Các bài toán về thể tích khối đa diện trong chương trình trung học phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ PHƯƠNG

CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH
KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học
THẠC SĨ : DƯƠNG THỊ HÀ

HÀ NỘI - 2013


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LI CM N

hon thnh khúa lun ny, tụi xin gi li cm n sõu sc ti thc s
Dng Th H ngi ó tn tỡnh hng dn tụi trong sut quỏ trỡnh thc hin
v to mi iu kin cho tụi hon thnh khúa lun.
ng thi, tụi cng xin chõn thnh cm n Ban giỏm hiu, cỏc thy cụ
khoa Toỏn trng i Hc S Phm H Ni 2 ó to iu kin giỳp tụi hon
thnh khúa lun ỳng thi hn.
Cui cựng xin gi li cm n ti tp th cỏc bn sinh viờn cựng lp, gia
ỡnh ó ng viờn giỳp tụi trong sut thi gian nghiờn cu tụi hon
thin khúa lun ny. Mc dự ó cú nhiu c gng song khúa lun khú trỏnh

khi nhng thiu sút, rt mong nhn c s gúp ý, b sung ý kin t phớa
thy cụ v cỏc bn khúa lun c hon thin hn.
Xin chõn thnh cm n!
H Ni, thỏng 5 nm 2013
Sinh viờn thc hin

Trnh Th Phng

Trịnh Thị Phương

Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
LI CAM OAN

Tụi xin cam oan khúa lun di õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng
tụi, do chớnh tụi ó nghiờn cu v hon thnh trờn c s nhng kin thc ó hc,
ti liu tham kho v s hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo Dng Th H.
Nú khụng trựng vi kt qu ca bt kỡ ngi no khỏc. Nu cú gỡ sai sút
tụi xin hon ton chu trỏch nhim.

H Ni, thỏng 5 nm 2013
Sinh viờn thc hin

Trnh Th Phng

Trịnh Thị Phương

Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
MC LC

Ni dung

trang

A: M u .................................................................................................... 1
1. Lý do chn ti ........................................................................................ 1
2. Mc ớch nghiờn cu .................................................................................. 1
3. i tng, phm vi nghiờn cu .................................................................. 1
4. Phng phỏp nghiờn cu ............................................................................ 1
B: Ni dung ................................................................................................... 2
Chng 1: C s lớ lun ............................................................................... 2
1.1. Cỏc kin thc cn nh ............................................................................. 2
1.2. Cỏc kin thc liờn quan .......................................................................... 5
Kt lun chng 1...10
Chng 2: Bi tp v th tớch .................................................................... 11
2.1. Bi toỏn tớnh th tớch trc tip................................................................ 11
2.1.1. Dng toỏn cú sn ng cao ............................................................... 11
2.1.2. Dng toỏn cn i dng ng cao....................................................... 11
2.1.3. Dng toỏn cn dng ng cao ph ................................................... 31
2.2. Tớnh th tớch khi a din mt cỏch giỏn tip ........................................ 36
2.3. S dng phng phỏp th tớch tớnh khong cỏch ............................... 45

2.4. Cỏc bi toỏn v th tớch khi a din cú kt hp vi vic tỡm GTLN,
GTNN .......................................................................................................... 55
2.5. Cỏc bi toỏn so sỏnh th tớch.................................................................. 58
Kt lun chng 2 ........................................................................................ 65
Kt lun.66
Ti liu tham kho...................................................................................... 67

Trịnh Thị Phương

Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2
A. M U

1. Lý do chn ti
Hỡnh hc núi chung v hỡnh hc khụng gian núi riờng l mt mụn hc
khú i vi hc sinh trong nh trng trung hc ph thụng. Vỡ hỡnh hc l
mụn hc cú tớnh cht ch, logic v tru tng húa cao hn cỏc mụn hc khỏc.
Riờng hỡnh hc khụng gian - l mt b phn ca mụn hỡnh hc, ngoi
tớnh tru tng cũn ũi hi hc sinh phi cú k nng t duy cao. Hỡnh hc
khụng gian bc u hc thy khú song cng hc cng thy s thỳ v trong
ú. Do ú vic nghiờn cu hỡnh hc khụng gian l cn thit. Trong bi khúa
lun ny tụi s i sõu vo mt phn nh ca hỡnh hc khụng gian l th tớch
khi a din. õy l mt ch cú trong cu trỳc thi cao ng, i hc v
thng xuyờn cú mt trong cỏc thi tuyn chn hc sinh gii cỏc trng
trung hc ph thụng. Nhm cung cp kin thc, rốn luyn k nng liờn quan
n bi tp tớnh th tớch khi a din nờn tụi ó chn nghiờn cu ti Cỏc

