Một số tính chất về biểu diễn của nửa nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM THỊ LUYẾN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ BIỂU DIỄN
CỦA NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

PHẠM THỊ LUYẾN

MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ BIỂU DIỄN
CỦA NHÓM HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên nghành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN QUỐC THƠ

NGHỆ AN - 2013

1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu

2

1 Các khái niệm về biểu diễn nhóm hữu hạn và đặc trưng
nhóm

4

1.1

Khái niệm về biểu diễn và đặc trưng của biểu diễn . . . . .

4

1.2

Biểu diễn chính qui - Biểu diễn bất khả quy . . . . . . . . .

9

1.3

Biểu diễn cuả nhóm Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4

Biểu diễn của nhóm hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5

Bảng đặc trưng và một vài ý nghĩa của bảng đặc trưng . . . 29

2 Một số tính chất về biểu diễn tuyến tính của nhóm hữu
hạn

35

2.1

Mở rộng Định lý Maschke và chiều ngược của Bổ đề Schur . 35

2.2

Mối liên hệ giữ tích tenxơ và biểu diễn đối ngẫu . . . . . . . 41

2.3

Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57


2

MỞ ĐẦU

Lý thuyết biểu diễn có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng của nhóm Abel
và được phát biểu cho các nhóm xyclic bởi Gauss, Dirichlat và sau đó được
mở rộng sang nhóm Abel hữu hạn bởi Frobenius, Burnside và Schur. Các
nhà khoa học trên đều nhận thấy rằng biểu diễn nhóm đóng một vai trò
quan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn trừu tượng. Trong quyển
sách đầu tiên về biểu diễn nhóm xuất bản vào năm 1911 trong đó chứa
nhiều kết quả quan trọng về nhóm trừu tượng được chứng minh bằng cách
dùng đặc trưng nhóm. Kết quả quan trọng nhất trong đó là Định lý Burnside. Nói một cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nghiên cứu các cách mà
một nhóm tác động trên không gian véctơ bằng các tự đẳng cấu tuyến
tính. Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trong
đại số hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số,
tổ hợp và cả Vật lý.
Bố cục của luận văn của chúng tôi gồm hai chương:
Chương 1: Các khái niệm về biểu diễn nhóm hữu hạn và đặc
trưng nhóm. Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ
bản, tổng quát về biểu diễn tuyến tính của nhóm hữu hạn, đặc trưng của
một biểu diễn, biểu diễn chính quy, biểu diễn bất khả quy, biểu diễn của
nhóm Abel, biểu diễn của nhóm hoán vị, bảng đặc trưng và ý nghĩa của

bảng đặc trưng.
Chương 2: Một số tính chất về biểu diễn tuyến tính của nhóm
hữu hạn: Mở rộng Định lý Maschke, chiều ngược của Bổ đề Shur, mối


3

liên hệ giữa tích tenxơ và biểu diễn đối ngẫu, Điều kiện cần để các đặc
trưng bất khả quy không phải là một chiều, thác triển của các đặc trưng,
lập bảng đặc trưng của nhóm S5 và A5
Qua đây tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới người
thầy, người hướng dẫn khoa học của mình là TS. Nguyễn Quốc Thơ, nhờ
sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của thầy mà luận văn đã được hoàn thành
một cách có khoa học và đúng tiến độ. Xin chân thành cảm ơn các thầy
cô công tác tại Đại học Vinh và Đại học Sài Gòn đã trực tiếp giảng dạy
và quan tâm, cảm ơn bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã động viên, giúp
đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều
cố gắng nhưng chắc chắn trong luận văn vẫn còn có nhiều sai sót, tác giả
mong muốn nhận được sự chỉ bảo quý báu của các thầy cô và các bạn học
viên.

Vinh, tháng 08 năm 2013
Tác giả


4

CHƯƠNG 1
CÁC KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN VÀ
ĐẶC TRƯNG NHÓM

1.1

Khái niệm về biểu diễn và đặc trưng của biểu
diễn

Giả sử G là một nhóm hữu hạn, K là một trường, E là một không gian
véctơ hữu hạn chiều trên K.
1.1.1 Định nghĩa. Một biểu diễn (tuyến tính) của G trong E là một
đồng cấu nhóm ϕ : G −→ GL(E) từ G vào nhóm GL(E) các tự đẳng cấu
tuyến tính của E . Kí hiệu ϕ(s) bởi ϕs với s ∈ G ta có:

ϕst = ϕs ϕt
ϕe = idV
ϕs−1 = ϕ−1
s với s, t ∈ G và e là đơn vị của nhóm G.
E được gọi là không gian biểu diễn của G (hay đơn giản, một G-không
gian). Số chiều của E trên K gọi là cấp của biểu diễn. Nếu K = Q, R hoặc
C thì ta nói ϕ là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tương ứng) của G.
Biểu diễn ϕ được gọi là trung thành nếu nó là một đơn cấu nhóm; ϕ
được gọi là tầm thường nếu ϕs = idE
diễn nếu E = K và ϕs = idK ,

(∀s ∈ G) và được gọi là 1-biểu

(∀s ∈ G)

Ví dụ 1 : Biểu diễn cấp 1. Mỗi biểu diễn cấp 1 của G là một đồng cấu

ϕ : G −→ K ∗ = K \ {0}. Thật vậy, xét E là không gian véctơ một chiều

trên K có cơ sở là {w}. Giả sử: ϕ : G −→ GL(E) là một biểu diễn của G.
Khi đó, với mọi s ∈ G, w ∈ E ta có:


5

ϕs w = ks w (ks ∈ K ∗ )
ϕs w = (ks idE )(w)
⇒ϕs = ks idE . Đồng nhất ks idE với ks ta có ánh xạ:
ϕ : G −→ K ∗
s −→ ks là một đồng cấu. Thật vậy, vì ϕ là một đồng cấu nên:
ϕst = ϕs ϕt ⇒ kst = ks kt ⇒ϕ st = ϕs .ϕt
Ta đồng nhất ϕ với ϕ . Khi đó có thể xem ϕ : G −→ K ∗ là đồng cấu.
Giả sử |G| = g , vì sg = e ⇒ ϕgs = ϕe = 1
Vậy ϕs là căn bậc g của đơn vị trong K ∗
Ví dụ 2 : Biểu diễn của nhóm Sn
Giả sử G = Sn là nhóm đối xứng bậc n và E là không gian véctơ n
chiều trên K với cơ sở {v1 , v2 , ..., vn }.
Xét ánh xạ ϕ : G −→ GL(E)

s −→ ϕs (vi ) = vs(i) i ∈ {1, 2, ..., n}
Khi đó ϕ là một biểu diễn của nhóm G.
Thật vậy, ∀s, t ∈ Sn , ta có

ϕst (vi ) = vst(i) = vs(t(i)) = ϕs (vt(i) ) = ϕs .ϕt (vi )
⇒ ϕst = ϕs .ϕt ⇒ϕ là một đồng cấu.
Chứng minh ϕs ∈ GL(E)
Ta có ϕs .ϕ−1
s = ϕs .ϕs−1 = ϕe (e là đơn vị của Sn )

⇒ ϕs .ϕs−1 (vi ) = ϕe (vi ) = ve(i) = vi
⇒ ϕs .ϕs−1 = idE ⇒ϕs ∈ GL(E)
Vậy ϕ là một biểu diễn của G.
Từ đây trở đi, chúng tôi luôn giả thiết K = C, tức là chỉ xét các biểu
diễn phức.
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử E là không gian véctơ hữu hạn n chiều trên
trường K và f : E −→ E một phép biến đổi tuyến tính có ma trận


6

A = (aij )i,j với cơ sở {e1 , e2 , ..., en } của E. Khi đó:
n

T r(f ) =

aii
i=1

được gọi là vết của f. Ta thấy vết của f được định nghĩa như trên không
phụ thuộc vào việc chọn cơ sở. Thật vậy, giả sử f có ma trận A = (aij )i,j
và B = (bij )i,j lần lượt ứng với cơ sở {e1 , e2 , ..., en } và {e1 , e2 , ..., en }. Khi
đó tồn tại ma trận khả nghịch T cấp n sao cho A = T BT −1 . Xét đa thức
đặc trưng của f là:

P (λ) = det(A − λI) = (−1)n λn + (−1)n−1 αn−1 λn−1 + ... + α0
Mặt khác

det(A−λI) = det(T BT −1 −λI) = detT.det(B−λI).detT −1 = det(B−λI)
n

n

aii = αn−1 =

Do đó
i=1

bii
i=1

Vậy vết của f không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử ϕ : G −→ GL(E) là một biểu diễn của G
trong không gian véctơ E. Hàm số χϕ : G −→ C được định nghĩa bởi công
thức:

χϕ (s) = T r(ϕs ) (s ∈ G)
được gọi là đặc trưng của biểu diễn ϕ
Đặc trưng của 1-biểu diễn được gọi là 1-đặc trưng
1.1.4 Mệnh đề. Nếu χ là đặc trưng của một biểu diễn ϕ có cấp n thì
(i.) χ(e) = n
(ii.) χ(s−1 ) = χ(s)

∀s ∈ G

(iii.) χ(sts−1 ) = χ(t)

∀s, t ∈ G

Chứng minh. i) χ(e) = T r(ϕe ) = T r(idE ) = n

ii) Vì G có cấp hữu hạn, nên mỗi s ∈ G cũng có cấp hữu hạn, giả sử s có


7

cấp m.
Ta có sm = e ⇒ (ϕs )m = ϕsm = ϕe = idE . Giả sử λ1 , λ2 , ...λn là các giá
trị riêng của ϕs . Khi đó λm
i = 1

(i = 1, n)

⇒|λi |= 1 và λi = λ−1
i
Vậy χ(s−1 ) = T r(ϕs−1 ) = T r(ϕ−1
s ) =
n

=

n
i=1

λ−1
i

n

λi =
i=1

−1

λi = T r(ϕs ) = χ(s)
i=1

iii) Ta có: χ(sts ) = T r(ϕsts−1 ) = T r(ϕs .ϕt .ϕs−1 ) = T r(ϕt ) = χ(t). ✷
Giữ nguyên các ký hiệu trong Mệnh đề 1.1.4 ta có:
1.1.5 Nhận xét. Giá trị của hàm đặc trưng χ(s) tại mỗi s ∈ G là tổng
của n căn bậc m của đơn vị, trong đó m là cấp của s và |χ(s)| ≤ n, dấu
“=” xảy ra khi và chỉ khi ϕs = λ.idE với λ ∈ K .
*Đặc biệt χs = χe khi và chỉ khi ϕs = idE .
Chứng minh. Với mỗi s ∈ G ta có:
n

χ(s) = T rϕs =

λi , mà theo chứng minh ở Mệnh đề 1.1.4 thì các λi là
i=1

các căn bậc m của đơn vị. Do đó χ(s) là tổng của n căn bậc m của đơn vị.

⇒|χ(s)| = |λ1 + λ2 + ... + λn | ≤ |λ1 | + |λ2 | + ... + |λn | = n
*) Nếu |χ(s)| = n
Ta có: n = |λ1 + λ2 + ... + λn | ≤ |λ1 + λ2 + ... + λn−1 | + |λn | ≤ ... ≤

|λ1 + λ2 | + |λ3 | + ... + |λn | ≤ |λ1 | + |λ2 | + |λ3 | + ... + |λn | = n.
Suy ra |λ1 + λ2 + ... + λn | = |λ1 + λ2 + ... + λn−1 | + |λn | = ... = |λ1 | + |λ2 | +

|λ3 |+...+|λn |. Hơn nữa, vì λi và λj là các số phức nên |λi +λj | = |λi |+|λj |
khi và chỉ khi λi = kλj (với k là số thực dương).

