Bài toán về cực trị của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ NHƯ QUỲNH

BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
CỦA HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI
TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học
TH.S DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI, 2013


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LI CM N

Sau mt thi gian nghiờn cu cựng vi s hng dn ch bo tn tỡnh
ca cụ giỏo, thc s Dng Th H, khúa lun ca tụi n nay ó hon thnh.
Qua õy tụi xin gi li cm n sõu sc ca mỡnh ti cụ Dng Th H,
ngi ó trc tip hng dn ch bo cho tụi nhiu kinh nghim quý bỏu trong
thi gian tụi thc hin khúa lun ny. Tụi cng xin chõn thnh cm n ban
giỏm hiu, cỏc thy cụ trong khoa toỏn trng i Hc S Phm H Ni 2 ó
to iu kin tt nht giỳp tụi hon thnh khúa lun ỳng thi hn.
Do ln u tiờn lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc, hn na
do thi gian v nng lc ca bn thõn cũn hn ch nờn mc dự ó cú nhiu c

gng song khụng trỏnh khi nhng thiu sút. Tụi rt mong nhn c s úng
gúp ý kin ca cỏc thy, cụ giỏo v cỏc bn sinh viờn khúa lun ca tụi
c hon thin hn.
Xin chõn thnh cm n!

H Ni, thỏng 5 nm 2013
Sinh viờn

Trnh Th Nh Qunh

Trịnh Thị Như Quỳnh

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
LỜI CAM ĐOAN

Tôi khẳng định rằng đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do
chính tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học, tài
liệu tham khảo và sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Hà. Nó
không trùng với kết quả của bất cứ người nào khác. Nếu có gì sai sót tôi xin
hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Trịnh Thị Như Quỳnh

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
MỤC LỤC

Trang
Mở đầu ........................................................................................................... 1
Chương 1: Cơ sở lý luận................................................................................. 3
1.1. Nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường phổ thông ........... 3
1.1.1. Khái niệm cực trị của hàm số ............................................................... 3
1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị ...................................................... 3
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị ........................................................ 4
1.1.4. Quy tắc tìm cực trị ................................................................................ 5
1.2. Các dạng toán cực trị trong chương trình toán phổ thông ........................ 7
1.2.1. Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ ..................................................... 7
1.2.2. Cực trị của hàm số vô tỉ ...................................................................... 11
1.2.3. Cực trị của hàm siêu việt và lượng giác .............................................. 13
1.2.4. Các bài toán cực trị trong hình học ..................................................... 16
1.3. Các sai lầm học sinh thường gặp khi giải toán về cực trị của hàm số ..... 20
1.3.1. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt ............................................ 20
1.3.2. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan .......................................... 20
1.3.3. Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí ................................................. 22
Kết luận chương 1 ........................................................................................ 26
Chương 2: Một số dạng toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh

đại học, cao đẳng .......................................................................................... 27
2.1. Cực trị của hàm đa thức bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0) ............... 27
2.1.1. Các bài toán về sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị ...................... 28
2.1.2. Tìm điều kiện để cực đại, cực tiểu thỏa mãn một hệ thức cho trước.... 30
2.1.3. Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu ............ 32
2.1.4. Luyện tập............................................................................................ 35

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

2.2. Cực trị của hàm số trùng phương y  ax 4  bx 2  c (a  0) .................... 41
2.2.1. Các bài toán về sự tồn tại cực trị ......................................................... 41
2.2.2. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác
luôn cân hoặc tam giác đều........................................................................... 43
2.2.3. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu lập thành một tam giác có
diện tích cho trước........................................................................................ 44
2.2.4. Luyện tập............................................................................................ 45
2.3. Cực trị của hàm phân thức y 

ax 2  bx  c
(ax  b  0, a  0) ............. 48
ax  b

2.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại, cực tiểu ...................................... 48

2.3.2. Hai điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của một đường thẳng....... 51
2.3.3. Dấu của các giá trị cực đại, cực tiểu ................................................... 53
2.3.4. Luyện tập............................................................................................ 55
Kết luận chương 2…………………………………………………………...59
Kết luận chung……………………………………………………………….60
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………...61

