Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ THÙY DUNG

HỆ AUTONOM PHẲNG VÀ SỰ TUYẾN TÍNH HÓA

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Trần Văn Bằng
- Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành
bài khóa luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy
cô trong tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn
thành tốt bài khóa luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho
nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Hoàng Thị Thùy Dung


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Khóa luận là công trình nghiên cứu của
riêng tôi. Trong khi nghiên cứu khóa luận này, tôi đã kế thừa thành quả
của các nhà khoa học và của các thầy cô với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Hoàng Thị Thùy Dung

2


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Chương 1. Phương trình vi phân cấp hai trong mặt phẳng pha

6

1.1. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Ví dụ về phương trình con lắc đơn trong mặt phẳng pha . .

9

Chương 2. Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa . . . . . . . . . .

12

2.1. Mặt phẳng pha tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Ví dụ về mô hình dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.3. Xấp xỉ tuyến tính tại các điểm cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.4. Nghiệm tổng quát của hệ autonom tuyến tính . . . . . . . . . . .

20

2.5. Đường cong pha của hệ autonom tuyến tính . . . . . . . . . . .

29

2.6. Tỷ lệ trong lược đồ pha của hệ tuyến tính autonom . . . . . .

38

2.7. Cách xây dựng lược đồ pha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.8. Hệ Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3


MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân là một lý thuyết có ứng dụng quan trọng trong
Vật lý. Tuy nhiên rất nhiều phương trình vi phân không giải được (nhất là
phương trình phi tuyến). Khi đó chúng ta buộc phải nghiên cứu các tính
chất định tính của nghiệm và mặt phẳng pha là một công cụ hữu hiệu
trong nghiên cứu định tính của các phương trình vi phân cấp hai (xem
chương 1). Ý tưởng chính là chuyển nghiên cứu phương trình vi phân
cấp hai autonom:
x¨ = f (x, x),
˙
về nghiên cứu hệ phương trình vi phân cấp một:


 x˙ = y
y˙ = f (x, y).

(I)

Điều này gợi ý cho ta xét hệ phương trình vi phân tổng quát hơn:

 x˙ = X(x, y)
(II)
y˙ = Y (x, y).
Hy vọng rằng, tương tự như hệ (I), chúng ta cũng có các kết quả hữu
dụng đối với hệ (II).
Thực tế hệ (II) rất phức tạp khi X, Y là các hàm phi tuyến. Do đó
chúng ta xét mô hình tuyến tính hóa của hệ (II) và chỉ ra vai trò của hệ
tuyến tính hóa đối với hệ (II) trong khi nghiên cứu các tính chất định tính.
Với lí do đó, chúng tôi chọn đề tài:
"Hệ autonom phẳng và sự tuyến tính hóa".
4


Nội dung của khóa luận gồm hai chương. Chương 1 trình bày tổng
quát với cách sử dụng mặt phẳng pha nghiên cứu phương trình vi phân
cấp 2. Chương 2 nghiên cứu về hệ autonom phẳng tổng quát thông qua
việc tuyến tính hóa, nghiên cứu lược đồ pha của hệ autonom tuyến tính.
Do là lần đầu nghiên cứu, thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế
nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để đề tài này
hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn.

5


Chương 1

Phương trình vi phân cấp
hai trong mặt phẳng pha
1.1. Phương trình autonom trong mặt phẳng pha
Xét phương trình autonom cấp hai dạng:
x¨ = f (x, x).
˙

(1.1)

Để nghiên cứu định tính của phương trình này ta đặt:
y = x.
˙
Khi đó phương trình (1.1) được đưa về phương trình vi phân cấp một:

 x˙ = y
(1.2)
y˙ = f (x, y).
6


Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng pha của phương trình (1.1).
Từ hệ (1.2) ta có mối liên hệ giữa x và y xác định bởi phương trình vi
phân cấp một:
dy
f (x, y)

=
.
dx
y

(1.3)

