất của nửa vành N-định giá được. Sau đó trình
bày một tính chất đáng chú ý của nửa môđun trên nửa vành N-định giá được:

Nếu A là một nửa vành N-định giá được thì mọi A-nửa môđun xạ ảnh là tự
do. Từ định lý này suy ra nhiều hệ quả có ý nghĩa độc lập.
Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Lê Quốc Hán. Thầy đã định hướng nghiên
cứu, thường xuyên quan tâm giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành
luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số khoa Toán - Trường Đại học Vinh đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập và chỉnh sửa luận văn.
Tác giả cũng xin cảm ơn phòng sau đại học - Trường Đại học Vinh và
phòng tổ chức - Trường Đại học Sài Gòn đã tạo mọi điều kiện cho tác giả
hoàn thành khoá học. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn trong
luận văn này còn nhiều sai sót mong muốn nhận được sự chỉ bảo quý báu
của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên.

Nghệ An, tháng 08 năm 2013
Tác giả


CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Những kiến thức cơ sở về nửa vành

1.1.1 Định nghĩa. 1. Tập A khác rỗng được gọi là nửa vành nếu trên nó
đã xác định được hai phép toán cộng và nhân sao cho các điều kiện sau đây
được thỏa mãn:

(i) (A, +) là một vị nhóm với đơn vị là 0;
(ii) (A, .) là một nửa nhóm;
(iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng;
(iv) 0.a=0=a.0, ∀a ∈ A.
2. Nửa vành A được gọi là nửa vành với đơn vị nếu (A, .) là vị nhóm với
đơn vị 1 = 0.
3. Nửa vành A được gọi là nửa vành giao hoán nếu phép nhân trong A có
tính chất giao hoán.
4. Nửa vành A được gọi là nửa vành bất khả đối nếu từ a + b = 0 kéo theo

a = b = 0 (a, b ∈ A).
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử A là nửa vành. Khi đó tập con khác rỗng B của A
được gọi là nửa vành con nếu B cùng với phép toán của A cảm sinh trên B là
nửa vành. Điều này tương đương với 0 ∈ B , a + b ∈ B và ab ∈ B , ∀a, b ∈ B .
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử A là nửa vành.
Ký hiệu


6

I + (A) := {a ∈ A | a + a = a}
I X (A) := {a ∈ A | a2 = a}
tương ứng là tập hợp các lũy đẳng cộng tính và nhân tính của A. Thế thì A
được gọi là nửa lũy đẳng nếu I(A) = A, trong đó I(A) = I + (A)

I X (A).

2. Phần tử a ∈ A được gọi là phần tử vô hạn nếu a + x = a, ∀a ∈ A,

∀x ∈ A.

Nếu A có phần tử vô hạn của nửa vành A thì phần tử vô hạn đó phải duy
nhất. Thật vậy, giả sử a, a’ là hai phần tử vô hạn của A thì a = a + a =

a +a = a . Nếu A có đơn vị thì 0 không phải phần tử vô hạn, vì 0+1 = 1 = 0.
3. Nửa vành A được gọi là nửa vành đơn nếu và chỉ nếu 1 là phần tử vô
hạn, nghĩa là 1 + a = 1, ∀a ∈ R.
Giả sử A là nửa vành đơn. Khi đó 1 + 1 = 1 nên a + a = a, ∀a ∈ A, nghĩa
là A là nửa vành lũy đẳng cộng tính. Đảo lại, nếu A là nửa vành luỹ đẳng
cộng tính thì tập hợp B = { a ∈ A |a+1=1} là nửa vành con của A và do
đó A là nửa vành đơn nếu và chỉ nếu B = A.
4. Giả sử A là nửa vành tùy ý. Ký hiệu:

P (A) := {0} ∪ {a + 1 | a ∈ A}
Thế thì P(A) là nửa vành con của A. Theo nhận xét trên, A là nửa vành đơn
nếu và chỉ nếu P (A) = {0, 1}.
1.1.4 Ví dụ. 1. Tập hợp N các số nguyên không âm với phép toán cộng và
phép nhân các số thông thường là một nửa vành giao hoán, bất khả đối và
không lũy đẳng cộng tính. Cùng một cấu trúc như vậy là nửa vành Q+ tất
cả các số hữu tỷ không âm, nửa vành R+ tất cả các số thực không âm.
2. Ta nêu lên một nửa vành hữu hạn mà không phải một vành. Với mỗi
số nguyên dương n xét tập hợp Xn := {−∞, 0, 1, . . . , n} gồm n + 1 phần tử,


7

với giả thiết rằng −∞ ≤ i và (−∞) + i = −∞, ∀i ∈ Xn .
Định nghĩa phép cộng và phép nhân trong Xn bởi:

i + h = max{i, h}, ih = min{i + h, n}.
thế thì Xn là một nửa vành giao hoán và bất khả đối nên không phải là một

vành (Smith, 1996).
1.1.5 Chú ý. Giữa lý thuyết dàn và lý thuyết nửa vành có mối liên quan
chặt chẽ với nhau. Giả sử (A, ∨, ∧) là nửa dàn phân phối giới nội có phần tử
nhỏ nhất duy nhất 0 và phần tử lớn nhất duy nhất 1 thế thì A là một nửa
vành đơn lũy đẳng giao hoán với phép toán trong A cho bởi a + b = a ∨ b,

