Phương pháp giải một số bài toán chứa tham số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA tOÁN
====== o0o ======

HOÀNG THỊ CẨM NGUYÊN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

TÓM TẮT KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học
GVC. VƯƠNG THÔNG

Hà Nội – 2013

-1-


LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian thực hiện đề tài khóa luận tốt nghiệp, dưới sự chỉ
bảo tận tình của thầy hướng dẫn và được phía nhà trường tạo điều kiện
thuận lợi. Em đã có một quá trình nghiên cứu, tìm hiểu và học tập
nghiêm túc để hoàn thành đề tài. Kết quả thu được không chỉ do nỗ lực
của bản thân mà còn có sự giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình và các bạn.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo đã giúp đỡ
em. Đặc biệt là thầy Vương Thông thầy đã hướng dẫn, hỗ trợ em hoàn
thành tốt đề tài về phương pháp, lý luận và nội dung trong suốt thời gian
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

-2-


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận được hoàn thành dưới sự tìm hiểu, nghiên cứu của bản
thân và sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Vương Thông
Trong khóa luận có tham khảo các kết quả nghiêm cứu của một
nhà khoa học. Em xin khẳng định kết quả của khóa luận này là không
sao chép từ bất kì đề tài nào. Em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời
cam đoan của mình.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Hoàng thị Cẩm Nguyên

-3-


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu........................................................ 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu...................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận................................................................................ 2

Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI ............................................................. 3
1.1. Hàm số chứa tham số ......................................................................... 3
1.1.1. Tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số ............................................. 3
1.1.2. Cho họ hàm số y  f ( x, m) , m là tham số. Tìm m để họ đồ thị
tương giao với một đường nào đó trong mặt phẳng. ................................ 13
1.1.3. Cho điểm M có tọa độ phụ thuộc vào tham số m. Tìm quỹ tích
điểm M khi m thay đổi................................................................................ 18
1.2. Phương trình chứa tham số ............................................................... 26
1.2.1. Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f  x, m   0 có
nghiệm trên D ............................................................................................. 26
1.2.2. Tìm điều kiện của tham số m để họ phương trình f  x, m   0 có
nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D .................................... 31
1.3. Bất phương trình chứa tham số ........................................................ 36
1.3.1. Tìm điều kiện của tham số m để họ bất phương trình .................. 36
1.3.2. Tìm điều kiện của tham số m để họ bất phương trình

f  x, m   0

-4-


có nghiệm thỏa mãn một số điều kiện nào đó trên D. .............................. 39
1.4. Hệ phương trình ( bất phương trình) chứa tham số....................... 42
1.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức toán học ................... 47

CHƯƠNG 2: XÉT MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ DẠNG

X  d  ..................................................................................................... 54





2.1. Bài toán xét cấu trúc đại số dạng   d   a  b d a, b   ,
d là tham số ................................................................................................. 54

2.2. Bài toán xét cấu trúc đại số dạng X  1   a  ib a, b  X  X
là một tập bất kì .......................................................................................... 57
KẾT LUẬN ................................................................................................ 59
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................. 60

-5-


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Đại số là một ngành toán học nghiên cứu một cách trừu tượng hệ
thống số đếm và các phép tính giữa chúng, bao gồm cả một số chủ đề
cao cấp như lý thuyết nhóm, vành, trường....... Đại số giảng dạy trong
trường phổ thông chủ yếu liên quan đến các phép tính trên số thực, các
hàm số, phương trình và đồ thị sơ cấp. Các nhà toán học gọi môn này là
đại số sơ cấp....
Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều
ngành khoa học khác, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế.
Muốn học tốt môn toán thì ngoài nắm vững lí thuyết thì còn cần phải làm
nhiều bài tập và luyện tập. Trong môn toán ở phổ thông có rất nhiều
dạng bài toán chứa tham số được phân chia thành nhiều bài toán nhỏ

trong chương trình học. Tuy nhiên các dạng bài toán này chưa được phân
loại rõ ràng và hệ thống đầy đủ cũng chưa đưa ra được các phương pháp
giải một cách tường minh.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được
sự hướng dẫn của thầy hướng dẫn, em đã quyết định chọn đề tài
“Phương pháp giải một số bài toán chứa tham số ” để trình bày trong
khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của khóa luận này là phân dạng và đưa ra phương
pháp giải một cách chi tiết các bài toán chứa tham số

-6-


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương pháp giải của dạng bài toán chứa
tham số
b) Phạm vi nghiêm cứu.

