Một số tính chất của lớp Môđun icgiả nội xạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN SỸ QUỲNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
LỚP MÔĐUN IC-GIẢ NỘI XẠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN SỸ QUỲNH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
LỚP MÔĐUN IC-GIẢ NỘI XẠ
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60. 46. 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. ĐINH ĐỨC TÀI

Nghệ An, 2013


1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu

2

Bảng kí hiệu

4

1 Kiến thức cơ sở

5

1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Môđun nội xạ và tính chất

. . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Môđun con cốt yếu và các điều kiện Ci
2 Môđun ic - giả nội xạ

. . . . . . . . . . . 8
11

2.1. Môđun giả nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Môđun ic - giả nội xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Kết luận

23

Tài liệu tham khảo

24


2

MỞ ĐẦU

Như chúng ta đã biết, R-môđun N được gọi là M -nội xạ nếu với
mọi môđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở
rộng được thành một đồng cấu ψ : M → N . Môđun N được gọi là tựa
nội xạ nếu N là N - nội xạ. Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N
là A-nội xạ với mọi A trong Mod-R. Có thể nói, môđun nội xạ là một
trong những lớp môđun đóng vai trò đặc biệt trong lý thuyết vành.
Khái niệm môđun nội xạ đã được các nhà nghiên cứu lý thuyết vành
quan tâm mở rộng, chẳng hạn như: môđun nội xạ trực tiếp (direct
injective module), môđun nội xạ tối tiểu (min-injective module), ...
Trong [8], S. Sing và S. K. Jain đã đưa ra khái niệm môđun giả
M-nội xạ: R-môđun N được gọi là giả M -nội xạ (pseudo M-injective)
nếu với mọi môđun con X của M , mọi đơn cấu ϕ : X → N đều có thể
mở rộng được thành một đồng cấu ψ : M → N . Theo hướng nghiên
cứu này, trong [4], các tác giả Mehdi S. Abbas và Samir M. Saied đã
đưa ra khái niệm ic-môđun con và môđun ic-giả nội xạ: Giả sử M ,

N là các R-môđun. Môđun M được gọi là môđun ic-giả N-nội xạ (icpseudo-N-injective) nếu với mỗi ic-mô đun con A của N , mọi đơn cấu
từ A tới M đều có thể mở rộng thành một đồng cấu từ N tới M . Trong
đó, môđun con A của N được gọi là ic-môđun con (ic-submodules) nếu
A đẳng cấu với một môđun con đóng của N .
Theo định nghĩa trên, rõ ràng mọi môđun giả nội xạ đều là môđun
ic-giả nội xạ, tuy nhiên điều ngược lại không hoàn toàn đúng (xem [5]).
Đây là một hướng mở rộng mới của lớp môđun nội xạ nói chung và
lớp môđun giả nội xạ nói riêng, hiểu biết các tính chất của lớp môđun


3

này sẽ giúp chúng ta có được một cách tiếp cận mới các tính chất của
một số lớp vành như: vành Artin nửa đơn, vành Noether, ...
Với các lý do đã nêu, trên cơ sở tài liệu tham khảo [4], chúng tôi
lựa chọn đề tài nghiên cứu: "Một số tính chất của lớp môđun ic-giả nội
xạ" nhằm mục đích tìm hiểu một số tính chất của lớp môđun này.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, cấu trúc luận
văn gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở. Nội dung chính của chương này chủ yếu
trình bày các khái niệm, các tính chất cơ bản nhằm phục vụ nội dung
của chương 2.
Chương 2. Môđun ic-giả nội xạ. Nôi dung của chương 2 được trình bày
trong 2 phần:
2.1 Môđun giả nội xạ. Nội dung chính của phần này dành để trình bày
định nghĩa, ví dụ và một số tính chất của lớp môđun giả nội xạ.
2.2 Môđun ic-giả nội xạ. Có thể nói đây là nội dung chính của luận
văn. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số tính chất của lớp
môđun ic và ic-giả nội xạ; mối liên hệ giữa lớp môđun ic-giả nội xạ với
các lớp môđun liên tục, CS, ...

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh từ tháng 1 năm
2013 dưới sự hướng dẫn của TS. Đinh Đức Tài. Tác giả xin gửi tới
Thầy lòng biết ơn chân thành về sự tận tình hướng dẫn trong thời
gian qua. Xin chân thành gửi lời cảm ơn tới: Các Thầy giáo, Cô giáo
trong Bộ môn Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Vinh; Phòng Đào
tạo Sau đại học; bạn bè và gia đình về sự giúp đỡ, động viên cả về tinh
thần lẫn vật chất, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành
khóa học này.
Nghệ An, tháng 6 năm 2013
Tác giả


4

BẢNG KÍ HIỆU

A ⊆⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của B
A →e B : A là môđun con cốt yếu của B
A∼
= B : A đẳng cấu với B
A ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun B
ACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)
E(M ) : Bao nội xạ của môđun M
Soc(M ) : Đế của môđun M
End(M ) :Vành các tự đồng cấu của môđun M
u-dim(M ) : Chiều Goldie của môđun M
Ker(f ), Im(f ) : Hạt nhân, ảnh của đồng cấu f (tương ứng)
M (I) : ⊕i∈I M (tổng trực tiếp của I bản sao của M )
MR (R M ) : M là một R-môđun phải (trái)
Mn (S) : Vành các ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên S

M od-R: Phạm trù các R-môđun phải
Rad(M ) : Căn của môđun M
J(R) : Căn Jacobson của vành R
Z(M ) : Môđun con suy biến của môđun M


5

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được
hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 = 0 và mọi R-môđun được xét là
môđun unita phải (nếu không nói gì thêm).

