Phương trình bậc hai và các vấn đề liên quan

Phương trình bậc hai và các vấn đề liên quan

Sau mỗi bài tập cụ thể giáo viên hướng dẫn học sinh xây dụng lại lời giải dưới dạng thuật
toán.
Dạng 1: Giải phương trình bậc 2
Bài 1: Giải PT:
a / 2x 2  8  0
c / 2x 2  3x  5  0

b / 3x 2  5x  0
d / x 4  3x 2  4  0

e / x 3  3x 2  2x  6  0

Bài 2:
a) Phương trình x2  2 px  5  0 . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.
b) Phương trình x 2  5x  q  0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình : x2  7 x  q  0 , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của
phương trình.
Bài 3: Tìm nghiệm x2 rồi tìm m trong mỗi trường hợp sau:


7
3

a/ Phương trình 3x 2  10 x  3m  1  0 , biết x1  .
b/ Phương trình 4 x 2  2 x  m  3  0 , biết x1  3 .
c/ Phương trình x 2  8 x  2m 2  7  0 , biết x1  5 .
Bài 4: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Bài 5: Giải phương trình (giải và biện luận):
a) x2- 2x+k = 0

b) x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0

c)(m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0

Bài 6: Cho phương trình:  x  1 x  2  x  3 x  4   2m  1 1
a)
b)
c)
d)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 7: Cho phương trình: x  x  m  1 x  m  1 x  2 m   3m  2 1 , với tham số m  0 .
a)
b)
c)
d)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 8: Cho phương trình: x 4  2 mx3   m 2  3m  4  x 2  2mx  1  0 1
a)
b)
c)
d)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.


Bài 9: Cho phương trình: x 4  2  m  1 x3   3m  2  x 2  2  m  1 x  1  0 (1)
a)
b)
c)
d)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm dương.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm âm.
2

Bài 10: Cho phương trình  x 2  2 x   2m  x 2  2 x   m  3  0 1
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
2

Bài 11: Cho phương trình: 2  x 2  4 x  2   3  2m  1  x 2  4 x  2   m2  3m  1  0 1
a)
b)
c)
d)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.

Bài 12: Cho phương trình:  x  a  x  b  x  c  x  d   k 1 với a  c  b  d .
a)
b)
c)
d)

Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 13: Cho phương trình: ax 4  bx3  cx 2  bx  a  0 1  a  0 
a)
b)
c)
d)

Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm dương.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm âm.

Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
2

Bài 14: Cho phương trình   ax 2  bx  c     ax 2  bx  c     0 1   0; a  0 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.


c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc hai
Bài 15: Giải các phương trình sau:
a/ 10 x 4  27 x3  110 x2  27 x  10  0 ;

b/ 2 x 4  13 x3  24 x2  13x  2  0 ;

c/ x 4  10 x3  11x 2  10 x  1  0 ;

d/ x 4  7 x3  14 x2  7 x  1  0 .

Bài 16: Giải các phương trình sau:
a/ 3 x5  10 x 4  3 x3  3 x 2  10 x  3  0 ;

b/ 6 x5  11x4  11x  6  0 ;

c/ x5  2 x 4  3x3  3 x2  2 x  1  0 .
Bài 17: Giải các phương trình sau:
a/ (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = – 15;

b/ (x + 2)(x + 5)(x – 6)(x – 9) = 280;

c/ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 0;

d/ (x + 2)(x + 3)(x – 7)(x – 8) = 144;

e/ (x2 + 7x + 12)(x2 – 15x + 56) = 0;

f/ (4x + 3)2(x + 1)(2x + 1) = 810;

g/ (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35;

h/ (x2 – 1)(x2 + 4x + 3) = 192.

Bài 18: Giải các phương trình sau:
a/ (x – 4)(x – 5)(x – 8)(x – 10) = 72x2;
b/ (x + 10)(x + 12)(x + 15)(x + 18) = 2x2;
c/ (x – 90)(x – 35)(x + 18)(x + 7) = – 1080x2 ;
d/ (x2 – 2x + 4)(x2 + 3x + 4) = 14x2;
e/ (2x2 – 3x + 1)(2x2 + 5x + 1) = 9x2.
Bài 19: Giải các phương trình sau:
a/ (x + 3)4 + (x – 1)4 = 626;

b/ (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272;

c/ (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16;

d/ (x – 1)4 + (x – 2)4 = 1.

