Rèn luyện các kỹ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh lớp 10

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………

1

1. Lí do chọn đề tài …………………………………………………

1

2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………… 2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………… 2
5. Phương Pháp nghiên cứu………………………………………….. 2
Nội dung……………………………………………………………… 3
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn……………………………… 3
1.1. Cơ sở lí luận……………………………………………….... 3
1.1.1. Dạy học giải bài tập……………………………………… 3
1.1.1.1. Khái niệm….………………………………………… 3
1.1.1.2. Vai trò của bài tập toán học………………………… 3
1.1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải………………………… 5
1.1.1.4. Dạy học phương pháp chung để giải bài toán……… 6
1.1.1.5. Khai thác bài toán …………………………………

14

1.1.2. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh……………………………………………………………… 14

1.1.2.1. Khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán……………

14

1.1.2.2. Một số kỹ năng thường sử dụng khi giải bài tập toán.. 16
1.2. Cơ sở thực tiễn………………………………………...…… 19
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình
cho học sinh lớp 10 …………………………………………………

22

2.1. Mục tiêu, nội dung dạy học giải bài tập về hệ phương trình đại
số 10- nâng cao………………………………………………………

22

2.2. Các phương pháp giải bài tập hệ phương trình……………

23

2.2.1. Phương pháp sử dụng định thức cấp 2………………… 23
Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

2.2.2. Phương pháp thế………………………………………

24

2.2.3. Phương pháp cộng đại số……………………………… 25
2.2.4. Phương pháp đặt ẩn phụ……………………………….

27

2.2.5. Phương pháp đưa về dạng tích………………………… 30
2.2.6. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số………. 32
2.3. Các dạng hệ phương trình…………………………………

33

2.3.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn………………………

33

2.3.2. Hệ đối xứng loại (kiểu) I………………………………

35

2.3.3. Hệ phương trình đối xứng loại II…………………………42
2.3.4. Hệ phương trình đẳng cấp………………………………...49
.

2.4. Hệ thống các bài tập vận dụng……………………………….53

Kết luận………………………………………………………………..63
Tài liệu tham khảo…………………………………………………....65

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành cảm ơn cô giáo
Th.s Đào Thị Hoa đã hướng dẫn em một cách tận tình, chu đáo trong
suốt quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa
Toán đã tạo điều kiện cho em thực hiện tốt luận văn này.
Cuối cùng xin chân thành cảm ơn tất cả các bạn bè đã giúp đỡ, hỗ
trợ và động viên giúp tôi hoàn thành tốt luận văn này.

Hà Nội, ngày .. tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Văn Lễ

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng khóa luận này là kết quả nghiên cứu tìm tòi
của riêng tôi và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tham
khảo các tài liệu. Kết quả nghiên cứu này không hoàn toàn trùng với bất
cứ công trình nghiên cứu nào từng được công bố.

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Đỗ Văn Lễ

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

MỞ ĐẦU
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong thời đại khoa học kỹ thuật hiện nay, lượng tri thức (đặc biệt là
tri thức toán học) phải tiếp thu khi ngồi trên ghế nhà trường ngày càng
nhiều, đòi hỏi học sinh phải tư duy tích cực sáng tạo. Có như vậy mới
đáp ứng được yêu cầu của nền giáo dục là đào tạo học sinh thành những
người có kiến thức vững vàng, những người lao động mới xây dựng đất
nước Việt Nam Xã Hội Chủ Nghĩa, văn minh, giàu mạnh.
Hệ phương trình đại số là mảng kiến thức quan trọng trong chương
trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh vào
lớp 10, thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng. Mặc dù học sinh

được cọ xát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng
túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì
Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó,
đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến
thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài
liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa
dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết,
định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình.
Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói
quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài
toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi
một chút là đã gây khó khăn cho các em.
Tình hình chung của học sinh lớp 10 hiện nay khi gặp các bài toán này
thường là thoả mãn ngay sau khi đã tìm được cách giải mà không tìm

