Một số tính chất của môđun giả nội xạ

✶

❚r❛♥❣
▼Ö❈ ▲Ö❈ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶
▲❮■ ❈❷▼ ❒◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸
▼Ð ✣❺❯ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✶ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Ci) ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ▼æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕✱ ♠æ✤✉♥ tü❛ ♥ë✐ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶ ▼æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✷ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾
❑➌❚ ▲❯❾◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺


✷

❈⑩❈ ❑➑ ❍■➏❯ ❉Ò◆● ❚❘❖◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆
m

A⊆M
A ≤e M

✿ A ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M
✿ A ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝èt ②➳✉ ❝õ❛ M

Hom(N, M )
⊕

✿ ❚➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ tø N ✤➳♥ M

✿ ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥

f : N −→ M

✿ P❤➨♣ t÷ì♥❣ ù♥❣ tø N ✤➳♥ M

✿ ◗✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü

≤0
ϕ|A

✿ ❚❤✉ ❤➭♣ ❝õ❛ ϕ tr➯♥ A

N∼
=M

✿ ▼æ✤✉♥ N ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✈î✐ M

✿ ❑➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
∗

✿ A ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M

⊕

✿ A ❝èt ②➳✉ tr♦♥❣ M

A →M

A →M





ữủ t t t trữớ ồ
ữợ sỹ ữợ ừ t P ổ ũ
t tọ ỏ t ỡ s s t ữớ ữợ
t t sốt q tr ồ t ự
ụ t ỷ ớ ỡ t t qỵ
ổ ỏ t ồ rữớ ồ
trữớ ồ ỗ ợ
số ỵ tt số t ồ t ủ ở
ú ù t t t õ ồ tỹ ữủ

ũ õ ố s ổ t tr ọ ỳ
t sõt ú tổ rt ữủ ỳ ỵ õ õ ừ
t ổ ồ ữủ t ỡ
tr trồ ỡ

t




✹

▼Ð ✣❺❯
❈ò♥❣ ✈î✐ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛ ❚♦→♥ ❤å❝ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ sü ♣❤→t tr✐➸♥ ❝õ❛

✣↕✐ sè ♥â✐ r✐➯♥❣✱ ❧þ t❤✉②➳t ♠æ✤✉♥ ✤❛♥❣ ✤÷ñ❝ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ✤↕t
✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ ❦➳t q✉↔✳ ❚r♦♥❣ ❧þ t❤✉②➳t ♠æ✤✉♥✱ ❤❛✐ ❧î♣ ♠æ✤✉♥ ✤÷ñ❝ q✉❛♥ t➙♠
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤✐➲✉ ✤â ❧➔ ❧î♣ ♠æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕ ✈➔ ❧î♣ ♠æ✤✉♥ ①↕ ↔♥❤✳
❚r♦♥❣ ❝→❝ ❤÷î♥❣ ♠ð rë♥❣ ♠æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕ t❤➻ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ❧➔ ♠ët
tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❧î♣ ♠æ✤✉♥ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤✐➲✉ tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②
✭♥❤÷ ❙✳ ❑✳ ❏❛✐♥ ✈➔ ❙✳ ❙✐♥❣❤ ✭✶✾✻✼✮✱ ▼✳ ▲✳ ❚❡♣❧② ✭✶✾✼✺✮✱ ❆✳ ❆✳ ❚✉❣❛♥❜❛❡r
✭✶✾✼✽✮✱ ✣✐♥❤ ◗✉❛♥❣ ❍↔✐✱ ✳✳✳✮✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❞ü❛ tr➯♥ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✸❪ ❝õ❛ ❍❛✐ ◗✉❛♥❣ ❉✐♥❤ ✭✷✵✵✺✮✱
❆ ♥♦t❡ ♦♥ Ps❡✉❞♦✲✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥s ✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✸✱ ✸✻✶✲
✸✻✾ ✈î✐ ♠ö❝ ✤➼❝❤ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❤➺ t❤è♥❣ ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✱ tr➻♥❤
❜➔② ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✈➔ ♠æ✤✉♥ tü❛ ♥ë✐ ①↕✳ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥
♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥✱ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷ñ❝ ❝❤✐❛ ❧➔♠ ✷ ❝❤÷ì♥❣✳

❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (Ci) ❝õ❛ ♠æ✤✉♥✱
❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ♠➺♥❤ ✤➲ ✈➲ ♠æ✤✉♥ ♥ë✐ ①↕✱ ♠æ✤✉♥ tü❛ ♥ë✐ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➸
♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕

❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ♠➺♥❤ ✤➲✱ ✤à♥❤ ❧þ ✈➲ t➼♥❤ ❝❤➜t
❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✳




ì
r t t R t ủ õ tỷ ỡ

1 tt ổ t tr R Rổ tr
r ữỡ ú tổ tr ỵ
ũ ự t q t t ừ ổ ở

Ci ừ ổ
Ci ừ ổ

M Rổ t t s ố ợ M
C1 ợ ộ ổ A ừ M tỗ t ởt tỷ trỹ
t X ừ M A ốt tr X
(1 C1) ợ ộ ổ U ừ M U tỗ t ởt
tỷ trỹ t X ừ M U ốt tr X
(C2) ởt ổ A ừ M ợ tỷ trỹ
t ừ M t A tỷ trỹ t ừ M
(C3) M1 M2 ỳ tỷ trỹ t ừ M s
M1 M2 = 0 t M1 M2 ụ tỷ trỹ t ừ M



ổ M ữủ ồ t ổ CS ổ M tọ
(C1)
ổ M ữủ ồ t ổ ố ợ ổ M õ
(1 C1 )
ổ M ữủ ồ tử õ tọ (C1) (C2)
ổ M ữủ ồ tỹ tử M tọ (C1) (C3)
M Rổ ởt ổ N ữủ ồ M ở ồ

ồ ỗ : X N rở ữủ t ỗ
: M N
ổ M ữủ ồ tỹ ở M M ở
m

XM

ử

t tr Z Z tọ (C1) ợ ồ nZ Z t õ


ã n = 0 s r 0 0 Z


ã n = 0 s r nZ Z Z ợ Z = Z 0
Z tọ (1 C1)

Z ổ tọ (C2) 2Z
= Z Z Z ữ 2Z
ổ ốt tr Z
Z tọ (C2) s r Z tọ (C3) t
s
ổ M tọ (C2) t M tọ
(C3)
ự ú t s sỷ ử t r ự
tr
t r ổ M = A + B (1) X M, A X t
ừ ừ ợ X t õ X = A + (B X)
sỷ M tọ (C2) t s ự M tọ

(C3) t
M1 M M = M1 M
t
m

: M1 M M1
x1 + x2 x1

s ự

M1 M2 = M1 M2

t


✼

▲➜②

x1 + x2 ∈ M1 ⊕ M2 ⇒ x2 ∈ M2
⇒ x2 ∈ M
⇒ x2 = x1 + x∗1
⇒ π(x2 ) = π(x1 + x∗1 ) = x∗1
⇒ x∗1 ∈ πM2
⇒ x1 + x2 = (x1 + x1 ) + x1 ∗
⇒ x1 + x2 ∈ M1 ⊕ πM2 .

▼➦t ❦❤→❝✱ ❧➜② y1 + πy2 ∈ M1 + πM2, (y2 ∈ M2)✳ ❱➻ y2 ∈ M2 ♥➯♥ y2 ∈ M ✳
❉♦ ✤â✱ y2 = y1 + y1∗✱ s✉② r❛ y1∗ = y2 − y1 ✈➔ π(y2) = y1∗✳
❚❛ ❝â

y1 + πy2 = y1 + y1∗ = y1 + y2 − y1 = (y1 − y1 ) + y2 ∈ M1 + M2 .

❉♦ M2 ∩ Kerπ = M2 ∩ M1 = 0 ♥➯♥ π/M2 ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉✳
⊕
❙✉② r❛ πM2 ∼
= M2 → M ✳
⊕
❉♦ M t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ C2 ♥➯♥ πM2 →
M✳
m
❱➟② M = πM2 ⊕ N ✭✯✮ ✭✈➻ N ⊆ M ✮✳
▼➦t ❦❤→❝✱ ❞♦ πM2 ⊆ M1∗ ♥➯♥ t❛ sû ❞ö♥❣ ❧✉➟t ▼♦❞✉❧❛r✱ ❧➜② ❣✐❛♦ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛
✭✯✮ ✈î✐ M1∗, M1∗ = πM2 ⊕ (N ∩ M1∗) ✭✷✮✳
❚❤❛② ✭✸✮ ✈➔♦ ✭✷✮ t❛ ✤÷ñ❝
M = M1 ⊕ πM2 ⊕ (N ∩ M1∗ ).