Phạm vi nghiên cứu là một số dạng bài tập và phương pháp giải các
bài toán chứa tham số
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu là phân loại, hệ thống các dạng bài toán chứa
tham số
5. Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp kiến thức.
6. Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1 : Một số bài toán có chứa tham số
Chương 2 : Xét một số cấu trúc đại số dạng X  d 

-7-


Chương 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.1. Hàm số chứa tham số
1.1.1. Tìm các điểm đặc biệt của họ hàm số

Giả sử ta có họ hàm số y  f (m, x) trong đó m là tham số thuộc tập
hợp A nào đó ( A có nhiều hơn 1 giá trị ). Ứng với mỗi giá trị m  A ta
có một hàm số cụ thểvà tương ứng với nó một đồ thị cụ thể . Khi m thay
đổi, m  A ta được một họ các hàm số và do đó có tương ứng một họ đồ
thị này.
Có thể phân các điểm trên mặt phẳng tọa độ thành 3 loại:
- Điểm mà mọi đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua (điểm cố định),
- Điểm chỉ có 1 số đồ thị của họ đã cho đi qua,
- Điểm không có đồ thị nào của họ đã cho đi qua.
1.1.1.1. Điểm mà mọi đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua (điểm cố
định)

Điểm M ( x0 , y0 ) được gọi là điểm cố định của họ hàm số đã cho thì
mọi đồ thị của họ tương ứng với mọi m  A đều đi qua M.
a) Phương pháp giải.

Có nhiều phương pháp giải cho bài toán này song ta thường sử
dụng phương pháp đa thức và phương pháp gán giá trị.
Phương pháp đa thức.

Dựa vào kết quả sau: một đa thức bậc n không có quá n nghiệm, do
đó đa thức bậc n, f ( x)  a0 x n  a1 x ( n1)  ...  an có nhiều hơn n nghiệm
khi và chỉ khi đa thức đồng nhất bằng đa thức không, tức là khi và chỉ
khi a0  a1    an  0 , từ đó ta có hệ phương trình ẩn x0 , y0 , giải hệ
phương trình này ta tìm được x0 , y0 .
-8-


- Bước 1: Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định cần tìm của họ hàm số
y  f (m, x ), m  A . Khi đó, theo định nghĩa thì điểm M nằm trên mọi đồ
thị của họ hàm số đã cho tức là y0  f ( m, x0 )  m  A  hay

y0  f  m, x0   0  m  A 

(1)

 a0  x0 , y0  m k  a1  x0 , y0  m k 1    ak  x0 , y0   0 (m  A) (2) .

Theo tính chất của đa thức từ (2) ta suy ra:
 a0  x0 , y0   0

 a1  x0 , y0   0




 ak  x0 , y0   0


 3

- Bước 2: Hệ (3) xã định tọa độ điểm M. Hệ (3) có bao nhiêu nghiệm
thì họ đồ thị hàm số có từng ấy điểm cố định.
- Bước 3: Thử lại
Chú ý: Với một số trường hợp ta xét f '( x0 , m)  0 sẽ thuận tiện hơn.
Xem vế phải của đẳng thức trên là một hàm số đối với m:

F  m   f  m, x0  thì F  m   y0  m  A  , tức là F  m  là hằng số đối
với m.
Từ đây, suy ra: F '  m   0 (m  A)

 A0 ( x0 )m n  A1 ( x0 )m( n1)  ...  An ( x0 )  0 (m  A) .
Từ đây ta suy ra được hệ phương trình xác định hoành độ điểm M:
 A0  x0 , y0   0

 A1  x0 , y0   0



 Ak  x0 , y0   0.


