Một số bài toán về đa thức

Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Lời Cảm ơn

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của sự cố gắng của bản thân em
sau một thời gian học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy cô.
Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo, đặc
biệt là cô Dương Thị Luyến người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em
trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Bùi Thị Thảo

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Lời cam đoan
Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình
học tập và nghiên cứu của em. Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những
kiến thức mà em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của
các thầy cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo tận tình của cô Dương Thị Luyến.
Với đề tài Một số bài toán về đa thức , khóa luận này không có sự

trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Bùi Thị Thảo

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Mục lục
Mở đầu ...................................................................................................... 1
Chương 1. Một số kiến thức cơ bản......................................................... 2
1. Vành đa thức một ẩn ............................................................................ 2
1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn........................................................... 2
1.2. Một số tính chất của đa thức một ẩn ................................................. 3
1.2.1. Phép chia đa thức ..................................................................... 3
1.2.2. Nghiệm của đa thức .................................................................. 3
1.3. Đa thức bất khả quy .......................................................................... 8
1.4. Đa thức với hệ số thực và phức .......................................................... 9
1.5. Đa thức đồng dư ................................................................................ 9
2. Vành đa thức nhiều ẩn ..................................................................... 10
2.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn ..................................................... 10
2.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn .................................................................. 11
2.3. Đa thức đối xứng .............................................................................. 11

Chương 2. Một số bài toán về đa thức .................................................. 13
1. Một số bài toán về đa thức một ẩn .................................................. 13
1.1. Bài toán chia hết .............................................................................. 13
1.1.1. Bài toán chứng minh chia hết ................................................. 13
1.1.2. Tìm giá trị của tham số m để f(x, m) chia hết cho g(x,m) ..... 15
1.2. Xác định đa thức trong phép chia có dư ........................................... 19
1.3. Bài toán về nghiệm của đa thức ....................................................... 20
1.3.1. Định lý Viéte và một số ứng dụng ......................................... 20
1.3.2. Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng ........................................ 25
1.3.3. Nghiệm của đa thức hệ số nguyên ......................................... 27
1.3.4. Bài toán về đạo hàm đa thức và nghiệm bội........................... 31

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

1.4. Bài toán về đa thức bất khả quy ...................................................... 33
2.

Bài toán về đa thức nhiều ẩn .......................................................... 37

2.1. Tìm biểu diễn của đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng
cơ bản ................................................................................................ 37
2.2. Một số bài toán ứng dụng của đa thức đối xứng ............................. 39
2.2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử ............................................. 39

2.2.2. Chứng minh đẳng thức ........................................................... 42
2.2.3. Chứng minh bất đẳng thức ..................................................... 44
2.2.4. Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng .................... 46
2.2.5. Giải hệ phương trình đối xứng ............................................... 48
2.2.6. Giải phương trình căn thức ..................................................... 51
2.2.7. Trục căn thức ở mẫu ............................................................... 52
Kết luận ................................................................................................. 54
Tài liệu tham khảo

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài
Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó không những là
đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của
giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu,
Ngoài ra, các định lý và các đặc trưng cơ bản của đa thức còn được sử
dụng nhiều trong Toán Cao cấp, Toán ứng dụng.
Các bài toán về đa thức và được xem như những dạng toán khó ở
THPT, được đề cập nhiều trong các kỳ thi HS giỏi Quốc gia, Olympic
Quốc tế và kỳ thi Olympic sinh viên giữa các trường Đại học, Cao đẳng.
Vì các lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu khoa học, dưới sự
hướng dẫn tận tình của cô Dương Thị Luyến, em đã chọn đề tài Một số

bài toán về đa thức với mong muốn ứng dụng những kiến thức đã học
vào chương trình toán THPT.
2. Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các bài toán về đa thức.
3. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về đa thức.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu ; Phân tích; So sánh ; Hệ thống hóa.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

1

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Chương i. Một số kiến thức cơ bản
1. Vnh đa thức một ẩn
1.1. Xây dựng vnh đa thức một ẩn
Giả sử A l vnh giao hoán có đơn vị, kí hiệu l 1 v P l tập hợp các
dãy vô hạn (a0, a1, , an,) trong đó ai A, i = 0, 1, 2, v ai = 0 hầu
hết. Hai phn t (a0, a1, , an,) v (b0, b1, , bn,) của P được xem
l bằng nhau nếu và chỉ nếu ai = bi, i = 0, 1, 2, . Ta có:
( a0 , a1 ,..., an ,...) (b0 , b1 ,..., bn ,...) ( a0 b0 , a1 b1 ,..., an bn ,...)
( a0 , a1 ,..., an ,...).(b0 , b1 ,..., bn ,...) (c0 , c1 ,..., cn ,...)