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

1


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

đầy đủ nghiệm hoặc tìm cách giải sáng tạo dễ hiểu hoặc cách giải độc
đáo.
Từ những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài :
“ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ
PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH LỚP 10 ”

2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Hệ thống hóa các dạng toán và các phương pháp giải tương ứng về hệ
phương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình cho lớp 10
nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả của công việc dạy học toán ở phổ
thông .
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Tìm hiểu cơ sở lí luận về việc hướng dẫn học sinh giải các bài tập toán.
- Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học hệ phương trình trong sách giáo
khoa lớp 10.
- Rèn luyện kĩ năng giải các bài toán về hệ phương trình cho học sinh:
Hệ thống những kiến thức cơ bản các phương pháp giải bài tập về hệ
phương trình, xây dựng hệ thống bài tập về hệ phương trình.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng: Hệ phương trình
- Phạm vi nghiên cứu: Đại số 10 nâng cao
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu lí luận
- Quan sát điều tra
- Tổng kết kinh nhiệm

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

2


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Dạy học giải bài tập
1.1.1.1. Khái niệm
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để
giải tất cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải
một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức,
kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán là ngoài việc cung cấp cho học sinh lời
giải bài toán, giáo viên phải dạy học sinh biết làm thế nào để giải được
bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy,
thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương
pháp tìm lời giải cho một bài toán.
1.1.1.2. Vai trò của bài tập toán học
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán. Điều căn bản
là bài tập có vai trò giá mang hoạt động của học sinh. Thông qua giải bài
tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận
dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những
hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong
Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ (xem
mục 5 chương III, [11tr97]). Chương IV đã cho thấy hoạt động của học
sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, vì
vậy vai trò của bài tập toán học được thể hiện cả trên 3 bình diện này:

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

3

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường
phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động
đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác, những bài tập thể hiện chức
năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn
Toán, cụ thể là:
 Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào
thực tiễn.
 Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình
thành những phẩm chất trí tuệ.
 Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là
giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, một phương
tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào
đó đã được trình bày trong phần lý thuyết.
Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá
mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên
cơ sở đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác. Khai thác tốt những bài
tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và
bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độ
lập hoặc trong giao lưu.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý
khác nhau về phương pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi
động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Đặc biệt là

về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

4


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của học sinh.
Một bài tập cụ thể có thể nhằm vào một hay nhiều dụng ý trên.
1.1.1.3. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trước hết cần nắm vững
yêu cầu của lời giải. Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt. Nói
như vậy bao hàm đủ các ý cần thiết nhưng quá cô đọng. Để thuận tiện
cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và
đánh giá học sinh, có thể cụ thể hóa yêu cầu, đương nhiên phải chấp
nhận những yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:
(i) Kết quả đúng, kể cả ở những bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp án đúng, một biểu thức, một hàm
số, một hình vẽ…thỏa mãn các yêu cầu để ra. Kết quả các bước trung
gian cũng phải đúng. Như vậy, lời giải không thể chưa những sai lầm
tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức….
(ii) Lập luận chặt chẽ
Đặc biệt lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau :
 Luận đề phải nhất quán.
 Luận cứ phải đúng.
 Luận chứng phải hợp logic.

(iii) Lời giải đầy đủ
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không bỏ xót một trường hợp, một
chi tiết cần thiết nào. Cụ thể là giải phương trình không được thiếu
nghiệm, phân chia trường hợp không thiếu một khả năng ……
(iv) Ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ
môn. Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

