Một số tính chất của đạo hàm lie trên đa tạp Riemann

1

MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC……………………………………………………………………1
LỜI NÓI ĐẦU..……………………………………………………………...2
Chương I.LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA ………………………………………..4
1.1.
1.2.

Liên thông tuyến tính ………………………………………………...4
Liên thông Lêvi-Sivita …………...…………………………………11

Chương II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE
TRÊN ĐA TẠP RIEMANN…………………………….…16

2.1.

Đạo hàm Lie của hàm số khả vi……………………………………..16

2.2.

Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính…………………….………..19

2.3.

Mối liên hệ giữa LX và ∇ …………………………………………...27

KẾT LUẬN…………………………………………………………………..34
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………........35

2

LỜI NÓI ĐẦU
Hình học Riemann ra đời từ giữa thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp
Riemann có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như:
giải tích, lý thuyết hệ động lực; vật lý, các nghành khoa học kỹ thuật, ... Đến
những năm cuối của thế kỷ 19 , cùng với sự phát triển của tôpô với những công
trình nổi tiếng của Hausdoff, Poincaré ... thì hình học trên các đa tạp đã phát
triển mạnh mẽ. Chính tôpô đã trở thành một công cụ hữu hiệu trong việc xây
dựng các cấu trúc hình học và liên thông là công cụ hữu hiệu để xác định các
hàm: độ cong, độ xoắn....
Đạo hàm có nhiều ứng dụng trong thực tế và khoa học, nghiên cứu đạo
hàm chính là nghiên cứu các điểm cực trị, nghiên cứu các tính chất hình học...
Trong một vài thập niên gần đây nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu
về đạo hàm Lie trên các đại số, đại số Lie. Chính vì vậy, chúng tôi đã chọn đề
tài: ” Một số tính chất của đạo hàm Lie trên đa tạp Riemann” .
Luận văn được trình bày trong 2 chương:
CHƯƠNG I. LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA
Trong chương này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính
chất cơ bản của liên thông tuyến tính, liên thông Lêvi – Sivita. Đây là những
kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau. Chương I được chia
làm 2 phần.
1.1.

Liên thông tuyến tính

1.2.

Liên thông Lêvi-Sivita

CHƯƠNG II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE TRÊN ĐA
TẠP RIEMANN
Trong chương này, chúng tôi cũng trình bày định nghĩa, ví dụ và một số
tính chất cơ bản của đạo hàm Lie: Đạo hàm Lie của hàm số khả vi, của liên


3

thông tuyến tính và mối liên hệ giữa LX và YChương này là nội dung chính
của luận văn. Chương II được chia làm 3 phần
2.1.

Đạo hàm Lie của hàm số khả vi

2.2.

Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính

2.3.

Mối liên hệ giữa LX và

Y

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại Khoa Sau đại học,
Trường Đại Học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu
Quang. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đặt bài toán và
chỉ dẫn cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong

Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại Học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy,
góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận
văn. Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình đã động viên,
giúp đỡ cho tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Vinh, tháng 10 năm 2013.
Tác giả


4

CHƯƠNG I. LIÊN THÔNG LÊVI-SIVITA
Trong luận văn này, ta luôn giả thiết M là đa tạp Riemann với cấu trúc
khả vi { , } và cấu trúc Riemann g.
• ℬ( ) ={ X / X khả vi trên M }, với X là trường véc tơ .
• ℱ( ) ={ f : M →R, khả vi }.
={không gian các vec tơ tiếp xúc với M tại p ∈M }.

•

• [X,Y] là tích Lie của trường vectơ X,Y ∈ ℬ( ).
1.1. Liên thông tuyến tính .
1.1.1. Định nghĩa ([6]). Ánh xạ ∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
(X,Y) ⟼ ∇ Y, được gọi là liên
thông tuyến tính trên M nếu và chỉ nếu ∇ thỏa mãn các điều kiện sau :
T , ∇ (Y + Z) = ∇ Y + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T ,∇
T ,∇

Y = φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M);

Z = ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);

T , ∇ φY = X[φ]. Y + φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M).
∇ Y được gọi là đạo hàm của trường véc tơ Y dọc theo X đối với ∇.
Từ điều kiện T1, T2 , T4 ta có nhận xét:
Với mỗi X ∈ ℬ (M), ta ký hiệu: ∇ : ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
Y ⟼ ∇ Y. Khi đó ∇ là một ánh xạ
tuyến tính và có tính chất đạo hàm.
1.1.2. Ví dụ (Xem[4]).
a) M=R ,với trường mục tiêu tự nhiên, xét ánh xạ
∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
(X,Y) ⟼ ∇ Y = D Y =(X[Y ],…, X[Y ] ).Trong đó Y= (Y ,…, Y ).
Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
Thật vậy, ta kiểm tra D thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông
tuyến tính:


5

T , ∇ (Y + Z) = D (Y + Z) = D Y + D Z = ∇ Y + ∇ Z ;
∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T ,∇
T ,∇

Z=D
Y=D

Z = D Z + D Z = ∇ Z + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
Y = φD Y = φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M);

T , ∇ φY = D φY = X[φ]. Y + φD Y = X[φ]. Y + φ∇ Y ;
∀ X, Y ∈ ℬ (M) , ∀φ ∈ ℱ(M).
b) (M,g) ⊂ R3; g: tích vô hướng cảm sinh từ tích vô hướng trong R3,
∀ X,Y∈ ℬ (M). Giả sử DX Y= (D Y) +(D Y) , ta đặt ∇ Y = (D Y) . Khi đó,
∇ Y là liên thông tuyến tính của M .
Chứng minh. ∀ , ,
liên thông tuyến tính:

∈ ℬ ( ), ta kiểm tra 4 điều kiện của định nghĩa

T , ∇ (Y + Z) = [D (Y + Z)]
= (D Y + D Z)
= (D Y) +(D Z) = ∇ Y + ∇ Z; ∀ X,Y,Z ∈ ℬ (M);
T ,∇

Z

= (D

Z)

= (D Z + D Z)
= (D Z) +(D Z) = ∇ Z + ∇ Z ; ∀ X,Y,Z ∈ ℬ (M);
T ,∇

Y

= D

Y

= (φD Y)

= φ(D Y) = φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M);
T , ∇ φY = (D φY)
=( X[φ]. Y + φD Y )
= X[φ]. Y+φ ( D Y )
= X[φ]. Y + φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M).
Bây giờ ta cố định Y, với mỗi X, X ∈ ℬ (M) và mỗi p ∈ M: Xp =Xp,
liên thông tuyến tính, ta có mệnh đề sau :

là


6

1.1.3. Mệnh đề (Xem[6]). Với Y∈ ℬ ( ), giá trị (
)p chỉ phụ thuộc vào giá
trị Xp , tức là nếu X, ∈ ℬ ( )và với mỗi p ∈ M: Xp = p thì
(

)p = (

)p.

Chứng minh. Ta xét ánh xạ : Xp ⟼( ∇
)p.Từ định nghĩa của liên
thông tuyến tính ta suy ra là ánh xạ tuyến tính từ TpM đến TpM. Từ đó ta có:
p(0)=0

⟹

⟹ (∇
−∇
)p =0 hay (∇
chỉ phụ thuộc vào giá trị Xp .

(Xp)p = ( ∇

p)=0

)p. Chứng tỏ giá trị (∇

)p

Ta tiếp tục cho X cố định, với mỗi Y, Y ∈ ℬ (M): Y| = | , trong đó U
là lân cận của p, ta có mệnh đề sau:
1.1.4. Mệnh đề (Xem[6]). Giá trị (
một lân cận Up của điểm p.

)p chỉ phụ thuộc vào giá trị của Y trong

Chứng minh. Tại mỗi điểm p ∈M luôn có một lân cân Up của p và một
hàm khả vi φ thỏa mãn φ|Up =1 và φ|M∕ =0. (Với U là một tập mở nào đó
mà U ⊃Up).
Ta giả sử có hai trường véc tơ Y, Y sao cho Y| = Y| . Đặt Z= Y-Y, khi
đó trường véc tơ φZ| =0.
Ta có: ∀ p∈ U thì (∇ φZ)| =0 hay (X[φ]. Z + φ∇ Z)| = 0
⟹ X[φ]| . Zp + φ(p) ( ∇ Z)p = 0

(1)

Mặt khác Z| = 0 ⟹Z| = 0 , ∀p∈ U . Nên từ (1) ta suy ra
φ(p)( ∇ Z)p = 0
⟹( ∇ Z)p = 0 ( Vì φ|Up =1)
⟹ (∇ Y − ∇ Y )p = 0. Nghĩa là (∇ Y)p =(∇ Y)p.
1.1.5. Mệnh đề (Xem[6]). Trên M luôn tồn tại liên thông tuyến tính .
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh trên mỗi U luôn tồn tại liên thông
tuyến tính ∇ .


7

Thật vậy, giả sử X, Y ∈ ℬ(U ). Ta chú ý tới vi phôi φ : U ⟶ V ,
(V là tập mở trong Rn). Ta đặt, ∇ (X,Y) = (φ
)∗ (D Y), ở đây X =
(φ
)∗(X) và Y = (φ
)∗(Y). Khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên U .
Giả sử {g } là phân hoạch đơn vị liên kết với {U } . Ta đặt,
∇ =∑

∈

g ∇ , khi đó ∇ là liên thông tuyến tính trên M.

1.1.6. Định lý (Xem[3]). Giả sử
Khi đó,
với ,

=
+
ℱ( ).

và

là hai liên thông tuyến tính trên M.

là liên thông tuyến tính trên M khi và chỉ khi + =1

Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử ∇ và ∇ là hai liên thông tuyến tính
trên M và ∇ =φ∇ +ψ∇ là liên thông tuyến tính trên M. Ta cần chứng minh
φ+ ψ=1, ∀ φ, ψϵ ℱ(M).
Thật vậy, ∀X, Y ∈ ℬ(M), ∀ φ, ψ , fϵ ℱ(M), ta có :
∇ fY =φ∇ fY+ψ∇ fY = φ( X[f]. Y+f∇ Y ) + ψ (X[f]. Y+f∇ Y )
= φf∇ Y + ψf∇ Y +( φ + ψ) X[f]. Y
= f(φ∇ Y + ψ∇ Y) +( φ + ψ) X[f]. Y
= f∇ Y +( φ + ψ) X[f]. Y
Mặt khác do ∇ là liên thông tuyến tính nên ∇ fY= f∇ Y + X[f]. Y
Từ (2) và (3) ta suy ra φ+ ψ=1.
Điều kiện đủ. Giả sử ∇ và ∇ là hai liên thông tuyến tính trên M và
φ+ ψ=1, ∀ φ, ψ ϵ ℱ(M). Ta chứng minh ∇ =φ∇ +ψ∇ là liên thông tuyến
tính.
Thật vậy, ∇ thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính :
T1, ∇ (Y+Z) = φ∇ (Y + Z)+ψ∇ (Y + Z)
= φ(∇ Y + ∇ Z)+ψ(∇ Y + ∇ Z)
= φ∇ Y + φ∇ Z+ψ∇ Y + ψ∇ Z
=(φ∇ Y+ψ∇ Y)+ (φ∇ Z+ψ∇ Z)
= ∇ Y + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);