ab

với ck a0bk a1bk 1 ... ak b0

i

j

(1)
(2)

, k 0,1,2,...

i jk

Khi đó (P,+, .) lập thành một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành đa thức.
Thật vậy, ta có hai quy tắc (1) và (2) cho ta hai phép toán trong P.
(P, + ) là một nhóm giao hoán. Thật vậy:
+ Hiển nhiên phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp.
+ Phần tử không là dãy (0,0,,0,).
+ Phần tử đối của dãy (a0, a1,, an,) là dãy (- a0, - a1,,- an,) .
Vậy P là nhóm cộng giao hoán.
(P, .) là một nhóm giao hoán. Thật vậy,
+ Vì A giao hoán nên

ab
i

j

i j k

ba

j i

nên phép nhân giao hoán .

i j k

+ Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng
nên phép nhân trong P có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép
cộng.
+ Phần tử đơn vị là (1,0,,0,).
Do đó P là một vành giao hoán có đơn vị.
Xét ánh xạ f :

A P
a (a,0,...,0,...)

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

2

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Nhận thấy f là đơn cấu vành, do vậy ta đồng nhất phần tử a A với
dãy (a, 0, , 0,...) P thì A l vnh con ca P.
Đặt x = (0, 1, 0, , 0, ). Khi đó mỗi phần tử của P l dãy
(a0, a1, , an,) với các ai A, i = 0, 1, 2, có thể viết dưới dạng:
f(x) = a0 + a1x + + anxn. Nếu an 0 (n 0) thì được gọi là bậc của đa
thức f(x), kí hiệu n = degf(x).
Đa thức không là đa thức không định nghĩa bậc hoặc có bậc .
Kí hiệu P = A[x] gọi là vành đa thức ẩn x, A là vành cơ sở, các phần tử
của nó được gọi là các đa thức ẩn x, thường kí hiệu là f(x), g(x),
1.2.Một số tính chất của đa thức một ẩn
1.2.1. Phép chia đa thức
Định lí 1 (Định lý về phép chia có dư)
Cho A[x] l vnh đa thức, A l một trường. Với hai đa thức f(x),
g(x) A[x] (g(x) 0) luôn tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) sao
cho f(x) = g(x).q(x) + r(x).
Nếu r(x) 0 thì deg r(x) < deg g(x), r(x) l dư của phép chia f(x)
cho g(x).
Nếu r(x) = 0 ta nói f(x) chia hết cho g(x), kí hiệu f(x) g(x).
1.2.2. Nghiệm của đa thức
a) Định nghĩa 1.
Cho f(x) A[x] , f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 , c A ,
f(c) = ancn + an-1cn-1 + + a1c + a0 A, f(c) là giá trị của f(x) tại x= c.
Nếu f(c) = 0 thì c là nghiệm của đa thức f(x).
b) Định lí 2. Định lí Bézout
Dư trong phép chia f(x) cho (x c) là giá trị của f(x) tại x = c .
Hệ quả 1.
c A là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x c).

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

3

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

c) Lược đồ Hoorne
Định lí 3.
Cho đa thức f(x) = a0xn + a1xn -1 ++an (a0 0) v g(x) = x a. Khi
đó thương của f(x) chia cho g(x) l một đa thức bậc n 1 có dạng
q(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + + bn-2x + bn -1
Trong đó b0 = a0, bi = ai + .bi -1 , i 1, n v s d r = an + .bn 1


a0

a1



an -1

an

b0

b1



bn -1

r

Chứng minh
p dụng định lí phép chia với dư ta được:
f1(x) = f(x) b0xn-1.(x ) = (a1 + b0).xn-1 + a1xn-1 + + an
Nghĩa l b0 = a0, b1 = a1 + a0
Lại có f2(x) = f1(x) (a1 + b1)xn-2.(x )
= f(x) b1xn-2.(x )
= (a2 + b1)xn-2 + a3xn-3 + + an.
ở đây b2 = a2 + b1.
Tiếp tục quá trình này ta được:
b0 = a0, b1 = a1 + b0, , bn-1 = an-1 + bn-2 v số dư r = an + bn-1
Định lí được chứng minh.
d) Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội
Định nghĩa 2.
Cho f(x) A[x] là đa thức bậc n, c là nghiệm bội m của đa thức f(x)
nếu f(x) chia hết cho (x c)m nhưng f(x) không chia hết cho (x c)m+1.
Tính chất
f ( ) f '( ) ... f m1 ( ) 0
là nghiệm bội m của f(x) m
f ( ) 0