ab = a ∧ b. Thực ra, các tính chất này đặc trưng duy nhất các dàn phân phối
giới nội: Nếu A là một nửa vành giao hoán và lũy đẳng, thế thì (A, +, .) là
một dàn phân phối giới nội và phần tử nhỏ nhất 0 và phần tử lớn nhất 1.
Đặc trưng của dàn phân phối giới nội như sau: (A, ∨, ∧) là dàn phân phối
giới nội có phần tử nhỏ nhất duy nhất 0 và phần tử lớn nhất duy nhất 1 nếu
và chỉ nếu nó là một nửa vành lũy đẳng và a ∧ (a ∨ b) = a ∨ (a ∧ b), ∀a, b ∈ A.
Vì dàn đối ngẫu của một dàn phân phối là một dàn phân phối, nên (A, ∧, ∨)
cũng là một nửa vành đơn, giao hoán và lũy đẳng.
1.1.6 Định nghĩa. Một gian là một dàn đầy đủ mà trong nó giao phân phối
trên hợp tùy ý.
Ví dụ đơn giản nhất của gian là B = {0, 1}. Nửa vành được xây dựng từ
gian B = {0, 1} được gọi là nửa vành Bun. Chú ý rằng cấu trúc của nửa vành
Bun khác với cấu trúc của nửa vành Z2 , vì trong B có 1 + 1 = 1, còn trong
Z2 có 1 + 1 = 0.
1.1.7 Định nghĩa. (i) Giả sử A là nửa vành và a ∈ A, a = 0 . Khi đó a được
gọi là ước của không bên phải (bên trái) nếu tồn tại phần tử b ∈ A, b = 0 sao
cho ab = 0 (tương ứng ba = 0). Phần tử a ∈ A, a = 0 được gọi là ước của


8

không nếu nó vừa là ước của không bên phải, vừa là ước của không bên trái.
(ii) Nửa vành A được gọi là nguyên nếu A không có ước của không.
1.1.8 Tích trực tiếp. Giả sử {Ai | i ∈ I} là họ các nửa vành. Thế thì tích

trực tiếp A =

Ai có cấu trúc nửa vành với các phép toán cộng và nhân
i∈I

theo thành phần:

(ai )i∈I + (bi )i∈I = (ai + bi )i∈I ;
(ai )i∈I .(bi )i∈I = (ai .bi )i∈I .
Rõ ràng nửa vành A lũy đẳng cộng tính (bất khả đối, đơn) nếu mỗi nửa
vành Ai là lũy đẳng cộng tính (tương ứng: bất khả đối, đơn).
1.1.9 Chú ý. Nếu S = 0 và A là nửa vành thì As là nửa vành, được gọi là
nửa vành các tập con của S nhân giá trị trên A.
Tên gọi này xuất phát từ thực tế sau: Mỗi tập con T của S xác định một
hàm đặc trưng χt ∈ T s cho bởi χt = 1 nếu s ∈ T và χt (s) = 0 với s ∈ S \ T .
Như vậy T s có thể đồng nhất chính tắc với nửa vành sub(s) tất cả các tập
con của S.
Nếu f ∈ As thì giá trị của f là supp(f ) = {a ∈ A | f (a) = 0}.
Giả sử S là một tập vô hạn và A là một nửa vành, thế thì tập con {f ∈

As | f có giá hữu hạn} là một nửa vành con của As nhưng không chứa đơn
vị của phép nhân. Nếu A là nửa vành nguyên bất khả đối thì tập con

{0} = ∪{f ∈ As | f ∈ S \ supp(f ) hữu hạn}
là một nửa vành con của As .

1.2

Những kiến thức cơ sở về nửa môđun trên nửa vành

1.2.1 Định nghĩa. Giả sử A là nửa vành với đơn vị là 1. Khi đó vị nhóm
cộng giao hoán (X, +) được gọi là A-nửa môđun trái nếu xác định được một
phép nhân vô hướng A × X → X , (a, x) → ax thỏa mãn các điều kiện sau
đối với mọi a, a ∈ A và mọi x, y ∈ X :


9

(i) (aa )x = a(a x);
(ii) a(x + y) = ax + ay ;
(iii) (a + a )x = ax + a x;
(iv) 1x = x;
(v) a0 = 0a = 0, trong đó 0 là đơn vị của vị nhóm cộng X.
Nửa môđun phải được định nghĩa tương tự. Từ đây về sau, chúng ta sẽ
làm việc với các nửa môđun trái, nhưng các kết quả tương ứng đối với các
nửa môđun phải được thừa nhận mà không cần nhắc đến.
1.2.2 Định nghĩa. Giả sử A và B là các nửa vành. Thế thì (X, +) được gọi
là một (A,B)-song nửa môđun nếu (X, +) vừa là một A-nửa môđun trái đồng
thời là một B-nửa môđun phải thỏa mãn điều kiện bổ sung (ax)b = a(xb),

∀a ∈ A, ∀b ∈ B .
1.2.3 Định nghĩa. 1. Giả sử X là A-nửa môđun và x ∈ X . Nếu tồn tại

x ∈ X sao cho x + x = 0 thì x được gọi là một nghịch đảo cộng tính của x.
2. Ký hiệu V (X) = {x ∈ X | ∃x ∈ X : x + x = 0}. Vì 0 ∈ V (X) nên

V (X) = 0.
3. Một A-nửa môđun được gọi là bất khả đối nếu V (X) = {0}. Rõ ràng nếu
A là vành và X là A-nửa môđun thì X là A-môđun nếu và chỉ nếu V (X) = X .
1.2.4 Định nghĩa. 1. Giả sử X là A-nửa môđun và Y là tập con khác rỗng

của X. Khi đó Y được gọi là nửa môđun con của X nếu Y đóng dưới phép
cộng và phép nhân vô hướng, nghĩa là: ∀x, y ∈ Y , ∀a ∈ A có x + y ∈ Y và

ax ∈ Y .
2. Giả sử X là A-nửa môđun. Trên tập hợp các nửa môđun con của X ta
sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm. Tập sắp thứ tự các môđun con của X được
ký hiệu bởi ssm(X). Một nguyên tử của ssm(X) là một môđun con tối tiểu
của X.
1.2.5 Chú ý. Giả sử X là một A-nửa môđun và Y là một nửa môđun con


