Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-----*****-----

HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO
HỌC SINH LỚP 1O

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học toán

Hà Nội, 2013


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
-----*****-----

HOÀNG THỊ MAI PHƯƠNG

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI
CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHO
HỌC SINH LỚP 1O

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học toán

Người hướng dẫn khoa học
Th.S ĐÀO THỊ HOA

Hà Nội, 2013

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU
NỘI DUNG
Trang

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lý luận ..................................................................................... 1
1.1.1. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán
cho học sinh ...................................................................................... 1
1.1.2. Dạy học giải bài tập toán học.............................................................. 4
1.2. Cơ sở thực tiễn ..................................................................................... 11

CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ
BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10
2.1. Mục tiêu, nội dung dạy học bất đẳng thức ............................................. 15
2.1.1. Mục tiêu….. ....................................................................................... 15
2.1.2. Nội dung dạy học ............................................................................... 15
2.2. Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.............................................. 16
2.2.1. Định nghĩa ......................................................................................... 16
2.2.2. Một số tính chất ................................................................................. 16
2.2.3. Các bất đẳng thức cơ bản.................................................................... 16
2.3. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ........................................ 18

2.3.1. Phương pháp dùng định nghĩa ............................................................ 18
2.3.2. Phương pháp biến đổi tương đương .................................................... 20
2.3.3. Phương pháp quy nạp ......................................................................... 23


2.3.4. Phương pháp dùng bất đẳng thức tam giác ......................................... 26
2.3.5. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky ........................... 28
2.3.6. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy ...................................... 32
2.3.7. Phương pháp hình học ........................................................................ 36
2.3.8. Phương pháp lượng giác ..................................................................... 38
2.3.9. Phương pháp hàm số .......................................................................... 39
2.3.10. Phương pháp đổi biến số .................................................................. 41
2.4. Một số ứng dụng của bất đẳng thức ...................................................... 43
2.4.1. Giải phương trình, hệ phương trình .................................................... 43
2.4.2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ....................................... 46
2.5. Hệ thống bài tập ................................................................................... 51

KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu, thực hiện khóa luận “Rèn luyện kỹ năng
giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp 10”, với sự cố gắng của
bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, các
bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong khoa
Toán, các thầy cô trong tổ Phương pháp và các bạn sinh viên đã tạo điều kiện
cho em trong suốt thời gian em làm khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành tới Thạc sỹ Đào Thị Hoa, người đã giúp đỡ em tận tình

trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Hoàng Thị Mai Phương


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận “Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về
bất đẳng thức cho học sinh lớp 10” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, đó
là kết quả của sự tìm tòi, tổng hợp từ các tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn
của Thạc sỹ Đào Thị Hoa, những trích dẫn trong khóa luận này là trung thực.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Hoàng Thị Mai Phương


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ,

Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học toán) những kỹ
năng tính toán cần thiết mà còn giúp người học rèn luyện khả năng tư
duy logic.
Trong việc dạy học toán thì tìm ra cách thức giải bài tập toán đòi hỏi
người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương

pháp dạy học để góp phần củng cố kiến thức, hình thành và phát triển tư
duy cho học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi
dưỡng rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các bài tập toán về bất đẳng thức
cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính
tự giác, tích cực, độc lập và sáng tạo của tư duy và trí tuệ.
Tuy nhiên các bài toán về bất đẳng thức nhìn chung là khó vì phạm vi
kiến thức rộng, đòi hỏi học sinh phải tư duy tích cực.
Qua thời gian còn học tập ở trung học phổ thông và thời gian đi thực
tập, tôi thấy thực trạng khi dạy toán bất đẳng thức đó là:
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai
thác, phân tích, mở rộng bài toán dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác
một chút là sẽ không giải được.
- Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì các bài toán
thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản
chứng… nên học sinh hay ngại và chưa vận dụng được bài toán bất đẳng
thức để giải các bài toán khó như cực trị, hàm số…
Với lý do kể trên, tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Rèn luyện kỹ năng giải
các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp 10” nhằm giúp học sinh
bớt lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức, có thể tự định hướng


được các phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng
thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn toán nói chung
cũng như giúp bản thân tự nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ.