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

4

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 4.
Số là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x ). Giả
sử A l một trường, A, f(x) A[x] v m

, m 1. Khi đó, l

f ( x)( x )m
nghiệm bội cấp m của f(x)
m 1
f ( x) ( x )
m = 1 thì nghiệm đơn của f(x)
m = 2 thì nghiệm kép của f(x).
Số nghiệm của đa thức là tổng số nghiệm của đa thức đó kể cả bội của
các nghiệm (nếu có).
e) Định lí 5. Định lý Viéte
*

Cho f(x) A[x] là đa thức bậc n, f x a0 n n ... an 1 x an và

f x a0 x 1 x 2 ... x n .
ở đây 1 , 2 ,..., n là những nghiệm của đa thức.
Sau khi ta nhân các thừa số với nhau và nhân các hệ số theo các
dạng đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức P(x) ta nhận
được:

a1





...




1
2
n

a0

a2

...




1
2
2
3
n

1
n

a0

................

k a
... ...
... n 1 . k
1 2
k
n k 1 n k 2

a0

................

n an
1 2 ... n 1 .
a0


Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

5

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

* Định lý Viéte đảo.
n

Nếu x1,x2,,xn thỏa mãn hệ Tk xi xi ...xi ( 1) k .
1

i 1

2

k

an k
; k 1,2,..., n

an

thì x1,x2,,xn là các nghiệm của đa thức bậc n
f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 (an 0).
f) Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng.
Định nghĩa 3. Một đa thức P(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an, gọi là đa
thức hệ số đối xứng, nếu những hệ số trong dạng chuẩn tắc của nó cách
hệ số đầu và hệ số cuối bằng nhau thì có giá trị bằng nhau, nghĩa là:
a0 = an, a1 = an-1, , ak = an-k ,
Định lí 6.
Đa thức P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc n khi và chỉ khi với x 0
1
P x x n .P
x

Định lí 7.
Đa thức P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc n khi và chỉ khi điều
kiện sau thoả mãn: Một số là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi
số

1



cũng là nghiệm.

Định lí 8.
Nếu P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc 2m thì P(x) = xm.Q(y), ở đây
yx

1
với x 0, còn Q(y) là đa thức bậc m.
x

g) Nghiệm của đa thức hệ số nguyên.
Định lí 9.
Nếu phân số tối giản

p
( p, q) 1 l nghiệm của đa thức với hệ số
q

nguyên f(x) = a0 + a1x + + anxn thì p l ước của a0 v q l ước của an.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

6

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh
Giả sử phân số tối giản
Khi đó ta có: f(

p

( p, q) 1 l nghiệm của đa thức f(x).
q

p
p
p
) = a0 + a1 ++ an( )n = 0
q
q
q

Từ đó ta có:
anpn = q( an-1pn-1 + + a1qn-2p + a0qn-1)

(1)

a0qn = p( anpn-1 + + a2qn-2p + a1qn-1)

(2)

Từ (1) suy ra a n p n q m p, q 1 an q
Từ (2) suy ra a0 q n p m p, q 1 a0 p
Định lí được chứng minh.
Hệ quả 2. Nếu phân số tối giản

p
là nghiệm của đa thức với hệ số
q

nguyên f(x) = a0 + a1x + + anxn thì:

a) (p mq) \ f(m) vi m

.

b) (p q) \ f(1) v (p + q) \ f(1)
Chứng minh
a) Phân tích f(x) theo các luỹ thừa của (x m) ta được:
f(x) = b0 + b1(x m) + + bn(x m)n = (x m)
Nhận xét: Các hệ số b0,, bn-1 l các số nguyên vì m là một số nguyên.
Ta có f(m) = b0. Thay x bởi

p
ta thu được đẳng thức
q

p
p

p mq
f m
0
q
q

q
Do đó

p mq
l nghiệm của ( x) .
q

Theo định lí 4 thì p mq l ước của b0 = f(m)

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

7

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

b) Theo câu a.
Với m = 1 thì (p q) \ f(1)
Với m = 1 thì (p + q) \ f(1).
Định lí được chứng minh.
1.3. Đa thức bất khả quy
a) Định nghĩa 4.
Cho T là một trong các trường số