10

của X. Giả sử x ∈ X . Khi đó (Y : x) = {a ∈ A | ax ∈ Y } là một iđêan trái
của A.
Tổng quát hơn, nếu Z là một tập hợp con tùy ý khác rỗng của X và Y là
nửa môđun con của X thì ta sẽ dùng ký hiệu (Y : Z) := ∩{(Y : z) | z ∈ Z}.
Để thuận tiện, ta viết (0 : Z) thay cho ({0} : z). Vì giao của một họ tùy
ý các iđêan trái là một iđêan trái nên (Y : Z) là một iđêan trái của A.
1.2.6 Ví dụ. 1. Các N-nửa môđun chính là các vị nhóm cộng giao hoán.
Nói riêng, nếu P là tập hợp các số nguyên dương thì Z\P là một N-nửa
môđun. Cũng vậy, mỗi nửa vành A là một N-nửa môđun.
2. Nếu (X, +) là vị nhóm lũy đẳng giao hoán thì X là N-nửa môđun trái
với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi 0x = 0X , ∀x ∈ X và kx = x,

∀x ∈ X , ∀k ∈ N (k > 0).
3. Giả sử X là A-nửa môđun trái và S là một tập hợp khác rỗng. Thế thì

X s là A-nửa môđun trái với phép cộng và phép nhân vô hướng được định
nghĩa theo phần tử như sau:

Nếu f, g ∈ X s và a ∈ A thì (f +g)(s) = f (s)+g(s), (af )(s) = a[f (s)],∀a ∈

S.
Khi đó X (s) = {f ∈ X s | f có giá hữu hạn} là một nửa môđun con của
nửa môđun X s .
4. Giả sử B là nửa vành Bun. Khi đó hàm α : B → R+ ∪ {∞} được gọi là
độ đo trên B nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) d(b ∨ b ) = d(b) + d(b ) nếu d ∧ d = 0 trong B;
(ii) d(b) = 0 nếu và chỉ nếu b = 0;
(iii) Nếu {bi } là một dãy phủ b trong B thì d(b) = sup{d(bi )} trong R+ .
Họ tất cả các độ đo trên B là một song-nửa môđun con của (R+ , R− )-song
nửa môđun (R+ )B .
1.2.7 Định nghĩa. 1. Giả sử X là A-nửa môđun trái và {Xi | i ∈ I} là họ
các nửa môđun con của X. Thế thì ∩{Xi | i ∈ I} là một nửa môđun con của


11

nửa môđun X và là nửa môđun con lớn nhất của X chứa trong mỗi Xi . Nói
riêng, nếu S là một tập con của A-nửa môđun trái X thì giao tất cả các nửa
môđun con của X chứa S là một nửa môđun con của X. Đó là nửa môđun
con nhỏ nhất của X chứa S, và được gọi là nửa môđun con sinh bởi S. Nửa
môđun con này chính là tập hợp

AS = {a1 s1 + a2 s2 + ... + an sn | ai ∈ A, si ∈ S}n∈N
Nếu AS = X thì S được gọi là tập sinh của X.
2. Tập con tùy ý của một tập sinh của X chứa một tập sinh tối tiểu (quan
hệ thứ tự là quan hệ bao hàm). Nếu AS = X với S hữu hạn thì X được gọi
là nửa môđun hữu hạn sinh. Một phần tử tùy ý của nửa môđun con sinh bởi
S là một tổ hợp tuyến tính các phần tử sinh thuộc S.

3. Hạng của một A-nửa môđun con trái X là bản số nhỏ nhất n sao cho
tồn tại một tập các phần tử sinh của X có lực lượng bằng n.
1.2.8 Định nghĩa. Giả sử X và Y là các A-nửa môđun. Khi đó ánh xạ

α : X −→ Y được gọi là A-đồng cấu nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) α(x + x ) = α(x) + α(x ), ∀x, x ∈ X ;
(ii) α(ax) = aα(x), ∀a ∈ A, ∀x ∈ X .
Tập con α−1 (0X ) := {x ∈ X | α(x) = 0Y } được gọi là hạt nhân của α và
được ký hiệu bởi Ker(α).
Tập con α(X) := {α(x) | x ∈ X} được gọi là ảnh của α và được ký hiệu
bởi Im(α).
Trực tiếp kiểm tra được rằng Ker(α) là nửa môđun con của X và Im(α)
là nửa môđun con của Y.
1.2.9 Ví dụ. Giả sử A là nửa vành và {Xi | i ∈ I} là họ các A-nửa môđun
trái. Giả sử X là tích trực tiếp các nửa môđun Xi , i ∈ I có cấu trúc dưới
phép cộng và phép nhân vô hướng theo thành phần. Ký hiệu X =

Xi .
i∈I

Giả sử Y := {< xi >∈

Xi | xi = 0 đối với tất cả trừ một số hữu hạn
i∈I


12

chỉ số i }. Khi đó X là A-nửa môđun trái và Y là nửa môđun con của X. Nửa
môđun con Y này được gọi là tổng trực tiếp của các nửa môđun Xi , i ∈ I và

được ký hiệu bởi Y =

Xi .
i∈I

Đối với mỗi k ∈ I , ta có các đồng cấu chính tắc πk :

Xi −→ Xk và
i∈I

k

: Xk −→

Xi được xác định tương ứng bởi πk (< mi >) = mk và
i∈I

k (m) =< ui > trong đó ui = 0 nếu i = k và uk = mk .