Mỗi đường cong nghiệm của (1.3) được gọi là một đường cong pha
của (1.1) hoặc (1.2), do đó phương trình (1.3) còn được gọi là phương
trình vi phân xác định đường cong pha.
Trên đường cong pha chúng ta đưa vào các mũi tên chỉ hướng biến
đổi của x theo thời gian t. Có thể thấy, nếu y = x˙ > 0 thì x tăng khi y tăng,
nếu y = x˙ < 0 thì x giảm khi t tăng. Do đó, hướng của đường cong pha
luôn từ trái sang phải ở nửa trên mặt phẳng và từ phải sang trái ở nửa mặt
phẳng dưới.
Mỗi điểm P(x, y) trên mặt phẳng pha tương ứng với một trạng thái
vật lý (x, x)
˙ chỉ vị trí và vận tốc của hệ mà phương trình vi phân (1.1) mô
tả, do đó P - được gọi là một trạng thái của hệ vật lý đó.
Trạng thái cân bằng của hệ vật lý là trạng thái không biến đổi theo
thời gian, tức là ta có x˙ ≡ 0. Khi đó ta cũng có x¨ ≡ 0. Do đó, trong mặt
phẳng pha, trạng thái cân bằng tương ứng với các điểm P(x, 0) với x là
nghiệm của phương trình x¨ = y˙ hay:
f (x, 0) = 0.

(1.4)

Vì thế, các điểm P(x, 0) với x thỏa mãn (1.4) được gọi là điểm cân
bằng của (1.1) hoặc (1.2).
Trong mặt phẳng pha, biểu diễn các đường cong pha cùng với hướng

của chúng được gọi là lược đồ pha.
7


Phương pháp mặt phẳng pha là phương pháp sử dụng lược đồ pha để
đưa ra các tính chất của nghiệm x = x(t) của phương trình vi phân cấp
hai (1.1), cũng như mô tả các tính chất vật lý của hệ xác định bởi (1.1).
Giả sử A, B là hai điểm trên một đường cong pha. Khi đó thời gian để
trạng thái P(x, y) biến đổi từ A tới B dọc theo đường cong đó được gọi là
thời gian chuyển từ A tới B. Đó là một đại lượng không phụ thuộc vào
thời điểm P bắt đầu từ A và xác định bởi:
dx
.
AB y

TAB =

(1.5)

Các tính chất định tính có thể quan sát qua lược đồ pha bao gồm:
i) Mỗi đường cong pha kín tương ứng với một nghiệm tuần hoàn của
(1.1). Tuy nhiên có nghiệm tuần hoàn của (1.1) tương ứng với đường
cong pha không kín.
ii) Mỗi điểm cân bằng tương ứng với một nghiệm hằng của (1.1).
iii) Quan sát quanh điểm cân bằng trong lược đồ pha ta có thể suy ra
tính chất ổn định hay không ổn định của trạng thái cân bằng vật lý.
Chẳng hạn:
+) Nếu gần một điểm cân bằng, các đường cong pha là các đường
cong kín bao quanh nó thì điểm cân bằng đó được gọi là một tâm, đó là
điểm cân bằng ổn định.

+) Nếu mỗi đường cong pha trong một lân cận của điểm cân bằng
đều có hướng về điểm cân bằng thì đó là một điểm cân bằng ổn định.
+) Nếu dịch trạng thái cân bằng một chút nó có thể thuộc vào đường
cong pha có hướng đi xa khỏi điểm cân bằng thì đó là điểm cân bằng
không ổn định...

8


1.2. Ví dụ về phương trình con lắc đơn trong
mặt phẳng pha

Hình 1.1: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.
Con lắc đơn Hình 1.1 bao gồm một phần tử P khối lượng m được treo
vào một điểm cố định O bởi một sợi dây hay thanh mảnh có độ dài a, dao
động trong mặt phẳng đứng. Nếu bỏ qua ma sát và sức cản thì phương
trình chuyển động của con lắc được viết là:
x¨ + ω 2 sinx = 0,

(1.6)

trong đó, x là góc nghiêng của dây so với phương thẳng đứng, g là gia tốc
trọng trường và ω 2 = g/a.
Đặt x˙ = y ta có hệ phương trình vi phân cấp một:


x˙ = y
y˙ = −ω 2 sinx.
Phương trình xác định đường cong pha là:
dy

ω 2 sinx
=−
.
dx
y
9


Tích phân phương trình này ta có phương trình các đường cong pha:
1 2
y = ω 2 cosx +C,
2
với C là hằng số, hay:
y = ± 2 (ω 2 cosx +C).