,

,

. Đa thức p(x) T[x]

được gọi là đa thức bất khả quy (đa thức không phân tích được ) trên T
nếu p(x) khác đa thức không; p(x) không khả nghịch và các ước của p(x)

là một phần tử khả nghịch hoặc liên kết với p(x).
b) Tính chất
Định lý 10.
Cho P(x) là một đa thức với hệ số trong T, P(x) bất khả quy trên T khi
và chỉ khi ước duy nhất của nó với những hệ số thuộc T có dạng và
P(x), ở đây 0 là một số bất kỳ trong T.
Định lý 11.
Nếu P(x) là một đa thức bất khả quy trên T, Q(x) là một đa thức bất
kỳ trong T thì hoặc Q(x) P(x) hoặc (Q(x), P(x)) = 1.
Định lý 12.
Cho P(x) là đa thức bất khả quy trên T, Q(x) và R(x) là những đa
thức với hệ số thuộc T. Nếu Q(x) R(x) P(x) thì ít nhất một trong các
thừa số Q(x) và R(x) chia hết cho P(x).
Định lý 13.
Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích hai
đa thức hệ số nguyên thì nó không phân tích được thành tích hai đa thức
hệ số hữu tỉ.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

8

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

c) Tiêu chuẩn Eisenstein

Cho đa thức f x =an x n an 1 x n1 a1 x a0 Z [x]. Giả sử p
thỏa mãn đồng thời :
i) an không chia hết cho p
ii) ai p, i 0, n 1
iii) a0 không chia hết cho p2.
Khi đó f(x) bất khả quy trên

.

1.4. Đa thức với hệ số thực và phức
Cho một đa thức với hệ số thực thì chưa chắc đa thức đó có nghiệm
trong trường số thực, nhưng luôn có nghiệm trong trường số phức. Với
mọi đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức. Ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 1. Mọi đa thức với hệ số thực bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực.
Bổ đề 2. Mọi đa thức bậc > 0 với hệ số thực có ít nhất một nghiệm phức.
Định lí 14.
Mọi đa thức bậc > 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức.
Hệ quả 3.
Các đa thức bất khả quy của vành

[x] là các đa thức bậc nhất.

Hệ quả 4.
Với mọi đa thức bậc n (n > 0) với hệ số phức có n nghiệm phức.
Hệ quả 5.
Các đa thức bất khả quy của

[x] là các đa thức bậc nhất và đa

thức bậc hai ax2 + bx + c với = b2 4ac < 0.

1.5. Đa thức đồng dư
Định nghĩa 5.
Cho ( x) là một đa thức khác không. Ta nói rằng đa thức P(x) và Q(x)
đồng dư với nhau theo mô đun đa thức ( x) nếu P ( x) Q( x ) ( x ).
Kí hiệu P ( x) Q ( x)(mod ( x)).

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

9

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 15.
Cho ( x) là đa thức khác không, P(x), Q(x) là hai đa thức. Khi đó
P ( x) Q( x) (mod ( x)) P(x), Q(x) có cùng đa thức dư khi chia cho

( x).
2. Vành đa thức nhiều ẩn
2.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn
Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị.
Đặt A1 = A[x1] là vành đa thức ẩn x1, lấy hệ tử trên A,
A2 = A1[x2] là vành đa thức ẩn x2, lấy hệ tử trên A1,

An = An-1[xn] là vành đa thức ẩn xn, lấy hệ tử trên An 1.

Vành An kí hiệu là A[x1, x2, ,xn] gọi là vành đa thức của n ẩn x1,,xn
lấy hệ tử trong vành A.
Mỗi phần tử của An gọi là một đa thức của n ẩn x1,,xn lấy hệ tử
trong vành A.
Kí hiệu f(x1,,xn) hay g(x1,,xn).
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được mỗi đa thức
f(x1,,xn) A[x1, ,xn] đều biểu diễn dưới dạng:
a

f ( x1 ,..., xn ) c1 x1a11 ...xna1n ... cm x1 m1 ...xnamn ,
với ci A, i 1, m , aij

, j 1, n và (ai1,,ain) (aj1,,ajn) nếu i j .