5


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp
các yếu tố (chữ ,số, hình, kí hiệu…) trong lời giải.
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất.
Ngoài các yêu cầu từ (i)-(v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều
cách giải cho cùng một bài toán, phân tích so sánh những cách giải khác
nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất trong số các lời giải đã tìm
được.
(vii) Nghiên cứu lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật
ngược vấn đề.
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii), (iv) là các yêu cầu cơ bản (v) là yêu cầu về
mặt trình bày, còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao.
1.1.1.4. Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

a. Phương pháp chung để giải bài toán
Một số người có tham vọng muốn có một thuật giải tổng quát để giải
mọi bài toán. Đó là điều ảo tưởng. Ngay cả đối với những lớp bài toán
riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp không có thuật giải. Tuy
nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi các suy nghĩ tìm tòi, phát
hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết.
Dựa trên tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của
Polya(1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực
tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 Phát biểu đề bài dưới dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán.
 Phân biệt cái đã cho và cái cần tìm, phải chứng minh.
 Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả
đề bài.

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

6


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Bước 2: Tìm cách giải
 Tìm tòi, phát hiện cách giải những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh,
liên hệ cái đã cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên
hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp

riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán có liên quan,
sử dụng phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh
phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích..v.v..
 Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiên hoặc
đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số
tri thức có liên quan….
 Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách
giải hợp lí nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bược theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải
 Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
Sau đây là ví dụ minh họa.
Ví dụ. Chứng minh rằng các tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì
nằm trong một tam giác đều tới ba cạnh của tam giác đó là một hằng số
Ta có hình minh họa sau:

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

7


Khóa luận tốt nghiệp
p

Khoa Toán

Bước 1: Tìm hiểu nộ
ội dung đề bài
Bước toán này có thểể phát biểu cụ thể như sau :
Cho mộtt tam giác đều
đ ABC. Gọi M là một điểm nằm
m trong tam giác
đó. Kí hiệu
u các hình chiếu
chi của M trên ba cạnh củaa AB, BC, CA llần lượt
là H, I, K. Chứng
ng minh rằng
r
MH +MI +MK không đổii dù cho ta llấy M ở
vị trí nào trong tam giác.
Bước 2: Tìm cách giảải
Việc giảii bài toán sẽ
s dễ hơn nếu ta xác định
nh được
đư
hằng số
MH+MI+MK. Muốn
n vvậy, ta có thể đặc biệt hóa chẳng hạnn bằng
b
cách lấy
M trùng với đỉnh
nh A. Khi đó I ttới vị trí I’ và MH+MI+MK=0+AI’+0=AI’.
Như vậy hằng số cần
n tìm chính là bằng
b

độ dài của đường
ng cao h của tam
giác đều đãã cho (chú ý rằng
r
trong một tam giác, ba đường
ng cao có độ
đ dài
bằng
ng nhau ). Bài toán trở thành chứng minh rằng
ng MH+MI+MK = h.
Để chứng
ng minh tổng
t
MH+MI+MK = h, người ta thường
ng ngh
nghĩ tới sắp
đặt ba đoạn thẳng
ng này liên tiếp
ti trên một đường thẳng
ng nào đó để
đ tạo thành
một đoạn thẳng có độ
ộ dài h. Nhứng vị trí thay đổi củaa ba đo
đoạn thẳng này
tren hình vẽ khi M di chuyển
chuy trong tam giác ABC cho thấấy điều đó khó
thực hiện đối vớii bài toán này.

Đỗ Văn Lễ - Lớp
p K35 C

8


Khóa luận tốt nghiệp
p

Khoa Toán

Một hướng
ng khác là có thể
th biểu thị h qua những đại lượ
ợng không đổi
khác. Cho trước mộtt tam giác đều
đ không chỉ đường
ng cao mà ccả diện tích
S, cạnh a…củaa tam giác đó cũng
c
không đổi. Ý nghĩ mốối liên hệ giữa
MH+MI+MK với diệện tích gợi ra sự liên tưởng tới đẳng thứ
ức sau đây
dt(D MAB) + dt(D MBC) + dt(D MAC) = dt(D ABC)
1
1
1
1
( hay a.MH + a.MI + a.MK = a.h
2
2
2