(1.7)

Từ đây ta có lược đồ pha cho bởi Hình 1.2: Chú ý rằng mỗi giá trị của

Hình 1.2: Con lắc đơn với độ dịch chuyển góc x.
tham số C cho ta một đường cong pha (nếu y thực). Các đường cong pha
đi qua hai điểm (−π, 0) và (π, 0) ứng với C = ω 2 ,...ứng với −ω 2 < C <
ω 2 ,...ứng với C > ω 2 .
Các điểm cân bằng bao gồm (x, 0) với x thỏa mãn sinx = 0. Do đó ta
có các điểm cân bằng tại (nπ, 0), n ∈ Z.
Quan sát lược đồ pha ta thấy:
i) Điểm (0, 0) là một tâm, do đó là điểm cân bằng ổn định.
ii) Điểm (π, 0) là một điểm cân bằng không ổn định.
iii) Các đường cong pha dạng sóng phía trên và phía dưới Hình 1.2
10

có y = x˙ không đổi dấu nên x liên tục tăng (hoặc giảm) theo t. Điều đó
ứng với chuyển động quay tít của con lắc.

11


Chương 2

Hệ autonom phẳng và sự
tuyến tính hóa
2.1. Mặt phẳng pha tổng quát
Xét hệ autonom cấp một tổng quát:
x˙ = X(x, y), y˙ = Y (x, y),

(2.1)

với các hàm X(x, y),Y (x, y) đủ trơn.
Hệ này được gọi là autonom vì biến thời gian t không xuất hiện ở vế
phải của (2.1).
Các nghiệm x(t), y(t) của (2.1) được biểu diễn trên một mặt phẳng
với hệ tọa độ Đề-các x, y.
Khi t tăng (x(t), y(t)) vạch ra một đường cong định hướng trong mặt
12


phẳng gọi là đường cong pha.
Dạng thích hợp cho điều kiện ban đầu của (2.1) là:
x = x0 , y = y0 tại t = t0 ,

(2.2)

trong đó x0 , y0 là các giá trị ban đầu tại thời điểm t0 .
Phương trình vi phân xác định đường cong pha là y/
˙ x˙ = dy/dx và
dọc theo đường cong pha ta có:
dy Y (x, y)
=
.
dx X(x, y)

(2.3)

Phương trình (2.3) không cho ta thông tin về hướng của đường cong
pha khi t tăng. Để biết được hướng của đường cong pha chúng ta cần tới
hệ phương trình (2.1).
Dấu của X và Y tại mỗi điểm cụ thể sẽ xác định hướng của đường
cong pha qua điểm đó, và nói chung là hướng tại tất cả các điểm khác có
thể được xác định bởi yêu cầu của tính liên tục của hướng của các đường
cong pha kề nhau.
Lược đồ mô tả những đường cong pha được gọi là lược đồ pha.
Mỗi điểm (x, y) được gọi là một trạng thái của hệ, như trước đây.
Lược đồ pha cho thấy sự biến đổi các trạng thái của hệ, bắt đầu từ trạng
thái ban đầu tùy ý.
Tại các điểm mà tại đó X = 0 được gọi là các điểm thường của (2.3).
Có một và chỉ một đường cong pha đi qua một điểm thường (x0 , y0 ),
không phụ thuộc vào thời điểm t0 - trạng thái đạt tới điểm (x0 , y0 ). Do
đó, có vô hạn nghiệm của (2.1), chỉ khác nhau bởi phép dịch chuyển thời
gian, cùng sinh ra một đường cong pha.