Các ci gọi là các hệ tử, các ci x1ai1 ...nnain gọi là các hạng tử của đa thức
f(x1,,xn).
Đa thức f(x1,,xn) = 0 khi và chỉ khi ci = 0 với mọi i 1, m .
Hai đa thức f(x1,,xn) và g(x1,,xn) bằng nhau khi và chỉ khi
chúng có các hạng tử như nhau.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

10

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

2.2. Bậc của một đa thức nhiều ẩn
Định nghĩa 6.
Giả sử f(x1,,xn) A[x1, ,xn] là một đa thức khác không,
a

f ( x1 ,..., xn ) c1 x1a11 ...xna1n ... cm x1 m1 ...xnamn , ci 0,

i 1, m .

(ai1,,ain) (aj1,,ajn) khi i j, ta gọi là bậc của đa thức f(x1,,xn) đối
với ẩn xi là số mũ cao nhất mà xi có được trong các hạng tử của đa thức.
Nếu trong đa thức f(x1,,xn) ẩn xi không có mặt thì bậc của f(x1,,xn)
đối với nó bằng 0.
a

a
Ta gọi bậc của hạng tử ci x1 i 1 ... x nin là tổng các số mũ ai1 + +ain của

các ẩn.
Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó.
Đa thức không là đa thức không có bậc.
Nếu các hạng tử của f(x1,,xn) có cùng bậc k thì f(x1,,xn) gọi là đa
thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k.
2.3. Đa thức đối xứng
a) Định nghĩa 5.
Đa thức f(x1,x2,,xn) A[x1,x2,,xn] được gọi là đa thức đối xứng
nếu f(x1,x2,,xn) = f(xi1, xi2, ,xin). Trong đó (xi1, xi2, ,xin) là các hoán
vị bất kì của {1, 2, 3,, n}.
Những đa thức sau gọi là các đa thức đối xứng cơ sở:

1 x1 x2 ... xn
2 x1 x2 x1 x3 ... xn1 xn
.....
k x1 x2 ...xk ... xnk 1...xn1 xn
.....
n x1 x2 ...xn

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

11

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

b) Tính chất.
Tổng và tích của hai đa thức đối xứng là một đa thức đối xứng.
c) Định lý 1.16. (Định lý về sự biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa
thức đối xứng cơ bản)
Cho a thc i xng f ( x1 , x2 ,..., xn ) A[ x1 , x2 ,..., xn ] . Khi đó
tn

ti

duy

nht

mt

a

thc

h(x1,x2,,xn)

sao

cho

h(1 , 2 ,..., n ) f ( x1 , x2 ,..., xn ) .

Vic tìm a thc h(1 , 2 ,..., n ) gi l biu din a thc i xng
f ( x1 , x2 ,..., xn ) qua các a thc i xứng c bn.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

12

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Chương ii. Một số bài toán về đa thức

1. Một số bài toán về đA thức một ẩn
1.1. Bi toán chia hết
1.1.1. Bi toán chứng minh chia hết
a) Cơ sở lí luận. Sử dụng định nghĩa v tính chất của phép chia hết.
b) Phương pháp giải

Phương pháp 1: Để chứng minh f(x) g(x) ta biến đổi f(x) = g(x).h(x)
Phương pháp 2: Chứng minh quy nạp.
Phương pháp 3: Phương pháp đồng dư.
c) Một số ví dụ
Ví dụ 1.
Chứng minh rằng với mọi giá trị n

+

, đa thức (x + 1)2n+1 + xn+2

chia hết cho đa thức x2 + x + 1.
Lời giải
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n



.

Với n = 1 khẳng định đúng vì khi đó (x + 1)2n+1 + xn+2 = (2x+1)(x2+x+1).
Giả sử khẳng định đúng với n 1, nghĩa là (x + 1)2n+1 + xn+2 chia hết cho
x2 + x + 1.

Khi đó (x + 1)2n+1 + xn+2 = (x + 1)2(x + 1)2n-1 + x.xn+1
= (x2 + x + 1)(x + 1)2n-1 + x.xn+1
= (x2 + x + 1)(x + 1)2n-1 + x((x + 1)2n-1 + xn+1)
cng chia ht cho a thc x2 + x + 1.
Vy khng nh c chng minh đúng vi mi n.
Ví d 2.
Chng minh a thc x9999 + x8888 + x7777 + x6666 + + x1111 + 1 chia
ht cho x9 + x8 + x7 + x6 + + x + 1.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