1.2.10 Chú ý. Giả sử X và Y là các A-nửa môđun và HomA (X, Y ) là tập
hợp tất cả các A-đồng cấu từ X đến Y.
Với α, β ∈ HomA (X, Y ) xác định ánh xạ α + β : X −→ Y cho bởi

(α + β)(x) = α(x) + β(x), x ∈ X . Khi đó α + β ∈ HomA (X, Y ). Hơn nữa,
HomA (X, Y ) là một N-nửa môđun, nghĩa là một vị nhóm giao hoán với đơn
vị cho bởi θ : X −→ Y , θ(x) = 0Y , ∀x ∈ X .
1.2.11 Định nghĩa. 1. Giả sử X là A-nửa môđun. Khi đó mỗi A-đồng cấu
từ X đến X được gọi là một tự đồng cấu của X.
2. Ký hiệu EndA (X) là tập hợp tất cả các A-tự đồng cấu của X. Khi đó

(EndA (X), +) là một vị nhóm giao hoán.
Xác định phép nhân trên EndA (X) như sau: Với ∀α, β ∈ EndA (X) thì

αβ = β◦α : X −→ X với x(αβ) = β[α(x)], ∀x ∈ X . Khi đó αβ ∈ EndA (X).
Nếu X = {0} thì S = EndA (X) cùng với phép cộng và phép nhân ánh xạ
như trên trở thành một nửa vành và X là một (A − S)-song nửa môđun.
Nửa vành EndA (X) được gọi là nửa vành các A-tự đồng cấu của X.
1.2.12 Định nghĩa. 1. Giả sử X là A-nửa môđun. Khi đó một quan hệ tương
đương ρ trên X được gọi là một quan hệ A-tương đẳng nếu thỏa mãn điều
kiện từ (x, x ) ∈ ρ, và (y, y ) ∈ ρ kéo theo (x + x , y + y ) ∈ ρ, (ax, ax ) ∈ ρ,

∀a ∈ A.
Tập hợp tất cả các A-tương đẳng trên X được ký hiệu bởi A-Cong(X). Các
tương đẳng đồng nhất và tương đẳng phổ dụng trên X được ký hiệu bởi idX


13

và ωX tương ứng.
2. Một A-nửa môđun X được gọi là A-nửa môđun đơn nếu A = {0} và
A-Cong(X)= {idX , ωX }.
3. Giả sử X là một A-nửa môđun. Trên A-Cong(X) xác đinh quan hệ [ ]
cho bởi ρ1 [≤]ρ2 nếu và chỉ nếu ρ1 ⊆ ρ2 . Thế thì [ ] là một quan hệ thứ tự
(bộ phận) trên A-Cong (X), hơn nữa với mọi ρ ∈ A-Cong(X) có idX [ ]ωX .
1.2.13 Định nghĩa. Giả sử ρ là một A-tương đẳng trên A-nửa môđun X.
Với mỗi x ∈ X , ký hiệu ρ-lớp tương đương chứa x là [x]. Khi đó tập thương

X/ρ := {[x]|x ∈ X} cùng với phép cộng [x] + [x ] = [x + x ] và phép nhân
vô hướng a[x] = [ax], ∀x, x ∈ X , ∀a ∈ A trở thành một A-nửa môđun trái.
A-nửa môđun trái X/ρ đó được gọi là nửa môđun thương của X theo tương

đẳng ρ.
1.2.14 Định nghĩa. Giả sử α : X −→ Y là một đồng cấu của các Anửa môđun trái. Khi đó quan hệ α∗ cho bởi (x, x ) ∈ α∗ nếu và chỉ nếu

α(x) = α(x ) là một A-tương đẳng trên X. Tương đẳng α∗ được gọi là tương
đẳng hạt nhân liên kết với A-đồng cấu α.
Chú ý rằng α cảm sinh một A-đồng cấu

α : X/α∗ −→ Y, α ([x]α∗ ) = α(x),
hơn nữa α là một đơn ánh. Từ đó X/α∗ ∼
= Im(α).
1.2.15 Định nghĩa. Giả sử X là một A-nửa môđun và Y là một nửa môđun
con của X. Khi đó Y cảm sinh một tương đẳng ρY trên X cho bởi (x, x ) ∈ ρY
nếu và chỉ nếu tồn tại x ∈ X và y, y ∈ Y sao cho x + y + x = x + y + x
Tương đẳng ρY được gọi là tương đẳng Izuka.
1.2.16 Định nghĩa. Giả sử α : X −→ Y là A-đồng cấu giữa các A-nửa
môđun và α∗ là tương đẳng hạt nhân của α, Ker(α) = {x ∈ X | α(x) = 0Y }
là hạt nhân của α. Khi đó α được gọi là ổn đinh nếu α∗ và ρKer(α) trùng nhau,


14

trong đó ρKer(α) là tương đẳng Izuka liên kết với nửa môđun con Ker(α).
Kết quả sau đây đã được chứng minh trong [4], trang 154.
1.2.17 Mệnh đề. Giả sử α : X −→ Y là một A-đồng cấu ổn định. Khi đó
với mọi số nguyên dương n, αn cũng là đồng cấu ổn định.
Giả sử Y là một nửa môđun con của A-nửa môđun X và ρY là tương đẳng
Izuka. Khi đó nửa môđun thương X/ρY được ký hiệu đơn giản bởi X/Y .
1.2.18 Mệnh đề. Giả sử X là A-nửa môđun và Y, Y’ là các nửa môđun
của X và Y ⊆ Y . Thế thì tương ứng X/Y −→ X/Y , xρY −→ xρY là một
A-đồng cấu toàn ánh và ổn định.

Chứng minh. Xem [4], trang 160.


CHƯƠNG 2

NỬA MÔĐUN TỰ DO. NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH

2.1

Nửa môđun tự do.