2
1
1
hay a(MH + MI + MK) = a.h
2
2

Do đó: MH+MI+MK = h
Để kiểm tra lờii giải,
gi trước hết ta thử lại hằng số MH+MI+MK ở một
vị trí đặc biệtt khác, chẳng
ch
hạn lấy M là giao điểm củaa 3 đư
đường cao, đồng
thời là 3 trung tuyến
n ccủa tam giác đều
Khi đó MH = MI = MK =

1
h , do đó MH+MI+MK = h.
3

Mặt khác, có thể trả lời bằng cách già soát lại từng
ng mắt
m xích chứng
minh.
Bước 3: Trình bày lờ
ời giải

Đỗ Văn Lễ - Lớp

p K35 C

9


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác đều ABC, hình chiếu của M
trên ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là H, I, K . Kí hiệu cạnh và đường cao
của tam giác đó lần lượt là a và h, ta có :
dt(D MAB) + dt(D MBC) + dt(D MAC) = dt(D ABC)
1
1
1
1
hay a.MH + a.MI + a.MK = a.h
2
2
2
2
1
1
hay a(MH + MI + MK) = a.h
2
2

Do đó : MH+MI+MK = h
Đẳng thức cuối cùng chứng tỏ tổng MH+MI+MK không đổi dù cho ta

lấy M ở bất kì vị trí nào trong tam giác .
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Từ bài toán trong ví dụ này có thể phát biểu và giải những bài toán khái
quát hoặc mở rộng sau đây:
(i) Mở rộng ra trường hợp tam giác đều: Chứng minh rằng tổng khoảng
cách từ một điểm bất kì nằm trong một đa giác đều tới các cạnh của đa
giác đó là một hằng số.
(ii) Mở rộng ra trường hợp đa giác lồi có các cạnh bằng nhau: Phân tích
kĩ lời giải, ta thấy kết quả trên không đòi hỏi đa giác bắt buộc phải là đa
giác đều, và bài toán trên có thể mở rộng cho trường hợp đa giác lồi cạnh
bằng nhau.
(iii) Mở rộng ra trường hợp tứ diện đều: Chứng minh rằng tổng các
khoảng cách từ một điểm bất kì nằm trong một tứ diện đều tới các mặt
của tứ diện đó là hằng số.
b. Bản gợi ý áp dụng phương pháp chung giải toán
Trong quá trình dạy học phương pháp chung giải toán cần có những
gợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời
giải. Sau đây là một bản gợi ý, về căn bản dựa theo Polya (1975), có điều

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

10


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

chỉnh cho phù hợp cới cấu trúc phương pháp chung được trình bày trong
mục a:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thỏa mãn điều
kiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay mâu
thuẫn?
 Hãy vẽ hình hay sử dụng kí hiệu thích hợp.
 Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các
điều kiện đó thành công thức hay không ?
Bước 2: Tìm cách giải
 Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở
một dạng hơi khác?
 Hãy xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có
cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự?
 Bạn có thể biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp
dụng một định lí nào đó không?
 Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi có
thể sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay
sử dụng phương pháp gải bài toán đó. Có cần phải dựa thêm một
số yếu tố phụ thì mới áp dụng bài toán đó hay không?
 Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một các khác
nữa? Quay về những định nghĩa.
 Nếu bạn chưa giải được bài toán đề đã ra thì hãy thử giải một bài
toán có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát
hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể
giải một phần bài toán hay không? Hãy giữa lại một phần điều
kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó cái cần tìm được xác định đến
Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

11

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn có thể nghĩ ra
các điều kiện khác có thể giúp bạn xác định cái cần tìm hay
không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu
cần thiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần
nhau hơn không ?
 Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều
kiện hay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán
chưa?
 Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy
mỗi bước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải
bài toán hay không ?
 Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực
tiếp ngay kết quả không?
 Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để
tìm ra lời giải ngắn gọn và hợp lý nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
 Nắm lại toàn bộ cách giải đã tìm ra trong quá trình suy nghĩ nêu ở
bước 2.
 Trình bày lại lời giải sau khi đã lược bỏ những yếu tố dự đoán
phát hiện, những yếu tố lệch lạc nhất thời, và đã điều chỉnh những
chỗ cần thiết .
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho một bài toán
tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác hay
không ?