1.1

Các khái niệm cơ bản

Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản
của Lý thuyết Vành mà không chứng minh lại. Các khái niệm và tính
chất này đã được giới thiệu trong nhiều tài liệu khác nhau, chúng tôi
chủ yếu tham khảo trong các tài liệu [7], [10].
1.1.1 Định nghĩa. Cho R- môđun M khác không. Một dãy hữu hạn
n + 1 các môđun con của M : M = M0 ⊃ M1 ⊃ ... ⊃ Mn = 0 được
gọi là dãy hợp thành có độ dài n (composition series of length n) nếu
Mi−1 /Mi là đơn.
Liên quan đến dãy hợp thành và là cơ sở của việc hình thành khái
niệm về độ dài của một môđun, chúng ta có định lý Jordan- H¨older:
1.1.2 Định lý. Nếu môđun M có sự phân tích thành các dãy hợp thành

có độ dài hữu hạn thì mọi cặp dãy hợp thành đó đều có cùng độ dài.
1.1.3 Định nghĩa. Một môđun M có sự phân tích thành dãy hợp
thành được gọi là môđun có độ dài hữu hạn và độ dài của dãy hợp
thành được gọi là độ dài của M . Ký hiệu lg(M ) hoặc length(M ).


6

Sau đây là định nghĩa và một số tính chất của dãy khớp.
1.1.4 Định nghĩa. Một cặp các đồng cấu M →f M →g M ” được
gọi là khớp (exact) tại M nếu Im(f ) = Ker(g). Dãy khớp có dạng
0 → M →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn (short exact
sequence).
Đối với dãy khớp chúng ta có một số tính chất sau:
1.1.5 Mệnh đề. Cho M và N là các R-môđun và f : M → N là một
đồng cấu. Khi đó ta có:
1. 0 → M →f N là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đơn cấu.
2. M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là toàn cấu.
3. 0 → M →f N → 0 là dãy khớp nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu.
1.1.6 Định nghĩa. Nếu f : M → N , f : N → M là các đồng
cấu thỏa mãn f f = 1N thì ta nói rằng f là một toàn cấu chẻ (split
epimorphism) và f là một đơn cấu chẻ (split monomorphism).
Dãy khớp ngắn 0 → M →f M →g M ” → 0 được gọi là dãy khớp ngắn
chẻ (split exact) nếu f là đơn cấu chẻ và g là toàn cấu chẻ.
Môđun M được gọi là môđun đều (uniform) nếu giao của hai môđun
con khác không bất kỳ của M là một môđun con khác không.

1.2

Môđun nội xạ và tính chất

Trong phần này chúng tôi tập trung giới thiệu về lớp môđun nội xạ
và một số tính chất cơ bản của lớp môđun này.
1.2.1 Định nghĩa. R-môđun N được gọi là M -nội xạ nếu với mọi
môđun con X của M , mọi đồng cấu ϕ : X → N đều có thể mở rộng
được thành một đồng cấu ψ : M → N . Môđun N được gọi là tựa nội
xạ nếu N là N - nội xạ. Môđun N được gọi là môđun nội xạ nếu N là
A-nội xạ với mọi A trong Mod-R.


7

1.2.2 Nhận xét. Như vậy chúng ta có, môđun N là nội xạ nếu và chỉ
nếu N là RR -nội xạ. Môđun N là nội xạ khi và chỉ khi nó thỏa mãn
một trong các điều kiện tương đương sau:
1. Với mọi môđun A và với mọi môđun con X của A, mọi đồng cấu
f : X → N đều có thể mở rộng được thành một đồng cấu từ
A → N;
2. (Tiêu chuẩn Baer ) Mọi đồng cấu từ iđêan phải I của R tới N
đều có thể mở rộng được thành đồng cấu từ R tới N ;
3. Với mọi R-môđun M , mọi đơn cấu f : N → M đều chẻ ra. Nghĩa
là, Im f là hạng tử trực tiếp của M ;
4. R-môđun N không có mở rộng cốt yếu thực sự.
Chúng ta có một số tính chất của môđun nội xạ.
1.2.3 Mệnh đề. Tích trực tiếp và các hạng tử trực tiếp của môđun
nội xạ là môđun nội xạ.
1.2.4 Định nghĩa. Hai R-môđun M và N được gọi là nội xạ lẫn nhau
nếu M là N -nội xạ và ngược lại.
Về tính chất nội xạ lẫn nhau ta có một số kết quả sau.
1.2.5 Bổ đề. Cho G = ⊕i∈I Gi và M là một R-môđun phải. Khi đó G

là M- nội xạ nếu và chỉ nếu Gi là M-nội xạ với mọi i ∈ I.
1.2.6 Bổ đề. Nếu G là M- nội xạ và N ⊆ M thì G là N- nội xạ và
(M/N )- nội xạ.
Kết quả sau còn được biết đến với tên gọi bổ đề Azumaya (Azumaya’s Lemma).
1.2.7 Bổ đề. Nếu G và M = M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Mn là các R-môđun phải
thì G là M- nội xạ nếu và chỉ nếu G là Mi - nội xạ với mỗi i = 1, 2, ..., n.