2. Mục đích nghiên cứu
2.1.
-

Với bản thân

Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy sau
này.

-

Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, nâng cao kiến thức.

2.2. Với học sinh
-

Giúp học sinh nắm được một số phương pháp chứng minh bất đẳng

thức cơ bản, giải các bài toán trong chương trình.
-

Giúp học sinh phát triển năng lực toán học, phát triển lòng yêu thích

môn học.
-

3.

Chuẩn bị kiến thức cần thiết nhằm phục vụ kỳ thi Đại học sau này.

Nhiệm vụ nghiên cứu

-

Tìm hiểu cơ sở lý luận về việc hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

-

Tìm hiểu mục tiêu và nội dung dạy học bất đẳng thức trong sách giáo

khoa lớp 10 nâng cao
-

Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh
 Hệ thống những kiến thức cơ bản và các phương pháp giải bài tập

về bất đẳng thức.
 Xây dựng hệ thống các bài toán về bất đẳng thức cho học sinh lớp
10 trong chương trình nâng cao.

4.

Phạm vi và đối tượng nghiên cứu


-

Đối tượng: Các phương pháp chứng minh và ứng dụng của bất đẳng
thức

-

Phạm vi: Đại số 10 nâng cao

5.

Phương pháp nghiên cứu

-

Nghiên cứu lý luận

-

Quan sát điều tra

-

Tổng kết kinh nghiệm

6.

Cấu trúc khóa luận
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai

chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về bất đẳng thức cho
học sinh lớp 10


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1.

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1.1. Kỹ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh
1.1.1.1.

Kỹ năng

“Kỹ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn. Trong đó,
khả năng được hiểu là: sức đã có (về một mặt nào đó) để thực hiện một việc
gì” [2, tr.548].
Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có hiệu quả một hành
động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện xác định. Nếu tạm thời
tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng các tri thức thuộc phạm vi nhận
thức, thuộc về khả năng “biết”, còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc
về khả năng “biết làm”.
Kỹ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết ở mỗi
người để đạt được mục đích. Kỹ năng còn có thể được đặc trưng như một thói
quen nhất định và cuối cùng kỹ năng là khả năng làm việc có phương pháp.
“Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các
chứng minh đã nhận được. Kỹ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so
với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn”. [5, tr.99].
Trong thực tế dạy học cho thấy, học sinh thường gặp khó khăn khi vận
dụng kiến thức vào giải quyết các bài tập cụ thể là do: học sinh không nắm
vững kiến thức các khái niệm, định lí, qui tắc, không trở thành cơ sở của kỹ
năng.
Muốn hình thành được kỹ năng, đặc biệt là kỹ năng giải toán cho học
sinh, người thầy giáo cần phải tổ chức cho học sinh học toán trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạo để học sinh có thể nắm vững tri
thức, có kỹ năng và sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Góp phần thực hiện
nguyên lý của nhà trường phổ thông là: “Học đi đôi với hành, giáo dục kết
hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với xã hội”.
1.1.1.2.

Kỹ năng giải toán

“Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng các tri thức toán học để giải các
bài tập toán (bằng suy luận, chứng minh)” [3, tr.12].
Để thực hiện tốt môn toán ở trong trường trung học phổ thông, một trong
những yêu cầu được đặt ra là:
“Về tri thức và kỹ năng, cần chú ý những tri thức, phương pháp đặc biệt
là tri thức có tính chất thuật toán và những kỹ năng tương ứng. Chẳng hạn: tri
thức và kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, tri thức và kỹ năng
chứng minh toán học, kỹ năng hoạt động và tư duy hàm...” [9, tr.41].
Cần chú ý là tùy theo nội dung kiến thức toán học mà có những yêu cầu
rèn luyện kỹ năng khác nhau.
1.1.1.3.