13


Tuy nhiên, phương trình (2.3) có thể có điểm kì dị tại đó X(x, y) = 0.
Các điểm mà cả X(x, y), Y (x, y) đều bằng không:
X(x, y) = 0, Y (x, y) = 0

(2.4)

được gọi là điểm cân bằng.
Nếu (x1 , y1 ) là một nghiệm của (2.4) thì x(t) = x1 , y(t) = y1 là một
nghiệm hằng của (2.1) và xác định đường cong pha suy biến. Điểm đó
còn được gọi là điểm cố định.
Do dy/dx = Y (x, y)/X(x, y) là phương trình vi phân của đường cong
pha, nên các đường cong pha cắt đường cong được xác định bởi phương
trình Y (x, y) = cX(x, y) sẽ có cùng độ dốc (hệ số góc) c. Các đường
cong Y = cX được gọi là các đường đẳng tà (có hệ số góc không đổi).
Hai đường đẳng tà đặc biệt Y (x, y) = 0 (đường có độ dốc bằng 0) và
X(x, y) = 0 (đường có độ dốc vô hạn) là các đường rất hữu ích trong
phác họa lược đồ pha. Các điểm giao của các đường đẳng tà là các điểm
cân bằng. Giữa các đường đẳng tà, X(x, y) và Y (x, y) phải có một dấu.
Chẳng hạn, ở trong một miền của mặt phẳng (x, y) cùng với X(x, y) > 0
và Y (x, y) > 0, các đường cong pha phải có độ dốc dương. Điều này cũng
xảy ra nếu X(x, y) < 0 và Y (x, y) < 0. Tương tự, nếu X(x, y) và Y (x, y)
trái dấu nhau trong một miền thì đường cong pha phải có độ dốc âm.
Ví dụ 2.1. Xác định vị trí các điểm cân bằng và phác họa các đường
cong pha của hệ:
x˙ = y(1 − x2 ), y˙ = −x(1 − y2 ).
Điểm cân bằng xảy ra tại điểm là nghiệm của hệ:

y(1 − x2 ) = 0, x(1 − y2 ) = 0.
14


Nghiệm của các phương trình tương ứng là: x = ±1, y = 0 và x = 0,
y = ±1, nên ta có năm cặp nghiệm (0, 0), (1, 1), (1, −1), (−1, 1) và
(−1, −1) là những điểm cân bằng.
Các đường cong pha thỏa mãn phương trình vi phân:
dy −x(1 − y2 )
=
.
dx y(1 − x2 )
giải phương trình này ta có:
−

xdx
=
1 − x2

ydy
1 − y2

1
−1
⇔ ln 1 − x2 =
ln 1 − y2 +C
2
2
.
⇔ (1 − x2 )(1 − y2 ) = A

(A là hằng số).
Chú ý rằng các nghiệm đặc biệt x = ±1 và y = ±1 ứng với trường hợp
A = 0. Những nghiệm này và vị trí của các điểm cân bằng giúp chúng ta
vẽ lược đồ pha (Hình 2.1) các đường cong cắt trục x = 0 với độ dốc bằng
0 và các đường cong pha cắt trục y = 0 với độ dốc vô hạn tại các điểm
cắt.
Hướng của đường cong pha có thể nhận được nhờ tính liên tục: bắt
đầu tại điểm (0, 1), ta có x˙ > 0 nên đường cong pha sẽ chạy từ trái sang
phải.

2.2. Ví dụ về mô hình dân số
Ví dụ 2.2. Bài toán về loài săn mồi-con mồi (Mô hình của Volterra)
15


Hình 2.1: Lược đồ pha cho x˙ = y(1 − x2 ); y˙ = −x(1 − y2 ); các đường nét đứt là
đường đẳng tà với độ dốc bằng 0 và độ dốc vô hạn.

Hình 2.2: Lược đồ pha cho (a): x˙ = y ,y˙ = −x.

(b): x˙ = xy ,y˙ = −x2 .