❉♦ ✤â

M = πM2 → M ✳
⊕

✶✳✶✳✺✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ ♠æ✤✉♥ A ✈➔ M ⊆m A✳ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥

❝♦♥ ✤â♥❣ tr♦♥❣ A ♥➳✉ M ❦❤æ♥❣ ❝â ♠ð rë♥❣ t❤ü❝ sü ♥➔♦ tr♦♥❣ A✳




õ M ữủ ồ õ tr A ồ ổ X = 0
m

ừ A M X t X = M

ổ M tọ (C1) ồ

ổ õ tr M tỷ trỹ t
ự
sỷ ổ M tọ (C1) t ự
ồ ổ õ tr M tỷ trỹ t t
ồ A ổ õ ừ M M tọ (C1)
tỗ t B ổ ừ M s




B M, A B.

A õ A = B ứ õ s r A
M
ừ sỷ ồ ổ õ tr M tỷ trỹ
t t ự M tọ (C1)
õ ợ ồ ổ B ổ ừ M ổ tỗ t õ
B ừ B õ B ổ tố õ B õ tr M t
tt ồ ổ õ tỷ trỹ t B tỷ
trỹ t ừ M M tọ (C1)
ổ ở tọ (C1)
ổ tỹ ở ổ tử
ự sỷ M ổ tỹ ở t ự M
ổ tử t ự M tọ (C1) (C2)
t t ự M tọ (C1) t
m

N M t ở I(M ) ừ M ự ở I(N ) = E
ừ N I(M ) = E G ợ ộ ổ G ữ t õ M =


(M E) (M G) t N E N (M E) õ ự




tọ r M tọ (C1)
ớ t ự M tọ (C2)
ồ A ổ ừ M tỷ trỹ t ừ
M = A A ồ , i ữủt

M

õ

: A A A
i : A M

ồ f : A M ỡ t N = f (A)
tt t õ M tỹ ở tỗ t h : M M s
hf = i õ hf = 1A õ N tỷ trỹ t ừ M

ớ sỷ r N
= P M ứ M M ở t s r P
P ở õ N M ở õ ỗ t 1N : N N
õ t rở t ỗ : M N õ õ r tự
M = N Ker

M tọ (C2)

ổ ở ổ tỹ ở tử
M N R ổ

ổ M ữủ ồ N ở ợ ồ ổ X ừ N ồ
ỗ f : X M rở ữủ t ỗ g : N M
tự ỗ s
g i = f tr õ i ú ỗ
ổ M ữủ ồ tỹ ở M M ở
ổ M ữủ ồ ổ ở M N ở ợ ồ ổ
N
ổ M N ữủ ồ ở M N ở




M ở
ở ừ ổ M E(M ) ổ ở t s
M ốt tr E(M )
N

M Rổ tr õ

M ở M = E(M )
N e M t E(N ) = E(M )
M Q Q ổ ở t Q = E(M ) E
A E(M) ở t A ỳ t E(
A E(M )

sỷ ổ M =

A M )

tờ trỹ t ừ
ổ Mi õ t s tữỡ ữỡ
M tỹ ở
Mi tỹ ở M (I i) Miở ợ ồ i I
ự
(i) (ii) M ổ ở I tr ừ R f : I
M ởt ỗ ổ R Rổ M Rở õ
f rở t ỗ f : R M
t m = f (1) õ
iI

Mi

f (x) = f (x.1) = f (x.1) = xf (1) = xm, x I.
(ii) (i)

sỷ õ ừ t ự M N ở ợ
ồ ổ N t
X ổ tũ ỵ ừ N g : x M ởt ỗ t
t ự tỗ t ỗ g rở ừ g

=

t ồ
S = {(T, ) | X T N, : T M, |x = g}.

t (X, g) S r S = ỉ tự tỹ t S t q ữ s
(T1 , 1 ) (T2 , 2 )

T1 T2
2 |T1 = 1

ự S tọ ờ r
t s tự tỹ t t ừ S s
(T1 , 1 ) (T2 , 2 ) ... (Tn , n ) ...(1).