bi toỏn v th tớch khi a din trong chng trỡnh trung hc ph
thụng. L mt giỏo viờn trong tng lai tụi nhn thy vic nghiờn cu ti
ny l hp lý v cú ý ngha thc tin.
2. Mc ớch nghiờn cu ca ti
Nghiờn cu c s lớ lun, h thng húa cỏc bi tp v th tớch nhm tớch
cc húa hot ng ca hc sinh, nõng cao nng lc s phm cho giỏo viờn v
tng hiu qu dy hc mụn toỏn trng THPT.
3. Phm vi, i tng nghiờn cu
Nghiờn cu cỏc bi toỏn tớnh th tớch khi chúp, khi chúp u, th tớch
hỡnh lng tr v cỏc bi toỏn liờn quan ti vic tớnh th tớch khi a din
trong chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng.
4. Phng phỏp nghiờn cu
Phng phỏp nghiờn cu c s lớ lun, phng phỏp tng kt kinh
nghim.

Trịnh Thị Phương

1

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
B. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1. Các kiến thức cần nhớ
1.1. Định nghĩa thể tích khối đa diện

Như chúng ta đã biết trong mặt phẳng, mỗi đa giác có một diện tích. Đó
là số đo phần mặt phẳng mà đa giác đó chiếm chỗ. Tương tự như vậy, các
khối đa diện chiếm những phần không gian lớn nhỏ khác nhau. Thể tích của
mỗi khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ.
Ở lớp dưới chúng ta đã được học các công thức tính thể tích của một số
khối đa diện đơn giản. Sau đây chúng ta sẽ nói rõ hơn về các công thức này.
Để có những công thức như thế, chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện
có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây:
1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì
thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó.
3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
1.1.1. Thể tích khối lăng trụ, khối chóp
 Thể tích khối lăng trụ
- Thể tích khối lăng trụ V = B.h, với
- Thể tích khối hộp chữ nhật

B: Diện tích đáy
h: Chiều cao


V  a.b.c , với a, b, c là 3 kích thước hình hộp

- Thể tích khối lập phương
V  a3 , với a là độ dài cạnh của hình lập phương

 Thể tích khối chóp
- Công thức tính thể tích khối chóp

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

2

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

1
V  .B.h , Với
3

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

B: Diện tích đáy
h: Chiều cao

S


A

D


B

H

C

* Khối chóp đều
+ Các cạnh bên bằng nhau
+ Đáy của hình chóp là một đa giác đều
+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống
đáy trùng với tâm của đa giác đáy.
- Khối chóp tam giác đều
+ Các cạnh bên bằng nhau
+ Đáy là tam giác đều
+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của tam giác
đáy.

S


- Khối tứ diện đều
+ Tất cả các cạnh bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống

 C

A

đáy trùng với tâm của tam giác đáy.


O



 Khối tứ diện đều là một trường hợp đặc

B

biệt của khối chóp tam giác đều.

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

M

3

Líp K35E To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Khi chúp t giỏc u.

S

+ Tt c cỏc cnh bờn bng
nhau
+ a giỏc ỏy l hỡnh vuụng

A

D

tõm O
O

+ SO (ABCD).

C

B

1.1.2. T s th tớch
Cho khi t din SABC v A, B, C l cỏc im tựy ý khỏc S ln lt
thuc SA, SB, SC ta cú
V SABC
V SABC



S

SA SB SC
.
.
SA SB SC
A
C
B

C

A

B

Khi tớnh th tớch ca cỏc khi a din ta phi tớnh di ng cao v
din tớch ỏy m cỏc i lng chiu cao v ỏy l nhng i lng quen
thuc ca hỡnh hc phng (on thng, tam giỏc, t giỏc). Cho nờn trong
cỏc bi toỏn tớnh th tớch khi a din ta cũn s dng cỏc kin thc liờn quan
nh sau:

Trịnh Thị Phương

4

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1.2. Các kiến thức liên quan
1.2.1. Tam giác
- Công thức tính diện tích tam giác
A

c

ABC

1
1
abc
S ABC  a.h  ab.sin C 
2
2
4R
 pr  p ( p  a )( p  b)( p  c )

b
h

B

a

(với p 

C

H M

abc
, R, r lần lượt là
2

bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội
tiếp tam giác ABC).
- Công thức đường trung tuyến
AM 2 

AB 2  AC 2 BC 2

.
2
4

- Định lí hàm số Cos: a 2  b 2  c 2  2bc.cos A
- Định lí hàm số Sin:

a
b
c


 2 R.
sin A sin B sin C

1.2.2. Tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A với BC  a, AC  b, AB  c khi đó ta có:
+ Định lí Pytago: BC 2  AC 2  AB 2
+ Tỷ số lượng giác trong tam
B

giác vuông

a

b
c

sin B  , cos B 
a
a
b
b
tan B  , cot B 
c
c

H
c
h

+ BA2  BH .BC ; CA2  CH .CB

A

C
b

+ AB.AC = AH.BC

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

5

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

+

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

+ b  a.sin B  a.cos C , c  a.sin C  a.cos B
+ a

b
b

, b  c.tan B  c.cot C
sin B cos C

+ Diện tích tam giác vuông
S ABC 

1
AB . AC
2

1.2.3. Tam giác cân

A

+ Đường cao AH cũng chính là đường
trung tuyến
+ Đường cao AH  BH .tan B
+ S ABC 

1
. BC . AH
2

B

H

C

1.2.4. Tam giác đều
+ Đường cao của tam giác đều
h  AM  AB

A

3
2

+ Diện tích

S ABC  ( AB ) 2 .

3
4

B

M

C

1.2.5. Tứ giác đặc biệt
- Hình chữ nhật
+ Diện tích hình chữ nhật

A

B

S ABCD  AB . AD

+ Hai đường chéo của hình chữ nhật
bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi

O

C

D

đường.
- Hình vuông
TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

6

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

+ Diện tích hình vuông
S ABCD  AB

A

B

2

+ Đường chéo hình vuông
O

AC  BD  AB 2
OA  OB  OC  OD

C

D

1
- Diện tích hình thoi: S  (h1 +h2) (trong đó h1, h2 lần lượt là hai đường chéo
2
của hình thoi).
1
- Diện tích hình thang: S  (m1+m2).h (trong đó m1, m2, h lần lượt là đáy lớn
2
và đáy nhỏ và chiều cao của hình thang).
- Diện tích hình bình hành S = m.h (trong đó m là đáy, h là đường cao của
hình bình hành).
1.2.6. Khoảng cách
- Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M tới một đường thẳng a (hoặc mặt phẳng (P)) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M lên
đường thẳng a (hoặc lên mặt phẳng (P)).

 M

M


a

H

H

- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

7

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là
khoảng cách từ một điểm nào đó của a tới mặt phẳng (P)
d (a;( P))  OH
a

O


H
P

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia
d (( P);(Q))  OH
O
P

H

Q

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng đó (hay chính là khoảng cách từ một đường
thẳng tới một mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia).
d (a; b)  AB
A

a

b

B

1.2.7. Góc
TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

8

Líp K35E To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

- Cỏch xỏc nh gúc
+ Gúc gia ng thng d v mt phng (P).
Tỡm hỡnh chiu d ca d lờn mt phng (P)
Khi ú gúc gia d v (P) l gúc gia d v d.