Trong một hồ cá có 2 loài cá: A (con mồi) ăn thực vật và giả thiết là
có nguồn cung dồi dào và B (loài săn mồi) ăn A. Chúng ta sẽ xây dựng
một mô hình thô cho sự tương tác của A và B.
Gọi x(t) là số lượng của loài A và y(t) là số lượng của loài B. Chúng
16


ta giả sử rằng A tương đối sống lâu và sinh sản rất nhanh nếu còn lại một

mình.
Khi đó, trong thời gian δt, có một sự gia tăng số lượng được cho bởi:
axδt, a > 0.
Tỉ lệ sinh tử tự nhiên (a > 0) và ”gia tăng âm”
−cxδt, c > 0,
do A bị ăn thịt bởi B (số lượng được ăn trong thời gian này được giả định
là tỉ lệ thuận với số lượng gặp gỡ giữa A và B). Sự gia tăng số lượng của
A, δ x có dạng:
δ x = axδt − cxyδt.
Chia hai vế cho δt rồi cho δt → 0 ta có:
x˙ = ax − cxy.

(2.5)

Giả sử rằng, trong trường hợp không có con mồi, tỉ lệ chết đói của B
chiếm ưu thế so với tỉ lệ sinh, nhưng điều đó được bù lại bởi tỉ lệ gặp A
tăng tỉ lệ thuận. Điều này cho ta:
y˙ = −by + xyd,

(2.6)

với b > 0, d > 0. Hệ phương trình (2.5)+(2.6) là một hệ phương trình phi
tuyến có dạng (2.1).
Bây giờ chúng ta vẽ lược đồ pha trong mặt phẳng x, y và chỉ quan tâm
tới góc phần tư x

0, y

0. Điểm cân bằng là nghiệm của:

X(x, y) = ax − cxy = 0, Y (x, y) = −by + xyd = 0,
17


đó là tại (0, 0) và (b/d, a/c). Đường cong pha được cho bởi:
dy Y
(−b + xd)y
= =
,
dx X
(a − cy)x
là một phương trình tách biến và ta có:
(a − cy)
.dy =
y

(−b + xd)
.dx
x

hay:
alogc y + blogc x − cd = C,

(2.7)

trong đó C là một hằng số bất kì, gọi là tham số của hệ. Viết (2.7) dưới
dạng (alogc y − cy) + (blogc x − xd) = C, là một họ các đường cong đóng
quanh điểm cân bằng (b/d, a/c).
Hình 2.3 biểu diễn các đường cong trong một trường hợp cụ thể.
Hướng trên đường cong pha nhận được từ dấu của x˙ tại một điểm bất

kì thậm chí là trên đường y = 0 nhờ tính liên tục. Từ (2.6) và (2.5), các
đường đẳng tà với độ dốc 0 xuất hiện khi y˙ = 0, đó là đường y = 0 và
x = b/d và đường đẳng tà với độ dốc vô hạn xuất hiện khi x˙ = 0, là các
đường x = 0 và y = a/c.
Do các đường cong pha đóng, nên sự biến thiên của x(t) và y(t) bắt
đầu từ số lượng ban đầu bất kì đều tuần hoàn, số lượng lớn nhất của A
thu được vào khoảng 1/4 chu kì sau thời điểm số lượng của B đạt lớn
nhất. Khi A bị ăn khiến B phát triển mạnh và dân số x của A giảm, cuối
cùng lại gây ra sự sụt giảm của B. Khi đó, sự thiếu hụt của loài săn mồi
dẫn đến sự hồi sinh của A và chu kì bắt đầu lại một lần nữa.
Một sự thay đổi đột ngột trong trạng thái do các nguyên nhân bên
ngoài, chẳng hạn như một mùa xấu cho các loại thực vật thì ta hi vọng
18


Hình 2.3: Lược đồ pha điển hình cho mô hình săn mồi-con mồi.
sẽ chuyển trạng thái sang một đường cong kín khác, nhưng không có xu
hướng cân bằng số lượng và cũng không khiến cho loài nào tuyệt chủng.