2.1.1 Định nghĩa. Giả sử R là nửa vành với đơn vị và M là R-nửa môđun
trái. Giả sử A là một tập con khác rỗng của M, thế thì tồn tại R-đồng cấu

α : R(A) −→ M được xác định bởi α(f ) =

{f (m)m | m ∈ A}.

Tập hợp A là một tập sinh đối với M khi R-đồng cấu này là toàn ánh.
Hơn nữa, α cảm sinh một quan hệ R-tương đẳng ≡α trên R(A) bởi f1 ≡α f2
nếu và chỉ nếu α(f1 ) = α(f2 ) với f1 , f2 ∈ R(A) .
Tập hợp A độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu ≡α là quan hệ bằng nhau,
nghĩa là nếu và chỉ nếu

{f (m)m | m ∈ A} =

{g(m)m | m ∈ A} kéo

theo f = g . Nếu A không độc lập tuyến tính thì A phụ thuộc tuyến tính.
Một tập hợp độc lập tuyến tính các phần tử sinh đối với M được gọi là

một cơ sở của M trên R.
Tập hợp A gọi là độc lập tuyến tính yếu nếu và chỉ nếu Ker(α) = 0.
Các tập con độc lập tuyến tính hiển nhiên là độc lập tuyến tính yếu. Nếu

A không phải là độc lập tuyến tính(yếu) thì A gọi là phụ thuộc tuyến tính
(yếu). Tập con tùy ý của M chứa các tập con phụ thuộc tuyến tính (yếu) là
một tập con phụ thuộc tuyến tính (yếu). Nếu m là một phần tử tùy ý của
nửa môđun M mà là một tổ hợp tuyến tính của một tập con A của M thì

A ∪ {m} là phụ thuộc tuyến tính nhưng không nhất thiết phụ thuộc tuyến
tính yếu.
Một tập con khác rỗng A của một R-nửa môđun M gọi là đạt được tuyến


16

tính nếu và chỉ nếu tồn tại một phân hoạch A = B ∪ C của A thành một
hợp rời các tập con B và C cùng với các hàm khác không f ∈ RB và g ∈ RC
sao cho

{f (m )m | m ∈ B} =

{g(m )m | m ∈ C}.

Một tập con phụ thuộc tuyến tính của M là đạt được tuyến tính nhưng
khẳng định ngược lại có thể không đúng nếu M không phải là một A-môđun.
2.1.2 Định nghĩa. Một R-nửa môđun trái có một cơ sở trên R được gọi là
một R-nửa môđun tự do.
2.1.3 Chú ý. Nếu R là một vành và M là R-môđun trái, thì từ định nghĩa
trên quy về định nghĩa thông thường của môđun tự do.

Vì không phải mỗi môđun trên một vành là tự do, nên từ đó suy ra không
phải mỗi nửa môđun trên nửa vành là tự do.
Từ Định nghĩa 2.1.2 trực tiếp nhận được.
2.1.4 Hệ quả. Mỗi R-nửa môđun trái tự do R-đẳng cấu với một R-nửa
môđun R(A) đối với mỗi tập hợp khác rỗng A thích hợp nào đó.
2.1.5 Mệnh đề. Giả sử R là nửa vành và M là R-nửa môđun trái tùy ý.
Khi đó tồn tại R-nửa môđun tự do F và R-đồng cấu toàn ánh từ F lên M .
Chứng minh. Giả sử M là R-nửa môđun trái. Vì khẳng định của Mệnh đề
2.1.5 là hiển nhiên đối với trường hợp M = {0} nên ta có thể giả thiết rằng

M = {0}. Giả sử M = M \{0} và F = R(M ) .
Định nghĩa ánh xạ α : F → M bởi α(f ) =

{f (m)m | m ∈ supp(f )}.

Khi đó α là R-đồng cấu và là một toàn ánh.
2.1.6 Mệnh đề. Giả sử F là R-nửa môđun trái tự do có cơ sở B và N là

R-nửa môđun trái tùy ý. Đối với ánh xạ g ∈ N B tồn tại R đồng cấu duy nhất
α : F → N thỏa mãn α(u) = g(u) với mọi u ∈ B .
Chứng minh. Vì B là cơ sở của F nên mỗi phần tử x ∈ F có thể biểu diễn
được duy nhất dưới dạng

{ru u | u ∈ B}, trong đó ru là các phần tử thuộc


17

R với nhiều nhất hữu hạn trong chúng khác không.
Định nghĩa ánh xạ α : F → N bởi

ru u →

ru g(u). Hơn nữa nếu

β : F → N là đồng cấu thỏa mãn β(u) = g(u) với mọi u ∈ B thì β (
ru β(u) =

ru g(u) =

ru α(u) = α(

ru u) =

ru u) nên α = β . Điều này chứng

minh tính duy nhất của α.
2.1.7 Nhận xét. Giả sử F là R-nửa môđun trái tự do với cơ sở B và F’ là
R-nửa môđun trái tự do với cơ sở B’. Nếu α : F → F là R-đồng cấu thì theo
Mệnh đề 2.1.6 tác động của α hoàn toàn xác định bởi các tác động của nó
trong B. Với mỗi u ∈ B ta có α(u) =

{auv | v ∈ B }, trong đó auv là các

phần tử thuộc R và có nhiều nhất hữu hạn trong chúng khác không. Như vậy

α biểu diễn hữu hạn được bởi ma trận cột [auv ] ∈ RB×B .
Chú ý rằng nếu M và N là các R-nửa môđun trái tự do và α biểu diễn được
bởi một ma trận liên quan đến các cơ sở cố định cho trước thì trong việc tìm

nα−1 chúng ta phải giải phương trình AX = B , trong đó B là các vectơ hệ
tử của biểu diễn n liên quan đến các cơ sở đã cho đối với N.
2.1.8 Chú ý. Việc giải các phương trình dạng AX = B trong đó B là một
phần tử của một I-nửa môđun tự do hữu hạn sinh đã được E.Sanchez xét đến
đầu tiên năm 1976. Vấn đề này đã được mở rộng đến việc xét các phương
trình dạng như vậy đối với các nửa môđun trên một dàn sắp thứ tự toàn
phần (D. Nola, 1985) và trên dàn phân phối đầy đủ (Zhao, 1987) cũng như
trên một gian (D. Nola & Lettieri, 1989).