+ Gúc gia hai mt phng (P) v (Q).
Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q).
Tỡm trong (P) ng thng a d , trong mt phng (Q) ng thng b d.
Khi ú gúc gia (P) v (Q) l gúc gia 2 ng thng a v b.
1.3. Bi tp th tớch trong sỏch giỏo khoa toỏn trung hc ph thụng
Trong sỏch giỏo khoa toỏn lp 12 bi tp v th tớch khi a din gm
51 bi bao gm cú cỏc dng nh sau:
a) Tớnh th tớch da vo cụng thc (21 bi)
b) Bi tp v t s th tớch (23 bi)
c) Chng minh t s th tớch ca 2 khi a din bng mt h s cho
trc (7 bi).
Ngoi ra trong mt s sỏch tham kho ta cũn gp cỏc dng v th tớch
nh: S dng phng phỏp th tớch tớnh khong cỏch, cỏc bi toỏn th tớch
cú kt hp vi vic tỡm giỏ tr ln nht, nh nhtC th nh th no chỳng
ta s c tỡm hiu rừ hn trong chng 2 ca khúa lun.
1.4. Mt s chỳ ý khi gii bi tp th tớch
- Núi ti th tớch khi a din chỳng ta luụn luụn quan tõm ti hai yu
t ú l ng cao v din tớch ỏy.
* ng cao: ó cú sn t gi thit bi toỏn hoc phi xỏc nh
Tớnh ng cao da vo vic s dng nh lớ Pytago hoc da vo cỏc
cụng thc lng giỏc.
* Din tớch ỏy: Tớnh din tớch ỏy da vo cỏc cụng thc quen thuc.
- Khi gii bi tp v th tớch
Trịnh Thị Phương

9

Lớp K35E Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Trong mt s bi toỏn v khi chúp tam giỏc chỳng ta cn khộo lộo
trong vic chn ng cao v mt phng ỏy vic tớnh toỏn ngn gn v d
dng hn.
+ i vi nhng bi toỏn tớnh th tớch ca cỏc khi chúp u ta luụn cú
ng cao ca khi a din chớnh l ng thng ni nh vi tõm ca a giỏc
ỏy.
+ Khi chúp cú mt cnh bờn vuụng gúc vi ỏy thỡ ng cao chớnh l
cnh bờn ú.
+ Tớnh th tớch khi a din cú th tớnh mt cỏch trc tip hoc giỏn
tip.
+ Vi mt s bi toỏn yờu cu tớnh khong cỏch t mt im ti mt
mt phng hoc khong cỏch gia hai ng thng ta cú th quy v bi toỏn
tớnh th tớch khi a din

Kt lun chng 1

Nh vy trong chng ny chỳng ta ó i tỡm hiu c s lớ lun v th
tớch khi a din, tỡm hiu c cỏc kin thc liờn quan ti vn ny cng
nh mt s lu ý khi lm bi tp v th tớch khi a din. T ú cú nhng
dng bi tp tng ng. Trờn c s ú vi mc ớch giỳp hc sinh cú c
mt ti liu thit thc v ch th tớch khi a din trong chng trỡnh toỏn
trung hc ph thụng. Chng 2 ca khúa lun s i xõy dng mt h thng
bi tp v th tớch mt cỏch tng i a dng v phong phỳ.

Trịnh Thị Phương

10

Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHNG 2: BI TON TH TCH
TRONG CHNG TRèNH TRUNG HC PH THễNG

2.1. Bi toỏn tớnh th tớch trc tip
Phng phỏp gii cỏc bi toỏn dng ny thng c tin hnh nh sau:
- Xỏc nh chiu cao ca khi a din cn tớnh th tớch.
Trong nhiu trng hp chiu cao ny c xỏc nh ngay t u bi,
nhng cng cú trng hp vic xỏc nh chiu cao phi da vo cỏc nh lý
v quan h vuụng gúc ó hc lp 11 (hay dựng nht l nh lý v 3 ng
vuụng gúc, cỏc nh lý v iu kin mt ng thng vuụng gúc vi mt
phng). Vic tớnh cỏc chiu cao thụng thng nh vo vic s dng nh lý
Pytago hoc da vo cỏc cụng thc lng giỏc.
- Tỡm din tớch ỏy bng cỏc cụng thc quen thuc.
Nhỡn chung cỏc bi toỏn thuc dng ny rt c bn, ch ũi hi vic tớnh toỏn
cn thn, chớnh xỏc. Tuy nhiờn im khú nht nm yu t ng cao. Cú th
gp cỏc kh nng sau:
Dng toỏn cú sn ng cao.
Dng toỏn cn i dng ng cao.
Dng toỏn cn dng ng cao ph..
2.1.1. Dng toỏn cú sn ng cao
a. C s lý thuyt

Mt s bi toỏn v tớnh th tớch khi a din ó cú sn ng cao. Giỏo
viờn cn a ra cỏc vớ d v giỳp hc sinh bit xỏc nh ng cao ú. Sau õy
l mt s gi ý nhn bit ng cao.
- ng thng qua nh v vuụng gúc vi mt ỏy. Cú th cho vuụng
gúc trc tip hoc cho vuụng gúc vi 2 ng thng ct nhau nm trong mt
phng ỏy.