8

1.2.8 Định nghĩa. Nếu N là một môđun con cốt yếu của môđun nội
xạ E thì E được gọi là bao nội xạ hay R-bao nội xạ của môđun N .
Kí hiệu E(N ).

1.3

Môđun con cốt yếu và các điều kiện Ci

1.3.1 Định nghĩa. Môđun con A của R- môđun M được gọi là môđun
con cốt yếu (bé), ký hiệu A ⊂∗ M (t.ư., A ⊂◦ M ) nếu và chỉ nếu với mọi
môđun con U ⊂ M , A ∩ U = 0 ⇒ U = 0 (t.ư A + U = M ⇒ U = M ).
Nếu A →e M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của A.
Ta có một số tính chất của môđun con cốt yếu và môđun con bé:
1.3.2 Bổ đề.
1. A

M ⇔ ∀U ⊂ M ta có A + U ⊂ M .

2. A →e M ⇔ ∀0 = U ⊂ M ta có A ∩ U = 0.
3. A

M = 0 ⇒ A = M.

4. A →e M = 0 ⇒ A = 0.
5. 0

M và M →e M với mọi R- môđun M .

Nếu K là một môđun con của môđun M , sử dụng bổ đề Zorn, tồn
tại môđun con tối đại C của M thỏa mãn C ∩ K = 0. Khi đó C được
gọi là môđun con bù (complement) của K trong M . Do đó, K →e M
nếu và chỉ nếu 0 là bù của K.
Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của môđun con bù.
1.3.3 Mệnh đề. Cho C là một môđun con của môđun M. Các điều
kiện sau tương đương:
1. C đóng trong M;


9

2. Nếu C →e N ⊆ M thì C = N ;
3. Nếu C ⊆ N →e M thì N/C →e M/C;
4. Nếu D là môđun con bù bất kỳ của C trong M thì C là môđun con
bù của D trong M.
Bổ đề sau còn được gọi là bổ đề cốt yếu (Essential Lemma).
1.3.4 Bổ đề. Giả sử K là một môđun con của môđun M . Nếu C là
một môđun con bù bất kỳ của K trong M thì:
1. K ⊕ C →e M .
2. (K ⊕ C)/C →e M/C.
1.3.5 Định nghĩa. Cho MR là R- môđun phải. Ta định nghĩa các

điều kiện sau:
• (C1 ) : Mọi môđun con của MR là cốt yếu trong một hạng tử trực
tiếp của MR . Hay nói cách khác, mọi môđun con đóng trong MR
là hạng tử trực tiếp của MR .
• (C2 ) : Nếu A và B là các môđun con của MR đẳng cấu với nhau
và A là hạng tử trực tiếp của MR thì B cũng là hạng tử trực tiếp
của MR .
• (C3 ) : Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của MR và A ∩ B = 0
thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của MR .
• (1 − C1 ) : Nếu U là một môđun con đóng, đều của MR thì U là
một hạng tử trực tiếp của MR .
Điều kiện (1 − C1 ) là mở rộng của điều kiện C1 và từ điều kiện C2
suy ra điều kiện C3 .


10

1.3.6 Định nghĩa. Môđun MR được gọi là CS-môđun (extending
module) nếu MR thỏa mãn điều kiện (C1 ). Môđun MR được gọi là
liên tục (continuous) nếu MR thỏa mãn các điều kiện (C1 ) và (C2 ).
Môđun MR được gọi là tựa liên tục (quasi-continuous) nếu MR thỏa
mãn các điều kiện (C1 ) và (C3 ). Môđun MR được gọi là (1 − C1 )môđun (uniform extending) nếu MR thỏa mãn điều kiện (1 − C1 ).
Từ các định nghĩa trên chúng ta có dãy kéo theo sau đây:
Nội xạ ⇒ Tựa nội xạ ⇒ Liên tục ⇒ Tựa liên tục ⇒ CS ⇒ (1 − C1 ) .
Sử dụng các khái niệm trên cho vành R khi xét R như một R-môđun
trên chính nó chúng ta có các khái niệm tương ứng.
1.3.7 Định nghĩa. Vành R được gọi là CS (liên tục, tựa liên tục)
vành phải nếu RR là một CS (liên tục, tựa liên tục) môđun phải trên
chính nó. Tương tự chúng ta có các khái niệm CS-vành trái, vành liên
tục trái và vành tựa liên tục trái.

Tiếp theo chúng ta có một số tính chất.
1.3.8 Mệnh đề. R- môđun phải (trái) có tính chất (C1 ) nếu và chỉ
nếu mọi môđun con đóng của M là hạng tử trực tiếp.
Một trong những mối liên hệ giữa lớp môđun tựa liên tục và lớp
môđun này được thể hiện trong bổ đề sau.
1.3.9 Mệnh đề. Môđun M không phân tích được và có tính chất (C1 )
nếu và chỉ nếu M đều. Mọi môđun đều M là môđun tựa liên tục.
Chúng ta có mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ là một môđun
nội xạ. Mệnh đề sau là kết quả tương tự trên lớp môđun thỏa mãn các
điều kiện (Ci )3i=1 .
1.3.10 Mệnh đề. Các điều kiện (Ci )3i=1 có tính chất di truyền đối với
các hạng tử trực tiếp. Đặc biệt, mọi hạng tử trực tiếp của một môđun
liên tục (tựa liên tục) là một môđun liên tục (t.ư., tựa liên tục).