Đặc điểm của kỹ năng

Khái niệm kỹ năng trình bày ở trên chúa đựng những đặc điểm sau:
- Bất cứ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức.
Bởi vì, cấu trúc của kỹ năng là: hiểu mục đích - biết cách thức đi đến kết quả hiểu những điều kiện để triển khai cách thức đó.
- Kiến thức là cơ sở của kỹ năng, khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các
thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại
trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động. Cùng với vai trò cơ sở của
tri thức, cần thấy rõ tầm quan trọng của kỹ năng. Bởi vì: “Môn toán là môn
học công cụ có đặc điểm và vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát

triển nhân cách trong trường phổ thông”. [9, tr.29]. Vì vậy, cần hướng mạnh
vào việc vận dụng những tri thức và rèn luyện kỹ năng, vì kỹ năng chỉ có thể
được hình thành và phát triển trong hoạt động.


- Kỹ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán học, bao gồm: kiến
thức, kỹ năng, phương pháp.
1.1.1.4. Sự hình thành kỹ năng
Sự hình thành kỹ năng là làm cho học sinh nắm vững một hệ thống phức
tạp các thao tác nhằm biến đổi và làm sáng tỏ những thông tin chứa đựng
trong các bài tập.
Vì vậy, muốn hình thành kỹ năng cho học sinh, chủ yếu là kỹ năng học
tập và kỹ năng giải toán, người thầy giáo cần phải:
- Giúp học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
- Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến
thức tương ứng.
Do đặc điểm, vai trò và vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông,
theo lý luận dạy học môn toán cần chú ý:
“Trong khi dạy học môn toán cần quan tâm rèn luyện cho học sinh
những kỹ năng trên những bình diện khác nhau đó là:
- Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán
- Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác
- Kỹ năng vận dụng tri thức vào đời sống” [8, tr.19].
Theo quan điểm trên, truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng là nhiệm vụ
quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông.
Rèn luyện kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn
mà trước tiên là kỹ năng giải toán cần đạt được các yêu cầu sau:
1/ Giúp học sinh hình thành nắm vững những mạch kiến thức cơ bản
xuyên suốt chương trình phổ thông. Trong môn toán có thể kể tới các kiến

thức sau:
- Các hệ thống số.
- Hàm số và ánh xạ.
- Phương trình và bất phương trình.


- Định nghĩa và chứng minh toán học.
- Ứng dụng toán học.
2/ Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ, cụ thể là:
- Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuật toán.
- Khả năng suy đoán, tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian.
- Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa.
- Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng tạo.
3/ Coi trọng việc rèn luyện kỹ năng tính toán trong tất cả giờ học toán,
gắn với việc rèn luyện các kỹ năng thực hành như tính toán, biến đổi, vẽ hình,
vẽ đồ thị.
4/ Giúp học sinh rèn luyện phẩm chất của người lao động mới như: Tính
cẩn thận, chính xác, kiên trì, thói quen tự kiểm tra những sai lầm có thể gặp.
1.1.2. Dạy học giải bài tập toán học
1.1.2.1. Mục đích và ý nghĩa của việc giải bài tập toán trong trường phổ
thông
Pôlya cho rằng “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn
rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn
sách tra cứu thích hợp. Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các
trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức
nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào
đó nắng vững môn học. Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán ? Đó là biết
giải toán” [5, tr.82].
a. Mục đích
Một trong những mục đích của việc giải bài tập toán ở trường phổ thông

là:
- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, giúp học
sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức
của bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các
lĩnh vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này.


- Làm cho học sinh nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ
thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản, hiện đại, phù
hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào những tình
huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học tập các bộ
môn khoa học khác.
b. Ý nghĩa
Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố,
hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng kiến
thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tế, vào những vấn đề mới, là
hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và
khả năng vận dụng kiến thức đã học.
Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập
cho học sinh nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con
người học sinh về nhiều mặt.
Việc giải một bài toán cụ thể không những nhằm một dụng ý đơn nhất
nào đó mà thường bao hàm ý nghĩa nhiều mặt như đã nêu ở trên.
1.1.2.2.

Vị trí và chức năng của bài tập toán
a. Vị trí

"Ở truờng phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học
sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các

bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không
thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động
giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở
trường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học
có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán”. [9, tr.201].
b. Các chức năng của bài tập toán.


Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học
đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau.
Các chức năng đó là:
- Chức năng dạy học.
- Chức năng giáo dục.
- Chức năng phát triển.
- Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh
những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy
học.
- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất
của tư duy khoa học.
- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học,
đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và
trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào

việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các
tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo
viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng
lực sư phạm của mình.
1.1.2.3.

Dạy học phương pháp giải bài toán.

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc
không có thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất
cả các bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài


toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong
việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học
sinh lời giải bài toán. Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế
nào để giải được bài toán. Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát
triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung,
phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được
tiến hành theo 4 bước sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng
thú với việc giải bài toán đó. Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ,
kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán
một cách tổng quát. Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:
- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện.
- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần).
- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt

các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?
Bước 2: Xây dựng chương trình giải.
“Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn. Phải
huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc...) có liên quan
đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó
những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò mẫm, dự
đoán kết quả. Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt. Sau
đó, xét một bài toán tương tự hoặc khái quát hóa bài toán đã cho” [9, tr.210].
Bước 3: Thực hiện chương trình giải.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
-

Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải.


-

Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải

một loại bài toán nào đó.
-

Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể).

-

Khai thác kết quả có thể có của bài toán.

-

Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hóa bài

-

Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng.

-

Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu

toán.

cho một bài toán khác. Vì vậy "Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói
quen kiểm tra lại bài toán, xét xem có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là
những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải biện luận. Việc
kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên” [9,
tr.212].
Sau đây là ví dụ sử dụng 4 bước giải bài toán của Polya để chứng minh
Ví dụ Chứng minh bất đẳng thức sau:

(1  x 2 ) sin   2 x cos 
 1 (∀ , ∝∈ ℝ) (1)
1  x2
Hướng dẫn:
Bước 1: Tìm hiểu bài toán
Giáo viên: Nhận xét 2 vế của (1)
Học sinh: - Vế trái (1) là phân số với mẫu số luôn dương nên không cần
đặt điều kiện cho bài toán
- Vế phải (1) là hằng số dương nên việc biến đổi (1) không
quá khó khăn

Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Giáo viên: Để biến đổi (1), cách đơn giản nhất là gì?
Học sinh: Nhân chéo: (1  x 2 ) sin   2 x cos   1  x 2 (2)


Giáo viên: Yêu cầu học sinh tiếp tục biến đổi (2) để (2) trở thành một
dạng thức quen thuộc
2
Học sinh: (2)  x (1  sin  )  2 x cos   1  sin   0

Nhận xét đây có dạng là 1 tam thức bậc 2
Bước 3 : Trình bày lời giải
(1)  (1  x 2 ) sin   2 x cos   1  x 2


x 2 (1  sin  )  2 x cos   1  sin   0 (2)

2
Xét tam thức f ( x)  x (1  sin  )  2 x cos   1  sin 

= 1+

Với hệ số

2
≥ 0,   cos   (1  sin  )(1  cos  )  0

Vậy f ( x )  0  (2) luôn đúng
Vậy (1) luôn đúng
Bước 4 : Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Giáo viên: Bài toán trên còn cách giải nào khác không?
Học sinh: Từ (2) ta có thể tiếp tục biến đổi tương đương bằng cách
nhân cả 2 vế của (2) với 1  sin  vì 1  sin  ≥ 0 ∀∝∈ ℝ:
2
2
2
Ta có (2)  x (1  sin  )  2 x cos  (1  sin  )  (1  sin  )  0

 x 2 (1  sin  ) 2  2 x cos  (1  sin  )  cos 2  0
2

  x (1  sin  )  cos    0 (luôn đúng)
Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn luyện cho họ
khả năng thực hiện bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của
Pôlya. Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy học phát hiện và giải
quyết vấn đề theo xu hướng đổi mới phương pháp dạy học của nền giáo dục
nước ta hiện nay.
Một điểm đáng chú ý nữa là: "Trong quá trình giải bài tập toán, cần
khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán. Mọi cách giải
đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều


cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều
khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy.
Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất, đẹp
nhất...” [9, tr.214].
Quá trình tìm lời giải bài toán của Pôlya rất có hiệu quả, nó đặt học sinh
trước những ý nghĩ tích cực, chẳng hạn như:
-

Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay bạn đã gặp bài toán

này ở dạng khác?
-

Bạn có biết bài toán nào có liên quan không? Có thể dùng định lý

hay công thức nào để giải nó?
-

Có thể sử dụng kết quả của bài toán khác vào việc giải bài toán

này hay không? Có thể đưa ra một bài toán tương tự hoặc một bài toán tổng
quát hơn bài toán đã cho không?...