(2)
(3)


8

T2 , ∇

Z = φ∇

Z+ψ∇

Z = φ(∇ Z + ∇ Z)+ψ(∇ Z + ∇ Z)

= φ∇ Z + φ∇ Z+ψ∇ Z + ψ∇ Z
= (φ∇ Z+ψ∇ Z)+ (φ∇ Z+ψ∇ Z)
= ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y , Z ∈ ℬ (M);
T3, ∇ Y = φ∇ Y+ψ∇ Y = φ(f∇ Y)+ψ(f∇ Z)
= f (φ∇ Y+ψ∇ Z)
= f∇ Y; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M) ; ∀f ∈ ℱ(M);
T4, ∇ fY = φ∇ fY+ψ∇ fY = φ(X[f]. Y + f∇ Y)+ψ(X[f]. Y + f∇ Y)
= (φX[f]. Y + ψX[f]. Y)+(φf∇ Y + ψf∇ Y)
= (φ + ψ) X[f]. Y +f(φ∇ Y + ψ∇ Y)
= X[f]. Y + f∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀f ∈ ℱ(M).
Từ định lý 1.1.6 ta có nhận xét rằng tổng của hai liên thông tuyến tính
không phải là một liên thông tuyến tính.
Bây giờ ta chú ý tới ánh xạ song tuyến tính S: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M),
với mỗi liên thông tuyến tính ∇, ta có thể tạo ra một liên thông tuyến tính mới,
định lý sau sẽ chứng minh điều đó.
1.1.7. Định lý. Giả sử = + , với S là ánh xạ song tuyến tính. Khi đó nếu

là liên thông tuyến tính trên M thì cũng là liên thông tuyến tính trên M.
Thật vậy, do S là ánh xạ song tuyến tính nên:
+ S (X ,Y+Z)= S (X ,Y) + S (X ,Z); ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
+ S (X +Y,Z)= S (X ,Z) + S (Y ,Z); ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
+ S (φ X ,Y)= φS (X ,Y); ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M);
+ S (X,φY)= φS (X ,Y); ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M).
Ta kiểm tra ∇ thỏa mãn 4 điều kiện của định nghĩa liên thông tuyến tính:
T , ∇ (Y + Z) = ∇ (Y + Z) + S (X ,Y+Z)
= ∇ Y + ∇ Z + S (X ,Y) + S (X ,Z)
= ∇ Y + S (X ,Y) + ∇ Z+ S(X ,Z)


9

= ∇ Y + ∇ Z ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T ,∇

Z = ∇

Z + S (X +Y,Z)

= ∇ Z + ∇ Z + S (X ,Z) + S (Y ,Z)
= ∇ Z + S (X ,Z) + ∇ Z+ S (Y ,Z) = ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T , ∇ φ Y = ∇φ Y + S (φ X , Y) = φ∇ Y + φS (X , Y)
= φ [∇ Y + S (X , Y) ] = φ∇ Y;∀ X, Y ∈ ℬ (R ), ∀φ ∈ ℱ(M);
T , ∇ φY = ∇ φY + S (X, φY) = X[φ]. Y + φ∇ Y + φS (X , Y)
= X[φ]. Y + φ [∇ Y + S (X , Y) ]
= X[φ]. Y + φ∇ Y; ∀ X, Y ∈ ℬ (M),∀φ ∈ ℱ(M).
Vậy ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
Từ mệnh đề 1.1.5 và định lý 1.1.7 ta có nhận xét: Liên thông tuyến tính

trên M luôn tồn tại và không duy nhất .
1.1.8. Hệ quả. Với M=R3, ∇=D. Khi đó ∇ Y = DXY + X∧Y là liên thông
tuyến tính.
Với mỗi X,Y ∈ ℬ (M), ta xét tích Lie của ∇X và ∇Y, được ký hiệu bởi
[∇X , ∇Y] và được xác định như sau: [∇X , ∇Y]= ∇Xº∇Y – ∇Yº∇X . Khi đó ta có
nhận xét:
1.1.9. Nhận xét. Giả sử X,Y ∈ ℬ ( ) khi đó:
a) Với mỗi cặp (X,Y), ta đặt R(X,Y): ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
Z ⟼ R(X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[

, ]Z

Thì R(X,Y) là ánh xạ tuyến tính (Xem [4] )
b) [∇X , ∇Y](Z)= ∇[X,Y] +R(X,Y,Z); ∀ Z ∈ ℬ(M).
Với R (X,Y,Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[
Thật vậy:
[∇X , ∇Y](Z) = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z

, ]Z

là độ cong của đa tạp Riemann M.


10

= ∇[X,Y]Z +R(X,Y,Z); ∀ Z ∈ ℬ(M).
c) [∇X , ∇Y] là ánh xạ tuyến tính.
Ta ký hiệu ∇ = { ∇X : ℬ(M) ⟶ ℬ(M) |
các phép toán sau:

∈ ℬ ( ) }. Ta đưa vào ∇

1) ∇ +∇ : ℬ(M) ⟶ ℬ(M); (∇ +∇ )(Z)= ∇ Z+∇ Z; ∀Z ∈ ℬ (M);
2) λ∇ :

Rx ℬ(M) ⟶ ℬ(M); (λ∇ )(Z) = λ∇ Z; ∀Z ∈ ℬ (M), ∀λ ∈ R;

3) [∇X , ∇Y]: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
(∇X , ∇Y)⟼ [∇X , ∇Y ]= ∇Xº∇Y – ∇Yº∇X.
Khi đó ta có mệnh đề sau:
1.1.10. Mệnh đề.

là đại số Lie trên R.