Bài 20: Giải các phương trình sau:

2

2

a/  x 2  5 x   2  x 2  5 x   24 ;

b/  6 x 2  7 x   2  6 x 2  7 x   3  0 ;

2

1
1
c/  x    4,5  x    5  0 ;

d/  x 2  x  1 x 2  x  3  15 ;

e/  x 2  x  2  x 2  x  3  12 ;

f/  x 2  6 x  9   15  x 2  6 x  10   1 ;

x



x



2

Bài 21: Giải các phương trình sau:
a/

x2  x  5
x



3x
2

x  x 5

40;

x4
2x2 1
b/ 2  4  2 ;
2x 1
x

c/

25.

x2  3x  5
2x 1

 19.

2x  1
2

x  3x  5

 6.

Bài 22: Giải các phương trình sau:
a/ x 2 

81x 2

 x  9

2

b/ x 2 

 40 ;

x2

 x  1

2

 15 ;

c/ x 2 

4x2

 x  2

2

d/ x 2 

 5;

25 x 2

 x  5

2

 11 .

Bài 23: Giải các phương trình sau:
1
1
a/ 4  x3  3   13  x   ;


x 



b/ x3 

x

1
1

 13  x   .
3
x
x


Bài 24: Giải các phương trình sau:
a/

x 3  x  
3 x 
x
  2;
x 1 
x 1 

b/

x 5  x  
5 x 
x
6;
x 1 
x 1 

Bài 25: Cho phương trình: x  2  m  1 x  m 2  3m  3  0 . (1)
a/ Giải phương trình với m = –2.
b/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c/ Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm.
d/ Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 26: Cho phương trình:  m  1 x  2  m  1 x  m  3  0 . (2)
a/ Giải phương trình với m = –2.

c/

x 8  x  
8 x 
x
  15 .
x 1 
x 1 


b/ Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt.
c/ Tìm m để phương trình (2) có 1 nghiệm.
d/ Tìm m để phương trình (2) vô nghiệm.
Bài 27: Cho phương trình: mx 4  2  m  2  x 2  m  0 .
a/ Tìm m để phương trình có 4 nghiệm;
b/ Tìm m để phương trình có 3 nghiệm;
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm;
c/ Tìm m để phương trình vô nghiệm.
Bài 28: Biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau:
a/ x   2m  1 x  4m2  m  2  0 ;

b/ mx  2  m  1 x  m  5  0 .

Bài 29: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
a/ x 4  2  m  1 x 2  m  3  0 ;

b/  m  1 x 4  2  m  1 x 2  m  0 .

Dạng 3: Hệ thức Viet
Bài 30: Tìm m để phương trình 2 x2  2 x  m  1  0 có hai nghiệm:
a/ Trái dấu;

b/ Dương phân biệt;

c/ Âm phân biệt.

Bài 31: Cho phương trình: x 2  x  2m  1  0 . Tìm m để:
a/ Phương trình có 1 nghiệm là –2;

b/ Một nghiệm dương;

b/ Một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương;

c/ Hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 32: Cho phương trình x 2  2  m  1 x  2m  5  0 .
a/ Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m;
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu;
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu.

d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dương.
e/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
Bài 33: Cho phương trình:  2m  1 x 2  2 x  4m  3  0 trong đó m là tham số.
a/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
c/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
d/ Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
e/ Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
Bài 34: Tìm giá trị của m để phương trình  m  1 x 2  2 x  m  0 có
b/ ít nhất một nghiệm không dương.

a/ ít nhất một nghiệm không âm;

Bài 35: Cho phương trình  m  1 x 2  4mx  4m  1  0

(m là tham số).

a/ Giải phương trình với m = 2;
b/ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất;
c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện x12  x22  1 .
Bài 36: Cho phương trình: x 2   3m  1 x  2m2  m  0 .
a/ Giải phương trình với m = 1.
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn hệ thức: x1  x2  2 .
2
Bài 37: Cho phương trình x  3x  1  0 . Không giải phương trình, hãy tính:

a) x1  x2

b)x1 .x2 ;

2
2
e) x1  x2

f) x1

x1 

x1  x2

x2

x2

2

c) x1  x2
g) x1

2

x2  x 2

d) x1  x2 ( x1  x2 )
x1

3
3
h) x1  x2

3
3
i) x1  x2

4
4
k) x1  x2

2

x1

m)
2

x2

2

2 3
3 2
n) x1 x2  x1 x2

2



x2

2

x1

4
4
p) x1  x2

2

x1  x2  x1 x2 ( x1  x2 )
2
2
2
2
o) x1 ( x1  1)  x2 ( x2  1)