11

CHƯƠNG 2
MÔĐUN IC - GIẢ NỘI XẠ

2.1

Môđun giả nội xạ

2.1.1 Định nghĩa. Cho M , N là các R-môđun phải. Môđun N được
gọi là M - giả nội xạ (pseudo M - injective) nếu với mọi môđun con A
của M , mọi đơn cấu từ A tới N đều có thể mở rộng thành một đồng
cấu từ M tới N . Môđun N được gọi là môđun giả nội xạ nếu N là
môđun giả N - nội xạ.
2.1.2 Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta thấy:

1. Môđun NR được gọi là giả nội xạ nếu với mọi đơn cấu β : 0 →
A → N và α : 0 → A → N , tồn tại γ ∈ End(N ) sao cho β = γα.
2. Mọi môđun tựa nội xạ (nội xạ) đều là môđun giả nội xạ. Tuy
nhiên, điều ngược lại không hoàn toàn đúng.
Ví dụ, xét I là tập vô hạn và {Mi }i∈I là tập hợp các R− môđun
trái giả nội xạ sao cho mỗi môđun đều có đế khác không. Với mỗi i ∈ I,
giả sử tồn tại ri ∈ R sao cho: ri m = m, ∀m ∈ Mi và ri m = 0, ∀m ∈
Mj , j ∈ I \ {i}. Với mỗi i ∈ I, lấy mi ∈ Soc(Mi ) sao cho (0 : mi ) là
một iđêan trái tối đại. Ta định nghĩa M là R- môđun con của Πi∈I Mi
sinh bởi

Σi∈I Mi và < mi >. Nếu H = {r ∈ R r ∈ (0 : mi ) với hữu

hạn một số phần tử i ∈ I} là một iđêan trái tối đại của R. Khi đó,
nếu tập hợp S = {i ∈ I tồn tại một đơn cấu f : Rmi → Mi sao cho
f (mi ) = mi } có lực lượng hữu hạn thì M là R - môđun trái giả nội xạ
nhưng không là môđun tựa nội xạ (Mark L. Teply, [3]).


12

Tiếp theo chúng ta sẽ khảo sát một tính chất của lớp môđun này.
2.1.3 Mệnh đề. Cho M là một R- môđun phải. Khi đó, các phát biểu
sau là tương đương:
1. MR là một môđun giả nội xạ;
2. Với mọi đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → N trong
đó N nhúng được trong M thì tồn tại γ ∈ HomR (N, M ) sao cho
β = γα;
3. Với mọi đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → N trong đó N
là một môđun con của M thì tồn tại γ ∈ HomR (N, M ) sao cho

β = γα;
4. Với mọi đơn cấu β : 0 → N → M trong đó N là một môđun con
của M đều có thể mở rộng thành một tự đồng cấu của M .
Chứng minh. (1) ⇒ (2) : Xét đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 →
A → N trong đó N nhúng được trong M . Khi đó, tồn tại đồng cấu
γ1 : 0 → N → M . Chúng ta dễ kiểm tra được γ1 α : 0 → A → M
là một đơn cấu. Theo giả thiết, MR là môđun giả nội xạ nên tồn tại
γ2 ∈ End(MR ) sao cho β = γ2 γ1 α. Đặt γ2 γ1 = γ : N → M thì β = γα,
ta có điều phải chứng minh.
(2) ⇒ (3) : Theo giả thiết của (3), N là môđun con của M nên N
nhúng được trong M . Do đó (2) suy ra (3) là điều hiển nhiên.
(3) ⇒ (4) : Hiển nhiên vì đây là trường hợp đặc biệt của (3) khi
N = M.
(4) ⇒ (1) : Xét các đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → M .
Khi đó, α : A → Im(α) là một đẳng cấu do đó tồn tại đồng cấu
α−1 : Im(α) → A sao cho α−1 α = 1A . Ta có βα−1 : 0 → Im(α) → M
là một đơn cấu. Do đó, tồn tại γ ∈ End(MR ) sao cho γ|Im(α) = βα−1 .
Với mọi a ∈ A, γα(a) = βα−1 α(a) = β(a). Điều này có nghĩa rằng
γα = β.


13

Từ các kết quả của Mệnh đề 2.1.3 ta có hệ quả sau:
2.1.4 Hệ quả. Cho MR là một môđun giả nội xạ. Khi đó:
1. Mọi đơn cấu α ∈ End(MR ) đều chẻ ra.
2. Với mọi đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → A tồn tại
γ ∈ HomR (A, M ) sao cho β = γα.
3. Mọi đơn cấu α ∈ HomR (M, N ) trong đó N nhúng được trong M
đều chẻ ra.