t T =
i=1 r T N
: T M ợ x T r k : x Tk
(x) = k (x) tr ữủ ỗ
õ (T, ) tr ừ ờ r S õ tỷ tố
(B, ) S ự B = N g =
t B N s r a N \B t H = B + Ra r
B H a B
ỗ h : H M h(b + ra) = (b) + rm tr
õ m ữủ ữ s
ồ I = {r R | ra B} t tr ữủ I tr ừ
R ỗ g : I M g(r) = (ra), r I ữ
B H t ừ h h rở ừ
t ợ t tố ừ (B, )
B = N g = r g rở ừ g

ổ M ở ợ ồ tr I

ừ R ồ ỗ f : I M t tỗ t m M f (x) = xm, x I


✶✷

✶✳✷✳✺✳ ▼➺♥❤ ✤➲✳ ◆➳✉ M ❧➔ N ✲♥ë✐ ①↕ ✈➔ A ≤ N t❤➻ M ❧➔ A✲♥ë✐ ①↕ ✈➔

N/A✲♥ë✐

①↕✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚r÷î❝ ❤➳t t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ M ❧➔ A✲♥ë✐ ①↕✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜②
X ≤ A ✈➔ f : X −→ M ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉✳ ❚❛ ❝ô♥❣ ❝â X ≤ N ✳ ❉♦ M ❧➔ N ✲♥ë✐
①↕ ♥➯♥ f ♠ð rë♥❣ t❤➔♥❤ ✤ç♥❣ ❝➜✉ g : N −→ M ✳ ❑❤✐ ✤â g|A ❧➔ ♠ð rë♥❣
❝õ❛ f tr➯♥ A ❤❛② M ❧➔ A✲♥ë✐ ①↕✳
❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ M ❧➔ N/A✲♥ë✐ ①↕✳ ▲➜② X/A ≤ N/A ✈➔ α :
X/A −→ M ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉✳ ●å✐ π : N −→ N/A ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ tü ♥❤✐➯♥✳
✣➦t ϕ = ϕπ|X ✳ ❉♦ M ❧➔ N ✲♥ë✐ ①↕ ♥➯♥ αϕ ♠ð rë♥❣ t❤➔♥❤ ✤ç♥❣ ❝➜✉
φ : N −→ M ✳ ❚❛ ❝â
φ(A) = αϕ(A) = α(0) = 0

❙✉② r❛ Kerπ ≤ Kerφ✳ ❉♦ ✤â✱ tç♥ t↕✐ ✤ç♥❣ ❝➜✉ β : N/A −→ M s❛♦ ❝❤♦
βπ = φ✳ ❱î✐ ♠å✐ x ∈ X ✱ t❛ ❝â
β(x + A) = βπ(x) = φ(x) = αϕ(x) = α(x + A).

❱➟② β ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝õ❛ α ❤❛② M ❧➔ N/A✲♥ë✐ ①↕✳

✶✳✷✳✻✳ ▼➺♥❤ ✤➲✳ M ❧➔ N ✲♥ë✐ ①↕ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ϕ(N ) ≤ M ✈î✐ ♠å✐

ϕ ∈ Hom(E(N ), E(M ))✳

✶✳✷✳✼✳ ❇ê ✤➲✳ ❈❤♦ M1 ✈➔ M2 ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ✈➔ M

= M1 ⊕ M2 ✳

❚❤➳
t❤➻✱ M2 ❧➔ M1✲♥ë✐ ①↕ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ N ❝õ❛ M ♠➔
N ∩ M2 = 0 ✤➲✉ tç♥ t↕✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ K ❝õ❛ M s❛♦ ❝❤♦ M = K ⊕ M2 ✈➔
N ≤ K✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤
✭⇒✮ ●✐↔ sû M2 ❧➔ M1 ♥ë✐ ①↕ ✈➔ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛ M ♠➔
N ∩ M2 = 0✳ ●å✐ πi : M −→ Mi , (i = 1, 2) ❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉✳




t = 1|N , = 2|N N M2 = 0 ỡ M2
M1 ở tỗ t ỗ : M1 M2 s =
K = {m1 + (m1 ) | m1 M1 }

ợ ồ n N t n = m1 + m2 õ (n) = (n) (m1) = m2
ứ t s r n = m1 + (m1) K õ N K õ m1 M1
m2 M2 s m1 + (m1) = m2 t m1 = m2 (m1) M2
m1 = 0 m2 = 0 ữ K M2 = 0
t ợ ồ m M t
m = m1 + m2 = m1 + (m1 ) + m2 (m1 ) K M2 .