Thật vậy:
+) Dễ dàng kiểm tra tra được ∇ là không gian vec tơ trên R với hai phép
toán 1) và 2).
+)Ta chứng minh ∇
song tuyến tính:
[∇X +∇Y, ∇Z]

là đại số trên R. Tức là phép toán 3) có tính chất

= (∇X +∇Y) º ∇Z – ∇Z º(∇X +∇Y)
= ∇X º ∇Z + ∇Y º ∇ Z – ∇Z º ∇X – ∇Z º ∇Y
= ∇X º ∇Z– ∇Z º ∇X + ∇Y º ∇Z – ∇Z º ∇Y
= [∇X , ∇Z]+ [∇Y, ∇Z]; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ ;

[λ ∇X, ∇Y]

= (λ ∇X) º ∇Y – ∇Y º(λ ∇X)
= λ(∇X º ∇Y )– λ(∇Y º ∇X )
= λ(∇X º ∇Y – ∇Y º ∇X )
= λ [∇X , ∇Y]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ .

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
∙[ ∇X , ∇Y+∇Z] = [∇X , ∇Y]+ [∇X , ∇Z]; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ ;
∙[ ∇X, λ ∇Y] = λ [∇X, ∇Y]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ , λ∈K.


11

Do đó ∇ là một đại số.
Rõ ràng phép toán 3) xác định ở trên có tính chất phản xứng tức là:
[∇X , ∇Y] = -[ ∇Y , ∇X]; ∀ ∇X , ∇Y ∈ ∇ .
Ta kiểm tra phép toán 3) có tính chất Jacobi. Ta có:
[[∇X , ∇Y], ∇Z](U) = ∇X (∇Y∇ZU) -∇Y (∇X∇ZU) - ∇Z (∇X∇YU-∇Y∇XU )
= ∇X (∇Y∇ZU) -∇Y (∇X∇ZU) - ∇Z(∇X∇YU)+∇Z(∇Y∇XU)
Tương tự ta có:
[[∇Y , ∇Z], ∇X](U) = ∇Y (∇Z∇XU) -∇Z (∇Y∇XU)
- ∇X (∇Y∇ZU)+∇X(∇Z∇YU)
[[∇Z , ∇X], ∇Y](U) = ∇Z (∇X∇YU) -∇X (∇Z∇YU)
- ∇Y (∇Z∇XU)+∇Y(∇X∇ZU)
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:
[[∇X , ∇Y], ∇Z] + [[∇Y , ∇Z], ∇X] +[[∇Z , ∇X], ∇Y] =0; ∀ ∇X , ∇Y, ∇Z ∈ ∇ .
Vậy ∇ là một đại số Lie.
1.2

Liên thông Lêvi-Sivita

1.2.1. Định nghĩa ( [6]). Một liên thông tuyến tính trên M được gọi là liên
thông Lêvi- Sivita nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
i. T = 0 ; (Tức là: T(X,Y) =
ii.

g

= 0; ( Tức là: Z[X.Y] = (

−
).

–[ , ] = 0 ; ∀ ,
+ .(

);∀ , ,

∈ ℬ ( )) ;
∈ ℬ ( )).

1.2.2. Ví dụ
a)Giả sử M là đa tạp khả song( nghĩa là trên M luôn có trường mục tiêu
khả vi) với trường mục tiêu { , … , } và X= ∑
, Y= ∑
.
Ta đặt ∇ Y = ∑

X[Y ] E . Khi đó,  là một liên thông Lêvi- Sivita trên M.

Thật vậy:

-Trước hết ta kiểm tra tính liên thông tuyến tính của ∇:


12

T , ∇ (Y + Z) = ∑
=∑

X[Y + Z ] E = ∑
X[Y ] E + ∑

(X[Y ]E + X[Z ] E )

X[Z ] E

= ∇ Y + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T ,∇

Z

=∑

(X + Y)[Z ] E = ∑

=∑

X[Z ] E + ∑

(X[Z ]E + Y[Z ] E )

Y[Z ] E

= ∇ Z + ∇ Z; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M);
T ,∇

Y

=∑

φX[Y ] E

= φ∑

X[Y ] E

= φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M);
T , ∇ φY

=∑

X[φY ] E

=∑

=∑

X[φ]Y E + φ ∑

(X[φ]Y + φX[Y ])E
X[Y ] E ]

= X[φ]. Y + φ∇ Y ; ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M).
Vậy ∇ là liên thông tuyến tính trên M.
- Ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita:
Với ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M), ∀φ ∈ ℱ(M), ta có:
i.[X,Y][ φ] = X[Y[φ]] - Y[X[φ]]
= X[(Y E + ⋯ + Y E )[φ]- Y[(X E + ⋯ + X E )[φ]
= (∑

X[Y ]E )[φ] - (∑

Y[X ]E )[φ]

=( ∇ Y - ∇ X) [φ]. Suy ra [X,Y] = ∇ Y - ∇ X
Vậy T(X,Y) = ∇ Y − ∇ X – [X, Y] = 0.
ii. Z[X.Y] = Z[∑

X . Y ] =∑

(Z[X . Y ])

= ∑

(Z[X ] Y + Z[Y ]X )