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài
Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực
tiễn. Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiễn phổ dụng có
thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học công nghệ, sản
xuất và đời sống xã hội hiện đại.
Mục đích của việc giảng dạy môn Toán ở phổ thông là dạy học sinh về
kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán, giúp học sinh
khai thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn Toán từ đó hình
thành và phát triển tư duy logic cho học sinh.
Trong chương trình toán thì khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan
đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 12 nói
riêng và chương trình toán trung học phổ thông nói chung. Vì thế đây là phần
kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong phân phối chương trình cũng

như không thể thiếu trong bất kì đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm
tra định kì, đến thi tốt nghiệp, đặc biệt là kì thi tuyển sinh đại học, cao
đẳng,…Câu hỏi phụ liên quan liên quan đến khảo sát hàm số trong các đề thi
luôn là câu hỏi “e ngại” đối với phần lớn học sinh bởi tính đa dạng, phong
phú đòi hỏi có kiến thức vững vàng, tư duy logic, sắc bén. Trong khóa luận
này tôi đi sâu vào một phần nhỏ của khảo sát hàm số đó là phần cực trị của
hàm số. Đây là một nội dung thường xuyên có mặt trong các đề thi tuyển sinh
đại học, cao đẳng. Với mục đích giúp cho học sinh có một cái nhìn tổng quan,
giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức
luyện thi đại học.
Với những lí do trên, cùng với sự đam mê của bản thân và sự hướng dẫn
nhiệt tình của cô giáo Dương Thị Hà, tôi lựa chọn đề tài: “Bài toán về cực trị
của hàm số trong đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng”.

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

1

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

2. Mục đích nghiên cứu
+ Nghiên cứu lí luận về nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở
trường trung học phổ thông.
+ Hệ thống hóa các dạng bài tập về cực trị của hàm số trong chương
trình toán trung học phổ thông và trong kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng. Từ

đó phát triển kĩ năng giải toán cực trị của học sinh, góp phần nâng cao chất
lượng dạy học toán phổ thông.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về cực trị của hàm số trong các kì thi tuyển sinh đại học,
cao đẳng.
4. Phạm vi nghiên cứu
Sách giáo khoa lớp 12, Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và một số
tài liệu tham khảo khác.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tìm hiểu cơ sở lí luận của đề tài.
2. Phân loại các dạng toán liên quan đến cực trị của hàm số, nghiên cứu
một số sai lầm của học sinh khi giải dạng toán này.
3. Nghiên cứu các bài tập trong sách giáo khoa 12 và các đề thi đại học,
cao đẳng trong những năm gần đây.
4. Đề xuất một số bài toán cực trị.
6. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

2

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1. Nội dung cực trị của hàm số trong môn Toán ở trường phổ thông
1.1.1. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D ( D 

) và x0  D.

a) x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và
f(x) < f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b) x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một
khoảng (a ; b) chứa điểm x0 sao cho (a ; b)  D và
f(x) > f(x0) với mọi x  (a ; b) \ {x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của
hàm số.
1.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Ta thừa nhận định lí sau:
Định lí 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại
x0 thì f (x0) = 0.
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần vì có thể đạo hàm của hàm số bằng 0
tại điểm x0 nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0.
Ví dụ:
Xét hàm số y  f (x)  x 3 , có f (x)  3x 2 và f (0)  0 . Tuy nhiên hàm
số f không đạt cực trị tại điểm x = 0. Thật vậy, vì f (x)  3x 2  0 với mọi
x  0 nên hàm số luôn đồng biến trên

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

.

3

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Xét hàm số y  f (x)  x là hàm số xác định trên

có f (0)  0 và

f (x)  0 với mọi x  0. Nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Nhưng hàm số
không có đạo hàm tại x = 0.
Nhận xét:
Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm thuộc tập xác định mà tại
đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. Những
điểm thuộc tập xác định của hàm số y  f (x) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc tại
đó hàm số liên tục mà không có đạo hàm gọi là điểm tới hạn của hàm số.
1.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo
hàm trên các khoảng (a ; x0) và (x0 ; b). Khi đó
a) Nếu f (x) < 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) > 0 với mọi x  (x0 ; b)
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.
b) Nếu f (x) > 0 với mọi x  (a ; x0) và f (x) < 0 với mọi x (x0 ; b)

thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
Chú ý: Định lí trên có thể phát biểu cách khác như sau
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a ; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm
trên các khoảng (a ; x0) và (x0 ; b). Khi đó
a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 (theo chiều
tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều
tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0.
x

a

f (x)

x0

b
+



f(x)
f(x0)
(cực tiểu)

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

4

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp
x

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

a

x0

f (x)



b


f(x0)
(cực đại)

f(x)

Định lí 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a ; b) chứa điểm
x0, f (x) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a) Nếu f (x) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b) Nếu f (x) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
1.1.4. Quy tắc tìm cực trị
Quy tắc 1: Áp dụng định lí 2
1. Tìm f (x).

2. Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3, …) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên
tục nhưng không có đạo hàm.
3. Xét dấu của f (x). Nếu f (x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số có cực
trị tại điểm xi.
Quy tắc 2: Áp dụng định lí 3
1. Tìm f (x).
2. Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f (x) = 0.
3. Với mỗi xi tính f (xi):
 Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
 Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.
Ví dụ 1. Áp dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số:
f (x)  x (x  2)

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

. Ta có:

 x(x  2) khi x  0
2x  2 khi x  0
f (x)  x  x  2   
 f (x)  
 x(x  2) khi x  0
2x  2 khi x  0

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

5

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

f (x)  0  x  1 .
Hàm số liên tục tại x  0 nhưng không có đạo hàm tại x  0 .
Sau đây là bảng biến thiên :
x

0

1


+

f (x)

0

+
+



1

f(x)

+
0



Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  1 , f ( 1)  1 và hàm số đạt cực
tiểu tại điểm x  0 , f (0)  0 .
Ví dụ 2. Áp dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số:
f (x)  2sin 2x  3 .

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên

.

Ta có: f (x)  4cos 2x ; f (x)  0  cos 2x  0  x 



 k , k
4
2




 8 khi k  2n
f (x)  8sin 2x ; f    k   8sin   k   
2
4
2

 8 khi k  2n  1

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x 
hàm số đạt cực tiểu tại x 



 (2n  1) ,
4
2




 n , f   n   1 và
4
4




f   (2n  1)   5 .
2
4

Chú ý: Nếu f (x 0 )  0 và f (x 0 )  0 thì ta không tìm được cực trị của hàm số

y  f (x) theo quy tắc 2. Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo quy tắc 1
chứ không được kết luận hàm số không có cực trị.
Quy tắc 2 thường tìm cực trị của hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1

quá phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giác.

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

6

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.2. Các dạng toán cực trị trong chương trình toán phổ thông
1.2.1. Cực trị của hàm số đa thức và hữu tỉ
1.2.1.1. Cực trị của hàm số đa thức
Để biết tính chất của điểm cực trị và sự tồn tại cực trị của hàm đa thức
ta chú ý các đặc điểm sau:
 Hàm đa thức y  P(x) tại x0 là nghiệm đơn của phương trình
P(x)  0 , hàm số đạt cực trị.

 Giả sử hàm y = P(x) đạt cực trị tại x0 và: P(x) = P(x).Q(x) + R(x) thì
giá trị cực trị của hàm số là: y0 = P(x0) = R(x0). Và y = R(x) gọi là phương
trình quỹ tích các điểm cực trị.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: y  x 3 (1  x) 2 .
Giải: Hàm số đã cho xác định trên

. Ta có:

y  x 3 (1  x)2  x 5  2x 4  x 3 ; y  5x 4 8x 3  3x 2  x 2 (5x 2  8x  3)

3
y = 0  x = 0 hoặc x = 1 hoặc x  .
5

Ta có bảng biến thiên:
x
y

3
5

0



+ 0

y

+

0

1


0

108
3125

0

+
+
+

0



Nhận xét: y không đổi dấu qua điểm x = 0 nên x = 0 không phải là điểm cực
trị của hàm số, y đổi dấu qua các điểm x 

3
3
và x = 1 nên x  và x = 1 là
5
5

các điểm cực trị của hàm số.

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

7

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

3
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm x  , giá trị cực đại của hàm số là
5
yCĐ 

108
. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là
3125

yCT  0 .

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) = x4 + 8mx3 + 3(1 + 2m) x2  4 (m là tham số). Tìm
m để đồ thị hàm số chỉ có một cực tiểu mà không có cực đại.
Giải: Hàm số đã cho xác định trên

.