Chứng minh. (1). Với mọi đơn cấu α ∈ End(MR ) và 1M ∈ End(MR ),
ta luôn có sự tồn tại β ∈ End(MR ) thỏa mãn 1M = βα. Điều này có
nghĩa α là đồng cấu bị chẻ.
(2). Xét các đơn cấu β : 0 → A → M và α : 0 → A → A. Từ
A nhúng được trong M nên theo Bổ đề 2.1.3 (2), tồn tại đồng cấu
γ ∈ HomR (A, M ) thỏa mãn β = γα. Điều phải chứng minh.
(3). Xét đơn cấu α ∈ HomR (M, N ). Khi đó, với α : 0 → M → N
và 1M : 0 → M → M , theo Bổ đề 2.1.3 (2) ta có sự tồn tại của
β ∈ HomR (N, M ) thỏa mãn 1M = βα. Điều này có nghĩa là α là một
đồng cấu chẻ ra.
Tiếp theo chúng ta có một tính chất khác của tổng trực tiếp các
môđun giả nội xạ.
2.1.5 Mệnh đề. Giả sử {Ua }a∈I là tập hợp các R - môđun phải. Nếu
⊕I Ua là một môđun giả nội xạ thì mọi đơn cấu β : 0 → K → Ua và
α : 0 → K → Ub trong đó a, b ∈ I,tồn tại đồng cấu γ ∈ HomR (Ub , Ua )
sao cho β = γα.
Chứng minh. Xét các đơn cấu β : 0 → K → Ua và α : 0 → K → Ub .
Theo Bổ đề 2.1.3 (3) ta có: Với ia β : 0 → K → ⊕I Ua và α : 0 →
K → Ub , tồn tại γγ ∈ HomR (Ub , ⊕I Ua ) sao cho ia β = γα. Đặt γ =


14

πa γ : Ua → Ua , khi đó ta có γα = πa γα = πa ia β = β. Điều phải chứng
minh.
Như chúng ta đã biết, hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ (tựa nội
xa) là môđun nội xạ (t.ư tựa nội xạ), hệ quả sau cho chúng ta tính
chất tương tự đối với môđun giả nội xạ.
2.1.6 Hệ quả. Hạng tử trực tiếp của môđun giả nội xạ là môđun giả
nội xạ.

Chứng minh. Sử dụng kết quả của Bổ đề 2.1.5 cho trường hợp Ua = Ub
chúng ta có điều phải chứng minh.
2.1.7 Định lý. Cho A, B là các R- môđun phải. Nếu M = A ⊕ B là
một môđun giả nội xạ và σ : A → B là một đơn cấu thì σ là đơn cấu
chẻ ra và A là môđun tựa nội xạ.
Chứng minh. Đăt N = σ(A) và µ : N → M là một ánh xạ xác định
như sau: ∀x ∈ A, µ(σ(x)) = (x, 0). Rõ ràng, µ là một đơn cấu.
M

N
µ

µ∗

M
Theo giả thiết, M là môđun giả nội xạ, theo định nghĩa ta có sự tồn
tại của đồng cấu mở rộng µ∗ : M → M của µ.
Xét q : B → M và p : M → A lần lượt là phép nhúng và phép
chiếu tự nhiên. Khi đó ta có λ = pµ∗ q : B → A thỏa mãn λσ = IdA .
Vậy σ là đơn cấu chẻ.
Do σ : A → B là đơn cấu chẻ ra nên tồn tại môđun A sao cho
A ⊕ A = B. Do đó M = A ⊕ B = A ⊕ A ⊕ A , đặt T = A ⊕ A là một
hạng tử trực tiếp của M . Theo giả thiết M = A ⊕ B là môđun giả nội
xạ, sử dụng Bổ đề 2.1.6 ta có T cũng là một môđun giả nội xạ.


15

Ta biểu diễn T = M1 ⊕ M2 , trong đó M1 = M2 = A. Xét A là một
môđun con bất kỳ của A và f : A → A là một đồng cấu. Nếu ta xem

A như là một môđun con của T chứa M1 thì cấu xạ g : A → T xác
định bởi g(x) = (x, f (x)), x ∈ A là một đơn cấu. Mặt khác, do T là
môđun giả nội xạ nên g có thể mở rộng thành g ∗ ∈ End(T ).
Xét q : M1 → T và p : T → M2 lần lượt là phép nhúng và phép
chiếu tự nhiên thì η = p g ∗ q là một tự đồng cấu của A và chính là mở
rộng của f . Vậy, A là môđun tựa nội xạ.
Từ kết quả của Định lý 2.1.7 ta có hệ quả sau:
2.1.8 Hệ quả. Một môđun M là tựa nội xạ nếu và chỉ nếu M ⊕ M
là giả nội xạ.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh điều kiện cần. Theo giả thiết,
M là môđun tựa nội xạ, sử dụng Bổ đề 2.4 ([6]) ta có T = M ⊕ M
cũng là môđun tựa nội xạ. Vậy, theo định nghĩa ta có T là môđun giả
nội xạ. Ngược lại, giả sử M ⊕ M là môđun giả nội xạ. Theo chứng
minh của Định lý 2.1.7 ta có M là môđun tựa nội xạ.
Một vành R được gọi là vành một chuỗi tổng quát (generalized
uniserial) nếu nó là vành artin hai phía và với mọi lũy đẳng nguyên
thủy (primitive idempotent) e của R ta có sự phân tích duy nhất eR
(Re) thành chuỗi các R - môđun phải (trái). Môđun X có độ dài hữu
hạn được gọi là môđun một chuỗi (uniserial module) nếu nó có sự phân
tích duy nhất thành môđun chuỗi.
Vành một chuỗi tổng quát đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán
học như: Nakayama, D. Eisenbud, P. Griffith, ... Kết quả sau của D.
Eisenbud và P. Griffith sẽ giúp chúng ta chứng minh một tính khác
của lớp vành này: Trên vành một chuỗi tổng quát R, mọi R - môđun
đều là tổng trực tiếp của các môđun một chuỗi (xem [2]).