Trịnh Thị Phương

11

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

- Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc
với đáy.
- Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng (  ) vuông góc với đáy,
đồng thời vuông góc với giao tuyến của (  ) và đáy.
- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và
hình chiếu của nó là đường cao.
…
Lưu ý: Trong các trường hợp trên cần chỉ cho học sinh thấy được trong các
trường hợp nào cần phải chứng minh đó là đường cao, trường hợp nào không
cần phải chứng minh.
b. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh

bên bằng 2a . Tính thể tích khối đa diện S.ABC.
Giải
Gọi M là trung điểm BC, O là trọng tâm của tam giác ABC
Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu vuông góc của đỉnh
xuống đáy trùng với tâm của tam giác đáy  SO  ( ABC ) .
S

* Tính SO.
Do  ABC đều cạnh a 3 , tâm O nên
3 3a

.
2
2
2
2 3a
AO  AM  .
 a.
3
3 2

 AM  a 3 .
A
C
O

M
B

Xét tam giác vuông SAO có

SO 

SA2  AO 2  a 3 .

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

12

Líp K35E To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

* Tớnh S ABC

S ABC

1
1
3 3 a2 3
0
AB . AC .sin 60 . a 3 . a 3 .

.
2
2
2

4

Vy th tớch khi chúp S.ABC l

VS . ABC

1
1
3 a 2 3 3 a3
S ABC . SO . a 3 .

(vtt).
3
3
4
4

Vi bi toỏn cho hỡnh chúp tam giỏc u ta cũn hay gp cỏc dng sau :
+ Cho bit cnh bờn v ng cao. Tớnh th tớch.
+ Bit cnh ỏy v ng cao. Tớnh th tớch.
+ Bit cnh ỏy v gúc to bi cnh bờn v mt ỏy. Tớnh th tớch.
Vi nhng dng trờn ta cng i tớnh ng cao v din tớch ỏy tng
t nh khi cho bit yu t cnh bờn v cnh ỏy. T ú ỏp dng cụng thc ta
d dng tớnh c th tớch khi chúp.
Trng hp c bit ca hỡnh chúp tam giỏc u khi tt c cỏc mt ca
hỡnh chúp u l tam giỏc u ta c khi t din u. Vic tớnh th tớch
khi t din u s c cp trong phn bi tp ỏp dng.
Vớ d 2: Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti A, cnh
BC a 2 , cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy, mt bờn (SBC) to

vi mt ỏy (ABC) mt gúc bng 450 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABC.
Gii
S

Ta cú (SBC) (ABC) = BC
Gi M l trung im BC ta cú :
AM BC (vỡ ABC cõn ti A)
C

A

450

SM BC (vỡ AM l hỡnh chiu ca
SM lờn (ABC)).

M
B

Trịnh Thị Phương

((SBC), (ABC)) = (SM, AM) = SMA = 45o

13

Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Vỡ ABC vuụng cõn ti A cú BC a 2
AB AC a v AM
S ABC

a 2
2

1
1
a2
AB. AC .a.a
.
2
2
2

Vỡ SAM vuụng ti A cú AM =

a 2
0
, M 45
2

o
SA A M tan 45

a 2
.

2

Vy th tớch khi chúp S.ABC l :

VS . ABC

1
1 a 2 a 2 a3 2
S ABC .SA
.

(vtt).
3
3 2 2
12

Chỳ ý: Sai lm ca hc sinh hay mc phi khi gii bi toỏn trờn l:
((SBC), (ABC)) = SBA = 45o

Vớ d 3: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú cnh ỏy bng 2a , cnh bờn
bng a 3 . Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
Gii
Gi O l tõm ca hỡnh vuụng ABCD.
Do S.ABCD l t giỏc u nờn SO (ABCD). Vy SO chớnh l ng cao
ca hỡnh chúp S.ABCD.

S

* Tớnh SO
Ta cú ABCD l hỡnh vuụng cnh 2a

AC 2a 2; AO

AC 2a 2

a 2.
2
2

D

C

Xột tam giỏc vuụng SAO cú
O

SO SA2 AO 2 3a 2 2a 2 a.
A

Trịnh Thị Phương

14

B

Lớp K35E Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

* Tớnh din tớch hỡnh vuụng ABCD
S ABCD AB 2 (2a ) 2 4a 2 .