13

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Li gii
t A = x9 + x8 + x7 + x6 + + x + 1.
B = x9999 + x8888 + x7777 + x6666 + + x1111 + 1.
Khi ó
B A = (x9999 x9) + (x8888 x8) + (x7777 x7) + (x6666 x6) + + (x1111 x)
= x9 [(x10)999 1] + x8 [(x10)888 1] + x7 [(x10)777 1] + x6 [(x10)666 1]
+ + x[(x10)111 1].
Ta thy vi mi s t nhiên k thì:
(x10)k-1 = (x10 1)[ x10(k-1) + x10(k-2) + + x10 + 1] chia hết cho đa thức
x10 1, m x10 1 = (x 1)( x9 + x8 + x7 + x6 + + x + 1) nên a thc

(x10)k 1 chia hết cho đa thức x9 + x8 + x7 + x6 + + x + 1.
Do ó B A chia ht cho A, v do ó B chia ht cho A.
Ví dụ 3.
Với mọi p lẻ, chứng minh rằng đa thức x pa x pa ... x
0

hết cho đa thức x p1 x p 2 ... x 1 trong

1

pa p1 p 1

chia

[x].

Lời giải
Đặt P( x) x pa x pa ... x
0

1

pa p1 p 1

; ( x) x p 1 x p 2 ... x 1.

Ta có x p 1 x 1 x p 1 x p 2 ... x 1 0 mod ( x)

x p 1(mod ( x)) .
x pa ( x p ) a 1(mod ( x))

Khi đó

0

0

x pa 1 x( x p ) a x(mod ( x))
1

1

.
x

pa p1 p 1

x p 1 ( x p )

a p 1

x p 1 ( mod ( x))

P( x) x pa x pa ... x
0

1

pa p 1 p 1

1 x ... x p 1 0(mod ( x )).

Suy ra p ( x ) ( x).

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

14

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

d) Bi tp tng t.
1. Trong vnh a thc

[x] chng minh rng f(x) = x3k + x3l+1 + x3n+2

chia ht cho g(x) = x2 + x + 1 vi k, l, n

.

2. Cho s nguyên dng m v cho a thc Pn(x) bc n sao cho
Pn(x) (x 1). Chng minh Pn(xm) (xm 1).
1.1.2. Tìm giá tr ca tham s m f(x,m) chia ht cho g(x,m).
a) Phng pháp gii

Phng pháp 1: Biu din f(x) di dng f(x) = g(x).q(x) + r(x).

Ta có f(x) g(x) r(x) = 0.

Phng pháp 2: S dng nh ngha phép chia ht, ng nht các h s
Phng pháp 3: Phng pháp ng d.
Phng pháp 4: S dng nh lí Bézout.
b) Một số ví d
Ví d 1. Tìm m a thc f(x) = 4x4 5x3 + m2x2 mx 80 chia ht
cho x 2.
Li gii
Cách 1.
Ta có
f(x) = [4x3 + 3x2 + (6 + m2)x + 2m2 m + 12](x 2) + 4m2 2m 56.
t g(x) = x 2;
p(x) = 4x3 + 3x2 + (6 + m2)x + 2m2 m + 12;
r(x) = 4m2 2m 56.
m 4
Để f(x) g(x) r(x) = 0 hay 4m 2m 56 0
7
m

2
2

Kết luận, m = 4 hoặc m

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

7
thoả mãn yêu cầu bài toán.
2

15

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Cách 2.
Đặt g(x) = 4x4 5x3 80 ta có f(x) = g(x) + m2x2 mx

f x x 2 f 2 0 hay g 2 4m 2 2m 0
Ta có g 2 56 f 2 0 khi 4m2 2m = 56 4m2 2m 56 = 0

m 4

7
m

2
KL: m = 4 hoặc m

7
thoả mãn yêu cầu bài toán.
2

Ví dụ 2. Xác định các số thực p, q sao cho đa thức x 4 1 chia hết cho đa
thức x 2 px q .

Lời giải
Nhận thấy thương của phép chia x 4 1 cho đa thức x 2 px q là
một đa thức bậc hai có dạng x 2 ax b 0 . Vì đây là phép chia hết nên
x 4 1 x 2 px q x 2 ax b

x 4 a p x 3 b ap q x 2 bp aq x bp.

a p 0
b ap q 0

Đồng nhất hệ số:
bp aq 0
bq 1

1
2
3
4

Từ (1) a = p , thay vo (3) ta được

p 0
bp p 2 0 b p p 0
b p
+ Nếu p 0 , thay vo (2) ta có b p v (4) trở thnh b 2 1 ,
điều này vô lí.
+ Nếu b p , thay vo (4) ta được b p 1 hoặc b p 1.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

16

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Mặt khác, thay vào (2) ta được 2b a 2 0 nên b 0 . Vì vậy ta có
b p 1 v a 2 2 hay a 2 , suy ra p 2 .