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

12


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

c. Cách thức dạy phương pháp chung để giải bài toán
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng
được phương pháp chung để giải bài toán vào việc giải những bài toán
cụ thể mà họ gặp trong chương trình. Học phương pháp chung để giải
toán không phải là học một thuật giải mà học là học kinh nghiệm giải
toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện. Nói chung, cách thức dạy học sinh
phương pháp chung để giải bài toán như sau:
 Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học
sinh nắm được phương pháp chung 4 bước (xem phần a) và có ý
thức vận dụng 4 bước này trong quá trình giải toán;
 Cũng thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học
sinh những câu hỏi gợi ý (xem phần b) đúng tình huống để học
sinh dần dần biết sử dụng tìm những câu hỏi này như những
phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện để
thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán. Những câu
hỏi này lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh tự
nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình
trong quá trình giải toán.
Như vậy, quá trình học sinh phương pháp chung giải toán là một quá
trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nhiệm giải
toán của bản thân mình thông qua việc giải toán của bản thân mình thông

qua việc giải hàng loạt bài toán cụ thể .Từ phương pháp chung giải toán
đi tới cách giải một bài toán cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi
lao động tích cực của người học sinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo.
” Tìm được cách giải một bài toán là một pháp minh’ (Poolya 1975).

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

13


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1.1.1.5. Khai thác bài toán
- Mục tiêu :
+ Khai thác bài toán giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của
bài toán, tạo cho các em phong cách học tập chủ động và sáng
tạo.
+ Từ việc khai thác và phát triển bài toán sẽ có nhiều bài toán hay
được hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày càng
phong phú.
- Nội dung :
Một số phương pháp khai thác bài toán:
 Tìm nhiều cách giải cho một bài toán
 Phát triển hệ thống bài toán:
+ Tìm bài toán tương tự bài toán đã biết
+ Xây dựng hệ thống bài toán dự trên việc xét bài toán đảo.
1.1.2. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh

1.1.2.1. Khái niệm kỹ năng và kỹ năng giải toán
- “Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn.
Trong đó, khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực
hiện một việc gì” [3, tr548]
Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một
hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định.
Nếu tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng các tri thức
thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc
phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.
Các nhà giáo dục học cho rằng: “Mọi kiến thức bao gồm một phần
là thông tin kiến thức thuần túy và một phần là kỹ năng”.

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

14


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở
mỗi người để đạt được mục đích. Kỹ năng còn có thể được đặc trưng
như một thói quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc
có phương pháp.
“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện
các chứng minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn
nhiều so với kiến thức thuần túy, so vói thông tin trơn” [14, tr.99].
Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thưòng gặp khó khăn khi
vận dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh

không nắm vừng kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở
thành cơ sở của kỹ năng. Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ
năng giải toán cho học sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học
sinh học toán trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng
tạo để học sinh có thể nắm vững tri thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận
dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện nguyên lý của nhà trường phổ
thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất,
nhà trường gắn liền với xã hội”.
- “Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để
giải các bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” [4, tr.12].
- Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, một
trong những yêu cầu được đặt ra là:
“Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc
biệt là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng.
Chẳng hạn: tri thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình,
tri thức và kỹ năng chúng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy
hàm...” [11, tr.41].
Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có nhừng yêu

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

15


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

cầu rèn luyện kỹ năng khác nhau.
1.1.2.2. Một số kĩ năng thường sử dụng khi giải bài tập toán