Vy th tớch khi chúp S.ABCD l

VS . ABCD

1
1 2
4a 3
S ABCD . SA 4a . a
(vtt).
3
3
3

Vi bi toỏn cho hỡnh chúp t giỏc u ta cũn hay gp cỏc dng sau:
+ Bit cnh bờn v ng cao. Tớnh th tớch.
+ Bit cnh ỏy v ng cao. Tớnh th tớch.
+ Bit cnh bờn v gúc gia cnh bờn v mt ỏy. Tớnh th tớch.
Vi nhng dng trờn ta cng lm tng t nh khi bit yu t cnh ỏy v
cnh bờn.
Vớ d 4: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD
cú AB a 3, AD a, AA a , O l giao im ca AC v BD.
a) Tớnh th tớch khi chúp OABCD.
b) Tớnh th tớch khi OBBC.
c) Tớnh di ng cao nh C ca t din OBBC.
Gii
a) Gi th tớch khi hp ch nht l V. Ta cú

V = AB. AD.AA = a 3.a.a a

3

A

3 (vtt).

B
O

Khi chúp OABCD cú ỏy v ng cao
ging vi khi hp nờn

M
D
A

3

1
a 3
VOABC D V
3
3

C
B

(vtt).

b) Gi M l trung im ca BC ta cú:
OM // DC (Vỡ OM l ng trung bỡnh ca

D

C

BDC) OM (BBC) (Vỡ DC (BDC)).

Trịnh Thị Phương

15

Lớp K35E Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

* Tính OM
Ta có OM 

DC a 3

.
2
2

* Tính SBBC.
1
a2
Ta có S BBC   BB.BC   .
2
2
 VOBB 'C ' 

1
1 a 2 a 3 a3 3
S BB 'C ' .OM  . .

(đvtt).
3
3 2 2
12

c) Gọi CH là đường cao đỉnh C của tứ diện OBBC.
Ta có C H 

3VOBBC 
. Tam giác ABD có
SOBB

DB  AB 2  AD 2  2a  BO 

1
DB  a.
2

Do BB  (ABCD)  BB  OB hay OBB vuông tại B
1
1
a2
a 3
 SOBB  .OB.BB  .a.a 
 C H 
.
2
2
2
2

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD). Đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D, AB = 2a ; CD = a , BC = a 2 . Cạnh bên SC hợp với đáy
góc 600. Tính thể tích khối chóp.
Giải
Lấy M là trung điểm của AB khi đó

S

CD = AM = a , AM // CD và
DAM  900 nên tứ giác ADCM là

hình chữ nhật suy ra CM  AB. Áp
A

dụng định lí Pytago trong các tam

B

giác vuông CMB và CMA ta được

600
D

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

M

16

C

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

CM  BC  MB 
2

AC =

2

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2



a 2



2

 a 2  a;

AM 2  CM 2  a 2  a 2  a 2

SA  (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Do vậy
0
góc giữa SC và (ABCD) là SCA  60 .

Tam giác SAC vuông tại A nên
0

SA  AC .tan SCA  AC.tan 60  a 2. 3  a 6.

1
1
3a 2
 S ABCD   AB  CD  .CM   a  2a  a 
.
2
2
2
1
1 3a 2
a3 6

VABCD  S ABCD . SA  .
.a 6 
(đvtt).
3
3 2
2
Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A -2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D.
AB  AD  2a, CD  a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600.

Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải
Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với

S

đáy (ABCD)
nên giao tuyến SI  (ABCD). Vậy SI
là đường cao của hình chóp S.ABCD.
A

Kẻ IH  BC  SH  BC (định lý 3

M
B



đường vuông góc)

600
N

0

Ta có SHI  60 là góc giữa hai mặt

H
D

C

phẳng (SBC) và (ABCD)
Trong tam giác vuông SIH ta có
TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

17

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
SI =IH.tan 600 = IH 3

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
(1)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Vì IN là đường trung bình của
hình thang ABCD nên ta có:

IN =

2a a 3a
AB  CD
=
=
.
2
2
2

Ta có IH = IN cos HIN = IN cos MCB (do HIN và MCB là các góc có
cạnh tương ứng vuông góc).
=

3a 5
2a
3a MC
3a
.
=
.
=
2 BC
2
5
4a 2  a 2

Từ (1) ta có SI 

3a 5
3a 15
. 3
.
5
5

1
(2a  a).2a
Lại có S ABCD  ( AB  CD ).CM 
 3a 2 .
2
2
Vậy VSABCD =

1
1 2 3 a 15
15
 3 a3
SABCD .SI = 3a .
(đvtt).
3
3
5
5

Ví dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A -2007)
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt bên SAD là
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD. Tính thể tích của tứ diện CMNP

Giải
Gọi H là trung điểm của AD thì SH AD.