16

Với E, F là các môđun không phân tích được trên vành một chuỗi

tổng quát R, ta định nghĩa m(E, F ) là môđun con bé nhất của E trong
tất cả các hạt nhân đồng cấu từ E đến F và m(E, F ) = 0 nếu và chỉ
nếu tồn tại một đơn cấu từ E đến F . Rõ ràng do E là là môđun không
phân tích được trên vành một chuỗi tổng quát theo kết quả trên ta có
E là môđun một chuỗi và do đó với cách định nghĩa trên của chúng
ta là tồn tại và duy nhất. Một kết quả khác trên lớp vành một chuỗi
tổng quát đã được chứng minh bởi Jain và Singh trong Theorem 3
([9]): Cho N là một môđun trên vành một chuỗi tổng quát R. Khi đó
N là môđun tựa nội xạ nếu và chỉ nếu N =

Σi∈Λ Ni , trong đó Ni là

các môđun một chuỗi và l(Ni ) ≤ l(Nj ) + l(m(E(Ni ), E(Nj ))), với mọi
i, j ∈ Λ.
Như chúng tôi đã giới thiệu trong ví dụ ở Nhận xét 2.1.2: môđun
giả nội xạ không hẳn là môđun tựa nội xạ. Câu hỏi hiển nhiên đặt ra
đó là: trong trường hợp nào môđun giả nội xạ là môđun tựa nội xạ?
Định lý sau là một trong những câu trả lời.
2.1.9 Định lý. Một môđun giả nội xạ trên vành một chuỗi tổng quát
R là môđun tựa nội xạ.
Chứng minh. Xét N là R- môđun giả nội xạ. Theo kết quả của Eisenbud và P. Griffith trong ([2]) ta có sự phân tích N =

Σi∈Λ Ni , trong

đó Ni là các môđun một chuỗi khác không. Đặt Ei = E(Ni ) là bao nội
xạ của các môđun Ni . Chúng ta sẽ chứng minh rằng, với mọi i, j ∈ Λ
ta có l(Ni ) ≤ l(Nj ) + l(m(Ei , Ej )) và từ đó sử dụng Theorem 3 ([9])
ta có N là môđun tựa nội xạ.
Thật vậy, nếu Ni ⊂ m(Ei , Ej ) thì hiển nhiên chúng ta có bất đẳng
thức trên. Do đó chúng ta chỉ cần xét trường hợp m(Ei , Ej ) ⊂ Ni .

Từ giả thiết N là môđun giả nội xạ, sử dụng Hệ quả 2.1.8 ta có
Ni ⊕ Nj cũng là môđun giả nội xạ. Xét đồng cấu σ : Ei → Ej sao
cho ker(σ) = m(Ei , Ej ). Đặt Fj là môđun con đơn của Ej . Từ Ej


17

là môđun một chuỗi, Fj ⊂ Nj và do đó σ−1 (Fj ) ⊂ Nj . Ta định nghĩa
η : σ−1 (Fj ) → Ni ⊕Nj xác định như sau: η(x) = (x, σ(x)), x ∈ σ−1 (Fj ).
Rõ ràng η là một đơn cấu, hơn nữa Ni ⊕ Nj là môđun giả nội xạ nên η
có thể mở rộng thành một tự đồng cấu η ∗ của Ni ⊕ Nj . Nếu λi : Ni →
Ni ⊕ Nj và pj : Ni ⊕ Nj → Nj lần lượt là các phép nhúng và phép chiếu
tự nhiên thì pj η ∗ λi : Ni → Nj hạn chế trên σ−1 (Fj ) bằng σ hạn chế
trên σ−1 (Fj ). Do đó ker(pj η ∗ λi ) = ker(σ) = m(Ei , Ej ). Từ đó ta có
Ni /m(Ei , Ej ) ∼
= pj η ∗ λi (Ni ) ⊆ Nj , suy ra l(Ni ) ≤ l(Nj ) + l(m(Ei , Ej )).
Định lý đã được chứng minh.

2.2

Môđun ic - giả nội xạ

Như chúng tôi đã giới thiêu trong mục 2.1, môđun N được gọi là
M - giả nội xạ (pseudo M - injective) nếu với mọi môđun con A của
M , mọi đơn cấu từ A tới N đều có thể mở rộng thành một đồng cấu
từ M tới N . Môđun N được gọi là môđun giả nội xạ nếu N là môđun
giả N - nội xạ. Khi thay thế điều kiện mọi môđun con A của M bởi
các ic - môđun con chúng ta có một hướng mở rộng khác của môđun
giả nội xạ. Trong mục này, chúng tôi sẽ tập trung giới thiệu một số
tính chất của lớp môđun ic - giả nội xạ.