Đặt

Suy ra λ1 = λ2 = ... = λn = λ.
Theo chứng minh Mệnh đề 1.1.4 ta có ϕm
s = idE và do λi = λ (i = 1, n)
là các giá trị riêng của ϕs . Nên ϕs thoả 2 phương trình: X m = idE và

(X − λidE )n = 0 hay X m − λm = 0 (vì λm = 1) và (X − λ)n = 0. Gọi
h(X) là ước chung lớn nhất của hai đa thức này, ta thấy h(X) = X − λ


8

(vì X m − λm không có nghiệm bội). Do đó ϕs = λidE .
m
Ngược lại, giả sử ϕs = λidE . Ta có idE = ϕe = ϕm
s = λ idE

⇒λm = 1 ⇒ |λ| = 1 ⇒ |χ(s)| = |nλ| = n|λ| = n
*) Đặc biệt χ(s) = χ(e) ⇔ ϕs = λidE (theo chứng minh trên), với λ = λi
là các giá trị riêng của ϕs .
Mặt khác n = χ(e) = χ(s) = nλ ⇒ λ = 1 ⇒ ϕs = idE
Vậy ta có điều phải chứng minh. ✷
1.1.6 Định nghĩa. Cho hai biểu diễn của nhóm G là: ϕ : G −→ GL(E)
và ψ : G −→ GL(F ). Khi đó tổng trực tiếp ϕ ⊕ ψ : G −→ GL(E) và tích
tenxơ ϕ ⊗ ψ : G −→ GL(E ⊗ F ) của chúng được định nghĩa như sau:
(ϕ ⊕ ψ)s (v, w) = (ϕs (v), ψs (w))
(ϕ ⊗ ψ)s (v ⊗ w) = ϕs (v) ⊗ ψs (w)
1.1.7 Mệnh đề. Giả sử χϕ , χψ là các đặc trưng của các biểu diễn

ϕ : G −→ GL(E) và ψ : G −→ GL(F ) tương ứng. Khi đó
(i) Đặc trưng χ⊕ của biểu diễn tổng trực tiếp ϕ ⊕ ψ bằng χϕ + χψ
(ii) Đặc trưng χ⊗ của biểu diễn tích tenxơ ϕ ⊗ ψ bằng χϕ .χψ
Chứng minh. i) Giả sử ϕs và ψs được cho bởi các ma trận Φs và Ψs trong
các cơ sở {e1 , e2 , ..., en } của E và {ε1 , ε2 , ..., εm } của F.
Ta có (ϕ ⊕ ψ)s (v, w) = (ϕs (v), ψs (w)) ⇒ biểu diễn ϕ ⊕ ψ được cho bởi
Φ 0
ma trận ⊕s = 0s Ψ trong cơ sở {e1 , e2 , ..., en , ε1 , ε2 , ..., εm }
s
⇒Tr(⊕s ) = T r(Φs ) + T r(Ψs ) ⇒ χ⊕ = χϕ + χψ
ii) Giả sử Φs = (Φij(s) ) và Ψs = (Ψkl (s))
Suy ra χϕ (s) =

Φii (s) và χψ (s) =
i

Do đó χ⊗ (s) =
i,k

Ψkk (s)
k

Φii (s).Ψkk (s) = χϕ (s).χψ (s). ✷


9

1.2

Biểu diễn chính qui - Biểu diễn bất khả quy

1.2.1 Định nghĩa. Gọi K[G] là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hình thức

Σks s (với ks ∈ K ; s ∈ G). Khi đó dễ kiểm tra được rằng K[G] lập thành
một vành, gọi là vành của nhóm G (với hệ số trong K) đối với 2 phép toán
Cộng:

Σks s + Σls s = Σ(ks + ls )s

Nhân:

(Σks s)(Σlt t) = Σks lt (st)

Đơn vị của K[G] là phần tử 1 = 1K .e (1K là phần tử đơn vị của trường
K; e là đơn vị của G).
t.c

Ta có G ⊂ K[G] bằng cách đặt tương ứng s −→ 1.s, với s ∈ G. Khi đó

K[G] là K-không gian véctơ với cơ sở G.
Xét ánh xạ ϕ : G −→ GL(K[G]) xác định bởi ϕs (Σkt t) = Σkt (st)
Ta chứng minh ϕ là một biểu diễn của G. Ta có:

ϕst (Σkσ σ) = Σkσ (stσ) = Σkσ s(tσ) = ϕs (Σkσ (tσ))
= ϕs [ϕt (Σkσ σ)] = ϕs .ϕt (Σkσ σ) ⇒ ϕst = ϕs .ϕt
Mặt khác: ϕs ϕs−1 = ϕss−1 = ϕe

⇒ ϕs .ϕs−1 (Σkt t) = ϕe (Σkt t) = Σkt t
⇒ϕs .ϕs−1 ∈ idK[G]
⇒ϕs ∈ GL(K[G])

Vây ϕ là một biểu diễn của nhóm G và được gọi là biểu diễn chính qui của
nhóm G (với hệ số trong K). ✷
1.2.2 Mệnh đề. Giả sử E là một K-không gian véctơ. Khi đó, E là một
không gian biểu diễn của G nếu và chỉ nếu E là một K[G]-môđun.
Chứng minh. (⇒) Giả sử E là một không gian biểu diễn của G với biểu diễn
tương ứng ϕ : G −→ GL(E). Xét phép nhân vô hướng K[G] × E −→ E
được xác định bởi:

(Σks s).v = Σks ϕs (v)

∀s ∈ G, ∀v ∈ E

Ta có: (E,+) là nhóm Abel (vì E là không gian véctơ trên K). Hơn nữa
phép nhân vô hướng trên thoả 4 điều kiện của môđun:


10

i) (Σkt t + Σlt t).v = [Σ(kt + lt )t].v = Σ(kt + lt )ϕt (v) = Σkt ϕt (v) + Σlt ϕt (v)
= (Σkt t)v + (Σlt t)v
ii) (Σkt t)(v1 + v2 ) = Σkt ϕt (v1 + v2 ) = Σkt ϕt (v1 ) + Σkt ϕt (v2 )

= (Σkt t)v1 + (Σkt t)v2
iii) (Σkt t.Σls s).v = [Σkt ls (ts)].v = Σkts ϕts (v)