M = K M2
sỷ ồ ổ N ừ M N M2 = 0 tỗ t ổ
K ừ M s M = K M2 N K X ổ ừ

M1 f : X M2 ỗ
t H = {x f (x) | x X} õ H ổ ừ M
H M2 = 0 tt tỗ t ởt ổ H ừ M s
M = H M2 H H
: M = H M2 M2 t g : |M , x X t
1

g(x) = (x) = (x f (x) + f (x) = f (x).

g rở ừ f M2 M1ở

ổ M ữủ ồ ởt ổ ộ

ổ ổ ốt tr ởt tỷ trỹ t õ
ừ M

ổ M ữủ ồ tỹ ở tử




õ ởt ổ ợ tỷ trỹ t M1 M2 ừ M
M1 M2 = 0 t M1 M2 ụ ởt tỷ trỹ t ừ M

ồ ổ ổ tỹ tử

ự

N = 0 t 0
M

N = 0 t ồ ổ 0 ừ M ốt tr


M t N M N M
õ M tọ ổ ộ ổ N ừ M
õ rở ốt tỷ trỹ t ừ M ự M tọ
ợ tỷ trỹ t M1, M2 ừ M M1 M2 = 0
t M1 M2 ụ ởt tỷ trỹ t ừ M
t M1 = 0 M2 = 0 t t tt M t
õ ồ ổ 0 ừ M ốt tr M tự




M1 M, M2 M,

õ M1 M2 = 0 tr ợ tt t ợ M1 M2 = 0
ổ t r ỗ tớ M1 = 0, M2 = 0 t ổ õ

M1 M 2 M
M ổ tỹ ở tử

ử ổ s ổ tỹ ở tử

ú
ổ ỡ
Z số ợ p số tố n N õ Z
ổ Z/Zp õ ổ tỹ ở tử
Q t số ỳ t QZ Zổ õ ộ ổ
0 ừ QZ ổ tỹ ở tử

n


✶✺

✹✳ ▼æ✤✉♥ ZZ ❧➔ ♠æ✤✉♥ tü❛ ♥ë✐ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✳

✶✳✷✳✶✷✳ ✣à♥❤ ❧þ✳ ❈❤♦ M ❧➔ R✲♠æ✤✉♥✳ ❈→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿

✭✐✮ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ tü❛ ♥ë✐ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✳
✭✐✐✮ M = X ⊕ Y ✈î✐ ♠é✐ ❝➦♣ ♠æ✤✉♥ X, Y ❝õ❛ M ♠➔ ❝❤ó♥❣ ❧➔ ♣❤➛♥ ❜ò
❝õ❛ ♥❤❛✉✳
✭✐✐✐✮ f (M ) ⊂ M ✈î✐ ♠é✐ ❧ô② ✤➥♥❣ f ∈ End(E(M ))✳
✭✐✈✮ ◆➳✉ E(M ) = i∈I Ei t❤➻ M = i∈I M ∩ Ei✳

✶✳✷✳✶✸✳ ✣à♥❤ ❧➼✳ ✣è✐ ✈î✐ ♠é✐ ♠æ✤✉♥ M t❤➻ ♠é✐ ♠➺♥❤ ✤➲ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣

✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ M ❧➔ ♠æ✤✉♥ tü❛ ♥ë✐ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝✳
✭✐✐✮ ❱î✐ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❦➻ M1, M2 ❝õ❛ M ♠➔ M1 ∩ M2 = 0 t❤➻ ♠é✐
♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ πi : M1 ⊕ M2 −→ Mi, (i = 1, 2) ✤➲✉ ♠ð rë♥❣ ✤÷ñ❝
t❤➔♥❤ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❝õ❛ M ✳


✶✻

❈❍×❒◆● ✷✳ ▼❐❚ ❙➮ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ❈Õ❆ ▼➷✣❯◆ ●■❷ ◆❐■
❳❸
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❤➺ t❤è♥❣ ❤â❛ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔
✤↕t ✤÷ñ❝ ✈➲ ✈✐➺❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✳

✷✳✶✳ ▼æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕
✷✳✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ❈❤♦ M, N ❧➔ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ tr→✐✳ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ N ✲

❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ A ❝õ❛ N ✱ ✈î✐ ♠å✐ ✤ì♥ ❝➜✉ f : A −→ M
✤➲✉ ♠ð rë♥❣ ✤÷ñ❝ t❤➔♥❤ ✤ç♥❣ ❝➜✉ g : N −→ M ✳
M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ♥➳✉ M ❧➔ M ✲❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✳
✷✳✶✳✷✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭✐✮ ▼ët ❞➣② ❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ R✲♠æ✤✉♥
fn

fn+1

... −→ An−1 −→ An −→ An+1−→...