Ta có f (x)  4x 3  24mx 2  6(1  2m)x  2x  2x 2  12mx  3(1  2m) 
Xét hàm t(x) = 2x2 + 12mx + 3(1 +2m) có:
 = 36m2  6(1 + 2m) = 6(6m2  2m  1).
+ Trường hợp 1:   0  6m2  2m  1  0 

1 7
1 7
m
6
6

thì t(x)  0 với mọi x nên phương trình f (x)  0 có nhiều nhất hai nghiệm
trong đó có một nghiệm x = 0. Trong trường hợp này f (x) đổi dấu từ âm
sang dương qua điểm x = 0. Suy ra hàm số chỉ có một cực tiểu tại x = 0 mà
không có cực đại.
1  7 1  7 
;
Vậy với mọi m  
 thỏa mãn điều kiện bài toán.
6
6



+ Trường hợp 2: t(x) có hai nghiệm phân biệt đều khác 0. Khi đó
phương trình f (x) = 0 có ba nghiệm phân biệt mà f (x) là đa thức bậc ba nên
nó đổi dấu liên tiếp qua ba nghiệm đó.
Vì vậy hàm số có cực tiểu và cực đại nên không thỏa mãn điều kiện bài toán.
+ Trường hợp 3: t(x) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
1
bằng 0. Ta có t(0) = 0 hay 3(1 + 2m) = 0  m   .
2

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

8

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Khi đó f (x) = 4x2 (x  3), f (x)  0  x  0; x  3 .
Bảng biến thiên:
x
f (x)
f(x)

0




0

3


0

+

+
+
+

31
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.

Vậy m  

1
thỏa mãn.
2

1  7 1  7   1 
;
Kết luận: với m  
    thì hàm số đã cho chỉ có
6   2
 6

một cực tiểu mà không có cực đại.
1.2.1.2. Cực trị của hàm số hữu tỉ
Khi giải các bài toán đối với hàm số hữu tỉ ta cần chú ý các đặc điểm sau:
ax 2  bx  c
(ax  b  0, a  0) có cực đại, cực tiểu 
 Hàm số: y 
ax  b

phương trình: y= 0 có hai nghiệm phân biệt.
 Nếu hàm hữu tỉ: y 
trị của hàm số là: y0 

P(x)
( Q(x)  0) đạt cực trị tại x0 thì giá trị cực
Q(x)

P(x)

P(x 0 )
( Q(x 0 )  0). Và y 
là phương trình
Q(x)
Q(x 0 )

quỹ tích của các điểm cực trị.
x3
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: y  2 .
x 1

Giải: Tập xác định của hàm số là: D 

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

9

\ 1 .

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
Ta có: y 

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

x  0
3x 2 (x 2  1)  2x 4 x 2 (x 2  3)


y

0

;
; y không xác


(x 2  1) 2
(x 2  1) 2
x   3

định tại x  1 .
Từ đó ta thấy hàm số có 5 điểm là: x = 0, x   3 tại đó đạo hàm bị
triệt tiêu và x  1 tại đó đạo hàm không tồn tại.
Ta có bảng biến thiên:
x



y

 3

+ 0



3 3
2

y


0

1


0

3

1


+



0

+
+

+





+
3 3
2

Từ bảng biến thiên ta có:
Hàm số đạt cực đại tại x   3 , giá trị cực đại: y 

3 3
.
2

Hàm số đạt cực tiểu tại x  3 , giá trị cực tiểu: y 

3 3
.
2

Ví dụ 2. Cho hàm số y 

x 2  2x  a
, a là tham số. Chứng minh rằng hàm số
x 2  2x  2

luôn có cực đại và cực tiểu khi a thay đổi. Tìm quỹ tích các điểm cực trị đó.
Giải: Hàm số trên xác định trên
Ta có: y 

.

4x 2  2(2  a)x  2(2  a)
.
(x 2  2x  2) 2

Xét phương trình: y  0  4x 2  2(2  a)x  2(2  a)  0 (*)
Ta có:   a 2  4a  20  0, a  Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân
biệt.
Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. Gọi x1, x2 là nghiệm của (*),
khi đó A(x1 ; y1), B(x2 ; y2) là các điểm cực trị của hàm số.
TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

10

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Ta lại có giá trị cực trị là: y 