2.2

Nửa môđun xạ ảnh.

2.2.1 Định nghĩa. Một R-nửa môđun trái P được gọi là xạ ảnh nếu và chỉ
nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Nếu ϕ : M → N là các R-đồng cấu toàn ánh của các R-nửa môđun trái
và nếu α : P → N là R-đồng cấu thì tồn tại R-đồng cấu β : P → M thỏa


18

mãn βϕ = α.
(ii)Nếu ϕ : M → N là R-đồng cấu ổn định của các R-nửa môđun trái và
nếu α, α : P → M và R-đồng cấu thỏa mãn ϕα = ϕα thì tồn tại các R-đồng
cấu β, β : P → M thỏa βϕ = β ϕ và α + β = α + β .
2.2.2 Chú ý. a) Chú ý rằng các ánh xạ trong Định nghĩa 2.2.1 được xem
là ký hiệu bên trái, chẳng hạn ϕ : M → N là ánh xạ và x ∈ M thì

xα = α(x). Như vậy, nếu β : P → N là ánh xạ khác thì βϕ : P → N
cho bởi yβϕ = (yβ)ϕ = ϕ[β(y)], ∀y ∈ P .

b) Điều kiện (i) của Định nghĩa 2.2.1 nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

P

∃β |||
|
α
||
~|| ϕ

/N
M

2.2.3 Định lý. Mỗi R-nửa môđun trái tự do là xạ ảnh.
Chứng minh. Giả sử F là một R-nửa môđun trái tự do với cơ sở B. Giả sử

ϕ : M → N là R-đồng cấu toàn ánh của các R-nửa môđun trái và α : F → N
là R-đồng cấu. Vì ϕ toàn ánh nên mỗi phần tử b ∈ B chọn được (và cố định)
phần tử xb ∈ M sao cho xb ϕ = bα. Theo Mệnh đề 2.1.6, tồn tại R-đồng cấu
duy nhất β : F → M thỏa mãn bβ = xb . Thế thì bβϕ = xb ϕ = bα, ∀b ∈ B
và do tính duy nhất trong Mệnh đề 2.1.6, có α = βϕ.
Giả sử ϕ : M → N là R-đồng cấu ổn định của các R-nửa môđun trái.
Giả sử α, α : P → M là các R-nửa môđun đồng cấu thỏa mãn aϕ = a ϕ.
Nếu a ∈ A thì aαϕ = aα ϕ và do tính ổn định của ϕ, tồn tại các phần
tử xa và ya ∈ Ker(ϕ) sao cho aα + xa = aα + ya . Theo Mệnh đề 2.1.6,
tồn tại các R-đồng cấu duy nhất β, β : P → M thỏa mãn αβ = xa và

αβ = ya , với mọi a ∈ A. Thế thì αβϕ = xa ϕ = 0 và αβ ϕ = ya ϕ = 0 nên
a(α + β) = a(α + β ), ∀a ∈ A. Từ tính duy nhất trong Mệnh đề 2.1.6 suy ra
α+β =α +β.

19

Vậy P là R-nửa môđun xạ ảnh.
2.2.4 Định nghĩa. Một R-nửa môđun trái N được gọi là cái co rút của Rmôđun M nếu và chỉ nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Tồn tại R-đồng cấu toàn ánh ϕ : M → N và tồn tại R-đồng cấu ψ : N →

M sao cho ψϕ là ánh xạ đồng nhất trên N.
Từ Định nghĩa 2.2.4 trực tiếp suy ra:
2.2.5 Hệ quả. a) Nếu N là hạng tử trực tiếp của R-môđun trái M thì N
là cái co rút của M (θ là phép chiếu ΠN : M → N và ψ là phép nhúng

JN : M → N ).
b) Nếu N là cái co rút của M và M là cái co rút của M’ thì N là cái co rút
của M’.
2.2.6 Ví dụ. Giả sử R là nửa vành và n là một số nguyên dương cho trước.
Thế thì ma tận tùy ý a = [aij ] trong Mn (R) xác định một R-tự đồng cấu
của R-nửa môđun trái Rn cho bởi α : (r1 , ...rn ) → (s1 , ..., sn ) trong đó
n

ri aih với mỗi h, 1 ≤ h ≤ n. Nếu ma trận A là chính quy đối với phép

sn =
i=1

nhân thì tồn tại ma trận B thuộc Mn (R) sao cho ABA = A và ma trận B
xác định một R-tự đồng cấu của Rn . Giả sử N = Rn α và β là cái thu hẹp
của β trên N. Thế thì với mỗi m ∈ Rn có mα = mαβα = (nα)β α, β α là
ánh xạ đồng nhất trên N. Do đó N là cái co rút của Rn .