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤î♣ t↕✐ An ♥➳✉ Imfn = Kerfn+1✳ ❚❛ ♥â✐ ❞➣② ♥➔② ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣
♥➳✉ ♥â ❦❤î♣ t↕✐ An ✈î✐ ♠å✐ n✳
✭✐✐✮ ▼ët ❞➣② ❦❤î♣ ❞↕♥❣
f

g

0 −→ M −→ N −→ K −→ 0

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ♥➳✉ f ❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉✱ g ❧➔ t♦➔♥ ❝➙✉ ✈➔ Imf = Kerg✳
f
✭✐✐✐✮ ▼ët t♦➔♥ ❝➜✉ ❝õ❛ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ M −→
N −→ 0 ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➫ r❛
♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ g : N −→ M s❛♦ ❝❤♦ f g = 1N ✳
f
✭✐✈✮ ▼ët ✤ì♥ ❝➜✉ ❝õ❛ ❝→❝ R✲♠æ✤✉♥ 0 −→ M −→

N ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➫ r❛
♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ g : N −→ M s❛♦ ❝❤♦ gf = 1M ✳
✭✈✮ ❉➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥
f

g

0 −→ M −→ N −→ K −→ 0

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➫ r❛ ♥➳✉ Imf (❤♦➦❝Kerg) ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ N ✳






M N ở t ồ ỡ f : M N r
ổ M ở M N ở ợ ồ ổ
N
M N ở t M A ở ợ ồ ổ
A ừ N
ộ tỷ trỹ t ừ ổ M ở ổ M ở

M ổ N ở t (N ) M ợ ồ : E(M )
E(N ) ỡ t P ổ ở t (P ) P ợ
ồ ỡ End(E(P ))
sỷ A B ổ ở E(A)
= E(B)
t ộ tứ E(A) E(B) tr t ởt tứ A B
tr trữớ ủ A

= B õ A B ổ ở
ự
sỷ f : M N ởt ỡ f 1 : f (M ) M
ừ f M N ở õ ởt ỗ f : N M
rở ừ f 1 t u = f ã f f (M ) r tr N
ứ M ổ N ở N õ ộ ỡ
M N r õ M ở õ M ổ ở
M N ở N M N ở N
sỷ X ởt ổ ừ A f : X M ởt ỡ
õ X ụ ởt ổ ừ N N ở ừ M f
rở ữủ t ỗ f : N M f |A ừ f ợ A
ởt ỗ A M ụ ởt rở ừ f




õ M ổ A ở
sỷ M ổ N ở A tỷ trỹ t ừ M
tự M = A B ợ B M ự A ổ ở
X A f : X A ởt ỡ õ iAf : X M
ụ ởt ỡ tr õ iA : A M ú M
ở iAf rở ữủ t ỗ : M M t = |A
: M = A B A g = : A A t õ
giX = iX = iA f = f,

tr õ iX : X A ú g rở ừ f t
A ổ ở
sỷ M ổ N ở : E(N ) E(M ) ởt
ỡ
X = {n N |(n) M }

M ổ N ở |X õ t rở rở ữủ t
: N M n N, m M ợ( )(n) = m t õ
(n) = (n) + m M

õ õ n X tứ m = (n) (n) = (n) (n) = 0
õ M ( )(N ) = 0 M e E(M ) ( (N )) = 0
(N ) = (N ) M
sỷ f : E(A) E(B) ởt ứ t õ f (A) B
ữỡ tỹ f 1(B) A õ
B = (f f 1 )(B) = f (f 1 (B)) f (A) B.