(∗)

Mặt khác: Σkt t[Σ(ls s)v] = Σkt t(Σls ϕs (v)) = Σkt ϕt (Σls ϕs (v))

= Σkt ls ϕts (v) = kts ϕts (v)

(∗∗)

Từ (*) và (**) suy ra (Σkt t.Σls s).v = Σkt t[(Σls s)v]
iv) 1.v = (1K e).v = 1K ϕe (v) = ϕe (v) = idE (v) = v

(⇐) Giả sử E là một K[G]-môđun. Ta chứng minh E là một G-không gian.
Xét ánh xạ ϕ : G −→ GL(E)

s → ϕs (v) = sv

∀s ∈ G, ∀v ∈ E

Ta cần chứng minh ϕ là một biểu diễn của G. Thật vậy:

ϕst (v) = (st)v = s(tv) = ϕs (tv) = ϕs [ϕt (v)] = (ϕs ϕt )(v)
⇒ ϕst = ϕs ϕt ⇒ ϕ là đồng cấu.
Do đó: ϕs ϕ−1
s = ϕs ϕs−1 = ϕs.s−1 = ϕe

⇒ ϕs ϕs−1 (v) = ϕe (v) = e.v = v ⇒ ϕs .ϕs−1 = idE ⇒ ϕs ∈ GL(E)
Vậy ϕ là một biểu diễn của G. ✷
1.2.3 Định nghĩa. Cho 2 biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) và

ψ : G −→ GL(F ). Một đồng cấu từ ϕ vào ψ là một ánh xạ K-tuyến tính
f : E −→ F sao cho: f ϕs = ψs f , ∀s ∈ G

(*)

Vì E và F cũng là một K[G]-môđun nên từ (*) suy ra

f ϕs (v) = (ψs f )(v) = ψs (f (v))
⇒ f (sv) = s.f (v), ∀s ∈ G, ∀v ∈ E
Như vậy mỗi đồng cấu từ ϕ vào ψ là một đồng cấu K[G]-môđun từ E vào
F
Hai biểu diễn ϕ và ψ được gọi là tương đương (hay đẳng cấu hoặc đồng
dạng) nếu các K[G]-môđun E và F là đẳng cấu.


11

1.2.4 Định nghĩa. Giả sử ϕ : G −→ GL(E) là một biểu diễn của G.
Không gian E ⊆ E được gọi là một G-không gian con hay không gian con
ổn định dưới tác động của ϕ nếu ϕs v ∈ E , (∀s ∈ G, ∀v ∈ E ). Khi đó
hạn chế của ϕ trên E xác định biểu diễn ϕ|E : G −→ GL(E ) được gọi
là biểu diễn con của ϕ (hay E là G-môđun con của E).
Nhận xét: Hạt nhân của G-đồng cấu f : E −→ F là G-môđun con của
E.
Thật vậy, kerf ⊆ E . Vì f là một G-đồng cấu nên:

∀v ∈ kerf , ∀σ ∈ G, ta có: (f.ϕσ )(v) = (ϕσ .f )(v)
⇒ f (ϕσ (v)) = ϕσ (f (v)) = 0 ⇒ ϕσ (v) ∈ kerf .
Do đó kerf là G-môđun con của E.
1.2.5 Định nghĩa. Biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) được gọi là biểu diễn bất
khả quy nếu E không có G-không gian con nào khác ngoài E và 0. Nói cách
khác, ϕ là biểu diễn bất khả quy nếu và chỉ nếu E là một K[G]-môđun
đơn. Trong trường hợp ngược lại ϕ được gọi là biểu diễn khả quy. Một biểu
diễn được gọi là hoàn toàn khả quy nếu mỗi G-môđun F, tồn tại G-môđun
con F sao cho E = F ⊕ F
1.2.6 Định lý. (Bổ đề Shur) Giả sử ϕ : G −→ GL(E) và

ψ : G −→ GL(F ) là các biểu diễn bất khả quy của G. Giả sử f : E −→ F
là một ánh xạ tuyến tính sao cho ψs f = f ϕs (∀s ∈ G) (nói cách khác, f là
một đồng cấu các K[G]-môđun với K là trường đóng đại số). Khi đó:
(i.) Nếu ϕ và ψ không đẳng cấu với nhau, thì f=0
(ii.) Nếu E = F và ϕ = ψ thì f là một phép vị tự, tức f = λidE với hằng
số λ nào đó thuộc K.
Chứng minh. (i) Giả sử f = 0. Ta chứng minh f là đẳng cấu tức (ϕ ≈ ψ).
Vì f là một đồng cấu các K[G]-môđun từ E vào F suy ra kerf là G-không
gian con của E (Nhận xét 1.2.4). Vì ϕ là biểu diễn bất khả quy, suy ra

kerf = 0 hoặc kerf = E . Mặt khác f = 0 nên kerf = 0 suy ra f là đơn


12

cấu.
kg

Lấy bất kỳ y ∈ Imf ⊆ F ⇒ ∃x ∈ E : y = f (x). Ta có:

f ϕs = ψs f

(∀s ∈ G) ⇒ f ϕs (x) = ψs f (x)

⇒ f ϕs (x) = ψs (y)
⇒ ψs (y) = f [ϕs (x)] ∈ Imf
⇒ Imf là G-không gian con của F. Vì ψ là biểu diễn bất khả quy, suy ra
Imf = 0 hoặc Imf = F . Mà f = 0 ⇒ Imf = F hay f là toàn cấu.
Do đó ϕ ≈ ψ , điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy f=0
(ii) Gọi λ là giá trị riêng của f

⇒ ∃0 = x0 ∈ E : f (x0 ) = λx0 = (λidE )(x0 ) ⇒ (f − λidE )(x0 ) = 0
Đặt g = f − λidE ,

∀s ∈ G ta có:

g.ϕs = (f − λidE ).ϕs = f ϕs − λidE ϕs
= ψs f − λidE ψs = ψs (f − λidE ) = ψs g . Do đó gϕs = ψs g

(1)

Mặt khác g không phải là đẳng cấu (vì ∃0 = x0 ∈ E : g(x0 ) = (f −

λidE )(x0 ) = 0) (2)
Từ (1) và (2) và theo (i) suy ra g = 0. Vậy f = λidE .
Định lý được chứng minh.✷
Nhận xét: Bổ đề Shur có thể phát biểu lại như sau: Nếu E là một K[G]môđun bất khả quy thì HomK[G] (E, E) = K .