Thử lại, ta thấy rằng ( x 4 1) ( x 2 2 x 1) bởi vì :
2

x 4 1 x 2 1 2 x 2







x2 2x 1 x2 2x 1
2

2
Kết luận: Vậy đa thức x px q 0 cần tìm l x 2 x 1 0

2

hoặc x 2 x 1 0.
Ví dụ 3. Tìm a v b sao cho hai đa thức f(x) = 4x3 3x2 + 2x + 2a + 3b
v g(x) = 5x4 4x3 + 3x2 2x 3a + 2b cũng chia hết cho (x 3).
Lời giải
Cách 1.
Ta có f(x) = (4x2 + 9x + 29)(x 3) + 2a + 3b + 87.
g(x) = (5x3 + 11x2 + 36x + 106)(x 3) + (3a + 2b + 318).
2a 3b 87 0
Để f(x) (x 3) v g(x) (x 3) khi v chỉ khi
.
3a 2b 318 0

Giải hệ phương trình, ta được a = 60, b = 69.
Cách 2.
Ta có f(x) v g(x) cũng chia hết cho (x 3) khi v chỉ khi f(3) = g(3) = 0.
Đặt A(x) = 4x3 3x2 + 2x v B(x) = 5x4 4x3 + 3x2 2x.
Ta có: f(x) = A(x) + 2a + 3b, g(x) = B(x) 3a +2b
f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b f(3) = 0 2a + 3b = 87.
g(3) = B(3) 3a + 2b = 3183a +2b g(3) = 0 3a +2b = 318.
2a 3b 87 0
Ta có hệ phương trình:
3a 2b 318 0

Giải hệ phương trình, ta được a = 60, b = 69 .

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

17

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Ví dụ 4. Tìm n

Khóa luận tốt nghiệp

sao cho f(x) = (x + 1)n xn 1 g(x) = x2 + x + 1.
Lời giải

Ta có x + 1 x2 (mod g(x)) ; x3 1 (mod g(x)).
Khi đó (x + 1)n xn 1 (1)n x2n xn 1 (mod g(x)).
Biểu diễn n = 6k + p, p = 0;5 .
Ta có (x + 1)n xn 1 (1)p x2p xp 1 (mod g(x)),
( vì x3 1 (mod g(x))).
Với p = 0 , f (x) 1 (mod g(x)) f(x) g(x).
Với p = 1 , f (x) x2 x 1 0 (mod g(x)) f(x) g(x).
Với p = 2 , f (x) = x4 x2 1 x + x + 1 1 2x (mod g(x))
f(x) g(x).
Với p = 3 , f (x) = x6 x3 1 1 1 1 3 (mod g(x))
f(x) g(x).
Với p = 4 , f (x) = x8 x4 1 ( x 1) x 1

2x 2 (mod g(x)) f(x) g(x).
Với p = 5 , f (x) = x10 x5 1 x ( x 1) 1
0 (mod g(x)) f(x) g(x).
Vậy f(x) g(x) khi n = 6k + 1 hoặc n = 6k + 5, k

.

c) Bài tập tương tự
1. Tìm a v b sao cho (axn+1 + bxn + 1) (x 1)2.
2. Tìm số tự nhiên n sao cho (x2n + xn + 1) (x2 +x + 1).
3. Tìm đa thức bậc ba dạng f(x) = x3 + ax2 + bx + c sao cho f(x) chia hết
cho (x 2) v f(x) chia cho (x2 1) dư 2x.
4. Xác định a, b v c sao cho f(x) = x5 3x4 + 2x3 + ax2 + bx + c chia hết
cho đa thức (x 2)(x 1)(x + 1).
5. Cho F = x3 + y3 + z3 + mxyz . Định m để F chia hết cho (x + y + z).