õ õ f (A) = B õ f |A : A B ởt
A
= B




ỡ ỳ ợ A B ở B
= A t õ A A ở ứ õ
s r A ổ ở

ởt số t t ừ ổ ở
ỵ M1 M2 ổ ở t M1 M2 ở


ự sỷ M1 M2 ổ ở t ự M1
M2ở M2 M1ở
t sỷ A M2 f : A M1 ởt ỗ

g : A M1 M2 ợ g(a) = (f (a), a) ợ ồ a A õ g
ởt ỡ
ứ t t õ M1 M2 M2 ở õ g rở
ữủ t ỗ g : M2 M1 M2 ồ 1 : M1 M2 M1
tỹ ừ M1 M2 M1 t 1g : M2 M1 ởt
ỗ rở ừ f õ M1 M2ở
ự tữỡ tỹ t ụ õ ữủ M2 M1ở

q

i Mi

ổ ở t Mj Mk

ở ợ ồ j, k
ự s r tứ ỵ

q ợ ồ số tỹ n 2 M n ở

M tỹ ở
ự
M n ổ ở t t q M M ở
õ M ổ tỹ ở
ữủ M ổ tỹ ở t M n ổ tỹ ở
tr trữớ ủ t M n ổ ở




r trữớ ủ t ồ MR = RR t q õ r

ồ số tỹ n 2 ổ RRn ở R tỹ ở
R ụ tỹ ở
k ợ ộ số k 2 t ổ M (R) Rk
Mk (R)R
= RR
R = R
k
ở R tỹ ở
2

2

t q ự tọ r P r

q ổ ú P r q õ
r M ổ ở t ồ tỷ trỹ t ỳ ừ
M ở M n ổ ở ợ ồ n 2
t q ữủ ổ M tỹ ở õ
ổ ở ổ ổ tỹ ở

ỵ ồ ổ ở tọ t t (C2)

ự sỷ M ổ ở B ổ ừ M
ợ tỷ trỹ t A ừ M ự B
tỷ trỹ t ừ M
t f : A B õ f ụ ởt ỡ
tứ A M M M ở t t s r
A M ở
t ỡ f r B tỷ trỹ t
ừ M ổ M tọ t t (C2)

t ởt ổ ở ổ sỷ M

ởt ổ ừ ổ ữ s
õ N1
= N2 tỹ ỗ ừ Ni ởt tứ Z/(2) ỹ
tỗ t ổ ữủ t ử ừ tt ữủ
tr tr ờ




M ổ ở ró r M ổ tọ
(C1)

q ởt ổ ở tử

ự ứ ỵ t s r ự
ợ r ởt P D ởt s ộ Dổ
ở

t ởt ổ tử ổ t tt ổ

ở ữ ử tr r sỷ D ởt P õ
ổ tự ởt ử tr s tỗ
t ởt D ữ ớ sỷ E(D) ở ừ D E(D)/D
ổ ỷ ỡ E(D) ởt ổ ợ t M ữ D õ
M Dổ tử ó r M ổ
ổ ở õ M õ t ổ ở
õ ú t õ t s

ở tỹ ở tử tỹ tử .

ỵ R ởt õ

ổ M ổ s ở t M tỹ ở
R tr t ộ ổ ở ổ s
Rổ M ự ởt ổ tỹ ở ợ t E s E
ốt tr M r trữớ ủ ộ ổ ừ M
ốt tr tỷ trỹ t ừ M t M = E ợ M ổ tỹ ở

ự
A ổ ừ M f : A M ỗ




Kerf = 0 t tt t f rở ữủ t ỗ g :
M M
Kerf = 0 t : iA f tr õ iA : A M
x Kerf Ker t õ f (x) = 0 x f (x) = 0 x = 0
Ker = 0
M ở rở ữủ t ỗ g : M M
1 g rở ừ f
sỷ R tr MR ởt ổ ở
ổ s õ M ự ởt ổ ốt E = iE Ei ợ
ộ Ei ởt ổ õ t sỷ r Ei rở ốt
t ừ M M ổ s ộ Ei rở ốt ợ
t t ừ M
m
sỷ fi : Ai Ei ởt ỗ ợ Ai Ei fi = 0 t fi ởt