1.2.7 Hệ quả. Giả sử ϕ : G −→ GL(E) và ψ : G −→ GL(F ) là các
biểu diễn bất khả quy và h : E −→ F là một ánh xạ tuyến tính. Đặt

h0 =

1
|G|

(ψt )−1 hϕt
t∈G

Khi đó: (i) Nếu ϕ không đẳng cấu với ψ thì h0 = 0
T r(h)
(ii) Nếu E=F, ϕ = ψ thì h0 = λidE với λ =
dimE
Chứng minh. (i) ∀s ∈ G. Ta chứng minh ψs h0 = h0 ϕs , tức là cần chứng


13

minh: h0 = ψs−1 h0 ϕs . Thật vậy:
1
ψs−1 h0 ϕs = ψs−1 (
(ψt )−1 hϕt )ϕs
|G| t∈G
1
1
−1
ψs−1 ψt−1 hϕt ϕs =
ψts
hϕts
=
|G| t∈G
|G| t∈G
1
ψ −1 hϕu = h0
=
|G| u∈G u
⇒h0 ϕs = ψs h0 .
Vì ϕ không đẳng cấu với ψ , nên theo Bổ đề Shur suy ra h0 = 0.

(ii) Vì E=F, ϕ = ψ nên, theo Bổ đề Shur suy ra h0 = λidE

⇒ T r(h0 ) = T r(λidE )
1
1
T r(ψt−1 hϕt ) =
T r(ϕ−1
⇒ λdimE =
t hϕt )
|G| t∈G
|G| t∈G
T r(h)
1
T r(h) = T r(h) ⇒ λ =
=
.✷
|G| t∈G
dimE
1.2.8 Hệ quả. Giả sử các biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) và

ψ : G −→ GL(F ) được cho tương ứng trong các cơ sở {e1 , e2 , ..., en } của
E và {ε1 , ε2 , ...εm } của F dưới dạng các ma trận Φt = (Φij (t));

Ψt = (Ψkl (t)), (t ∈ G).
Nếu ϕ và ψ là các biểu diễn bất khả quy không đẳng cấu với nhau thì:

1
|G|

Ψkl (t−1 )Φji (t) = 0

∀i, j, k, l

t∈G

Chứng minh. Gọi h : E −→ F là một ánh xạ tuyến tính (tồn tại vì có cặp
cơ sở là {ei } và {εi }). Đặt

h0 =

1
|G|

ψt−1 hϕt
t∈G

Giả sử h và h0 lần lượt có ma trận (hij )i,j và (h0kl )k,l đối với cặp cơ sở

{ei } và {εi }. Theo cách đặt h0 suy ra: h0ki =

1
|G|

Ψkl (t−1 )hlj Φji (t)
t∈G

Theo Hệ quả 1.2.7 nếu ϕ và ψ không đẳng cấu với nhau thì h0 = 0.
Suy ra h0ki = 0 ∀k, i

14

Mặt khác, vế phải là một dạng tuyến tính của các biến hlj . Suy ra mọi
hệ số của vế phải đều bằng 0.
Vậy

1
|G|

Ψkl (t−1 )Φji (t) = 0

∀i, j, k, l. ✷

t∈G

1.2.9 Hệ quả. Nếu ϕ : G −→ GL(E) là một biểu diễn bất khả quy cấp n
thì

1
|G|

−1

Φkl (t )Φji (t) =
t∈G

1
nếu i=k, j=l
n
0 nếu trái lại

Chứng minh. Gọi h : E −→ E là ánh xạ tuyến tính có ma trận (hij )i,j đối
với cơ sở {ei }1,n
Đặt

h0 =

1
|G|

ϕ−1
t hϕt

(1)

t∈G

Theo Hệ quả 1.2.7(ii) suy ra h0 = λidE
1
1
Với λ = T r(h) =
δlj hlj
(δlj là kí hiệu Kronecker).
n
n
1
⇒ h0 =
δlj hlj .idE
(2)
n

1
1
Từ (1) và (2) ⇒
ϕ−1
hϕ
=
δlj hlj .idE
t
|G| t∈G t
n l,j
1
1
⇒
Φkl (t−1 )hlj Φji (t) =
δki δlj hlj
|G|
n

1
⇒
|G|

−1

Φkl (t )Φji (t) =
t∈G

1
nếu i=k, j=l
n

0 nếu trái lại✷

Xét F(G,C) là tập hợp gồm tất cả các hàm phức trên G. Khi đó F (G, C)
cùng với phép cộng và nhân ngoài được định nghĩa như sau:

(α + β)(s) = α(s) + β(s)


15

(k.α)(s) = k.α(s) (Với α, β ∈ F (G, C); s ∈ G, k ∈ C)
là một không gian véctơ trên C. Trong F (G, C) xác định tích vô hướng
1
α, β =
α(t).β(t)
|G| t∈G
Đặc trưng của một biểu diễn của G là một phần tử của F (G, C). Đặc
trưng của một biểu diễn bất khả quy gọi là “đặc trưng bất khả quy”. Sau
đây chúng ta sẽ thấy các đặc trưng bất khả quy lập nên một hệ trực chuẩn
trong F (G, C)
1.2.10 Định lý. (i) Nếu χ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy thì