2.3. Xấp xỉ tuyến tính tại các điểm cân bằng
Xấp xỉ của một hệ phi tuyến bằng cách tuyến tính hóa hệ đó tại các
điểm cân bằng, như trong ví dụ vừa nêu, là một kĩ thuật rất quan trọng và
hữu ích. Nếu bản chất hình học của các điểm cân bằng có thể được thiết
lập theo cách này thì các đặc trưng của lược đồ pha sẽ trở nên rõ ràng.
Xét hệ:
x˙ = X(x, y), y˙ = Y (x, y).

(2.8)

Giả sử, điểm cân bằng cần nghiên cứu đã được chuyển đến gốc tọa

độ (nhờ một phép tịnh tiến, nếu cần thiết). Khi đó:
X(0, 0) = Y (0, 0) = 0
và theo khai triển Taylor ta có:
X(x, y) = ax + by + P(x, y), Y (x, y) = cx + dy + Q(x, y),
19


trong đó:
a=

∂X
∂X
∂Y
∂Y
(0, 0), b =
(0, 0), c =
(0, 0), d =
(0, 0)
∂x
∂y
∂x
∂y

và P(x, y), Q(x, y) là các vô cùng bé bậc cao hơn

(2.9)

x2 + y2 khi (x, y) →

(0, 0). Xấp xỉ tuyến tính của (2.9) trong một lân cận của gốc tọa độ là hệ:

x˙ = ax + by, y˙ = cx + dy.

(2.10)

Chúng ta hy vọng rằng nghiệm của (2.10) sẽ tương tự về mặt hình
học với (2.8) gần gốc tọa độ. Điều đó đúng trong hầu hết các trường hợp.

2.4. Nghiệm tổng quát của hệ autonom tuyến
tính
Hai ví dụ sau đây minh họa kĩ thuật để giải hệ phương trình vi phân
tuyến tính với hệ số không đổi:
x˙ = ax + by, y˙ = cx + dy,

(2.11)

với x = x(t), y = y(t).
Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình vi phân:
x˙ = x − 2y, y˙ = −3x + 2y.
Ta tìm hai nghiệm độc lập tuyến tính (nghĩa là, nghiệm này không đơn
giản là tích của nghiệm kia với một vô hướng) có dạng:
x = reλt , y = seλt ,
20

(i)


trong đó r, s, λ là hằng số nào đó. Giả sử hai nghiệm đó là (x1 (t), y1 (t))
và (x2 (t), y2 (t)). Khi đó nghiệm tổng quát được cho bởi:
x(t) = C1 x1 (t) +C2 x2 (t), y(t) = C1 y1 (t) +C2 y2 (t).

(ii)

Để có được những nghiệm cơ bản, ta thế (i) vào hệ phương trình vi phân,
giản ước eλt và sắp xếp lại các số hạng, ta được một hệ phương trình đại
số 3 ẩn λ , r, s:
(1 − λ )r − 2s = 0, −3r + (2 − λ )s = 0.

(iii)

Coi (iii) là hệ phương trình tuyến tính đối với r và s, thì định thức
các hệ số của hệ bằng 0, vì nếu không thì hệ chỉ có nghiệm duy nhất là
r = 0, s = 0. Vì vậy ta cần:


1−λ
−2
 = λ 2 − 3λ − 4 = (λ − 4) (λ + 1) = 0.
det 
−3 2 − λ
Có hai giá trị của λ là:
λ = λ1 = 4 và λ = λ2 = −1.

(iv)

Với mỗi giá trị lần lượt ta đi giải (iii) cho r và s:
Trường hợp: λ = λ1 = 4. Phương trình (iii) trở thành:
−3λ − 2s = 0, −3r − 2s = 0.

(iv)

Trong trường hợp này cũng như trường hợp tổng quát hai phương
trình này tương đương với một phương trình duy nhất. Chọn nghiệm bất
kì khác 0 của (v). Chẳng hạn:
r = r1 = −2, s = s1 = 3
21


và ta tìm được nghiệm có dạng (i):
x(t) = x1 (t) = −2e4t , y(t) = y1 (t) = 3e4t .