Tìm được x0 , cho m một giá trị nào đó để tìm y0 .

-9-

Phương pháp gán giá trị.

Không phải khi nào đồ thị hàm số cũng có thể đưa về dạng đa thức,
chúng ta sẽ sử dụng phương pháp này trong các trường hợp đó.
- Bước 1: Ta gán cho m giá trị thứ nhất, ta sẽ có được hàm số f1 ( x ) .
Gán cho m giá trị thứ hai, ta sẽ tìm được hàm số f 2 ( x ) ...
- Bước 2: Tìm giao điểm của các hàm số f1 ( x) , f 2 ( x) ...
- Bước 3: Ta chứng minh giao điểm đó là điểm cần tìm.
b) Ví dụ minh họa
VD1: Cho họ hàm số
y  x 3   m  1 x 2   2m 2  3m  2  x  2m(2m  1) (*) m   là tham số.

Tìm tất cả những điểm cố định của họ đường cong này.
Giải :

Cách 1.
Bước 1: Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định cần tìm. Khi đó,
y0  x03   m  1 x02   2m 2  3m  2  x0  2m(2m  1)

hay  4  2 x0  m 2   3 x0  x02  2  m   x03  x02  2 x0  y0   0 (m) .
Điều này tương đương với:

4  2 x0  0

2
3x0  x0  2  0
 3
2
 x0  x0  2 x0  y0  0.

Bước 2: Hệ này có một nghiệm duy nhất x0  2; y0  0 .
Bước 3: Ngược lại: thay x0  2; y0  0 vào họ hàm số ta được:
23  (m  1)22  (2m 2  3m  2).2  2m(2m  1)  0
 8  4 m  4  4m 2  6m  4  4 m 2  2m  0

 0  0m  0 đúng với m .
- 10 -


Vậy họ đồ thị này luôn đi qua 1 điểm cố định (2,0) .
Cách 2. Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định cần tìm, khi đó
y0  x03   m  1 x02   2m 2  3m  2  x0  2m(2m  1) , với mọi m

Đặt F (m)  x03  (m  1) x02  (2m 2  3m  2) x0  2m(2m  1)
 (4  2 x0 )m 2  (3 x0  x02  2)m  ( x03  x02  2 x0 )
Thế thì F  m   y0 (m) , do đó F '  m   0  m  , hay
2  4  2 x0  m 2   3 x0  x02  2   0 (m)

Điều này tương đương với:
 4  2 x0  0

2
3 x0  x0  2  0

Hệ này có nghiệm duy nhất x0  2 . Thay x0  2 vào biểu thức của hàm
số ta được y0  0 .
Thử lại như trên ta được x0  2; y0  0 là điểm họ hàm số đi qua với mọi
m
Vậy họ đường cong này đi qua một điểm cố định (2,0).
Cách 3:

Chọn m  0,1,  1 ta có:
Khi m  0 thì (*) trở thành: y  x3  x 2  2 x (1)
Khi m  1 thì (*) trở thành: y  x3  2 x 2  x  2 (2)
Khi m  1 thì (*) trở thành: y  x3  7 x  6 (3)
Gọi M ( x0 , y0 ) là giao điểm của (1) và (2). Vậy x0 là nghiệm của
phương trình:
x3  x 2  2 x  x3  2 x 2  x  2
 x2  x  2  0
- 11 -


 x  1

x  2

Vậy đồ thị của (1) và (2) giao nhau tại 2 điểm M 1 (1,0) và M 2 (2,0)
Gọi N ( x1 , y1 ) là giao điểm của (1) và (3). Vậy x1 là nghiệm của phương
trình:
x3  x 2  2 x  x3  7 x  6

 x2  5x  6  0
x  2

x  3

Vậy đồ thị của (1) và (3) giao nhau tại 2 điểm N1 (2,0)  M 1 và N 2 (3,12)
Ta sẽ chứng minh họ hàm số đi qua N1 (2,0) với mọi m.
Thật vậy: thay tọa độ điểm N1 (2,0) vào họ hàm số (*) ta được:

0  23  (m  1)22  (2m 2  3m  2)2  2m(2m  1)

 0  4m 2  6m  4  4m  4  8  4m 2  2m
 0  0m ( đúng với mọi m)
Vậy N1 (2,0) là điểm cố định của họ đồ thị.
VD2: Cho họ hàm số y 

mx 2  (m  1) x  m2
, m  là tham số. Chứng
x 1

minh rằng đồ thị của hàm số này không có điểm cố định. Tuy nhiên họ
tiệm cận xiên của họ đồ thị này luôn đi qua một điểm cố định
Giải:

( Phương pháp đa thức)
Giả sử rằng điểm M ( x0 , y0 ) là điểm cố định của họ đồ thị, khi đó:

y0 

mx02  (m  1) x0  m 2
x 0 1

- 12 -

(i)


( Dạng hàm số này suy biến khi m  1 ).
Từ (i) ta suy ra: m 2   x02  x0  m   x0  y0 x0  y0   0 (m)

1 0



2
Điều này tương đương với  x0  x0  0
x  y x  y  0
0 0
0
 0
Hệ này vô nghiệm. Vậy họ đồ thị của hàm số đã cho không có điểm cố
định.
Hàm số đã cho có thể viết dưới dạng

m2  1
y  mx  1 
x 1
Do đó tiệm cận xiên của họ đồ thị này là đường thẳng y  mx  1,khi

m  1 vì
 mx 2   m  1 x  m 2

m2  1
lim 
  mx  1   lim
0
x 
x  x  1
x
1




Rõ ràng họ tiệm cận này luôn đi qua điểm (0,1) đccm.
VD3: Xác định  ,  sao cho đồ thị của hàm số y 

mx  
,
 x  m 1

m  1, m  2 nhận 2 điểm A(1, 1) , B(2,2) làm điểm cố định.
Giải :

Cách 1 Vì A(1, 1) và B(2,2) là các điểm cố định, nên tọa độ của chúng
thỏa mãn phương trình đường cong với mọi m  1, m  2 , ta có:

m  

1



  m  1

 2  2m  

2  m  1

- 13 -

(m  1, m  2)

hay

     1,   m  1


m 1
  4   2,    2
Giải hệ phương trình này ta được   2,   1 . Vì 1  m  1  m  2 và

1  

m 1
 m  1 nên với   2,   1 họ đồ thị đã cho nhận
2

A(1, 1) và B  2, 2  làm điểm cố định
Cách 2 Gọi M ( x0 , y0 ) là điểm cố định của họ đồ thị. Khi đó:

y0 

mx0  
(m  1, m  2)
 x0  m  1

hay

 y0  x0  m   x0 y0   y0     0
Điều này tương đương với

(m  1, m  2)

y0  x0  0


 x0 y0   y0    0

(i)

Vì A(1, 1) là điểm cố định của họ đồ thị này nên thay x0  1, y0  1
vào (i) ta được:     1
Vì B(2, 2) là điểm cố định của họ đồ thị này nên thay x0  2, y0  2 vào
(i) ta được:   4  2
    1
Ta được hệ 
  4   2

Giải hệ này ta được   2,   1 .
Với   2,   1 đồ thị suy biến thành y  2 khi m  2 và y  1 khi
m  1 nhưng theo đầu bài 2 giá trị này bị loại trừ

- 14 -


c) Bài toán áp dụng
Bài 1: Cho hàm số y 

 x2  m  x
.Tìm tất cả những điểm cố định của
2x  m

họ đường cong này.
Đáp số: (0, 1);(3, 1) với m  0; m  6 .
Bài 2: Cho hàm số y  mx 2  2  m  2  x  3m  1 . Chứng minh rằng với

mọi m đồ thị của hàm số luôn đi qua hai điểm cố định
Đáp số: (1, 3) và (3,13) .
Bài 3: Tìm điều kiện của  ,     0  để đồ thị của hàm số

y

mx  
có một điểm cố định duy nhất
 x  m 1
Đáp số:  

1
.
4

Bài 4: Cho hàm số:

y

 m  1  x 2  3x   2(2m  1)
mx  m

Chứng minh rằng với mọi m khác không thì đồ thị của hàm số luôn có
một đường tiệm cận cố định, còn đường tiệm cận thứ hai luôn đi qua một
điểm cố định.