6x12  5x1x 2  6x 2 2
3
3
q) 8x1 x 2  8x1x 2

2

Bài 38: Cho phơng trình x  3 x  5  0 . Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của
các biểu thức sau:
1  1
x2
a) x1

b)

2
x1

 x2

1  1
2
2
x2
c) x1

2

3

3

d) x1  x2

Bài 39: Cho phương trình x 2  4 3 x  8  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình,
tính
Q

6 x12  10 x1 x2  6 x22
5 x1 x23  5 x13 x2

Bài 40: Cho phương trình x2 + (m2 + 1)x + m = 2 (m là tham số)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b/ Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m sao cho:
2 x1  1 2 x2  1
55
.

 x1. x2 
x2
x1
x1 x2

Bài 41: Cho phương trình: x 2  2  k  1 x  k  4  0

(1)

a/ Giải phương trình với k = 1;
b/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k;
c/ Tìm k để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
d/ Chứng minh rằng biểu thức A  x1 1  x2   x2 1  x1  không phụ thuộc vào giá trị của k
(với x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình (1)).
Bài 42: Cho phương trình: x 2   m  1 x  5m  6  0 .


a/ Giải phương trình với m = –1.
b/ Xác định m để phương trình có các nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: 4x1  3x2  1 .
Bài 43: Cho phương trình 2 x 2   2m  1 x  m  1  0 . Không giải phương trình, hãy tìm m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn: 3x1  4 x2  11 .
Bài 44: Cho phương trình: x2  mx  m  1  0 .
a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: x1  x2  4 .
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện x1 = 9x2.
Bài 45: Cho phương trình x 2   4m  1 x  2  m  4   0

(1)

a/ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
c/ Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 46: Cho phương trình:  m  1 x 2  3  2m  5 x  7m  6  0 .
a/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b/ Chứng minh rằng có một hệ thức giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộc
vào giá trị của m.
Bài 47: Cho phương trình:  m  1 x 2  2  m  2  x  m  3  0 .
a/ Tùy theo giá trị của tham số m, cho biết số nghiệm của phương trình.
b/ Xác định giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x1 = 4. Tính x2 = ?
c/ Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.
d/ Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Xác định m để hệ thức sau được thỏa mãn:
 4 x1  1 4 x2  1  18  0 .
e/ Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2 x1  x2  0 .
f/ Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.


Bài 48: Cho phương trình:  m  4  x 2  2  m  2  x  m  1  0 .
a/ Tùy theo giá trị của tham số m, cho biết số nghiệm của phương trình.
b/ Xác định giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x1 = –2. Tính x2 = ?
c/ Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm âm.
d/ Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Xác định m để hệ thức sau được thỏa
mãn: 1  1  5 .
x1

x2

e/ Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  2 x2  1 .

f/ Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
Bài 49: Cho phương trình: x2  2mx  m2  m  1  0 1
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  1.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  1.
c) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1  1  x2 .
d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1  x2  1 .
Bài 50: Cho phương trình: x 2   3m  1 x  2m2  4m  0 1
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x  1 .
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: 1  x1  x2 .
c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1  1  x2 .
d) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x   1;   .
Bài 51: Cho phương trình: ax 2  bx  c  0 1  a  0, x  R 
a) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x   .
b) Tìm điều kiện để phương trình (1) có nghiệm: x   .
c) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1    x2 .
d) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa:   x1  x2 .
e) Tìm điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm thỏa: x1  x2   .


Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN
Bài 52: Cho phương trình : x 2   2 m  1 x  m  0 .Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương
trình. Tìm m để : A  x12  x22  6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 53: Cho phương trình : x2  mx  m 1  0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình.
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B

2 x1 x2  3
x  x22  2  x1 x2  1
2
1

Bài 54: Cho phương trình x 2  2  m  1 x  m  0
a/ Chứng minh phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m;
b/ Trong trường hợp m > 0 và x1; x2 là các nghiệm của phương trình nói trên, hãy tìm
GTNN của biểu thức:

A

x12  x22  3  x1  x2   6
x1 x2

.

Bài 55: Cho phương trình x 2   4m  1 x  2  m  4   0 (1)
2

Tìm m để biểu thức A   x1  x2  có giá trị nhỏ nhất.
Bài 56: Cho phương trình: 2 x 2  2  m  1 x  m 2  4m  3  0 . Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 sao cho A  x1 x2  2  x1  x2  đạt giá trị lớn nhất.
Bài 57: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức (nếu có):
P

x2  1
x2  x  1

B

x 2  2 x  2006
x2

D

x2  2 x  2
x2  2x  3

E

x2  2 x  1
2x 2  4 x  9

C

x2
x2  5 x  7