(v)

Trường hợp: λ = λ2 = −1. Phương trình (iii) trở thành:
2r − 2s = 0, −3r + 3s = 0,

(vi)

tương đương với r − s = 0. Chúng có nghiệm đơn giản:
r = r2 = 1, s = s2 = 1
và ta có nghiệm độc lập thứ hai của hệ phương trình vi phân:
x(t) = x2 (t) = e−t , y(t) = y2 (t) = e−1 .

(vii)

Theo (ii), (v) và (vii), nghiệm tổng quát được cho bởi:
x(t) = −2C1 e4t +C2 e−t , y(t) = 3C1 e4t +C2 e−t ,
trong đó C1 , C2 là hằng số tùy ý.
Trong ví dụ dưới đây, các số λ1 và λ2 là số phức:
Ví dụ 2.4. Tìm nghiệm tổng quát của hệ:
x˙ = x + y, y˙ = −5x − 3y.

Tiến hành đúng như trong Ví dụ 2.6. Thay thế:
x = reλt , y = seλt
vào các phương trình vi phân, có:
(1 − λ )r + s = 0, −5r − (3 + λ )s = 0.
22

(i)


Để tồn tại nghiệm (r, s) khác không thì:


1−λ
1
 = λ 2 + 2λ + 2 = 0.
det 
−5 −3 − λ

(ii)

Do đó các giá trị của λ là:
λ1 = −1 + i, λ2 = −1 − i.

(iii)

Đây là những số phức, và do (ii) là phương trình bậc hai nên chúng
là hai số phức liên hợp:
λ1 = λ¯ 2 .

(iv)

Trường hợp λ = λ1 = −1 + i. Phương trình (i) trở thành:
(2 − i)r + s = 0, −5r − (2 + i)s = 0;
tương đương với (2 − i)r + s = 0. Lấy r = 1, s = 2 − i ta có nghiệm riêng
của hệ phương trình vi phân:
x1 (t) = e(−1+i)t , y1 (t) = (−2 + i)e(−1+i)t .

(v)

Trường hợp λ = λ2 = λ¯ 1 thì từ phương trình (i) ta thấy ngay:
r2 = r¯1 = 1, s2 = s¯1 = −2 − i
và nghiệm tương ứng của hệ phương trình vi phân là:
x2 (t) = e(−1−i)t , y2 (t) = (−2 − i)e(−1−i)t
(đó là hàm phức liên hợp của x1 (t), y1 (t)). Vì vậy, nghiệm tổng quát của
hệ là:
x(t) = C1 e(−1+i)t +C2 e(−1−i)t ,
23


y(t) = C1 (−2 + i)e(−1+i)t +C2 (−2 − i)e(−1−i)t .

(vi)

Nếu ta cho C1 , C2 là những số phức tùy ý, thì (vi) cho ta mọi nghiệm
thực và nghiệm phức của hệ phương trình. Nhưng ta chỉ quan tâm đến
nghiệm thực nên ta lọc ra từ (vi). Điều này được thực hiện bằng cách cho
C1 là số phức tùy ý còn:
C2 = C¯1 .
Khi đó các số hạng ở bên phải của phương trình (i) là số phức liên
hợp, vì vậy tổng của chúng là số thực và ta có:

x(t) = 2ReC1 e(−1+i)t ,
y(t) = 2ReC1 (−2 + i)e(−1+i)t .
Bằng cách đặt:
2C1 = c1 + ic2 ,
trong đó c1 và c2 là số thực tùy ý không đổi, ta được nghiệm thực tổng
quát có dạng:
x(t) = e−t (c1 cost − c2 sint),
y(t) = −e−t {(2c1 + c2 )cost + (c1 − 2c2 )sint} .
Trường hợp tổng quát, ta đặt:


x(t)
,
x(t) = 
y(t)


x(t)
˙
.
x˙ (t) = 
y(t)
˙

24