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

18

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

1.2. Xác định đa thức trong phép chia có dư
a) Cơ sở lí luận. Dựa vào định lí của phép chia có dư.
b) Phương pháp giải

Phương pháp 1: Tìm dư thức, cho bằng dư thức đã cho ở đề bài.
Phương pháp 2: Sử dụng định lí phép chia có dư (chú ý các giá trị đặc biệt
của x).
c) Một số ví dụ

Ví dụ 1. Tìm a, b, c biết rằng f(x) = 2x4 + ax2 + bx +c chia hết cho x + 2
v khi chia f(x) cho x2 1 thì được dư l x.
Lời giải
f ( x ) ( x 2)q1 ( x )
Từ giả thiết ta có:
2
f ( x ) ( x 1)q2 ( x) x

f ( 2) 0

Suy ra f (1) 0
f ( 1) 0



Vậy f x x



32 4a 2b c 0

2 a b c 0
2 a b c0


28

a 3

b 1

22
c
3


28
22
x x
.
3
3

Ví dụ 2. Tìm đa thức f(x) bậc ba biết đa thức đó chia hết cho x 2 và có
cùng số dư là 4 khi chia lần lượt cho x 1, x + 1, x + 2.
Lời giải
Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
Ta có: f(x) = [ax2 + (2a + b) + 4a + 2b + c](x 2) + (8a + 4b + 2c + d).
Vì f(x) (x 2) nên 8a + 4b + 2c + d = 0

(1)

f(x) = [ax2 + ( 2a + b) + 4a 2b + c](x + 2) + ( 8a + 4b 2c + d)
f(x) = [ ax2 + (a + b)x + a + b + c](x 1) + a + b + c + d
v f(x) = [ ax2 + ( a + b)x +( a b + c)](x + 1) + ( a + b c + d)

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

19

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

Vì khi chia f(x) lần lượt cho x 1, x + 1, x+ 2 v có cùng số dư l 4
nên ta có: 8a + 4b 2c + d = 4

(2)

a+b+c+d

=4

(3)

a+bc+d

=4

(4)

Giải hệ phương trình:
(1)

8a 4b 2c d 0
8a 4b 2c d 4

a b c d 4
a b c d 4

(2)
(3)
(4) .

Lấy (1) + (2) v ( 3) + (4) ta được:

4b d 4

b d 0



2

b



3
.

d 2

3

2a c 2

a 6
2
2
Thay b , d vo (1) v (3), ta được:

3
3
a c 4
c 10
2
2
Vậy đa thức cần tìm là f ( x) 6 x3 x 2 10 x .
3
3

d) Bài tập tương tự
1. Tìm a, b, c bit rng f(x) = x3 + ax2 + bx + c chia ht cho x 2 v khi
chia f(x) cho x2 1 thì c d l 2x.
2. Cho a thc f(x) v hai s a, b phân bit. Bit d ca f(x) cho x a l
A; cho x b l B. Tìm d cho phép chia f(x) cho (x a)(x b).
3. Tìm a, b, c bit rng f(x) = x5 3x4 + 2x3 + ax2 + bx + c chia cho
x3 2x2 x + 2 có s d l 1.
1.3 Bi toán v nghim ca a thc
1.3.1. nh lí Viéte
a) C s lí lun. nh lí Viéte thun v o.
b) Phng pháp gii. S dng inh lí Viéte.
Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

20

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến


Một số bài toán về đa thức

Khóa luận tốt nghiệp

c) Một số ví d
Ví d 1.
Tìm các giá tr sao cho nhng nghim 1 , 2 , 3 , 4 ca a thc
P(x) = x4 + 3x3 + 6x2 + x + 4 tha mãn 1

1

2



1

3



1

4

.

Li gii
p dng nh lí Viéte:
1 2 3 4 3
6
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4
1 2
1 2 3 1 2 4 2 3 4 1 3 4
4
1 2 3 4
1 2 3 4 2 3 2 4 3 4

Ta có

4 1 2 3 4 6 (1 2 1 3 1 4 )

6 1 ( 2 3 4 )
6 1 ( 3 1 )
6 3 1 12

1 1
12 31 2 0
.
1 2
Vì 1 là nghim ca phng trình P(x) = 0 nên :
1 = 1 : (1)4 + 3(1)3 + 6(1)2 + 1 + 4 = 0
1 + 6 3 + 4 = 0 = 8.

1 = 2 : (1)4 + 3(1)3 + 6(1)2 + 1 + 4 = 0
(-2)4 + 3(-2)3 + 6(-2)2 + (-2) + 4 = 0 = 10.

Vậy = 8 hoặc = 10.
Ví dụ 2.
Hãy tìm diện tích của tam giác mà ba đường cao của nó là nghiệm
của phương trình: y3 ay2 + by c = 0.

Bùi Thị Thảo - K35C SP Toán

21

GVHD: Th.s Dương Thị Luyến