1.1.1.2. Điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị đã cho đi qua
a) Phương pháp giải

- Bước 1: Gọi điểm N  x0 , y0  là điểm mà không có đồ thị nào của
họ đường cong đã cho đi qua, khi đó y0  f ( m, x0 )  m  A  hay
phương trình y0  f  m, x0   0 (ẩn số m) vô nghiệm.
- Bước 2: Từ điều kiện vô nghiệm của phương trình đó suy ra quan
hệ tung độ y0 và hoành độ x0 của điểm N.
- 15 -


Chú ý: Do tính chất đơn trị của hàm số, chúng ta suy ra nếu một họ đồ
thị có điểm cố định P ( x1 , y1 ) thì các điểm có tọa độ ( x  x1 , y  y1 ) sẽ là
những điểm mà không có đồ thị hàm số nào của họ đồ thị đã cho đi qua.
b) Ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số

3m  1 x  (m 2  m)

y
xm

,m  0

Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng tọa độ mà đồ thị hàm số không đi
qua khi m thay đổi.
Giải

Giải sử  x0 , y0  là điểm mà đồ thị hàm số không bao giờ đi qua. Khi
đó phương trình:

y0

3m  1 x0  (m 2  m)


x0  m

vô nghiệm, hay phương trình :

m 2   y0  3 x0  1 m  x0  y0  1  0 vô nghiệm. Điều này tương đương

với:

   y0  3 x0  1  4 x0  y0  1  0
2

hay là ( y0  1) 2  10 x0  y0  1  9 x02  0
hay là ( y0  1) 2  9 x0  y0  1  x0  y0  1  9 x02  0
hay là  y0  1 y0  1  9 x0   x0  y0  1  9 x0   0
hay là  y0  1  9 x0  y0  1  x0   0
 y  x0  1
hoặc
Như vậy : hoặc  0
y
9
x
1


0

 0

 y0  x0  1

 y0  9 x0  1

Có thể thấy rằng các điểm  x0 , y0  thỏa mãn điều kiện trên là các điểm
nằm bên trong hai góc nhọn tạo bởi các đường thẳng y  x  1 và
y  9x  2
- 16 -


VD2: Cho hàm số y  x 3  3mx 2   2m 2  1 x  m 2  5m  1 . Tìm trên

đường thẳng x  1 tất cả những điểm mà đồ thị của hàm số không bao
giờ đi qua.
Giải

Khi x  1 , hàm số đã cho có dạng y  3m 2  8m  1 . Giả sử điểm
(1, y0 ) là điểm mà đồ thị hàm số không bao giờ đi qua. Khi đó phương

trình:

y0  3m2  8m  1 vô nghiệm hay phương trình: 3m2  8m  1  y0  0 vô
nghiệm.
Điều này tương đương với  '  16  3(1  y0 )  0 hay là: y0  

13
3

Vậy trên đường thẳng x  1 , đồ thị của hàm số không bao giờ đi
qua những điểm có tung độ: y  

13
.
3

c) Bài toán áp dụng

mx 2  x  m
Bài 1: Cho hàm số y 
xm
Tìm trên mặt phẳng tọa độ tất cả những điểm mà tiệm cận xiên của đồ
thị của hàm số không thể đi qua khi m thay đổi

x2 
Đáp số: M  ( x, y ) : y 
.
x
4
1



2 x 2  (m  1) x  (2m  1) 2
Bài 2: Cho hàm số y 
x  (3m  1)