1.2. CƠ SỞ THỰC TIỄN
Là giáo viên toán, ai cũng thấy rằng: học sinh thuộc bài, nắm được kiến
thức trong sách giáo khoa là hoàn toàn chưa đủ, mà phải biết vận dụng kiến
thức, biết hệ thống các phương pháp giải từng dạng toán.
Bất đẳng thức là loại toán mà học sinh coi là khó. Nhiều học sinh
không biết giải bất đẳng thức thì phải bắt đầu từ đâu và phương pháp giải
toán bất đẳng thức như thế nào. Thực tế cho thấy toán bất đẳng thức có
trong chương trình Trung học phổ thông, các bài toán có liên quan đến
bất đẳng thức hầu như có mặt ở các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao
đẳng, nhưng không được hệ thống thành các phương pháp nhất định, gây
cho học sinh nhiều khó khăn khi gặp, khi giải bài toán bất đẳng thức.


Mỗi bài mỗi vẻ, có nhiều hướng, nhiều cách của nhiều tác giả với nhiều
phương pháp giải cơ bản, đặc biệt và mới lạ. Song thời gian dạy và hướng dẫn

học sinh học tập lại hạn chế, do đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổng hợp phân
loại các dạng toán thường gặp, các phương pháp giải toán chứng minh bất
đẳng thức. Từ đó hướng dẫn học sinh rèn luyện các phương pháp suy nghĩ
đúng đắn, biết đúc rút kinh nghiệm.
Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi giải các bài toán về bất
đẳng thức có thể được minh họa qua các bài toán sau :
Bài 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
+

+

< 2(

+

+

)

Học sinh có thể giải theo cách sau đây:
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
| − |<

⇒

−2

+

+

−

⇒(
⇒

+

+

+2

⇒

+

+

< 2(

<

⇒

+

) < (2

−

<2

)

−2

−2

+

<4

+

)

Phân tích, đánh giá lời giải:
Lỗi mắc phải trong lời giải trên là học sinh đã bình phương hai vế của bất
+

đẳng thức

−

<2

mà chưa xác định được dấu. Với bài này chỉ

cần tam giác ABC có góc A tù hay

+

−

< 0 thì bình phương 2 vế

của bất đẳng thức là sai.
Lời giải đúng:
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
| − |<

⇒

−2

+

<

⇒

+

−

<2

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
(

+

−

) − (2
⇔(

+

) <0
−

−2

)(

+

−

+2

)<0

⇔ ( − − )( − + )( + − )( + + ) < 0


Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên
, , > 0; +

> ; + > ; +

>

⇒ đpcm

Nhìn bất đẳng thức ở phương diện khác:
Hệ thức

+

−

gợi cho các bạn nghĩ đến hệ thức lượng giác nào?

Định lí hàm số Cosin:

+

−

= −2

Hãy viết bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng khác:
(−2

) < (2

) ⇔

<1

Bất đẳng thức này đúng vì A là góc của tam giác.
Bài 2: Cho , ≠0. Chứng minh rằng:
+

−3

+

+4≥0

(1)

Học sinh có thể giải theo cách sau đây:

Ta có
(1) ⇔
⇔
Vì
,

+2+
+

−2 +

+ ≥2

−3

+

+

+

9
1
− ≥0⇔
4
4

+

−

−1 ≥0

(theo bất đẳng thức Cauchy)

≠0

Lỗi mắc phải trong lời giải trên là học sinh vội vàng kết luận
≠0 . Bất đẳng thức chỉ đúng khi a, b dương.