χ, χ = 1
(ii) Nếu χ và χ lần lượt là đặc trưng của 2 biểu diễn bất khả quy không
đẳng cấu với nhau thì χ, χ = 0
Chứng minh. (i) Giả sử χ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy ϕ,
biểu diễn này được cho trong một cơ sở nào đó có ma trận Φt = (Φij (t)),

t ∈ G. Ta có: χ(t) =
χ, χ =

χ, χ =
i,k

1
[ |G|

Φii (t)
i
1
|G|

=

1
|G|

=

1
|G|

χ(t)χ(t)
t∈G

χ(t)χ(t−1 )
t∈G

Φii (t)Φkk (t−1 )
t∈G i,k

Φii (t)Φkk (t−1 )]
t∈G

Hệ quả 1.2.8 1
=
n

δik = 1
i,k

(ii) Giả sử χ là đặc trưng của biểu diễn bất khả quy ψ không đẳng cấu với

ϕ, biểu diễn này được cho trong một cơ sở nào đó có ma trận Ψt = (Ψkl (t)),
với t ∈ G.
Ta có:χ (t) =

Ψkk (t). Do đó:
k

χ, χ =
=

1
|G|
1
|G|

=
i,k

χ(t)χ (t)
t∈G

Φii (t)Ψkk (t−1 )
t∈G i,k
1
[ |G|

Ψkk (t−1 )Φii (t)]
t∈G

Hệ quả 1.2.8

=

0. ✷


16

1.2.11 Hệ quả. Giả sử E là một G-không gian với đặc trưng α và giả sử
E được phân tích thành tổng trực tiếp của các G-không gian bất khả quy

{Fi }1,k
E = F1 ⊕ F2 ⊕ ... ⊕ Fk
Khi đó, nếu F là một G-không gian bất khả quy với đặc trưng χ. Thì số
các Fi đẳng cấu với F là bằng α, χ
Chứng minh. Gọi χi , (i = 1, n) là đặc trưng của các G-không gian bất khả
quy Fi . Theo Mệnh đề 1.1.7 ta có: α = χ1 + χ2 + ... + χk . Do đó:

k

α, χ =

χi , χ
i=1

1 nếu Fi đăng cấu với F
0 nếu Fi không đăng cấu với F
Vậy α, χ bằng số các Fi đẳng cấu với F. ✷

Theo Định lý 1.2.10 ta có: χi , χ =

1.2.12 Định nghĩa. Giả sử E là một G-không gian với đặc trưng α, F là
một G-không gian bất khả quy với đặc trưng χ. Khi đó số α, χ được gọi
là số lần xuất hiện của F trong E.
Như thế, sai khác một đẳng cấu, mỗi G-không gian được phân tích duy
nhất thành tổng trực tiếp các G-không gian bất khả quy.
1.2.13 Hệ quả. Hai biểu diễn của G có cùng một hàm đặc trưng thì đẳng
cấu với nhau.
Chứng minh. Vì theo Hệ quả 1.2.11 thì hai biểu diễn này có cùng số lần
xuất hiện của mỗi biểu diễn bất khả quy cuả G. ✷
Hệ quả này cho phép quy việc nghiên cứu các biểu diễn về việc nghiên cứu
các đặc trưng của chúng. Đặc biệt ta có nguyên lý sau đây về tính bất khả
quy.
1.2.14 Định lý. Biểu diễn ϕ : G −→ GL(E) là biểu diễn bất khả quy
nếu và chỉ nếu đặc trưng χϕ của nó có chuẩn bằng 1. Tức là χϕ , χϕ = 1


17

Chứng minh. Giả sử E = m1 E1 ⊕ m2 E2 ⊕ ... ⊕ mh Eh (với mi > 0) là sự
phân tích của E thành tổng trực tiếp các G-không gian bất khả quy. Trong
đó E1 , E2 , ..., Ek đôi một không đẳng cấu với nhau. Gọi χi là đặc trưng
của G-không gian bất khả quy Ei .
h

mi χi . Theo Mệnh đề 1.2.10 ta có: χi , χj = 0, ∀i = j .

Ta có χϕ =
i=1

n

i=1
m1 = 1
i=1
Vậy E đẳng cấu với E1 là một G-không gian bất khả quy. ✷
⇒ χϕ , χϕ =

m2i . Do đó: χϕ , χϕ = 1 ⇔

1.2.15 Mệnh đề. Nếu ϕ là một biểu diễn bất khả quy cấp 1 và ψ là một
biểu diễn bất khả quy cấp tuỳ ý, thì ϕ ⊗ ψ cũng là biểu diễn bất khả quy.
Chứng minh. Giả sử χ1 là đặc trưng của biểu diễn ϕ, và α là đặc trưng
của biểu diễn bất khả quy ψ
Theo 1.1.7 ta có đặc trưng của biểu diễn ϕ ⊗ ψ là χ = χ1 .α Ta có

χ, χ =

1
|G|

1
=
|G|
=

1
|G|

χ(t).χ(t)
t∈G

χ1 (t).α(t).χ1 (t).α(t)
t∈G

α(t).α(t)
t∈G

= α, α = 1
Theo Định lý 1.2.14 suy ra ϕ ⊗ ψ là biểu diễn bất khả quy. ✷
1.2.16 Định lý. Đặc trưng rG của biểu diễn chính quy của G được cho
bởi công thức

rG (s) =

|G| nếu s = e
ở đây e là đơn vị của nhóm G.
0

nếu s = e

Chứng minh. Giả sử ϕ : G −→ GL(C[G]) là biểu diễn chính quy của
nhóm G. Gọi {ti }1,n (ti ∈ G; n = |G|) là cơ sở của C[G], ∀s ∈ G. Ta có:

ϕs : C[G] −→ C[G]


18

{t1 , t2 , ...tn } −→ {ϕs (t1 ), ϕs (t2 ), ..., ϕs (tn )}. Gọi Φs là ma
trận của phép biến đôi tuyến tính ϕs

ϕ (t ) = st = t1


 ϕs (t1 ) = t 1
s 2
2
* Nếu s=e ⇒
..

.


ϕs (tn ) = tn


1 0 ···0
0 1 · · · 0 

⇒ Ma trận Φs =  ..
 ⇒ rG (e) = n = |G|
. ···
0 0 ···1
* Nếu s = e ⇒ ϕs (ti ) = ti , ∀i = 1, n. Do đó mọi phần tử trên đường chéo
chính của ma trận Φs đều bằng 0.