Tìm tất cả những điểm trên trục tung mà đồ thị hàm số không thể đi qua
khi m thay đổi

8


Đáp số:  x  0;   y  0  .
9


- 17 -


1.1.2. Cho họ hàm số y  f ( x, m) , m là tham số. Tìm m để họ đồ thị
tương giao với một đường nào đó trong mặt phẳng.
a) Đưa ra bài toán

Cho họ hàm số y  f ( x, m) , m là tham số, cho hàm số y  g (u ) . Gọi F và
G là đồ thị tương ứng của chúng. Khi m thay đổi thì F cũng thay đổi
tương ứng. Khi đó giữa F và G có thể xảy ra một số trường hợp sau:
1.

F và G không cắt nhau

2.

F và G tiếp xúc nhau tại điểm A có hoành độ x  x0

3.

F và G cắt nhau tại các điểm có hoành độ là x1 , x2 ,, xn

Phương pháp giải: Việc khảo sát sự tương giao giữa đồ thị của các hàm

số y  f  x, m  ; y  g ( x) tương đương với việc khảo sát sự có nghiệm
của phương trình f ( x, m)  g ( x) . Phương trình f ( x, m)  g ( x) có bao
nhiêu nghiệm thì F và G có bấy nhiêu giao điểm
- Bước 1: Ta thiết lập phương trình f ( x, m)  g ( x) (*)
- Bước 2: Từ phương trình trên và theo yêu cầu bài toán ta có
Nếu 2 đồ thị không cắt nhau thì phương trình (*) vô nghiệm
Nếu 2 đồ thị tiếp xúc với nhau thì hệ sau có nghiệm
 f  x, m   g ( x )

 f '  x, m   g '( x)
Nếu 2 đồ thị cắt nhau tại bao nhiêu điểm thì phương trình sau có
từng đó nghiệm: f ( x, m)  g ( x) .
- Bước 3: Tìm m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Ví dụ minh họa
VD1: Cho hàm số y  x 3  m  x  1  1 . Với giá trị nào của m thì đồ thị

hàm số tiếp xúc với trục hoành.

- 18 -


Giải

Ta có :
y  x 3  m  x  1  1   x  1  x 2  x  1  m  x  1   x  1 ( x 2  x  1  m)

Cách 1 Điểm mà tại đó đồ thị tiếp xúc với trục hoành y  0 là điểm có
tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :
 x  1  x 2  x  1  m   0 (1)
 2

(2)
 3 x  m  0

Từ (2) suy ra m  3x 2 . Thay giá trị m vào (1) ta được:

 x  1  2 x 2  x  1  0
Nghiệm của phương trình này là x1  1; x2  
Với x1  1 ta được m1  3 , với x2  

1
2

1
3
ta được m2 
2
4

Vậy có 2 giá trị của m là m1  3; m2 

3
để cho đồ thị của hàm số tiếp
4

xúc với trục hoành
Cách 2: Muốn đồ thị của hàm số tiếp xúc với trục hoành thì phương
trình ( x  1)( x 2  x  1  m)  0 phải có nghiệm kép.
Điều này xảy ra khi:
 Hoặc phương trình x 2  x  1  m  0 có nghiệm kép, tức là
  1  4 1  m   0 hay là m 

3
4

 Hoặc phương trình x 2  x  1  m  0 có một nghiệm là x  1 , tức

là 1  1  1  m  0 hay là m  3
Vậy m  3; m 

3
thỏa mãn điều kiện đề bài
4
- 19 -


mx 2  x  m
VD2: Cho hàm số y 
. Chứng minh rằng khi m thay đổi
xm
tiệm cận xiên luôn tiếp xúc với một parabol cố định
Giải

Viết hàm số dưới dạng:

y  mx  m2  1 

m3
xm

ta được tiệm cận xiên là y  mx  m 2  1, m  0

Cách 1 Gọi parabol luôn tiếp xúc với tiệm cận xiên  m  0  là:

y  ax 2  bx  c (a  0)
khi đó phương trình ax 2  bx  c  mx  m 2  1
hay phương trình ax 2   b  m  x  c  m 2  1  0 có nghiệm kép m  0
Điều kiện để phương trình này có nghiệm kép m  0 là a  0 và
  (b  m) 2  4a  c  m 2  1  0, m  0

hay

Suy ra:

1  4a  m 2  2bm  4a  c  1  0, m  0

 1  4a  0


 2b  0
4a  c  1  0



1

a  4

b  0
 c 1



Vậy parabol cố định cần tìm là y 

1 2
x 1
2

Cách 2 Xác định a, b, c để parabol y  ax 2  bx  c luôn nhận các đường
thẳng y  mx0  m2  1 làm tiếp tuyến.
Gọi  x0 , y0  là tiếp điểm. khi đó

- 20 -


ax0 2  bx0  c0  mx0  m 2  1

2ax0  b  m
a  0

thỏa mãn với mọi m . Từ (ii) suy ra x0 

(i)
(ii )

mb
, thay vào (i) ta được
2a

1  4a  m 2  2bm  b 2  4ac  4a  0  m  .
Điều này tương đương với

1

a


1  4a  0
4


 b  0
 2b  0
b 2  4ac  4a  0
c  1.




Vậy parabol cần tìm là y 

VD3: Cho hàm số y 

1 2
x 1
2

 3m  1 x   m2  m 
xm

,  m  0 .

Chứng minh rằng với mọi m đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với hai
đường thẳng cố định. Xác định phương trình của hai đường thẳng đó.
Giải

Giả sử rằng m  0 đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với đường thẳng
y  ax  b . Thế thì, phương trình:

 3m  1 x   m2  m 
xm

 ax  b

phải có nghiệm kép m  0 , hay là phương trình:

ax 2   a  3 m   b  1  x  m2   b  1 m  0
Phải có nghiệm kép m  0 . Điều này tương đương với:
- 21 -


a  0
2

2
   a  3 m   b  1   4a  m   b  1 m   0
Với mọi m  0 hay là
a  0

2
2
2

   a  10a  9  m  2  b  1 a  3 m   b  1  0, m  0

Như vậy ta phải có:
a  0
 2
a  10a  9  0
 b 1 a  3  0



 b  12  0.

Giải hệ này ta được:
a  1
a  9
và 

b  1
b  1

Vậy với m thay đổi, thì đồ thị của hàm số luôn tiếp xúc với hai đường
thẳng y  x  1 , y  9 x  1 .
c) Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho hàm số y  x3  (m  3) x 2  (2m  1) x  3(m  1)

a) Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
b) Với những giá trị nào của m thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại
ba điểm phân biệt với hoành độ dương
Đáp số: a, m  2  2 2; m  

b, 1  m  2  2 2

(m  1) x 2  m2
Bài 2: Cho hàm số y 
xm

- 22 -

5
3
.


a) Chứng minh rằng mọi tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số luôn tiếp
xúc với một parabol cố định. Xác định parabol đó.
b) Tìm tất cả những điểm mà tiệm cận xiên không thể đi qua dù m lấy
bất cứ giá trị nào.

1
1
1
Đáp số: a, Parabol y   x 2  x 
4
2
4

.

b, Những điểm nằm phía trong parabol .
Bài 3: Giả sử đồ thị của hàm số y  ax 2  bx  c, a  0 cắt trục hoành.

Chứng minh rằng khi đó đường thẳng y  2ax  b sẽ cắt đồ thị đã cho.
1.1.3. Cho điểm M có tọa độ phụ thuộc vào tham số m. Tìm quỹ tích
điểm M khi m thay đổi.
a) Đặt vấn đề bài toán

Khi m thay đổi thì vị trí điểm M cũng thay đổi theo. Ta sẽ được quỹ
tích là tập hợp những điểm M ứng với mỗi một giá trị m cụ thể.
Muốn tìm quỹ tích của điểm M ( x, y ) (phụ thuộc tham số m) ta làm
như sau:
- Bước 1: Biểu diễn tọa độ điểm M ( x, y ) theo m:
 x  F ( m)

 y  H ( m)