= ∑

Z[X ] Y + ∑

= ∑

Z[X ] E . ∑

Z[Y ] X
Y E +∑

Z[Y ] E . ∑

X E


13

= (∇ X). Y + X. (∇ Y)
Vậy Z[X.Y] = (∇ X). Y + X. (∇ Y).
b) Cho M là đa tạp Riemann, ∇ là liên thông Lêvi-Sivita trên M, M là đa
tạp con. Giả sử ∇ Y= ∇ Y + ∇ Y

; ∀ X,Y∈ ℬ (M), ta đặt

∇ Y = ∇ Y . Khi đó, ∇ Y là liên thông Lêvi-Sivita của M .
Thật vậy:
- Dễ dàng kiểm tra được ∇ là liên thông tuyến tính.
- Ta kiểm tra 2 điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita:
i. ∇ Y-∇ X–[X,Y]= ∇ Y - ∇ X
=∇ Y- ∇ Y
= ∇ X

- ∇ Y

–[X,Y]

-∇ Y+ ∇ X

–[X,Y]

–[X,Y]

= [X, Y] –[X,Y] = [X,Y] –[X,Y]=0; ∀ X, Y ∈ ℬ (M);
ii. (∇ X).Y + (∇ Y)X = (∇ X)T.Y +( ∇ Y)TX
= (∇ X − ∇ X

).Y+( ∇ Y − ∇ Y )X.

= Y.∇ X +X. ∇ Y - ∇ X .Y- ∇ Y X.
= Z[X.Y] ; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M).
Bây giờ ta xét ánh xạ ∇: ℬ(M) x ℬ(M) ⟶ ℬ(M)
(X,Y) ⟼ ∇ Y, với điều kiện :
(∇ Y). Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z]
Ta nhận thấy rằng ∇ là liên thông tuyến tính, từ đó ta có định lý:
1.2.3. Định lý (Xem [6]). Liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Riemann M luôn
tồn tại và duy nhất.


14

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh sự tồn tại của liên thông LêviSivita trên M.
Giả sử ∀ X, Y ∈ ℬ (M), ta xác định ∇ Y bởi phương trình sau
(∇ Y). Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z]
với ∀ Z ∈ ℬ (M) .

(4)

Khi đó, bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta thấy  là một liên thông tuyến
tính trên M.Bây giờ ta kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi-Sivita:
i.T(X,Y).Z=(∇ Y-∇ X–[X,Y]).Z = (∇ Y).Z – (∇ X ).Z–[X,Y].Z
= (X[Y.Z]+Y[Z.X]-Z[X.Y]+Z.[X,Y]+Y.[Z,X]-X.[Y,Z])
- (Y[X.Z]+X[Z.Y]-Z[Y.X]+Z.[Y,X]+X.[Z,Y]-Y.[X,Z])- [X,Y].Z
= (X[Y.Z]- X[Z.Y] +Y[Z.X]- Y[X.Z]- Z[X.Y]+ Z[Y.X])
+ (Z.[X,Y]- Z.[Y,X]+ Y.[Z,X]+ Y.[X,Z]- X.[Y,Z]- X.[Z,Y]) - [X,Y].Z
= Z.[X,Y]- [X,Y].Z = 0,với ∀ Z ∈ ℬ (M);
⟹T(X,Y) = 0.
ii.Với ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (M), từ (1) ta có:
2(∇ Y).Z=X[Y.Z]+Y[Z.X]-Z[X.Y]+Z.[X,Y]+Y.[Z,X]-X.[Y,Z]

(5)

2(∇ Z).Y=X[Z.Y]+Z[Y.X]-Y[X.Z]+Y.[X,Z]+Z.[Y,X]-X.[Z,Y]

(6)

Cộng vế theo vế của (5) và (6) ta được:
2[(∇ Y).Z+(∇ Z).Y]=2 X[Y.Z]
Suy ra X[Y.Z] = (∇ Y).Z + (∇ Z)Y.
Suy ra  là một liên thông Lêvi- Sivita trên M.
Vậy luôn tồn tại liên thông Lêvi- Sivita trên đa tạp Riemann M.

(7)

15

Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu  thỏa mãn 2 điều
kiện của liên thông Lêvi-Sivita thì nó thỏa mãn phương trình (4). Thật vậy, từ
(7) ta có:
X[Y.Z] = (∇ Y).Z +Y. (∇ Z)

(8)

Y[Z.X] = (∇ Z).X +Z. (∇ X)

(9)

Z[X.Y] = (∇ X).Y +X. (∇ Y)

(10)

Do T(X,Y) = ∇ Y − ∇ X – [X, Y] = 0 nên ∇ X=∇ Y –[X,Y]
Tương tự ta có: ∇ X = ∇ Z –[X,Z]
∇ Y = ∇ Z –[Y,Z]
Từ đó (10)⇔ Z[X.Y] = ( ∇ Z –[Y,Z])Y +(∇ Z –[Y,Z])X
= ( ∇ Z)Y –[X,Z]Y +(∇ Z)X –[Y,Z]X

(11)

(9)⇔ Y[Z.X] = ( ∇ Z)X +Z(∇ Y –[X,Y])
= ( ∇ Z)X +Z(∇ Y) –Z[X,Y]

(12)

Lấy (8) cộng (12) trừ (11) vế theo vế ta được:
(∇ Y). Z = (X[Y.Z] +Y[Z.X]-Z[X.Y] + Z[X,Y] +Y[Z,X]- X[Y,Z]. Đây chính
là đẳng thức (4).
Vậy tính duy nhất được chứng minh.