S

Do (SAD)  (ABCD) nên
M

 SH  (ABCD)
và SH 

a 3
. (vì SAD là tam giác đều
2

A

cạnh a )

K

H

D

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

B

18

N

P

C

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Kẻ MK // SH (K  HB)  K  (ABCD)
và MK 

SH a 3

.
2
4

1
1 a a a2
Ta có S NPC  CN .CP 
.  .
2
22 2 8

1
Vậy VCMNP  .SCNP .MK
3

1 a 2 a 3 a3 3
 . .

(đvtt).
3 8 4
96

Ví dụ 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2006 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB  a, AD  a 2, SA  a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của AD và SC. Giả sử I là giao điểm của BM và AC.
Tìm thể tích tứ diện ANIB.
Giải
Gọi O là tâm của đáy ABCD. Trong tam giác SAC có NO là đường trung bình

a
nên NO // SA. Tức là NO  (ABCD) và NO  .
2
Ta có
VANIB = VNAIB =

S

1
a

S AIB .NO  S AIB
3
6

(1)

Ta đi tính diện tích ∆AIB

N
A

Xét hình chữ nhật ABCD do MA = MD
M

1
1
 MA  . BC  AI  . IC
2
2
1
 AI  . AC
3

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

B

O

D

19

C

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
 AI 2 

(Do

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

AC 2
AD 2  DC 2 2a 2  a 2 a 2



.
9
9
9
3

AI MA

vì MIA đồng dạng với BIC)
IC

BC

2
4
4  2 a 2  6a 2
2
2
Lại có BI  BM  BI  BM   a   
.
3
9
9
2 
9

Do đó AI 2  BI 2  a 2  AB 2 nên AIB là tam giác vuông tại đỉnh I
1
1 a 3 a 6 a2 2
Vậy S AIB  IA.IB 
.

.
2
2 3
3
6

(2)

a3 2

Thay (2) vào (1) ta được VANIB =
(đvtt).
36
c. Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a . Mặt bên tạo với
đáy góc 300. Tính thể tích khối chóp.
Hướng dẫn
Gọi M là trung điểm của BC, O là trọng tâm ABC .
Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên  SO  ( ABC ) hay SO là đường
cao của hình chóp S.ABC.
SBC là tam giác cân có M là trung điểm của BC  SM  BC (1)
ABC là tam giác đều  AM  BC

(2)

Từ (1) và (2)  SMA  300 là góc giữa mặt bên và mặt đáy.
* Tính SO
Xét tam giác đều ABC cạnh a ta có
AM 

a 3
1
a 3
 OM  AM 
.
2
3
6

Xét tam giác vuông SOM ta có

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

20

Líp K35E To¸n


Khãa luËn tèt nghiÖp
SO  OM .tan 300 

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
a 3 1 a
.
 .
6
3 6

S

* Tính S ABC
Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a
nên ta có S ABC

a2 3
.

4

C

A

300
O

M

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là
VS . ABC

B

1
1 a 2 3 a a3 3
(đvtt).
 S ABC .SO  .
. 
3
3 4 6
72

Bài 2. Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a .
Hướng dẫn
A

Gọi M là trung điểm của CD, O là trọng
tâm của tam giác BCD.
Do ABCD là tứ diện đều nên
ta có AO  ( BCD) .

Xét BCD đều cạnh a có BM là đường trung tuyến
 BM 
BO 

D

B

* Tính AO

O

M
C

a 3
.
2

2
2a 3 a 3
BM 

.
3
3 2
3

Xét tam giác vuông ABO ta có

AO 

AB 2  BO 2 

a 3
( a ) 2  
 3

2


a 6
 
.
3


* Tính S BCD
Vì BCD đều cạnh a nên S BCD

TrÞnh ThÞ Ph­¬ng

a2 3

.
4

21

Líp K35E To¸n