(*)

- Bước 2: Từ hệ này ta khử m sẽ được y  Q( x) . Đó chính là
phương trình quỹ tích cần tìm.
- Bước 3: Hạn chế quỹ tích (nếu cần): nếu m thay đổi tùy ý thì
quỹ tích là toàn bộ đường cong y  Q( x) (khi đó không cần hạn chế quỹ
tích). Nếu m thay đổi nhưng bị hạn hế bởi ràng buộc nào đó thì tọa độ
điểm

M ( x, y ) cũng bị những ràng buộc tương ứng hạn chế. Trong

trường hợp này, quỹ tích chỉ là một phần của đường cong y  Q( x) .
- 23 -

Đối với quỹ tích xác định, chúng ta nên chia thành hai trường hợp sau:
i) Nếu điểm cần tìm quỹ tích nằm trên đồ thị hàm số đã cho thì chỉ
cần tìm biểu thức của hoành độ điểm ấy:
x  F ( m) .
Từ đây biểu diễn m qua x: m  N ( x) rồi thay vào vị trí m trong biểu thức
hàm số đã cho sẽ được phương trình quỹ tích y  Q( x) .
ii) Nếu điểm cần tìm quỹ tích không nằm trên đồ thị của hàm số đã
cho thì bắt buộc phải biểu diễn cả tung độ và hoành độ của M ( x, y ) qua
m như (*) rồi từ đó khử m để dẫn tới phương trình quỹ tích y  Q( x) .
b) Ví dụ minh họa
VD1: Cho họ parabol y  x 2  mx  m . Hãy tìm quỹ tích đỉnh parabol khi

m thay đổi.
Giải:

Cách 1 Tọa độ đỉnh parabol là

m

x

(1)

2

2
 y  m  4m (2)

4
Từ (1) ta có : m  2 x

. Thể giá trị m vào (2) ta được:
y

(2 x) 2  4(2 x)
  x2  2 x
4

Vậy khi m thay đổi quỹ tích đỉnh parabol là đường parabol y   x 2  2 x
Cách 2 Ta có đỉnh của parabol là một điểm nằm trên đồ thị hàm số nên
tọa độ của nó thỏa mãn phương trình y  x 2  mx  m . Hoành độ của đỉnh
là x 

m
, từ đây ta suy ra m  2 x . Thay vào vị trí của m trong phương
2
- 24 -


trình hàm số ta được: y  x 2   2 x  x  2 x   x 2  2 x . Đây là phương
trình quỹ tích cần tìm.
VD2 : Cho hàm số y 

mx  2
.
x  m 1

a) Tìm quỹ tích của tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi m thay đổi.
b) Tìm tìm tất cả các đường thẳng (cố định ) trên mặt phẳng tọa độ mà
đồ thị của hàm số không bao giờ cắt với mọi giá trị của m.
Giải

a) Trước hết ta tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
mx  2
m
x  x  m  1



Tiệm cận ngang: y  b  lim



Tiệm cận đứng: x  m  1

Giao điểm của 2 tiệm cận là điểm I (m  1, m) . Dễ dàng chứng minh
được I là tâm đối xứng của đồ thị. Cần tìm quỹ tích điểm I khi m thay
đổi. Ta có:
 x  m  1 (1)

(2)
y  m

Từ (1) ta có m  1  x thay vào (2) ta được y  1  x . Vậy quỹ tích của
tâm đối xứng khi m thay đổi là đường thẳng y  1  x .
b) Cách 1 Giả sử y  ax  b là đường thẳng không cắt đồ thị với m . Khi
đó phương trình:
mx  2
 ax  b(a  0)
x  m 1
vô nghiệm với mọi m. Biến đổi phương trình về dạng:

ax 2   am  a  b  m  x   bm  b  2   0

(1)

hoặc vô nghiệm với mọi m, hoặc chỉ có 1 nghiệm kép x  m  1 .

- 25 -