16

CHƯƠNG II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM LIE
TRÊN ĐA TẠP RIEMANN
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của đạo hàm
Lie của hàm số khả vi, của liên thông tuyến tính trên đa tạp Riemann M và mối
liên hệ giữa LX và

Y

2.1. Đạo hàm Lie của hàm số khả vi
2.1.1. Định nghĩa ([7]). Giả sử

∈ ℬ ( ) và

∈ ℱ( ), ánh xạ

LX: ℱ( ) ⟶ ℱ( )
⟼ LX

= X[f] được gọi là đạo hàm Lie của hàm f theo trường

véc tơ X.
2.1.2. Ví dụ. Giả sử M= R3, cho các trường véc tơ X( 1,x2, 2y) và

f : R3 ⟶
(x; y; z) ⟼ xy2z
Khi đó: LX(f) = X[f] = ∑
= 1. y2z + x2. 2xyz + 2y. xy2
= y2z + 2x3yz + 2xy3
∈ ℬ ( ), ∀ ,

2.1.3. Mệnh đề. ∀ ,

i) LX(f+g) = LXf + LXg;
ii) (
iii)
iv)

; ∀ ∈ ℱ( );

) = .
( . )=
=

( )+
+

( );
.

∈ ℱ( ) ta có:


17

Thật vậy: Giả sử (U, xi), i=1,2...là một bản đồ địa phương trên M. Ta có:
i) LX(f+g) = X[f+g] = ∑ X

(

= ∑X

)

+∑ X

= X[f] + X[g]
= LXf+ LXg;
ii) (L

)f = (φX)[f]
= ∑ φX

= φ∑ X

= φ. L f; ∀φ ∈ ℱ(M)
iii) L (f. g) = ∑ X

( )

= ∑ X . g.

+ ∑ X . f.

= g.X[f] + f.X[g]
= fL (g) + gL (f);
iv) L

f = (X +X )[f]
= ∑ (X + X )
= ∑ X

+∑ X

= L f + L f.
Nhận xét: Từ i),ii) ta thấy với mỗi X ∈ ℬ (M) thì LX là ánh xạ tuyến tính
và từ iii) LX có tính chất đạo hàm.


18

Bây giờ ta xét tích Lie của LX và LY, được ký hiệu bởi [LX ,LY] và được
xác định như sau: [LX ,LY]= LXºLY – LYºLX .
2.1.4. Nhận xét. Giả sử X,Y ∈ ℬ ( ) khi đó: [LX ,LY][f]= L[X,Y] f, ∀ f ∈ ℱ( ).
Chứng minh. Với mọi X,Y ∈ ℬ (M), ta có:
L[X,Y] f = [X,Y][f] = X Y[f] -Y X[f]
= LX(LYf) –LY(LXf)
= (LXºLY)(f) – (LYºLX)(f)
= (LXºLY – LYºLX)(f)
= [LX ,LY][f]; ∀ f ∈ ℱ(M).
Như vậy nếu LX, LY là đạo hàm Lie của các hàm số khả vi thì L[X,Y] cũng
là đạo hàm Lie của hàm số khả vi.
Ta ký hiệu ℒ = {LX : ℱ(M) ⟶ ℱ(M) |
phép toán sau:

∈ ℬ ( ) }. Ta đưa vào ℒ các

1) L +L : ℱ(M) ⟶ ℱ(M); (L +L )f = L f +L f; ∀f ∈ ℬ (M)
2)λL :

Rx ℱ(M) ⟶ ℱ(M); (λL )f = λL f; ∀f ∈ ℱ(M), ∀λ ∈ R

3)[LX ,LY]: ℒ x ℒ ⟶ ℒ
(LX,LY)⟼ [LX ,LY]= LXºLY – LYºLX
Khi đó ta có mệnh đề sau:
2.1.5. Mệnh đề. ℒ là đại số Lie trên R.
Thật vậy:
+) Dễ dàng kiểm tra tra được ℒ là không gian vec tơ trên R với hai phép
toán 1) và 2)
+)Ta chứng minh ℒ
chất song tuyến tính:
[LX +LY, LZ]

là đại số trên R. Tức là phép toán tích trong có tính

= (LX +LY) º LZ – LZ º(LX +LY)


19

= LX º LZ + LY º LZ – LZ º LX – LZ º LY
= LX º LZ– LZ º LX + LY º LZ – LZ º LY
= [LX , LZ]+ [LY, LZ]; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒ ;
+)[λ LX, LY]

= (λ LX) º LY – LY º(λ LX)
= λ(LX º LY )– λ(LY º LX )
= λ(LX º LY – LY º LX )
= λ [LX , LY]; ∀ LX ,LY ∈ ℒ .

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:
+)[ LX ,LY+LZ] = [LX ,LY]+ [LX ,LZ]; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒ ;
+)[ LX, λ LY]

= λ [LX, LY]; ∀ LX ,LY ∈ ℒ , λ∈R.

Do đó ℒ là một đại số.
Rõ ràng phép toán tích trong xác định ở trên có tính chất phản xứng, tức
là: [LX ,LY] = -[ LY ,LX] ; ∀ LX ,LY ∈ ℒ .
Mặt khác phép toán tích trong xác định ở trên có tính chất Jacobi, tức là:
[[LX ,LY], LZ] + [[LY ,LZ], LX] +[[LZ ,LX], LY] =0; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒ .
Thật vậy: Ta có: [[LX , LY], LZ](f) = LX (LYLZf) -LY (lXLZf)
- LZ (LXLYf-LYLXf )
= LX (LYLZf) -LY (LXLZf) - LZ (LXLYf)+LZ(LYLXf)
Tương tự: [[LY , LZ], LX](f) = LY (LZLXf) –LZ(LYLXf)
– LX (LYLZf)+LX(LZLYf)
[[LZ , LX], LY](f) = LZ (LXLYf) –LX(LZLYf) – LY (LZLXf)+LY(LXLZf)
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:.
[[LX ,LY], LZ] + [[LY ,LZ], LX] +[[LZ ,LX], LY] =0; ∀ LX ,LY,LZ ∈ ℒℱ .
2.2. Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính
2.2.1. Định nghĩa ([7]). Giả sử
M. Ánh xạ:

∈ ℬ ( ) và

là liên thông tuyến tính trên

∶ ℬ ( )xℬ ( ) ⟶ ℬ ( ); (Y,Z) ⟼ (

)(Y,Z) được gọi là


20

đạo hàm Lie của liên thông

theo trường véc tơ X, trong đó

được xác

định bởi:
(

)(Y,Z)=

(

)−

−

(

);(ở đây:LXY = [X,Y] ).