2.2.7 Mệnh đề. Một R-nửa môđun trái là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là cái
co rút của một R-nửa môđun trái tự do.
Chứng minh. Nếu P là R-nửa môđun trái xạ ảnh thì theo Mệnh đề 2.1.5 tồn
tại R-nửa môđun tự do F và R-đồng cấu toàn ánh θ : F → P . Theo tính xạ
ảnh, tồn tại R-đồng cấu ψ : P → F sao cho ψθ : P → P là ánh xạ đồng
nhất trên P. Do đó P là cái co rút của R-nửa môđun trái tự do trên F.
Đảo lại, giả sử P là cái thu hẹp của R-nửa môđun trái tự do F, θ : F → P


20

và ψ : P → F là các R-đồng cấu sao cho θ là toàn ánh và ψθ là ánh xạ đồng
nhất trên P. Giả sử ϕ : M → N là R-đồng cấu toàn ánh của các R-nửa môđun
và α : P → N là các R-đồng cấu. Theo Định lý 2.2.3, do F là xạ ảnh nên tồn
tại R-đồng cấu β : F → M sao cho βϕ = θα. Do đó ψβϕ = ψθα = α, và từ
đó ψβ : P → M là ánh xạ có tính chất nêu trong Định nghĩa 2.2.1(i) về tính
xạ ảnh.
Bây giờ giả sử ϕ : M → N là một R-đồng cấu ổn định của các R-nửa
môđun trái và giả sử α, α : P → M là các R-đồng cấu thỏa mãn αϕ = α ϕ.
Thế thì θαϕ = θα ϕ. Vì F là xạ ảnh theo Định lý 2.2.3 nên tồn tại các đồng
cấu β, β : F → M thỏa mãn βα = β ϕ và θα + β = θα + β . Khi đó

(ψβ)ϕ = (ψβ )ϕ và α + ψβ = ψθα + ψβ = ψ(θα + β) = ψ(θα + β ) =
ψθα + ψβ = α + ψβ . Như vậy điều kiện (ii) trong Định nghĩa 2.2.1 cũng
được thỏa mãn nên P là môđun xạ ảnh.
2.2.8 Hệ quả. Cái co rút tùy ý của một R-nửa môđun xạ ảnh là xạ ảnh.
Chứng minh. Điều này suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.2.7
2.2.9 Ví dụ. Giả sử R là một nửa vành và I + (R) = {r ∈ R | r + r = r} là
nửa môđun con lũy đẳng của R, được xét như một nửa môđun trái trên chính
nó. Nếu nửa môđun trên R là chính quy cộng tính (nghĩa là ∀r ∈ R, ∃r ∈

R : r + r = r) thì ánh xạ α : R → I + (R) được xác định bởi α(a) = a + a
là một R-đồng cấu toàn ánh của các R-nửa môđun trái. Hơn nữa cái thu hẹp
của α trên I + (R) là ánh xạ đồng nhất. Do đó I + (R) là cái co rút của R. Vì R
là xạ ảnh (xem như một nửa môđun trái trên chính nó) theo Mệnh đề 2.2.7
nên I + (R) cũng là R-nửa môđun trái xạ ảnh theo Hệ quả 2.2.8.
2.2.10 Mệnh đề. Giả sử {Pi | i ∈ Ω} là một họ các R-nửa môđun trái và

P = Π{Pi | i ∈ Ω} là tích trực tiếp của Pi , i ∈ Ω . Khi đó P là xạ ảnh nếu
và chỉ nếu Pi xạ ảnh.


21

Chứng minh. Nếu P là xạ ảnh thì mỗi Pi là một cái co rút của Pi nên theo
Hệ quả 2.2.8, Pi xạ ảnh với mỗi i ∈ Ω .
Đảo lại, giả thiết rằng Pi xạ ảnh với mỗi i ∈ Ω . Đối với mỗi i ∈ Ω , giả sử

θ1 : P → Pi là R-đồng cấu toàn ánh < Pn >→ Pi và ψi : Pi → P là phép
nhúng.
Giả sử ϕ : M → N là R-đồng cấu toàn ánh của các R-nửa môđun trái và

α : P → N là R-đồng cấu. Thế thì do mỗi Pi xạ ảnh, tồn tại các R-đồng cấu
βi : Pi → M thỏa mãn βi ϕ = ψ1 α. Định nghĩa R-đồng cấu β : P → M bởi
p → pi θi βi . Thế thì đối với p ∈ P ta có pβϕ =

pθi βi ϕ =

pθi ψi α = pα

nên βϕ = α.
Bây giờ giả sử ϕ : M → N là R-đồng cấu ổn định của các R-nửa môđun
trái và giả sử α, α : P → M là các R-đồng cấu thỏa mãn αϕ = α ϕ. Thế
thì đối với mỗi i ∈ Ω ta có ψi αϕ = ψi α ϕ và do đó tồn tại các R-đồng cấu

βi , βi : Pi → M thỏa mãn βi ϕ = βi ϕ và ψi β + βi = ψi α + βi . Định nghĩa
β, β : P → M bởi β =

θi βi và βi =

đó P là R-nửa môđun xạ ảnh.

θi βi . Khi đó α + β = α + β . Do


CHƯƠNG 3

NỬA MÔĐUN XẠ ẢNH TRÊN NỬA VÀNH N-ĐỊNH GIÁ
ĐƯỢC

3.1

Nửa vành N-định giá được

Trước hết, xin nhắc lại một số khái niệm và ký hiệu sẽ sử dụng trong
chương này.
Giả sử X là một vị nhóm, khi đó tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch
của X được ký hiệu bởi U(X). Nếu A là một nửa vành thì U(A, +, 0) là nhóm
tất cả các phần tử khả nghịch đối với phép cộng của A và U(A) là nhóm tất
cả các phần tử khả nghịch đối với phép nhân của A, chú ý rằng A∗ = A\{0}.

Sau đây là một số kết quả quen thuộc sẽ được sử dụng trong chương này
(xem [8], trang 2).
Kết quả 1.Giả sử A là nửa vành không có ước của không và F là A-nửa
môđun tự do. Nếu λx = 0, λ ∈ A, x ∈ F thì λ = 0 hoặc x = 0.
Kết quả 2.Giả sử A là một nửa vành không có ước của không với

U (A, +, 0) = 0. Nếu λ1 , λ2 , .., λn ; λ1 , λ2 , .., λn là các phần tử khác không
của A thì λ1 λ1 + λ2 λ2 + ... + λn λn = 0.
Kết quả 3. Giả thiết rằng A là nửa vành và M là vị nhóm nhân tùy ý.