Khám phá lời giải:
-

Nhận xét dấu của

và

1
≥0
4

⇒ (2) luôn đúng với mọi

Phân tích, đánh giá:

+ ≥2∀ ,

−

(2)

≠0

Vậy (1) luôn đúng với mọi ,

3
2


Ta có
-

. = 1 nên

và

cùng dấu

Đẳng thức nào thể hiện mối quan hệ giữa hai số cùng dấu
+

-

Với điều kiện

, ≠ 0 thì

=

+

và

đều dương, gợi cho các bạn nghĩ tới

bất đẳng thức nào?
Bất đẳng thức Cauchy:
+

≥2

.

=2

+ ≥ 2 hoặc + ≤ −2 ⇒ (2) luôn đúng

Khi đó

Vậy (1) luôn đúng với mọi ,

≠0

Lời giải đúng:
Ta có
(1) ⇔

+2+

⇔
Vì

+

+

−3

−2 +

=

+

+

+

+

9
1
− ≥0⇔
4
4

−1 ≥0
≥ 2 nên

⇒ (2) luôn đúng
Vậy (1) luôn đúng với mọi ,

≠0

+

−

3
2

−

1
≥0

4

(2)

+ ≥ 2 hoặc + ≤ −2


CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT
ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH LỚP 10
2.1. MỤC TIÊU VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC
2.1.1. Mục tiêu
Về kiến thức:
-

Hiểu khái niệm bất đẳng thức

-

Nắm vững các tính chất của bất đẳng thức

-

Nắm được các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

-

Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản

Về kỹ năng:

-

Chứng minh được các bất đẳng thức đơn giản, từ đó chứng minh

được các bất đẳng thức phức tạp hơn
-

Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giải được các phương

trình, hệ phương trình nhờ bất đẳng thức


Rèn luyện tư duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa,

-

rèn luyện tính độc lập, sáng tạo,...
Bồi dưỡng phẩm chất đạo đức

-

2.1.2. Nội dung dạy học
- Khái niệm về bất đẳng thức
- Tính chất của bất đẳng thức
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Bất đẳng thức Cauchy
- Bất đẳng thức Bunhiacopxki (tham khảo)

2.2. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
2.2.1. Định nghĩa

Giả sử a và b là 2 số thực. Các mệnh đề "a > b", "a < b", "a ≥ b", "a ≤
b" được gọi là những bất đẳng thức.
2.2.2. Một số tính chất
a.

a > b và b > c  a > c

b.

a>b  a+c >b+c

c.

Nếu c > 0 thì a > b  ac > bc

d.

Nếu c < 0 thì a > b  ac < bc

e.

a > b và c > d  a + c > b + d

f.

a+c>b  a>b–c

g.

a > b ≥ 0 và c > d ≥ 0  ac > bd

h.

a > b ≥ 0 và n  ℕ*  an > bn

i.

a>b≥0 

j.

a>b 

3

a >

a >

3

b

b

2.2.3. Các bất đẳng thức cơ bản
2.2.3.1.

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

a.

 a  a  a , a  R

b.

x  a   a  x  a (với a > 0)

c.

x > a  x  a hoặc x > a (với a > 0)

d.

a  b  a  b  a  b , a, b  R

2.2.3.2.
a.

Bất đẳng thức Cauchy
Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm

Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, ta có

ab
 ab
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

b.

Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm

Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, ta có

abc 3
 abc
3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
c.

Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm

Cho n số thực a1 , a2 , a3 ,..., an không âm, ta có:

a1  a2  a3  ...  an n
 a1.a2 .a3 ...an
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi : a1  a2  a3  ...  an
2.2.3.3.

Bất đẳng thức Bunhiacopxky

Do sách giáo khoa 10 – nâng cao hiện hành đưa kiến thức về bất
đẳng thức Bunhiacopxky ở phần đọc thêm nên khi làm bài tập về bất
đẳng thức mà cần sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky, học sinh phải
chứng minh bất đẳng thức này.
a.

Bất đẳng thức Bunhiacopxky đối với 4 số thực

Với 4 số thực a, b, c, d ta có:

 ab  bc 

2

 (a 2  c 2 )(b 2  d 2 )

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad  bc