Trước hết chúng ta có khái niệm ic - môđun con:
2.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R - môđun. Một môđun con N
của M được gọi là ic-môđun con nếu N đẳng cấu với một môđun con
đóng của M .
2.2.2 Nhận xét. Từ định nghĩa chúng ta có:
(i) Mọi môđun con đóng (hạng tử trực tiếp) của M đều là các ic môđun con của M . Tuy nhiên, điều ngược lại không hoàn toàn đúng.
Chẳng hạn, nZ là ic - môđun con của Z - môđun Z nhưng với n ≥ 2
thì nZ không là môđun con đóng của Z - môđun Z.


18

(ii) Mọi môđun con đẳng cấu với ic - môđun con của M đều là ic
- môđun con của M .
(iii) Một ic - môđun con của môđun con đóng (hoặc hạng tử trực
tiếp của M ) cũng là ic - môđun con của M .
(iv) Giả sử α : M → N là một đẳng cấu. Nếu L là một ic - môđun
con của M thì α(L) cũng là một ic - môđun con của N .
2.2.3 Định nghĩa. Cho M , N là các R - môđun. Môđun M được
gọi là ic - giả N - nội xạ (ic - pseudo N - injective), nếu với mỗi ic
- môđun con A của N mọi đơn cấu từ A tới M đều có thể mở rộng
thành một đồng cấu từ N tới M . Môđun M được gọi là ic - giả nội
xạ (ic - pseudo injective) nếu M là ic - giả M - nội xạ.
2.2.4 Nhận xét. Từ định nghĩa ta thấy:
(1). Môđun M là môđun liên tục nếu và chỉ nếu mọi ic - môđun
con của M đều là hạng tử trực tiếp. Do đó, mọi môđun liên tục cũng
là ic - giả nội xạ.
(2). Mọi môđun giả nội xạ là môđun ic - giả nội xạ, điều ngược lại
không hoàn toàn đúng. Chẳng hạn, theo (1) mọi môđun liên tục cũng
là ic - giả nội xạ. Tuy nhiên,trong [5] (Remark 2.4) tác giả đã chỉ ra

sự tồn tại của các môđun liên tục nhưng không là môđun giả nội xạ.
2.2.5 Mệnh đề. Cho N là ic - môđun con của R - môđun M và N là
ic - giả M - nội xạ. Khi đó, mọi đơn cấu từ N tới M đều chẻ ra. Đặc
biệt, nếu mọi môđun con đóng trong M đều là ic - giả M - nội xạ thì
M là CS - môđun.
Chứng minh. Đặt α : N → M là một đơn cấu. Vì N là ic - giả M
- nội xạ nên tồn tại đồng cấu g : M → M chính là mở rộng của
α−1 : α(N ) → N . Do đó ta có g ◦ α = idN . Vậy M = α(N ) ⊕ ker(g),
hay nói cách khác α là đơn cấu chẻ ra.
Tiếp theo, chúng ta có một đặc trưng của môđun ic - giả nội xạ.


19

2.2.6 Mệnh đề. Mọi môđun ic - giả nội xạ đều thỏa mãn điều kiện
(C2 ).
Chứng minh. Xét M là một môđun ic - giả nội xạ, A ⊆⊕ M và B là
môđun con của M thỏa mãn B ∼
= A. Ta phải chứng minh B ⊆⊕ M.
Thật vậy, đặt f : B → A là một đẳng cấu. Từ kết quả của Proposition 2.7 ([4]), A là môđun ic - giả M - nội xạ và do đó B cũng là môđun
ic - giả M - nội xạ. Theo Bổ đề 2.2.5 ta có đơn cấu idA ◦ f : B → M
chẻ ra và do đó B là hạng tử trực tiếp của M .
Kết quả sau là mối liên hệ giữa môđun liên tục và môđun ic - giả
nội xạ.
2.2.7 Định lý. R - môđun M là môđun liên tục nếu và chỉ nếu mọi
môđun con đóng của M là môđun ic - giả nội xạ.
Chứng minh. Điều kiện cần chúng ta có thể trực tiếp suy ra từ Nhận
xét 2.2.4 (1) và Proposition 2.7 ([4]). Ta chỉ cần chứng minh điều kiện
đủ.
Thật vậy, từ giả thiết M là môđun liên tục, theo Nhận xét 2.2.4 ta

có M là môđun ic - giả nội xạ. Theo Mệnh đề 2.2.6 ta có M thỏa mãn
điều kiện (C2 ). Mặt khác, nếu mọi môđun con đóng của M là môđun
ic - giả nội xạ thì theo Mệnh đề 2.2.5 ta có M là CS - môđun. Vậy
chúng ta có M là môđun liên tục.
Một câu hỏi hiển nhiên đặt ra đó là: tổng trực tiếp các môđun ic giả nội xạ có là môđun ic - giả nội xạ không? Chúng ta xét một ví dụ
sau:
F F
2.2.8 Ví dụ. Xét vành R = 0 F , trong đó F = Z/2Z và các R
0 0
0 F
F F
- môđun: A = 0 F , B = 0 0 , C = 0 0 . Rõ ràng ta có
A, B là các môđun ic - giả nội xạ (thực ra chúng là các môđun tựa nội
xạ) và R = A ⊕ B. Tuy nhiên, không là môđun ic - giả nội xạ vì: theo