A[M ] là A-nửa môđun tự do được sinh bởi các phần tử x ∈ M gồm tất cả các
tổng hữu hạn
tích

x∈M

λx x với các hệ tử λx ∈ A. Tích trong M cảm sinh một


23

λx x.
x∈M

λy y =
y∈M

(λx λy )xy
x,y∈M

Khi đó A[M ] trở thành nửa vành, được gọi là “nửa vành vị nhóm M với hệ
tử trên nửa vành A”.
3.1.1 Mệnh đề. Giả sử M là vị nhóm và A là nửa vành với U (A, +, 0) = 0
và không có ước của không. Thế thì phần tử w của nửa vành A[M ] khả nghịch
đối với phép nhân nếu và chỉ nếu w = λx, trong đó λ ∈ U (A) và x ∈ U (M ).
Chứng minh. Giả thiết rằng w.w = 1 = w .w với w ∈ A[M ]. Nếu biểu diễn

w, w theo A - cơ sở M:

m

λi xi , λi = 0, i = 1, ..., m,

w = λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λm xm =
i=1
n

w = λ1 y1 + λ2 y2 + ... + λn yn =

j=1

λj yj , λj = 0, j = 1, ..., n.

Thế thì theo kết quả 2, có xi yj = 1 = yj xi , i = 1, ..., m, j = 1, ..., n. Do đó

m = n = 1.
Tập N tất cả các số nguyên không âm với phép cộng và nhân các số thông
thường là một nửa vành. Hơn nữa, một N-nửa môđun X là một vị nhóm giao
hoán.
3.1.2 Định nghĩa. 1. Giả sử A là một nửa vành. Một hàm v : A → N được

gọi là một N-định giá (trái) của A nếu điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Nếu λ = 0 thì v(λ + λ ) > v(λ );
(ii) Nếu λ = 0, λ = 0 và λ ∈
/ U (A) thì v(λλ ) > v(λ );
(iii) Nếu λ ∈ U (A) thì v(λλ ) = v(λ ), ∀λ ∈ A.
2. Nửa vành với một N-định giá được gọi là nửa vành N-định giá được.
Chú ý rằng từ định nghĩa 3.1.2 trực tiếp suy ra v(λ) = 0 kéo theo λ = 0
và v(λ) = 1 kéo theo λ ∈ U (A). Hơn nữa, v không cần thỏa mãn các điều
kiện v(0) = 0 hay v(λ) = 1 với λ ∈ U (A). Cũng cần chú ý rằng nếu một nửa


24

vành thừa nhận một N-định giá thì phần tử khả nghịch trái (hay phải) đối
với phép nhân trong nó thực chất là khả nghịch hai phía đối với phép nhân.
3.1.3 Mệnh đề. Giả sử A là nửa vành N-định giá được. Thế thì:
(i) U (A, +, 0) = 0.
(ii) A là nửa vành không có ước của không.
(iii) Nếu λ + λ = 1, λ, λ ∈ A thì λ = 0 hoặc λ = 0.
(iv) A\U (A) là một iđêan hai phía của A, nghĩa là A là một nửa vành địa
phương.
Chứng minh. (i) Giả thiết rằng U (A, +, 0) = 0. Khi đó tồn tại λ, λ ∈ A∗
(A∗ = A \ {0}) sao cho λ + λ = 0. Thế thì v(0) = v(λ + λ ) > v(λ ) =

v(λ + 0) > v(0): mâu thuẫn. Vậy U (A, +, 0) = 0.
(ii) Giả thiết rằng λλ = 0 với λ, λ ∈ A∗ nào đó. Thế thì v(0) = v(λλ ) >

v(λ ) = v(λ +0) > v(0) : mâu thuẫn. Vậy A là vành không có ước của không.
(iii) Giả sử λ + λ = 1 với λ, λ ∈ A∗ nào đó. Thế thì v(1) = v(λ + λ ) >

v(λ ) = v(λ .1) ≥ v(1): mâu thuẫn. Vậy λ + λ = 1, λ, λ ∈ A, kéo theo λ = 0
hoặc λ = 0.
(iv) Chỉ cần chứng tỏ rằng J = A\U (A) là một iđêan trái của A. (thật
vậy, giả thiết rằng J là iđêan trái của A. Giả sử α ∈ J, β ∈ A và αβ ∈
/ J.
Thế thì αβγ = 1 và βγ ∈
/ J với γ ∈ A nào đó; từ đó α ∈ U (A): mâu thuẫn
với α ∈ J = A\U (A). Như vậy J là iđêan hai phía của A).
Giả sử λ1 , λ2 ∈ J và λ1 + λ2 ∈
/ J . Thế thì tồn tại λ ∈ U (A) sao cho

(λ1 + λ2 )λ = 1 hay λ1 λ + λ2 λ = 1. Theo (iii), λ1 λ = 0 hoặc λ2 λ = 0. Từ
đó λ2 λ = 1 hoặc λ1 λ = 1, nên λ2 ∈ U (A) hoặc λ1 ∈ U (A): mâu thuẫn với

λ1 λ2 ∈ J = A\U (A). Như vậy J là vị nhóm con của vị nhóm (A, +, 0).
Bây giờ, giả thiết rằng ρ ∈ A, w ∈ J và ρw ∈
/ J , nghĩa là ρw ∈ U (A). Khi
đó v(1) = v(ρw.1) = v(ρw) > v(w) = v(w.1) > v(1): mâu thuẫn. Vậy J là
iđêan trái của A.