Môn toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt
động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát
hóa. Do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ
này. Và đó chính là những kĩ năng cần thiết cho việc rèn luyện kĩ năng
giải bài tập toán, cụ thể :
- Phân tích là tách (trong tư tưởng) một số hệ thống thành những
vật,tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ.
- Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một
vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp là hai
hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình
thống nhất. Chúng là hai hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy.
Những hoạt động trí tuệ khác đều diễn ra trên nền tảng phân tích và
tổng hợp.
- Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc
điểm không bản chất. Đương nhiên, sự phân biệt bản chất với không bản
chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phục thuộc mục đích hành động.
- Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập
hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm
chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, ta thấy ngay
rằng trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa.
Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong
môn Toán, học sinh còn thường phải thực hiện các phép tương tự hóa ,
so sánh..do đó có điều kiện rèn luyện cho họ những hoạt động trí tuệ
này.
Những kỹ năng trên có thể được minh họa qua ví dụ sau:

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

16

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Ví dụ. Tìm công thức tính sin3x theo những hàm số lượng giác của
đối số x.
Giải
Đầu tiên, hoạt động phân tích làm biến đổi sin3x thành sin(2x+x).Sự
phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ biểu thức sin3x với
công thức sin(a+b)= sina.cosb + sinb.cosa.
Việc khớp trường hợp riêng sin(2x+x) vào biểu thức tổng quát sin(a+b)
là một sự khái quát hóa; việc này thể hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật
các đặc điểm bản chất “hàm số sin”, “đối số có dạng tổng hai số” và
tách chúng những đặc điểm không bản chất như “ một số hạng của tổng
gấp đôi số hạng kia”. Tiếp theo khái quát hóa là việc đặc biệt hóa công
thức sin(a+b) = sina.cosb + sinb.cosa cho trường hợp: a= 2x, b= x, để đi
đến công thức: sin(2x+x)= sin2x.cosx+ sinx.cos2x. Hoạt động phân tích
lại diễn ra khi tách riêng sin2x và cos2x trong công thức biến đổi thành:
sin2x = 2sinx.cosx; cos2x = cos2x-sin2x. Từ đó dẫn tới biến đổi vế phải
thành 3sinx.cos2x- sin3x.
Cuối cùng việc liên kết biểu thức xuất phát sin3x với kết quả biến đổi
3sinx.cos2x - sin3x là một sự tổng hợp dẫn tới:
sin3x = 3sinx.cos2x – sin3x.
Quá trình tư duy vừa trình bày có thể minh họa bằng sơ đồ (hình 1)
Các hoạt động vừa phân tích ở trên thật ra mới có ở dạng tiềm năng.
Nếu người thầy giáo có ý thức phát triển năng lực trí tuệ chung cho học
sinh thì ở những lúc thích hợp có thể kích thích việc thực hiện những
hoạt động này bằng những câu gợi ý như:
 Hãy viết sin3x dưới dạng thích hợp với một số công thức biến đổi

lượng giác nào đó? (kích thích phân tích , khái quát hóa)
 Hãy áp dụng công thức biến đổi sin của một tổng vào biểu thức
sin(2x+x)(khuyến khích đặc biệt hóa )

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

17


Khóa luận tốt nghiệp
p

Khoa Toán

Hình 1

Đỗ Văn Lễ - Lớp
p K35 C

18


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1.2. Cơ sở thức tiễn
Thực trạng của việc dạy học giải hệ phương trình hiện nay:
* Thuận lợi:
- Ngay từ cấp 2 học sinh đã được làm quen với hệ phương trình

vì vậy mà học sinh cũng đã nắm được một lượng kiến thức nhất định về
hệ phương trình nên khi bước vào học các em không bị bỡ ngỡ.
- Ngày nay công nghệ thông tin ngày càng phát triển vì vậy mà
nguồn tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và đa dạng vậy nên học
sinh có thể tự sưu tầm và tự học về hệ phương trình một cách chủ động.
* Khó khăn:
- Lượng kiến thức về hệ phương trình trong sách giáo khoa khá
đơn giản chưa được cặn kẽ toàn diện về hệ phương trình.
- Thời lượng trên lớp cũng tương đối hạn hẹp chính vì vậy mà
lượng kiến thức về hệ phương trình giáo viên muốn bổ sung cũng không
được nhiều và chi tiết.
- Do tài liệu về hệ phương trình khá phong phú và từ nhiều
nguồn nên các em cũng gặp khó khăn có thể phân loại lựa chọn những
kiến thức nào cần thiết và kiến thức nào không cần thiết.
Vì vậy cần có những cách giúp các em hệ thống hóa kiến thức một
cách khoa học hợp lí và để các em rèn luyện thành thục về hệ phương
trình giúp các em hình thành kĩ năng và biến nó trở thành mảng kiến
thức bền vững của các em để phục vụ cho sau này khi cần dùng là có
ngay.