(x 2  2x  a) x  1

.
(x 2  2x  2) x  1

 Tọa độ các điểm cực trị thỏa mãn phương trình y 

x 1

(Hypelbol)
x 1

Vậy quỹ tích các điểm cực trị của hàm số là Hypelbol có phương trình
y

x 1
.
x 1

1.2.2. Cực trị của hàm số vô tỉ
Nhận xét: Khi giải các bài toán tìm cực trị của hàm số vô tỉ việc vận
dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số đặc biệt là các hàm số vô tỉ có chứa
tham số là tương đối phức tạp và có thể dần đến bế tắc. Do đó ta thường sử
dụng quy tắc 2.
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số sau: y  x 4  x 2 .
Giải: Tập xác định của hàm số là: D   2;2 .
Ta có: y 

4  2x 2
4x

y 



2x x 2  6

2

2
; y  0  4  2x  0  x  2; x   2 .

 . Ta thấy: x 

2 3

2; x   2 thuộc tập xác định của hàm số.

4  x 

Vì y( 2 ) = 4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x  2 , yCĐ  2 .
Vì y(  2 ) = 4 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x   2 , yCT = 2.
2
Ví dụ 2. Xác định a để hàm số y  2x  2  a x  4x  5 có cực đại.

Giải: Tập xác định của hàm số là: D 
Đạo hàm của hàm số là: y  2 

.
a(x  2)
2

x  4x  5

; y 

a
2

(x  4x  5)

3

.

Để hàm số có cực đại tại x0 thì:
TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

11

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

 x 2  4x  5 a
 a(x 0  2)
2
0
0
 y(x 0 )  0



(1)
2
  x 0  4x 0  5



x

2
2
0
 y(x 0 )  0 

a  0
a  0

a
 0 . Từ (1)  x0 < 2.
2

Với a < 0 thì

x 0 2  4x 0 5
Xét hàm số: f (x 0 ) 
, x0  2 .
x0  2

lim f (x 0 )  lim

x 

x 

x 0 2  4x 0  5

x 0 2  4x 0  5
 1; lim f (x 0 )  lim
 
x 2
x 2
x0  2
x 0 2
1

Ta có: f (x 0 ) 

(x 0  2)

2

2

x 0  4x 0  5

 0 , x 0  (;2) .

Bảng biến thiên:
x0



2


f (x0)

f(x0)

1


a
 1  a  2 .
2
Vậy với a < 2 hàm số đã cho có cực đại.

Phương trình (1) có nghiệm x0 < 2 

Ví dụ 3. Cho hàm số y  mx 2  4x  1 xác định m để:
a) Hàm số không có cực trị.
b) Hàm số có cực đại.
Giải: Điều kiện xác định của hàm số là: mx 2  4x  1  0 (1)
Ta có: y 

mx  2
2

; y  0  mx  2  0 (*)

mx  4x  1

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

12

Líp K35E To¸n

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

a) Hàm số không có cực trị  (*) vô nghiệm hoặc (*) có nghiệm
không thỏa mãn (1).

m  0
m  0
m  0


m

0

m

0

 
  
  m  0
 0  m  4.
   2 2 8
 m  4

 m     1  0  

 0 0  m  4

m
m
m

   
Vậy với 0  m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Hàm số có cực đại  (*) có nghiệm thỏa mãn điều kiện (1) và y đổi
dấu từ dương sang âm.
m  0
m  0


   2 2 8
   m  0  m  0.
m     1  0   m  4

 m m

Vậy m < 0 thì hàm số có cực đại.
1.2.3. Cực trị của các hàm siêu việt và lượng giác
1.2.3.1. Cực trị của hàm số siêu việt
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số: y  e 2x  2e x .
Giải: Tập xác định của hàm số là: D 

.

Đạo hàm của hàm số này là: y  2e 2x  2e x  2e x (e x  1) ; y  0  x  0 .
y  0  e x  1  0  e x  1  x  0 .

Bảng biến thiên:
x




y
y

+

0
+

+

0
1

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1.

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

13

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

ln x
.
x
Giải: Tập xác định của hàm số là: D  (0; ) .

Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số: y 

1  ln x
, y  0  1  ln x  0  x  e
x2
y  0  1  ln x  0  1  ln x  x  e

Ta có: y 

Bảng biến thiên:
x

e

0

y



0




1
e

y


0

1
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = e, giá trị cực đại của hàm số là yCĐ  .
e

Nhận xét: Để tìm cực trị của hàm số siêu việt sau khi tính y nên giải bất
phương trình y  0 (y  0)  giải bất phương trình mũ hoặc logarit từ
nghiệm của bất phương trình đó suy ra điểm cực trị của hàm số siêu việt.
1.2.3.2. Cực trị của hàm số lượng gác
1
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số sau: y  cos x  cos 2x  1 .
2
Giải: Tập xác định của hàm số là: D  . Ta có:

 x1  k
y '   sin x  sin 2x   sin x(1  2 cos x) , y  0  
(k  ) .
 x 2   2  2k
3


y   cos x  2cos 2x  2  cos x  4cos 2 x .
y(x1 )  2  cos k  0  x1 là điểm cực đại và giá trị cực đại của hàm số là:

5
 2 khi k  2n
y(x1 )  
 1 khi k  2n  1
 2

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

14

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

y(x2) =

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

3
> 0  x2 là điểm cực tiểu và giá trị cực tiểu của hàm số là:
2
1
y(x 2 )  .
4

 
Ví dụ 2. Tìm cực trị của hàm số y  cos x sin x trên đoạn 0;  .
 2
 
Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;  .
 2

Ta có: y   sin x sin x 

cos x
1  3sin 2 x
.
cos x 
2 sin x
2 sin x

  
 x   0; 2 
 
  sin x  1 (*)
Trên khoảng  0;  ta có y  0   
3
 2
sin 2 x  1

3

Tồn tại  sao cho sin  

Với sin  

1
. Khi đó (*)  x = .
3

1
6
thì cos  
và
3
3

y()  cos  sin  

6 43
2  4 3 4 12
.



3
3
3
3

Bảng xét dấu y:
x

0

y


2






0
4

Hàm số đạt cực đại tại x = , y() 

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

15

1
12
với sin  
.
3
3

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Ví dụ 3. Với giá trị nào của m thì hàm số:
y  2(m 2  3)sin x  2msin 2x  3m  1 đạt cực tiểu tại điểm x 

Giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên


.
3

.

Ta có: y  2(m 2  3)cos x  4mcos 2x , y  2(m 2  3)sin x  8msin 2x .
Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại x 


là :
3


f     0  m 2  2m  3  0  m  1; m  3 .
3

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x 



là y    0 .

3
3


Thật vậy, y     3(m 2  4m  3)
3



+ m  3 ta có y    18 3  0 do đó hàm số đạt cực đại tại điểm x  .
3
3


+ m  1 ta có y    6 3  0 do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  .
3
3

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 


khi và chỉ khi m = 1.
3

1.2.4. Các bài toán cực trị trong hình học
Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một đại lượng
hình học biến thiên f (độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác, thể tích khối đa
diện …) yêu cầu phải tìm được các giá trị f1, f2 cố định luôn luôn thỏa mãn
đẳng thức: f1  f  f2, đồng thời chỉ rõ các đại lượng hình học của đại lượng
biến thiên đang xét, để tại đó f đạt giá trị nhỏ nhất f1 hoặc lớn nhất f2. Đôi khi

bài toán chỉ yêu cầu tìm một trong hai đại lượng này.
Phương pháp giải toán: Tính đại lượng f đang xét theo chỉ một đại
lượng thay đổi x, tìm miền xác định của x và khảo sát cực trị của hàm f nhận

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

16

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

được trong miền đó. Ta cần lưu ý việc lựa chọn đại lượng thay đổi x để thuận
lợi trong việc tính toán biểu thức cần khảo sát theo biến x (và được một hàm
số có thể khảo sát được sự biến thiên của nó).
Ví dụ 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đoạn
SA  a 3 vuông góc với đáy. Một điểm B chuyển động trong đoạn SB. Mặt

phẳng (ADB) cắt SC tại C. Đặt y là tổng bình phương của các cạnh của tứ
diện (ADCB). Hãy tính y theo x = SB. Từ đó hãy xác định các giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của y.
Giải:
Mặt phẳng (ADB) chứa AD // BC nên giao

S

tuyến của nó với mặt phẳng (SBC) sẽ song song với

x

BC.

C

B

Do đó trong tam giác SBC ta có:
BC SB
x
x
x
x



 BC 
BC 
BC SB
2a
2
SA 2  AB2 2a

D

A
B

C

Dùng định lí cosin cho SBA ta có:
AB2  SA 2  SB2  2SA.SB cos ASB
 SA 2  SB2  2SA.SB.