20

Mệnh đề 2.2.6, R thỏa mãn điều kiện (C2 ) và A ∼
= C nhưng C không
là hạng tử trực tiếp của R.
Như chúng ta đã biết, nếu M1 ⊕ M2 là môđun nội xạ thì M1 và M2
nội xạ lẫn nhau. Chúng ta có tính chất tương tự đối với môđun ic giả nội xạ.
2.2.9 Định lý. Nếu M1 ⊕ M2 là môđun ic - giả nội xạ thì M1 và M2
là các môđun ic - giả nội xạ lẫn nhau.
Chứng minh. Xét A là một ic - môđun con của M2 và f : A → M1
là một đơn cấu. Đặt đồng cấu g : A → M1 ⊕ M2 xác định như sau:
g(a) = (f (a), a), ∀a ∈ A. Rõ ràng g là một đơn cấu.
Từ A đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của M1 ⊕ M2 , theo Mệnh
đề 2.2.6 ta có A là hạng tử trực tiếp của M1 ⊕ M2 . Do đó, A là ic môđun con của M1 ⊕ M2 . Từ giả thiết M1 ⊕ M2 là môđun ic - giả nội

xạ nên g có thể mở rộng thành tự đồng cấu h của M1 ⊕ M2 .
Đặt h = h|M2 . Xét phép chiếu tự nhiên π1 : M1 ⊕ M2 → M1 , khi
đó π1 ◦ h : M2 → M1 là mở rộng của f . Điều này chứng tỏ rằng M1 là
ic - giả M2 - nội xạ.
Tiếp theo chúng ta có một tính chất của lớp các môđun đẳng cấu
với môđun con đóng của môđun ic - giả nội xạ.
2.2.10 Mệnh đề. Nếu M là môđun ic - giả nội xạ thì mọi môđun con
đẳng cấu với môđun con đóng của M đều là môđun con đóng.
Chứng minh. Giả sử K là một môđun con đóng của M và A là một
môđun con của M thỏa mãn f : A → K là một đẳng cấu. Đặt i1 : K →
M , i2 : A → M là các đồng cấu bao hàm. Từ giả thiết M là môđun ic
- giả nội xạ nên tồn tại tự đồng cấu g của M sao cho i1 ◦ f = g ◦ i2 .
Sử dụng Bổ đề Zorn, tồn tại A cốt yếu trong M và chứa A. Khi đó,
hạn chế g|A là một đơn cấu và do đó K = g(A) cốt yếu trong g(A ),


21

suy ra A = A . Điều này chứng tỏ rằng A là một môđun con đóng của
M.
Định lý sau cho chúng ta mối liên hệ giữa lớp môđun ic - giả nội
xạ với các lớp môđun CS, liên tục và tựa liên tục.
2.2.11 Định lý. Cho M là một R - môđun, các phát biểu sau là tương
đương:
1. M là môđun liên tục;
2. M là môđun tựa liên tục và môđun ic - giả nội xạ;
3. M là CS - môđun và môđun ic - giả nội xạ.
Chứng minh. (1) ⇒ (2) : Hiển nhiên ta có nếu M là môđun liên tục
thì M là môđun tựa liên tục. Mặt khác, theo Nhận xét 2.2.4 ta có M
là môđun ic - giả nội xạ.

(2) ⇒ (3) : Tương tự trên, mọi môđun tựa liên tục là CS - môđun
do đó hiển nhiên ta có (2) ⇒ (3).
(3) ⇒ (1) : Theo (3), M là CS - môđun. Sử dụng Mệnh đề 2.2.11,
M thỏa mãn điều kiện (C2 ). Vậy M là môđun liên tục.
Như chúng ta đã biết, R - môđun M là nội xạ nếu và chỉ nếu
M là N - nội xạ với mọi R - môđun N . Trong [7], S.H.Mohamed và
B.J.Muller đã chứng minh được: M là môđun nội xạ nếu và chỉ nếu
M là N - giả nội xạ với mọi R - môđun N . Tương tự chúng ta có kết
quả đối với lớp môđun ic - giả N - nội xạ.
2.2.12 Mệnh đề. Cho M là R - môđun. Các phát biểu sau là tương
đương:
1. M là môđun nội xạ;
2. M là môđun ic - giả N - nội xạ với mọi R - môđun N .


22

Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Chúng ta chỉ cần chứng
minh điều kiện đủ. Thật vậy, đặt E = E(M ) là bao nội xạ của môđun
M . Khi đó, M là ic - môđun con của M ⊕ E. Đặt i : M → E là đồng
cấu bao hàm và j : E → M ⊕ E là phép chiếu tự nhiên. Từ giả thiết
M là môđun ic - giả N - nội xạ với mọi R - môđun N nên ta có M là
môđun ic - giả M ⊕ E - nội xạ. Do đó, ánh xạ đồng nhất idM của M
có thể mở rộng thành đồng cấu f : M ⊕ E → M. Điều này chứng tỏ
rằng M là một hạng tử trực tiếp của E, E là môđun nội xạ nên M là
môđun nội xạ.


23

KẾT LUẬN

Trên cơ sở tài liệu tham khảo chính ([4]), luận văn đã tập trung tìm
hiểu và chứng minh chi tiết các kết quả chính sau:
• Một số tính chất của lớp môđun giả nội xạ (Mục 2.1).
• Định nghĩa, một số tính chất của lớp môđun ic - giả nội xạ và mối
liên hệ giữa chúng với lớp môđun CS, môđun liên tục, ... (Mục
2.2).