⇒ rG = 0
Vậy rG (s) =

|G| nếu s = e
0
nếu s = e. ✷

1.2.17 Hệ quả. Mỗi biểu diễn bất khả quy đều chứa trong biểu diễn chính
quy với số bội bằng cấp của nó.
Chứng minh. Giả sử ϕ : G −→ GL(C[G]) là biểu diễn chính quy của
nhóm G với đặc trưng rG và ψ : G −→ GL(W ) (W là không gian véctơ
trên trường C) là một biểu diễn bất khả quy của nhóm G có đặc trưng χ.
Khi đó theo Định nghĩa 1.2.12 thì số lần xuất hiện của W trong C[G] là:

rG , χ =

1
|G|

rG (t)χ(t)
t∈G

1

(|G|.χ(e)) (vì rG (t) = 0, ∀t = e)
|G|
⇒ rG , χ = χ(e) = dimW , là cấp của biểu diễn bất khả quy ψ . ✷
=

1.2.18 Hệ quả. Giả sư E1 , E2 , ..., Eh là tất cả các G-không gian bất khả
quy đôi một không đẳng cấu với nhau, với các đặc trưng tương ứng là

χ1 , χ2 , ..., χh và các cấp tương ứng là n1 , n2 , ..., nh . Ta có:


19

(i) n21 + n22 + ... + n2h = |G|
h

(∀s ∈ G\{e})

ni χi (s) = 0

(ii)
i=1

Chứng minh. Gọi ϕ : G −→ GL(C[G]) là biểu diễn chính quy của nhóm
G.
Theo Hệ quả 1.2.17 ta có: C[G] = n1 E1 ⊕ n2 E2 ⊕ ... ⊕ nh Eh

⇒ rG = n1 χ1 + n2 χ2 + ... + nh χh (Mệnh đề 1.1.7) (*)
Tác động 2 vế của (*) vào s (s ∈ G) ta có:

rG (s) = n1 χ1 (s) + n2 χ2 (s) + ... + nh χh (s)
• Nếu s=e ⇒ n21 + n22 + ... + n2h = |G|
h

ni χi (s) = 0. Định lý được chứng minh. ✷

• Nếu s = e ⇒
i=1

Gọi F (G, C) là tập các hàm phức trên G. Bây giờ ta xét xem các đặc trưng
bất khả quy của G sinh ra một không gian véctơ con như thế nào trong

F (G, C).
1.2.19 Định nghĩa. Hàm f : G −→ C được gọi là hàm lớp trên G nếu:

f (tst−1 ) = f (s),

∀s, t ∈ G

Kí hiệu RC (G) không gian véctơ con của F (G, C) gồm tất cả các hàm lớp
trên G.
1.2.20 Bổ đề. Giả sử f là một hàm lớp trên G và ϕ : G −→ GL(E) là
một biểu diễn bất khả quy với bậc n và đặc trưng χ. Khi đó phép biến đổi
tuyến tính:

f (t)ϕt : E −→ E là một phép vị tự theo tỉ lệ λ =

ϕf =
t∈G

Chứng minh. ∀s ∈ G ta có:

ϕs ϕf ϕ−1
s = ϕs [
t∈G

f (t)ϕt ]ϕ−1
s

|G|
f, χ
n


20

=

f (t)ϕs ϕt ϕs−1 =
t∈G

f (t)ϕsts−1
t∈G

Đặt u = sts−1 ⇒ fu = fsts−1 = ft

⇒ ϕs ϕf ϕ−1
s =

f (u)ϕu = ϕf

u∈G

⇒ ϕs ϕf = ϕf ϕs . Tức là ϕf là đồng cấu các C[G]-môđun.
Theo 1.2.6 Bổ đề Shur(ii) suy ra ϕf = λ.idE ⇒ T r(ϕf ) = λ.n
1
1
|G|
f (t)χ(t) ⇒ λ =
f, χ . ✷
⇒ λ = T r( f (t)ϕt ) =
n
n t∈G
n
t∈G
1.2.21 Định lý. Gọi χ1 , χ2 , ..., χh là đặc trưng của tất cả những biểu diễn
bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G. Khi đó χ1 , χ2 , ..., χh lập nên
một cơ sở trực chuẩn của không gian RC [G] các hàm lớp trên G.
Chứng minh. Ta có {χi }1,h ⊆ RC (G) (vì χi (tst−1 ) = χ(s) ∀t, s ∈ G)
χi , χj = 1 ∀i = j
Theo Định lý 1.2.10, ta có
χi , χj = 0 ∀i = j . Suy ra {χi }1,h là hệ
trực chuẩn của RC (G).
Ta cần chứng minh chúng sinh ra RC (G)

∀f ∈ RC (G) và f trực giao với mọi χi . Ta chứng minh f = 0
Gọi ϕ là đặc trưng của một biểu diễn bất khả quy của G với đặc trưng χ.
|G|
Theo 1.2.20 ta có ánh xạ: ϕf =
f (t)ϕt =
f, χ .idE , trong đó χ là

n
t∈G
một trong số χi

⇒ϕf =

f (t)ϕt = 0
t∈G

⇒ϕf = 0, ∀ϕ là biểu diễn bất khả quy
Vì mọi biểu diễn của G đều là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả
quy

⇒ϕf = 0 với mọi biểu diễn ϕ (không nhất thiết bất khả quy)
⇒ϕf = 0 với ϕ là biểu diễn chính quy.
⇒
t∈G

f (t)ϕt (e) = 0 ⇒

f (t).t = 0
t∈G

⇒f(t)=0, (∀t ∈ G) ⇒ f = 0, Định lý được chứng minh.✷


21

1.2.22 Định nghĩa. Cho nhóm G và a, x thuộc G. Phần tử x−1 ax, ký
hiệu ax , được gọi là liên hợp với a bởi phần tử x.