1 
 3x 1 
2
x

y




Ví dụ. Giải hệ phương trình 
 7 y 1  1   4 2


x  y 



Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

19


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Phân tích. Các biểu thức trong ngoặc có dạng a + b và a – b nên ta chia
hai vế phương trình thứ nhất cho 3x và chia hai vế phương trình thứ
hai cho

7y .
Hướng dẫn

Điều kiện: x  0, y  0, x  y  0 .
Dễ thấy x  0 hoặc y  0 không thỏa mãn hệ phương trình. Vậy

x  0, y  0
Hệ


1 
1 

 x  y 

1  1  
 x  y 



 1
2
4 2
2 2


 1 (1)
2 

3x
7y
7y

 3x


4 2
2
2

4
2

 1 2 2  1


x  y
 3x
7y
3x
7y
7y x  y


2
3x

Nhân theo vế hai phương trình trong hệ ta được
 1
2 2  1
2 2
1




 

7 y  3 x
7y  x  y

 3x

 y  6x
1
8
1
2
2
 

 7 y  38xy  24 x  0  
y   4 x
3x 7 y x  y
7

Trường hợp 1. y  6x thế vào phương trình (1) ta được

1
2
11  4 7
22  8 7

1 x 
y
21
7
3x
21x
4
Trường hợp 2. y   x không xảy ra do x  0, y  0 .

7

 11  4 7 22  8 7 
;
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   
.
21
7


Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

20


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Thông thường sau khi tìm ra nghiệm của hệ phương trình các em sẽ
cảm thấy thỏa mãn, mà không chủ động tìm xem bài toán có còn phương
pháp giải khác nào không hay liệu có bài toán tổng quát cho dạng bài
này không và chuyển sang bài toán mới. Cụ thể như trong ví dụ trên thì
chúng ta có bài toán tổng quát và cách giải cho dạng bài trên cụ thể:



Tổng quát ta có hệ sau: 



a
n
m
px  qy
bx
c
n
m
px  qy
dy

a  b  m
 m  n  2a

(2) .
Hệ phương trình có dạng 
a  b  n
m  n  2b
Cách giải
Dấu hiệu nhận ra dạng bài thông qua hệ số a, b dựa vào (2)
+ Xét điều kiện của x, y ta sẽ chỉ ra x>0 , y>0.
+ Ta chuyển bài toán về dạng tổng quát. Chia các vế của 2 phương
trình của hệ phương trình cho các căn thức để chuyển về dạng tổng quát.
Tiếp theo đó ta thực hiện cộng và trừ 2 vế của 2 phương trình của hệ để
hình thành hệ mới. Rồi nhân vế với vế của 2 phương trình mới ta sẽ lập
được phương trình đẳng cấp bậc 2 từ đấy ta suy ra được mối quan hệ
giữa x, y.
+ Cuối cùng thay y theo x vào 1 trong những phương trình trong hệ
mới tìm được ta sẽ tìm được x, y.

Để học sinh có thể chủ động trong việc tìm ra những lời giải hay cho
các bài toán về hệ phương trình bằng các phương pháp khác nhau thì đòi
hỏi các em phải nắm vững kiến thức và hệ thống các bài tập về hệ
phương trình. Vì vậy đây là vấn đề mà đề tài sẽ đề cập tới.

Đỗ Văn Lễ - Lớp K35 C

21