2.2.2. Ví dụ . Giả sử M= R3, cho các trường véctơ X(xy,2x,yz), Y(x,xy2,yz2),
Z(x,xz,xy). Khi đó:
(L D)(Y,Z) = [X, D Z] − D[

, ]Z

− D ([X, Z]).

Ta có: D Z = (Y[Z1], Y[Z2], Y[Z3])
= (x, xz+xyz2, xy+x2y2)
D Y = (X[Y1], X[Y2], X[Y3])
= (xy,xy3+4x2y,2xz2+2y2z2)
D X = (Y[X1], Y[X2], Y[X3])
= (xy+x2y2,2x,xy2z+y2z2)
D Z = (X[Z1], X[Z2], X[Z3])
= (xy, 2xyz, xy2+2x2)
D X = (Z[X1], Z[X2], Z[X3])
= (xy+x2z,2x, xz2+xy2)
⟹ D (D Z) = (xy,2 xyz+ 3xy2 z2+2x2z2, xy2+2x2y3+2x2+4x3y )
D

X

= (xy+x2z+x2yz2,2x, xz2+xyz3+ xy2+x2y3)

⟹ [X, D Z] = D (D Z) − D

X

= (-x2z-x2yz2, xyz+ 3xy2 z2+2x2z2- 2x, x2y3+2x2+4x3y - xz2-xyz3)
[X,Y] = D Y − D X
= (-x2y2, xy3+4x2y-2x, 2xz2+y2z2- xy2z)
⟹ D[

, ]Z

= (-x2y2, -2x2y2z+2x2z2+xy2z2, 4x3y-2x2)

[X,Z] = D Z − D X
= (-x2 z, 2xyz -2x, 2x2- xz2)


21

⟹ D ([X, Z]) = (-2x2 z - x2yz2 ,2xyz-2x +2x2 y2z+2xy2 z2 , 2x2- xz2 -2xyz3)
Vậy (L D)(Y,Z) = [X, D Z] − D[

, ]Z

− D ([X, Z])

= (x2z +x2y2, -xyz, x2y3+2x2+ xyz3).
2.2.3. Mệnh đề. M = Rn,  = D và Y(Yi), Z(Zi) thì
LXD(Y,Z) = (∑ ,

.

).

.

Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề trên trước tiên ta chứng minh
hai bổ đề sau:
Bổ đề 1. ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (R ), ta có:
D (D Z) - D

= (∑ ,

Z

Y .X

). E .

Thậy vậy: ∀ X, Y ∈ ℬ (R ), ta có:
D Y = (X[Y1],...,X[Yn])
⟹D

Z = ∑

,...,∑

X[Y ]

X[Y ]

D Z = (Y[Z1],...,Y[Zn])
=(∑
⟹ D (D Z) = (X[∑

Y
= (∑

= ∑
= ∑

(X[Y ]

X[Y ]

⟹ D (D Z) = D

Y

,..., ∑

Y

] ,...,X[∑

Y

])

(X[Y

],..., ∑

+ Y X[

]), . . . , ∑

,...,∑
Z + ∑

X[Y ]
Y X[

+ ∑
],...,∑

)

(X[Y
(X[Y ]
Y X[
Y X[

])
+ Y X[
],...,∑
]

])
Y X[

]

22

⟹ D (D Z) - D

=D

Z +(∑ ,

Z = (∑ ,

Y .X

Y .X

). E

). E .

Bổ đề 2. Với M=Rn , ∇ = D khi đó
∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[

, ]Z=

0; ∀ X, Y, Z ∈ ℬ (R ).

Thật vậy: D Z = (Y[Z1],...,Y[Zn]): = X’
⟹ D (D Z) = (X[X ],...,X[X ] )
= (X[Y[Z ]],...,X[Y[Z ]] )
Tương tự ta có:
D Z = (X[Z1],...,X[Zn]): = Y’

⟹ D (D Z) = (Y[Y ],...,Y[Y ] )
= (Y[X[Z ]],...,Y[X[Z ]]
⟹ D D Z - D D Z = (X[Y[Z ]]- Y[X[Z ]] ,...,X[Y[Z ]]- Y[X[Z ]] )
= ([X,Y][ Z ],..., [X,Y][ Z ])
= D[
⟹ ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇[

, ]Z
, ]Z

= D D Z - D D Z - D[

, ]Z

= 0.

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề:
Áp dụng bổ đề 2: D D Z - D D Z - D[
= D[ , ] Z
Do đó (LX D)(Y, Z) = [X, D Z] − D[
= D (D Z) − D

, ]Z

, ]Z

= 0 ta có D D Z - D D Z

− D ([X, Z])

X − D (D Z − D X) − D[

= D (D Z) − D (D Z) − D
= D (D X) - D

X = (∑ ,

, ]Z

X + D (D X) − D[

Z .Y

, ]Z

). E (Theo bổ đề 1).