ỡ õ fi õ t rở t ỗ fi : M M fi|E
ởt ỡ fi(E) ợ Ej f i(Ei) = 0 ỡ ỳ M/Ej ổ
s ứ õ s r fi(Ei) Ej õ t õ f i|E : Ei Ej
rở ừ fi õ Ej Eiở ợ ồ i, jinI r
Pr ổ E = iI Ei tỹ ở ợ ú ỵ r
t ổ tt t R ổ õ số ỳ
ợ ộ E ỹ sỷ õ ởt ổ X ừ M tỹ ở
ự E F I ởt t ỳ T = iF Ei ự
n = |F | ợ T tỷ trỹ t ừ X
ợ n = 1 ró r Ei õ tr M õ Ei ụ õ tr X
õ ởt tỷ trỹ t ừ X
sỷ ự ú ợ ồ t I ợ ỹ ữủ < n
i

i

1




õ
X = (Ei1 ... Ein1 ) Y

t ổ ú t õ
Ei1 ... Ein1 Ein = Ei1 ... Ein1 Z

ợ Z = Ei ... Ei Ei Y
ó r Z
= Ei

ớ t sỷ Z rở ợ t ừ Z tr X u : Z
Ei ởt õ u ởt rở ừ ỗ u : X X
õ U |Z ởt ỡ ứ õ s r u(Z ) ổ ự Ei
Ei õ tr M t õ u(Z ) = Ei ứ õ s r Z = Z ợ Z
tỷ trỹ t ừ X r Pr
E ởt tỷ trỹ t ừ X E ốt tr X õ X = E
ố ũ t ú ỵ trữớ ủ ộ ổ ừ M ốt
tr ởt tỷ trỹ t ừ M ứ õ t r r {Ei}iI
ởt tỷ ữỡ trỹ t ừ M õ R tr
E ốt tr M t õ M = E

1

n1

n

n

n

n

n


✷✹

❑➌❚ ▲❯❾◆
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❞ü❛ ✈➔♦ ❜➔✐ ❜→♦ ❬✸❪✳ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ t➻♠ ❤✐➸✉✱ tê♥❣ ❤ñ♣ ✈➔ tø ✤â

tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✈➲ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕✳ ❈ö
t❤➸✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤÷ñ❝ ♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ✈✐➺❝ s❛✉ ✤➙②✳
✶✳ ❚➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ✈➲ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ✈➔ ♠ët sè
t➼♥❤ ❝❤➜t✳

✷✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❣✐↔ ♥ë✐ ①↕ ❞ü❛

✈➔♦ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❝❤✉➞♥ ❜à tr÷î❝✳


✷✺

❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ ❑❍❷❖
❚✐➳♥❣ ❱✐➺t
❬✶❪ ❉÷ì♥❣ ◗✉è❝ ❱✐➺t ✭✷✵✵✾✮✱ ▲þ t❤✉②➳t ♠♦❞✉❧❡✱ ◆❤➔ ①✉➜t ❜↔♥ ✣↕✐ ❤å❝ s÷
♣❤↕♠✳

❚✐➳♥❣ ❆♥❤
❬✷❪ P✳ ❈✳ ❇❤❛r❛❞✇❛❥✱ ❆✳ ❑✳ ❚✐✇❛r② ✭✶✾✽✷✮✱ Ps❡✉❞♦ ✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❇✉❧❧✳
▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ❙❝✐✳ ▼❛t❤✳ ❘♦✉♠❛♥✐❡✱ ❘✳ ❙✳✭◆✳❙✮✱ ✷✻✭✼✹✮✱ ✷✶✲✷✺✳
❬✸❪ ❉✐♥❤✱ ❍✳ ◗ ✭✷✵✵✺✮✱ ❆ ♥♦t❡ Ps❡✉❞♦✲✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✉❧❡s✱ ❈♦♠♠✉♥✐❝❛t✐♦♥
✐♥ ❆❧❣❡❜r❛✱ ✸✸✱ ✸✻✶✲✸✻✾✳
❬✹❪ ❙✳ ❑✱ ❏❛✐♥✱ ❙✳ ❙✐♥❣❤ ✭✶✾✼✺✮✱ ◗✉❛s✐✲✐♥❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ♣s❡❞♦✲✐♥❥❡❝t✐✈❡ ♠♦❞✲
✉❧❡s✱ ❈❛♥❛❞✳ ▼❛t❤✳ ❇✉❧❧✱ ✶✽✱ ✸✺✾✲✸✻✻✳
❬✺❪ ❙✳ ❍✳ ▼♦❤❛♠❡❞✱ ❇✳ ❏✳ ▼✉❧❧❡r ✭✶✾✾✵✮✱ ❈♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❉✐s❝r❡t❡ ▼♦❞✉❧❡s✱
▲♦♥❞♦♥ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳ ▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡ ❙❡r✱ ✶✹✼✳ ❈❛♠❜r✐❞❣❡ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✳