SA
 3a 2  x 2  3ax
SB

Do CD  AD và CD  SA nên CD  (SAD)  CD  SD  CDS
vuông tại D nên trong SDC có:
DC2 = SD2 + SC2  2SD.SC. cos DSC = SD2 + SC2  2SD.SC.

SD
SC

Ta cần tính SD, SC, SC:
SD  SA 2  AD 2  3a 2  a 2  2a; SC  SD 2  CD 2  4a 2  a 2  a 5;
SC  SC

SB x 5


SB
2

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

17

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

 DC2  4a 2 

5x 2
 4ax .
4

5
Vậy: y  DA 2  AB2  BC2  DC2  x 2  7ax  8a 2 .
2

Do B chuyển động trong đoạn SB có độ dài 2a nên 0  x = SB  SB = 2a.
Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
5
của hàm số y(x)  x 2  7ax  8a 2 trong đoạn [0; 2a].
2
7
Ta có: y = 5x  7a; y = 0  x  a .
5

Ta có bảng biên thiên:
x

7
a
5

0

y
y


8a

0

2a

4a2

2

3,1a2
Từ bảng biến thiên ta có: ymin = 3,1a2, đạt được khi x = SB =

7
a
5

ymax = 8a2, đạt được khi x = 0 (B  C  S).
Ví dụ 2. Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a. Người ta cắt ở bốn góc bốn
hình vuông bằng nhau rồi gập tấm nhôm lại được cái hộp không nắp. Tính

cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất.
Giải: Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt. Rõ ràng x phải thỏa mãn
a
a

điều kiện 0  x  . Thể tích của khối hộp là: V(x) = x(a  2x)2  0  x   .
2
2

 a
Ta phải tìm x 0   0;  sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất.
 2

Ta có: V(x) = (a  2x)2 + x.2(a  2x).(2) = (a  2x)(a  6x).

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

18

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

a
 a
Trên khoảng  0;  , ta có: V(x) = 0  x  .
6

 2

Bảng biến thiên:
x

0

V(x)

a
2

a
6

+



0
2a 3
27

V(x)
0

0

 a
Từ bảng biến thiên trên ta thấy trong khoảng  0;  hàm số có một

 2

điểm cực trị duy nhất là điểm cực đại x 
bằng

a
nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất
6

2a 3
.
27

Ví dụ 3. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông. Hộp có đáy là
hình vuông cạnh x(cm), chiều cao là h(cm) và có thể tích là 500 cm3. Gọi S(x)
là diện tích của mảnh các tông. Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ nhất.
Giải:
Thể tích của hộp là: V = x2h = 500(cm3). Do đó h 

500
, x > 0.
x2

Diện tích của mảnh các tông dùng làm hộp là: S(x)  x 2 

2000
, x > 0.
x

Bài toán trở thành tìm x > 0 sao cho S(x) đạt giá trị lớn nhất trên

khoảng  0;  .
Ta có: S(x)  2x 

2000 2(x 3  1000)

; S(x)  0  x  10.
x2
x2

Bảng biến thiên của S trên khoảng  0;  :

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

19

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
x

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
10

0

S(x)






0

S(x)
300
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng  0;  , hàm số S đạt giá
trị nhỏ nhất tại điểm x = 10. Vậy muốn tốn ít nguyên liệu nhất, ta lấy độ dài
cạnh đáy hình hộp là x = 10(cm).
1.3. Các sai lầm học sinh thường gặp phải khi giải toán về cực trị của
hàm số
1.3.1. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
Trong các bài toán về cực trị của hàm số, học sinh thường lẫn lộn các
cụm từ “điểm cực trị”, “cực trị” và “giá trị cực trị” do đó dễ sai lầm khi giải
toán.
Chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các điểm cực trị của hàm số:
5
5
y  a 2 x 3  ax 2  9x  b là những số dương và x0 =  là điểm cực trị.
3
9

Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn
thêm giả thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề bài không đúng?
1.3.2. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan
 x 2  2mx  5
Ví dụ. Tìm m để hàm số y 
có cực đại, cực tiểu nằm về hai
x 1

phía của đường thẳng y = 2x.
Học sinh thường làm như sau:
Đặt: g(x) = x2 + 2mx  5.
Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng y = 2x
tương đương với hệ:

TrÞnh ThÞ Nh­ Quúnh

20

Líp K35E To¸n