23

Để xét tính tuyến tính và tính chất đạo hàm của LX ta có định lý sau:
2.2.4. Định lý ([4]). Giả sử X ∈ ℬ (M). Khi đó ta có:
i)(LX)(Y+Y’, Z) = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y’,Z); Y, Y’, Z ∈ ℬ (M);
ii) (LX)(fY, Z) = f (LX)(Y, Z); Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ( );
iii) (LX)(Y, Z+ Z’) = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y, Z’); Y, Z, Z’ ∈ ℬ (M);
iv) (LX)(Y, fZ) = f (LX)(Y, Z); Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ( ).
Chứng minh. i) Y, Y’, Z ∈ ℬ (M), ta có
(LX)(Y+Y’, Z) = LX(Y+Y’Z) - Y+Y’(LXZ) - [X,Y+Y’]Z
= LX(YZ+Y’Z) - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z
= [X, YZ+Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z

=[X, YZ] + [X,Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z
= LX(YZ) + LX(Y’Z)- Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z
= LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y’Z) - Y’(LXZ) -[X,Y’]Z
= (LX)(Y, Z) + (LX)(Y’,Z).
ii) Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ(M), ta có
(LX)(fY, Z) = LX(fYZ) - fY(LXZ) -  [X, fY]Z
= LX(fYZ) - fY(LXZ) - f [X,Y]+ X[f].Y Z
= [X, fYZ] - fY(LXZ) - f [X,Y]Z - X[f].Y Z
= f [X, YZ] + X[f] .YZ - fY(LXZ) - f [X,Y]Z - X[f].Y Z
= f([X, YZ] -Y(LXZ)-  [X,Y]Z)


24

= f (LX)(Y, Z).
iii)Y, Z, Z’ ∈ ℬ (M), ta có
(LX)(Y, Z+ Z’) = LX(Y( Z+ Z’)) - Y(LX( Z+ Z’)) - [X,Y](Z+Z’)
= LX(YZ+Y Z’) - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= [X, YZ+Y Z’] - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= [X, YZ] + [X,Y Z’] - Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= LX(YZ) + LX(Y Z’)- Y(LXZ) - Y(LX Z’) - [X,Y]Z -[X,Y] Z’
= LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y Z’) - Y(LX Z’) -[X,Y] Z’
= (LX)(Y, Z) + (LX)(Y, Z’).
iv) Y, Z ∈ ℬ (M), f ∈ ℱ(M), ta có
(LX)(Y, fZ) = LX(Y fZ) - Y(LX fZ) -  [X, Y] fZ
= LX(fYZ+ Y[f]. Z) - Y(f [X,Z]+ X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z
= [X, fYZ] + [X, Y[f]. Z]- Y(f [X,Z]) - Y (X[f].Z) - f[X,Y]Z – [X,Y][f].Z
= f [X, YZ] + X[f].YZ + [X, Y[f]. Z]- fY([X,Z]) - Y[f] .[X,Z] - X[f].Y Z
- Y[X[f]] .Z - f[X,Y]Z – [X,Y][f]. Z
= f([X, YZ] -Y(LXZ)-  [X,Y]Z) + [X, Y[f]. Z]- Y[f] .[X,Z] - Y[X[f]] .Z

– [X,Y][f]. Z
= f (LX)(Y, Z) + Y[f]. [X, Z] + X[Y[f]]. Z- Y[f] .[X,Z] - Y[X[f]] .Z
– [X,Y][f]. Z
= f (LX)(Y, Z) + X[Y[f]]. Z- Y[X[f]] .Z – [X,Y][f]. Z


25

= f (LX)(Y, Z).
Như vậy đạo hàm Lie (LX)(Y,Z) tuyến tính đối với  Y, Z ∈ ℬ (M), và
từ tính chất thứ iv) ta suy ra LX không có tính chất đạo hàm.
2.2.5. Mềnh đề. Giả sử

là liên thông Lêvi-Sivita trên M, khi đó LX có tính
(Y,Z) =

chất đối xứng, nghĩa là:

(Z,Y).

Chứng minh. Do ∇ là liên thông Lêvi-Sivita trên M nên ta có:
T(X,Y) =0;  X, Y ∈ ℬ (M)
⟹ ∇ Y − ∇ X = [X,Y] ;  X, Y ∈ ℬ (M)
L ∇(Y,Z) − L ∇(Z,Y)
= L (∇ Z) − ∇[

, ]Z

= L (∇ Z − ∇ Y)– ∇[
= L ([Y, Z]) – ∇[

, ]Z

− ∇ L Z - L (∇ Y) − ∇[
, ]Z

, ]Y

- ∇ [X,Z] + ∇ [X,Y] + ∇[

+ ∇ [X,Y] - ∇ [X,Z] + ∇[

−∇ L Y

, ]Y

, ]Y

= [X,[Y,Z]] – [X, Y], Z + [X, Z], Y
= – [X, Y], Z - [[Y,Z],Z] - [Z, X], Y
= 0.
2.2.6. Mệnh đề ([7]). Giả sử X,Y∈ ℬ ( ),
[ , ]

=

(

)-

(

là liên thông trên M. Khi đó:

).

Chứng minh. Ta có:
L (L ∇)(Z,U) = L (L ∇(Z,U)) - L ∇(L Z,U) - L ∇(Z, L U)
= L (L (∇ U)) - L (∇ (L U)) - L (∇[
+∇

, ] U)-

L (∇[

, ]U)+

U - L (∇ L U))+ ∇ L (L U) +∇[

∇[

, ] [X,U]

, ][Y,U]