Trong nhóm G ta xác định một quan hệ hai ngôi

như sau:

a, b ∈ G, a b nếu ∃x ∈ G : b = ax
1.2.23 Mệnh đề. Quan hệ

được xác định như trên là một quan hệ

tương đương trên nhóm G, và gọi là quan hệ liên hợp.
1.2.24 Định nghĩa. Cho G là một nhóm. Hai nhóm con H1 , H2 của G
được gọi là liên hợp nhau nếu tồn tại g thuộc G sao cho H1 = g −1 H2 g và
ta viết H1 ∼ H2 .
1.2.25 Định lý. Số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với
nhau của G bằng số lớp liên hợp của G.
Chứng minh. Giả sử C1 , C2 , ..., Ch là tất cả các lớp liên hợp trong G. Ta
có dimRC (G) bằng số lớp liên hợp trong G.

(1)

Thật vậy, lấy f ∈ RC (G) ⇔ f (tst−1 ) = f (s), ∀s, t ∈ G

⇔ f (s) = λi là hằng số, với s ∈ Ci
Do đó f là hàm hằng trên mỗi lớp liên hợp Ci . Các hằng số phức này có
thể chọn tuỳ ý.
Với mỗi i=1,2,...h. Xét hàm số fi : G −→ C xác định bởi:
λi = 0 nếu s ∈ Ci
(Các λi (i = 1, h) đôi một khác nhau)
fi (s) =
0

nếu s ∈
/ Ci
⇒ RC (G) = {fi }1,h
Thật vậy, lấy bất kỳ f ∈ RC (G), vì f là hàm số trên G nên: ∃!k ∈ C :

f (s) = k .
h

⇒f(s)=

k
fi (s),
i=1 λi

(∀s ∈ G). Do đó {fi }1,h là hệ sinh của RC (G) (1)

h

h

ki fi = 0 ⇒

Giả sử
i=1

ki fi (s) = 0,

∀s ∈ G.

i=1

Nếu s ∈ C1 thì k1 .λ1 = 0. Vì λ1 = 0 ⇒ k1 = 0
...


22

Nếu s ∈ Ci thì ki .λi = 0. Vì λi = 0 ⇒ ki = 0
...
Ta có ki = 0,

i ∈ {1, h} ⇒ {fi }1,h độc lập tuyến tính.(2)

Từ (1) và (2) suy ra dimRC (G) = h
Mặt khác theo Định lý 1.2.21 ta có dimRC (G) bằng số các biểu diễn
bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau của G (**)
Từ (*) và (**) suy ra số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng
cấu bằng số lớp liên hợp của G. Định lý được chứng minh.✷

1.3

Biểu diễn cuả nhóm Abel

1.3.1 Định lý. (Lagrange) Giả sử G là một nhóm hữu hạn, S là một nhóm
con của nó. Khi đó |G| = h.|S| (với h là số lớp kề trái của S).
1.3.2 Định nghĩa. Giả sử S là nhóm con của nhóm hữu hạn G. Khi đó
chỉ số của S trong G (tức số phần tử của tập các lớp kề trái G/S) được
định nghĩa bởi công thức:

[G : S] = |G|/|S|

1.3.3 Định nghĩa. Cho G là một nhóm, kí hiệu: [G, G] = {x−1 y −1 xy\x, y}
được gọi là nhóm các hoán tử của G và [x, y] = x−1 y −1 là một hoán tử
của x và y.
1.3.4 Định lý. Cho G là một nhóm, khi đó:
i) [G, G]

G

ii) G/[G, G] là nhóm Abel
1.3.5 Định lý. Nhóm G là nhóm Abel khi và chỉ khi mọi biểu diễn bất
khả quy của nó đều có cấp bằng 1.


23

Chứng minh. Gọi n1 , n2 , ..., nh là cấp của tất cả các biểu diễn bất khả quy
đôi một không đẳng cấu của G.
Theo Hệ quả 1.2.18 suy ra |G| = n21 + n22 + ... + n2h (∗)
G là nhóm Abel khi và chỉ khi ab = ba, ∀a, b ∈ G ⇔ b = a−1 ba, tức là mọi
phần tử thuộc G chỉ liên hợp với chính nó. Do đó G là nhóm Abel khi và
chỉ khi mọi lớp liên hợp của nó chứa đúng một phần tử.
Theo Định lý 1.2.25 số biểu diễn bất khả quy của G bằng số lớp liên hợp
của G và bằng |G|, tức là |G| = h
Từ (*) suy ra n21 + n22 + ... + n2h = h ⇔ n1 = n2 = ... = nh = 1.
Định lý được chứng minh.✷
1.3.6 Định lý. (i) Có sự tương ứng 1-1 giữa các biểu diễn cấp 1 của nhóm
G với các biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/[G,G]
(ii) Số các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số của
[G,G] trong nhóm G.
Chứng minh. (i)(⇒) Giả sử ϕ : G −→ GL(C) ≈ C\{0} là biểu diễn cấp

1 cuả G.
Xét tương ứng ϕ : G/[G, G] −→ GL(C)

sA −→ ϕ(sA) = ϕs (Với A=[G,G])
Ta chứng minh ϕ là một biểu diễn
*) ϕ là ánh xạ:
+) A ⊆ Kerϕ:
−1
−1 −1
Thật vậy, ∀s ∈ A. Giả sử s = s1 s2 s−1
1 s2 ⇒ ϕ(s) = ϕs1 ϕs2 ϕs1 ϕs2

Ta có Imϕ ≤ GL(C), mà GL(C) là nhóm Abel ⇒ Imϕ là nhóm Abel
−1
⇒ ϕ(s) = (ϕs1 ϕ−1
s1 )(ϕs2 ϕs2 ) = idC .

⇒ s ∈ Kerϕ ⇒ A ⊆ Kerϕ
+) Giả sử s1 A = s2 A

−1
⇒ s1 s−1
2 ∈ A ⊆ Kerϕ ⇒ ϕ(s1 s2 ) = idC

⇒ ϕ(s1 ) = ϕ(s2 ) (vì ϕ là đồng cấu)
⇒ ϕ(s1 A) = ϕ(s2 A)